UniversidadeLusadadeLisboaAnlisedeDados/Anlisee TratamentodeDados/EstatsticaCadernodeproblemasAnoLectivo2010/2011

Antnio St.Aubyn staubyn@isa.utl.pt Nuno Venes nvenes@lis.ulusiada.pt Cristina Nunes cristinanunes.13@gmail.com Fernando Martins fmartins@bportugal.pt

Cadernodisponvelemwww.nunovenes.com.sapo.pt

ndice: Captulo1DadosEstatsticospgina2 Captulo2Associaoerelaodevariveispgina16 Captulo3Nmerosndicespgina32

CAPTULO 1 DADOS ESTATSTICOSProblema1 Indique,paracadacaso,seestamosperanteumavarivelqualitativaouquantitativa e, neste caso, se a mesma contnua ou discreta, quando de uma populao se pretendeanalisar: Ofilmepreferido_____ Onmerodelivrosadquiridosem2007_____ Setemcartadeconduo_____ Meiodetransporteutilizadoparaadeslocaocasa/universidade_____ Idade_____ Altura_____ Notadeacessouniversidade____ Cordosolhos_____ Onmerodehorasdeaulaspordia____ Problema2 Numa freguesia foram recolhidos elementos relativos ao nmero de livros adquiridosduranteomsdeAgostode2009(tabelaseguinte): 0 1 5 6 4 3 3 2 4 1 6 5 4 3 3 2 1 3 5 7 5 5 6 6 5 4 3 3 3 2 0 1 1 1 2 3 4 5 5 3 a) Construa a tabela de frequncias (absolutas e relativas, simples e acumuladas). b)Representegraficamenteosdados. c)Determineasseguintesmedidasestatsticas: detendnciacentral(Mdia,ModaeMediana) delocalizao(Quartis,Percentil70eDecil8) de disperso (amplitude total, amplitude interquartil, desvio absoluto mdio,varincia,desviopadroecoeficientedevariao). d)Representeodiagramadeextremosequartis(caixadebigodes). e)Classifiqueaamostraquantoassimetria.

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Problema3 OsatrasosemminutosemvooseuropeusnumdeterminadodiadomsdeJulhode 2008noaeroportodaPortelaforamosseguintes: 4.7 5.1 3.8 10.5 3.8 3.2 5.4 5.6 5.7 7.2 7.1 6.8 6.8 5.6 11.8 9.1 8.3 8.4 5.6 6.4 5.4 5.3 6.1 4.3 3.8 4.9 5.1 4.9 4.8 4.9 10.8 11.4 5.4 4.9 5.9 8.2 8.3 8.6 5.6 6.1 12.3 3.9 4.7 4.9 4.9 5.4 6.7 6.9 6.8 7.1 a)Construaumgrficocaulefolha. b)Procedaaoagrupamentodosdadosemclasseseconstruaarespectivatabela defrequncias. c) Construa um histograma. Comente a distribuio de frequncias assim representada. Problema4 NumtestedeMatemtica,obtiveramseosseguintesresultados: 13 16 12 10 10 8 7 9 10 12 12 10 10 12 9 8 10 11 12 13 13 12 10 10 9 8 7 8 8 10 a)Comenteaseguinteafirmao: Anotamdiasuperiornotamaisfrequente. b)Determineamedianadadistribuioeinterpreteosignificado doresultado obtido. c)Comenteaseguinteafirmao: Todos os 40% dos alunos que tem as melhores notas, apresentam notas superioresmdia d)Recorrendoapenasamedidasdelocalizao,comenteotipodeassimetriada distribuio. Calcule um coeficiente de assimetria sua escolha para confirmarasuaconcluso. e) Admita que todas as notas tinham sofrido um aumento de 12% no teste seguinte. Sem efectuar clculos, diga o que acontece mdia, ao desvio padroevarincia.

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Problema5 Nombitodeumestudosobreorendimentoanualdeduaspopulaes,AeB,foram extradasamostrasde15elementosdecadaumadelas.Osresultadosemmilhares deeurosforamosseguintes. A 12 40 24 45 68 32 68 23 63 30 17 62 65 34 45 B 14 61 24 68 41 62 14 67 58 24 32 19 20 51 68 a)Considerandoamdiaaritmticacomoindicadorexpliciteaqualapopulao commaiorrendimento. b)Determineamodaeamedianadecadaumadaspopulaes. c)TendoemconsideraoqueavarinciadeBde426,78,utilizeumamedida adequadaparacompararadispersodasduasdistribuies. d)Verifiqueseaconclusoaquechegounaalneaanteriorcorroboradapela anlisecomparadadosdiagramasdeextremosequartis(caixadebigodes) destasdistribuies. e) Se todos os elementos deste grupo tiverem um acrscimo no rendimento disponvel de 2 milhares de euros, quais sero as consequncias sobre as medidas de localizao (mdia) e de disperso (varincia e desviopadro) dorendimentodogrupoA. Problema6 ConsiderequenopasAadistribuiodariquezaaseguinte: Rendimento(milharesde Ndefamlias ) ]0;12] 11 ]12;24] 12 ]24;36] 19 ]36;48] 54 ]48;60] 56 ]60;72] 350 a) Comente,calculandomedida(s)adequada(s),ograudedesenvolvimentodo pas. b) DesenheacurvadeLorenzeinterpreteumpontoqualquerdacurva.

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Problema7 Entreas18heas19hdeumdeterminadodia,umradarcolocadonumaautoestrada portuguesa para deteco da velocidade de circulao dos veculos revelou os seguintesresultados: Velocidade(Km/h)]80,100]]100,120]]120,140]]140,160]]160,180]]180,200]]200,220] Ndeveculos18491967438123

a) Construa um histograma e retire todas as concluses possveis sobre a distribuiodefrequncias. b) Aps analisar os resultados do estudo, um responsvel pela diviso de trnsitodapolciaafirmouqueosveculoscircularam,emmdia,emexcesso develocidade,noobstantemetadedosveculosterempassadonocontrolo abaixo do limite de velocidade. Concorda com estas afirmaes? Justifique, apresentandotodososclculosquetiverqueefectuar.Nota:Considerequeo limitemximodecirculaode120km/h. c) Comente a seguinte afirmao: "Considerando apenas os 80% de veculos comvelocidadesdecirculaomaiscentrais,adiferenaentreasvelocidades dosveculosmaisrpidoemaislentonoultrapassouos62km/h". d) Atravs do recurso a clculos apropriados, comente a simetria da distribuio. e) Setodososveculostivessemcirculadoaumavelocidade17%inferior,quala novavarinciaedesviopadrodadistribuio?Nestecaso,teriahavido,em mdia,excessodevelocidadedecirculao?Justifique.

Problema8 OsatrasosemminutosemvooseuropeusnumdeterminadodiadomsdeJulhode 2008noaeroportodaPortelaforamosseguintes: Atraso]0,10]]10,20]]20,30]]30,40]]40,50]]50,60] Ndevoos29231714114 a) Construa um histograma. Comente a distribuio de frequncias assim representada. b) Calculeamdia,varinciaeodesviopadroreferentesaosminutosdeatraso dosvoos.

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c) Obtenhaamediana.Comparecomamdiaetireconcluses. d) Estudeempormenorasimetriadadistribuio. Problema9 AdmitaqueseobservaramosseguintesvaloresdeumavarivelX: x1 = 8; x 2 = 9.8; x3 = 5.2; x 4 = 6.4; x5 = 7; x6 = 8.5; x7 = 9.3; x8 = 4.9; x9 = 6.3; x10 = 7.6 a) Construaumdiagramadecauleefolhas. b) Calculeovalordasseguintesexpresses: 6 5 10 1 7 2 ii) xi2 iii) ( xi x ) iv) ( xi x ) i) xi 4 i =3 i=2 i =3 i =6 c) Calculeeinterpreteovalordamediana. d) Admitaqueseacrescentouuma11observaosrieanterior,detalmodo queamdiapassouaserde7.4.Qualovalorde x11 ?Apresenteosclculos quetiverqueefectuar. e) Considerando a srie original (com 10 observaes), comente a seguinte afirmao:77%dosvaloresdexsosuperioresa8. Problema10 Explique adequadamente como se deve proceder para comparar a disperso de duasdistribuiescommdiasdiferentes. Problema11 AdmitaqueseobservaramosseguintesvaloresdeumavarivelX: x1 = 6.2; x 2 = 6.4; x3 = 6.8; x 4 = 5.2; x5 = 7.9; x6 = 7.9; x7 = 8.2; x8 = 4.3; x9 = 7.5; x10 = 6.7

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a) Calculeovalordasseguintesexpresses: i) ( xi x ) i =3 6

ii) xi x i =1

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b) c)

d) e)

Calculeeinterpreteovalordamediana. Admita que se retirou uma observao srie anterior, de tal modo que a mdiapassouaserde6.7.Qualaobservaoretirada?Apresenteosclculos quetiverqueefectuar. Calculeeinterpreteovalordodesvioabsolutomdio. Construa um diagrama de extremos e quartis (caixadebigodes) e pronunciese quanto assimetria da distribuio. Calcule um coeficiente apropriadoparaconfirmarasuaconcluso.

Problema12 O director de uma empresa de lanifcios (empresa A) est preocupado com o nmero de devolues de camisolas com defeito. De forma a procurar resolver o problema,observouonmerodedevoluespormsaolongodoltimoano,tendo obtidoosseguintesresultados: x1 = 32; x 2 = 27; x 4 = 39; x3 = 45; x5 = 43; x6 = 54; x7 = 25; x8 = 44; x9 = 40; x10 = 38; x11 = 51; x12 = 35;

a) Calculeeinterpreteonmeromdioeonmeromedianodedevolues decamisolas. b) Calcule o desviopadro e o coeficiente de variao e interprete este ltimocoeficiente. c) Oquepodeconcluirquantoassimetriadadistribuio? d) Na empresa B, conhecida a mdia e o desviopadro do nmero de devolues (respectivamente, 84 e 15.4). Em qual das empresas a dispersomaiselevada?Justifique.

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Problema13 A presidente de uma empresa de confeces (empresa A) est preocupada com o nmero de devolues de peas com defeito. De forma a procurar resolver o problema,observouonmerodedevoluespormsaolongodoltimoano,tendo obtidoosseguintesresultados: x1 = 33; x 2 = 28; x3 = 46; x 4 = 40; x5 = 44; x6 = 55; x7 = 26; x8 = 45; x9 = 41; x10 = 39; x11 = 52; x12 = 36

a) Calculeeinterpreteonmeromdioeonmeromedianodedevolues decamisolas. b) Calcule a varincia e o coeficiente de variao e interprete este ltimo coeficiente. c) Pronunciesequantoassimetriadadistribuio? d) Na empresa B, conhecida a mdia e o desviopadro do nmero de devolues (respectivamente, 87 e 17.2). Em qual das empresas a dispersomaiselevada?Justifique. Problema14 O nmero de golos marcados por uma equipa de andebol nos doze jogos de um torneiofoioseguinte: x1 = 22; x2 = 25; x4 = 19; x3 = 18; x5 = 22; x6 = 27; x7 = 20; x8 = 24; x9 = 16; x10 = 21;

x11 = 23;

x12 = 26.

a) Calculeeinterpreteamdiaeamedianadonmerodegolosmarcados. b) Calculeeinterpreteointervalointerquartis. c) Represente o diagrama de extremos e quartis (caixadebigodes) e comenteaassimetriadadistribuiodonmerodegolosmarcados. d) CalculeoscoeficientesdeassimetriadePearsonedeBowleyedigaseos resultadosconfirmamasconclusesdaalneaanterior. e) Calculeocoeficientedevariaoecomenteoresultadoobtido.

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Problema15 Os dados seguintes referemse aos salrios (em euros) de um conjunto de 16 trabalhadoresdeumaempresasiderrgica: 720 1190 840 1210 1260 1040 790 1130 640 820 980 750 1230 960 1170

a) Sabendoqueamdiadossalriosde982,5,calculeovalordosalrio emfaltanatabela. b) Calculeamedianadossalrioseinterpreteoresultadoobtido. c) Calcule o coeficiente de assimetria de Bowley e conclua quanto assimetriadadistribuio.Compare,emtermostericos,estecoeficiente comodePerson(nota:noprecisadecalcularesteltimo). Problema16 Admitaqueumaamostrade200velocidades(emKm/h)controladasporradarna PonteVascodaGamatemmdiade98,varinciade324edesviopadrode18.Para efeitosdeeventuaisprocessosdecontraordenao,aGNRretirou8Km/hatodas as velocidades. Calcule a mdia, a varincia e o desviopadro depois de realizado esteprocesso. Problema17 Odirectordeumaempresadefendequeograudeconcentraodossalriosmuito reduzido na sua empresa. Na sua opinio, a massa salarial est bem repartida por todososfuncionriosdaempresa.Tendoemcontaosdadosaseguirapresentados, concordacomaposiododirector?Justifiqueadequadamente.(2val.) Salriodirio Nde () funcionrios 81134 134187 187240 240293 293346 346399 22 31 27 9 7 4

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Problema18 Com o objectivo de estudar a concentrao do investimento de um conjunto de empresas de construo civil, realizouse um inqurito a 1500 empresas, tendose obtidoosseguintesresultados: Montantedeinvestimento Nmerodeempresas () ]0;5000] ]5000;10000] ]10000;15000] ]15000;20000] ]20000;25000] 621 410 357 94 18

DetermineondicedeGinideconcentraodoinvestimento,representeacurvade Lorenzeretireconcluses. Problema19 Com o objectivo de estudar a concentrao das despesas com pessoal de um conjunto de empresas de hotelaria, realizouse um inqurito a 2035 empresas, tendoseobtidoosseguintesresultados: Despesa() Nmerodeempresas ]0;5000] ]5000;10000] ]10000;15000] ]15000;20000] ]20000;25000] 90 43 50 72 1780

Determine o ndice de Gini de concentrao da despesa com pessoal, represente a curvadeLorenzeretireconcluses.

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Problema20 Comenteaseguinteafirmao: Se,numadadacidade,orendimentodetodososhabitantesaumentarde5%,ento aconcentraodorendimentonessacidadediminui5%. Problema21 Considereosdadosdatabelaqueseseguerelativosaonmerodevezesporsemana que40alunosdeumaescolavobiblioteca: Xi 0 1 2 3 4 Total a) Sabendoque30%dosalunosvobiblioteca3vezesporsemana,9alunos nuncavobiblioteca,e15alunosvomenosdoque2vezesporsemana, completeatabela. b) Determineamdia,amedianaeodesviopadrodonmerodevezespor semanaqueos40alunosvobiblioteca. Problema22 Considereosdadosdatabelaqueseseguerelativosaonmerodevezespordiaque 30doentesdiabticostmnecessidadedeinjectarinsulina: Xi 0 1 2 3 4 Total a) Sabendoque20%dosdoentesseinjectamduasvezespordiaeque8dos 30doentesseinjectam4vezespordia,completeatabela. b) Determineamdia,amedianaeodesviopadrodonmerodevezespor diaqueos30doentesdiabticostmnecessidadedeinjectarinsulina. ni 4 Ni fi Fi 6/30 ni Ni f i Fi 22/40

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Problema23 Considereosdadosdatabelaqueseseguerelativosaonmerodevezesporsemana que50habitantesdeumaaldeiavomissa: Xi 0 1 2 3 4 Total a) Sabendoque 24%doshabitantesvomissa3 vezespor semana, 28% nunca vo missa, e 38% vo menos do que 2 vezes por semana, completeatabela. b) Determineamdia,amedianaeodesviopadrodonmerodevezespor semanaqueos50habitantesvomissa. Problema24 Numasriede35mediesobteveseumamdiade68metros.Depoisdeobtidos estes resultados, descobriuse que tinha sido cometido um engano numa das medies, que tinha sido registada com o valor de 75 metros. Determine a mdia, admitindoqueamedioincorrectafoieliminada. Problema25 Numasriede25mediesobteveseumamdiade56metros.Depoisdeobtidos estes resultados, descobriuse que tinha sido cometido um engano numa das medies, que tinha sido registada com o valor de 64 metros. Determine a mdia, admitindoqueamedioincorrectafoieliminada. ni Ni fi Fi 0.62

Problema26

Numasriede35mediesobteveseumamdiade68metros.Depoisdeobtidos estes resultados, descobriuse que faltava incluir uma medio registada com o valorde95metros.Determineamdia,admitindoquefoitidaemcontaamedio adicional.

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Problema27 Umaaldeiatemumapopulaode120habitantes,sendoqueumdesteshabitantes multimilionrio, com um salrio de 7 milhes de euros por ano. O salrio mdio nesta aldeia de 95 mil euros/ano. Qual o salrio mdio dos restantes 119 habitantesdaaldeia? Problema28

Uma pequena vila tem uma populao de 150 habitantes, sendo que um destes habitantes multimilionrio, com um salrio de 8 milhes de euros por ano. O salriomdionestavilade100mileuros/ano.Qualosalriomdiodosrestantes 149habitantesdestavila? Problema29 Os 120 habitantes de uma aldeia tm um salrio mdio de 110 mil euros/ano. Sabendose que um destes habitantes multimilionrio e que o salrio mdio dos restantes 119 habitantes de 32 mil euros/ano, qual o salrio anual do habitante multimilionrio? Problema30 Umaamostrade30distnciasexpressasemmilhasterrestrestemmdiaiguala10, varinciaiguala16edesviopadroiguala4. a) Pretendendo converter todas as distncias em km, sabendo que 1km so 0.62milhas(1milha=1.61km),determineamdia,avarinciaeodesvio padroexpressosemkm. b) Posteriormente, constatou que apenas lhe interessariam as distncias a partirdeumcertopontopeloque,apsterconvertidotodasasdistncias emkm,decidiusubtrair4kmatodaselas.Qualseramdia,avarinciaeo desviopadronestecaso? Problema31 Admitaqueumaamostrade100velocidades(emKm/h)controladasporradarna Ponte 25 de Abril tem mdia de 72, varincia de 529 e desviopadro de 23. Para efeitos de eventuais processos de contraordenao, a GNR retirou 6% a todas as velocidades.Calculeamdia,avarinciaeodesviopadrodepoisderealizadoeste processo.

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Problema32 Em relao distribuio seguinte, qual lhe parece a ordem correcta das trs medidas de tendncia central, referindo a correspondncia entre cada uma e as letrasdogrfico(V1,V2eV3).Justifique.

Problema33 Numa superfcie comercial, foram registadas as despesas em compras de cada clienteentreas9horaseas10horasenohorriodeponta(entreas19horaseas vintehoras).Osresultadosforamosseguintes: Distribuio1 Distribuio2 Observao Valor () Observao Valor () 1 15 1 34.54 2 18.5 2 52.45 3 22.7 3 62.5 4 81 4 92.3 5 33.45 5 42.8 6 19.2 6 31.5 7 21.2 7 121.3 8 34.5 8 100.45 9 14.2 9 109.5 10 55.1 10 92.5 11 20.35 11 83.2 12 28.6 12 95.4 13 41.3 13 131.42 14 17.4 14 119.56 15 28.3 15 111.5 Pgina14

a) b) c) d)

Compareasdistribuiesemtermosdevalormdiodascompras. Calculeasmedianaseinterpreteosresultadosobtidos. CalculeoscoeficientesdeassimetriadeBowleycompareosresultados. Represente os diagramas de extremos e quartis (caixadebigodes) e comente. e) Calculetodasasmedidasdedispersoqueconheceeinterpreteosresultados obtidos,comparandoasduasdistribuies.(Amplitudetotal,intervalointer quartis, desvio absoluto mdio, varincia, desviopadro e coeficiente de variao).

SoluesdoProblema33: Mdia Mediana Quartil 1 Quartil 3 Bowley AT IQ D. Abs. Mdio Varincia D.Padro CV Dist. 1 30.05333 22.7 18.5 34.5 0.475 66.8 16 12.67778 300.1202 17.32398 57.6% Dist. 2 85.39467 92.5 52.45 111.5 -0.356478 99.92 59.05 27.38373 1012.117 31.81379 37.3%

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Problema1 A tabela seguinte constitui uma amostra aleatria referente s alturas, em centmetros,de10raparigaseasrespectivasmes Altura 165 169 166 158 172 160 167 155 169 166 das mes Altura 168 170 168 160 172 164 165 158 172 164 das filhas a)Defina,justificandoqualavarivelexplicativaeaexplicada. b) Represente as observaes num diagrama de disperso e comente a possvel existnciadecorrelaolinear. c)Calculeocoeficientedecorrelaolinearecomenteo. d)Prevejaaalturadeumaraparigacujametenha150cmdealtura. e) Calcule os resduos, analiseos graficamente e conclua acerca da qualidade do ajustamentoefectuado. Problema2 Oquadroseguinteoresultadodeobservaesfeitasnumtnelrodoviriodurante perodosde5minutos,paraoestudodafluidezdetrfego. Densidade 43 55 40 52 39 33 50 33 44 21 (Veic/km) Velocidade 27 23 31 24 35 41 27 40 32 51 (Km/hora) a)Calculeavarinciadecadaumdosconjuntosdedadosobservados. b)Qualdosconjuntosdedadosapresentamaiordisperso?Justifique. c)Calculeocoeficientedecorrelaolinearentreasduasvariveis.Queconcluses poderetirar? d)Determineaequaodarectaderegresso,casosejustifique.

CAPTULO 2 ASSOCIAO E RELAO DE VARIVEIS

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Problema3 Uma cadeia alimentar pretende estimar o impacto do preo mdio anual das suas refeiessobreoseuvolumedevendas.Paratal,procedeurecolhadeinformao referenteaopreodasrefeiesevolumesdevendasnosltimos10anos. Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 5,2 5,4 6,8 7,2 7,3 8,9 9,5 10,4 10,6 Preo das refeies Volume 321 385 462 421 402 406 567 429 387 464 de vendas Sabeseaindaque: X i = 76,3 Yi = 4244 X iYi = 32887,8 X i2 = 622,55 Yi 2 = 1838986 a) Determine o coeficiente de correlao linear entre o preo das refeies e o volumedevendas.Comenteoresultadoobtido. b) Explique de forma sucinta a diferena entre covarincia e o coeficiente de correlaoenquantomedidasqueprocuramavaliaraassociaoentreasvariveis. c) Comente a seguinte afirmao: Apesar de faltarem variveis relevantes no modelo,opoderexplicativodessasvariveisnoultrapassaos17% Problema4 Uma empresa produtora de cremes faciais pretende avaliar o impacto das suas despesasempublicidadesobreovolumedevendas.Paratal,procedeurecolhade informaoreferenteagastospublicitriosevolumedevendasnosltimos10anos: Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52,3 30,2 41,4 70,7 60,3 51,8 59,6 44,5 49,7 60,8 Gastos publicitri os (milhares ) 380, 370, 400, 425, 397, 381, 417, 400, 391, 418, Vendas 2 3 4 2 5 6 4 3 2 (milhares 4 ) Sabeseaindaque: xi = 521,3 y = 3982,6 xi yi = 209023 xi2 = 28378 yi2 = 1589068

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a) Determine o coeficiente de correlao linear entre os gastos publicitrios e o volumedevendasearespectivacovarinciaecomenteosdoisresultadosobtidos, querindividualmente,quercomparativamente. b)Determinearectaderegressoeinterpreteosseusparmetros. Problema5 Para as crianas com idades entre 18 e 29 meses existe uma relao linear aproximada entre a altura (em centmetros) e a idade (em meses) que pode ser representada por : altura = 64.93 + 0,63 x idade. O Jos tem 22,5 meses e 80 centmetrosdealtura,qualoresduodadoparaarespectivaaltura? Problema6 Paraascrianasemgeralexisteumarelaolinearaproximada entreaaltura(em centmetros) e a idade (em meses). Cada criana medida mensalmente. Uma crianatinha98cmcom3anose108cm18mesesdepois.Umarectadosmnimos quadradosfoicalculadaparaajustarestesvalores.Determineodeclivedessarecta. Problema7 Relativamenteaumconjuntode10dadosbidimensionais(X,Y),sabeseque: xi = 160 yi = 198 xi2 = 2874 yi2 = 4324 xi yi = 3496 a)CalculeamdiaeavarinciadeX. b)CalculeocoeficientedecorrelaoentreXeY.Comenteoresultado. c)Casosejustifique,determineaequaodarectaderegressodeXsobreY. d)Apresenteumvaloradmissvelparayquandox=16ecomenteo. Problema8 Umaagnciadecolocaodelicenciadosnomercadodetrabalho querdeterminar seamdiafinaldosestudantes(MF)podeexplicaronmerodeofertasdeemprego recebidas aps o final dos cursos. Considere a seguinte amostra de 10 recm licenciados: Estudante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MF 11 12,25 10,3 10,2 15 15,1 11,9 16,6 13,2 15,2 Ofertas 3 4 1 0 4 3 2 5 4 4

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a) Construaumdiagramadedisperso. b) Calculeeinterpreteocoeficientedecorrelaolinearentreasvariveis. c) Calcule e interprete o modelo de regresso. O que pode concluir sobre a relaoentreasmdiasfinaiseonmerodeofertasdeemprego? d) Se um determinado aluno tiver mdia de 14,4, quantas ofertas de emprego prevqueelevenhaareceber(useomodeloestimado)? Problema9 ADirecoGeraldoConsumidorestaprepararumestudosobreocomportamento dos consumidores. Foram recolhidos os seguintes dados relativos a 12 consumidores para determinar se existe relao entre o rendimento dos consumidoreseosnveisdeconsumo: Consumidor 1 Rendimento 24,3 Consumo 16,2 2 12,5 8,5 3 31,2 15,0 4 28,0 17,0 5 35,1 24,2 6 10,5 11,2 7 23,2 15,0 8 10,0 7,1 9 8,5 3,5 10 15,9 11,5 11 14,7 10,7 12 15,0 9,2

a) Construaumdiagramadedispersoparaosdados. b) Calculeeinterpreteocoeficientedecorrelaolinearentreasvariveis. c) Calcule e interprete o modelo de regresso. O que se pode concluir do modeloacercadarelaoentreconsumoerendimento? d) Qual dever ser, a partir do modelo, o consumo de uma pessoa cujo rendimentosejade27,5? Problema10 Um banco especializado em crdito habitao pretende analisar o mercado imobilirio medindo o poder explicativo das taxas de juro no nmero de casas vendidasemdeterminadarea.Osdadosseguintesreferemseaumperodode10 meses: Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Juros 12,3 10,5 15,6 9,5 10,5 9,3 8,7 14,2 15,2 12,0 Casas 196 285 125 225 248 303 265 102 105 114 a) Construaumdiagramadedispersoparaosdados. b) Calculeeinterpreteocoeficientedecorrelaolinearentreasvariveis. c) Calculeeinterpreteomodeloderegresso.Oquenosdizomodelosobrea relaoentreastaxasdejuroeasvendas? d) Seataxadejuroforde9,5%,quantascasasserovendidas(deacordocomo modeloestimado)?

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Problema11 Umprofessorpercebeuquemuitosdosseusalunosfaltavamsaulas.Pensouqueo quepoderiaexplicarasfaltasseriaadistnciaentreaescolaeolocalondevivemos alunos.Assim,realizouumapesquisacom11alunoserecolheuosseguintesdados relativosdistnciaemquilmetrosqualosalunosviviameaorespectivonmero defaltas: Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Distncia 5 6 2 0 9 12 16 5 7 0 8 Faltas 2 2 4 5 4 2 5 2 3 1 4 a) Construaomodeloderegresso. b) Calculeeinterpreteocoeficientedecorrelaolinearentreasvariveis. c) Calculeeinterpreteomodeloderegresso. d) Aquantasaulasfaltariaumalunoquemorassea6quilmetrosdaescola(de acordocomomodeloestimado)? Problema12 Pretendese estimar o impacto dos anos de experincia profissional dos trabalhadores no nmero de trabalhadores contratados por uma determinada empresa. Paratal,procedeurecolhadaseguinteinformaoreferentesltimas contrataesdestaempresa: Anos experincia 2 4 8 3 1 9 7 2 3 4 N trabalhadores 30 42 31 29 38 43 39 53 49 48 contratados Sabeseaindaque: X i = 43 X i Yi = 1706 X i 2 = 253 Yi 2 = 16794 Yi = 402 a) Determineocoeficientedecorrelaolinearentreosanosdeexperinciaeo nmerodetrabalhadorescontratadosecomenteoresultadoobtido. b) Determinearectaderegressolineareinterpreteosseusparmetros. c) Comenteaseguinteafirmao: Osanosdeexperinciasoumavarivelpoucorelevanteparaexplicaronmero detrabalhadorescontratadosporestaempresa. d) Deacordocomomodeloestimado,qualonmeroesperadodetrabalhadores com 6 anos de experincia contratados por esta empresa? Comente a fiabilidadedoresultadoobtido.

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Problema13 Umauniversidadepretendeestimaroimpactodovalordaspropinasanuaissobreo seulucrolquido.Paratal,procedeurecolhadeinformaoreferenteaovalordas propinaserespectivolucrolquidonosltimos10anos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ano Propina 304 356 376 409 438 470 538 567 602 750 anual () Lucro 2674 2514 2219 2268 2186 3480 2870 2745 2806 2803 Lquido () Sabeseaindaque: X i = 4810 X = 481 Y = 2656,5 Yi = 26565 2 2 X i Yi = 12954841 X i = 2476390 Yi = 71929623 a) Determine o coeficiente de correlao linear entre o valor das propinas anuaiseolucrolquidoanualecomenteoresultadoobtido. b) Determinearectaderegressolineareinterpreteosseusparmetros. c) Comenteaseguinteafirmao: Nomximo,opoderexplicativodasvariveisrelevantesnoincludasnomodelo de75%. d) Se, no prximo ano, a universidade decidir aumentar o valor das propinas para 780 , qual ser o lucro lquido esperado de acordo com o modelo estimado? Problema14 A DirecoGeral de Turismo pretende analisar a eventual relao entre os preos dosbilhetesdeumparquedediverseseorendimentomdioanualporhabitante residente no respectivo concelho. Para tal, procedeu recolha de informao referenteaopreodosbilheteserendimentomdioanualporhabitantenosltimos 10anos: Preodos bilhetes() Rendimento mdioanualpor habitante (milharesde) 8 10,8 11 11,25 13 10,5 12,5 10,56 13 11,58 15,5 11,7 15,2 16,7 18 18,2

11,73 11,52 11,58 11,625

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Sabeseaindaque: X i = 112,845 Yi = 141,1 X = 11,2845 Y = 14,11 2 2 X i Yi = 1601,235 X i = 1275,493 Yi = 2084,67 a) Determine o coeficiente de correlao linear entre o preo dos bilhetes e o rendimentomdioanualporhabitanteecomenteoresultadoobtido. b) Determine a equao da recta de regresso linear e interprete os seus parmetros(aeb). c) Comenteaseguinteafirmao: No mximo, o poder explicativo das variveis explicativas relevantes no includasnomodelode41%. d) Se,noprximoano,orendimentomdioporhabitanteforde12milharesde euros, qual ser o preo esperado dos bilhetes de acordo com o modelo estimado?Comenteafiabilidadedasuapreviso. e) Quais as principais diferenas entre a covarincia e o coeficiente de correlaolinearenquantomedidasdeassociaoentreduasvariveis? Problema15 Pretendese estimar o impacto do nmero de anos de escolaridade dos trabalhadores de uma empresa no rendimento mensal desses trabalhadores. Para tal, procedeuse recolha da seguinte informao referente a um conjunto de 10 trabalhadores: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trabalhador Rendimento () 500 1800 750 550 2500 2120 1400 1850 650 1100 Anos Escolaridade 4 9 7 7 17 11 13 15 8 10 Odiagramadedispersodadopor: Sabeseaindaque: 2 Yi = 22114400 X i = 101 Y i = 13220 X i Yi = 155270 X i 2 = 1163 3000 2500 2000 Y 1500 1000 500 0 2 4 6 8 10 X 12 14 16 18

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a) Semefectuarquaisquerclculos,comenteotipoderelaoesperadaentreo rendimentoeonmerodeanosdeescolaridade. b) Determineocoeficientedecorrelaolinearentreorendimentoeonmero deanosdeescolaridadedostrabalhadoresecomenteoresultadoobtido. c) Determinearectaderegressolineareinterpreteosseusparmetros. d) Comenteaseguinteafirmao: O nmero de anos de escolaridade permite prever com grande preciso o rendimentodeumdadotrabalhador. e) Quais as principais diferenas entre a covarincia e o coeficiente de correlaolinearenquantomedidasdeassociaoentreduasvariveis? Problema16 Admita que se pretende estimar a relao entre o rendimento e os nveis de consumo (em ) da populao de determinada aldeia. Para tal, procedeuse recolhadeinformaoreferenteaorendimentoeconsumodedezhabitantesdessa aldeia: Consumo() Rendimento() 1692 1975 1809 2041 1482 1973 1104 907 1690 1234 1183 1765 1730 1849 1138 1380 1029 1226 1573 1958

Sabeseaindaque: X i = 17091 Yi = 13647 X i Yi = 24141546 X i 2 = 30113157 Yi 2 = 19593737 a) Determineocoeficientedecorrelaolinearentreoconsumoeorendimento ecomenteoresultadoobtido. b) Determine a equao da recta de regresso linear e interprete os seus parmetros(aeb). c) Comenteaseguinteafirmao: O poder explicativo das variveis explicativas relevantes no includas no modelonoultrapassaos10%. d) Se, um outro habitante includo no estudo tiver um rendimento de 2200 euros,qualseroseuconsumoesperadodeacordocomomodeloestimado? Comenteafiabilidadedasuapreviso. e) Quais as principais diferenas entre a covarincia e o coeficiente de correlaolinearenquantomedidasdeassociaoentreduasvariveis?

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Problema17 Vinte candidatos a um determinado emprego foram submetidos a um programa experimentalduranteseissemanas.Aprimeirasemanafoideaulasdetreinoeno fimdessasemanarealizouseumteste.Ascincosemanasseguintesforamdedicadas ao trabalho, realizandose no fim das seis semanas uma avaliao da performance no trabalho que conduziu a um ndice de performance no trabalho. Os resultados obtidosforamosseguintes: Teste Performance 1.83 1.28 4.59 1.27 2.97 1.25 8.14 2.46 8.00 2.51 3.30 1.17 7.53 1.78 2.03 1.21 5.00 1.63 8.04 1.98 3.25 1.36 5.30 1.70 1.39 0.80 4.69 1.76 6.56 2.09 3.00 1.50 5.85 1.55 1.90 0.77 3.85 1.42 2.95 1.43 Considerandox=Teste,y=Performance,sabeseque: i = 20 i = 20 i = 20 i = 20 i =1 xi = 90.17, i =1 xi2 = 500.8227, i =1 yi = 30.92, i =1 yi2 = 51.8962 a) CalculeocoeficientedecorrelaolinearentreTesteePerformance. b) Parecelhe adequada a existncia de uma relao linear entre Teste e Performance?Justifique. c) Independentemente da resposta alnea anterior determine a recta dos mnimosquadradosdePerformancesobreTeste.Calculeaprecisodarectae interpreteoseusignificado.i =1

i = 20

xi y i = 157.0013.

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d) Interpretenocontextodoproblema,osignificadodocoeficientederegresso dePerformancesobreTeste. e) Determine o resduo da terceira observao. Qual a posio desse ponto relativamenterectaderegresso? f) Um novo candidato seguiu uma semana de treino e submeteuse ao teste tendo obtido o resultado de 2.50. Qual a Performance que o modelo linear prevparaestecandidatonotrabalhoadesenvolver? Problema18 OdesempenhodaslinhasareasnorteamericanasfoireportadonoTheWallStreet Journal Almanaque 1998. Os dados sobre a percentagem de voos que chegam a horasaoseudestinoeonmerodequeixaspor100000passageirosencontramse noquadroabaixo: Percentagemde Queixaspor voossematraso 100000 Companhia passageiros Southwest 81.8 0.21 Continental 76.6 0.58 Northwest 76.6 0.85 USAirways 75.7 0.68 United 73.8 0.74 American 72.2 0.93 Delta 71.2 0.72 AmricaWest 70.8 1.22 TWA 68.5 1.25 Sabeseque: X i = 667.2, xi2 = 49590.46, Yi = 7.18, yi2 = 6.5472 Traceumdiagramadedisperso(scatterplot)considerandoapercentagem devoosdentrodahoracomoavarivelindependente. Interprete o significado do grfico anterior quanto relao entre as duas variveis. Qualaintensidadedaassociaolinearentreasduasvariveis. Determine a recta de regresso que permite relacionar a percentagem de voos dentro da hora com o nmero de queixas por 100000 passageiros, e interpreteoseudeclive. Qualaestimativaparaonmerodequeixasseapercentagemdevoossem atrasoforde80%?

xi y i = 523.215.

a) b) c) d) e)

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f) A partir de um indicador apropriado, pronunciese quanto qualidade do modeloajustado. Problema19 OinteressecrescentenousodaInternettemforadomuitasempresasaconsiderar formas devenderos seus produtosvirtualmente.Destemodo, fundamentalpara estasempresassaberquemestautilizaraInternet.Umestatsticolevouacaboum estudoparadeterminaromodocomoaescolaridadeeautilizaodaInternetesto associadas.Tomouumaamostraaleatriade10adultoseobservou,paracadaum,o nmero de anos de escolaridade e o nmero mdio de horas de utilizao da Internetporsemana.Osdadosencontramsenatabelaseguinte: N anos de 11 12 13 13 13 10 14 11 12 9 escolaridade Nmero horas 11 8 0 11 12 10 12 0 9 3 Internet por semana a) Apenas levando a cabo uma anlise de correlao, comente o grau de associaolinearentreosnveisdeescolaridadeedeutilizaodaInternet. b) Calculeeinterpreteosparmetrosdarectaderegresso. c) No final da sua anlise, o estatstico afirmou que o poder explicativo do modelo era bastante satisfatrio. Concorda com a afirmao? Justifique, apresentandotodososclculosquetiverqueefectuar. Problema20 Admita que se observaram os tempos (em segundos) que 20 atletas de alta competio demoraram para percorrer 100 metros, bem como o peso dos atletas (emquilos).Pretendesemedirainflunciadopesosobreodesempenhodosatletas (medidopelotempo).Obtiveramseosseguintesresultados: xi = 1509, xi2 = 114451, yi = 207.74, yi2 = 2166.72 a) Calcule e interprete o coeficiente de correlao linear entre o tempo para percorrer100metroseopesodosatletas.

xi y i = 15719.17

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b) Calcule a recta de regresso linear pelo mtodo dos mnimos quadrados e interpreteosseusparmetros. c) Um consultor de desporto afirma que os atletas deveriam treinar intensivamente factores como a concentrao, a resistncia do corpo ao vento, entre outros, e preocuparse menos com o peso. Concorda com a afirmao?Justifiqueadequadamente(calculandoumindicadorapropriado, sejulgarnecessrio). d) Qual o tempo esperado para percorrer 100 metros para um atleta com 81 quilos de peso? Admita que este atleta percorreu a distncia em 9.96 segundos.Calculeoresduoparaestepontoecomente. Problema21 Umauniversidadeprocuraverificarseexistealgumarelaolinearentreonmero mdiodehorasdeestudosemanaldosalunosdeAnlisedeDados/Estatsticaeas respectivasclassificaesnosexamesdadisciplina.Depoisdeobservados10alunos seleccionadosaleatoriamente,obtiveramseosseguintesdados: Horasde 6 3 4 2.5 8 2 0 1.5 3 5 estudo Classificao 15 11 13 8 18 9 4 5 9 12 xi = 35, xi2 = 171.5, yi = 104, yi2 = 1250 xi yi = 451.5 a) Determine e interprete o coeficiente de correlao linear entre o nmero mdiodehorasdeestudosemanaiseaclassificaoobtidanosexames. b) Calcule a recta de regresso linear pelo mtodo dos mnimos quadrados e interpreteosseusparmetros. c) Calcule a classificao esperada de um aluno que estude em mdia 7 horas porsemana.Comente,comrecursoaumindicadorapropriado,afiabilidade dasuapreviso. d) Qual o resduo no primeiro ponto observado? Caracterize este ponto em relaosuaposionodiagramadedispersofacerectaderegresso. Problema22 Pretendese analisar a associao entre as colheitas de azeitona e os preos do azeite. Para tal, dispese de informao sobre estas duas variveis ao longo de 7 anos.TomandoXcomoavarivelcolheitas(medidaemmilharesdetoneladas)eY como a varivel preo do azeite (medida em /litro), obtiveramse os seguintes resultados:

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x = 7.84 y = 2.262 s x = 4.364 2 s y = 0.378

s xy = 1.149

Problema23

a) Combasenosvaloresanteriores,quantifiqueacorrelaoentreColheitase Preodoazeite.Comenteoresultadoobtido. b) Determine a recta de regresso entre as duas variveis atravs do mtodo dosmnimosquadrados.Comenteosvaloresestimados(erespectivossinais) paraosparmetrosdaequaodarecta. c) Comente,depoisde efectuar osclculosnecessrios, opoderexplicativodo modeloestimado.

Pretendese analisar a associao entre o rendimento mensal de um conjunto de directoresempresariaiseonmeromdiodefaltasaoempregoporms.Paratal, dispesedeinformaosobreestasduasvariveisaolongode7meses.TomandoX como a varivel rendimento mensal (medido em milhares de euros) e Y como a varivelnmeromdiodefaltasporms,obtiveramseosseguintesresultados: x = 7.84 y = 2.262 s x = 4.364 2 s y = 0.378

s xy = 1.149

a) Combasenosvaloresanteriores,quantifiqueacorrelaoentreRendimento mensaleNmeromdiodefaltas.Comenteoresultadoobtido. b) Determine a recta de regresso entre as duas variveis atravs do mtodo dosmnimosquadrados.Comenteovalorestimado(erespectivosinal)para odeclivedarecta. c) Qual o rendimento esperado para um director com um nmero mdio de faltasde3?Comente,depoisdeefectuarosclculosnecessrios,afiabilidade dasuapreviso.

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Problema24

Problema26

Sabese que existe uma relao linear aproximada entre o peso (em Kg) dos jogadores do Sporting e o nmero de golos por poca, que pode ser representada por: golos=630.75peso. O jogador Liedson pesava 60 Kg e marcou 16 golos na pocapassada.Calculeoresduodadoparaorespectivonmerodegolosmarcados. Problema25 Para um conjunto de atletas, sabese que existe uma relao linear aproximada entre o nmero de horas semanais de exerccio fsico e o nvel de colesterol (em mg/dl sangue) medido no ltimo dia de cada ms. Mensalmente medido o colesteroldecadaatleta.Umatletatinha157decolesterolcom6horassemanaisde exercciofsicoepassouater 148de colesterolcomaintensificaodaactividade fsicapara9horassemanais.Umarectadosmnimosquadradosfoicalculadapara ajustarestesvalores.Determineodeclivedessarecta.

Atemperaturade100oCcorrespondede212oF,enquantoade0oCcorresponde de 32oF. Admitindo que existe uma relao linear entre graus Centgrados e Fahrenheit(CeF,respectivamente),determine: a) AequaoquerelacionaCeF; b) OgrauFcorrespondentea80oC; c) OgrauCcorrespondentea68oF. Problema27

SeocoeficientedecorrelaoentreXeYde0.5,qualapercentagemdavariao totaldeYquepermanecenoexplicadapelaequaoderegresso? Problema28

Sabesequeexisteumarelaolinearentreonmerodeutentesdiriosdapiscina municipal de Penamacor e a temperatura mdia diria (em graus centgrados) naquele concelho. Num determinado dia, em que a temperatura mdia subiu 3,5 graus,frequentaramapiscina246utentes(mais42doquenodiaanterior). a) Calculeeinterpreteodeclivedarectaderegresso. b) Se a ordenada na origem do modelo ajustado fosse (4), como interpretariaestevalor?

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Problema29

c) Seo coeficiente de correlao linear entreasvariveis fosse de 0,7, que percentagem da variabilidade total do nmero de utentes da piscina permanecerianoexplicadapelomodeloajustado?

Problema30

Sabese que existe uma relao linear entre o tempo mdio de espera para atendimento (em minutos) num determinado centro de sade e o nmero de mdicosaoservio.Numdeterminadodia,emqueonmerodemdicosdiminuiu de3,otempomdiodeesperaparaatendimentoaumentoude45minutos. a) Faz sentido interpretar o parmetro a da equao da regresso (ordenadanaorigem)?Serespondeuquesim,interpreteoparmetro.Se respondeuqueno,expliquearazodasuaresposta. b) Calculeeinterpreteovalordodeclivedarectaderegressolinear. c) Seo coeficiente de correlao linear entreasvariveis fosse de 0,8, que percentagemdavariabilidadetotaldotempodeesperaparaatendimento permanecerianoexplicadapelomodeloajustado?

PretendeseanalisaraassociaolinearentreoslucrosdeumaSociedadeAnnima Desportiva (SAD) e as respectivas receitas de venda de passes de jogadores de futebol.Paratal,dispesedeinformaosobreestasduasvariveisaolongode10 anos.TomandoXcomoavarivelreceitadevendasdepasseseYcomoavarivel lucros da SAD, ambas medidas em milhes de euros, obtiveramse os seguintes resultados: x = 6,36

y = 2,922 s x = 6,8399 2 s y = 1,6916

s xy = 2,3333 a) Com base nos valores anteriores, quantifique a correlao entre lucros daSADereceitadevendasdepasses.Comenteoresultadoobtido. b) Determinearectaderegressoentreasduasvariveisatravsdomtodo dos mnimos quadrados. Comente os valores estimados (e respectivos sinais)paraosparmetrosdaequaodarecta. c) Comente,depoisdeefectuarosclculosnecessrios,opoderexplicativo domodeloestimado.

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d) Se,noprximoano,asreceitasdevendadepassesdejogadoresforemde 6,8 milhes de euros, qual o lucro esperado da SAD de acordo com o modelo estimado? Se o lucro efectivamente observado vier a ser de 2,8 milhesdeeuros,qualoresduo? Problema31 Explique quais as principais diferenas entre a covarincia e o coeficiente de correlaolinearentreduasvariveis.

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CAPTULO 3 NMEROS NDICES Problema1

Em2006,opreomdiodeumdeterminadobemera15porcentosuperioraode 2005,10porcentoinferioraode2004e8porcentosuperioraode2007.Calculeo ndice de preos para este bem entre 2004 e 2007 (i.e. quatro ndices), tendo por base: a) Oanode2006; b) Operodo20042005. Problema2

A taxa de variao homloga do IPC em Dezembro de 2007 situouse em 2,7%. Fonte:INE:ndicedePreosnoConsumidorDestaque(15deJaneirode2008) SabendoqueoIPC(base2002)sesituouem115,5emDezembrode2007,equea variaomensaldoIPCfoide0,1%e0,2%,respectivamente,emDezembrode2007 e Dezembro de 2006, determine, apresentando os resultados arredondados s dcimas: a) OvalordoIPCemDezembrode2006; b) AvariaohomlogadoIPCemNovembrode2007eindiquearelaoentre estaeasvariaesmensaisacimaindicadas. Problema3

Osalriodeumtrabalhadorerade2000eurosem2002,2200eurosem2003,2300 euros em 2004 e 2350 euros em 2005. O ndice de Preos no Consumidor (base 2002) situavase em 103,3 em 2003 e em 105,8 em 2004. Sabese ainda que o salrio real (ou salrio deflacionado) deste trabalhadorteve umaumento de 0,5% em2005.Combasenestainformao,determine: a) A variao relativa (percentual) do salrio deste trabalhador de 2003 para 2005; b) Ataxadeinflaoem2005; c) Ataxadecrescimentomdiaanualdosalriodestetrabalhadorentre2002e 2005(empercentagem); d) O ndice de salrio real (ou ndice Salarial deflacionado) deste trabalhador em2002,2003,2004e2005tendocomobaseoanode2004; e) A taxa de crescimento mdia anual do salrio real deste trabalhador entre 2002e2005(empercentagem).

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Problema4 Osalriodeumtrabalhadorerade1500eurosem2002,1850eurosem2003ede 2200 euros em 2004. Sabese ainda que o ndice de Preos no Consumidor (base 2002) se situava em 103,3 em 2003 e em 105,8 em 2004. Com base nesta informao,determine: a) A variao relativa (percentual) do salrio deste trabalhador de 2002 para 2003; b) Ataxadeinflaoem2004; c) Ataxadecrescimentomdiadosalriodestetrabalhadorde2002para2004 (empercentagem); d) OndiceSalarial(base2003)destetrabalhador; e) O ndice de salrio real (ou ndice Salarial deflacionado) deste trabalhador em2002,2003e2004tendocomobaseoanode2003; f) A taxa de crescimento mdia do salrio real (em percentagem) deste trabalhadorentre2002e2004. Problema5 O quadro abaixo tem por base os valores do ndice de Volume de Negcios do Comrcio a Retalho at Julho de 2008 divulgado pelo INE no final de Agosto. Complete o quadro (sempre que possvel) com os valores em falta (A, B, C, D, E), justificandotodososclculosefectuados. ndice Variao Variao Ms Geral homloga mensal Jun07 E D Jul07 A 0,4 0,0 Ago07 107,8 0,8 C Jun08 104,6 B 1,9 Jul08 108,3 1,9 3,5 Problema6 Explique de forma sucinta o modo como calculado o ndice de Preos no Consumidor,osobjectivospropostos,asuafrequnciaeaseventuaisinsuficincias.

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Problema7 Apartirdainformaodoquadroseguintecalcule: Produtos A B C Perodo 0 Perodo 1 Preo Unitrio Quantidade Preo Unitrio Quantidade 10 30 14 25 20 25 26 25 50 15 60 30

a) b) c) d) e) f)

OndicedepreosdeLaspeyresparaoperodo1combaseem0. OndicedepreosdePaascheparaoperodo1combaseem0. OndicedequantidadesdeLaspeyresparaoperodo1combaseem0. OndicedequantidadesdePaascheparaoperodo1combaseem0. Ondicesimplesdevalor. Verifique que o produto do ndice de preos de Laspeyres pelo ndice de quantidades de Paasche igual ao produto do ndice de preos de Paasche pelondicedequantidadesdeLaspeyres.Compareosvaloresobtidoscomo ndicesimplesdevalorglobal.

Problema8 A tabela seguinte mostra os preos e as quantidades vendidas de um conjunto de produtosnumhipermercado,nosanosde1999,2005e2006.Tomandocomobaseo anode1999,calculeeinterprete: Preos () Quantidades Clube 1999 2005 2006 1999 2005 2006 5,4 6,2 7,4 21430 22480 20860 Caf 3,2 3.0 4,1 15470 18967 19421 Leite 6,7 6,9 6,5 3562 3764 3821 Chocolate 1,6 2,6 2,8 5418 5562 6128 Guardanapos 11,3 13,2 19,3 2967 3624 3428 Gel de Banho a) OsndicesdepreosedequantidadesdeLaspeyresedePaaschepara2005e 2006. b) Osndicesdevalorpara2005e2006.

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Problema9 A tabela seguinte mostra os preos e as quantidades vendidas de um conjunto de produtosnumapadaria,nosanosde2001,2005e2006.Tomandocomobaseoano de2001,calculeeinterprete: Preos () Quantidades Produtos 2001 2005 2006 2001 2005 2006 1,15 1,28 1,31 2548 2647 2652 Po de Mafra Po da Vidigueira 1,10 1,08 1,12 3142 3025 3096 Biscoitos 0,2 0,27 0,19 4854 4112 1965 Lnguas de Veado 0,15 0,21 0,22 2674 2998 2682 Sortidos Hngaros 0,5 0,56 0,57 3625 3542 3674 a) OsndicesdepreosedequantidadesdeLaspeyresedePaaschepara2005e 2006. b) Osndicesdevalorpara2005e2006. Problema10 A tabela seguinte mostra os preos e as quantidades vendidas de um conjunto de produtos numa papelaria, nos anos de 1998, 2004 e 2006. Tomando como base o anode1998,calculeeinterprete: Preos () Quantidades Produtos 1998 2004 2005 1998 2004 2005 1,1 1,7 1,8 281 264 328 Cartolinas 10,5 11,5 14,6 187 165 228 Aguarelas 3,2 3,1 3,3 457 521 534 Tesouras 4,5 5,2 5,3 325 347 354 Furadores 5,9 5,7 5,9 296 301 325 Agrafadores a) OsndicesdepreosedequantidadesdeLaspeyresedePaaschepara2004e 2005. b) Osndicesdevalorpara2004e2005. Pgina35

Problema11 A tabela seguinte mostra os preos e as quantidades vendidas de camisolas de clubes de futebol nos anos de 2000, 2005 e 2006. Tomando como base o ano de 2000,calculeeinterprete: Preos () Quantidades Clube 2000 2005 2006 2000 2005 2006 50.2 58.6 63.0 1973 2480 2720 Sporting 47.3 53.2 61.0 650 893 1270 Barcelona 38.0 60.0 64.5 323 751 1983 Chelsea 51.0 59.0 62.3 682 1430 2380 Man. United 45.3 52.7 58.9 520 1117 1734 Bayern Munique a) OsndicesdepreosedequantidadesdeLaspeyresedePaaschepara2005e 2006. b) Osndicesdevalorpara2005e2006. Problema12 Noperodo197073,orendimentoanualdeumafamliaevoluiudoseguintemodo: ANOS 1970 1971 1972 1973 RENDIMENTO 340 351 355 362 a) Calculeataxadecrescimentomdiaanualdorendimentodestafamliapara operodode1970a1973. b) Calculeondice(1970=100)dorendimentoanualdafamliaeretire concluses. c) Admitaqueondicedepreosnoconsumidor(base1949),relativamentea Dezembrodecadaano,apresentouaseguinteevoluo: ANOS 1970 1971 1972 1973 IPC 178.4 205.5 224 266.5 Tomandoestendicecomoindicadordocustodevida,comenteaevoluodo rendimentodestafamlia.

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Problema13 Oquadroseguinteapresentadadosrelativosaumaeconomianoperodode1970a 1975: Ano 1970 1971 1972 1973 1974 1975 a) QualfoiataxadecrescimentomdiaanualdoPIBpercapita(apreos correntes)entre1972e1975? b) QualfoiataxadecrescimentomdiaanualdoPIBreal,apreosde1970, entre1972e1975?Compareovalorobtidocomataxamdiaanualde crescimentodoPIBapreoscorrentesnomesmoperodo.Justifiquea diferenaobtidaentreosdoisvalores. c) Aquetaxaanualmdiacresceuapopulaoentre1972e1975? Problema14 Considereosseguintesdadosrelativosacertaeconomia: 1995 1996 1997 1998 1999 Consumo Privado(preos 3571 3756 3984 4300 4622 correntes) Consumo privado(preos 3571 3646 3723 3739 3851 constantes) PIB(preos 6157 6444 6763 7057 7456 correntes) DeflatordoPIB (basenoano 102.2 102.1 101.9 101.8 101.8 anterior) a) Quantifiqueeinterpreteasvariaesabsolutaerelativadavarivel Consumoprivadoem%doPIB(ambasasvariveisavaliadasapreos correntes),entre1995e1999. PIB(milhesde unidadesmonetriasa preoscorrentes) 208301 276807 363167 498307 719519 1009380 ndicedePIBpercapita (apreosconstantes) combaseem1970 100 129.3 165.0 220.4 309.6 422.6 Perodo 197071 197172 197273 197374 197475 Deflator (variao anual,em%) 17.3 17.4 20.5 31.5 32.7

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b) DetermineataxadecrescimentomdiaanualdoConsumoPrivadoapreos correntes,noperodode1995a1999. c) DetermineosvaloresdoPIBapreosconstantesde1995. d) ApresenteosvaloresdodeflatordoConsumoPrivado,noperodode1995a 1999,combaseem1995. Problema15 AtabelaseguintecontmosvaloresdoConsumoPrivadoapreoscorrentes(C), expressoemmilhesdedlares,eondicedePreosnoConsumidor(IPC)para quatropasesdaUnioEuropeia:Ano 1990 1995 2000 2001 Espanha IPC C 77.8 306 953 100.0 349 304 113.8 331 206 117.9 340 659 Frana IPC C 84.3 672 960 94.1 862 165 100.0 715 208 101.6 729 328 Itlia IPC 78.3 100.0 112.8 115.9 C 634 194 644 428 650 619 655 635 Portugal IPC C 100.0 44 679 141.0 67 922 160.5 65 520 167.6 67 078

Fonte: World Bank, World Development Indicators.

a) Pronunciese,justificandoanaliticamente,sobreavalidadedaseguinte afirmao:AFranaopasquetemamenortaxadeinflaonoanode 2001(relativamenteaoanoanterior),poisaquelequeapresentaummenor IPCnessemesmoano. b) Calculeassriesdoconsumoprivadototaldosquatropasesapreos constantesde1995. Problema16 Considere a seguinte informao referente s vendas de veculos de uma determinadamarcaentre2004e2007: Nmero de Preo Ano veculos vendidos unitrio () 1875 18650 2004 1945 18900 2005 1911 19500 2006 1997 19980 2007 a) Calculeondicedepreosdebasefixaem2004. b) Calcule os valores das vendas a preos correntes e o respectivo ndice de basefixaem2004. c) Deflacione a srie das vendas a preos correntes para obter a srie das vendasapreosconstantesde2004.

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Problema17 Em2008,umaempresadevesturioregistouumdecrscimorealdassuasvendas de2% emrelaoa2007,eumaumentoemtermosnominaisde5% facea2006. Em2006,asvendastotaisdesta lojasituavamseem900mil euros, traduzindose numndicedevendasde101.81(base2005).Deacordocominformaorecolhida, avariaodepreosrelevanteparaestaempresasituouseem2%em2005,5%em 2006,3%em2007e4%em2008.Combasenestainformao,determine: a) Ondicedevendastotais(base2006)paraosquatroanosemcausa(2005, 2006,2007e2008). b) Ocrescimentomdioanualdasvendasemtermosreaisentre2006e2008. c) Avariaogeraldopreorelevanteparaestaempresade2005para2008. Problema18 Comente a seguinte afirmao: Se admitirmos que todos os trabalhadores em Portugaltiveramumaumentode2%nosseusvencimentosnumdeterminadoano, talrepresentaumaumentodosalriorealdetodoselesemaproximadamente1% numcenrioemqueataxadeinflaomedidapeloIPCnesseanosesitueem1%. Problema19 Admitaqueadespesadeumaempresapblica(emmilharesdeeuros)entre2004e 2008foiaseguinte: Anos 2004 2005 2006 2007 2008 Despesa 1285 1325 1450 1390 1490 SabeseaindaqueoIPC(base1995)foioqueestexpressonoquadroabaixo,eque avariaorealdadespesaem2005foide0.65%. Anos 2004 2005 2006 2007 2008 IPC 134.5 144.2 143.5 148.2 a) Calculeavariaoabsoluta mdiadadespesanominalentre 2005e2008e construaasrieadmitindoumcrescimentoabsolutoconstante. b) Calculeavariaorelativamdiadadespesaentre2004e2008econstruaa srieadmitindoumcrescimentorelativoconstante. c) Calculeataxadeinflaoem2005eoIPCem2005(base1995). d) Calculeosvaloresdadespesaentre2004e2008emtermosreaisapreosde 2007eretireconcluses. e) Calculeosndicesdedespesareal(base2006)paratodososanos apresentados.

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Problema20 AtaxadevariaohomlogadoIPCnopasALFAemDezembrode2009situouseem 3,4%. SabesequeoIPC(base2005)foide118,7emDezembrode2009,equeataxade variaomensaldoIPCfoide0,3%e0,5%,respectivamente,emDezembrode2009 eDezembrode2008.Combasenosdadosapresentados,calcule: a) OvalordoIPCemDezembrode2008. b) A variao homloga do IPC em Novembro de 2009 e indique a relao existenteentreestaeasvariaesmensaisacimaindicadas. Problema21 Admita que um hipermercado vendeu trs produtos durante os anos de 2007 e 2008.Sabendoqueovolumedevendascresceu18.7%entre2007e2008,equeos preoscresceram,emmdia,11.5%(tomandocomoponderadoresasquantidades do perodo base 2007), calcule a variao percentual das quantidades (tomando como ponderadores os preos de 2008). Apresente todos os clculos que tiver queefectuar. Problema22 Admitaqueasvendasdeumaempresa(emmilharesdeeuros)entre2004e2008 foramasseguintes: Sabeseaindaqueondicedepreos(base2000)foioqueestexpressonoquadro abaixo,equeavariaorealdasvendasem2007foide0.7395%. Anos Ind. Preos 2004 121.4 2005 123.6 2006 126.8 2007 2008 132.9 Anos Vendas 2004 890 2005 970 2006 1150 2007 1185 2008 1200

a) Calculeavariaoabsolutamdiadasvendasentre2004e2007. b) Calculeavariaorelativamdiadasvendasentre2004e2008econstruaa srieadmitindoumcrescimentorelativoconstante. c) Calculeataxadeinflaoem2007eoIPCem2007(base2000). d) Calculeosvaloresdasvendasentre2004e2008emtermosreaisapreosde 2004eretireconcluses. e) Calculeosndicesdevendasreais(base2006)paratodososanos apresentados.

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Problema23 SuponhaqueainformaosobreaevoluotrimestraldoPIBem2008,apreosde 2004,emmilhesdeeuros,numdeterminadopas,foiaseguinte: 4Trim. 1Trim.2008 2Trim.2008 3Trim.2008 2008 42197.1 43285.8 41876.3 43469.7 a) CalculeondicedebasemveldoPIB. b) Sabesequeavariaohomloganoprimeirotrimestrede2009foide2.8%. QualovalordoPIBnessetrimestre? c) AdmitindoahiptesedeoPIBterevoludonosrestantestrimestresde2009 de acordo com as mesmas taxas em cadeia verificadas em 2008, qual ter sidoataxadevariaoanualdoPIBem2009?(Nota:senotiverresolvidoa alnea b), admita um valor arbitrrio para o PIB no primeiro trimestre de 2009). d) SabesequeataxadecrescimentoanualdoPIBem2008foi0%eem2007 foi 1.8%. Calcule a taxa mdia anual de crescimento do PIB entre 2006 e 2008eovalordoPIBem2006apreosde2004. Problema24 Considere que se prev o seguinte comportamento do investimento em proteco ambientalparaumconjuntodeempresas: Ano 2013 2014 2015 2016 2017 2018 Investimento 29 31 34 38 41 (preos 28217 658 739 671 598 218 correntes) ndicedepreos 86.4 88.32 89.57 92.39 97.43 100.00 (2018=100) a) Calculeondicedebasemveldoinvestimentoapreoscorrenteseconstrua ondicedebasefixatomandocomobaseoanode2018. b) Calcule a taxa mdia de crescimento anual do investimento entre 2013 e 2018 a preos constantes e compare com a taxa mdia a preos correntes, explicandoa(s)razo(es)paraadiferenaencontrada. c) Qualseroinvestimentoem2017apreosconstantesde2018?

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Problema25 EmNovembrode2009,ondicedePreosnoConsumidor(IPC)registouumataxa de variao homloga de 0.6%, superior em 0.9 pontos percentuais (p.p.) observadaemOutubro.()AvariaomensaldoIPCfoide0.2%(0.0%emOutubro ex%emNovembrode2008).(InstitutoNacionaldeEstatstica,ndicedePreosno Consumidor,14deDezembrode2009). a) Indique o valor da taxa de variao mensal do IPC em Novembro de 2008.Justifique. b) Avalie criticamente a utilizao do IPC como indicador de inflao, tendo em conta os seguintes factores: i) representatividade /cobertura;ii)actualidadeeiii)frequncia. Problema26 Num determinado pas, conhecemse os valores das receitas fiscais a preos correnteseataxadecrescimentodospreosentre2005e2009: Ano Receitafiscalapreos correntes(milhesde euros) Taxadecrescimentodos preos(%) 2005 49955.5 2.5 2006 54547.9 2.6 2007 57682.3 2.9 2008 62256.4 3.1 2009 63193.9 1.9

a) Determineosndicesdepreosdebasefixaem2007. b) Determine, para cada ano, o valor das receitas fiscais a preos constantesde2007. c) Admitindo que, em 2005, a receita fiscal variou, em termos reais, 4.6%,determineoseuvalornominalem2004.

Problema27 OIPCdeumdadopascompostopor4gruposdeartigoscujospreosevoluemdo seguintemodo: 2009 2006 PerodoBase Artigos Preos Preos Quantidades I II III IV 85 135 45 80 98 140 55 90 130 110 215 145

Calculeondicedepreoscompostomaisadequadocombaseem2009.

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Problema28 Admitaqueasvendasnominais(em103euros)deumaempresaforam,entre2003 e2009,asseguintes: 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Vendas nominais 173.6 184.2 169.6 179.3 194.2 208.1 226.4 (milhares) a) Calculeondicedebasemveldasvendasnominais. b) A partir dos ndices calculados na alnea anterior, e recorrendo s propriedades da circularidade e da reversibilidade dos ndices, construaumasriedendicesdebasefixa(base=2009)dasvendas nominais.

Problema29 OIPCdeumdadopascompostopor4gruposdeartigoscujospreosevoluemdo seguintemodo: 2006 2009 PerodoBase Artigos Preos Quantidades Preos I 100 120 200 II 190 120 170 III 30 220 50 IV 80 150 110 Calculeondicedepreoscompostomaisadequadocombaseem2006. Problema30 No quadro seguinte esto indicados os valores do ndice de Produo Industrial (IPI)(trimestral)deumcertopasnosanosde2006e2007: 2006 2006 2006 2006 2007 2007 2007 2007 Perodos I II III IV I II III IV IPI 80 85 90 100 105 108 115 120 a) Altere o ndice para a base 2007(I) e calcule os ndices homlogos, interpretandoosrespectivosresultados.

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Noano2008,alterouseabasedondicepassandoestaaseroquartotrimestrede 2007.Osvaloresobtidosparaoano2008foramosseguintes: Perodos I II II IV IPI 110 118 115 125 b) Calcule as sries dos ndices de 2007 e 2008, quer com base 2007 (I), quercombaseem2007(IV). Problema31 Imagine que os seus custos semanais com transportes pblicos se resumem ao preo do bilhete de comboio de casa at uma estao na fronteira de Lisboa (e percurso inverso) e o preo do bilhete de autocarro da estao de comboio at Faculdade (e percurso inverso). Determine os ndices de preos de Paasche e de LaspeyresparaasuadespesasemanalemtransportesemJaneirode2010combase emJaneirode2005. Nmerode Nmerode Preodo Preosem Preodo bilhetes bilhetes bilhete euros bilhete Jan.2010 Jan.2005 Comboio 1.85 10 2 6 Autocarro 0.75 4 1 4 Problema32 AdmitaqueoPIBdedeterminadopascresceunosltimosanosdoseguintemodo: Perodo Taxadecrescimentomdiaanual 19851993 0.8% 19932001 0.5% 20012004 2.1% 20042009 0.9% a) Calculeataxadecrescimentomdiaanualnoperodo19852001. b) Sabendoque astaxasdecrescimentonos ltimos4anos (2005 a 2009) foram todas iguais a 1.2%, calcule a taxa de crescimento de 2004 para 2005. c) Tomando como ano base 2001, calcule o ndice do PIB em 2009 (nota: no se trata de calcular toda a srie do PIB com base em 2005, mas apenasoseuvalorem2009).

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Problema33 Imagine que os seus custos semanais comfruta,no ms de Junho,se resumiram compradepssegosemelancias.DetermineopreoporquilodemelanciaemJunho de2010demodoaqueondicedepreosdeLaspeyresparaasuadespesasemanal emfrutaemJunhode2010combaseemJunhode2007sejaiguala120(ou,nabase 1,iguala1,2). Quantidade Preoda Quantidade Preosem Preoda fruta(/Kg) adquirida adquirida euros fruta(/Kg) (Kg) Jun.2010 (Kg) Jun.2007 Pssegos 2,25 7 2,65 6 Melancia 0,65 9 12 Problema34 Numa determinada empresa, conhecemse os valores de IRC pagos (a preos correntes)eataxadecrescimentodospreosentre2001e2005: Ano 2001 2002 2003 2004 2005 PagamentosdeIRC 32895,5 34284,4 28967,6 31681,3 33968,4 (milharesdeeuros) Taxadecrescimentodos 1,9 3,3 1,8 4,2 4,9 preos(Variao%IPC) a) Determineosndicesdepreosdebasefixaem2003. b) DetermineasriedepagamentosdeIRCapreosconstantesde2003. Problema35 Atabelaseguintemostraospreoseasquantidadesvendidasde4produtos(A,B,C eD)numdeterminadoestabelecimentocomercialnosanosde2001,2005e2008: A B C D 2001 Preo Unit. Quant. 18 21 13.5 36 12.4 43 17 26 2005 Preo Unit. Quant. 19.3 28 14.2 39 11.3 52 16.5 14 2008 Preo Unit. Quant. 23 31 16.5 32 13.8 55 17.5 31

Apresentandotodososclculosquetiverqueefectuar,calculeeinterprete:

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a) OndicedepreosdeLaspeyrespara2008(base2005). b) OndicedequantidadesdePaaschepara2005(base2001). c) Ondicedevalorpara2008(base2001).

Problema36

Digaseasseguintesafirmaessoverdadeirasoufalsas.Casoentendaquealguma afirmaofalsa,modifiqueadeformaaqueamesmapasseaserverdadeira. a) A anlise de variaes absolutas tem a vantagem de permitir comparaes, mas levanta problemas em relao s ordens de grandeza e utilizao de unidadesdemedidasdiferentesentreassries. b) Umnmerondicesimplesoquocienteentreovalordeumadeterminada varivelnomomentobaseeoseuvalornoperodot,multiplicadopor100. c) Avariaodeumndicesimplesdependedomomentoescolhidoparabase, mascoincidecomavariaodosvaloresdasrieoriginal. d) Apropriedadedacircularidadedosndicesdizqueumndicedebasemvel podeserobtidopeloprodutodendicesdebasefixa(encadeamento). e) Variaesnominaisouapreoscorrentessosinnimos,assimcomo variaesreais,apreosconstantesouemvolumetambmsosinnimos. Problema37 SuponhaqueainformaosobreaevoluotrimestraldoPIBem2009,apreosde 2005,emmilhesdeeuros,numdeterminadopas,foiaseguinte: 1Trim.2009 2Trim.2009 3Trim.2009 4Trim. 2009 53497.1 53975.9 54572.4 53418.2 a) CalculeondicedebasemveldoPIB. b) Sabesequeavariaohomloganoprimeirotrimestrede2010foide1.9%. QualovalordoPIBnessetrimestre? c) AdmitindoahiptesedeoPIBterevoludonosrestantestrimestresde2010 deacordocomas mesmastaxasemcadeiaverificadasem2009,qualter sidoataxadevariaoanualdoPIBem2010?(Nota:senotiverresolvido aalneab),admitaumvalorarbitrrioparaoPIBnoprimeiro trimestrede 2010). d) SabesequeataxadecrescimentoanualdoPIBem2009foi0,5%eem2008 foi 1.3%. Calcule a taxa mdia anual de crescimento do PIB entre 2007 e 2009eovalordoPIBem2007apreosde2005. Pgina46

Problema38 Considereaseguinteinformaosobreadespesadeumagregadofamiliar: Ano 2006 2007 2008 2009 Despesaem (preosconstantes 52648 53852 51428 53694 2008) ndicedepreos implcitos 101.9 103.4 103.6 102.5 (2005=100) a) Paracadaano,calculeovalordadespesaapreoscorrentes. b) Calcule,paracadaano,ovalordadespesaapreosde2005. c) Se, em 2010, os preos aumentarem 1,3% e as quantidades adquiridas por esteagregadofamiliarregistaremumndicedebasemvelde101,2calculeo valordadespesaesperadopara2010apreoscorrentes. Problema39 ImaginequeosseuscustossemanaiscomjornaisnomsdeJunhoseresumiram compradoExpressoedoPblico.DetermineopreodoPblicoemJunhode 2008demodoaqueondicedepreosdeLaspeyresparaasuadespesasemanalem jornaisemJunhode2010combaseemJunhode2008sejaiguala115(ou,nabase 1,iguala1,15). Preodo Quantidade Preodo Quantidade Jornais jornal() adquirida jornal() adquirida Jun.2008 Jun.2008 Jun.2010 Jun.2010 Expresso 2,25 4 2,55 4 Pblico 13 0,9 15 Problema40 Num determinadopasopeso dosGastosPblicos (GP)no Produto InternoBruto (PIB) de 35%. O Governo desse pas propese diminuir essa razo em cinco pontospercentuaisnoprazodecincoanos. a) AdmitindoquenosprximoscincoanosoPIBcresceaumataxamdiaanual de3.5%,calculeataxamdiaanualmximaaquepoderocrescerosGastos PblicosporformaaquesecumpramosobjectivosdoGoverno. b) Qual a taxa mdia anual mnima a que dever crescer o PIB para que os GastosPblicos(apreosdoanocorrente)nodiminuam? Pgina47