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CALCULO NUMERICO

Apostila elaborada pelo professor Wanderson Rodrigues Bispo

com a colaboracao do monitor Shander Sanches

Centro Federal de Educacao Tecnologica Celso Suckow da Fonseca - CEFET/RJ

Unidade Descentralizada de Nova Iguacu

Julho de 2009

Sumario

1 Conceitos Gerais em Calculo Numerico 21.1 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Iteracao ou Aproximacao Sucessiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Aproximacao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Erros de Truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Erros de Aproximacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Sistemas de Numeracao Binario e Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Resolucao Numerica de Sistemas Lineares 92.1 Metodo de Eliminacao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Decomposicao LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Metodos Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Zero de Funcoes 193.1 Metodo da Bissecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Metodo da Falsa-Posicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Metodo da Iteracao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Metodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Aproximacao de Funcoes 284.1 Teoria de Interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Interpolacao Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Formula de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Diferenciacao Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5 Formula de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6 Ajuste de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.6.1 Criterios de Ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.6.2 Ajuste Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Integracao Numerica 425.1 Metodo dos Trapezios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2 Metodo de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3 Metodo da Quadratura Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1

Capıtulo 1

Conceitos Gerais em CalculoNumerico

Metodos numericos sao conjuntos de procedimentos utilizados para transformar ummodelo matema-tico num problema numerico ou conjuntos de procedimentos usados para resolver um problemanumerico. A escolha de metodo mais eficiente para resolver um problema numerico deve envolver aprecisao desejada, a capacidade do metodo em conduzir bons resultados e o esforco computacionaldespendido. Veja referenica (1).

1.1 Conceitos Basicos

1.1.1 Algoritmo

E a descricao sequencial dos passos que caracterizam um metodo numerico. O algoritmo forneceuma descricao completa de operacoes bem definidas por meio das quais o conjunto de dados deentrada e transformado em dados de saıda. Por operacoes bem definidas entendem-se as aritmeticase logicas que um computador pode realizar. Dessa forma, um algoritmo consiste de uma sequenciade n passos, cada um envolvendo um numero finito de operacoes. Ao fim desses n passos, o algoritmodeve fornecer valores ao menos “proximos”daqueles que sao procurados. O numero n pode nao serconhecido a priori, e o caso de algoritmos iterativos cuja ideia sera enfocada a seguir, nesse caso,em geral tem-se para n apenas uma cota superior.

1.1.2 Iteracao ou Aproximacao Sucessiva

Uma das ideias fundamentais do calculo numerico e a de iteracao ou aproximacao sucessiva. Numsentido amplo, iteracao significa a repeticao de um processo. Grande parte dos metodos numericose iterativa. Um metodo iterativo se caracteriza por envolver os seguintes elementos constitutivos:

(i) Tentativa inicial: consiste em uma primeira aproximacao para a solucao desejada do pro-blema numerico.

(ii) Equacao de recorrencia: equacao por meio da qual, partindo-se da tentativa inicial, saorealizadas as iteracoes ou aproximacoes sucessivas para a solucao desejada.

(iii) Teste de parada: e o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo e finalizado.

2

CAPITULO 1. CONCEITOS GERAIS EM CALCULO NUMERICO 3

1.1.3 Aproximacao Local

Outro conceito que aparece em calculo numerico e o de aproximacao local de uma funcao por outra,que seja de manuseio mais simples. Por exemplo, aproximar uma funcao nao-linear por uma funcaolinear num determinado intervalo do domınio das funcoes.

1.2 Erros

Na busca da solucao do modelo matematico por meio de calculo numerico, os erros surgem de variasformas e merecem cuidado especial. Do contrario, pode-se chegar a resultados distintos do que seesperaria ou ate mesmo obter outros que nao tem nenhuma relacao com a solucao do problemaoriginal.

As principais fontes de erros sao as seguintes:

(i) erros nos dados de entrada;

(ii) erros no estabelecimento do modelo matematico;

(iii) erros de arredondamento durante a computacao;

(iv) erros de truncamento, e

(v) erros humanos e de maquinas.

1.2.1 Erros de Truncamento

E o erro inerente ao metodo numerico. Surge cada vez que se substitui um procedimento matematicoinfinito por um processo finito ou discreto.

1.2.2 Erros de Aproximacao

A partir do momento que se calcula um resultado por aproximacao, e preciso saber como estimarou delimitar o erro cometido na aproximacao. Sem isso, a aproximacao obtida nao tem significado.

Para estimar ou delimitar o erro, recorre-se a dois conceitos: erro absoluto e erro relativo. Comefeito, seja x∗ um valor aproximado para uma quantidade cujo valor exato e x. Entao se define:

i) Erro absoluto - e a diferenca, em modulo, entre o valor exato e o valor aproximado de umnumero. Notacao: “∆”.

∆x = |x− x∗|

ii) Erro relativo - e a razao entre o erro absoluto e o valor exato de um numero. Esse erro efrequentemente dado como porcentagem, por exemplo, 3% de erro relativo significa que oerro e 0.03. Notacao: “ δ ”.

δx =∆x

x

Exemplo 1.1 Se x = 3, 251408 e x∗ = 3, 2524643, entao

∆x = |x− x∗| = 0, 0010554 = 1, 0554× 10−3


e

δx =∆x

x=

1, 0554× 10−3

3, 251408= 3, 24597836× 10−4,

ou seja, o erro relativo e de aproximadamente 0, 032%.

Proposicao 1.1 Sejam x e y valores exatos e x∗ e y∗ valores aproximados de dois numeros.Entao:

i) ∆(x+ y) = ∆x+∆y

ii) δ(x+ y) = δxx∗

x∗ + y∗+ δy

y∗

x∗ + y∗

iii) ∆(x− y) = ∆x−∆y

iv) δ(x− y) = δxx∗

x∗ − y∗+ δy

y∗

x∗ − y∗

v) ∆(xy) = x∗∆y + y∗∆x

vi) δ(xy) = δx+ δy

vii) ∆(xy

)≃ y∗∆x − x∗∆y

(y∗)2

viii) δ(xy

)= δx− δy

1.3 Sistemas de Numeracao Binario e Decimal

Um numero na base 2 e representado utilizando os dıgitos 0 e 1. Por exemplo, 101102 e um numerobinario. Para convertermos este numero binario para a base decimal (base 10), procedemos daseguinte forma:

101102 = 1× 24 + 0× 23 + 1× 22 + 1× 21 + 0× 20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22.

Como segundo exemplo, vamos obter a representacao decimal do numero binario 11.012. Nestecaso,

11.012 = 1× 21 + 1× 20 + 0× 2−1 + 1× 2−2 = 2 + 1 + 0 +1

4= 3.25.

A conversao de numeros decimais para numeros binarios e feita atraves de divisoes sucessivascomo mostrado na figura abaixo. O resultado e constituıdo pelos restos das divisoes tomados naordem inversa,

17 2

1 8 2

0 4 2

0 2 2

0 1 2

1 0

assim, temos que 17 = 100012.


Para o caso de numeros fracionarios, a conversao e feita utilizando as seguintes regras:

1- Multiplicar o numero fracionario por 2;

2- No resultado da multiplicacao, a parte inteira sera um dıgito binario;

3- Separar a parte fracionaria e repetir o processo ate que a parte fracionaria seja igual a 0.

Por exemplo, vamos transformar o numero decimal 0.1875 em um numero binario, ou seja,representado na base 2:

0.1875× 2 = 0.3750 parte inteira = 00.3750× 2 = 0.7500 parte inteira = 00.7500× 2 = 1.5000 parte inteira = 10.5000× 2 = 1.0000 parte inteira = 1

O processo termina porque a proxima parte fracionaria a ser utilizada e igual a 0. Assim, onumero 0.187510 e escrito como 0.00112.

1.4 Serie de Taylor

Uma funcao f(x) contınua e infinitamente derivavel, pode ser representada por uma serie depotencias da forma:

f(x) =

∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n , (1.1)

onde f (0)(a) = f(a), e f (n)(a) e a derivada de ordem n de f no ponto a. A equacao acima denomina-se serie de Taylor da funcao f em torno do ponto x = a. Quando a = 0, a serie recebe o nome deMaclaurin.

O emprego da serie de Taylor para representar f(x) esta limitado aos casos em que ela econvergente. Pela teoria das series de potencias, a serie de Taylor e convergente para os valores dex que satisfazem a desigualdade

|x− a| < r ,

onde r e o raio de convergencia da serie.Consegue se mostrar que

r = limn→∞(n+ 1)|f (n)(a)||f (n+1)(a)|

.

Se escrevermos h = x− a, a equacao (1.1) fica

f(a+ h) =

∞∑n=0

hnf (n)(a)

n!. (1.2)

Na aplicacao da serie de Taylor, torna-se impossıvel computar todos os seus termos. O que sefaz e considerar apenas um numero finito deles. Se a serie e truncada apos o n-esimo termo, tem-sea aproximacao:

f(a+ h) = f(a) + hf ′(a) +h2

2!f ′′(a) + · · ·+ hn−1

(n− 1)!f (n−1)(a).


Na aproximacao acima, comete-se um erro de truncamento, Rn(x), que e definido como

Rn(x) =f (n)(ξ)(x− a)n

n!, a < ξ < x . (1.3)

A equacao (1.3) e chamada formula de Lagrange para o erro de truncamento.Como ξ nao e conhecido explicitamente, a formula de Lagrange pode ser usada para delimitar

o erro, ou seja,

|Rn(x)| ≤M

n!(x− a)n , (1.4)

onde M = max |f (n)(t)| com a ≤ t ≤ x.

Exemplo 1.2 Desenvolver a funcao f(x) = ex em serie de Taylor em torno do ponto x = 0.Calcule e−1 usando da serie obtida, cinco termos, e delimite o erro cometido.

solucao:

Nesse caso,

f(x) = ex , a = 0 , e f(0) = f ′(0) = f ′′(0) = · · · = f (n)(0) = · · · = 1 .

Portanto,

ex = 1 + x+x2

2!+

x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ . . .

e o raio de convergencia da serie e infinito (verifique!). Entao

e−1 = 1− 1 +1

2!− 1

3!+

1

4!= 0, 375 .

Delimitacao do erro:

R5(−1) ≤ M

5!|(−1)5| .

Como M = max |et|, com −1 ≤ t ≤ 0, temos que M = 1, assim,

|R5(−1)| ≤ 0, 008333 .

1.5 Conclusao

Com essas ideias preliminares e que sao basicas em calculo numerico, o fluxograma apresentado noinıcio, que indicava as fases de resolucao de um problema real, pode agora ser assim reestruturado:

Problema Fısico

��Modelagem // Modelo Matematico

��Implementacao Computacional

do Metodo Numerico

��

Escolha do MetodoNumerico Adequado

oo

Analise dos Resultados // Solucao


1.6 Exercıcios

1. O que sao metodos numericos? Fale um pouco sobre algoritmos.

2. Que elementos constituem um metodo iterativo?

3. Quais as principais fontes de erros em metodos numericos? Exemplifique o erro de trunca-mento.

4. Converta os seguintes numeros decimais para a base binaria: x = 47, y = 93, z = 26.35 ew = 0.1217.

5. Converta os seguintes numeros binarios para a sua correspondente forma na base decimal:x = 1101012, y = 0.11012, z = 11100.11012 e w = 0.11111012.

6. Calcule a area de um cırculo de raio 100 m, utilizando os seguintes valores aproximados paraπ : 3.14, 3.1416, 3.14159 e 3.1415926.

7. Determine os erros absoluto e relativo do exercıcio anterior, considerando como valor exatoa area obtida atraves do ultimo valor de π.

8. Determine o raio e o intervalo de convergencia das series de Taylor abaixo:

a)∞∑n=1

(−1)nxn

2n

b)

∞∑n=0

(−2)nxn

c)

∞∑n=1

(x+ 2)n

2nn2

d)∞∑n=0

(−1)n(x− 1)n

n!

9. Encontre a serie de Maclaurin para as funcoes abaixo:

a) f(x) = e3x

b) f(x) = sen (2x)

c) f(x) =1

1 + 3x

d) f(x) = x sen (2x)

10. Desenvolva as funcoes abaixo em serie de Taylor, em torno do ponto dado:

a) f(x) = senx, c = π

b) f(x) =1

x, c = 1

c) f(x) = cosx, c = π


d) f(x) = ex, c = 3

11. Considere a funcao f(x) = lnx .

a) Desenvolva a funcao f(x) em serie de Taylor, em torno do ponto x = e;

b) Encontre o raio e o intervalo de convergencia da serie obtida no item anterior;

c) Expresse f ′(x) em termos de serie de potencias, e determine o seu domınio.

12. Considere a funcao f(x) =1

x.

a) Desenvolva a funcao f(x) em serie de Taylor, em torno do ponto x = 2;


c) Expresse f ′(x) e f ′′(x) em termos de serie de potencias.

13. Considere a funcao f(x) = e−2x .

a) Determine a serie de MacLaurin da funcao f(x);


c) Expresse f ′(x) em termos de serie de potencias, e determine o seu domınio.

14. Calcular o valor numerico de sen 2, usando a serie de Taylor da funcao senx (dada abaixo)com numero de termos variando de 2 a 10 termos. Calcular o erro absoluto para cada caso.Esbocar o grafico do valor do sen 2 calculado por serie de Taylor versus o numero de termospara verificar que ele converge para o valor exato com o aumento do numero de termos daserie.

senx =∞∑k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!, |x| < ∞ .

15. Calcular o valor numerico de ln(2, 1) empregando a serie de Taylor

lnx =∞∑k=1

(−1)k−1 (x− 1)k

k, 0 < x ≤ 2

com o numero de termos variando de 1 a 20 termos e calcular o erro absoluto para cada caso.Esbocar o grafico do valor do erro versus numero de termos. Observar pelo erro absoluto queo aumento do numero de termos nao melhora a precisao do resultado numerico ao contrariodo observado no exercıcio anterior. Explicar porque isto acontece.

Capıtulo 2

Resolucao Numerica de SistemasLineares

Metodos Diretos e Metodos Iterativos

O objetivo nesse capıtulo e apresentarmos metodos numericos para resolucao de sistemas lineares.Dependendo do metodo escolhido, buscaremos uma solucao exata ou uma solucao aproximada, oque nos permite definir duas classes de metodos: metodos diretos e metodos iterativos. No casodos metodos diretos, as solucoes nao apresentam nenhum tipo de erro de truncamento, ou seja, asolucao encontrada sera a solucao exata. Os erros que possam vir a ocorrer serao decorrentes damaquina empregada (erros de arredondamento).

Na segunda classe temos os chamados metodos iterativos, que diferente dos metodos diretos,nao produzem solucoes exatas e sim, solucoes aproximadas.

2.1 Metodo de Eliminacao de Gauss

Comecaremos nosso estudo com um metodo direto, o metodo da eliminacao de Gauss. Considere ositema linear abaixo:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

.... . .

...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

(2.1)

Podemos escrever o sistema (2.1) na forma matricial Ax = b( n∑

j=1

aijxj = bi, i = 1, 2, · · · , n),

onde A = [aij ]n×n, x = {xj}n×1 e b = {bi}n×1.

Sabemos da algebra linear que o sistema (2.1) admite solucao se detA = 0, ou seja, se A einvertıvel, e assim sua solucao e x = A−1b. Mas do ponto de vista computacional, calcular a inversade uma matriz e muito custoso e, para evitar esse problema, utilizaremos o metodo de eliminacaode Gauss.

Eliminacao Gaussiana

A ideia do metodo de Gauss e transformar o sistema dado num sistema triangular inferior (ousuperior), utilizando escalonamento de matrizes. Apos esse processo, teremos o seguinte sistema:

9

CAPITULO 2. RESOLUCAO NUMERICA DE SISTEMAS LINEARES 10

u11x1 + u12x2 + · · · + u1nxn = g1

u22x2 + · · · + u2nxn = g2...

. . ....

unnxn = gn

. (2.2)

Uma vez triangularizado o sistema, atraves do algoritmo da retrosubstituicao, encontramos asolucao procurada:

xi =

gi −n∑

j=i+1

uijxj

uii, i = n, n− 1, · · · , 2, 1,

onde

n∑j=i+1

uijxj = 0 sempre que j > n.

O que garante que o sistema Ax = b e equivalente ao sistema Ux = g e o processo de escalona-mento, onde o segundo sistema e obtido a partir do primeiro atraves de operacoes elementares.

Exemplo 2.1 Vamos utilizar o metodo de eliminacao de Gauss para resolver o seguinte sistemalinear

2x1 + x2 + x3 = 74x1 + 4x2 + 3x3 = 216x1 + 7x2 + 4x3 = 32

. (2.3)

Considerando a matriz ampliada do sistema, temos

[A | b] =

2 1 1 | 74 4 3 | 216 7 4 | 32

.

Passo 1: zerar a21 e a31

• defino 1 o pivo: a11 = 2

• defino os multiplicadores de linha =⇒

m21 = a21

a11= 4

2 = 2

m31 = a31a11

= 62 = 3

• defino as novas linhas da matriz =⇒

L

′2 = L2 −m21L1

L′3 = L3 −m31L1

apos estas operacoes teremos uma nova matriz

[A | b]′ =

2 1 1 | 70 2 1 | 70 4 1 | 11

.

Passo 2: zerar a′32

• defino 2 o pivo: a′22 = 2


• defino os multiplicadores de linha =⇒ m21 =a21a11

= 42 = 2

• defino as novas linhas da matriz =⇒ L′′3 = L

′3 −m32L

′2

e assim,

[A | b]′′ =

2 1 1 | 70 2 1 | 70 0 −1 | −3

= [U | g]

Usando o algoritmo da retrosubstituicao,

x3 =

g3 −

=0︷︸︸︷3∑

j=4

u3jxj

u33=

−3

−1= 3

x2 =g2 − u23 x3

u22=

7− 1(3)

2= 2

x1 =g1 − u12 x2 − u13 x3

u11=

7− 1(2)− 1(3)

2= 1

e a solucao do sistema (2.3) fica

x = (1, 2, 3)T ou x =

123

.

ALGORITMO DE GAUSS

Passo k: (O objetivo e eliminar xk das equacoes)

• i = k + 1, · · · , n, com n = dimA

• assumo a(k)kk = 0 → k o pivo

• definicao dos multiplicadores de linha =⇒ mik =a(k)ik

a(k)kk

, i = k + 1, · · · , n

• definicao das novas linhas da matriz =⇒

a(k+1)ij := a

(k)ij −mika

(k)kj

b(k+1)i := b

(k)i −mikb

(k)k

.


2.2 Decomposicao LU

“Toda matriz nao singular admite uma decomposicao em duas matrizes triangulares, uma superiore outra inferior”. Quem garante esse resultado e o proximo teorema.

Teorema 2.1 - Teorema de GaussSeja A uma matriz quadrada de ordem n tal que detA = 0. Sejam U uma matriz triangular

superior,

U =

{uij se i ≤ j0 se i > j

,

e L uma matriz triangular inferior unitaria,

L =

0 se i < j1 se i = jlij se i > j

.

Entao existe e e unica a decomposicao A = LU , onde U e a matriz resultante do processo deeliminacao gaussiana e lij = mij (multiplicadores de linha).

Aproveitando nosso ultimo exemplo, podemos encontrar a decomposicao LU da matriz associadaao sistema (2.3)

A =

2 1 14 4 36 7 4

=

L︷︸︸︷ 1 0 02 1 03 2 1

U︷︸︸︷ 2 1 1

0 2 10 0 −1

.

Exercıcio 2.1 Resolver o sistema linear abaixo atraves do metodo de eliminacao de Gauss uti-lizando quatro casas decimais de precisao na solucao.

x + y + z = 12x − y + 3z = 0−x + y − 5z = 2

.

2.3 Metodos Iterativos

Vamos agora introduzir dois novos metodos que pertencem a classe dos metodos iterativos. Estesmetodos nao mais resolvem o sistema exatamente, mas sim, a partir de uma estimativa inicial,constroem uma sequencia de aproximacoes que converge para a solucao exata do sistema. Devido aslimitacoes de memoria computacinal, esses metodos se mostram mais interessantes que os diretos, osquais gastam grande quantidade de memoria computacional (problemas de interesse da engenhariapossuem aproximadamente 105 incognitas).


Metodo de Gauss–Jacobi

Considere o sistema linear

n∑j=1

aijxj = bi , i = 1, 2, ... , n

Podemos escreve–lo como:

xi =1

aii

bi − n∑j=1j =i

aijxj

, i = 1, 2, ... , n

O metodo de G.J. usa a maneira de escrever um sistema linear para gerar uma sequencia deaproximacoes:

x(k+1)i =

1

aii

bi − n∑j=1j =i

aijx(k)j

︸︷︷︸

Formula de Gauss−Jacobi

, i = 1, 2, ... , n k = 0, 1, 2, ...

Exemplo 2.2 Resolva numericamente o sistema abaixo usando o metodo de Gauss-Jacobi.10x1 + 3x2 + x3 = 142x1 − 10x2 + 3x3 = −5x1 + 3x2 + 10x3 = 14

, chute: x(0) = (0, 0, 0)T , x(0) =

000

solucao:

Input: x(0) = (0, 0, 0)T

K = 0

x(1)1 = 1

a11

[b1 − a12x

(0)2 − a13x

(0)3

]= 1

10 (14− 3× 0− 1× 0) = 1, 4

x(1)2 = 1

a22

[b2 − a21x

(0)1 − a23x

(0)3

]= 1

−10 (−5− 2× 0− 3× 0) = 0, 5

x(1)3 = 1

a33

[b3 − a31x

(0)1 − a32x

(0)2

]= 1

10 (14− 1× 0− 3× 0) = 1, 4

Output: x(1) = (1, 4 , 0, 5 , 1, 4)T

Input: x(1) = (1, 4 , 0, 5 , 1, 4)T

K = 1

x(2)1 = 1

10 ( 14− 3× 0, 5− 1× 1, 4) = 1, 11

x(2)2 = 1

−10 ( −5− 2× (1, 4)− 3× (1, 4)) = 1, 20

x(2)3 = 1

10 ( 14− 1× (1, 4)− 3× (0, 5)) = 1, 11

Output: x(2) = (1, 11 , 1, 20 , 1, 11)T

Com algumas iteracoes do algoritmo, convergimos para x = (1, 1, 1)(T ). �


Exercıcio 2.2 Verifique que x(6)1 = 1, 000251, x

(6)2 = 1, 005795 e x

(6)3 = 1, 000251.

Metodo de Gauss–Seidel

Podemos construir uma variante do metodo de G.J. permitindo que as versoes atualizadas dascomponentes de x entre na computacao na mesma iteracao K na qual sao calculadas. Isto daorigem ao metodo de Gauss-Seidel.

Formula Gauss-Seidel :

x(k+1)i = 1

aii

bi −Termo novo︷︸︸︷

i−1∑j=1

aijx(k+1)j −

antigo︷︸︸︷n∑

j=i+1

aijx(k)j

, i = 1, 2, ... , n k = 0, 1, 2, ...

Exemplo 2.3 Refaca o exemplo anterior empregando agora o metodo GS:

Input: x(0) = (0, 0, 0)T

K = 0

x(1)1 = 1

a11

[b1 − a12x

(0)2 − a13x

(0)3

]= 1

10 (14− 3× 0− 1× 0) = 1, 4

x(1)2 = 1

a22

[b2 − a21x

(1)1 − a23x

(0)3

]= 1

−10 (−5− 2× 1, 4− 3× 0) = 0, 78

x(1)3 = 1

a33

[b3 − a31x

(1)1 − a32x

(1)2

]= 1

10 (14− 1× 1, 4− 3× 0, 78) = 1, 026

Output: x(1) = (1, 4 , 0, 78 , 1, 026)T

Input: x(1) = (1, 4 , 0, 78 , 1, 026)T

K = 1

x(2)1 = 1

10 ( 14− 3× (0, 78)− 1× (1, 026)) = 1, 0634

x(2)2 = 1

−10 ( −5− 2× (1, 0634)− 3× (1, 026)) = 1, 02048

x(2)3 = 1

10 ( 14− 1× (1, 0634)− 3× (1, 02048)) = 0, 98752

Output: x(2) = (1, 0634 , 1, 02048 , 0, 98752)T . �

Exercıcio 2.3 Verifique que x(5)1 = 0, 99979 , x

(5)2 = 0, 99985 e x

(5)3 = 1, 00007.

Estudo de Convergencia


Por se tratar de um metodo iterativo, necessitamos estabelecer criterios de parada parainterromper a computacao.

I) Controle do numero de iteracoes :

Se a estrutura de repeticao do programa exceder um dado numero de iteracoes, interrompemos acomputacao.

itera ≥ itera max → stop

II) Controle na precisao da solucao :

Se a diferenca, em modulo, entre duas aproximacoes consecutivas for menor que um parametropre-estabelecido ε > 0, finalize a computacao .

maxi

∣∣∣ x(k+1)i − x

(k)i

∣∣∣ ≤ ε → stop

Vantagens dos metodos iterativos :

• Em sistemas mal condicionados (detA ∼= 0), os erros de arredondamento normalmente de-stroem uma solucao direta. Ja as solucoes iterativas propagam pouco este tipo de erro;

• Caso a matriz for esparsa, tambem devemos optar por solucoes iterativas, pois nestas situacoeselas apresentam boa velocidade.

Desvantagens :

• Sua convergencia nao sera garantida;

• Para matrizes cheias, apresentam um numero maior de contas.

Comentario Importante :

Caso a solucao nao seja convergente, podemos tentar uma reorganizacao das equacoes antes deaplicarmos o metodo iterativo. Por exemplo, considere o sistema abaixo:

x1 + x2 + 3x4 = 55x1 + x2 − x3 − x4 = 4x1 − x2 + 5x3 − x4 = 4x1 − 7x2 + x3 + x4 = −4

Tomando chute x(0) = (0, 0, 0, 0)T , a solucao utilizando “GS” diverge, limk→∞

x(k) = x .Entretanto,

ao reordenamento do sistema, [L1 ↔ L2 , e depois, L4 ↔ L2]

1

15

1

(antes)

−→

5

−75

3

(depois)


a solucao converge para x = ( 1.0000 , 1.0000 , 1.0000 , 1.0000 )T , com 6 iteracoes.

Criterio de convergencia:

“Toda matriz diagonal dominante e convergente, para qualquer chute inicial.”

Condicao de diagonal dominante:

|aii| >n∑

j=1j =i

|aij | , ∀i = 1, 2, ... , n. (2.4)


2.4 Exercıcios

1. Resolver os sistemas abaixo pelo metodo de eliminacao de Gauss:

a)

10x1 + 2x2 + x3 = 1520x1 − 5x2 + 2x3 = 325x1 + 15x2 − 2x3 = 33

b)

3x1 + 10x2 + x3 = −16x1 − 5x2 + 10x3 = 1x1 + 2x2 + 5x3 = 2

c)

5x1 − 2x2 = 10

10x2 − 3x3 = −50−2x1 + 5x2 − 2x3 = 60

d)

50x1 − 5x2 + 2x3 = 300

− 2x2 + 5x3 = 1010x1 − 20x3 = −950

2. Encontre a decomposicao LU das matrizes dos coeficientes associados aos sistemas do exercıcioanterior.

3. Considere o seguinte sistema de equacoes lineares:x1 + 2x2 − x3 = 12x1 − x2 = 1

− x2 + 2x3 − x4 = 1− x3 + 2x4 = 1

a) Mostre que esse sistema nao satisfaz a condicao de diagonal dominante;

b) Se permutarmos as linhas desse sistema, podemos utilizar os metodos de Gauss-Jacobi eGauss-Seidel para resolve-lo tendo garantia de convergencia?

4. Considere o sistema linear abaixo:x1 − 3x2 + x3 − 4x4 = −1

x2 − 2x3 = 310x1 + x2 + x4 = −8x1 − x3 + 3x4 = 8

a) Resolva o sistema utilizando o metodo de eliminacao de Gauss;

b) Podemos determinar a solucao aproximada do sistema, usando o Metodo de Gauss-Seidelpara qualquer aproximacao inicial? Porque?


5. Considere o sistema linear abaixo:ax1 + 3x2 + x3 = 1ax1 + 8x2 + x3 = 2x1 + 2x2 + 4x3 = 3

a) Determine para que valores de a se tem garantia de que os metodos de Gauss-Seidel eGauss-Jacobi geram uma sequencia convergente, para qualquer aproximacao inicial;

b) Escolha o menor valor inteiro positivo de a e determine uma solucao aproximada do sistema,usando os metodos acima, com criterio de parada estabelecido pelo erro abaixo

maxi=1,··· ,3|xk+1i − xki | ≤ ε = 1× 10−3.

6. Considere o sistema linear abaixo:x1 − 2x2 − 5x3 + 18 = 0

−4x1 + x2 − 2x3 + 8 = 0−x1 + 5x2 + 2x3 − 15 = 0

.

Verifique que, para o sistema de equacoes dado, o metodo de Gauss-Jacobi e convergente.Utilize-o para obter uma aproximacao da solucao, x(1) , partindo da aproximacao x(0) =(1.05, 2.16, 3.0)T .

7. Considere o sistema de equacoes lineares AX = B, onde

A =

−1 2 45 −2 12 3 0

, X =

xyz

e B =

17.04.89.3

.

a) Verifique que e possıvel, partindo de um sistema de equacoes equivalente ao anterior,provar a convergencia do metodo de Gauss-Seidel para a solucao, X∗, do sistema;

b) Considerando X(0) = (0.6,−0.7, 0.2)T , determine X(1) utilizando Gauss-Seidel.

8. Explique a diferenca entre metodos diretos e metodos iterativos.

9. Descreva as vantagens e as desvantagens, caso existam, do metodo de eliminacao de Gauss.

Capıtulo 3

Zero de Funcoes

O estudo das equacoes algebricas e, juntamente com a trigonometria uma das areas mais antigasda matematica. Ainda na idade media, os matematicos arabes solucionaram a equacao do 2o grau,e na renascenca foram solucionadas as equacoes do 3o e 4o graus.

Apos muito esforco e dedicacao por parte dos que pesquisam matematica, ficou provado quepara equacoes de grau maior que 4, nao e possıvel obter uma solucao do tipo combinacao doscoeficientes da equacao. E justamente aı que surgem os metodos que capturam as raızrs dessasequacoes.

Estes metodos, tambem conhecidos como iterativos, constroem uma sequencia de aproximacoesque podera convergir para a solucao do problema. A seguir, serao apresentados 4 destes metodos:Bissecao, Falsa-Posicao, Iteracao Linear e Newton-Raphson.

raiz de uma equacao

Um escalar ξ e dito um zero de uma funcao f(x) (ou simplesmente raiz da equacao f(x) = 0), see somente se, f(ξ) = 0. Estes zeros sao representados geometricamente pela intersecao da funcaof(x) com o eixo x.

f(x)

x3

raízes simples

raiz múltipla

x1 x2

Figura 3.1: raızes simples e raız multipla

Conforme ilustrado na figura acima, temos dois tipos de raızes: simples (f ′(ξ) = 0) e multipla(f ′(ξ) = 0). Os dois primeiros metodos supracitados (Bissecao e Falsa-Posicao) so capturam raızessimples, enquanto que o ultimo (Newton-Raphson) captura ambas.

19

CAPITULO 3. ZERO DE FUNCOES 20

3.1 Metodo da Bissecao

Seja f(x) uma funcao contınua no intervalo [a, b] contendo apenas 1 raiz de f(x) (se f(a) · f(b) < 0entao existe 1 raiz simples no intervalo). A ideia do metodo e:

1. escolher [a, b] contendo ξ;

2. calcular o ponto medio do intervalo, c =a+ b

2;

3. quebrar o intervalo da seguinte forma

f(b) · f(c) > 0 ⇒ b := c

f(b) · f(c) < 0 ⇒ a := c

4. reinicie o algoritmo.

Exemplo 3.1 Aproxime a raiz ξ da equacao ex − 4x = 0, sabendo que ξ ∈ [0, 0.5].

1o passo

a = 0 b = 0.5 c = 0.25

f(a) = 1 f(b) = −0.3513 f(c) = 0.2840f(b) · f(c) < 0 ⇒ a := c

2o passo

a = 0.25 b = 0.5 c = 0.3750

f(a) = 0, 2840 f(b) = −0.3513 f(c) = −0.0450f(b) · f(c) > 0 ⇒ b := c

3o passo

a = 0.25 b = 0.3750 c = 0.3125

f(a) = 0.2840 f(b) = −0.0450 f(c) = 0.1168f(b) · f(c) < 0 ⇒ a := c

...

criterios de parada

Se ξ e a aproximacao da raiz ξ da equacao f(x) = 0 pertencente ao intervalo [a, b], entao temosdois criterios de parada:

I) |f(ξ)| ≤ ε

II) |b− a| ≤ ε,

onde ε e um parametro pre-estabelecido.


a

bc

raiz

f(a)

f(b)

f(x)

Figura 3.2: novo ponto “c” escolhido

3.2 Metodo da Falsa-Posicao

E uma variante do metodo da bissecao, na medida em que utiliza o mesmo algoritmo que o metododa bissecao, diferindo apenas na escolha do ponto “c”, que passa a ser a raiz da secante que liga ospontos

(a, f(a)

)e(b, f(b)

). Veja a figura 3.2.

O novo valor de “c” sera dado por

c =f(b)a− f(a)b

f(b)− f(a).

Exercıcio 3.1 Verifique que com o metodo da falsa-posicao, apos 3 iteracoes, o exemplo anteriornos leva ao seguinte resultado: c = 0.3575 e f(c) = −0.0002.

ALGORITMO BISSECAO

entrada: (f(x),a,b,aux)

defina c:= (a+b)/2;

se |b-c| <= aux entao raiz:= c e stop;

caso contrario,

se f(b)f(c) < 0 entao a:=c;

caso contrario, b:=c;

fim-se;

fim-se;

reinice o algoritmo

ALGORITMO FALSA-POSICAO

entrada: (f(x),a,b,aux)

defina c:= (f(b)a-f(a)b)/(f(b)-f(a));


se |b-c| <= aux ent~ao raiz:= c e stop;

caso contrario,

se f(b)f(c) < 0 ent~ao a:=c;

caso contrario, b:=c;

fim-se;

fim-se;

reinice o algoritmo

Exercıcio 3.2 Encontre as raızes das equacoes abaixo:

a) x3 − 9x+ 3 = 0;

b) x3 − 11x2 + 39x− 45 = 0;

c) x3 − 5x2 + 17x+ 21 = 0;

d) e−x − x = 0.

3.3 Metodo da Iteracao Linear

Vamos estudar agora os chamados metodos do ponto fixo. O mais simples deles e o metodo daiteracao linear, o qual, mesmo nao tendo boa eficiencia computacional, e importante para a in-troducao do metodo de Newton-Raphson.

Inicialmente, vamos reescrever o problema “Encontrar ξ ∈ R tal que f(ξ) = 0” como “Encontrarξ ∈ R tal que ξ = φ(ξ)”, onde φ(x) e uma funcao de iteracao da equacao f(x) = 0.

Pra tornar estes problemas equivalente, facamos f(x) = x−φ(x), assim, como f(ξ) = 0, temos

que ξ − φ(ξ) = 0 e, portanto, ξ = φ(ξ) .

Exemplo 3.2 Considere a equacao x2 + x − 6 = 0. A sua funcao de iteracao e a funcao φ(x) =√6− x.

Uma vez determinada φ(x), o M.I.L. consiste em construir uma sequencia de aproximacoes

{xi}i∈N a partir de um chute inicial x0 e gerada atraves da relacao recursiva xi+1 := φ(xi) ,i = 0, 1, 2, · · · .

No exemplo acima, partindo de x0 = 1, 5 terıamos

1. x1 = φ(x0) =√6− 1.5 = 2.1213;

2. x2 = φ(x1) =√6− 2.1213 = 1.9694;

3. x3 = φ(x2) =√6− 1.9694 = 2.0076;

4. x4 = φ(x3) =√6− 2.0076 = 1.9981;

5. x5 = φ(x4) =√6− 1.9981 = 2.0005;

e, portanto podemos perceber que o processo converge para ξ = 2.Entretanto, o M.I.L. nao e incondicionalmente convergente como os metodos da bissecao e falsa-

posicao. Ao tomarmos como funcao de iteracao φ(x) = 6−x2 (note que φ(x) nao e unica), geramosum processo iterativo divergente, verifique!


estudo da convergencia

Como vimos, φ(x) nao e unica. Na verdade, sua forma geral e dada pela relacao

φ(x) = x+A(x)f(x),

com A(ξ) = 0. Podemos mostrar a equivalencia entre os problemas f(ξ) = 0 e ξ = φ(ξ) da seguintemaneira

I) Seja ξ tal que f(ξ) = 0, entao

φ(ξ) = ξ +A(ξ) f(ξ)︸︷︷︸=0

∴ ξ = φ(ξ).

II) Seja ξ tal que ξ = φ(ξ), entao

φ(ξ) = ξ +A(ξ)f(ξ) ∴ 0 = φ(ξ)− ξ = A(ξ)f(ξ),

e como A(ξ) = 0, temos que f(ξ) = 0. �

A interpretacao grafica do problema de ponto fixo e a intersecao da curva y = φ(x) com a retay = x, conforme ilustra a figura 3.3:

y= (x)ϕ

00i

situação convergente, lim xi = ξ00i

situação divergente, lim x i ≠ ξ

y= (x)ϕ

xx x x12 0x

y

y=x

y

x x x1ξ ξ

ξ=ϕ (ξ) ξ=ϕ (ξ)

2 0

y=x

Figura 3.3: interpretacao grafica do MIL

Estas figuras sugerem que, para gerarmos um processo convergente, devemos ter baixas derivadasde φ(x) na vizinhanca de ξ. Esta sugestao e confirmada pelo teorema de convergenica do M.I.L.

Teorema 3.1 Teorema de Convergencia do M.I.L. - Seja ξ uma raiz de f(x) = 0 isolada nointervalo [a, b] centrado em ξ. Seja φ(x) uma funcao de iteracao de f(x) = 0. Se:

I) φ(x) e tal que φ′(x) ∈ C0[a, b];

II) |φ′(x)| ≤ M < 1, ∀x ∈ [a, b];

III) x0 ∈ [a, b],

entao a sequencia {xi} gerada pelo processo xi+1 := φ(xi) converge para ξ.


criterios de parada

O M.I.L utiliza os seguintes criterios de parada:

I) |xi+1 − xi| ≤ ε;

II) |f(ξ)| ≤ ε,

onde ε e um parametro pre-estabelecido.

Observacao 3.1 Devemos ser cuidadosos com o 1o criterio, pois em algumas situacoes ele naocorresponde a |xi − ξ| ≤ ε, conforme ilustra a figura abaixo.

xi+1 xiξ

ε

x

y

ϕ(ξ)

Figura 3.4: criterio de parada do MIL

ALGORITMO MIL

entrada(f(x),Phi(x),raiz,x0,aux)

1. se |f(x0)| <= aux entao raiz:= x0 e stop;

2. caso contrario

3. defina k=1;

4. xk:= Phi(k-1);

5. se (|f(xk)| <= aux .ou. |xk-x0| <= aux) entao

6. raiz:= xk e stop;

7. caso contrario

8. k:=k+1;

9. ir para o passo 4;

10. fim-se;

11. fim-se;

12. fim-se.


3.4 Metodo de Newton-Raphson

Vimos que o M.I.L. tem convergencia lenta e nao garantida. A ideia do metodo de Newton econstruir um metodo de ponto fixo que garanta e acelere a convergencia do processo iterativolinear. Isto sera feito impondo que a derivada da funcao de iteracao seja nula em x = ξ, ou seja,φ′(ξ) = 0.

Ja sabemos que φ(x) = x+A(x)f(x), portanto,φ′(x) = 1 +A′(x)f(x) +A(x)f ′(x)

∴ φ′(ξ)︸︷︷︸=0

= 1 +A′(ξ) f(ξ)︸︷︷︸=0

+A(ξ)f ′(ξ)

∴ A(ξ)f ′(ξ) = −1

∴ A(ξ) =−1

f ′(ξ).

Logo, a funcao de iteracao do metodo de Newton sera dada por

φN (x) = x− f(x)

f ′(x),

e a sequenia de aproximacoes {xi}i∈N de Newton sera gerada pela relacao recursiva

xi+1 = φN (xi), i = 0, 1, 2, · · · ,

e assim, temos a formula de Newton-Raphson

xi+1 = xi −f(xi)

f ′(xi). (3.1)

Exercıcio 3.3 Utilize expansao em serie de Taylor para deduzir a formula de Newton-Raphson.

interpretacao geometrica

As aproximacoes futuras geradas pela formula de Newton serao as raızes das tangentes a curvay = f(x) avaliadas nas aproximacoes atuais xi, conforme mostra a figura a seguir,

Calculando a derivada de f(x) e avaliando em xi, temos

f ′(xi) = tan θ =

=0︷︸︸︷f(xi+1)−f(xi)

xi+1 − xi

xi+1 − xi = − f(xi)

f ′(xi)

xi+1 = xi −f(xi)

f ′(xi).


xixi+1

f(x )i

ξ

y=f(x)

θ

Figura 3.5: criterio de parada do MIL

Exemplo 3.3 Considere ainda o exemplo 3.2, no qual a partir de uma estimativa inicial x0 = 1.5,desejamos obter numericamente a raiz ξ = 2 da equacao x2 + x − 6 = 0. Aplicando o metodo deNewton-Raphson, temos

xi+1 = xi −f(xi)

f ′(xi)

⇒ xi+1 = xi −x2i + xi − 6

2xi + 1=

x2i + 6

2xi + 1,

e assim, teremos a seguinte sequencia

x1 = φ(x0) = 2.06250;

x2 = φ(x1) = 2.00076;

x3 = φ(x2) = 2.00000.

Observe que, com apenas 3 iteracoes, obtemos ξ = 2 com precisao de 5 casas decimais!

Para uma pequena analise de convergencia, apresentamos o teorema abaixo, que descreve ascondicoes para que o metodo de Newton-Raphson seja convergente.

Teorema 3.2 Sejam f(x), f ′(x), f ′′(x) ∈ C0[a, b] e seja ξ ∈ [a, b] raiz da equacao f(x) = 0.Suponha que f ′(x) = 0. Entao existe um intervalo I ⊂ [a, b] tal que ξ ∈ I e se x0 ∈ I, a sequencia{xi} gerada pela formula recursiva xi+1 := φ(xi), ∀i, ira a convergir para a raiz ξ.

3.5 Exercıcios

1. De um exemplo de uma funcao f(x) que tenha pelo menos uma raiz, mas que nao pode serdeterminada usando o metodo da bissecao.

2. A equacao x2 − 7x+ 12 = 0 tem 3 e 4 como raızes. Considere a funcao de iteracao dada porφ(x) = x2 − 6x+ 12. Determine o intervalo (a, b) onde, para qualquer que seja x0 escolhido,a sequencia xn+1 = φ(xn) converge para a raiz x = 3.


3. Seja f(x) = ex + x− 3.

a) Prove, analiticamente, que a equacao f(x) = 0 tem, no intervalo [0, 1], apenas uma raiz,α;

b) Aproxime α utilizando o metodo da bissecao com 6 iteracoes.

4. Considere a equacao x3 + 3x+ 3 = 0.

a) Justifique analiticamente que a equacao tem uma unica raiz real, α, pertencente ao intervalo[−1,−0.1].

b) Utilize o metodo de Newton-Raphson para aproximar a raiz α calculando apenas duasiteracoes, x1 e x2. Escolha o chute inicial x0.

5. Considere a equacao e−x − x = 0.

a) Justifique analiticamente que a equacao tem uma unica raiz real, α, pertencente ao intervalo[0.3, 0.6].

b) Quantas iteracoes teria de calcular pelo metodo da bissecao de modo a obter uma aprox-imacao de α com 3 casas decimais significativas, sabendo que, com 4 casas decimais significa-tivas uma aproximacao para α e 0, 5672.

6. Determine um intervalo (a, b) e uma funcao de iteracao φ(x) associada, de tal forma que,∀x0 ∈ (a, b), a funcao de iteracao gere uma sequencia convergente para a(s) raız(es) de cadauma das funcoes abaixo, usando o metodo iterativo linear (MIL) com tolerancia ε ≤ 1×10−3:

a) f1(x) =√x− e−x;

b) f2(x) = ln(x)− x+ 2;

c) f3(x) = ex2 − x3;

d) f4(x) = sen (x)− x2;

e) f5(x) =x

4− cos(x).

7. Determine a(s) raiz(es) da funcao f1(x), usando o metodo da bissecao e o metodo da falsaposicao com tolerancia ε ≤ 1× 10−3. Quantas iteracoes foram necessarias para cada um dosmetodos?

8. Determine as raızes do exercıcio (6), usando o metodo de Newton-Raphson.

9. Determine o ponto de intersecao entre as funcoes f1(x) e f2(x), f2(x) e f3(x) e entref1(x), f2(x) e f3(x).

10. Defina raiz simples e raiz multipla em termos de multiplicidade algebrica. Interprete geome-tricamente cada uma delas.

Capıtulo 4

Aproximacao de Funcoes

A teoria de interpolacao tem importantes aplicacoes nas ciencias exatas. Uma delas e fornecerferramentas matematicas para o desenvolvimento de metodos numericos, nas areas de integracaonumerica, teoria de aproximacao e solucao de equacoes diferenciais.

Um 2o uso importante e desenvolver maneiras de trabalhar com funcoes tabeladas, por exemplo,interpolar linearmente uma tabela de logaritmos. Entretanto, esta aplicacao cai cada vez mais emdesuso com a popularizacao das maquinas de calcular.

4.1 Teoria de Interpolacao

Definicao 4.1 (Interpolacao) - Dado um conjunto de pontos suporte (xi, yi), i = 0, 1, 2, · · · , n, deuma certa funcao y = f(x), deseja-se calcular uma aproximacao para f(x), x = x, empregando ospontos dados. Para tal, construımos uma funcao φ(x) que interpola f(x) da seguinte maneira

i) φ(xi) = f(xi), ∀xi, i = 0, 1, · · · , n;

ii) φ(x) ∼= f(x), ∀x = xi, i = 0, 1, · · · , n.

Má aproximaçãoBoa aproximação

y

x

y

x

ψ= (ξ)ϕ

ψ= (ξ)ϕ

y=f(x)

y=f(x)

Figura 4.1: exemplos de interpolacao

A funcao interpolante pode pertencer a varias famılias:

a) φ(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn

28

CAPITULO 4. APROXIMACAO DE FUNCOES 29

b) φ(x) = a0 + a1ex + a2e

2x + · · ·+ anenx

c) Splines: colagem de polinomios.

problema de interpolacao geral

A partir de uma tabela com n+1 pontos de suporte, deseja-se escolher n+1 funcoes de base φj(x),cuja combinacao linear sera usada para aproximar a funcao f(x),

φ(x) =

n∑j=0

ajφj(x) = a0φ0(x) + a1φ1(x) + · · ·+ anφn(x),

φj(x) - funcoes de base “dadas” (conhecidas);aj - coeficientes incognitos.

4.2 Interpolacao Polinomial

A escolha mais frequente para as chamadas funcoes de base, φj(x), sao os monomios φj(x) =xj , j = 0, 1, · · · , n, assim, o problema de interpolacao passa a ser expresso por

φ(x) =n∑

j=0

ajxj = a0 + a1x+ · · ·+ anx

n.

O problema e determinarmos os coeficientes aj !Para encontrarmos esses coeficientes, usamos a definicao de interpolacao, que diz que φ(x) passa

por todos os pontos suporte, ou seja,

φ(xi) = yi, i = 0, 1, · · · , n,

portanto,n∑

j=0

aj(xji ) = yi, i = 0, 1, · · · , n,

e assim, temos o seguinte sistema linear

a0x00 + a1x

10 + · · ·+ anx

n0 = y0

a0x01 + a1x

11 + · · ·+ anx

n1 = y1

a0x02 + a1x

12 + · · ·+ anx

n2 = y2

.... . .

...

a0x0n + a1x

1n + · · ·+ anx

nn = yn

(4.1)

que tambem pode ser escrito na forma matricial abaixo


1 x10 · · · xn0

1 x11 · · · xn1

1 x12 · · · xn2...

.... . .

...

1 x1n · · · xnn

a0

a1

a2...

an

=

y0

y1

y2...

yn

.

A primeira matriz que aparece acima e denominada Matriz de Vander-Monde.

Exemplo 4.1 Polinomio Linear

Encontre o polinomio linear que interpola a funcao y = ex no intervalo [0, 2].

solucao:

polinomio linear: 2 pontos suporte apenas

xi yix0 = 0 y0 = e0 = 1x1 = 2 y1 = e2 = 7, 3891 1 0

1 2

a0

a1

=

1

7, 3891

∴ a0 = 1 e a1 = 3, 1946, e portanto, o polinomio interpolante sera

φ(x) = 1 + 3, 1946x.

�

unicidade do polinomio interpolador

Elevando o grau n de φ(x) esbarramos em dois problemas. O primeiro consiste em gerar sistemaslineares muito grandes que deverao ser resolvidos, o que pode acontecer se utilizarmos um bomcodigo de resolucao de sistemas. O segundo problema esta intimamente ligado a estrutura da matrizdos coeficientes, que para n muito grande, torna a matriz mal-condicionada limitando o calculo deφ(x) somente para n pequenos.

Antes, porem, de apresentarmos outras formulas para φ(x), vamos enunciar o teorema daunicidade do polinomio interpolador, que vai garantir a existencia de um unico φ(x) para ummesmo conjunto de pontos suporte.

Teorema 4.1 Existencia e Unicidade do Polinomio InterpoladorPara n + 1 pontos suporte (xi, yi), i = 0, 1, · · · , n, xi = xj, existe e e unico o interpolante

φ(x) ∈ Pk(x), k ≤ n, tal que φ(xi) = yi, i = 0, 1, · · · , n.


4.3 Formula de Lagrange

A formula de Lagrange para o caculo de φ(x) utiliza os chamados polinomios de Lagrange,

Lj(x) =

n∏k=0k =j

x− xkxj − xk

.

A expressao do polinomio interpolador sera dado por

φ(x) =

n∑j=0

yjLj(x).

Observacao 4.1 O polinomio de Lagrange tem a propriedade do delta de Kroenecker

Lj(xi) = δij =

{1 , i = j0 , i = j

Verifique! Em seguida, mostre que a formula de Lagrange passa por todos os pontos suporte, ouseja, φ(xi) = yi, ∀i.

Exemplo 4.2 Interpolar a funcao log10 x no intervalo [2, 3] usando apenas dois pontos suporte:

solucao:

xi yix0 = 2 y0 = log10 2 = 0.301x1 = 3 y1 = log10 3 = 0.477

Portanto, φ(x) = 0.301L0(x) + 0.477L1(x).

Calculando os polinomios de Lagrange L0(x) e L1(x),

L0(x) =x− x1x0 − x1

=x− 3

2− 3= −(x− 3),

L1(x) =x− x0x1 − x0

=x− 2

3− 2= x− 2,

e portanto, φ(x) = −0.301(x− 3) + 0.477(x− 2).

4.4 Diferenciacao Numerica

Comecemos esse capıtulo relembrando a definicao de derivada de uma funcao real f(x)

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

o que nos motiva a aproximar essa derivada da seguinte maneira:

∆1 ≡ f(x+ h)− f(x)

h, (4.2)


desde que h > 0 seja um parametro muito pequeno. Mas sera que essa aproximacao e boa? Vamosresponder essa pergunta utilizando expansao em serie de Taylor:

f(x+ h) = f(x) + hf ′(x) +h2

2f ′′(ξ), ξ ∈ (x, x+ h)

⇒ f(x+ h)− f(x) = hf ′(x) +h2

2f ′′(ξ),

dividindo tudo por h temos

f(x+ h)− f(x)

h= f ′(x) +

h

2f ′′(ξ),

o que nos motiva a definir o erro da aproximacao 4.2 como

e =h

2f ′′(ξ).

Isto significa que se desejamos obter um erro, por exemplo, 10 vezes menor, temos que reduzir hna mesma proporcao, o que, de certa forma, empobrece a aproximacao 4.2. Mas, e se conseguirmosuma aproximacao cujo erro seja proporcional a h2? Com certeza o erro diminuiria muito mais rapidocomparado a diminuicao do parametro h.

Vamos considerar uma funcao real f(x) e a reta r que liga os pontos (x − h, f(x − h)) e(x+ h, f(x+ h)), onde h e um parametro positivo suficientemente pequeno.

x+hx−h

f(x−h)

f(x+h)

reta r

x

y

x

f(x)

Figura 4.2: interpretacao geometrica da formula de diferencas centradas

Qual e a inclinacao da reta r? E o que acontece quando h → 0? Podemos observar no graficoacima que a reta r tem como coeficiente angular

m =f(x+ h)− f(x− h)

2h,

e assim, r tende para a reta tangente a curva no ponto x, ou seja, m → f ′(x), o que significa quepodemos aproximar a derivada de f(x) da seguinte maneira:

∆2 =f(x+ h)− f(x− h)

2h. (4.3)

Vamos agora verificar a ordem do erro da aproximacao 4.3. Considerando o intervalo (x−h, x+h)e assumindo f(x) uma funcao suficientemente regular, podemos novamente utilizar expansao emserie de Taylor:


f(x+ h) = f(x) + hf ′(x) +h2

2f ′′(x) +

h3

3!f ′′′(ξ),

f(x− h) = f(x)− hf ′(x) +h2

2f ′′(x)− h3

3!f ′′′(ξ),

onde ξ ∈ (x− h, x+ h).

Subtraindo a segunda da primeira equacao, temos

f(x+ h)− f(x− h) = 2hf ′(x) + 2h3

6f ′′′(ξ),

e dividindo tudo por 2h obtemos

f(x+ h)− f(x− h)

2h= f ′(x) +

h2

6f ′′′(ξ),

e portanto, o erro e da ordem de h2.

Os operadores (aproximacoes) ∆1 e ∆2 sao denominados operadores de diferencas finitasde 1a e 2a ordem, respectivamente.

operador de diferencas finitas de ordem n

Se considerarmos um conjunto de pontos suporte (xi, f(xi)), e aplicarmos o operador ∆1 teremos

∆1(f(xi)) =f(xi+1)− f(xi)

xi+1 − xi,

ou ainda,

∆1fi =fi+1 − fixi+1 − xi

.

Podemos generalizar o operador ∆ atraves da tabela abaixo:

∆0fi , fi

∆1fi =fi+1 − fixi+1 − xi

∆2fi = ∆1[∆1fi] =∆1fi+1 −∆1fi

xi+2 − xi

...

∆nfi = ∆1[∆n−1fi] =∆n−1fi+1 −∆n−1fi

xi+n − xi.

(4.4)

Usando ainda a notacao ∆nfi = f [xi, xi+1, · · · , xi+n], podemos reescrever a tabela 4.4 como:


∆0fi = f [xi]

∆1fi = f [xi, xi+1]

∆2fi = f [xi, xi+1, xi+2] =f [xi+1, xi+2]− f [xi, xi+1]

xi+2 − xi

...

∆nfi = f [xi, xi+1, · · · , xi+n] =f [xi+1, xi+2, · · · , xi+n]− f [xi, xi+1, · · · , xi+(n−1)]

xi+n − xi.

(4.5)

Podemos representar as diferentes ordens do operador ∆ atraves da seguinte tabela:

i xi fi f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] · · · f [xi, xi+1, · · · , xi+n]

0 x0 f0 f [x0, x1] f [x0, x1, x2] · · · f [x0, x1, · · · , xi+n]

1 x1 f1 f [x1, x2] f [x1, x2, x3] · · ·2 x2 f2 f [x2, x3] f [x2, x3, x4] · · ·...

......

......

n− 1 xn−1 fn−1 f [xn−1, xn]

n xn fn

Exercıcio 4.1 Dados os pontos de suporte abaixo, monte sua tabela de diferencas finitas:

i xi fi

0 0.2 1.22

1 0.4 1.49

2 0.6 1.82

3 0.8 2.23

4 1.0 2.72

4.5 Formula de Newton

Newton teve a ideia de usar o conceito de diferencas finitas escrevendo o polinomio interpoladorcomo sendo a seguinte combinacao linear

φ(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)(x− x1) + · · ·+ an(x− x0)(x− x1) · · · (x− xn−1),

com os coeficientes aj calculados a partir do operador ∆.

Nos faremos a construcao de φ(x) de maneira indutiva. Inicialmente, construimos φ0(x) queinterpola f(x) em x0 e em x1, e assim sucessivamente construimos φk(x) que interpola f(x) emx0, x1, · · · , xk, k = 0, 1, · · · , n.

Antes de iniciarmos, e util observar que ∆ e invariante a ordenacao dos pontos suporte xi, porexemplo:

∆fi = f [xi, xi+1] =fi+1 − fixi+1 − xi

=(−1)(fi − fi+1)

(−1)(xi − xi+1)= f [xi+1, xi].


construcao do polinomio interpolador

I) Seja φ0(x) o interpolante de f(x) em x = 0. Sabemos que

f [x0, x] =f(x)− f(0)

x− x0

e portanto,f(x) = f0 + f [x0, x](x− x0),

assim, podemos afirmar que φ0(x) = f0 = f [x0] e que e0(x) = f [x0, x](x − x0) (funcao erroque se anula em x = x0).

II) Seja, agora, φ1(x) o interpolante para f(x) em x0 e em x1. Sabemos que

f [x0, x1, x] = f [x1, x0, x] =f [x0, x]− f [x1, x0]

x− x1

=

f(x)− f(0)

x− x0− f [x0, x1]

x− x1

=f(x)− f0 − f [x0, x1](x− x0)

(x− x1)(x− x0),

portanto,f [x0, x1, x](x− x0)(x− x1) = f(x)− f0 − f [x0, x1](x− x0),

e assim,f(x) = f0 + f [x0, x1](x− x0) + f [x0, x1, x](x− x0)(x− x1).

Concluimos que φ1(x) = f0 + f [x0, x1](x − x0) e que e1(x) = f [x0, x1, x](x − x0)(x − x1)(funcao erro que se anula em x = x0 e x = x1).

III) Generalizando, temos

φn(x) = f0 + f [x0, x1](x− x0) + · · ·+ f [x0, x1, · · · , xn](x− x0) · · · (x− xn−1),

ou ainda

Polinomio de Newton︷︸︸︷φn(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)(x− x1) + · · ·+ an(x− x0)(x− x1) · · · (x− xn−1),

(4.6)

onde a0 = f [x0], a1 = f [x0, x1], a2 = f [x0, x1, x2], · · · , an = f [x0, x1, x2, · · · , xn].

Exercıcio 4.2 Construa um interpolante para a tabela abaixo usando poliomio de Newton:

xi fi

6 0.70

7 0.63

8 0.57

9 0.50


4.6 Ajuste de Curvas

Nas primeiras secoes desse capıtulo, estudamos como interpolar uma funcao f(x) a partir de umconjunto de pontos suporte. Nas proximas secoes, aprenderemos como ajustar uma curva por entreestes pontos, sem necessariamente passar por todos eles.

y=f(x)

y=f(x)yy

x x

INTERPOLAÇÃO AJUSTE

Figura 4.3: diferenca entre interpolacao e ajuste

Em geral, esta tecnica se aplica a um conjunto de dados experimentais (xi, yi), i = 0, 1, · · · , nos quais desejamos aproximar sua lei de comportamento y = f(x) e a partir daı, calcular f(x) paraqualquer valor de x.

Considere, agora, a figura 4.6. Sabemos que a funcao f(x) e linear, mas qual das retas r1 ou r2melhor a aproxima.

r1

r2

x

y

Para solucionarmos este problema, tems que definir este tipo de conceito: “o de melhor aprox-imacao”.

4.6.1 Criterios de Ajuste

Vamos estabelecer alguns criterios de “melhor” ajuste de uma curva y = φ(x) a um conjunto depontos suporte. Sera util definirmos o conceito de resıduo, ou erro, em cada ponto:

Rk = φ(xk)− yk, k = 0, 1, · · · , n.


I) resıduos nulos (interpolacao)

Rk = 0

ouφ(xk)− yk = 0

, k = 0, 1, · · · , n.

Este criterio nao deve ser utilizado, pois nos leva a um problema de interpolacao.

II) soma dos resıduos mınima

n∑k=0

Rk = mın

oun∑

k=0

(φ(xk)− yk

)= mın

Este criterio e simples, porem e sensıvel ao sinal dos resıduos, conforme ilustra a situacao abaixo:

x

yy=f(x)

y= (x)ϕϕ

ϕ(x0) = y1

(x1) = y0

x0 x1

n=1∑k=0

Rk =(φ(x0)− y0

)+

(φ(x1)− y1

)=

(φ(x0)− y1

)+

(φ(x1)− y0

)= 0

Resıduo global pequeno, porem, pessimo ajuste!

III) soma dos quadrados dos resıduos mınima

m∑k=0

R2k = mın

oum∑k=0

(φ(xk)− yk

)2= mın

Este criterio da origem ao metodo conhecido como metodo dos mınimos quadrados. Este metodosurge em varias areas da ciencias exatas com nomes diferentes: regressao linear, suavizacao de dados,otimizacao, etc...

Ele se baseia em aproximar uma funcao f(x) pela combinacao linear

φ(x) =

n∑j=0

ajφj(x),


onde os coeficientes aj sao as incognitas do problema de ajuste e φj(x) sao funcoes de base con-hecidas (escolhidas de acordo com o fenomeno estudado).

Para determinarmos os coeficientes aj′s, usamos o criterio de mınimos quadrados:

m∑k=0

R2k = mın

oum∑k=0

( n∑j=0

(ajφj(xk)− yk

)2)= mın

O ultimo somatorio acima tambem pode ser escrito da seguinte forma (veja o Apendice A):

m∑k=0

n∑j=0

ajφj(xk)φi(xk) =

m∑k=0

ykφi(xk), i = 0, 1, · · · , n,

assim,n∑

j=0

[ m∑k=0

φi(xk)φj(xk)]{

aj}=

{ m∑k=0

φi(xk)yk

}, i = 0, 1, · · · , n,

que na sua forma matricial pode ser escrito como

m∑k=0

φ0(xk)φ0(xk)m∑k=0

φ0(xk)φ1(xk) · · ·m∑k=0

φ0(xk)φn(xk)

m∑k=0

φ1(xk)φ0(xk)

m∑k=0

φ1(xk)φ1(xk) · · ·m∑k=0

φ1(xk)φn(xk)

......

. . ....

m∑k=0

φn(xk)φ0(xk)m∑k=0

φn(xk)φ1(xk) · · ·m∑k=0

φn(xk)φn(xk)

·

a0

a1

...

an

=

m∑k=0

φ0(xk)yk

m∑k=0

φ1(xk)yk

...m∑k=0

φn(xk)yk

.

PROBLEMA DE AJUSTE GERAL

4.6.2 Ajuste Polinomial

Afim de construir uma aproximacao φ(x) polinomial, particularizaremos o problema geral de ajusteconsiderando as funcoes de base monomios da forma xj :

φj(x) = xj , j = 0, 1, · · · , n,

obtendo o seguinte problema polinomial de ajuste


m+ 1

m∑k=0

xk

m∑k=0

x2k · · ·m∑k=0

xnk

m∑k=0

xk

m∑k=0

xkxk

m∑k=0

xkx2k · · ·

m∑k=0

xkxnk

......

.... . .

...

m∑k=0

xnk

m∑k=0

xnkxk

m∑k=0

xnkx2k · · ·

m∑k=0

xnkxnk

·

a0

a1

...

an

=

m∑k=0

yk

m∑k=0

xkyk

...m∑k=0

xnkyk

.

Observacao 4.2 I) Tanto o problema geral como o polinomial, geram matrizes simetricas, oque facilita bastante a solucao numerica do sistema linear.

II) Podemos estimar o grau do polinomio a ser ajustado atraves do grafico dos pontos de suporte.

Exemplo 4.3 O numero de bacterias, por unidade de volume, existentes em uma cultura apos xhoras e dado na tabela abaixo:

numero de horas 0 1 2 3 4 5 6

numero de bacterias 32 34 37.5 39 43 47 50

Estime o numero de bacterias (por unidade de volume) existentes na cultura apos um perıodode 24 horas.

solucao:

Podemos ver atraves do grafico abaixo, que um ajuste polinomial linear, φ(x) = a0+a1x, e umaescolha razoavel:

0 1 2 3 4 5 632

34

36

38

40

42

44

46

48

50

Determinando os coeficientes:m+ 1

m∑k=0

xk

m∑k=0

xk

m∑k=0

x2k

·

a0

a1

=

m∑k=0

yk

m∑k=0

xkyk


onde

m+ 1 = 7,6∑

k=0

xk = 21,6∑

k=0

x2k = 91,6∑

k=0

yk = 282.5 e6∑

k=0

xkyk = 933,

portanto, [7 2121 91

]·{

a0a1

}=

{282.5933

},

cuja solucao e a0 = 31.1964 e a1 = 3.0536. Concluimos que o conjunto de pontos sera ajustadopelo polinomio

φ(x) = 31.1964 + 3.0536x,

e portanto, a estimativa do numero de bacterias apos um perıodo de 24 horas sera de φ(24) bacterias,onde

φ(24) = 31.1964 + 3.0536(24) = 104.4829.

4.7 Exercıcios

1. Considere os seguintes pontos suporte x0 = 0, x1 = 0.6 e x2 = 0.9. Encontre polinomiosde grau 1 e de grau 2 para aproximar f(0.45), onde f e uma funcao dada abaixo. Encontre,tambem, o valor do erro absoluto:

a) f(x) = cosx

b) f(x) =√1 + x

c) f(x) = ln(x+ 1)

2. Sabendo-se que f(0.81) = 16.94410, f(0.83) = 17.56492, f(0.86) = 18.50515 e f(0.87) =18.82091, calcule um valor aproximado de f(0.84), usando:

a) Polinomios de Lagrange de graus 1, 2 e 3

b) Polinomios de Newton de graus 1, 2 e 3

3. Considere a tabela abaixo:

altura(cm) 183 173 188 163 178

peso(kg) 79 69 82 63 73

Usando um interpolador polinomial de grau 2, calcule a altura aproximada de uma pessoacom peso de 70kg.

4. Qual e a diferenca entre interpolacao polinomial e o ajuste de curvas pelo metodo dos mınimosquadrados? E possıvel obter um mesmo polinomio que interpola e faz o ajuste de curvas pelometodo dos mınimos quadrados?

5. Dada a tabela abaixo, faca o grafico de dispersao dos dados e ajuste uma curva da melhormaneira possıvel:

x 0.5 0.75 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

y −2.8 −0.6 1.0 3.2 4.8 6.0 7.0


6. Ajuste os dados da tabela abaixo atraves de um polinomio de grau 2:

i 1 2 3 4 5

xi 12 16 20 30 40

yi 1.64 2.72 3.96 7.60 11.96

7. Monte o “Problema Matricial de Ajuste” utilizando funcoes base do tipo:

a) φj(x) = xj

b) φj(x) = ejx

8. Ajuste os pontos da tabela abaixo a uma curva de equacao y = a0 + a1ex:

xi −0.8 −0.4 0.0 0.4 0.8

yi 5.67 5.92 8.31 9.91 14.21

9. Os valores funcionais mostrados na tabela a seguir sao medidas de uma quantidade A(t) emmetros que varia no tempo. Escolha convenientemente um conjunto de funcoes φj(x) paraencontrar uma aproximacao para A(t) que ajuste, por mınimos quadrados, os seguintes dados:

t 0 2 4 6 8 10

A(t) 1.0 1.6 1.4 0.6 0.2 0.8

10. Aproximar a funcao y = 3√x no intervalo [0, 1] por um polinomio de terceiro grau, usando

os valores de x com incremento de 0.1. Resolva este mesmo problema com um polinomio desegundo grau e compare os resultados.

Capıtulo 5

Integracao Numerica

Neste capıtulo veremos como calcular numericamente uma integral definida. Muitas integrais naotem solucao exata, ou tem solucao exata muito complexa, por esse motivo, os metodos numericossurgem como uma ferramenta super importante para o calculo de tais integrais.

Sabemos que a integral definida de uma funcao f(x) pode ser vista como a area sob a curvay = f(x), por exemplo, se f(x) = x2 entao, como vemos na figura a seguir, sua area (no intervalo[0, 1]) sera dada pela seguinte integral

0 1

y=x2

A

x

y

A =

∫ 1

0x2dx =

x3

3

∣∣∣10=

1

3u.a.

A seguir, apresentaremos tres metodos numericos que aproximam a area acima.

5.1 Metodo dos Trapezios

O metodo dos trapezios substitui o integrando f(x) da integral por uma funcao linear por partes.Considere a figura 5.1. Primeiro, aproximamos a integral do exemplo anterior pela area do triangulodefinido ligando os pontos (0, f(0)) e (1, f(1)), em seguida, acrescentamos o ponto (0.5, f(0.5)) eaproximamos a integral pela soma das areas das duas figuras planas definidas.

A ideia do metodo e particionar o intervalo de integracao, de modo a aproximar ao maximo ovalor da integral definida. Vamos generalizar um pouco mais o problema entao. Considere a figuraabaixo:

42

CAPITULO 5. INTEGRACAO NUMERICA 43

0 1 x

y

erro A = 1(1)/2 = 0.5

Podemos minimizar o erro, particionando o intervalo (0,1):

0 1 x

y

erro

0.5

A = A1 + A2 = 0.0625 + 0.3125 = 0.375

x x x x x x x0 1 2 i i+1 ni+2

A A

A Ai+1i

1 2

f fi i+1 fi+2

f(x)

Ao particionarmos o intervalo de integracao [x0, xn], definimos varios trapezios, e assim, aprox-imamos a integral pela soma das areas desses trapezios. Portanto, temos as seguintes formulas:

1. Metodo dos Trapezios Elementar (2 pontos de integracao):

I =h

2

(fi + fi+1

)2. Metodo dos Trapezios Composto (n+ 1 pontos de integracao):

I =h

2

(f0 + 2f1 + · · ·+ 2fn−2 + 2fn−1 + fn

),

onde h = xi+1 − xi e constante e fi = f(xi).

Observacao 5.1 1. A precisao do metodo e inversamente proporcional ao passo:

prec ↑↓ ⇔ h ↓↑ .


2. A medida que refinamos nossa particao, diminuimos o erro. Porem, a partir de um valorcrıtico, isto deixa de ocorrer, conforme ilustra a figura abaixo:

n crítico

erro

n

truncamentoarredondamento

A partir de n crıtico, os erros de arredondamento destroem a solucao aproximada.

5.2 Metodo de Simpson

No metodo de Simpson, ao inves de substituirmos o integrando f(x) por uma poligonal, empre-garemos uma aproximacao parabolica, necessitando, portanto, agrupar os pontos 3 a 3.

a c b

f(a)

x

yf(x)

f(c)f(b)

Para calcularmos a integral∫ ba f(x)dx (veja figura acima) com o metodo dos trapezios, uti-

lizarıamos 2 pontos de integracao e aproximarıamos a integral pelo valor da areaA = c1f(a)+c2f(b),com c1 = c2 =

b−a2 .

No metodo de Simpson teremos tres coeficientes, aproximando a integral pela seguinte expressao:

A = c1f(a) + c2f(c) + c3f(b).

O problema e determinarmos esses coeficientes, para isso, aplicaremos a formula geral acima atres situacoes nas quais ela fornecera a solucao exata da integral.

A1 =

∫ h

−h(1)dx = 2h

A2 =

∫ h

−hxdx = 0

A3 =

∫ h

−hx2dx =

2h3

3


��

��

��

��

��

��

��

��

−h h x

3

A

y

−h h

y=x

2

x

y

−h h

1

x

A1

y

A

y=x2

Montamos, entao, o seguinte sistema:c1f1(−h) + c2f1(0) + c3f1(h) = 2hc1f2(−h) + c2f2(0) + c3f2(h) = 0

c1f3(−h) + c2f3(0) + c3f3(h) = 2h3

3

onde f1(x) = 1, f2(x) = x e f3(x) = x2.

Resolvendo esse sistema encontramos,

c1 = c3 =h

3e c2 =

4h

3

e assim, a formula de Simpson elementar (3 pontos de integracao) sera dada por

Ai =h

3

(fi−1 + 4fi + fi+1

)onde fi = f(xi) e h = xi+1 − xi e constante.

A generalizacao do metodo de Simpson, ou seja, a formula composta de Simpson com n + 1pontos de integracao, sendo n um numero par, sera dada por

A =h

3

(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + 2f4 + · · ·+ 2fn−2 + 4fn−1 + fn

)onde fi = f(xi) e h = xi+1 − xi tambem e constante.


Exemplo 5.1 Calcule a integral abaixo utilizando o metodo dos trapezios e o metodo de Simpson,ambos com 5 pontos de integracao

I(f) =

∫ 6

2x2dx.

xi fi

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

h = xi+1 − xi = 1, ∀i.

a) Metodo dos Trapezios

A =h

2

(f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + f4

)=

1

2

(4 + 2(9) + 2(16) + 2(25) + 36

)=

140

2= 70u.a (solucao aproximada).

b) Metodo de Simpson

A =h

3

(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + f4

)=

1

3

(4 + 4(9) + 2(16) + 4(25) + 36

)=

208

3= 69.33u.a. (solucao exata).

5.3 Metodo da Quadratura Gaussiana

A principal diferenca entre o metodo de Gauss e os metodos apresentados anteriormente, e que, emGauss, os pontos de integracao deixam de ser constantes e passam a ser incognitas.

Considere a figura 5.1, na qual empregaremos o metodo dos Trapezios para aproximar a integral.

Como podemos ver, o erro envolvido e muito grande. A ideia que Gauss teve foi de , atraves dalocalizacao otima dos pontos de integracao, calcular a integral com erro nulo.

deducao da formula da quadratura de Gauss

Por se tratar de uma aproximacao linear, podemos escrever

A = c1f(x1) + c2f(x2),


a b x

y

erro

A B

Figura 5.1: erro no metodo dos trapezios

a b x

y

c d

C D

As áreas hachuradas se contrabalançam,anulando o erro.

onde, nao so os coeficientes c1 e c2 sao incognitas, mas tambem os pontos de integracao x1 e x2devem ser calculados. Para determina-los, montaremos 4 situacoes nos quais a formula nos da asolucao exata.

A1 =

∫ 1

−1(1)dx = 2

A2 =

∫ 1

−1xdx = 0

A3 =

∫ 1

−1x2dx =

2

3

A4 =

∫ 1

−1x3dx = 0

Montamos, entao, o seguinte sistema:c1f1(x1) + c2f1(x2) = 2c1f2(x1) + c2f2(x2) = 0c1f3(x1) + c2f3(x2) = 2

3c1f4(x1) + c2f3(x2) = 0

onde f1(x) = 1, f2(x) = x, f3(x) = x2 e f3(x) = x3.


��

��

��

��

��

A

y

y=x

2

x

y

1

x

A1

y

y=x2

−1 1

−1 1

��

��

��

x

3A

−1 1

A4

y=x3

−1 1

x

y

y=x2

O sistema fica, entao, da seguinte formac1(1) + c2(1) = 2c1(x1) + c2(x2) = 0c1(x

21) + c2(x

22) = 2

3c1(x

31) + c2(x

32) = 0

assim, assumindo c1 = c2 = 1, teremos a seguinte solucao

x1 = −√

1

3e x2 =

√1

3.

Logo a formula da Quadratura de Gauss com 2 pontos de integracao sera dada por

A = f(−

√1

3

)+ f

(√1

3

)


O raciocınio anterior pode ser estendido a n pontos de integracao. Abaixo mostramos umatabela com os valores dos c′is e dos x′is avaliados para n = 2, 3 e 4 pontos de integracao.

n ci xi

2 c1 = c2 = 1 −x1 = x2 = 0.5773

3 c1 = c3 = 0.5555 −x1 = x3 = 0.7746c2 = 0.8889 x2 = 0

4 c1 = c4 = 0.3479 −x1 = x4 = 0.8611c2 = c3 = 0.6522 −x2 = x3 = 0.33998

troca de variaveis

Como a formula de Gauss foi deduzida para x ∈ [−1, 1], devemos realizar uma troca das variaveisde integracao para um domınio generico x ∈ [a, b], de modo a podermos calcular a integral

I(f) =

∫ b

af(t)dt.

Com a troca de variaveis, criamos a funcao t(x) = Ax+B tal que

I(f) =

∫ b

af(t)dt

=

∫ 1

−1f(t(x)

)t′(x)dx

=

∫ 1

−1

[Af

(t(x)

)︸︷︷︸F (x)

], dx

e esta nova funcao F (x) sera o integrando usado na formula de Gauss, conforme ilustra o exemploa seguir.

Exemplo 5.2 Resolver a integral abaixo utilizando o metodo da quadratura de Gauss com 2 pontosde integracao

I(f) =

∫ 6

2t2dt.

O domınio de t e [2, 6]. Vamos, entao, troca-lo para x ∈ [−1, 1] segundo a funcao t(x) = Ax+B:

t = 2 ↔ x = −1 ⇒ A(−1) +B = 2t = 6 ↔ x = 1 ⇒ A(1) +B = 6,

portanto, A = 2 e B = 4, assim, t(x) = 2x+ 4. Temos entao,

I(f) =

∫ 6

2t2dt

=

∫ 1

−12f

(2x+ 4

)dx

=

∫ 1

−12(2x+ 4)2dx,

e assim, F (x) = 2(2x+ 4)2. Empregando a formula de Gauss para 2 pontos de integracao

I(f) = F(−

√13

)+ F

(√13

)= 2

(−

√13 + 4

)2+ 2

(√13 + 4

)2

= 69.33u.a. (solucao exata)


5.4 Exercıcios

1. a) Aproxime o valor da integral

∫ 0

−2x2ex dx utilizando o metodo dos trapezios e o metodo

de Simpson com 5 pontos de integracao (utilize 6 casas decimais);

b) Sabendo que o valor exato da integral acima, com 6 casas decimais, e I = 0.646647,encontre o erro absoluto para cada metodo.

2. a) Utilize o metodo de Simpson para aproximar a integral abaixo com 5 pontos de integracao(utilize 5 casas decimais): ∫ 1

0(x5 − x3 − x− 1) dx.

b) O metodo de Simpson fornece solucao exata nesse caso? Porque?

3. Calcule as integrais abaixo pelo metodo dos trapezios e pelo metodo de Simpson, usando 4 e6 divisoes do intervalo dado:

a)

∫ 2

1e−x dx c)

∫ 4

1

√x dx

b)

∫ 5

2

1√xdx d)

∫ 0.6

0

1

1 + xdx.

4. De um exemplo de uma funcao, onde o metodo dos trapezios calcula o valor exato da integral.

5. De um exemplo de uma funcao, onde o metodo de Simpson calcula o valor exato da integral.

6. Calcule a area definida por f(x) pelo metodo de Simpson:

x 2 4 6 8 10 12 14 16 18

f(x) 0.5 0.9 1.1 1.3 1.7 2.1 1.5 1.1 0.6

7. Considere a integral abaixo ∫ 1

0x3ex dx.

Sabe-se que o valor exato da integral e I = 0.5634363. Denotemos por It(h) e Is(h), o resultadoda integral obtido, respectivamente, pelos metodos dos trapezios e de Simpson. Seja h = 0.5.

a) Calcule It(h) e It(h/2);

b) Calcule Is(h) e Is(h/2);

c) Calcule R1(h) =4It(h/2)− It(h)

3(Metodo de Romberg);

d) Compare com o valor exato e conclua qual e o melhor resultado.

8. A curva de carga tıpica de uma cidade e dada pela figura abaixo:

Considere as medidas de potencia a cada hora:


MW

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18Horas

20 22 24

31

Hora MW Hora MW Hora MW Hora MW

1 30 7 40 13 42 19 39

2 28 8 39 14 38 20 45

3 29, 8 9 33 15 34 21 50

4 32 10 32, 5 16 30 22 44

5 33 11 31 17 29 23 40

6 38 12 39 18 31 24 30

Estime o consumo de energia diario dessa cidade utilizando os metodos abaixo e, em seguida,compare os resultados:

a) Metodo dos trapezios composto;

b) Metodo de Simpson composto.

Referencias Bibliograficas

[1] Sperandio, D., Mendes, J. T., Monken e Silva, L. H., Calculo Numerico: CaracterısticasMatematicas e Computacionais dos Metodos Numericos. Editora Pearson Prentice Hall, SaoPaulo, 2003.

[2] Lay, D. C., Algebra Linear e suas Aplicacoes. Editora LTC, Rio de Janeiro, 2a edicao, 1999.

[3] Leon, S. J., Algebra Linear com Aplicacoes. Editora LTC, Rio de Janeiro, 4a edicao, 1999.

[4] Golub, G. H., Van Loan, C. F., Matrix Computations. Johns Hopkins University Press, 2nd

ed., 1989.

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