Banco de Ejercicios del DepartamentalMetodos Matematicos para Sistemas Lineales

Numeros Complejos

1. Efectuar cada una de las operaciones indicadas.

a) (35 + 25i) + (−12− 5i)

b) (−75− i) + (34 + 42i)

c) (22− 34i)(44 + 52i)

d) (49 + 32i)(25− 6i)

e) (1− 3i)(−1 + 2i)(55− 47i)

f) 32−23i−11+i

g) 35+5i6−64i

+ 2501+3i

h) 12i20−i13

62i−11

i) (2+i)(3−2i)(1+i)

(1−i)2

j) (2i− 1)2{

41−i

+ 2−i1+i

}k)

(1+i1−i

)2 − 2(1−i1+i

)32. Si z1 = 1− i, z2 = −2 + 4i y z3 = 5 +

√2i2, Hallar el valor numerico de

cada una de las siguientes expresiones.

a) | 3z1 − 4z2 |

b) z31 − 3z21 + 4z1 − 8

c) |2z2+z1−5−i||2z1−z2+3−i|

2

3. Representacion grafica de numeros complejos

Efectuar las operaciones indicadas en forma analıtica y graficamente.

1

a) (2 + 3i) + (4− 5i),

b) 3(1 + 2i)− 2(2− 3i),

c) 3(1 + i) + 2(4− 3i)− (2 + 5i),

d) Sea z1,z2,z3,z4 los vectores posicion de los vertices del cuadrilateroABCD.Probar que es un paralelogramo sı,y solamente si z1 − z2 − z3 + z4 = 0.

e) Si las diagonales de un cuadrilatero se bisecan, probar que el cuadrilateroes un paralelogramo.

f) Probar que las medianas de un triangulo se interceptan en un punto.

g) Sea ABCD un cuadrilatero y E, F , G, H los puntos medios de los lados.Probar que EFGH es un paralelogramo.

h) En el paralelogramo ABCD, el punto E biseca el lado AD. Probar queel punto donde BE se intercepta con AC divide en tres partes igualesAC.

4. Fundamentos Axiomaticos del sistema de numeros complejos.

Efectuar las operaciones indicadas en forma analıtica y graficamente.

a) Emplear la definicion de numero complejo como pareja ordenada de numerosreales para probar que si el producto de dos numeros complejos es cero,entonces por lo menos uno de los numeros debe ser cero.

b) Probar las leyes conmutativas con respecto a la suma, multiplicacion.

c) Probar las leyes asociativas con respecto a la suma, multiplicacion.

5. Forma polar de los numeros complejos.

Expresar cada uno de los siguientes numeros complejos en forma polar.

2

a) 5 + 12√5i

b) −7 + 65i

c) −√3−

√7i

d) −9i

e) Tres fuerzas como se muestra en la siguiente figura, actuan en un planosobre un objeto colocado en O. Determinar (a) graficamente, y (b)analıticamente, que fuerza es necesaria para evitar un movimiento delobjeto.

6. Raıces de numeros complejos.Hallar cada una de las raıces indicadas y localizarlas graficamente.

a) (4√2− i5)1/3

b) (−4 + i4)1/2

c) (2 + i2√3)1/3

d) (i)2/3

7. Ecuaciones Polinomiales.Resolver las siguientes ecuaciones, obteniendo todas las raıces.

(a) 5z2 + 2z + 10 = 0

(b) z2 + (i− 2)z + (3− i) = 0

(c) Resolver z5 − 2z4 − z3 + 6z − 4 = 0

(d) Hallar todas las raıces de z4 + 1 = 0

(e) Hallar dos numeros cuya suma es 4 y cuyo producto es 8.

3

8. El producto vectorial y escalar.Resolver las siguientes ecuaciones, obteniendo todas las raıces.

(a) Hallar el area de un triangulo con vertices en −4− i, 1 + 2i, 4− 3i.

(b) Hallar el area de un cuadrilatero de vertices (2,−1), (4, 3), (−1, 2) y(−3,−2).

9. Coordenadas conjugadas.Escribir cada una de las siguientes ecuaciones en terminos de las coorde-

nas conjugadas.

(a) (x− 3)2 + y2 = 9

(b) 2x− 3y = 5

(c) 4x2 + 16y2 = 25

Funciones, limites y continuidad

1. Dada w = f (z) = 1+z1−z

, halla

a) f (i) ,

b) f (1− i)

2. Un cuadrado S en el plano z tiene vertices (0, 0) , (1, 0) , (1, 1) , (0, 1).Determina la region en el plano w que es la imagen o rango de S bajolas funciones

a) f (z) = z2,

b) f (z) = 1z+1

.

3. Separa cada una de las siguientes funciones en las partes real e imagi-naria, es decir, u (x, y) y v (x, y) ,

a) f (z) = 2z2 − 3iz,

b) f (z) = z + 1z,

c) f (z) = 1−z1+z

,

4

d) f (z) = z12 .

4. Si f (z) = z2 + 2z demostrar que lımz→i

f (z) = 2i− 1.

5. Si f (z) =

{z2 + 2z, z = i3 + 21 z = i

halla lımz→i

f (z) . Justifica tu respuesta.

6. Calcula el valor de los siguientes limites

a) lımz→ei

π4

z2

z4+z+1,

b) lımz→ i

2

(2z−3)(4z+i)

(iz−1)2,

c) lımz→1+i

{z−1−i

z2−2z+2

}2.

7. Demostrar que f (z) = z(z4+1)

es continua en todos los puntos entro y

sobre el cırculo unidad |z| = 1, excepto en 4 puntos. Determina talespuntos.

8. Halla las discontinuidades de las siguientes funciones

a) f (z) = 2z−3z2+2z+2

,

b) f (z) = 3z2+4z4−16

,

c) f (z) = cot z,

d) f (z) = 1− sec z,

e) f (z) = tanh zz2+1

Diferenciacion

1. Utilizando la definicion, encuentra la derivada de cada funcion en lospuntos indicados

a) f (z) = 3z2 + 4iz − 5 + i, z = 2;

b) f (z) = 2z−iz+2i

, z = −i;

c) f (z) = 3z−2, z = 1 + i.

2. Demuestra que la derivada de z2z no existe en ninguna parte

5

3. Para cada una de las funciones dadas determina en que puntos la fun-cion no es analıtica. Determina la derivada en los otros puntos

a) f (z) = zz+i

;

b) f (z) = 3z−2z2+2z+5

.

3. Decide en que region del plano complejo son analıticas las siguientesfunciones

a) f (z) = z2 + 5iz + 3− i;

b) f (z) = zez;

c) f (z) = sin 2z.

4. Demuestra que la funcion f (x+ iy) = x2+iy3 no es analıtica en ningu-na parte

5. Demuestra que si f (z) y g (z) son analıticas en una region R del planocomplejo, entonces

a) ddz{2if (z)− (1 + i) g (z)} = 2if´(z)− (1 + i) g´(z) ;

b) ddz[f (z)]2 = 2f (z) · f´(z) ;

c) ddz[f (z)]−1 = −{f (z)}−2 · f´(z) .

6. Demuestra que

a) ddzsec z = sec z · tan z;

b) ddzcot z = − csc2 z;

c) ddz(z2 + 1)

12 = z

(z2+1)12;

d) ddzln (z2 + 2z + 2) = 2z+2

z2+2z+2

Integracion

1) Evaluar

a)∫ π/4

0 eitdt Solucion: 1/√2 + i(1− 1/

√2)

6

b)∫∞0 e−ztdt(Rez > 0) Solucion: 1/z

c)d

dteit Solucion: ieit

Para cada arco C y funcion f en los ejercicios 2-5 encontrarel valor de∫c f(z)dz

Despues de observar que C es un contorno y f es continua portramos en C

2) f(z) = y − x− 3x2i y C.

a) Es el segmento de recta que va de z = 0 a z = 1 + i;

b) Consta de dos segmentos, uno que va de z = 0 a z = i y elotro, de z = i a z = 1 + i

Solucion a) 1− i; b) (1− i)/2.

3) f(z) = (z + 2)/z y C es:

a) El semicırculo z = 2eiθ(0 ≤ θ ≤ π)

b) El semicırculo z = 2eiθ(π ≤ θ ≤ 2π)

c) El cırculo z = 2eiθ(−π ≤ θ ≤ π)Solucion a) −4 + 2πi; b) 4 + 2πi; c) 4πi

4) f(z) = z − 1 y C es el arco desde z = 0 hasta z = 2, queconsta de

a) El semicırculo z − 1 = eiθ(0 ≤ θ ≤ π)

b) El segmento 0 ≤ x ≤ 2, y = 0 del eje real.Solucion a) 0; b) 0.

7

5) C es el arco desde z = −1− i hasta z = 1 + i a lo largo dela curva y = x3, y

f(z) =

4y (y > 0),

1 (y < 0).

Solucion 2 + 3i

6) Determinar el dominio de anatilicidad de la funcion f yaplicar el teorema de Cauchy-Goursat para demostrar que∫c f(z)dz = 0

Cuando el contorno simple cerrado C es la circunferencia|z| = 1 y cuando

a) f(z) =z2

z − 3

b) f(z) = ze−z

c) f(z) =1

z2 + 2z + 2

d) f(z) = sechz

e) f(z) = tan z

f) f(z) = Log(z + 2)

7) Evaluar cada una de las integrales siguientes, donde la trayec-toria de integracion es un contorno arbitrario entre los lımitesque se indican

a)∫ i/2

i eπzdz

b)∫ π+2i

0 cosz

2dz

8

c)∫ 3

1 (z − 2)3dzSolucion a) (1 + i)/π; b) e+ 1/e; c) 0.

8) Si C es la circunferencia |z| = 3 descrita en sentido positi-vo, demostrar que si

g(z) =∫c

2s2 − s− 2

s− zds (|z| = 3)

Entonces g(2) = 8πi. A¿Cual es el valor de g(z) cuando|z| > 3?

9) Se denota a C como un contorno cerrado simple descritoen el sentido positivo; escribir

g(z) =∫c

s3 + 2s

(s− z)3ds

Demostrar por que g(z) = 6πiz cuando z esta dentro de C

Y g(z) = 0 cuando z esta fuera de C.

10) Se denota por medio de C a la frontera del cuadrado cuyoslados se encuentran a lo largo de las rectas x = ±2 yy = ±2, donde C esta descrita en sentido positivo. Hal-lar el valor de cada una de las integrales siguientes:

a)∫c

e−zdz

z − πi/2

b)∫c

cosz

z(z2 + 8)dz

c)∫c

zdz

2z + 1

d)∫c

tan(z/2)

(z − x0)2dz (−2 ≤ x0 ≤ 2)

9

e)∫c

coshz

z4dz

Solucion a) 2π; b) πi/4; c) −πi/2; d) iπsec2(x0/2); e) 0

11) Encontrar el valor de la integral de g(z) alrededor del con-torno cerrado simple |z−i| = 2 en el sentido positivo cuando

a) g(z) =1

z2 + 4

b) g(z) =1

(z2 + 4)2

Solucion a) π/2; b) π/16

12) Hallar el valor de∫ (2,5)

(0,1) (3x + y)dx + (2y − x)dy a lo largo

de (a) la curva y = x2 + 1, (b) la lınea recta que une (0,1)y (2,5), (c) la lınea recta desde (0,1) a (0,5) y luego desde(0,5) a (2,5), (d) las lıneas rectas desde (0,1) a (2,1) y luegodesde (2,1) a (2,5).Resp. (a) 88/3, (b) 32, (c) 40, (d) 24

13) Hallar el valor numerico de∮C(x+2y)dx+(y−2x)dy alrede-

dor de la elipse C definida por x = 4 cos θ, y = 3 sin θ,0 ≤ θ ≤ 2π si C esta descrita en la direccion contraria ala del movimiento de las manecillas del reloj. (b)A¿Cuales la respuesta a (a) si C esta descrita en la direccion delmovimiento de las manecillas del reloj?Resp. (a) −48π, (b) 48π

14) Hallar el valor numerico de∮C(x

2− iy2)dz a lo largo de, (a)la parabola y = 2x2 desde (1,1)a (2,8), (b) las lıneas rectasdesde (1,1) a (1,8) y luego desde (1,8) a (2,8), (c) la lınea

10

recta desde (1,1) a (2,8).

Resp. (a)511

3− 49

5i, (b)

518

3− 57i, (c)

518

3− 8i

15) Hallar el valor de numerico de∫C(z

2 + 3z)dz a lo largo de,(a) el cırculo |z| = 2 desde (2,0) a (0,2) en una direccioncontraria a la del movimiento de las manecillas del reloj,(b) la lınea recta desde (2,0) a (0,2), (c) las lıneas rectasdesde (2,0) a (2,2) y luego desde (2,2) a (0,2).

Resp. −44

3− 8

3i para todos los casos.

16) Hallar el valor numerico de∫ 2−i

i (3xy+ iy2)dz (a) a lo largode la lınea recta que une z = i y z = 2 − i, (b) a lo largode la curva x = 2t− 2, y = 1 + t− t2.

Resp. (a) −4

3+

8

3i, (b) −1

3+

79

30i.

17) Hallar el valor numerico de∮C(5z

4− z3+2)dz alrededor de(a) el cırculo |z| = 1, (b) el cuadrado con vertices en (0,0)a (1,1) y y2 = x desde (1,1) a (0,0).Resp. 0 en todos los casos.

18) Hallar el valor numerico de∮C(z

2+1)2dz a lo largo del arcode la cicloide x = a(θ − sin θ), y = a(1 − cos θ) desde elpunto donde θ = 0 al punto donde θ = 2π.Resp. (96π5a5 + 80π3a3 + 30πa)/15

19) Hallar el valor numerico de∮C(5x+6y−3)dx+(3x−4y+2)dy

alrededor de un triangulo en el plano xy con vertices en(0,0), (4,0) y (4,3).Resp. -18

11

20) Verificar el teorema de Green en el plano para∮C x2ydx +

(y3−xy2)dy donde C es la frontera de la region que encierralos cırculos x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 16.Resp. Valor comun = 120π.

21) Probar que∮C(y

2 cosx − 2ey)dx + (2y sin x − 2xey)dy = 0alrededor de cualquier curva simple cerrada C. (b) Hallar elvalor numerico de la integral en (a) a lo largo de la parabolay = x2 desde (0,0) a (π, π2).Resp. (b) −2πeπ

2

.

22) Hallar el valor numerico de∮C zdz alrededor de (a) el cırcu-

lo |z − 2| = 3, (b) el cuadrado con vertices en z = 0,2,2i y2 + 2i, (c) la elipse |z − 3|+ |z + 3| = 10.Resp. (a) 18πi, (b) 8i, (c) 40πi.

23) Verificar el teorema de Cauchy para las funciones, (a) 3z2+iz− 4, (b) 5 sin 2z, (c) 3 cosh(z+2) si C es el cuadrado convertices en 1± i, −1±+i.

24) Verificar el teorema de Cauchy para la funcion z3 − iz2 −5z+2i si C es, (a) el cırculo |z| = 1, (b) el cırculo |z−1| = 2,(c) la elipse |z − 3i|+ |z + 3i| = 20.

25) Explicar claramente las relacion entre las observaciones∮C(x

2−y2+2y)dx+(2x−2xy)dy = 0 y∮C(z

2−2iz)dz = 0donde C es una curva simple cerrada.

26) Mostrar directamente que∫ 4−3i

3+4i (6z2+8iz)dz tiene el mismo

valor a lo largo de los siguientes caminos C que unen los

12

puntos 3 + 4i y 4 − 3i: (a) una lınea recta, (b) las lıneasrectas desde 3 + 4i a 4 + 4i y luego desde 4 + 4i a 4 − 3i,(c) el cırculo |z| = 5. Determinar este valor.Resp. 238− 266i.

27) Hallar el valor numerico de

1

2πi

∮C

ez

z − 2dz

si C es, (a) el cırculo |z| = 3, (b) el cırculo |z| = 1.Resp. (a) e2, (b) 0

28 Hallar el valor numerico de∮C

sin 3z

z + π/2dz

si C es el cırculo |z| = 5.Resp. 2πi

29) Hallar el valor numerico de

dfrac12πi

∮C

cos πz

z2 − 1dz

alrededor de un rectangulo con vertices en: (a) 2± i, −2± i;(b) −i, 2− i, 2 + i, i.

Resp. (a) 0, (b) −1

2

30) Demostrar que

1

2πi

∮C

ezt

z2 + 1dz = sin t

si t > 0 y C es el cırculo |z| = 3.

13

31) Hallar el valor numerico de∮C

eiz

z3dz

donde C es el cırculo |z| = 2Resp. −πi

32) Hallar el valor de, (a) ∮C

sen6z

z − π/6dz

, (b) ∮C

sen6z

(z − π/6)3dz

s si C es el cırculo |z| = 1.Resp. (a) πi/32, (b) 21πi/16

33) Hallar el valor numerico de1

2πi

∮C

ezt

(z2 + 1)2dz si t > 0 y C

es el cırculo |z| = 3.

Resp.1

2(sent− t cos t)

14

15

16

17

18

19

20