breve histórico da dinâmica newtoniana do movimento curvil´ıneo

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 37, n. 1, 1602 (2015)www.sbfisica.org.brDOI: http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173711659

Breve historico da dinamica newtoniana do movimento curvilıneo(Brief overview on the Newtonian dynamics of curvilinear motion)

C.M. Porto1

Departamento de Fısica, Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, Seropedica, RJ, BrasilRecebido em 8/7/14; Aceito em 18/9/14; Publicado em 31/3/2015

Neste trabalho fazemos uma apresentacao da dinamica newtoniana do movimento curvilıneo. Iniciamos fa-zendo um pequeno retrospecto da questao, a partir da problematizacao imposta pela concepcao cartesiana domovimento inercial, passando quase que imediatamente ao estudo das sucessivas abordagens newtonianas dotema. Apresentamos os tratamentos iniciais de Newton - ainda dominados pela ideia cartesiana de “esforcocentrıfugo” - nos quais, no entanto, ja observamos a sutileza do raciocınio matematico apoiado nas nocoes deelementos infinitesimais. Destacamos, em seguida, a aparente contribuicao do pensamento de Robert Hooke paraa concepcao newtoniana do movimento curvilıneo, concretizada sobretudo atraves de dialogos epistolares, aindaque escassos ou reticentes. Enfatizamos como, apos esse contato, Newton abandonou a nocao da atuacao de umaforca centrıfuga a produzir um equilıbrio dinamico no movimento, em favor de um entendimento do problemacomo um sistema mecanico fundamentalmente fora do equilıbrio. Passamos, por ultimo, a concepcao newtonianadefinitiva do movimento, ja expressa em sua essencia no tratado De Motu e finalmente apresentada na grandeobra dos Princıpios Matematicos da Filosofia Natural. Salientamos, particularmente, a deducao efetuada porNewton das leis do movimento planetario propostas por Kepler, que constituiu uma das mais altas realizacoesda ciencia humana.Palavras-chave: historia da mecanica, Newton, forca mecanica.

In this work we make an exposition on the Newtonian dynamics of curvilinear motion. We begin by makinga small retrospect on this question, starting from the moment when Descartes’ conception of inertial motionrendered it problematic, and passing almost at once to the study of the different Newtonian approaches to thisissue. We present Newton’s initial treatments - yet governed by the Cartesian idea of “Centrifugal Endeavour”- where we nonetheless can already observe the subtlety of a mathematical reasoning based on the notions ofinfinitesimal calculus. Afterwards, we emphasize the seeming contribution of Robert Hooke’s thought to theNewtonian conception of curvilinear motion, accomplished most of all by epistolary dialogues, yet rare or re-ticent. We emphasize how, after this exchange, Newton abandoned the notion of the action of a centrifugalforce producing a kind of dynamical equilibrium of motion, in favor of a new understanding of the problem asa basically out-of-equilibrium mechanical system. We end with Newtonian final conception of motion, alreadyframed in its essential aspects in the tract named De Motu, and finally presented in his master work Mathema-tical Principles of Natural Philosophy. We particularly point Newton’s deduction of Kepler’s planetary laws ofmotion, which has become one of the highest achievements of human science.Keywords: history of mechanics, Newton, mechanical force.

1. Introducao

Em nossa experiencia docente nos cursos universitariosde fısica fundamental temos observado que um dos pro-blemas de Mecanica que mais oferecem dificuldades aoentendimento dos estudantes e o da dinamica do movi-mento curvilıneo. Em primeiro lugar, podemos associaressa dificuldade a persistencia de um elemento de sensocomum, de carater aristotelico, que associa forca a ve-locidade e nao a aceleracao. Essa incompreensao das

relacoes entre forca e as grandezas cinematicas se ma-nifesta nitidamente no caso dos movimentos curvilıneos,em que a direcao da aceleracao, e, por conseguinte,da forca resultante, nao coincide com a do movimento.Torna-se comum, por parte dos alunos, a interpretacaode que, por exemplo, em uma trajetoria circular ha umcancelamento de componentes radiais de forcas, ja queo movimento nao ocorre nessa direcao.

Nossa opiniao, contudo, e a de que, alem desse fatoranteriormente descrito e certamente atuante, relacio-

1E-mail: [email protected].

Copyright by the Sociedade Brasileira de Fısica. Printed in Brazil.

1602-2 Porto

nado a assimilacao deficiente da segunda lei de Newton,ha tambem um aspecto referente a uma dificuldade derepresentacao do conceito de forca como acao causalde origem fundamentalmente externa ao objeto. Nessequadro, e bastante frequente a introducao na analisedo problema pelo estudante de uma “forca centrıfuga”,como a materializacao de uma tendencia do objeto emmovimento de se afastar do centro de sua trajetoria.Instado a responder sobre quem seria o agente dessasuposta forca, o estudante frequentemente afirma queela se deve ao movimento ou a velocidade do corpo, ouseja, a algo que nao lhe e externo, mas sim reside neleproprio.

Essa opiniao encontra reforco ao fazermos umestudo historico do tratamento desse problema dadinamica das trajetorias curvas. Com efeito, umdos tracos mais marcantes da chamada Revolucao Ci-entıfica, que deu origem ao pensamento fısico moderno,e o processo de exteriorizacao das causas do movi-mento [1]. A nova fısica, surgida dessa transformacao,eliminou de seu campo de saber a ideia aristotelica decausa formal, que tao importante papel representou naconcepcao cientıfica e filosofica daquele pensador. Des-cartes, juntamente com aqueles que poderıamos chamarde “neoatomistas”, ao despojar a materia de quaisqueroutros atributos essenciais alem de extensao, destruiu abase filosofica para a consideracao aristotelica dos pro-cessos naturais como a concretizacao de tendencias ine-rentes a natureza dos entes. De fato, no pensamento deAristoteles, as mudancas espontaneas correspondiam aprocessos que cumpriam a finalidade de realizar poten-cialidades latentes nos objetos; atingida essa finalidade,cessavam essas mudancas. Nao faziam, pois, sentidoprocessos que continuassem indefinidamente, sem a re-alizacao de qualquer objetivo.

Entretanto, como parte dos desdobramentos do de-bate a respeito dos modelos planetarios heliocentrico egeocentrico, a fısica elaborou o princıpio da continui-dade inercial dos movimentos [1]. A conciliacao desseconceito com o pensamento aristotelico tornou-se im-possıvel. Assim, ao confrontar o aristotelismo e banirde sua propria concepcao cientıfica e filosofica as nocoesde causas formais e finais, Descartes pavimentou o ca-minho para a compreensao racional de processos que,por si sos, mesmo sem a acao de causas externas, per-durariam infinitamente.

No entanto, mesmo Descartes, que aperfeicoou aideia galileana da continuidade inercial do movimento,dando-lhe um carater retilıneo, ao tratar do movimentocurvilıneo identificou a existencia de uma tendenciacentrıfuga como um elemento dinamico fundamental doproblema. Essa tendencia, transformada na expressao“forca centrıfuga” por Huygens, revela ainda a imper-feicao da formulacao do conceito de forca como agentecausal externo. Vemos, entao, nos diferentes usos dessanomenclatura forca por parte dos diferentes pensado-res, ate chegarmos a nocao de forca impressa, estabe-

lecida por Newton nos seus escritos de maturidade, atransmutacao gradual de um conceito, que inicialmenteainda se apresentava como um elemento interno ao ob-jeto movente, rumo a sua cristalizacao como a ideiade uma causacao eminentemente externa, transmutacaoessa que, mesmo na obra do genial fısico ingles, vai seoperando apenas paulatinamente.

O processo historico parece, pois, nos revelar, maisuma vez, os obstaculos cognitivos presentes na apren-dizagem do tema. Se assim ocorre, o conhecimento darealizacao historica se torna extremamente valioso paraa reflexao sobre a pratica docente relacionada ao as-sunto e, talvez, onde couber, para sua reformulacao.Deste modo, esse trabalho visa a contribuir para essareflexao, somando-se aos diversos que tem sido criterio-samente apresentados nesta direcao. Nao se trata, porcerto, de conteudos originais em si mesmos, mas de umatentativa de apresentacao sistematica de elementos dehistoria da mecanica ja conhecidos, porem que se en-contram muitas vezes dispersos pela literatura especia-lizada, em obras memoraveis de autores como B.Cohen,R.Westfall, Whiteside e Brackenridge. Assim, o obje-tivo primordial do trabalho e aumentar a bibliografiaem lıngua portuguesa, ainda escassa, para cursos deformacao de professores, notadamente em disciplinasde historia e evolucao da fısica.

O texto e, entao, organizado do seguinte modo: naprimeira secao fazemos uma exposicao bem resumidada analise do problema anterior a Newton, atraves dascontribuicoes de Descartes e Huygens, para, em se-guida, nas secoes subsequentes, abordarmos o trata-mento newtoniano do problema. Primeiramente, nasecao tres, apresentamos os estudos iniciais de New-ton, realizados em meados da decada de 1660 [2]. Emseguida, na secao quatro, apresentamos o tratamentodado no manuscrito intitulado Do Movimento Circu-lar [2], onde despontam os raciocınios do calculo infini-tesimal, entao recem desenvolvidos pelo proprio New-ton. Na secao cinco abordamos a contribuicao, apa-rentemente decisiva, de Robert Hooke ao entendimentode Newton a respeito do movimento curvilıneo, com asubstituicao do conceito, ate entao empregado por ele,de forca centrıfuga pelo de forca centrıpeta. Por fim,nas secoes seis e sete apresentamos a analise newtonianarelativa a seus escritos da maturidade, mais especifica-mente da decada de 1680, onde se destacam o tratadoDo Movimento e o conjunto de licoes de mesmo tıtulo,ambos preparativos para a sua obra mecanica maxima,os Princıpios Matematicos da Filosofia Natural, publi-cada em 1687 e com justica citada com uma das obrascientıficas mais influentes da historia do pensamento.

Segue-se, naturalmente, uma conclusao e, apos, umapendice trazendo os detalhes matematicos da demons-tracao realizada por Newton de que a forca central atu-ante em um objeto que se mova em uma trajetoriaelıptica, com centro de forca em um dos focos dessaelipse, varia inversamente com o quadrado da distancia

Breve historico da dinamica newtoniana do movimento curvilıneo 1602-3

do ponto ao foco em questao.

2. A tendencia centrıfuga em Descartese Huygens

Em seu livro Princıpios de Filosofia, de 1644, Descar-tes apresentou a formulacao do princıpio da inercia damaneira como o compreendemos hoje, incluindo o seucarater direcional e dividindo seu conteudo em suasduas primeiras leis basicas do movimento:

A primeira lei da natureza: cada coisa per-manece no seu estado se nada se alterar;assim, aquilo que uma vez foi posto em mo-vimento continuara sempre a mover-se. [3]

e

A segunda lei da natureza: todo corpo quese move tende a continuar o seu movimentoem linha reta. [4]

Estabelecidos esses princıpios, surgiu entao umaquestao premente, sobre a qual Descartes se debrucou:se a continuidade natural do movimento e retilınea,como explicar a dinamica do movimento circular? Noproprio artigo XXXIX da parte II da obra citada, emque e apresentada a segunda lei da natureza, Descartesinicia uma discussao desse movimento atraves do exem-plo de uma funda (uma pedra segura por uma tira depano ou corda) sendo girada por uma mao. De acordocom ele, tendo em vista o princıpio da inercia, a cadainstante a pedra tende a se movimentar ao longo dareta tangente a trajetoria circular que descreve; nao ofaz porque ha uma acao do pano ou corda que a prende.No mesmo artigo mencionado, Descartes entao associaessa tendencia inercial de se movimentar pela tangentea uma tendencia do corpo em movimento circular de seafastar do centro em torno do qual se movimenta:

O que claramente nos mostra que qual-quer corpo que se move circularmente tendeconstantemente a se afastar do centro docırculo que descreve; ate o sentimos com amao quando giramos a pedra na funda por-que a pedra estica e estende a corda para seafastar diretamente de nossa mao. [5]

Assim, nesse trecho, Descartes parece identificaruma tendencia centrıfuga com essa tendencia inercialde continuidade retilınea do movimento pela tangente.Entretanto, mais adiante, na mesma obra (parte III, Ar-tigo LIX), sua linguagem e mais ambıgua e ele pareceidentificar a existencia de uma tendencia centrıfuga,nao mais tangencial e sim radial. Novamente, no exem-plo da funda, Descartes fala de uma tendencia da pedrase afastar radialmente do centro:

Figura 1 - Extraıda do livro Princıpios de Filosofia, de ReneDescartes, [6]

Finalmente, se em vez de considerar-mos toda a forca de sua agitacao apenasprestassemos atencao a uma de suas par-tes, cujo efeito e impedido pela funda e quedistinguimos de outra parte cujo efeito naoe impedido dessa maneira, dirıamos que apedra, estando no ponto A, tende apenaspara D, ou que tende apenas a afastar-se docentro E seguindo a linha reta EAD. [6]

No entanto, apesar de esse tratamento do esforcocentrifugo por Descartes ter influenciado profunda-mente o pensamento subsequente, sua analise do pro-blema nao foi alem de uma abordagem qualitativa. Oprimeiro tratamento quantitativo publicado foi desen-volvido pelo holandes Christiaan Huygens.

Huygens assimilou a nocao cartesiana do esforcocentrıfugo, chamando-o de “forca centrıfuga”, e em suaobra intitulada Horologium Oscillatorium, publicadaem 1673, apresentou uma expressao matematica paraela, qual seja, de que seria proporcional ao quadradoda velocidade do objeto movente e inversamente pro-porcional ao raio do cırculo em que esse objeto se move.A demonstracao de seus resultados, alias bem apresen-tada na literatura, tanto aquela ja classica [7], quantoalgumas mais recentes [8,9], nao constou do livro men-cionado, mas sim veio a publico somente em uma obraposterior, De Vi Centrifuga, publicada postumamente.

Entretanto, tanto na analise qualitativa de Descar-tes, como na quantitativa formulada por Huygens e aela conceitualmente associada, sobressai o aspecto deque a “forca ou esforco centrıfugo” e ainda a expressaode uma tendencia interna do objeto movente e nao umaacao exterior, que determine causalmente seu movi-mento. E ainda na elaboracao adequada do conceitode forca que esbarra o desenvolvimento definitivo dadinamica.

1602-4 Porto

3. Os estudos preliminares de Newton

Newton ingressou no Trinity College da Universidade deCambridge em 1661. La, a parte dos currıculos institu-cionais e antes por uma via autodidata, tomou contatocom os desenvolvimentos entao recentes, tanto da ma-tematica quanto da filosofia natural, notadamente comas obras de Rene Descartes e Galileu [2, 10]. O imensotalento de Newton, no entanto, permitiu que ele muitorapidamente passasse da condicao de aprendiz para odesenvolvimento de suas proprias contribuicoes aos te-mas mencionados.

Nos anos que vao de 1664 a 1666 [2] Newton re-alizou estudos importantes sobre Matematica e fısica,registrados em um livro de anotacoes, denominado naliteratura historica inglesa The Waste Book [2]. Entreeles destacamos, em virtude do nosso interesse aqui, osestudos sobre mecanica, particularmente os relaciona-dos a dinamica do movimento circular.

O tratamento dado inicialmente por Newton adinamica do movimento circular foi, sem duvida, in-fluenciado pelo pensamento de Descartes [2, 11], in-fluencia essa manifesta inclusive em certa terminolo-gia empregada por Newton naqueles textos e por elemodificada em abordagens posteriores. Como exem-plo emblematico desse elemento cartesiano salientamosa nocao de “esforco centrıfugo” (endeavour from thecenter ), amplamente utilizada por Newton nessa suaanalise preliminar daquele tipo de movimento [12].

O tratamento newtoniano inicial do movimento cir-cular se baseou em uma engenhosa estrategia de con-sidera-lo como um processo limite de um movimentopoligonal. De fato, Newton abordou o problema imagi-nando a seguinte situacao: seja uma bolinha confinadaao interior de um cilindro, com cujas paredes colide,elasticamente, alterando com isso somente a direcao deseu movimento, sem alterar a magnitude da velocidade;no mais, entre duas colisoes sucessivas, a bolinha semove livremente, ou seja, retilineamente, com veloci-dade constante, conforme a concepcao de movimentoinercial estabelecida por Descartes. Newton imaginoude inıcio uma trajetoria quadrada, ocasionada por qua-tro colisoes com as paredes do cilindro, e em seguida ge-neralizou seu raciocınio para um polıgono regular qual-quer.

Se o raciocınio e aplicavel a qualquer polıgono re-gular, poderıamos escolher qualquer um, a tıtulo deilustracao. Consideremos, entao, uma trajetoria hexa-gonal, inscrita na secao reta de um cilindro (Fig. 2).

Em cada colisao, a bolinha sofre a atuacao de uma“forca”, que a desvia de sua direcao de movimento ori-ginal. Newton relacionou diretamente essa “forca” (quenos chamamos hoje de impulso, isto e, efetivamente, aintegral da forca realizada, no caso pelas paredes do ci-lindro, sobre o tempo em que ela atua) a uma “forcade movimento” (na nossa linguagem atual, momentolinear) fornecida a bolinha pelo ato da colisao; esse mo-

mento linear fornecido a bolinha atraves da colisao coma parede seria igual a “forca” (impulso) exercida sobreela, inclusive em direcao; na nossa linguagem, a forca(media no tempo) seria entao proporcional ao momentolinear fornecido a bolinha pela colisao, que, portanto,teria inclusive a direcao dessa forca.

Figura 2 - Movimento hexagonal inscrito em um cırculo

O passo seguinte dado por Newton foi considerar omovimento retilıneo, reorientado apos a colisao, comoa composicao de dois movimentos virtuais: o movi-mento retilıneo anterior, representado por uma “forcade movimento” (momento linear) original, como ex-pressao da continuidade inercial que ocorreria caso naotivesse havido a acao da parede, e o movimento adqui-rido na direcao da forca impulsiva da parede, expressatambem em termos de um momento linear produzidonessa direcao. Implicitamente no raciocınio newtonianoesta presente a ideia de que a composicao desses movi-mentos virtuais se da por uma regra do paralelogramo,em que os lados da figura geometrica correspondem aosdeslocamentos virtuais, na direcao original e na direcaoda forca, enquanto o deslocamento real, como se tor-nou habitual para nos, e representado pela diagonal doparalelogramo (Fig. 3).

Admitir que a forca media da parede, F, seja pro-porcional ao momento linear acrescentado ao originalpela colisao significa admitir que o sera tambem a ve-locidade desse movimento virtual. Como essa veloci-dade (virtual), assim como a original (agora tambemvirtual), seria constante, a distancia percorrida virtual-mente pelo objeto, ao final de certo intervalo de tempo,na direcao do impulso aplicado, seria tambem proporci-onal a esta forca media, de tal modo que essa distanciaseria uma expressao da medida da forca.

Em verdade, a partir desse raciocınio Newton obteveresultados quantitativos. Com efeito, tomemos agora oexemplo de uma trajetoria octogonal, representada pelaFig. 4.


Figura 3 - Deslocamento real como composicao de deslocamentosvirtuais

Figura 4 - Trajetoria octogonal inscrita em um cırculo

Chamemos de I o impulso aplicado ao objeto emuma colisao. Ele sera, segundo vimos, igual a “forca demovimento” ou momento linear, Q, fornecida ao objetona direcao da forca e, nessa condicao, seria proporci-onal a distancia DC, virtualmente percorrida por elenaquela direcao, durante o intervalo de tempo ate acolisao seguinte

I ∼ DC. (1)

Newton, entao, comparou esse impulso com o mo-mento linear original do objeto, antes da colisao. Essemomento linear, sendo proporcional a velocidade (cons-tante) da bolinha entre duas colisoes, e diretamenteproporcional a distancia percorrida nesse intervalo detempo, ou seja, ao lado do polıgono, AB(= BC). Destaforma, Newton pode escrever:

I

Q=

DC

BC. (2)

Por sua vez, essa distancia DC pode ser avali-ada a partir da geometria. De fato, consideremos ostriangulos OBC e BCD: os lados BD e BC tem a

mesma medida, ja que correspondem, respectivamente,a distancia que, naquele mesmo tempo, o objeto per-correria caso nao tivesse havido o impacto em B e adistancia que ele percorre, com a mesma velocidadeem magnitude (a colisao e elastica), apenas em outradirecao, em virtude daquele impacto. Sendo assim, otriangulo BCD e isosceles, do mesmo modo que OBC.Alem disso, os angulos que a velocidade, antes e de-pois do impacto em B, faz com o raio sao iguais. Destemodo, o angulo do vertice B do triangulo BCD (o quefalta para se atingir 180o) e igual ao angulo do verticeO de OBC e os dois triangulos sao semelhantes.

Da semelhanca dos dois triangulos, extraımos arelacao

DC

BC=

BC

r, (3)

onde r e o raio do cırculo, ou seja,

I

Q=

BC

r. (4)

A partir desse resultado, Newton procedeu a somados (hoje dirıamos modulos dos) impulsos nas diversascolisoes ao longo de uma volta e escreveu

ΣI

Q=

p

r, (5)

onde p e o perımetro do polıgono.Em nenhum momento deste desenvolvimento

utilizamos propriedades geometricas especıficas dooctogono. Por conseguinte, o que foi obtido seria validopara qualquer linha poligonal regular. Newton, entao,imaginou o cırculo como o limite da linha poligonalquando o numero de lados tende a infinito e a forca im-pulsiva, exercida pela parede a cada impacto, se tornauma forca continuamente exercida sobre o objeto. As-sim sendo, os resultados obtidos, em especial os daEq. (4), serao validos no movimento circular.

Esses resultados quantitativos que, nesses primeirosrascunhos, datados dos anos de 1664 e 1665, Newtonextrai sao menos importantes do que a concepcao dometodo em si, que ele aplicara mais tarde na deducao dalei das areas (segunda Lei de Kepler) para movimentosgovernados por forcas centrais. Apesar disso, na obraPrincıpios Matematicos da Filosofia Natural, publicadaem 1687 e de que falaremos mais adiante(no escolio doTeorema IV, do livro I), Newton retorna a esse metododa construcao poligonal e, especificamente, ao resultado(5) para, a partir dele, propor uma demonstracao adi-cional da expressao da forca centrıpeta atuante sobreum objeto em movimento circular.

Com efeito, em nossa linguagem moderna, a des-cricao dada por Newton na referida secao de seu livroPrincipia, seria que, na Eq. (5), quando aplicada acircunferencia como limite da poligonal, a soma dasmagnitudes dos impulsos, em um intervalo de tempoT correspondendo a uma volta completa, sera igual a

1602-6 Porto

magnitude (constante) da forca (constante) da paredesobre a bolinha multiplicada por T . Por outro lado, omomento linear no denominador sera igual a massa mda bolinha vezes a velocidade

F T

mv=

p

r(6)

= 2π. (7)

Assim sendo, temos

F = 2πmv

T(8)

=mv2

r, (9)

ja que2πr

T= v.

Devemos ainda fazer uma importante observacao arespeito do tratamento dado por Newton a esse pro-blema do movimento circular: mais uma vez aparen-temente influenciado por Descartes, Newton consideraa existencia de um “esforco centrıfugo” como elementoessencial da dinamica que conduz a trajetoria circular.De fato, no exemplo considerado, a parede da secaocilındrica atua sobre a bolinha, atribuindo-lhe um mo-mento linear, por meio de uma “pressao” (que nos cha-marıamos de forca de contato), que somente se exerceporque a bolinha a pressiona em sentido inverso, devidoa seu esforco centrıfugo radial.

Nas palavras do proprio Newton:

De onde parece que todos os corpos movidoscircularmente apresentam um esforco a par-tir do centro [centrıfugo: N.A.] em torno doqual se movem, pois de outra forma o corpo‘oc’ [a bola] nao pressionaria continuamente‘edf’ [o cilindro]” [13].

Segundo John Herivel [2], e inegavel que, nestaetapa de seu pensamento, Newton considerava esse “es-forco centrıfugo” como uma especie de forca, na maioriadas vezes incapaz de produzir um deslocamento efetivo,devido a atuacao contraria de algum agente responsavelpela concretizacao da trajetoria circular. Realmente,Newton escreve nas definicoes cinco e seis de um ma-nuscrito composto provavelmente na segunda metadeda decada de 1660 [2]:

Forca e o princıpio causal de movimento ourepouso, e e ou algo externo que, impressoem certo corpo, gera ou destroi seu movi-mento, ou no mınimo em alguma medidaaltera-o; ou e o princıpio interno pelo qual omovimento ou o repouso impresso no corpoe conservado, e pelo qual todo ente tende aperseverar em seu estado atual e opoe-se aqualquer impedimento. [14]

e a partir disso

‘Conatus’ e uma forca obstruıda, ou umaforca na medida em que se lhe resiste. [14]

A frase constante da penultima citacao e de extremaimportancia para a analise do problema, ja que revela,explicitamente, que a concepcao de forca como umaacao de origem fundamentalmente externa ao corpoanalisado ainda nao estava plenamente consolidada. Anosso juızo, seria preciso antes que se consolidasse paraque a ideia de uma forca centrıfuga fosse substituıdapela atuacao unicamente de uma forca centrıpeta e adinamica newtoniana do movimento curvilıneo chegasseao seu desenvolvimento final.

4. O tratado Do Movimento Circular

Alguns anos apos, por volta de 1669, Newton composum tratado mecanico intitulado Do movimento cir-cular, em que a analise se faz bem mais elaborada.Essa mudanca no tratamento do problema se deveu,sobretudo, aos desenvolvimentos do raciocınio infinite-simal realizados por Newton entre o perıodo do livro deanotacoes e o do novo tratado.

Com efeito, em lugar de um processo limite de ummovimento poligonal, Newton analisou o movimentocircular diretamente, comparando-o com o movimentoinercial, retilıneo, tangente a circunferencia, que seriarealizado pelo objeto movente caso nao houvesse umaforca impelindo-o para a realizacao da trajetoria circu-lar real. Newton considerou o arco AB que o objeto,partindo de A, com velocidade v, de magnitude cons-tante, descreveria em um certo intervalo de tempo, bemcomo a distancia AC, ao longo da tangente ao cırculoem A, tangente essa que o mesmo objeto percorreria,caso nao houvesse sido desviado pela forca que o impelepara a trajetoria circular (Fig. 5). Para Newton, o des-vio radial BC entre o movimento circular e o movimentotangencial seria uma medida da “forca centrıfuga” queage sobre o objeto e que deve ser compensada por umaforca contraria.

O elemento genial introduzido por Newton em suaanalise dinamico-geometrica do problema foi a consi-deracao de deslocamentos infinitesimais ao longo da cir-cunferencia. Ao longo desses deslocamentos, pequenoso bastante, a forca pode ser considerada aproximada-mente constante. Isso permitiu que Newton empregasseo resultado obtido por Galileu [2,11,12] para a queda deum corpo, a partir do repouso, sob a acao da gravidade(constante), qual seja, de que a distancia percorrida poreste corpo em um certo intervalo de tempo seria pro-porcional a gravidade e ao quadrado do intervalo detempo considerado. Newton generalizou esse resultadopara a acao de qualquer forca constante e nao apenasa acao da gravidade. Assim sendo, o desvio radial BC,associado ao arco infinitesimal AB, seria proporcional


a magnitude da forca centrıfuga e ao quadrado do in-tervalo de tempo considerado, ou, dito de outra forma,a forca centrıfuga seria proporcional ao desvio BC e in-versamente proporcional ao quadrado do intervalo detempo correspondente.

Figura 5 - Diagrama da analise do movimento circular de 1669

O passo seguinte dado por Newton foi estabeleceruma relacao entre o desvio BC, ocorrido em um in-tervalo de tempo t, e parametros relevantes associadosao movimento circular, notadamente seu raio R e seuperıodo T . Para tanto, Newton considerou a distanciaX que o objeto percorreria em linha reta, ao longo deum intervalo de tempo T , sob a acao de uma forca demesma magnitude daquela da forca centrıfuga que agi-ria sobre ele no movimento real. Pela relacao de Gali-leu, X e BC seriam proporcionais ao quadrado de T et, respectivamente. Assim sendo, temos

X

BC=

T 2

t2. (10)

Por outro lado, como o objeto se move uniforme-mente sobre o cırculo, a razao entre os intervalos detempo equivale a razao entre os arcos descritos, ou seja

X

BC=

(2πr)2

AB2. (11)

A medida do desvio radial BC e relacionada ao des-locamento tangencial virtual AC atraves de uma pro-priedade geometrica chamada “potencia de um pontoem relacao a um cırculo”, que Newton encontrou emseu estudo da obra de Euclides. No caso, temos

AC2 = BC · CD, (12)

onde D e diametralmente oposto a B. Como se tratade um deslocamento infinitesimal, podemos utilizar naEq. (12) a aproximacao CD ≈ BD = 2r, onde r e oraio da circunferencia descrita, obtendo

BC =AC2

2r. (13)

Substituindo na Eq. (11) temos

X =AC2

2r

( 2πr)2

AB2. (14)

Para um deslocamento infinitesimal podemos tomara aproximacao AC ≈ AB, de forma que a Eq. (14) ficaigual a

X =AB2

2r

( 2πr)2

AB2.

= 2π2 r (15)

Como dissemos, a magnitude da forca centrıfugae proporcional a distancia X, que seria percorrida noperıodo T , e inversamente proporcional a T 2. Assim,de acordo com a Eq. (15), temos

Fc ∼r

T 2, (16)

isto e, a magnitude da forca centrıfuga e proporcionalao raio e inversamente proporcional ao quadrado doperıodo.

Multiplicando e dividindo a expressao anterior porr e lembrando que o comprimento da circunferenciaABDA e proporcional a esse raio, temos

Fc ∼ ABDA2

r T 2,

∼ v2

r. (17)

Assim, Newton chegou a expressao matematica daforca centrıfuga atuante sobre um objeto que descreveum movimento circular de raio r com velocidade cons-tante v, ja apresentada por Huygens, sem demons-tracao, em sua obra Horologium Oscillatorium.

5. A contribuicao de Hooke ao pro-blema das trajetorias curvilıneas

Nao houve registros de avancos significativos de New-ton na mecanica durante os anos que se seguiram aotratado Do Movimento Circular.

No inıcio da decada de 1670, Newton e Robert Ho-oke se envolveram em uma polemica associada as con-tribuicoes newtonianas a optica, mais precisamente re-lacionadas a sua concepcao da natureza heterogenea daluz. Entretanto, em 1679, apesar do embate em tonsrelativamente acidos havido anos antes, na condicaode secretario da Royal Society e, portanto, responsavelpela manutencao de um intercambio intelectual entre osmembros da sociedade e cientistas e filosofos destaca-dos, Hooke reiniciou uma breve correspondencia comNewton [10]. Em especial, solicitou a Newton umaopiniao sobre sua hipotese de que os movimentos pla-netarios poderiam ser analisados em termos de uma

1602-8 Porto

composicao de um movimento inercial tangencial comum movimento produzido por uma forca dirigida a umcorpo atrator central.

(...) De minha parte considerarei como umgrande favor se o Sr. me der o prazer decomunicar por carta suas objecoes contraqualquer hipotese ou opiniao minha; e espe-cialmente se me der a conhecer seus pen-samentos sobre essa de compor os movi-mentos celestiais dos planetas de um mo-vimento direto pela tangente e de um mo-vimento de atracao em direcao a um corpocentral, ou que objecoes o Sr. tem contraminha hipotese das leis ou causas da elasti-cidade. [15]2

Hooke ja havia apresentado essa concepcao em umareuniao da Royal Society, realizada em 23 de maio de1666 [16]:

Eu tenho frequentemente pensado por queos planetas deveriam mover-se em torno doSol de acordo com a suposicao de Coper-nico, nao estando incluıdos em qualquer es-fera solida (as quais os antigos, possivel-mente por essa razao, adotaram) nem liga-dos a ele , como a seus centros, por quais-quer fios visıveis; e nem se afastar dele alemde certa medida, nem tampouco mover-seao longo de uma linha reta, como todos oscorpos, que tenham um unico impulso, de-vem fazer. [17]

Prosseguindo em sua apresentacao, Hooke rejeitouuma explicacao desse movimento em termos de dife-rencas de densidade do eter circundante ao corpo ce-leste, devida em parte a Borelli. De acordo com o seupensamento

A segunda maneira [diferente da de Bo-relli (N.A.)] “de infletir um movimento re-tilıneo para uma curva pode ser a partir deum corpo atrativo localizado no centro; quecontinuamente tenta atrair ou puxar parasi”. [16].

Tornou a apresentar essa concepcao em sua obra At-tempts to prove the motion of the earth by observation,publicada em 1674 e republicada em 1679.

Um sistema de mundo diferindo em muitosparticulares de qualquer outro ate entao co-nhecido(...). Esse sistema depende de tressuposicoes.

Primeiramente, que todos os corpos celestesquaisquer que sejam possuem uma atracaoou um poder gravitacional em direcao a seuscentros, pelo qual atraem nao apenas suasproprias partes, e evitam que escapem deles,como observam a Terra fazer, como tambematraem todos os outros corpos celestiais queestao dentro de sua esfera de atividade;(...)

A segunda suposicao e essa, que todos oscorpos, quaisquer que sejam, colocados emum movimento direto e simples continuaraoa se mover para frente em uma linha reta,ate que, por alguns outros poderes efica-zes, sejam defletidos e curvados em um mo-vimento descrevendo um cırculo, elipse ouqualquer outra linha curva.

A terceira suposicao e a de que esses pode-res atrativos sao tao intensos em operacaotanto mais proximo o corpo afetado estejade seus centros. [18]

Alguns anos depois, em carta a Edmund Halley,Newton fez mencao ao fato de ja ter conhecimento des-sas ideias de Hooke atraves da referida obra [15] , em-bora tenha negado ao proprio Hooke que houvesse to-mado ciencia delas, em sua resposta a carta anterior-mente transcrita [10].

Na resposta a essa carta Newton nao se pronun-ciou sobre o tema solicitado, mas iniciou com Hookeum debate sobre trajetorias de corpos em queda de-vido a atuacao da gravitacao terrestre, incluindo emsua analise o movimento do proprio planeta. Na reali-dade, a solucao inicial do problema proposta por New-ton continha erros, que foram apontados por Hooke.Daı seguiu-se uma disputa intelectual, que prosseguiuatraves de mais algumas poucas cartas, ate que New-ton finalmente silenciasse sobre o caso e deixasse Hookesem resposta.

A extensao da contribuicao de Hooke para amecanica de Newton em geral, e para o entendimentoe a enunciacao da Lei da Gravitacao Universal emparticular, e objeto de amplo debate academico aindahoje [19], debate alias iniciado pelo proprio Hooke comsua reclamacao de prioridade na descoberta da refe-rida Lei. Esse debate e tao amplo que uma exposicaomais aprofundada mereceria uma abordagem a parte,que foge aos objetivos deste trabalho. Seja como for,os estudiosos atribuem a essa correspondencia entreHooke e Newton uma motivacao decisiva para os de-senvolvimentos da mecanica que este ultimo realizounos anos seguintes [10, 20]. Mais ainda, dividem os es-tudos newtonianos sobre o tema em duas fases, pre-1679 e pos-1679 [10,11], tamanha, em sua opiniao, teria

2No original: For my part I shall take it as great favour if you shall please to communicate by letter your objections against anyhypothesis or opinion of mine, and particularly if you let me know your thoughts of that of compounding the celestiall motions of theplanetts of a direct motions by the tangent and an attractive motion towards the centrall body, or what objections you have against myhypothesis of the lawes or causes of springynesse.


sido a importancia do debate com Hooke a respeito dadinamica do movimento curvilıneo, mais precisamente,a concepcao deste ultimo em relacao a atuacao da forcadirecionada ao centro atrator. Na verdade, a decom-posicao do movimento curvilıneo, segundo a concepcaoproposta por Hooke, em um movimento tangencial iner-cial combinado com um movimento radial, este ultimodirecionado a um centro atrator, eliminando-se a ideiade forcas ou ımpetos centrıfugos, foi a mola mestra daanalise newtoniana posterior a 1679.

6. O tratado De Motu

Quando Newton retornou ao tema da dinamica domovimento curvilıneo, prioritariamente inspirado pelaquestao dos movimentos celestes, o tratamento que lhedeu foi conceitualmente bem distinto de suas aborda-gens anteriores.

Em 1684, Halley visitou-o em Cambridge, trazendo-lhe a seguinte questao: qual a forma geometrica da tra-jetoria de um planeta submetido a uma forca inversa-mente proporcional ao quadrado da distancia entre ele eo polo atrator? Newton lhe respondeu imediatamente:uma elipse. A demonstracao deste resultado Newtonprometeu enviar a Halley muito em breve [10].

De fato, Newton enviou bem mais do que simples-mente a demonstracao prometida; enviou um tratadocompleto a respeito da dinamica do movimento cur-vilıneo, com especial enfase na questao relacionada atrajetoria de corpos celestes sob a acao da forca pro-posta. Este tratado foi intitulado De Motu (Do Mo-vimento) [2] e consiste, juntamente com uma serie deaulas de mesmo tıtulo (depositadas na biblioteca daUniversidade de Cambridge a tıtulo de cumprimentode uma exigencia que a Instituicao fazia a um docentecomo Newton), em um primeira versao do que seriaposteriormente o conteudo do primeiro dos tres livrosem que se divide sua obra maxima, os Princıpios Ma-tematicos da Filosofia Natural.

Nesse tratado, divulgado por Halley na Royal Soci-ety [10], nao se fala mais em forcas centrıfugas como an-tes. Agora, Newton trata o problema em concordanciacom a concepcao sugerida por Hooke de movimentostangenciais e radiais combinados. Ele mantem, todavia,um elemento decisivo, ja anteriormente introduzido naanalise do movimento circular, de 1669: a consideracaode deslocamentos infinitesimais. Com efeito, ao analisarsituacoes limites de deslocamentos de medida tendendoa zero Newton pode dar as forcas atuantes um carateraproximadamente constante e, desta forma, aplicar aelas a regra estabelecida por Galileu para os movimen-tos governados pela gravidade nas proximidades da su-perfıcie terrestre: as distancias percorridas sao propor-cionais a forca (constante) atuante e ao quadrado dointervalo de tempo decorrido [2, 11]. Para quantificaresse intervalo de tempo decorrido em uma trajetoriacurvilınea nao circular, Newton se valeu de um outro

resultado, conhecido como a segunda Lei de Kepler dosmovimentos planetarios.

De fato, antes de proceder a essa analise dinamicado movimento curvilıneo, decomponıvel em dois movi-mentos combinados, Newton efetuou a demonstracaode que, no movimento de um objeto sob a acao de umaforca sempre dirigida a um mesmo centro, o segmentode reta que une este centro a posicao do objeto (cha-memos de raio vetor) sempre descrevera areas iguaisem tempos iguais (Segunda Lei de Kepler). De formamais didatica, a area limitada pelos segmentos de retamencionados correspondendo a duas posicoes determi-nadas e pela propria curva que representa a trajetoriado objeto movente e proporcional ao intervalo de tempodecorrido para que o objeto se desloque de uma posicaoconsiderada a outra.

Para sua demonstracao, Newton se baseou nova-mente na ideia da aproximacao da trajetoria curvilıneapor uma linha poligonal e de uma forca continuamenteatuante por uma serie de impulsos discretos imprimidossobre o objeto movente a intervalos de tempo regula-res. Tomando por base essa concepcao, consideremosa Fig. 6. Nela consideremos que o objeto parta doponto A e se desloque com velocidade constante ate B,onde recebe um impulso relacionado a forca F, de talmaneira que passa a se movimentar na direcao BC, ateque, novamente, em C, apos intervalo de tempo igual aocorrespondente ao deslocamento AB, receba um outroimpulso e altere a direcao do movimento para CD.

O

D

C

c

B

F

A

Figura 6 - Diagrama para a demonstracao da Segunda Lei deKepler.

Caso nao tivesse recebido o impulso da forca F emB, o objeto, ao final de um intervalo de tempo igualao decorrido entre A e B, teria se deslocado, com amesma velocidade original, em magnitude e direcao, ateo ponto c. Newton entao considerou o deslocamentoreal, ocorrido entre B e C, como a composicao de umdeslocamento inercial virtual Bc e um outro desloca-mento, cC, na direcao da forca F em B e a ela devido.Por conseguinte, temos imediatamente que o segmentocC e paralelo ao segmento OB.

Tracemos entao um segmento ligando O a c, for-mando, portanto, o triangulo OcB. Podemos notar quea area de OcB sera igual a area do triangulo OCB, jaque o lado OB e comum aos dois e ambos possuem amesma altura em relacao a esse lado, tendo em vista

1602-10 Porto

que cC e paralelo a OB. Por outro lado, a area de OcBe igual a area do triangulo OAB, uma vez que os seg-mentos AB e BC sao de mesma medida (percorridos emtempos iguais com velocidades iguais) e que a alturarelativa a ambos e a mesma (e a medida do segmentoperpendicular a reta ABc partindo de O e terminandona propria reta). Sendo assim, concluımos que as areasdos triangulos OAB e OCB sao iguais. O limite deintervalos de tempo infinitesimais que devemos tomarpara que a linha poligonal coincida com a trajetoria realnao altera essa caracterıstica e podemos concluir final-mente que o segmento de reta que vai de O a trajetoriadescreve, de fato, areas iguais em intervalos de tempoiguais.

Estabelecido este resultado, o intervalo de tempoassociado a um determinado deslocamento poderia serexpresso atraves da area descrita pelo raio vetor.

Newton pode entao desenvolver um metodo sis-tematico para responder a seguinte questao: qual otipo de dependencia de uma forca central em relacaoa distancia ao centro-de-forcas para que a trajetoriado movimento governado por essa forca possua deter-minada forma geometrica? Em seu tratado De Motu,aplicou seu metodo para a solucao de alguns problemas

dessa especie: qual a dependencia da forca central emrelacao ao centro de forca para que a trajetoria seja 1)uma circunferencia com um de seus pontos como centrode forca; 2) uma elipse, com o centro de forca posicio-nado em seu centro; 3) uma elipse, com o centro de forcaem um dos focos. Evidentemente, o terceiro dentre osproblemas listados apresenta um especial interesse emvirtude da questao da forma elıptica das trajetorias dosplanetas em torno do Sol, enunciada por Kepler.

Para solucionar este problema, Newton retornou aabordagem de deslocamentos infinitesimais efetuadossob a acao de uma forca central continuamente atuante,que, embora de forma geral variavel, poderia ser apro-ximada como constante durante o pequeno intervalo detempo considerado, conforme ja havia empregado nadiscussao do movimento circular em seu pequeno es-crito de mesmo tıtulo, de 1669. Novamente, Newtonconsiderou o movimento curvilıneo como a combinacaode um deslocamento inercial tangencial com um des-locamento radial sujeito a lei estabelecida por Galileupara os movimentos sob a acao da gravidade.

Especificamente no caso da trajetoria elıptica como centro atrator posicionado em um dos focos (Fig. 7)a analise se faz atraves dos seguintes passos:

⌋

Figura 7 - Movimento em uma trajetoria elıptica

⌈

Considera-se, primeiramente, um ponto P qualquerda elipse e traca-se uma tangente a ela passando poresse ponto; essa tangente representaria a direcao emque o objeto se moveria, inercialmente, caso nao so-fresse a atuacao de uma forca dirigida ao centro atrator.Seja, entao, um deslocamento real ao longo da elipse,levando ao ponto R assinalado. Se, durante esse mesmointervalo de tempo o objeto houvesse se movimentadoinercialmente, entao teria atingido o ponto Q, tambemassinalado. Portanto, o deslocamento PR pode ser com-

preendido, sob o ponto de vista empregado agora porNewton, como uma combinacao de um deslocamentoPQ inercial com um deslocamento QR, decorrente daatuacao da forca central em questao.

Segundo o metodo newtoniano, considera-se umdeslocamento ocorrido em um intervalo de tempo muitopequeno, durante o qual podemos tomar a forca comoaproximadamente constante (inclusive em direcao) e,no caso, dirigida de P para o foco S, onde se situa ocentro atrator. Por conseguinte, o deslocamento vir-


tual QR, decorrente de sua atuacao, tambem esta nadirecao PS da forca. Deste modo, temos que QR//PS.

Mais uma vez, tendo em vista a aproximacao deforca constante, Newton aplicou a “regra de Galileu”,isto e, de que a magnitude da forca central atuante aolongo desse pequeno deslocamento considerado e pro-porcional a distancia virtual QR e inversamente pro-porcional ao quadrado do intervalo de tempo corres-pondente:

F ∼ QR

(∆t)2. (18)

Ja o intervalo de tempo ∆t, de acordo com a Se-gunda Lei de Kepler, e proporcional a area da fi-gura SPR. No limite de deslocamentos muito pequenos,essa figura pode ser aproximada como um triangulo devertices SPQ, cuja area e dada por SP ·RT/2, onde Te a base da perpendicular a SP, tracada a partir de Q.

Deste modo, temos

F ∼ QR

(SP ·RT )2. (19)

A partir daı, por consideracoes geometricas, New-ton avaliou a relacao entre as grandezas envolvidas naEq. (19) e demonstrou3 que a quantidade QR/RT 2

e igual ao inverso de um parametro caracterıstico daelipse, denominado Latus rectum (L), que corresponde,na realidade, a razao entre duas vezes o quadrado dosemieixo menor e o semieixo maior

QR

RT 2=

AC

2BC2. (20)

Desta forma, para uma dada elipse, podemos escre-ver simplesmente

F ∼ 1

SP 2, (21)

ou seja, a forca e inversamente proporcional ao qua-drado da distancia ao foco, onde se localiza o centroatrator.

7. A etapa final: os Princıpios Ma-tematicos da Filosofia Natural

O livro Princıpios Matematicos da Filosofia Natural,publicado em 1687, constitui o coroamento do desenvol-vimento newtoniano da Mecanica. Nessa obra, Newtonconsolida e aprofunda a elaboracao conceitual e tecnicadesenvolvidas em seus trabalhos da decada de 80.

Newton inicia sua obra com a exposicao dos concei-tos fundamentais relacionados ao movimento, que fo-ram sendo delineados e amadurecidos ao longo de maisde duas decadas de reflexao sobre o tema. Apresenta

as definicoes basicas da mecanica, entre as quais as de“quantidade de materia” (que chamamos de massa),“quantidade de movimento” (momento linear) e as dastres categorias de forca que ele identifica: “forca inata”,“forca impressa” e “forca centrıpeta”. O primeirotermo, na verdade, expressa corretamente o conceitode inercia, somente carregando ainda uma terminologiade forca, talvez inconvenientemente ambıgua, herancaprovavelmente da associacao antiga entre tendencia eforca; a segunda categoria representa aquilo que noshoje propriamente chamamos forcas (acoes externas so-bre o objeto, alterando-lhe seu estado), distinguidas porNewton (na nossa terminologia) em forcas de contato eforcas exercidas sem contato, porem dirigidas sempre aum ponto fixo, que ele nomeia como “centrıpetas”.

Em seguida, Newton passa a apresentar as leis fun-damentais do movimento e alguns corolarios, para,entao, ja no livro I, aplicar esses fundamentos a algunsproblemas especıficos de atuacao de forcas dirigidas aum centro, relacionados tanto a determinacao da natu-reza dessas forcas, uma vez conhecidas as caracterısticasgeometricas das trajetorias, quanto a situacao inversa,de determinacao das trajetorias possıveis, dadas as di-ferentes forcas centrais atuantes.

Na primeira categoria, alem dos exemplos ja tra-tados no tratado De Motu, Newton acrescentou algunsoutros, como o da obtencao da forca central responsavelpor uma trajetoria em espiral cujo centro coincida como centro de forca. Mais ainda, alem do caso das tra-jetorias elıpticas, ja analisado no tratado mencionado,Newton tambem demonstrou a dependencia com o in-verso do quadrado da distancia ao centro de forca nocaso de uma forca central responsavel por trajetoriasparabolicas e hiperbolicas, cujos focos coincidam comesse centro. Finalmente, acrescentemos que, nos Prin-cipia, Newton solucionou definitivamente o problemainverso ao anterior, qual seja, dada uma forca centralinversamente proporcional ao quadrado da distancia aocentro de forca, demonstrou que a trajetoria resultantee uma figura conica: elipse, hiperbole ou parabola.

Concluıda a obra dos Principia, os estudos posteri-ores de Newton se dedicaram aos trabalhos de revisaoe ampliacao do texto, com vistas as duas edicoes subse-quentes, publicadas em 1717 e 1726. Nestes acrescimosressaltam sobretudo revisoes nas aplicacoes do sistemanewtoniano as questoes de mecanica celeste e a apre-sentacao de um terceiro metodo de solucao de proble-mas dinamicos, alternativo ao chamado “metodo pa-rabolico”, descrito na secao anterior, e fundamentadoem uma aproximacao, de validade apenas local, dastrajetorias curvilıneas por trajetorias circulares [11], demais facil tratamento tecnico.

O sistema newtoniano, finalmente expresso nosPrincipia, venceu entao as objecoes, muitas vezes decarater filosofico, que contra ele foram levantadas.Construiu-se um arcabouco teorico capaz de fornecer

3Ver Apendice.

1602-12 Porto

uma descricao detalhada dos processos fısicos associa-dos ao movimento e a organizacao do Universo. Pode-mos dizer que, com ele, atingiu-se um apice no processode desenvolvimento da ciencia moderna, desencadeadopela Revolucao copernicana.

8. Conclusao

Estabelecido o carater retilıneo do movimento inercial,tal como enunciado por Rene Descartes, a analise domovimento circular, em primeiro lugar, e curvilıneo, deforma geral, impos-se como um imperativo cientıfico.O proprio Descartes se debrucou sobre a questao eabordou-a em termos de uma tendencia centrıfuga porparte do objeto movente. Contudo, o tratamento car-tesiano limitou-se aos aspectos qualitativos da analisee a quantificacao dessa tendencia centrıfuga, ja entaodenominada de “forca centrıfuga”, coube a ChristiaanHuygens.

No entanto, tanto no tratamento cartesiano, quantono de Huygens, esse “esforco”, ou “forca centrıfuga”,foi associado a uma tendencia interna do objeto movel.Mesmo Isaac Newton, nas etapas iniciais de seu pen-samento, adotou essa concepcao de uma acao internacentrıfuga, a ser neutralizada por outras acoes, ex-ternas, voltadas para o centro e a ela contrapostas.Percebe-se, portanto, ao longo do processo historico deconstrucao da ciencia, o surgimento de um elementocuja persistencia, em nossa opiniao, baseada ampla-mente em nossa experiencia docente, constitui o verda-deiro obstaculo cognitivo ao entendimento do problema:a identificacao de tendencia como forca, ou seja, a in-completude do processo de cristalizacao do conceito deforca como uma acao causal de origem essencialmenteexterna ao objeto.

Na realidade, o processo de exteriorizacao das cau-sas do movimento, que podemos caracterizar como umdos aspectos mais essenciais, se nao o principal, da

formacao do pensamento fısico moderno, proscreveudessa ciencia os conceitos aristotelicos de causa formale final, atraves dos quais a natureza dos objetos de-sempenhava seu papel na determinacao dos processosfısicos, e delegou essa determinacao apenas a acao ex-terna de causas eficientes. Todavia, esse nao foi umprocesso imediato; pelo contrario, transcorreu ao longode praticamente todo o Seculo XVII e somente chegou atermo com a maturidade do pensamento de Isaac New-ton, do qual a obra Princıpios Matematicos da FilosofiaNatural e a expressao maxima.

Vimos esse processo se desenrolar perante a huma-nidade no estudo newtoniano do movimento curvilıneo,observando como somente na decada de 1680, apos odebate epistolar que manteve com Robert Hooke, adinamica de Newton chegou a sua forma final. Emum debate ainda hoje inconclusivo, alguns autores de-fendem que Hooke desempenhou nessa evolucao umpapel decisivo, fornecendo a Newton uma nova visaoda dinamica das trajetorias planetarias e fazendo comque ele se desvencilhasse da realidade de qualquer acaocentrıfuga e da concepcao dos movimentos curvilıneoscomo um equilıbrio entre tendencias internas e acoesexternas de carater centrıpeto.

Por ultimo, salientemos que o entendimento do con-ceito de inercia por Newton e seus predecessores nao foisuficiente para o desenvolvimento pleno da dinamica,finalmente sintetizada nas leis fundamentais do movi-mento, enunciadas nos Principia, quase vinte anos aposos primeiros estudos newtonianos sobre a mecanica, efe-tuados sob a influencia do cartesianismo.

Apendice

Apresentaremos aqui a demonstracao da dependenciano inverso do quadrado da distancia ao foco no movi-mento central elıptico, realizada por Newton.

Para tanto consideremos novamente a Fig. (7).

Figura 8 - Movimento em uma trajetoria elıptica


Tracemos, em primeiro lugar, um diametro daelipse, DK, paralelo a direcao da tangente a curva noponto P e, a partir de P, uma perpendicular PF a essediametro, alem de um segmento RV, paralelo a PQ, deR ate o eixo PG.

Primeiramente, observemos que os triangulos PXVe PEC, obtidos dessa construcao, sao semelhantes.Deste modo, temos

PX

PE=

PV

PC, (22)

o que, dado que PX = RQ, nos fornece

RQ = PEPV

PC. (23)

Em seguida, Newton demonstrou que o segmentoPE e igual ao semieixo maior da elipse, AC.

Para tanto, consideremos o outro foco, H, da elipsee um segmento tracado a partir de H, paralelamentea tangente PQ, ate o ponto I, em que ele intercepta alinha PS. Como o centro esta igualmente distante dosdois focos, temos CH = CS e, dado que os triangulosHIS e CES sao semelhantes, temos tambem IE = ES.Alem disso, PS = PE+ES = PI+IS. Como IS = 2ES,obtemos que

PE =PS + PI

2. (24)

Nesse ponto, Newton utilizou uma propriedade daselipses encontrada no livro sobre conicas do matematicogrego Apolonius, qual seja, a de que os angulos entrea tangente a curva em um ponto qualquer, no casoP, e as linhas focais, no caso, PS e PH, sao iguais.Assim, tambem serao iguais os angulos entre essas li-nhas e o segmento PF, perpendicular a essa tangente.Considerando-se entao os triangulos PHJ e PIJ, onde Je a intersecao de PF com IH, vemos que, se o angulono vertice P e igual nos dois triangulos e um dos ladosadjacentes a esse vertice, PJ, e comum as duas figuras,entao PH = PI.

Por outro lado, pela propriedade classica das elip-ses, a soma das distancias de qualquer ponto aos focose igual ao eixo maior. Entao temos

2CA = PH + PS

= PI + PS

= 2PE, (25)

onde usamos a Eq. (24). Desta forma, temos PE = AC.Substituindo entao esse resultado na Eq. (23), obtemos

RQ = ACPV

PC, (26)

Em seguida, consideremos uma outra propriedadedas elipses, tambem extraıda por Newton do livro deApolonius: toda corda paralela a um dado diametro e

dividida ao meio pelo diametro conjugado ao primeiro.Alem disso, o produto dos segmentos resultantes da bis-seccao da corda e igual ao produto das porcoes em queo diametro conjugado e dividido por essa corda.

Na figura, essa propriedade se aplica a corda RVZ eao diametro GP que a intercepta. A partir dela, pode-mos escrever RV = VZ e tambem RV·VZ = PV· VG,ou seja, temos

RV 2 = PV · V G . (27)

Da mesma forma, a referida propriedade se aplica aodiametro DK, visto como uma corda, e novamente aodiametro PG, que o intercepta em duas partes iguais.Temos, pois PC· CG = DC· CK. Como PC = CG eDC = CK, entao PC = DC.

Desse ultimo resultado e da Eq. (27) podemos es-crever

V G · PV

RV 2=

PC2

DC2. (28)

Consideremos agora a semelhanca dos triangulosPEF e RXT. A partir dela podemos escrever

RX

RT=

PE

PF=

AC

PF, (29)

ja que PE = AC.Em seguida Newton utilizou uma outra propriedade

das elipses: a area de todo paralelogramo em que umadada elipse esteja inscrita e a mesma. Assim sendo,observando a Fig. 9, temos

2AC · 2BC = 2CD · 2PF. (30)

Substituindo esse resultado na Eq. (29), obtemos

RX

RT=

CD

BC. (31)

Combinando entao as Eqs. (23), (28) e (31), obte-mos

QR

RT 2=

AC · PC ·RV 2

V G ·BC2 ·RX2(32)

=2PC ·RV 2

L · V G ·RX2, (33)

onde utilizamos a definicao de Latus Rectum, L, daelipse

L =2BC2

AC. (34)

A partir desse ponto, Newton passa a considerar olimite de deslocamentos infinitesimais, ou seja, em queQ → P . Nessa condicao RV → RX e V G → PG =2PC. Deste modo, a partir da Eq. (33) temos

QR

RT 2→ 1

L. (35)

1602-14 Porto

Figura 9 - Elipse inscrita em dois retangulos de areas iguais

que corresponde a Eq. (20), portanto, concluindo a de-monstracao.

Agradecimentos

Agradeco ao Professor Jorge Carvalho de Mello, colegada UFRRJ, pelas varias discussoes sobre o tema.

Referencias

[1] A. Koyre, Estudos Galilaicos (Publicacoes Dom Qui-xote, Lisboa, 1992).

[2] J. Herivel, Background to Newton’s Principia (OxfordUniversity Press, London, 1965).

[3] R. Descartes, Princıpios de Filosofia (Rideel, SaoPaulo, 2007), p. 77.




[7] C. Huygens, Horologium Oscillatorium, in OeuvresCompletes de Christiaan Huygens(Societe Hollandaisedes Sciences, 22 vols., 1885-1950), v. XVIII.

[8] P.M.C. Dias, Revista Brasileira de Ensino de Fısica 28,205 (2006).

[9] P.M.C. Dias, Revista Brasileira de Ensino de Fısica 35,1602 (2013).

[10] R. Westfall, Never at Rest (Cambridge UniversityPress, New York, 1980).

[11] J.B. Brackenridge, The Key to Newton’s Dynamics(University of California Press, Berkeley, 2005).

[12] J.B. Brackenridge and M. Nauenberg, Curvature inNewton’s Dynamics, in The Cambridge Companion toNewton, editado por I.B. Cohen e G.E. Smith (Cam-bridge University Press, Cambridge, 2002).

[13] I. Newton, The Waste Book, in: J. Herivel (ed) TheBackground to Newton’s Principia (Oxford UniversityPress, London, 1965), p. 147. 2002).

[14] I. Newton, Manuscrito VI, in J. Herivel (ed), The Back-ground to Newton’s Principia (Oxford University Press,London, 1965), p. 231.

[15] A. Koyre, Isis 43, 312 (1952).

[16] M. Nauenberg, American Journal of Physics 62, 331(1994).

[17] M. Nauenberg, American Journal of Physics 62, 335(1994).

[18] R. Hooke, An Attempt to prove the motion of the Earthby Observations, apud M. Nauenberg, American Jour-nal of Physics 62, 331 (1994).

[19] M. Nauenberg, Physics in Perspective 7, 3 (2005).

[20] I.B. Cohen, The Newtonian Revolution (CambridgeUniversity Press, New York, 1980)

breve histórico da dinâmica newtoniana do movimento curvil´ıneo

Documents