ETAPA 1 Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida. Esta etapa importante para voc fixe, de forma prtica, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Voc tambm ir aprender o conceito de integral como funo inversa da derivada. Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos. Passo 1 Faam as atividades apresentadas a seguir: 1. Leiam atentamente o captulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e clculo de reas. Pesquisem tambm em: livros didticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informaes ligadas ao estudo e utilizao da teoria de integrais indefinidas, definidas e clculo de reas. 2. Faam um levantamento sobre a histria do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informaes encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa ser imprescindvel para a compreenso e realizao dos prximos passos. 3. Faam o download do Software Geogebra. Este software servir de apoio para a resoluo de alguns desafios desta etapa. Sites sugeridos para pesquisa: GeoGebra. Disponvel em: . Acesso em: 22 abr. 2012. Curso de GeoGebra. Disponvel em: . Acesso em: 22 abr. 2012.

Histria da IntegralHistria: a histria do clculo encaixa-se em vrios perodos distintos, de forma notvel nas eras antiga, medieval e moderna.Antiguidade: na Antiguidade, foram introduzidas algumas ideias do clculo integral, embora no tenha havido um desenvolvimento dessas ideias de forma rigorosa e sistemtica.A funo bsica do clculo integral, calcular volumes e reas, pode ser remontada ao Papiro Egpcio de Moscow (1800 a.C.), no qual um egpcio trabalhou o volume de um frustum iramidal. Eudoxus (408-355 a.C.) usou o mtodo da exausto para calcular reas e volumes.Arquimedes (287-212 a.C.) levou essa ideia alm, inventando a heurstica, que se aproxima do clculo integral. O mtodo da exausto foi redescoberto na China por Liu Hui no sculo III, que o usou para encontrar a rea do crculo.O mtodo tambm foi usado por Zu Chongzhi sculo V, para achar o volume de uma esfera.Idade Mdia: na Idade Mdia, o matemtico indiano Aryabhata usou a noo infinitesimal em 499 d.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equao diferencial bsica.Essa equao levou Bhskara II no sculo XII a desenvolver uma derivada prematura representando uma mudana infinitesimal, e ele desenvolveu tambm o que seria uma forma primitiva do "Teorema de Rolle".No sculo XII, o matemtico persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada de polinmios cbicos, um resultado importante no clculo diferencial. No sculo XIV,Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemticos-astrnomos da Escola Kerala de Astronomia e Matemtica, descreveu casos especiais da Srie de Taylor, que no texto so tratadas como Yuktibhasa.Idade Moderna: na Idade Moderna, descobertas independentes no clculo foram feitas no incio do sculo XVII no Japo por matemticos como Seki Kowa, que expandiu o mtodo de exausto. Na Europa, a segunda metade do sculo XVII foi uma poca de grandes inovaes.

O Clculo abriu novas oportunidades na fsica-matemtica de resolver problemas muito antigos que at ento no haviam sido solucionados. Muitos matemticos contriburam para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregoryproveu um caso especial do segundo teorema fundamental do clculo em 1668.Coube a Gottfried Wilhelm Leibniz e a Isaac Newton recolher essas ideias e junt-las em um corpo terico que viria a constituir o clculo. A ambos atribuda a simultnea e independente inveno do clculo. Leibnitz foi originalmente acusado de plagiar os trabalhos no publicados de Isaac Newton; hoje, porm, considerado o inventor do clculo, juntamente com Newton.Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o clculo fsica ao passo que Leibniz desenvolveu a notao utilizada at os dias de hoje, anotao de Leibniz. O argumento histrico para conferir aos dois a inveno do clculo que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do clculo.Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvrsia de qual matemtico (e, portanto que pas: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crdito. Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newton argumentou que Leibniz roubou ideias de seus escritos no publicados, que Newton poca compartilhara com alguns poucos membros da Sociedade Real.Esta controvrsia dividiu os matemticos ingleses dos matemticos alemes por muitos anos. Um exame cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integrao e Newton com diferenciao.Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o clculo independentemente. Leibniz, porm, foi quem deu o nome clculo nova disciplina, Newton a chamara de "A cincia dos fluxos.Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemticos contriburam para o contnuo desenvolvimento do clculo. Idade contempornea: na Idade Contempornea, j no sculo XIX, o clculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa. Foi tambm durante este perodo que ideias do clculo foram generalizadas ao espao euclidiano e ao plano complexo.

Lebesgue mais tarde generalizou a noo de integral. Sobressaram matemticos como Cauchy, Riemann,Weierstrass e Maria Gaetana Agnesi. Esta foi autora da primeira obra a unir as ideias de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz; escreveu tambm um dos primeiros livros sobre clculo diferencial e integral 1 . dela tambm a autoria da chamada "curva de Agnesi".Integrais: o Clculo Integral o estudo das definies, propriedades, e aplicaes de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de encontrar o valor de uma integral chamado integrao. Em linguagem tcnica, o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.A integral indefinida a antiderivada, o processo inverso da derivada. F uma integral indefinida de f quando f uma derivada de F. (O uso de letras maisculas e minsculas para uma funo e sua integral indefinida comum em clculo.).A integral definida insere uma funo e extrai um nmero, o qual fornece a rea entre o grfico da funo e o eixo do x. A definio tcnica da integral definida o limite da soma das reas dos retngulos, chamada Soma de Riemann.Integrao pode ser explicada como a medida da rea entre uma curva, definida por f(x), entre dois pontos (aqui a e b). Se f(x) no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o tempo, distncia viajada entre os tempos representados por a e b a rea da regio escura.Para aproximar a rea, um mtodo intuitivo seria dividir em distncias entre a e b em um nmero de segmentos iguais, a distncia de cada segmento representado pelo smbolo x.Para cada segmento menor, ns podemos escolher um valor da funo f(x). Chame o valor h. Ento a rea do retngulo com a base x e altura h d a distncia (tempo x multiplicado pela velocidade h) viajado naquele segmento. Associado com cada segmento o valor mdio da funo sobre ela, f(x) =h.A soma de todos os retngulos dados uma aproximao da rea entre o eixo e a curva, o qual uma aproximao da distncia total viajada. Um valor menor para x nos dar mais retngulos e, na maioria dos casos uma melhor aproximao, mas para uma resposta exata ns precisamos fazer o limite em x tender zero.O smbolo da integrao um S alongado (que significa "soma"). A integral definida escrita da forma: e lida como "a integral de a at b de f-de-x em relao x. A integral indefinida, ou antiderivada, escrita da forma: Desde que a derivada da funo y = x + C y ' = 2x (onde C qualquer constante).Passo 2 Leiam os desafios propostos: Desafio A Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: da?(a) F() = 12ln3+C(b) F() = ln+C(c) F() = ln+C(d) F() = 12ln+C(e) F() = ln+CResoluo:(a33+3a3+3a) =a3+13.(3+1) + 3a-3+1-3+1 + 3lna+c = a412 - 32a2 + 3lna+c.Portanto a alternativa que representa a integral indefinida a letra B. (Associa-se ao n 3).Desafio B Suponha que o processo de perfurao de um poo de petrleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C(q) = 1000 + 50q dlares por p, onde q a profundidade em ps. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q ps, : (a) C(q) = 10.000 + 1.000q +25 (b) C(q) = 10.000 + 25q +1.000 (c) C(q) = 10.000(d) C(q) = 10.000 + 25 (e) C(q) = 10.000q + +Resoluo:C (q) = 1000+50qC (0) = 10000(1000+50q) dq = 1000q + 50q22 + cC(q) = 10000 + 1000q . 25q2Alternativa correta a letra A (associa-se ao n0).Desafio C No incio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petrleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petrleo no instante t, onde t o nmero de anos contados a partir do incio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) dado por: C(t) = 16,1. . Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petrleo consumida entre 1992 e 1994? (a) 56,43 bilhes de barris de petrleo (b) 48,78 bilhes de barris de petrleo (c) 39,76 bilhes de barris de petrleo (d) 26,54 bilhes de barris de petrleo (e) Nenhuma das alternativas

Resoluo:O intervalo da integral ser de 2 a 4. Pois, a taxa de consumo ser dada pela integral de interesse e o tempo dado a partir de 1550.16,1.e 0,07 tdt = e 0,07 tdtu = 0,07du = 0,07dtdu 0,07 = dt 16,1 e 4. Du 0,07=16,10,07 e 4. Du 230 . e4 + c = 230 . e 0,07t + c24230 e 0,07t+ c |42 =230 e (0,07x4) - 230 e (0,07x2) =304,319 264,562 = 39,76.Alternativa correta a letra C (associa-se ao n. 1)Desafio D A rea sob a curva de a dada por: (a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22

Resoluo:ex2 dx u = x2 du = 12 . dx dx = 2 du ex2 du = e4 2 dx e4 2 du = 2 e4 du 2 . e4 |23 = 2 . ex2 |2-3 2-32ex2+ c = 2e22 - 2e-32 (Fb Fa) = (5,436) (0,446) =4,55Alternativa correta a letra A (associa-se ao n. 9)Passo 3 Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando atravs dos clculos realizados, o porqu de uma alternativa ter sido considerada. Para o desafio A: Associem o nmero 1, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o nmero 3, se a resposta correta for alternativa (b). Associem o nmero 5, se a resposta correta for alternativa (c). Associem o nmero 2, se a resposta correta for alternativa (d).Associem o nmero 7, se a resposta correta for alternativa (e).

Para o desafio B: Associem o nmero 0, se a resposta correta for alternativa (a). Associem o nmero 8, se a resposta correta for alternativa (b). Associem o nmero 3, se a resposta correta for alternativa (c). Associem o nmero 1, se a resposta correta for alternativa (d). Associem o nmero 6, se a resposta correta for alternativa (e). Para o desafio C: Associem o nmero 5, se a resposta correta for alternativa (a). Associem o nmero 6, se a resposta correta for alternativa (b). Associem o nmero 1, se a resposta correta for alternativa (c). Associem o nmero 9, se a resposta correta for alternativa (d).Associem o nmero 0, se a resposta correta for alternativa (e). Para o desafio D: Associem o nmero 9, se a resposta correta for alternativa (a). Associem o nmero 8, se a resposta correta for alternativa (b). Associem o nmero 0, se a resposta correta for alternativa (c). Associem o nmero 4, se a resposta correta for alternativa (d). Associem o nmero 2, se a resposta correta for alternativa (e).

Passo 4 Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatrio com o nome de Relatrio 1 com as seguintes informaes organizadas: 1. Os clculos e todo raciocnio realizado para a soluo do passo 3; 2. A sequncia dos nmeros encontrados, aps a associao feita no passo 3.O objetivo da ATPS encontrar a quantidade total mensal de leo, estimada pelos engenheiros da Petrobras, que poder ser extrado de um poo de petrleo recm-descoberto. Para isso, necessrio associar cada resultado obtido no passo 2 a um numero, de acordo com a alternativa correta encontrada para cada desafio.Desse modo encontramos as seguintes associaes.Desafio A: Alternativa (b), que associa-se ao n 3Desafio B: Alternativa (a), que associa-se ao n 0Desafio C: Alternativa (c), que associa-se ao n 1Desafio D: Alternativa (a), que associa-se ao n 9Portanto a sequencia encontrada foi 3019.

ETAPA 2 Aula-tema: Integrao por Substituio. Integrao por Partes. Esta etapa importante para voc fixe, de forma prtica, a tcnica de integrao por substituio e por partes, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Voc tambm ir aprender a resolver vrios tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades. Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos. Passo 1 Faam as atividades apresentadas a seguir. 1. Leiam atentamente o captulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrao por partes e por substituio. Pesquisem tambm em: livros didticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informaes ligadas ao estudo e utilizao das tcnicas de integrao por partes e por substituio. 2. Faam um levantamento sobre a histria do surgimento das tcnicas de integrao trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informaes encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa ser imprescindvel para a compreenso e realizao dos prximos passos. Integrao por PartesNo clculo integral, integrao por partes um mtodo que permite expressar a integral de um produto de funes em outra integral. A integrao por partes pode ser vista como uma verso integrada da regra do produto.A frmula tpica a seguinte, onde e so funes de classe C1no intervalo, ou seja, so diferenciveis e suas derivadas so contnuas entre a e bA frmula cannica dada pela seguinte expresso: ou, ainda, de forma mais enxuta:Integrao por substituioConsidere a seguinte integral: A substituio consiste simplesmente em aplicar uma mudana de variveis, onde uma funo qualquer contnua no domnio de integrao. Fazendo: Esta tcnica, que fruto da regra da cadeia para derivadas, muito til quando a funo a ser integrada pode ser representada como um produto de funes, onde uma derivada da outra (podendo diferir de uma constante).Nem sempre a substituio adequada evidente; muitas vezes necessrio fazer substituies pouco intuitivas (tais como substituio atravs de funes trigonomtricas). Para tal, so necessrios prtica e alto poder de carteao.Passo 2 Considerem as seguintes igualdades: I) Resoluo:3-t.(t2-6t)4dt u=t2-6t du=2t-6t=du2-dt * u4du2= 12 u4du* 12u4+C=u5+C10= (t2-6t)5+C10

II)Resoluo:1t+4t dt=1t+1 . t2- t2 . dt2t+4 3 t dtt+4=t22t+4+ 14 t2 dtt+4 3 05t t+4dt => 23u2-4u2 . 2udu=223u2-4du= 2 . (u33 4u) 32= 2[(333-4.3)-( 233- 4.2)]= 2[ 9-12- 83 + 8]= 2 [ 5 - 83 ] = 2. 73 = 143Podemos afirmar que: (a) (I) e (II) so verdadeiras (b) (I) falsa e (II) verdadeira (c) (I) verdadeira e (II) falsa (d) (I) e (II) so falsas Alternativa correta e a A O numero associado e o 4.

Passo 3 Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos clculos realizados, os valores lgicos atribudos. Para o desafio: Associem o nmero 4, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o nmero 5, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o nmero 3, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o nmero 8, se a resposta correta for a alternativa (d).

Passo 4 Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatrio com o nome de Relatrio 2 com as seguintes informaes organizadas: 1. Os clculos e todo raciocnio realizado para a soluo do passo 3; 2. A sequncia dos nmeros encontrados, aps a associao feita no passo 3. Concluso do DesafioReferente s respostas obtidas com os desafios desenvolvidos, podemos concluir que a quantidade total mensal de leo que poder ser extrado de um poo de petrleo recm-descoberto e de 30194.

ETAPA 3 Aula-tema: Clculo de rea. Esta etapa importante para voc fixe, de forma prtica, como se d o clculo de rea, usando a teoria de integrais para tanto. Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos. Passo 1 Faam as atividades apresentadas a seguir. 1. Leiam atentamente o captulo do livro-texto que descreve os conceitos de clculo de rea, usando teoria de integrais para isso. Pesquisem tambm em: livros didticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informaes ligadas ao estudo e utilizao das tcnicas de integrao na resoluo de exerccios que envolvam rea obtida por duas ou mais curvas. 2. Faam um levantamento sobre a histria do surgimento das desta forma de calcular rea gerada por duas ou mais curvas e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informaes encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa ser imprescindvel para a compreenso e realizao dos prximos passos.

reas: talvez esta seja a mais bvia aplicao para o clculo de integrais, mas faremos algumas consideraes sobre o estudo de reas sob curvas que so importantes para que sejam evitados erros durante o processo de anlise dos valores.Como consequncia direta da definio da integral temos a rea sob da curva a ser integrada e o eixo das abscissas , seja a funo , considerando que a mesma pode assumir valores tanto positivos como negativos, o fato de este sinal ser determinante para o processo de somatrias consecutivas, prprio da integral definida, devemos considerar no clculo a possibilidade da diminuio de valores no caso de haver reas com valores negativos.Sinais: da definio da integral de Riemann temos: Obviamente, pode ser estabelecido e pode ser tomado como positivo se fizermos logo nos resta: Que arbitrrio, pois depende da funo, o que nos leva a concluir que o sinal da funo determina o sinal da integral, ou seja, embora o mdulo da integral represente a rea delimitada pela curva e o eixo das abscissas, o seu valor relativo pode no expressar apenas valores positivos, o que nos indica que temos que analisar o sinal da funo antes de calcular qualquer rea atravs da integrao.Calculando as reas: consideremos o caso da funo. Os valores do seno entre e so positivos e entre e so negativos! Isto causa uma situao interessante, uma vez que as reas entre a curva e o eixo dos dois intervalos, quando observadas no plano cartesiano, so idnticas, a rea das duas deveria ser o dobro de uma delas, entretanto a integral calculada no intervalo entre e nula!.Esta a razo pela qual devemos fazer o mdulo das integrais em cada intervalo de mudana de sinal, para que os valores das reas nestes intervalos no se subtraiam, provocando erro no clculo.Devemos verificar os intervalos onde a funo se torna negativa e inverter o sinal antes de efetuar a soma de reas em cada intervalo, assegurando assim o correto valor do total de unidades quadradas de rea, delimitadas pela curva e o eixo.No caso da funo acima, teremos: Sob diversas situaes devemos verificar o comportamento do grfico, para que possamos determinar a melhor maneira de calcular a rea, no caso de reas delimitadas por duas curvas podemos determinar a rea de cada curva em relao ao eixo e verificar o comportamento das curvas no grfico para determinar a forma de calcular. Na seo subsequente veremos como determinar a rea delimitada por duas curvas.Passo 2 Leiam o desafio abaixo: Considerem as seguintes regies S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As reas de S1 e S2 so, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a. Podemos afirmar que: (a) (I) e (II) so verdadeiras(b) (I) falsa e (II) verdadeira (c) (I) verdadeira e (II) falsa(d) (I) e (II) so falsas Resoluo:01x dx= x22 entre [0,1] = 122- 022= 12 u .aParte 2121xdx= ln(x) entre [1,2] = ln2-ln1=0,6931 u .aParte 302x4 dx= 0214 . x1= 14 02x=14 . x22= 228 entre [0,2] = 228 - 228 = 12 u . a12+ 0,6931- 12=0,6931 u .aParte 1Parte I.A = A=x . yParte I.B y+4xParte I.APor se tratar de um retngulo a rea pode ser calculada diretamente pela multiplicao da base pela altura.A= x.y A=1.4 A=4u.AParte I.B144x dx = 1441 . 1x=4 141x=4 ln(x) entre [1,4] = 4 . ln4 - 4 ln1 = 5,545 u.aParte 1A = 4 + 5,545 A= 9,545 u.a4 . 9,545 = 38,18 u.a

Passo 3 Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos clculos realizados, os valores lgicos atribudos. Para o desafio: Associem o nmero 6, se a resposta correta for alternativa (a). Associem o nmero 1, se a resposta correta for alternativa (b). Associem o nmero 8, se a resposta correta for alternativa (c). Associem o nmero 2, se a resposta correta for alternativa (d). Por meio dos clculos realizados, podemos afirmar que a alternativa correta a letra (c). Portanto o numero que devemos associar o n. 8.Passo 4Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatrio com o nome de Relatrio 3 com as seguintes informaes organizadas: 1. Os clculos e todo raciocnio realizado para a soluo do passo 3; 2. A sequncia dos nmeros encontrados, aps a associao feita no passo 3.

ETAPA 4 Aula-tema: Volume de Slido de Revoluo. Esta etapa importante para voc fixe, de forma prtica, como se d o clculo do volume de um slido de revoluo, usando a teoria de integrais para tanto. Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos. Passo 1 Faam as atividades apresentadas a seguir. 1. Leiam atentamente o captulo do livro-texto que descreve os conceitos de clculo do volume de um slido de revoluo. Pesquisem tambm em: livros didticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informaes ligadas ao estudo e utilizao das tcnicas de integrao no clculo de volume. 2. Faam um levantamento sobre a histria do surgimento das desta forma de calcular o volume de um slido de revoluo e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informaes encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa ser imprescindvel para a compreenso e realizao dos prximos passos. Slidos de RevoluoAlgumas aplicaes da engenharia em esttica, considerando um corpo extenso, e com distribuio continua de massa, uniforme ou no necessrio determinar-se e momento de inrcia, centroide tanto de placas como de slidos.Neste sentido necessrio o conhecimento de clculo para determinao de volumes e reas superficiais.Um slido de revoluo gerado pela rotao de uma rea plana em torno de uma reta chamada eixo de rotao, contida no plano. O volume de slido de revoluo pode ser calculado por trs mtodos:a) Mtodo de discob) Mtodo de arruelac). Mtodo de cascaEm seguida ser apresentado cada um dos trs mtodos com respectivos exemplos.Mtodo do disco. til quando o eixo de rotao parte da fronteira da rea De acordo com a figura abaixo. Inicialmente vamos lembrar que o volume de um cilindro dado por: No grfico acima, consideramos o eixo x como sendo eixo de revoluo, podemos calcular o volume formado pelo retngulo indicado que:Desta forma o elemento de volume dado por dv dado por dv=[f(x)]dx que corresponde a um disco cilndrico em torno do eixo x. Para saber o volume do slido, basta somar-se o volume de cada disco desde a at b, o que corresponde a integrar a expresso dv=[f(x)]dx.O mesmo ocorre quando o eixo de revoluo y. O volume fica:Mtodo de Arruela til no caso em que o eixo de revoluo no faz parte da rea plana observe a figura. Sabendo que f(x) , calcula-se a diferena entre o elemento de volume cilndrico de cada uma das funes obtendo o elemento de volume da arruela e integrar-se:Integrando:Quando o eixo de revoluo for y o caso anlogoMtodo da CascaNeste mtodo define-se uma casca de espessura dx(ou dy) para revoluo em torno do eixo y(ou x) determine o volume da casca e integra-se.Observando a figuraVamos determinar o volume da casca que definir o slido de revoluo em torno do eixo y.a) A casca possui espessura dx.b) A casca possui altura y.c) A casca possui raio x.O elemento de volume dos slidos dv ou o volume da casca cilndrica : o comprimento da curva vezes a espessura vezes altura da casca.Integrando a funo, obtm-se:Lembrando que a revoluo em torno do eixo y.Analogamente, para revoluo no eixo x.Com estas definies podemos calcular o volume de qualquer slido de revoluo, desde que conhea a funo e os limites de integrao.Passo 2 Considerem os seguintes desafios: Desafio A A rea da superfcie de revoluo obtida pela rotao, em torno do eixo x, da curva dada por de : .Est correta essa afirmao? Resoluo:A= 2 abF e1+[F'x]2dx 2 1244x . 1+ 4x dx 2 1444x . x+4x dx 8 124x+4 dx 8 . (x+4)3232 |414 163 (832- (174)32 23 (128 2 - 17 17) u.aPortanto a afirmao correta e o n associado o 4.Desafio B Qual o volume do slido de revoluo obtido pela rotao, em torno da reta , da regio R delimitada pelos grficos das equaes: de at (a) 3,26 (b) 4,67 (c) 5,32 (d) 6,51 (e) 6,98 Resoluo:c^d (f(x)- c)^2- (f(x)- c )^2 dxc^d(senx-2)^2- (sen^3 x- 2 )^2 dx0^(/2)sen^2 x-4 senx+4-(sen^6 x-4 sen^3 x+4)dx_0^(/2)sen^2 x-4 senx+4- sen^6 x+4 sen^3 x-4 dx[_0^(/2) sen^2 x-4 _0^(/2)senx- _0^(/2)sen^6 x+4 _0^(/2)sen^3 x][(-senx cosx) /2+ x/2+ 4 cosx+ 1/6 sen^5 x cos5 senx cosx+15/48 sen x cosx-15/48+4(-cosx+(cos^3 x)/3)][(/2) /2-(15 /2) /48-(4+4(-1+1/3))]^24[(/2) /2-(15 /2) /48-(4-8/3)][(/2) /4-(15 /2) /96-4+8/3][/4-15/96-4/3][(24-15-128)/96](24^2-15^2-128)/96=3,26 u.v

Passo 3 Resolvam o desafio A, julgando a afirmao apresentada como certa ou errada. Os clculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados. Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos clculos realizados, o porqu de uma alternativa ter sido considerada. Para o desafio A: Associem o nmero 4, se a resposta estiver certa. Associem o nmero 9, se a resposta estiver errada.

Para o desafio B: Associem o nmero 8, se a resposta correta for alternativa (a).Associem o nmero 5, se a resposta correta for alternativa (b). Associem o nmero 1, se a resposta correta for alternativa (c). Associem o nmero 2, se a resposta correta for alternativa (d). Associem o nmero 0, se a resposta correta for alternativa (e). Passo 4 Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatrio com o nome de Relatrio 4 com as seguintes informaes organizadas: 1. Os clculos e todo raciocnio realizado para a soluo do passo 3; 2. A sequncia dos nmeros encontrados, aps a associao feita no passo 3. 3. Colocar na ordem de realizao dos desafios, os nmeros encontrados indicando por meio da sequncia montada, os milhes de metros cbicos que podero ser extrados do novo poo de petrleo recm-descoberto pela empresa Petrofuels. Etapa 1: Etapa 2: Etapa 3: Etapa 4:Passo3: Passo 2: Passo 3: Passo3:Desafio A: n 3Desafio B: n 0Desafio C: n 1Desafio D: n 9 n 3 n 8 Desafio A: n 4Desafio B: n 8De acordo com os nmeros encontrados teremos a sequncia de 30193848.O total de metros cbicos que podero ser extrados do novo poo de petrleo de 30193848 m.

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