3. cálculo dos esforços em vigas

Cálculo dos Esforços em Vigas

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Conceitos gerais

• Conceito de momento

É importante lembrar que momento é um esforço que provoca giro.

À primeira vista a palavra momento não apresenta qualquer relação com a palavra giro. No entanto, elas estão ligadas por um fato histórico: na antiguidade, o tempo (momento) era medido com relógios de sol, instrumento constituído por uma haste vertical que, projetando sua sombra num plano, indica a altura do Sol e as horas do dia. Assim o tempo (momento) era medido pelo giro aparente do Sol em tomo da Terra.

Conceitos gerais

Para ocorrer um giro ou momento físico é necessário

que existam duas forças iguais, de mesma direção, de

sentidos contrários e não colineares, o que se

denomina binário.

Conceitos gerais

Quanto mais afastadas estiverem as forças maior será a

intensidade de giro. Isso é fácil perceber quando se tira

o parafuso da roda do carro. Quanto maior for o braço

da ferramenta menor será a força necessária para

provocar o giro do parafuso.

Conceitos gerais

Conceitos gerais

Matematicamente, pode-se traduzir esse fenômeno

pela relação:

Exemplo: Seja determinar

o valor do momento da

força F1=2,0 tf em

relação ao ponto P1.

Conceitos gerais

Denomina-se distância da força ao ponto à menor

distância entre a linha de ação da força e o ponto.

Suponha o valor de d = 4m, logo o

momento de F1 em relação a P1 será:

Esforços nas vigas isostáticas

Quando carregadas por uma ou mais forças, as vigas

isostáticas deformam-se de maneira que suas seções,

antes paralelas, giram umas em relação às outras, de

forma que se afastam em uma das faces e se

aproximam em outra.


Em todas essas situações, as vigas se deformam de

maneira que em relação ao eixo reto original aparecem

flechas.


Este fenômeno é por isso denominado de flexão e o

esforço que provoca o giro das seções e o

aparecimento de flechas ao longo da viga, de momento

fletor. Sempre que o momento fletor varia de uma

seção para outra, o que é mais frequente, aparece na

viga a tendência de escorregamentos transversal e

longitudinal entre as seções verticais e horizontais da

viga.


Ao esforço que tende a provocar o escorregarnento das fatias

longitudinais e transversais dá-se o nome de força cortante.


Para comprovar que a força cortante sempre aparece

quando há variação do momento fletor, tome-se nas

mãos um maço de folhas de papel (umas 50 folhas).

Aplique-se em uma das extremidades um giro

(momento), deixando livre o outro extremo.


Observe como as folhas escorregam.


Esse fenômeno pode também ser observado na

ilustração:


Em seguida, provoque concomitantemente giros de

mesma intensidade nas duas extremidades.

Observe que neste caso não há mais escorregamento das

tiras, pois o momento não varia de uma extremidade à

outra.


Para dimensionar uma viga a flexão deve-se determinar os

valores de momento fletor e da força cortante de maneira

que se determine a largura e altura de sua seção, para que o

material do qual é feita possa resistir às tensões de tração e

de compressão provocadas pelo momento fletor e às

tensões tangenciais ou de cisalhamento provocadas pelas

forças cortantes.

Como se verá mais adiante, as tensões de cisalhamento

provocam também tensões de tração e de compressão em

planos inclinados em relação a seção transversal da viga.

Equilíbrio externo das vigas -

Cálculo das reações de apoio

• Vigas bi apoiadas sem balanços

O equilíbrio externo das vigas depende das cargas que

atuam sobre as vigas e das reações a essas cargas

provocadas pelos vínculos, denominadas reações de apoio.

As primeiras cargas são denominadas cargas externas

ativas e as segundas, reativas.

Em uma viga, as cargas externas ativas são: cargas

distribuídas decorrentes do peso próprio da viga; as cargas

aplicadas pelas lajes e alvenarias; e as cargas concentradas

devidas a outras vigas que nela se apoiam.



Para determinação das cargas externas reativas, é

necessário conhecer-se as forças de reação que cada

vínculo é capaz de admitir.

Assim, um apoio articulado móvel, que permite giro e

deslocamento horizontal, só reage a forças verticais.

Portanto, esse vínculo só admite reação vertical. O vínculo

articulado fixo, por impedir deslocamento vertical e

horizontal, admite reações vertical e horizontal. O vínculo

engastado, que impede rotação e deslocamentos, admite

reação vertical, horizontal e momento.



Se, sob a ação das cargas externas ativas e reativas, a viga

estiver em equilíbrio estático valem as condições de

estabilidade já enunciadas, ou seja, não anda na horizontal,

não anda na vertical e não gira. Essas condições podem ser

traduzidas matematicamente pelas chamadas equações da

estática, ou seja:

- não anda na horizontal 𝐹𝐻 = 0

- não anda na vertical 𝐹𝑉 = 0

- não gira 𝑀 = 0



Não andar na horizontal significa que a soma de todas as

forças na horizontal (incluindo as projeções horizontais

das forças inclinadas) deve resultar nula.

O mesmo para as forças verticais. Não girar significa que

os giros (momentos) que as forças ativas e reativas tendem

a provocar em relação a um ponto qualquer,

preestabelecido, são nulos.



Exemplo: determinar as reações de apoio da viga da figura

abaixo.



Denominem-se de A e B os apoios. Colocando a seguir as

reações possíveis em cada tipo de vínculo, tem-se:



Em seguida apliquem-se as três equações da estática:

𝐹𝐻 = 0, 𝐹𝑉 = 0 e 𝑀 = 0

Usando a primeira equação e convencionando um sinal

para as forças, ou seja, se a força horizontal tiver o sentido

da esquerda pra a direita será positiva, caso contrário

negativa. Essa convenção pode ser oposta a esta sem que

os resultados sofram qualquer alteração. Assim:



Como não existe nenhuma força horizontal atuando na

viga, a equação resulta no óbvio, ou seja, a reação

horizontal no apoio B é zero, não existe.

Aplicando a segunda

equação e também

convencionando que as

forças com sentido de

baixo para cima são

positivas e as de sentido

contrário negativas, tem-se:



Deve-se aplicar, ainda, a terceira equação, a que se refere

ao giro, convencionando-se que se a força tender a fazer a

viga girar no sentido horário, em relação a um ponto

qualquer escolhido, ela será positiva, caso contrário

negativa. Antes de aplicar essa terceira equação é

necessário escolher um ponto qualquer, mas qualquer

mesmo, para se tomar os momentos das forças ativas e

reativas que atuam na viga.



Para tomar o resultado mais rápido, recomenda-se que o

ponto escolhido (também denominado polo de momento)

para considerar os momentos das forças, seja um dos

apoios.

Seja, neste exemplo, o ponto B0 polo dos momentos.

Assim:



Considere-se o momento de

cada força, desconsiderando,

em princípio, as demais, ou

seja:



Portanto, tem-se:



Como M = F x d, no primeiro caso tem-se como força a

reação VA, cuja distância ao polo B é 5m. Sua tendência

de giro em relação a B é no sentido horário. Soma-se a esse

momento o momento da força de 2,0 tf, cuja distância ao

polo B é de 2 m e cujo sentido de giro em relação a B é

anti-horário.

No terceiro caso, a linha de ação da reação VB passa pelo

ponto B, logo sua distância a B é zero, o que resulta em um

momento nulo.



Completando-se a equação

2, tem-se:

Para determinar VB,

substitui-se o valor de VA

na equação 1:



Exercício: Calcular as reações de apoio para a viga da figura a

seguir.



Para simplificar o cálculo, pode-se generalizar os

resultados, usando uma força P qualquer atuando sobre a

viga de vão l qualquer e distante a e b dos apoios A e B,

respectivamente.



Desta maneira, basta aplicar diretamente essas relações

genéricas, sem necessidade de se determinar os valores das

reações usando, toda vez, as equações da estática.

Se houver mais de uma carga na viga, faz-se o cálculo das

reações parciais para cada carga, somando-se ao final esses

valores parciais para obter a reação total em cada apoio.



Exemplo:



A viga deste exemplo pode ser decomposta em três vigas, carregada cada uma com uma carga concentrada. Calculam-se os valores das reações para cada viga e somam-se esses valores parciais para obter o valor final.

Exemplo:



Somando-se os valores parciais,

tem-se:



No caso de cargas uniformemente distribuídas sobre a

viga, tais como seu peso próprio, laje e alvenaria, usa-se o

artifício de substituir a carga distribuída pela sua resultante.



Como a carga distribuída é de 2,0 tf/m e o seu

comprimento é de 4 m, sua resultante é de P = 2,0 tf/m

x 4 m = 8,0 tf, aplicada no meio, ou seja:



Usando as equações da estática, desconsiderando a que

se refere a forças horizontais, já que só existem cargas

verticais atuando sobre a viga, tem-se:



Resultados que eram de se esperar: já que a carga é

uniformemente distribuída sobre toda a extensão da viga,

metade de seu valor vai para cada apoio. Generalizando,

considerando a carga distribuída q e o vão l, tem-se:



Exemplo: Calcular as reações de apoio da viga da figura.

Carga distribuída:



1ª carga concentrada:



2ª carga concentrada:



• Vigas em balanço

Como foi visto, uma viga em balanço é aquela em que uma

das extremidades é totalmente livre de apoio e a outra

apresenta um apoio engastado.



Como o vínculo engastado não admite deslocamentos

horizontal e vertical e nem o giro da barra, ele é capaz de

absorver reações horizontais, verticais e momento.



Lembrar que a linha de ação da reação

VA passa pelo ponto A, escolhido como

polo dos momentos. Já o momento

reativo MA, apesar de estar atuando no

polo A, não se anula, porque ele já é um

momento e não uma força, por isso não

é multiplicado por qualquer distância.



O resultado é esperado, pois o momento de P em relação ao apoio é o seu

valor P multiplicado pela sua distância ao apoio, bo, portanto P x bo .

Esse resultado pode ser generalizado para qualquer quantidade de cargas

concentradas.

Assim:



Exemplo: Calcular as reações de apoio para o balanço da figura.



A viga da figura da página anterior pode ser decomposta em

três outras:



Somando todas as reações intermediárias, tem-se:



No caso de carga distribuída, usa-se o mesmo artifício já usado

anteriormente: substitui-se a carga distribuída pela sua resultante. Assim:



As vigas biapoiadas, já estudadas, também podem

apresentar balanços, o que não altera os procedimentos

vistos.

Suponha-se a situação da figura, onde só existe a carga

P concentrada aplicada no extremo do balanço:



O resultado negativo para a reação VA indica que está ocorrendo um

arrancamento no apoio. Esse efeito que o momento do balanço causa nas

reações de apoio, aliviando o apoio oposto e sobrecarregando o apoio do

balanço é denominado efeito de alavanca. Pois, nessa situação, a viga se

comporta como uma alavanca, usada para levantar pesos.

Uma outra maneira de encaminhar a solução e que pode agilizar os

cálculos é considerar o vão independente do balanço, calcular o balanço

independentemente e aplicar o resultado ao vão.



Assim:



Repare que os resultados são os mesmos. Prestando mais

atenção aos valores obtidos, pode-se notar que:

Sendo P x bo o momento devido ao balanço, tem-se que a

reação VA é o momento do balanço dividido pelo vão, ou seja:



Como P é a carga no balanço, tem-se que a reação VB é igual

às cargas existentes no balanço somadas ao momento do

balanço (P x bo), dividido pelo vão central, ou seja:



Considere-se a situação apresentada na figura a seguir:

3. cálculo dos esforços em vigas

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