Universidade Federal de Ouro Preto

Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas - ICEA

Departamento de Engenharia de Produção - DENP

Campus João Monlevade - MG

Relatório Cálculo II: Fórmula de Euler, Funções

de Bessel e Aproximando ln 2

Alunas: Ana

Professor:

Engenharia de Produção - 2º período

João Monlevade- MG

Julho/ 2015

Universidade Federal de Ouro Preto

Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas - ICEA

Departamento de Engenharia de Produção - DENP

Campus João Monlevade - MG

Relatório Cálculo II: Relatório Cálculo II: Fórmula de Euler, Funções

de Bessel e Aproximando ln 2

Trabalho apresentado como atividades optativas da

disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II, ao

docente ... pelos discentes ...., do curso de

Graduação de Engenharia de Produção.

Sumário

1 - INTRODUÇÃO......................................................................................................................1

2 - DESENVOLVIMENTO.........................................................................................................2

Fórmula de Euler......................................................................................................................2

Funções de Bessel....................................................................................................................5

Aproximando ln 2....................................................................................................................8

3- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................................13

1 - INTRODUÇÃO

Os problemas matemáticos envolvem conceitos que devem ser compreendidos a fim de

se obter sucesso no processo de realização e concretização dos resultados. No presente

relatório foram solucionadas questões referentes à Fórmula de Euler, Funções de Bessel

e Aproximando ln 2 e, portanto, realizou-se uma pesquisa com a finalidade de esclarecer

alguns fatores que norteiam os problemas propostos.

Em essência, os números complexos são todos os reais e mais a unidade imaginária, o

número imaginário  cuja propriedade que o define é, simplesmente, [1].

Esta representação foi proposta por Euler. Ele contribuiu de várias formas para o

entendimento da matemática, o que se destacou ainda mais foi a melhoria da

simbologia. Muitas das notações que são utilizadas hoje foram introduzidas por ele.

Começou a estudar números da forma z=a+bi onde a e b são números reais e i ²=−1.

Esses números são chamados de números complexos. [2]

Em muitas situações em matemática e nas suas aplicações é natural considerar modelos

que estabelecem relações envolvendo não só valores de variáveis, mas também das suas

variações expressas por derivadas. As equações em que ocorrem derivadas das

incógnitas são denominadas equações diferenciais. [3]. Uma das equações diferenciais

mais importantes da Matemática aplicada é equação diferencial de Bessel

x2 y ´ ´+x y+(x ²−v ²) y=0.[4 ]

Uma série de potências é uma série da forma ∑n=0

∞

cn xn=c0+c1 x+c2 x2+c3 x3+… onde x é

uma variável e cn ' s são constantes chamadas coeficientes da série. [5]. Denomina-se

domínio de convergência da série de potências ao conjunto dos valores reais que,

substituídos na série, originam uma série numérica convergente. [6]

1

2 - DESENVOLVIMENTO

Fórmula de Euler

Introdução

No estudo dos números complexos, uma equação de destaque diz que

e iπ+1=0

Observe que ela relaciona as constantes mais importantes na matemática. Ela vem do

caso particular da fórmula de Euler

eix=cos x+i sen x ,

que relaciona a exponencial e as trigonométricas através dos números complexos.

Vamos verificar essa fórmula usando séries de Taylor.

Primeiro Questionamento

O número complexo i é definido pela propriedade i ²=−1. Verifique que as potências de

ise comportam em ciclos de 4, sendo

i4 k=1, i4 k +1=i ,i4 k +2=−1 , i4 k+3=−i ,para todo k∈Z .

Resolução:

Através da definição i ²=−1 realizou-se as verificações:

Sendo i=√−1 tem-se;

i0=1

i ¹=i

i2=√−1·√−1=−1

i3=i2 · i ; i3=−1 ·i ; i3=−i

2

i4=i3 ∙i ; i3=−i·i ; i4=−√−1 · √−1 ; i4=−(−1) ; i4=1

i5=i4 ∙i ; i5=1 ·i ; i5=i Obs. Verifica-se que é igual a i1

i6=i5 · i ; i6=i· i ; i6=−1 Obs. Verifica-se que é igual a i2

i7=i6 ·i ; i7=−1 ·i ; i7=−i Obs. Verifica-se que é igual a i3

i8=i7 ·i ; i8=−i· i ; i8=1 Obs. Verifica-se que é igual a i4

Pode-se verificar então que:

i0=i4=¿ i8

i1=i5

i2=i6

i3=i7

Logo, conclui-se queise comporta em ciclo de 4.

Segundo Questionamento

Usando as séries de Taylor da exponencial, do seno e do cosseno, verifique a equação

(1). Dica: use a substituição x 7→ ix na série da exponencial e separe as potências pares

e ímpares.

Resolução:

Utilizou-se a série ex=∑n=0

∞xn

n! , realizou-se a substituição de expor e ix ,

logo e ix=¿ ∑n=0

∞ ( ix)n

n!

Tem-se os termos da série, iniciando n=¿:

e ix=¿ 1+ix− x2

2−i x3

6+ x4

4 !+ i x5

5 !…

3

Separou-se então os termos acompanhados do i dos termos reais, obtendo-se:

e ix=(1− x2

2 !+ x4

4 !− x6

6 ! )+ i( x− x3

3 !+ x5

5 !− x7

7 ! )…

e ix=∑n=0

∞ (−1)n x2 n

2n !+∑

n=0

∞ (−1)n x2n+1

(2n+1)!

Pode-se identificar o primeiro somatório como sendo a expansão em série de Maclaurin

do cos x e o segundo somatório como sendo a expansão em série de Maclaurin do sen x.

Verificou-se então que as séries obtidas são exatamente as do seno e cosseno.

e ix=cos ( x )+¿ i . sen (x)¿

4

Funções de Bessel

Introdução

Funções de Bessel são funções que aparecem no estudo de certas equações diferenciais.

Elas não são funções elementares e, portanto uma forma adequada de representá-las é

através de séries de potências. Em particular, um tipo de função de Bessel é

J0 ( x )=∑n=0

∞ (−1)n

22 n(n!)2 x2n , x∈R

chamada função de Bessel de primeiro tipo de ordem 0.

Primeiro Questionamento

Usando algum recurso computacional, plote o gráfico das funções J0. Com base no

gráfico, descreva algumas propriedades da função, como simetria, comportamento no

infinito, máximos e mínimos, etc.

Resolução:

Após a plotagem do gráfico realizada através do Matlab foi possível verificar algumas

questões: percebeu-se que existem infinitos máximos e mínimos e que o gráfico

apresenta simetria par – já que f (x)=f (−x ) . Verificou-se ainda que no infinito as

oscilações do gráfico tendem a ficar muito próximas ao eixo X

5

Código usado para plotagem do gráfico da função no Matab:

n=-100:0.1:100;

plot(n,besselj(0,n),'r');

Segundo Questionamento

Verifique queJ0 satisfaz a relação

x ² J ' '0

( x )+xJ '0

( x )+x2 J0 ( x )=0

Resolução:

Considerando a série:

J ' '0

( x )=∑n=0

∞ (−1)n . x2n

22 n(n!)2

Escreveu-se J' '0

( x ) em termos:

J 0 ( x )=1− x2

4+ x4

64− x6

2304…

Derivou-se:

J '0

( x )=−x2

+ x3

16− x5

384…

Derivando novamente:

J ' '0

( x )=−12

+ 3 x2

16−5 x4

384…

Tem-se então; x2 J ' '

0( x )+x J '

0( x )+ x2 J 0 ( x )

Aplicando-se a substituição dos termos temos:

6

−x2

2+3 x4

16− 5 x6

384− x2

2+ x4

16− x6

384+x2− x4

4+ x6

64…

A série segue uma repetitividade, verificou-se isso a partir da inserção de alguns termos

que sempre se cancelarão, pode-se definir então que:

x2 J ' '0

( x )+x J '0

( x )+ x2 J 0 ( x )=0

7

Aproximando ln 2

Introdução

Vamos usar séries diferentes para aproximar o valor numérico de ln 2. O objetivo é

comparar a ordem de convergência das séries. Para isso, vamos nos basear na série de

potência.

ln (1−x )=−∑n=1

∞1n

xn ,−1 ≤ x ≤1 ,(1)

Obtida pela integração da série geométrica.

Primeiro Questionamento

Verifique que para x=−1, temos;

ln (1−x )=¿∑n=1

∞1n

xn ,−1≤ x<1 ,¿

Resolução:

Então, substituindo x por −1;

ln (1−(−1 ) )=−∑n=1

∞1n

(−1 )n

Logo, tem-se que;

ln 2=∑n=1

∞ (−1)n+1

n

obtendo-se uma série harmônica alternada, conforme a condição desejada.

8

Segundo Questionamento

Verifique que para x=12

temos outra aproximação:

ln 2=∑n=1

∞1

n 2n

Resolução:

Substituiu-se x por 12

ln ¿¿ −∑n=1

∞1n ( 1

2 )n

,

logo,

ln (12 )=¿−∑

n=1

∞ −1n .2n ¿

Utilizando-se as propriedades de ln tem-se que;

l n( 12 )=ln (1)−¿ ln (2) ; e como ln (1) = 0;

obtendo-se,

ln (12 )=ln (2 )=∑

n=1

∞1

n .2n

Terceiro Questionamento

Ainda usando a série (1), obtenha que

ln ( 1+x1−x

¿)=∑n=1

∞2

2n+1x2 n+1 ,|x|<1¿

Resolução:

Sabemos que ln ( x )=∑n=1

∞ (−1 )n−1 ( x−1 )n

n ,

9

então ln (1+ x)

ln (1+x )=∑n=1

∞ (−1 )n−1 (1+x−1 )n

n

ln (1+x )=−¿∑n=1

∞ (−1)n . xn

n,¿

Logo pelas propriedades de ln [7];

ln(1+x )(1−x)

= ln (1+x )−ln(1−x )

ln(1+x )(1−x ) = −∑

n=1

∞ (−1 ) xn

n – (−∑

n=1

∞1n

xn)

∑n=1

∞ −(−1 )n xn

n + xn

n

Sabendo que o numero impar é expresso na forma 2 n+1 para todo n , entao :

ln(1+x )(1−x)

=∑n=1

∞2 x2 n+1

2 n+1

Quarto Questionamento

Para x=13

na série do item 3 temos

ln 2=∑n=1

∞2

(2n+1 ) 32 n+1

Resolução:

Substituiu-se na série x por 13

, obtendo-se;

10

ln ( 1+13

1−13

)=∑n=1

∞ 2(13 )

2 n+1

(2 n+1)

ln (4323

)=∑n=1

∞2

(2n+1 ) 32 n+1

Logo,

ln (2 )=∑n=1

∞2

(2n+1 ) 32 n+1

Quinto Questionamento

Use as três séries obtidas nos itens 1, 2 e 4 para aproximar o valor numérico de ln2 com

precisão de 3 casas decimais. Para isso, use alguma estimativa para o resto ou programe

em um software para realizar a soma de muitos termos. Compare as ordens de

convergência baseado nos seus conhecimentos sobre séries e nos resultados obtidos.

Resolução:

soma1=0;

soma2=0;

soma3=0;

for n=1:1:5000;

soma1=soma1+(-1)^(n+1)/n;

end

for n=1:1:5000;

soma2=soma2+1/(n*2^(n));

end

for n=0:1:5000;

soma3=soma3+2/((2*n+1)*3^(2*n+1));

end

11

soma1

soma2

soma3

Obteve-se então os seguintes resultados

soma1 = 0.693047190559951

soma2 = 0.693147180559945

soma3 = 0.693147180559945

Utilizou-se o Matlab a fim de verificar as ordens de convergência. Pela análise dos

resultados, detectou-se nas séries 2 e 4 quatro dígitos de precisão após a vírgula e na

série 1 pode-se verificar somente três dígitos de precisão após a vírgula. Essa

constatação nos leva a inferir que as séries 2 e 4 convergem mais rápido quando

comparado a série 1.

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3- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

http://nerdyard.com/a-formula-de-euler/ [1]

http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf [2]

http://www.math.ist.utl.pt/~lmagal/TEEDCap1.pdf [3]

http://www.pucrs.br/famat/salett/1Parte_Equacoes_Diferenciais.pdf [4]

Stewart, James. Calculo, volume 2. Tradução da 6 edição norte-americana [5]

http://ltodi.est.ips.pt/amatos/AcetNetAMII0607/3acetspotAMII0607.pdf [6]

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/logaritm.htm [7]

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