calculo num 3

7/25/2019 Calculo Num 3

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IFBA campus Salvador

Clculo Numrico

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Prof. Alessandra Picano

3. Solucionando Equaes No-Lineares !a"#es

Em sis$emas de en%en&aria' as (unes que represen$am um modelo de pro)lema real so

de(inidas por suas vari*veis dependen$es e independen$es' equaes %overnan$es e seuspar+me$ros. Lem)rando que as vari*veis dependen$es re(le$em o es$ado do sis$ema' enquan$o

que os par+me$ros represen$am suas propriedades e composies.

,omo de$erminados pro)lemas reais envolvem propriedades espec"(icas' solucionar a equao

anali$icamen$e para de$erminada vari*vel $orna-se uma $are(a complea' uma ve# que se $orna

necess*rio de$erminar os par+me$ros impl"ci$os.

ma soluo / aplicar os m/$odos num/ricos para de$erminar as ra"#es da equao.

ma equao de uma vari*vel escri$a na (orma' (02 possui um valor de que sa$is(a# a

equao' denominado de rai# ou #ero da (uno. 4ale ressal$ar que' uma soluo num/rica de

uma equao (02 / um valor de que sa$is(a# a equao aproimadamen$e' ou se5a' ao

su)s$i$uir na (uno' a equao / pr6ima de #ero' mas no ea$amen$e #ero.

Eemplo 1 ,onsidere a (uno (0 de$erminar para #erar a equao.

= 8 4,5 = 07elo 8a$la)

clear

clc

% exemplo 1 - aula 3 V3% Seja a funo f(teta)=8-4.5*(teta-sin(teta))=0% A raiz da equao encontra-se entre 2 e 3

t=2:0.025:3;[m,n]=size(t);f=zeros(1,n);

fork=1:nf(k)=8-4.5*(t(k)-sin(t(k)));

end

figureplot(t,f)xlabel('t')ylabel('f(t)')grid on


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As ra"#es podem ser n:meros reais ou compleos. No m/$odo %r*(ico' os #eros reais

in$ercep$am o eio das a)cissas

Fon$e !u%%iero' ;3


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> o)5e$ivo dos m/$odos num/ricos / iniciar a par$ir de uma aproimao inicial da rai# e

re(inar os resul$ados a$rav/s de um processo i$era$ivo. >s m/$odos cons$am de duas (ases

Locali#ao ou isolamen$o das ra"#es' que consis$e em o)$er um in$ervalo que

con$/m a rai#?

!e(inamen$o' que consis$e em de$erminar as ra"#es a$rav/s de processo

i$era$ivo den$ro da preciso pr/-es$a)elecida.

3.1 Locali#ao das !a"#es

A locali#ao das ra"#es em um limi$e especi(icado pode ser reali#ada a$rav/s da an*lise $e6rica

e %r*(ica da (uno.

@eorema 1 Se5a (0 uma (uno con$"nua em um in$ervalo ;a')


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D


Fon$e !u%%iero' ;3


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C


Se5a f(x) uma (uno con$"nua e possui uma soluo no in$ervalo ;a, b erro /

calculado como

=

00!A quan$idade de i$eraes pode ser es$imada dada a $oler+ncia no in$ervalo ;a')


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G


Al%ori$mo para o m/$odo da )isseco

Eemplo 9 A (uno (0 2 .lo%0 H 1 $em um #ero em ;9'3


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No MATLAB

a=2;b=3;tol=0.1;

e=1;

f=(a*log10(a)-1)*(b*log10(b)-1);iff < 0

x=(a+b)/2;y=x*log10(x)-1;whilee > tol

ify < 0a=x;

elseb=x;endx=(a+b)/2;e=abs((b-a)/b);

end

elsedisp('no h raizes no intervalo')end

Convergncia

,onsidere o in$ervalo inicial ;a')< e uma :nica rai# nesse in$ervalo . > m/$odo da )isseco

%era $rs sequncias

"#$% no-decrescen$e e com limi$e superior em )' en$o eis$e um & ' () *$-. #$= &.

"/$% no-crescen$e e com limi$e in(erior em a' en$o eis$e um ' () *$-. /$= ."$% $= 12 #$ $ /$, 67A ampli$ude de cada in$ervalo %erado / a me$ade da ampli$ude do in$ervalo an$erior.

/$ #$=/ #$

*$-./$ #$= *$-. :/ #$ ; = 0

,onsiderando que "#$%e "/$%so conver%en$es' en$o


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M


*$-. /$ *$-. #$= 0*$-. /$= *$-. #$

= &

> m/$odo da )isseco resul$a em uma sequncia conver%en$e sem necessi$ar de c*lculos

compleos' por/m a conver%ncia / mui$o len$a quando comparado com ou$ros m/$odos.

0)

8/$odo da 7osio Falsa

> m/$odo da posio (alsa inicia pela de$erminao de um in$ervalo ;a1' )1< den$ro de ;a' )s m/$odos de dom"nio a)er$o no necessi$am man$er o in$ervalo duran$e a )usca da rai# da

equao no-linear. en$re os m/$odos encon$ra-se o m/$odo da i$erao de pon$o-(io'

m/$odo de NeO$on' m/$odo da secan$e e o m/$odo de 8uller. Apesar de possu"rem r*pida

conver%ncia' $ais m/$odos podem apresen$ar diver%ncia.

0a

8/$odo do pon$o (io

> m/$odo soluciona o pro)lema (0 2 a$rav/s do rearran5o da (uno (0 na (orma 2 %0'en$o de$ermina 2 a' $al que a 2 %0a e equivale (0a 2 . > valor ' $al que 2 %0 /

denominado de pon$o (io. > pon$o de in$erseco das duas (unes / a soluo para 2 %0'

e por$an$o' para ( 0 2 .

Eemplo D ,alcule a rai# da equao pelo m/$odo i$era$ivo do pon$o-(io.


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Eemplo C ,alcule a rai# da equao (0 2 e -H pelo m/$odo do pon$o (io.


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Bi)lio%ra(ia

;1< =ILA@' A.' SB!A8ANIA8' 4.' PNumerical 8e$&ods (or En%ineers and Scien$is$s An

In$roduc$ion Oi$& Applica$ions usin% 8A@LABQ' Ro&n ileT U Sons' Inc' ,ap"$ulo 3.

;9< ,VA7!A' S.,.' PApplied Numerical 8e$&ods Oi$& 8A@LAB (or En%ineers and Scien$is$sQ'8c=raO-Vill' ,ap"$ulo C.

;3< !==IE!>' 8.A.=.?L>7ES' 4.L.!.' P,*lculo Num/rico aspec$os $e6ricos e compu$acionaisQ'

Ed. 8aWron BooWs' 9X Ed.' 1G.

;D< ,A87>S' F.F. FILV>' PAl%ori$mos Num/ricosQ' Ed. L@,' 9X Ed.' 91.

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