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Lógica ProposicionalDedução

BCC101 Matemática Discreta I

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Implicação e DeduçãoTabela-verdade de

False False = True False True = TrueTrue True = True True False = False

Raciocínio Dedutivo: das hipóteses para a conclusão Hipótese 1: x = True, Hipótese 2: x y = True Conclusão: y = True Porque? Bem … suponha y = False {suposição}

Então poderíamos provar que False = True, pelo seguinte argumento

False= True False { tabela-verdade}= x False {hipótese 1}= x y {suposição}= True {hipótese 2}

Não podemos aceitar a equação True = False Portanto, devemos aceitar que y = True se x y = True e x =

True

Implicação possibilita dedução Deduzimos y = True de x = True e x y = True Esta "regra de inferência” é chamada "modus ponens” Tautologia: ((x (x y)) y) = True

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Regras de Inferênciae tautologias correspondentes

Regras de IntroduçãoRegras de Eliminaçãox x y

y {E} (modus ponens)

{E1}x y

x

{E2}x y

y

x y [x] |– z [y] |– z z {E}

[x] |– Falsex {RAA}

(((x y) (x z) (y z)) z) = True

(((x) False) x) = True

[x] |– yx y {I}

((x y) (x y)) = True

((x y) x) = True

((x y) y) = True

{ID}xx

(x x) = True

{I}x yx y

((x y) (x y)) = True

{I1}x

x y(x (x y)) = True

{I2}y

x y(y (x y)) = True

{CTR}False

x(False x) = True

Outras Regras

((x (x y)) y) = Truetautologia

correspondente

Usa a regra E2

prova de(a b) |– b

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2 provas para aplicar a regra I

Teorema ( Comuta) a b |– b a

Teorema e Prova

a b{E1} a

a b{E2} b {I}

b a

hipótese

prova de(a b) |– a

Provas formam uma estrutura de árvore:

Folhas = hipótesesRaiz = conclusãoRegras de Inferência = ramos

{I}a b

a b

Prova

casa com ahipótese

Provas acima da linha

Conclusão abaixo da linha

{regra}

Dedução Natural

é OK reusar uma hipótese do teorema

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Transitividade da ImplicaçãoTeorema (Transitividade da Implicação)

ab, bc |– ac Suponha que podemos obter uma prova para: a |–

c Então a regra I nos permitiria concluir ac Estratégia

Suponha a Prove: a |– c Conclua ac (aplicando a regra I)

prova bc{E} c

a ab{E} b

{I} ac

hipótese admitida temporariamente

descarregada

folhas restantes são as hipóteses

por Ia raiz é a conclusão

Obtemos o teorema a partir da prova

Basta examinar as folhas e a raiz

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Ou ComutaTeorema (Ou Comuta) a b |– b a

hipótese restante

x{I1} x y Ou Intro 1

y{I2} x y Ou Intro 2

x y [x] |– z [y] |– z{E} z

Ou Eliminação

Suponha Que podemos provar o teorema: a |– b a E podemos também provar o teorema: b |– b a Então, aplicando a regra E, concluímos b a de a

b

conclusão

b a

b a

a{I2} b a

premissas temporárias

descarregada por E

b{I1} b aa b

{E} b a

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Modus Tollens

Teorema (Modus Tollens) a b, b |– a Convenção do sistema de dedução natural

a é uma abreviação para a False

a False

a b b False{ transitividade}

regra derivada

x -> y ¬y {modus tollens} ¬x

x xFalse {E}

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Negação

Convenção de dedução naturala é uma abreviação para a False

x x yy {E}

x x FalseFalse {E}

Não Eliminação

[x] |– yx y {I}

[x] |– Falsex False {I}

[x] |– Falsex {I}

Não Introdução

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ExercícioProve o seguinte sequente: a b, b c |– c

b{E2} b c

a b

c{ E}

x x yy {E}

{E1}x y

x

{E2}x y

y

x y [x] |– z [y] |– z z {E}

[x] |– yx y {I}

{I}x yx y

{I1}x

x y

{I2}y

x y

[x] |– Falsex {RAA}

{ID}xx

{CTR}False

x

Reg

ras

de In

ferê

nci

a

x é uma abreviação para xFalse

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ExercícioProve o seguinte sequente: a b, a c, b d |– c

d

a{E2} a c

a b

c{ E}

b{E2} b d

a b

d{ E}

{I}c d

x x yy {E}

{E1}x y

x

{E2}x y

y

x y [x] |– z [y] |– z z {E}

[x] |– yx y {I}

{I}x yx y

{I1}x

x y

{I2}y

x y

[x] |– Falsex {RAA}

{ID}xx

{CTR}False

x

Reg

ras

de In

ferê

nci

a

x é uma abreviação para xFalse