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REPÚBLICA DE ANGOLAMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

Avaliação Pedagógica em sala de aula para professores do ensino primário

Organizadores:

Nelson MatiasJosé DuarteMiguel Figueiredo

2018

Título:Avaliação Pedagógica em sala de aula para professores do ensino primário

Organização: Nelson Matias, José Duarte e Miguel Figueiredo

Autores:Equipa de Professores da Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Setúbal

Montagem gráfica: Mário Baía

Impressão e acabamento:Produzido em Angola

Edição:1.ª Edição

Tiragem:17000

PROJECTO APRENDIZAGEM PARA TODOS

Fundação Calouste GulbenkianBanco MundialRepública de Angola

2018

ÍNDICE

Introdução ......................................................................................................................................................... 5Avaliação Pedagógica:

Conceitos, propósitos e práticas ............................................................................................................ 7Jorge Pinto

Língua Portuguesa: Avaliação da leitura em classes iniciais ..............................................................................................41Ana Pires Sequeira, Fernanda Botelho, Lúcia Vidal Soares e Luísa Solla

Avaliação Pedagógica: As aprendizagens iniciais em Matemática .........................................................................................95Catarina Delgado, Fátima Mendes, Joana Brocardo, José Duarte e Ana Maria Boavida

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INTRODUÇÃO

A avaliação pedagógica é uma componente fundamental do currículo do ensino primário, cada vez mais entendida como um conceito e uma prática complexa, que envolve professores, alunos e saberes disciplinares e que vai muito para além dos testes e dos exames com os quais se encontra frequentemente associada. Ela não vem depois da aprendizagem, mas constitui-se como uma forma determinante de contribuir para a própria aprendizagem.Mas porquê esta nossa preocupação com as aprendizagens iniciais em Língua Portuguesa e em Matemática? Sabe-se hoje que, desde muito cedo, os alunos constroem as suas aprendizagens básicas e estruturantes, sobre as quais se desenvolvem novas e mais avançadas aprendizagens, quer no domínio do conhecimento dos Números e da Geometria, quer no conhecimento e domínio da oralidade, da leitura e da escrita em Língua Portuguesa. Portanto, importa conhecer desde cedo as dificuldades dos alunos nos saberes básicos da Língua Portuguesa e da Matemática, para que se possam desenvolver mecanismos para as ultrapassar e processos para melhorar a sua aprendizagem.Este livro integra três capítulos distintos, com uma coerência interna e interligados, dando expressão ao título e desenvolvendo-o.O primeiro capítulo, intitulado Avaliação Pedagógica: Conceitos propósitos e práticas, aborda o conceito de avaliação, as funções da avaliação, discute a avaliação formativa e sumativa e conclui com uma curta abordagem aos instrumentos de avaliação. O segundo capítulo, intitulado Língua Portuguesa: avaliação da leitura em classes iniciais, incide sobre as competências a desenvolver para melhorar e avaliar o desempenho da leitura dos alunos, a compreensão oral, a consciência fonológica, a decifração e a compreensão da linguagem escrita. O terceiro e último capítulo, intitulado Avaliação Pedagógica: as aprendizagens iniciais em Matemática, incide num conjunto de cinco domínios de saberes, directamente ligados com o desenvolvimento do sentido de número: a identificação de números, a discriminação de números, os números em falta, os problemas de palavras e a adição e subtracção.


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AVALIAÇÃO PEDAGÓGICA: CONCEITOS, PROPÓSITOS E PRÁTICAS

Jorge Pinto com a colaboração de Leonor Santos


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CONCEITOS, PROPÓSITOS E PRÁTICAS

ÍNDICE

Introdução .......................................................................................................................................................11

1. Conceito de avaliação.............................................................................................................................121.1. Significados do conceito de avaliação ....................................................................................................... 121.2. A avaliação no currículo ............................................................................................................................... 141.3. Objectividade versus subjectividade ......................................................................................................... 151.4. Actividades de auto-formação .................................................................................................................... 17

2. Funções da avaliação ..............................................................................................................................182.1. Breve perspectiva histórica .......................................................................................................................... 182.2. Modalidades de avaliação ............................................................................................................................ 202.3. Actividades de auto-formação .................................................................................................................... 22

3. Avaliação Formativa ...............................................................................................................................233.1. Breve perspectiva histórica .......................................................................................................................... 233.2. Condições de funcionamento ..................................................................................................................... 243.3. Feedback .......................................................................................................................................................... 263.4. Actividades de auto-formação .................................................................................................................... 28

4. Avaliação Sumativa .................................................................................................................................294.1. Breve perspectiva histórica .......................................................................................................................... 294.2. Orientações para a construção de um instrumento de medida ........................................................... 314.3. Actividades de auto-formação .................................................................................................................... 33

5. Instrumentos de avaliação ....................................................................................................................345.1. Pressupostos de partida ................................................................................................................................ 345.2. Possíveis instrumentos de avaliação .......................................................................................................... 345.3. Actividades de auto-formação .................................................................................................................... 38

6. Referências Bibliográficas .....................................................................................................................39


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INTRODUÇÃO

O texto sobre a “avaliação das aprendizagens” tem como principal objectivo apresentar um conjunto de ideias, reflexões e instrumentos de trabalho que permitam aos professores repensar as suas práticas avaliativas. Os aspectos que aqui abordamos são aqueles que considerámos mais pertinentes de modo a permitir aos professores compreender a complexidade da avaliação, interrogar as suas próprias práticas e desenvolver práticas de avaliação que contribuam para as aprendizagens de todos os alunos. Assumimos ao longo do texto uma opção clara pela valorização e desenvolvimento de práticas de avaliação formativa, isto é, de uma avaliação que seja um contributo para a aprendizagem , através de práticas reguladoras do ensino e aprendizagem tal como hoje se preconiza em muitos países e nomeadamente em Angola. Como refere Afonso:

A avaliação das aprendizagens dos(as) alunos(as) não deve e nem pode ser entendida como um simples acto de atribuição de notas para fins de seleccionar, classificar, certificar os(as) alunos(as) mas, sim, um processo fundamentado (…) com a finalidade de contribuir para a melhoria da qualidade do processo de ensino e aprendizagem. (Afonso, 2011, p. 5)

O texto está organizado em cinco tópicos. No primeiro, apresentam-se os principais significados do conceito de avaliação, considerando a sua evolução ao longo do tempo, no segundo os fins para os quais a avaliação se desenvolve que dão origem às duas grandes perspectivas de avaliação das aprendizagens; no terceiro e quarto tópicos aprofundam-se estas modalidades de avaliação, nomeadamente a avaliação formativa e sumativa e, por último, apresentam-se alguns instrumentos de avaliação que podem ser utilizados na sala de aula. Em cada um dos pontos referidos apresentam-se actividades de auto-formação. Estas podem ser utilizadas pelo leitor para verificar se se apropriou dos conceitos centrais abordados no texto, como também podem ser utilizadas como tarefas a discutir com os colegas nos sábados pedagógicos.


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AVALIAÇÃO PEDAGÓGICA

1. CONCEITO DE AVALIAÇÃO

1.1. SIGNIFICADOS DO CONCEITO DE AVALIAÇÃO

Em termos gerais, a avaliação é uma forma particular de abordar, conhecer e compreender um determinado fenómeno que, neste caso, é a aprendizagem dos alunos (Mateo, 2000). Pode dizer-se que a avaliação é uma forma singular de relação com certos fenómenos em função de uma intenção e de uma razão pessoal ou social. A avaliação enquanto processo é uma actividade de comunicação. Este processo passa pela recolha de dados, pela sua análise e interpretação e por uma tomada de decisão sobre o valor desses dados, em termos do motivo pelo qual se avalia e das suas finalidades, de forma a desenvolver uma acção fundamentada (Santos, 2016), como se pode ver na figura seguinte. Estas várias fases podem ser mais ou menos explícitas e incidir sobre diversos aspectos (Fig. 1).

Figura 1. Fases do processo de avaliação

Mas a avaliação nem sempre foi vista como acabámos de descrever. A avaliação tem também uma história que não cabe aqui desenvolver. Contudo, podemos dizer que, até ao início dos anos 70 do sec. XX, a avaliação das aprendizagens estava muito ligada à ideia de medida. Avaliar era medir o que os alunos tinham ou não aprendido, isto é, o seu saber. Partia-se do princípio que tal como se mediam ou pesavam objectos, também se podia fazer o mesmo com a aprendizagem dos alunos. Contudo, a recolha de dados disponíveis em vários estudos mostrava que os instrumentos e procedimentos associados à medida não demonstravam nem validade (mede aquilo para o qual foi construído), nem fiabilidade (a medida é independente dos avaliadores, ou seja, em termos práticos, dois ou mais avaliadores atribuírem a mesma nota num teste.). Face a estas evidências, houve então um crescente interesse pelo estudo e desenvolvimento dos instrumentos de avaliação das aprendizagens com o objectivo de cumprirem os dois critérios enunciados. A avaliação passou a reduzir-se aos exames ou a outras modalidades mais ligeiras e informais feitas pelos professores, nas escolas, constituídas por um conjunto maior ou menor de perguntas da matéria que foi dada, habitualmente designado por teste. A cada resposta é atribuído um certo valor, que eventualmente será convertido numa nota ou menção qualitativa. Criou-se mesmo uma nova área do saber conhecida por Docimologia (área de estudo sobre os exames e as suas técnicas e consequências), cuja dimensão mais visível é o estudo dos exames e das suas práticas. No entanto, apesar destes esforços, vários estudos desenvolvidos evidenciam que a avaliação como medida não garante os dois requisitos já referidos. Diversos avaliadores avaliam a mesma prova atribuindo diferentes notas e o mesmo avaliador se avaliar a mesma prova em momentos diferentes no tempo também chega a resultados diferentes.Neste contexto, a informação referida na figura 1, os dados, não são mais do que as respostas às perguntas; a análise e a interpretação apreciam o grau de adequação das respostas relativamente ao que é esperado e, finalmente, a decisão é a atribuição de classificação à produção de cada aluno. Posteriormente, esta classificação pode dar origem a diferentes utilizações, consoante o ano de


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escolaridade ou o momento em que ocorre (dá lugar a uma hierarquização dos alunos em termos de excelência, permite decidir se o aluno transita ou fica retido, etc.). Nesta perspectiva, a avaliação termina quando a classificação é atribuída e conhecida por todos. Esta ideia ainda é hoje muito forte, mas desde há muito tempo que se reconhece que esta forma de praticar, entender e agir em avaliação tem um baixo grau de rigor e muito pouca utilidade em termos de contributos para a aprendizagem. Em síntese, a avaliação é uma outra coisa, talvez parecida na aparência com medida, mas não é uma medida (Noizet & Caverni, 1985). Actualmente muitos autores reconhecem que a avaliação é essencialmente um processo de tomada de decisão contextualizado (Pinto & Santos, 2006). Como já se referiu, o saber só pode ser reconhecido através da sua utilização potencial ou real numa situação concreta. Isto significa que o saber pode apenas ser inferido por alguém, pela resposta que outro dá numa situação concreta. Ora, na sala de aula e em particular nas situações de avaliação ocorrem situações sociais de interacção entre professor e aluno, umas vezes planeadas, outras vezes de forma espontânea. A figura 2 representa a dinâmica e relações que ocorrem na sala de aula num momento formal de avaliação.

Figura 2. Avaliação como construção social contextualizada

Como se pode ver na figura 2, numa qualquer situação de avaliação, o professor propõe ao aluno uma tarefa que supostamente revelará o seu saber. Mas esta proposta de trabalho tem que ser interpretada pelo aluno. Naturalmente, o professor e o aluno não estão ao mesmo nível relativamente ao saber de que a tarefa faz apelo. O professor tem uma ideia de como é que essa tarefa deve ser feita (bem feita), que pode ou não explicitar, traduzindo as expectativas do professor. Contudo, para o aluno, o que o professor pede ou quer que ele faça ou responda pode não ser nada claro. Deste modo, quanto mais explícito for o pedido do professor, maior a ajuda para interpretá-lo e para construir a resposta, que chamamos de produção. Todas estas ações descritas ocorrem em salas de aula especificas, ou seja, com professores diferentes e em turmas também diferentes. A estas condições chamamos de contextos e que podem influenciar positiva ou negativamente o desenrolar da acções descritas. Por isso se diz que a avaliação é uma construção social contextualizada.De seguida, o que o professor faz é comparar a produção realizada pelo aluno com as suas expectativas, através de um juízo avaliativo. Quanto mais as produções realizadas pelos alunos (respostas ou realizações) se aproximarem do que o professor espera (expectativas) mais positivo será o juízo avaliativo. Assim, a tarefa de avaliação consiste neste juízo de valor entre o pedido/expectativas e a interpretação/realização. Deste modo, a avaliação configura um processo de comunicação interpessoal contextualizado. Como qualquer outro processo de comunicação pode ser mais ou menos eficaz. Será tanto mais eficaz se houver um ajustamento na linguagem utilizada e se o contexto for facilitador, ou seja, se o clima de aula for, por exemplo, de respeito mútuo entre professor e alunos.


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A informação produzida, isto é, o juízo de valor que o professor faz, pode agora seguir dois caminhos distintos ao nível da sua utilização. Um é usá-lo no sentido mais redutor e ficar circunscrito à verificação de que o aluno sabe ou não, que pode ter como consequência a retenção ou a progressão. Outro é investir nessa informação para a melhoria do processo de ensino e aprendizagem. Por outras palavras usar essa informação, não só para reconhecer o que o aluno sabe ou não, mas também procurar compreender a natureza das suas dificuldades através dos seus erros e assim pensar como ajudá-lo a superar as suas dificuldades. Em síntese, a avaliação é um processo socialmente construído num contexto específico baseado num processo de comunicação interpessoal complexo.

1.2. A AVALIAÇÃO NO CURRÍCULO

O significado que se atribui à avaliação e o contexto pedagógico em que ocorre está intimamente relacionado com uma certa ideia do acto pedagógico, ou seja, do que se entende por ensinar e aprender e o modo como se concretiza no terreno. Quando a avaliação é encarada como medida, o que é mais importante para a aprendizagem é a forma como o professor transmite os conhecimentos para o aluno. O professor é quem detém o saber e a sua tarefa é passar esses saberes aos alunos, assegurando que eles o saibam reproduzir. Esta passagem é, em geral, feita através do discurso oral e através de tarefas propostas aos alunos, normalmente exercícios de aplicação do que foi transmitido. Nesta perspectiva, o êxito da aprendizagem dos alunos está na boa transmissão dos conhecimentos. Assim, a avaliação consiste apenas em verificar se o aluno é ou não capaz de reproduzir os conhecimentos enunciados ou trabalhados na aula - em linguagem de senso comum, a matéria que o professor “deu”. O aluno, enquanto aprendente, tem um papel relativamente passivo. Apenas lhe compete ouvir ou fazer o que o professor manda e tentar apropriar-se desses conhecimentos. A avaliação não tem lugar nesta relação entre ensinar e aprender. Ela apenas serve para constatar/ medir a quantidade e qualidade de conhecimentos de que o aluno se apropriou, em relação àqueles que o professor transmitiu. A avaliação é assim um processo exterior ao ensino e aprendizagem. A avaliação tem lugar em certos momentos estabelecidos previamente: no final de unidades de aprendizagen ou no final de momentos temporais (Fig. 3).

Figura 3. A avaliação e o processo de aprendizagem (Pinto & Santos, 2006, p. 17)

Os testes, fichas ou exames são normalmente os instrumentos mais utilizados. A incidência está centrada na quantidade de respostas certas ou erradas que depois de contabilizadas se transformam numa classificação, dando assim uma possível hierarquização dos alunos em termos dos saberes. Já quando encaramos a avaliação como uma construção social contextualizada, tendo na sua base um processo de comunicação, a relação ensinar e aprender é vista como o estabelecimento de relações interpessoais em que o aluno é o protagonista central da sua aprendizagem e o professor um organizador, mediador e suporte dessa aprendizagem. Assim, o foco desta relação passa pela organização de situações de aprendizagem baseadas em tarefas que os alunos têm de trabalhar. Os alunos vão construindo as suas aprendizagens com o suporte ou apoio do professor. Aprender significa compreender. Esta compreensão constrói-se, muitas vezes, no diálogo entre professor e alunos, ou mesmo entre alunos, a propósito das dificuldades de cada um. A resolução das tarefas confronta os


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alunos com dificuldades, que o professor tem que compreender para os ajudar a aprender. Todos estes processos são interacções avaliativas. Para poder apoiar o aluno, o professor tem que perceber a sua dificuldade, interpretá-la e, em função disso, propor-lhe uma orientação para que este a supere. Deste modo, a avaliação está presente, não só em certos momentos, mas de uma forma permanente, no trabalho quotidiano da sala de aula (Fig. 4).

Figura 4. A avaliação e o processo de aprendizagem (Pinto & Santos, 2006, p. 39)

1.3. OBJECTIVIDADE VERSUS SUBJECTIVIDADE

Associar a ideia de avaliação com a de rigor é corrente na sociedade. Usa-se o termo rigor no sentido de que a medida, o juízo produzido pelo processo avaliativo, a tomada de decisão fundamentada na análise e interpretação da informação, é correcta e traduz exatamente o que o aluno sabe num dado momento. Esta ideia de avaliação enquanto medida tem a sua origem no período psicométrico. No virar do séc. XIX para o séc. XX, começa-se a dar particular atenção aos traços da personalidade do indivíduo para, de seguida, transpor esses procedimentos para medir o desempenho dos alunos. A Psicologia, ao tentar conhecer as características psicológicas de um indivíduo, e não, como por exemplo a inteligência, procurou fazê-lo de modo que a sua descrição fosse exaustiva, estável, fiel e quantificável. Para tal, foram construídos testes psicométricos, que na sua aplicação seguiam um conjunto de procedimentos normalizados. Um bom exemplo desta situação foi a determinação do coeficiente de inteligência do indivíduo (QI). Ora, estes processos são transpostos para a Educação, nomeadamente o seu carácter prospectivo (antecipa-se se, no futuro, o aluno será ou não capaz, é esta prescrição que está na base da decisão do aluno transitar ou não de ano), e as condições de aplicabilidade que procuram anular as variáveis parasitas. É então que os problemas relativos a estes procedimentos aumentam. É de fazer notar que esta ideia de associar a medida à aprendizagem dos alunos, embora dê, até aos dias de hoje, uma sensação de segurança e de credibilidade, tanto aos professores, como aos pais e à sociedade em geral, levanta muitos problemas. Senão vejamos. O conceito de medida vem da Física. Nesta área do saber, quando se quer medir a propriedade de um objecto algumas condições têm de ser respeitadas: (i) dispor de uma medida padrão; (ii) controlar as variáveis que podem influenciar a propriedade que se quer medir de modo que as variações que se observem sejam resultantes do acaso; e (iii) fazer tantas medidas quantas as necessárias até que um novo valor já não altere a média obtida no conjunto das anteriores medições. Veja-se, a título de exemplo, o caso da medição do comprimento de um objecto. Para tal dispõe-se de uma medida padrão, o metro; é possível controlar a temperatura e a pressão atmosférica, variáveis que se sabe que alteram o comprimento do objecto e realizar tantas medições quantas as necessárias até a média estabilizar. Transpondo agora para a aprendizagem dos alunos, tem-se que na educação:

– não há uma medida padrão. Há diversas escalas (por ex. de 0 a 20, de 0 a 10, de 1 a 5, escalas qualitativas) e mesmo quando diferentes avaliadores usam a mesma escala, apenas aparentemente


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ela é igual. Há quem utilize a escala de 0 a 20, mas de facto só use valores entre 7 e 18, ou outros, e para além disso dois professores não têm necessariamente o mesmo entendimento de quanto vale 14, por exemplo;

– muitas são as variáveis que podem interferir na qualidade do desempenho do aluno num dado momento (por ex. o seu estado de saúde, o seu estado psicológico e, no caso da avaliação externa, as características do instrumento de avaliação e suas condições de aplicação) que não temos forma de controlar;

– não é possível fazer tantas medições quantas as necessárias, não só porque deixaríamos de ter tempo para ensinar e aprender, como também não se pode aplicar o mesmo teste para fazer as sucessivas medições.

Perante tal constatação, dois caminhos foram seguidos na procura de atenuar tais divergências. Um deles foi desenvolver processos que permitissem reduzir essas mesmas divergências, o outro foi o de procurar razões que as explicassem, nomeadamente estudando o comportamento dos avaliadores.Na primeira abordagem enunciada, Noiset & Caverni (1985) propõem-nos (i) métodos de moderação, sejam eles a priori, sejam a posteriori, aplicados aos exames e (ii) a própria modificação das condições desses exames. Os métodos de moderação podem traduzir-se no ajustamento de notas, através de um factor de correcção, ou a um processo de multicorrecção, correcção feita por mais de um avaliador. A modificação das condições de exame corresponde a aumentar o número de provas de exame ao longo do período lectivo em vez de um único no seu final. A ideia é uma vez mais de que “quanto mais as avaliações forem numerosas, mais as probabilidades de apreciar o ‘verdeiro valor’ do aluno serão elevadas” (Noizet & Caverni, 1985, p. 59).Quanto ao comportamento dos avaliadores, a investigação desenvolvida por Noizer & Caverni (1985) veio evidenciar que este vai sendo alterado ao longo do processo de classificação: “O modelo de referência, por um lado, é constituído anteriormente ao trabalho, quer dizer ao acto de avaliação e, por outro lado, modifica-se à medida que o trabalho de avaliação prossegue” (p. 70). Segundo estes autores, existem os efeitos de assimilação e os de contraste que explicam esta sucessiva alteração do modelo de referência. O efeito de assimilação traduz a influência que a ideia que o avaliador constrói sobre o produtor da prova (mesmo em provas anónimas em que se não sabe quem a produziu) tem sobre o seu modelo de referência. Se os elementos que retira da prova (limpeza, ausência de rasuras, regularidade de letra, organização da mancha da página, etc.) lhe dão ideia de que se trata de um bom aluno, o avaliador é menos exigente na aplicação do seu modelo de referência. Tal comportamento explica-se pela necessidade do ser humano de conseguir a consonância cognitiva, isto é, de encontrar concordância entre a ideia que fez do aluno e o seu desempenho. Os efeitos de contraste correspondem aos efeitos sequenciais de provas de diferente qualidade. Num conjunto de provas que o avaliador está a classificar, perante uma prova que se destaca pela elevada qualidade, a prova seguinte é vista recorrendo ao referencial da prova anterior, sendo o avaliador mais exigente na forma como aplica o seu modelo de referência. Já quando se depara com uma prova muito fraca, a prova seguinte é vista de forma mais favorável. Em suma, os efeitos de assimilação são efeitos de redução de distância, enquanto os efeitos de contraste são de aumento de distância. Podemos assim afirmar que se trata de dois tipos de efeitos opostos.Do exposto podemos afirmar que a procura de rigor em vez de ter tido como resultado o obter, ou pelo menos o aproximar da objectividade, entendida como o resultado obtido ser independente do avaliador, levou à constatação e compreensão das razões da impossibilidade dessa mesma objectividade. Por outras palavras, em vez de se ter encontrado uma resposta satisfatória, o afastamento ao que se pretendia aumentou e, mais do que isso, passou a tomar maior sentido. Contudo, com a evolução do


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conceito de avaliação, deslocando-o de avaliação enquanto medida para o de uma construção social contextualizada, assente na interacção social que se estabelece entre professor e alunos na sala de aula, a procura de objectividade não fica resolvida, mas sim altera-se o modo de a encarar. A objectividade passa a ser identificada com a transparência dos processos de avaliação – explicitação de objectivos, de critérios e dos instrumentos a utilizar, bem como a tomada de consciência dos intervenientes no processo. Neste novo referencial conceptual, o que faz sentido é desenvolver uma “intersubjectividade”, que se obtém quando é atingido um elevado grau de concordância entre dois ou mais juízos avaliativos.

1.4. ACTIVIDADES DE AUTO-FORMAÇÃO

TRABALHO 1

Num sábado pedagógico, o professor Geraldo comentou com o professor Abreu que as notas que os seus alunos tinham tido no teste eram muito baixas e que estes sabiam muito pouco. O professor Abreu perguntou: O colega tem mesmo a certeza que os alunos não sabem? Será que os alunos perceberam o que era pedido? Acha que os dois professores estão a atribuir o mesmo significado à avaliação? Justifique a sua resposta e tente discutir esta questão com um colega.

TRABALHO 2

Com um ou mais colegas, com quem costuma trabalhar, desenvolva em conjunto o método de multicorrecção. Escolham uma ou mais questões de um teste já realizado, discutam um possível modelo de referência, ou seja, uma grelha de classificação a aplicar, e cada um separadamente classifica as questões seleccionadas. De seguida, comparem os resultados e procurem compreender as razões de possíveis discrepâncias. Reflictam que possíveis implicações podem tirar para a prática lectiva de cada um individualmente.

TRABALHO 3

Na classificação de um teste que aplicou a uma sua classe/turma proceda do seguinte modo: 1. Construa uma grelha de classificação para o teste. Para tal atribua uma classificação a

cada questão de modo a obter no total a cotação de 10 valores.2. Escolha uma questão do teste e classifique as respostas dadas por um subgrupo de

alunos da classe (pelo menos 20 alunos).. 3. Quando terminar a tarefa do ponto 2 volte ao primeiro teste que corrigiu e verifique se

ainda atribui a mesma classificação. 4. O que conclui? Que aprendizagens retira para a sua prática avaliativa?


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2. FUNÇÕES DA AVALIAÇÃO

2.1. BREVE PERSPECTIVA HISTÓRICA

Ao longo do tempo, a avaliação enquanto prática social institucional desempenhou diversas funções estreitamente ligadas à evolução da Escola e dos sistemas educativos, aos vários conceitos de cultura e saber, e à organização do trabalho. Nos finais do séc. XIX, as transformações sociais que ocorreram constituem uma razão explicativa para a afirmação de novas funções da avaliação. Estas funções são ainda, passado um século, bastante próximas das actuais, talvez não tanto ao nível dos discursos, mas sobretudo ao nível das práticas. Também as transformações introduzidas pela massificação da Escola Pública estão ainda bem presentes nalguns sistemas de ensino. A fragmentação e a dispersão curricular, a organização vertical dos sistemas educativos e a linearidade na sua progressão, a turma como estrutura organizativa e a normalização como valor estruturante – tanto ao nível das tarefas de ensino, como das aprendizagens dos alunos – encaminham a avaliação para funções essencialmente administrativas. A selecção e a certificação são aspectos centrais para o funcionamento deste sistema. O exame, ou os seus substitutos, são a expressão da ideia de medida, o gesto avaliativo. A transição ou retenção constituem a consequência do acto avaliativo. Este, quase sempre percebido em termos individuais, está simbolicamente articulado com o esforço, o empenho ou as faculdades intelectuais. A integração ou a exclusão, no limite fruto da responsabilidade individual, são os efeitos sociais mais visíveis. A avaliação aparece então neste quadro pedagógico como um meio de verificação e controle da aprendizagem dos alunos, independentemente do momento em que é feita ou da multiplicidade desses momentos ao longo do ano. Assim, reforça-se uma avaliação centrada na medida dos resultados de um programa. O discurso do professor funciona como norma ou referência para esta tarefa de medida. A avaliação, ao assumir uma dimensão social (Santos, 2002), através das funções de selecção/orientação e de certificação, adquire um peso significativo não só no campo social, mas também na vida de cada cidadão. O futuro de cada aluno depende muito da avaliação. A ideia de medida vem emprestar à avaliação uma legitimidade científica. O exame e os seus rituais, tido como o instrumento de medida, acabam por preencher por completo a própria noção de avaliação. Os exames são a própria avaliação. Os rituais do exame garantem a validade da medida e conferem à avaliação uma legitimidade social indiscutível. Fruto destas associações e por conveniência política, o uso do exame passa a ser sinónimo de exigência e o seu resultado de esforço ou de mérito. Os fracassos são explicados por causas estritamente pessoais ou sociais (Pinto, 2002) numa lógica de constatação. A avaliação torna-se assim um instrumento de garantia da qualidade do sistema educativo. Se os alunos não têm êxito, têm um deficit no seu mérito com consequências imprevisíveis. Se os professores não conseguem que os seus alunos tenham sucesso, dentro de certos limites, são olhados como potencialmente incompetentes. A avaliação fecha-se num círculo que se auto reforça, prevalecendo, ainda, nos nossos dias, tornando-a indiscutível e indispensável.Mais tarde, à dimensão social da avaliação junta-se uma dimensão pedagógica que toma expressão com a avaliação formativa. Tendo inicialmente por objectivo orientar sobretudo a acção do professor, vai evoluindo para o alargamento do seu âmbito, procurando, como grande meta orientadora, desenvolver no aluno a sua capacidade de autorregulação. Em síntese, e segundo Perrenoud (2001), pode falar-se de três funções da avaliação: a função formativa, a certificativa e a prognóstica, esta última dirigida à orientação dos percursos escolares dos alunos. Quando a avaliação formativa acontece antes do início de um ano escolar ou de uma nova unidade temática pode chamar-se de avaliação diagnóstico.


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Weiss (1996), para discutir as funções da avaliação, pressupõe duas abordagens ou tipos possíveis de avaliação: a avaliação centrada na regulação do sistema escolar (dimensão social) e a avaliação educativa (neste texto associada à dimensão pedagógica) dirigida ao desenvolvimento pessoal do aluno (Fig. 5). A primeira apresenta três tipos de funções: (i) a avaliação externa para situar as exigências, concretizada por aquilo a que habitualmente designamos por provas aferidas; (ii) a avaliação para balanços provisórios e certificações definitivas, referindo-se a anos intermédios e a finais de ciclo, respectivamente; e (iii) a avaliação para gerir o sistema de formação, decidindo sobre a passagem ou retenção dos alunos. Quanto ao segundo tipo, a avaliação educativa, este autor associa-lhe três funções de acordo com o momento escolar: (i) a avaliação para formar; (ii) a avaliação para informar e formar; e (iii) a avaliação para decidir (Fig. 5).

Figura 5. Funções da avaliação (adaptado de Weiss, 1996)

A avaliação para formar é desenvolvida ao longo do ano. Tem por principal protagonista o aluno, incidindo sobre o seu trabalho e as suas produções. Procura contribuir para a aprendizagem e para os comportamentos escolares, desenvolvendo a capacidade de auto-regulação do aluno, apoiada por contributos reguladores do professor para que os alunos conheçam e interiorizem as expectativas da escola e os métodos de aprendizagem. As formas que assume são a auto-avaliação guiada, a auto-regulação, a troca de perspectivas, a discussão guiada. É um processo interactivo, centrado naquele que aprende. A avaliação para informar e formar é desenvolvida em momentos de balanço intermédios. Tem por protagonista o professor, com base no trabalho dos alunos e nos objectivos curriculares. A sua função é fornecer uma ajuda à formação e às escolhas através da avaliação. Consubstancia-se, na sua componente informativa, através da caderneta, de fichas informativas, pautas ou outros instrumentos informativos. Na auto-orientação guiada através de reuniões institucionalizadas entre professor, pais e/ou Encarregados de Educação e alunos. Por outras palavras, a avaliação informativa cria espaços de partilha e reflexão conjunta sobre a situação escolar e perspectivas em presença. É nestes espaços que o professor pode aceder ao modo como alunos e encarregados de educação pensam a escola. Em particular, qual a disciplina preferida do aluno, quer na perspectiva deste, quer na do seu encarregado de educação; em qual sente menos dificuldades e porquê; o que pensa o aluno sobre o que o seu professor pensa de si; e o que pensa o educando sobre o que o seu filho pensa. É de fazer notar que


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Perrenoud (2001) questiona até que ponto vale a pena considerar uma função informativa da avaliação (o que significaria acrescentar uma quarta função às três que enuncia) ou, por outras palavras, chama a atenção que um investimento nesta função poderá desviar as energias do principal propósito da avaliação, a regulação das aprendizagens. Contudo, em sua opinião, uma ficha informativa de natureza descritiva (em que se descreve as dificuldades e os progressos do aluno) poderia contribuir para uma maior consciencialização do professor, para uma resposta mais fundamentada de questões chave, mas não corresponderá àquilo que o pai/encarregado de educação espera como informação. A avaliação funciona para estes não tanto como uma medida, mas sim como uma mensagem que lhes diz se devem ou não preocupar-se com o seu educando.A avaliação para decidir acontece no final de cada período lectivo e ano. É da responsabilidade das famílias, alunos e professores, com base na análise global dos trabalhos dos alunos e das soluções disponíveis. Tem por fim último a escolha das melhores soluções de formação. Esta proposta, avançada por Weiss (1996), de incluir os pais/encarregados de educação em certos momentos de decisão é interessante e certamente desafiante para a Escola. Este autor, ao apostar na transferência do campo onde se tomam habitualmente as decisões, estabelece uma analogia com outras situações da vida, como seja o caber ao doente a responsabilidade da tomada de decisão de ser operado. Não é o médico que a toma, apenas aconselha este tipo de intervenção, como resposta à doença diagnosticada. Também não é o professor que toma a responsabilidade de escolher uma via a prosseguir, apenas a aconselha, enquanto especialista. Enquanto a decisão couber à instituição, esta sente-se na obrigação de provar (através de provas de avaliação tão socialmente credíveis quanto possível) que as suas decisões estão correctas, levantando muitos obstáculos a projectos inovadores. Contudo, não podemos deixar de chamar a atenção para que esta proposta também acarreta outro tipo de questões. Sabemos que o contexto social dos pais/encarregados de educação determina formas diferentes de intervenção na escola e que nem sempre têm em conta o bem da criança.

2.2. MODALIDADES DE AVALIAÇÃO

A avaliação contempla diversas funções e actores nela envolvidos. Mas o que verdadeiramente permite distinguir os seus vários tipos não são os actores envolvidos, nem tão pouco os seus modos de a operacionalizar, mas sim as funções, propósitos ou usos associados ao acto avaliativo. Por outras palavras, “Não são as respostas ao “Como?” e ao “Quando?” que são obrigatoriamente distintas para as caracterizar, mas sim ao “Para Quê?” (Santos, 2016, p. 3). Quando a avaliação tem por propósito sintetizar a aprendizagem, fazer um ponto de situação, para reportar, informar, hierarquizar, seleccionar, estamos perante a avaliação sumativa. Neste caso, associamos as funções certificativas e prognósticas de Perrenoud (2001) numa só modalidade. Quando a avaliação tem por propósito contribuir para a aprendizagem e/ou adequar o ensino designa-se por avaliação formativa. Contudo, já que em Angola a avaliação diagnóstico é uma realidade, chamamos a atenção para a importância do seu uso, mas como avaliação formativa, não estando limitada apenas apenas ao inicio do ano. O diagnóstico deve ser feito sempre que o professor achar conveniente ao longo do ano e para perceber melhor o que os alunos sabem ou não para melhor os ajudar a superar as suas dificuldades através do uso de estratégias de trabalho diferenciado.É de fazer notar que existem certos autores que incluem uma terceira modalidade de avaliação, a avaliação diagnóstico. Tendo em conta que o seu propósito é delinear o ensino, de acordo com a realidade dos alunos e os conhecimentos daqueles alunos específicos, o que é um dos propósitos que caracteriza a avaliação formativa. Por esta razão não também não fazemos uma distinção entre


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avaliação diagnóstico e formativa. Assim, consideramos que apenas existem duas modalidades de avaliação, definidas pelos seus propósitos assumindo que a avaliação diagnóstico se integra na modalidade de avaliação formativa. Partindo do pressuposto que as modalidades de avaliação se distinguem pela suas finalidades, tal como assumimos, mais recentemente estas podem ser também designadas por avaliação das aprendizagens referindo-se à avaliação sumativa e avaliação para as aprendizagens no caso da avaliação formativa, procurando-se assim tornar mais explícito, clarificar, os propósitos de cada modalidade de avaliação. Sendo os propósitos distintos, há naturalmente outras diferenças que tendencialmente se verificam na operacionalização de cada um destes processos avaliativos, muito embora não sejam estas que caracterizem cada uma das modalidades, como atrás referido. O quadro 1 sintetiza essas diferenças.

Quadro 1. Modalidades de avaliação e suas características mais frequentes

Avaliação sumativa(Avaliação das aprendizagens)

Avaliação formativa(Avaliação para as aprendizagens)

A quem se dirige Dimensão social Dimensão pedagógica

Foco de incidência Aprendizagem Aprendizagem e ensino

A quem cabe desenvolver Professor/Entidades exteriores Professor e alunos

Natureza Formal Formal e informal

Momento em que ocorre Após as aprendizagens Retroactiva e Prospectiva

Antes e durante as aprendizagens Disgnóstico e Interactiva

Designamos por dimensão social quando os resultados do processo avaliativo se dirigem a diversos actores envolvidos no sistema educativo para além do próprio aluno, como sejam os encarregados de educação, os professores e órgãos dirigentes da escola, o mundo do trabalho, etc. A dimensão pedagógica passa necessariamente por envolver o professor e o aluno dado ter por foco a regulação do ensino e da aprendizagem. Habitualmente, é ao professor que cabe a responsabilidade de desenvolver a avaliação sumativa, no caso de se tratar de uma avaliação interna, ou de entidades exteriores à escola, quando a avaliação for externa, caso dos exames a nível regional ou nacional. Já num registo formativo, a responsabilidade tanto pode caber ao professor, por exemplo no caso de atribuição de feedback a produções dos alunos, ou aos próprios alunos, seja entre eles, quando se tratar de situações de co-avaliação ou apenas cada aluno, em momentos de auto-regulação. Quanto à natureza de cada uma das modalidades de avaliação, se é certo que tendencialmente existe uma supremacia de processos formais na avaliação sumativa, de forma a garantir o rigor e a equidade que se procura garantir numa avaliação que compara os alunos entre si, a avaliação formativa pode ocorrer em processos, quer formais, quer informais. Contudo, mesmo quando acontece em processos informais requer a intencionalidade de quem a desenvolve. É “a intenção de compreensão do estado do aluno em termos de saber e suporte ao aluno que dá à avaliação uma natureza formativa” (Santos, 2016, p. 5).Por último, muito embora reforcemos a ideia de que não é o momento em que acontece que faz distinguir a avaliação formativa da sumativa, reconhece-se que preferencialmente a avaliação formativa deve ser desenvolvida acompanhando o processo de ensino e aprendizagem, para que a


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regulação possa acontecer enquanto este ocorre, para que seja uma regulação ao momento. Mas nesta perspectiva também pode haver situações de avaliação mais formais, mas aqui o objectivo não se restringe a revelar o que o aluno sabe, mas, sobretudo, a identificar as dificuldades através dos erros dos alunos, a interpretá-las e a tomar decisões que permitam superar essas dificuldades que os alunos encontram. Em síntese, encarar a avaliação nesta perspectiva implica assumir que a avaliação tanto está presente no próprio processo de ensino e aprendizagem, como no final das unidades didácticas. Já a avaliação sumativa, acontecendo usualmente no final de um período de ensino e aprendizagem, seja de uma unidade didáctica, seja de um período lectivo, seja ainda de um ano lectivo, assume um carácter retrospectivo. Por outras palavras, toma decisões baseadas em algo que já aconteceu, sobre as aprendizagens que tomaram ou não lugar anteriormente. Simultaneamente, ao tomar decisões sobre o futuro do aluno, fazendo previsões sobre o que será ou não capaz de vir a fazer, assume também um carácter prospectivo.


TRABALHO 1.

Identifique três tarefas de avaliação que mais utiliza com os seus alunos. Procure descrevê-las desde a sua concepção até ao seu término. Analise de seguida o processo, vendo o que é comum e diferente nas tarefas de avaliação identificadas (foco, intervenientes, momentos, natureza). Estas tarefas inscrevem-se em que modalidade de avaliação? Porquê?

TRABALHO 2.

Num sábado pedagógico as professoras Virgínia e Luzia estavam a conversar sobre as modalidades de avaliação. A professora Virgínia disse: Não percebo muito bem isto da avaliação ser feita também durante as aulas! Para mim a avaliação é no final do mês. Nesse momento é que eu avalio os alunos. Se fosse a professora Luzia como explicava à Virgínia que a avaliação pode ser feita durante as aulas e não precisa de ser num momento determinado.


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3. AVALIAÇÃO FORMATIVA


O termo “avaliação formativa” foi criado por Scriven e surge num artigo publicado em 1967 sobre a avaliação de meios de ensino (currículo, manuais, métodos, etc.). Bloom recupera o termo e usa-o para identificar uma das modalidades de avaliação na sua proposta pedagógica, conhecida por “pedagogia por objectivos” (Bloom, Hastings & Madaus, 1971). Assente numa teoria de aprendizagem ainda marcada pelo behaviorismo, atribui ao professor a responsabilidade de organizar a estrutura de ensino. A partir de uma taxionomia de objectivos hierarquicamente organizada da mais simples forma de conhecimento - a identificação para a mais complexa - a avaliação. Cabe ainda ao professor desenvolver um bom nível de motivação no aluno, condição necessária para que aconteça aprendizagem, e criar condições favoráveis à aprendizagem de cada aluno. Começa-se então a assumir que todo o aluno é capaz de aprender, isto é, de se aproximar progressivamente da consecução dos objectivos predefinidos. O que diferencia sobretudo os alunos entre si é o ritmo com que essa aproximação acontece. É, neste contexto, que a avaliação formativa (e a avaliação diagnóstica, quando aquela ocorre num momento prévio ao processo de ensino e aprendizagem) e a remediação ou a acção pedagógica do professor assumem um papel essencial e estratégico na melhoria da gestão do processo de ensino e aprendizagem. O diagnóstico e a remediação são assim duas componentes fundamentais nesta ideia de avaliação. O diagnóstico traduz a evidência resultante do balanço entre o estado real e o desejado do aluno. A remediação decorre das decisões sobre o que fazer para alterar uma situação de discrepância entre estes dois estados. A avaliação formativa corresponde assim a uma orientação para o professor.Com o desenvolvimento de novas formas de encarar a aprendizagem, o significado do conceito de avaliação formativa evolui. A abordagem construtivista e/ou socio-construtivista da aprendizagem atribui ao aprendente, ao aluno, um papel central. Não deixando de ser essencial o papel do professor, este passa sobretudo a assumir a responsabilidade de construir e propor contextos favoráveis e adequados de aprendizagem e de gerir e orientar o aluno no desenvolvimento de tais contextos. Espera-se que o aluno, através de um contexto de interacção social facilitador, vá evoluindo pela sua própria acção. Esta mudança não segue uma lógica linear do simples para o complexo, mas antes faz-se através de situações desafiadoras e intelectualmente exigentes, como seja através da resolução de problemas, no seu sentido lato.É neste contexto de ensino e aprendizagem que a avaliação formativa passa a ser vista como um processo de acompanhamento destas dinâmicas, o ensinar e o aprender. O seu primeiro objectivo é acima de tudo ajudar a compreender o funcionamento cognitivo do aluno face a uma dada situação proposta de forma a poder desencadear uma acção futura fundamentada. Através desta acção procura-se que o seu fim último seja o aluno enquanto protagonista do processo avaliativo formativo. Por outras palavras, procura-se que a auto-regulação seja progressivamente a forma privilegiada de avaliação. Passaremos a adoptar esta forma de entender a avaliação formativa nas próximas páginas deste livro.No sentido de clarificar os dois significados de avaliação formativa aqui apresentados, recorremos ao trabalho desenvolvido por Torrance e Pryor (2001). Estes autores desenvolveram um modelo de avaliação formativa criando duas categorias que designaram, respectivamente, por avaliação convergente e avaliação divergente. A primeira tem por objectivo conhecer se o aluno sabe, compreende e é capaz de prever; a segunda pretende aceder ao que o aluno sabe, compreende e é capaz de fazer. No


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primeiro caso, a avaliação pode ser menos formativa. Centra-se nos resultados para em seguida agir em conformidade. É uma regulação após um período de ensino e aprendizagem (pós-activa), com pontos comuns ao primeiro conceito de avaliação formativa anteriormente apresentado. A segunda respeita a complexidade da avaliação formativa. Dirige-se sobretudo aos processos, acontece ao longo do ensino e aprendizagem (interactiva) e recorre às interacções na sala de aula. É uma regulação interactiva, que apresenta aspectos comuns ao segundo significado mais actual de avaliação formativa. Note-se que, segundo estes autores, embora estes dois tipos de avaliação formativa pressuponham visões diversas dos papéis do professor e do aluno, elas não são necessariamente exclusivas na prática de ensino dos professores.Como se pode compreender, se a avaliação formativa acompanha o processo de ensino e aprendizagem ela tem necessariamente de ser continuada no tempo, isto é, contínua. Contudo, o uso desta designação não significa necessariamente avaliação formativa. Ela pode ser contínua apenas porque pode acontecer no tempo, mas sem esta função de apoio aos alunos. Neste caso, a avaliação será contínua, mas não formativa. Em síntese, muito embora não tenha sido atribuído sempre o mesmo significado à avaliação formativa, em todos os momentos foi-lhe atribuída uma função pedagógica que não se limita à observação, mas pretende o desencadear de uma intervenção pedagógica (regulação) sobre o ensino e/ou aprendizagem, que se destina a ajudar o aluno, e também, o próprio professor, dando-lhes pistas de retorno através de informações múltiplas.

3.2. CONDIÇÕES DE FUNCIONAMENTO

Tomando como ponto de partida o significado actual de avaliação formativa reconhecemos a complexidade do que se pede, quer ao professor, quer ao aluno. Professor e aluno procuram compreender o funcionamento cognitivo daquele, de forma a actuar em conformidade, no momento em que ocorre o ensino e a aprendizagem. Perante tal desafio, há que criar um contexto favorável para o desenvolvimento de uma prática eficaz de avaliação formativa. Enunciamos três condições que nos parecem essenciais: (i) a criação de uma certa cultura de erro; (ii) o recurso a tarefas de avaliação que apresentem complexidade cognitiva; e (iii) a transparência dos critérios de avaliação (Fig. 6).

Figura 6. Dimensões a considerar para uma prática eficaz de avaliação formativa

Se numa primeira etapa se procura a compreensão dos processos cognitivos dos alunos há que ser capaz de lhes aceder. Mas acontece que estes não são directamente acessíveis. É através do que os alunos produzem, e muito em particular da interpretação dos erros que cometem, que se poderá avançar com hipóteses explicativas dos seus modos de pensar. Mas para que tal aconteça o aluno deve sentir-se à vontade para errar. O erro não pode deixar de ser entendido como inerente ao processo de aprendizagem, como algo que acontece apenas àqueles que aprendem, tal como as dúvidas que os alunos nos colocam. Frequentemente, os professores ficam contentes quando os seus alunos lhes dizem


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que não perceberam algo. É sinal que os alunos estão a desenvolver um processo de aprendizagem.Podemos afirmar que há duas formas distintas de olhar o erro. Uma delas toma o aluno como referência. Neste caso, centrado no indivíduo, as causas do erro são, em geral, atribuídas aos alunos. A outra forma centra-se nos conceitos ou assuntos a ensinar. Nesta perspectiva, centrada no currículo, o erro é tomado como um indicador do grau de dificuldade na construção/apropriação do conceito, ou na forma como foi abordado e trabalhado. É um indicador da necessidade de uma intervenção pedagógica que requer adequação. Em síntese, de uma cultura de erro que o entende como uma ausência de aprendizagem e lhe atribui uma função contabilística (serve para descontar valores quando se classifica uma prova), passamos para uma outra cultura, em que errar é inerente ao processo de aprendizagem e constitui uma fonte rica de informação sobre o modo como o aluno pensa. Não é possível desenvolver uma prática de avaliação formativa em todas as aulas e em todos os momentos pelo que há que decidir quando o fazer. Dada a complexidade dos processos avaliativos, as tarefas sobre as quais se desenvolverão devem ser tão ricas quanto possível para que a aprendizagem que daí resulte possa ser tão significativa quanto se consiga. É ainda de fazer notar que tarefas de elevado nível cognitivo requerem a interacção entre professor e alunos e alunos entre si, seja na partilha de processos, seja na sua explicação, justificação e argumentação, e são adequadas à diferenciação pedagógica como possível acção fundamentada decorrente das decisões tomadas no âmbito da avaliação formativa.Por último, é necessário que os envolvidos no processo recorram a critérios de avaliação iguais para todos de modo a dirigirem a sua acção para o mesmo fim e poder haver compreensão na interacção que se estabelece. Entendemos por critério de avaliação o que se valoriza num dado momento para se decidir da qualidade de algo. De acordo com Santos et al. (2010, p. 36), podemos entender como critério de avaliação um elemento de comunicação, o encontro entre avaliador e avaliado. É uma construção, um instrumento de diálogo, é o enunciado do que é importante num dado momento, constituindo-se como uma expectativa face à sua acção educativa e à aprendizagem dos alunos. Não pré-existe à partida como algo de estável.A questão de não ser estável e poder evoluir, acompanhando a aprendizagem dos alunos, é contrária a uma visão tradicional dos critérios de avaliação, contudo de enorme importância para o seu potencial formativo. Adquirindo uma natureza dinâmica, pode ser melhorado, adaptado a cada contexto e estado de aprendizagem, podendo, deste modo, constituir um instrumento de trabalho para apoiar a aprendizagem. É de fazer notar que dado o critério de avaliação ser uma dimensão abstracta de um dado objectivo que valorizamos, requer ser acompanhado de um conjunto de indicadores, de sinais concretos observáveis. Há autores que distinguem os critérios de avaliação em critérios de realização e critérios de sucesso (Nunziati, 1990). Os primeiros ajudam, orientam, a realização de uma tarefa. Focam-se nos processos. Os segundos dizem respeito ao produto final, definindo níveis de qualidade. Contudo, os critérios de sucesso podem transformar-se em critérios de realização, caso sejam usados numa perspectiva de aperfeiçoamento e não de medida e sejam utilizados por aquele que realizou ou deve realizar a tarefa. Assim, os critérios de realização favorecem a implicação e envolvimento do aluno durante a acção, os de sucesso ajudam-no a distanciar-se e a apreciar de forma crítica o que fez. A combinação destes dois tipos de critérios permite uma acção com compreensão por parte do aluno, determinando a maior ou menor predisposição dos alunos para aprenderem (Elshout-Mohr, Oostdam, & Overmaat, 2002). Estivemos a apresentar as condições a verificar para, em nosso entender, se ter um contexto favorável para uma prática de avaliação formativa eficaz. Há, no entanto, de ter consciência que o estabelecimento


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destas três condições não é isento de dificuldades. Por um lado, para se construir uma cultura de sala de aula em que errar é visto como natural no processo de aprendizagem entra em contradição com uma cultura enraizada e dif ícil de romper que associa um sentido negativo ao erro. Por outro lado, não é fácil para o professor dispor de forma regular de tarefas de elevado nível cognitivo. Nos materiais que em geral consulta, como seja o manual escolar, este tipo de tarefas rareia, o que lhe exige um acréscimo de investimento e de tempo para ter essas tarefas disponíveis para os seus alunos. Por último, a apropriação por parte dos alunos dos critérios de avaliação, como a investigação evidencia, não é uma tarefa fácil, nem tão pouco se faz de um momento para o outro (Bruno, 2013). A lógica de quem aprende e a lógica de uma dada disciplina ou a de quem ensina não são necessariamente idênticas, à partida.

3.3. FEEDBACK

Entende-se por feedback toda a interacção que se estabelece entre o professor e os alunos com a intenção de reduzir a diferença entre o que o aluno realizou e aquilo que devia ter realizado. Naturalmente que isto cobre um vasto conjunto de interacções que acontecem quotidianamente na sala de aula ou mesmo quando os professores entregam os trabalhos realizados aos alunos. No entanto, o modo que o professor usa para tentar, em função do que acredita ser o melhor, que os alunos melhorem pode ser muito diferente. Por exemplo, pode colocar certo ou errado nas perguntas de uma ficha de trabalho, esperando que assim os alunos ao ver o que está errado procurem melhorar no saber associado a essa pergunta. Pode, também, dizer aos alunos que se ele não estuda mais, nunca poderá tirar boas notas; ou pode, por exemplo, perguntar ao aluno porque é que deu aquela resposta e em conjunto com ele ir conversando sobre o seu raciocínio para dar aquela resposta. Deste modo, as hipóteses são como vimos muitas, mas a questão essencial é que só algumas destas interacções contribuem efectivamente para ajudar os alunos a aprender. Neste texto apenas vamos considerar como feedback a comunicação que de forma intencional procura ajudar o aluno a melhorar as suas aprendizagens e, consequentemente, o seu desempenho nas diversas tarefas mesmo que o aluno não as consiga concretizar.Estas interacções (feedback) são um dos elementos fundamentais na avaliação formativa pois funcionam como mediador entre o que o professor ensina e o que o aluno compreende (aprende). Assim, é preciso ter sempre bem presente que o feedback é um processo de comunicação bidireccional entre aluno e professor. Se o professor apenas falar e o aluno não compreender ou não perceber não se pode falar de feedback. Isto é muito importante pois o professor tem que ajustar a sua linguagem aos alunos para que eles o percebam e tem que adoptar uma postura de escuta activa, para ser capaz de compreender as preocupações dos alunos. Para que qualquer estratégia de feedback seja bem-sucedida requer que o professor tenha uma visão global do programa de modo a perceber o estado em que o aluno está, compreender as suas dificuldades, e onde é que ele acha que ele deveria estar em termos dos saberes. O feedback será então a ponte que liga estes dois pontos, seja por palavras ditas oralmente ou escritas ou ambas. Para além da análise conjunta de uma situação, o professor deve dar pistas para o aluno poder prosseguir o caminho para atingir o estado de aprendizagem desejado.No feedback oral, a estratégia que parece mais eficaz parecer ser o questionamento, ou seja confrontar o aluno através de perguntas sobre o que fez ou está ainda a fazer. Por exemplo: “Porque é que deste esta resposta?”; “Porque pensaste assim?”; “Se quisesses explicar o que fizeste ao teu colega como farias?”. Naturalmente que estas questões levam o aluno a pensar sobre o que fez, sobre as suas dúvidas


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e dificuldades. Este processo de pensar sobre o que se sabe, designado de metacognição (Santos, 2002), é uma forma poderosa de aprendizagem. Todavia, fazer as perguntas certas, nos momentos certos, é certamente uma tarefa muito desafiante para o professor pois requer um grande conhecimento dos alunos e um grande auto-controlo para não dar as respostas de imediato, mas sim saber esperar que o aluno pense e elabore a sua resposta. Isto requer naturalmente uma aprendizagem do próprio professor que se consegue apenas fazendo e reflectindo sobre esta sua prática (Pinto & Santos, 2010). No feedback escrito há que ter a consciência de que não estamos apenas a transmitir ao aluno uma mensagem, mas a procurar interagir com ele em diferido, isto é, numa situação em que não se está olhos nos olhos. Portanto, para que o feedback funcione é preciso pensar muito bem nas características dos alunos, nos seus estatutos escolares e ainda no contexto. Se o professor escrever por exemplo: “Verifica se a tua resposta está completa”, dois alunos podem entender a frase de forma diversa e o efeito que ela tem em cada um, será também diferente. No feedback oral é necessário que o professor esteja atento à forma como cada aluno reage de modo que a sua fala seja entendida e aceite pelos alunos e os envolva no processo de aprendizagem.Alguns trabalhos de investigação realizados sobre o feedback evidenciam que, em crianças dos primeiros anos de escolaridade, é fundamental associar o feedback escrito e o oral. Muitas vezes, os alunos não percebem o que o professor escreve e vêem pedir-lhe esclarecimentos (Pimentel, 2013). Outras vezes, o escrito parece comprometer mais os alunos no que têm que fazer para superar as dificuldades depois de um feedback oral. Em síntese, para que o feedback seja eficaz é necessário que: (i) esteja centrado na tarefa, no processo ou na auto-regulação (por exemplo: “Tens alguns erros, queres corrigi-los?”) e não nas características do aluno (por ex. “És preguiçoso!”); (ii) as pistas a fornecer se centrem em aspectos que o aluno consiga concretizar (por ex. o aluno diz: “Mas eu não sou capaz de fazer isso”. O professor responde: “Mas se quiseres eu ajudo-te”): (iii) e, por último, requer mais trabalho do aluno do que do professor (por exemplo: “Vá, então, agora completa essa pergunta!”). É de fazer notar que não é fácil, de um dia para o outro, desenvolver hábitos discursivos mais formativos, pois colocar a pergunta certa é “uma arte” que só a experiência e um conhecimento profundo das matérias a ensinar permite fazer. Contudo, o nível de consciência que se tem pode ajudar o professor, a pelo menos, não fazer o que não quer, que é afastar os alunos da própria aprendizagem.


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TRABALHO 1.

O professor Januário, em conversa com o seu colega Matias, explica uma das suas práticas avaliativas. Prof. Januário:- Eu faço avaliação contínua com os meus alunos. Prof. Matias: - Então o que fazes? Prof. Januário: - De quinze em quinze dias aplico uma ficha aos meus alunos e no final do período calculo a média das classificações obtidas.

– Acha que o Prof. Januário faz uma avaliação formativa? Justifique a sua opinião.

– Que conselhos daria ao professor Januário para que a sua metodologia de avaliação se tornasse mais útil para as aprendizagens dos alunos?

TRABALHO 2.

Pense em situações/instrumentos de avaliação formativa que usa habitualmente. Escreva-as e explicite como as utiliza.

– Que benefícios consegue identificar para a aprendizagem dos alunos?

– Que razões podem explicar esses benefícios?

– Faça um balanço das dificuldades que sente e/ou que os seus alunos manifestam na utilização destas formas de avaliação e identifique estratégias para as minimizar.

TRABALHO 3.

Pense no tipo de feedback que dá aos seus alunos, quer oralmente, quando por exemplo os chama ao quadro, quer por escrito, quando corrige os seus trabalhos. Como caracteriza esses feedbacks? O que pretende com eles? Como acha que os alunos os recebem? Que efeitos produzem nos alunos?


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4. AVALIAÇÃO SUMATIVA


De um modo geral, quando se fala de avaliação pensa-se nos exames, nos testes, ou então nas notas. Ou seja, em instrumentos ou resultados que estão muito associados à avaliação sumativa. Esta modalidade é até pela sua história e peso social aquela que é mais conhecida e praticada. Nesta modalidade de avaliação procura-se fazer um balanço (sumula) dos resultados de aprendizagem tendo como referência o que foi trabalhado pelo professor. Por outras palavras, o que é que cada aluno aprendeu do que lhe foi ensinado no final de uma unidade de ensino; ou no final de um certo período de tempo ou mesmo, no caso dos exames, no final de um ciclo de estudos, num tempo limitado. A sua função é essencialmente revelar o que o aluno sabe no momento em que é avaliado através de um conjunto de instrumentos ou de processos considerados como válidos e fiáveis. Assim, esta modalidade está muito associada à ideia de medida do saber convertida numa nota ou numa menção, normalmente conhecida de classificação. A classificação é a codificação da informação sobre o saber do aluno numa escala numérica ou qualitativa. A sua função é então determinar o que o aluno aprendeu e divulgar essa informação. Como estes resultados têm um grande impacto na vida dos alunos, este tipo de avaliação tende a ser visto como “rigoroso e objectivo”, mais por “crença” do que por uma razão fundamentada cientificamente (como já foi discutido na secção Objectividade versus subjectividade). Esta preocupação, por medir o saber dos alunos, iniciou-se ainda no final do século XIX. O primeiro marco de medição em Pedagogia foram as escalas de medida para a escrita e ortografia e cálculo aritmético desenvolvidas por J. M. Rice, nos Estados Unidos. Posteriormente, no início do séc. XX, aparecem os testes de inteligência e dá-se início ao desenvolvimento de saberes que se debruçam sobre técnicas e instrumentos das diversas funções psicológicas e que é conhecida pela Psicometria. Ora se se podiam medir funções psicológicas como a inteligência ou a personalidade porque não também os saberes? Deste modo, é com base nesta ideia que se começam a desenvolver instrumentos para medir os saberes dos alunos e que cresce o interesse do estudo sobre os exames, quer ao nível das condições em que ocorrem, quer ao nível dos seus resultados. Contudo, os estudos então desenvolvidos fizeram ressaltar a existência de grandes discrepâncias entre avaliadores, bem como questionaram até que ponto as medições diziam respeito a coisas diferentes.Para responder sobretudo a estas últimas críticas, nos anos 50 há todo um movimento conduzido por uma equipa de investigadores, liderados por B. Bloom, que tinha como finalidade organizar uma taxonomia ao nível do saber, saber ser, e saber fazer. Aquela que ficou mais conhecida foi a do saber. Esta taxonomia consistiu em hierarquizar o conhecimento em seis níveis em função do seu grau de complexidade que vai desde a identificação até à avaliação, ou seja a formulação de um juízo de forma fundamentada. Uma vez definido este instrumento torna-se então possível estabelecer, para cada disciplina de um currículo, de uma forma clara e explícita, os objectivos educacionais. Isto possibilitaria que dois professores do mesmo programa avaliassem os mesmos objectivos e, portanto, chegassem ao mesmo resultado. Há neste propósito uma passagem da avaliação normativa, uma avaliação cujo referencial de avaliação (o que se quer avaliar) é o grupo (turma, alunos de uma escola, alunos de um país), para a criterial, em que o referencial de avaliação são os objectivos do programa. Numa avaliação normativa, o modelo ideal a que os resultados recolhidos através de um dado instrumento se devem ajustar é a curva de Gauss ou a curva normal (Fig. 7).


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Figura 7. Distribuição de resultados, segundo uma curva normal ou curva de Gauss

Uma vez que a avaliação criterial pretende estabelecer uma relação de concordância ou afastamento entre os objectivos pré-definidos e a realização dos alunos, o que mais interessa é, portanto, identificar uma aproximação progressiva aos objectivos, tal como acontece na representação gráfica ilustrada na figura 8. De acordo com a figura, à medida que o tempo avança (no eixo horizontal dirigindo-se para a direita), a diferença entre o desempenho do aluno no que ao objectivo educacional fixado diz respeito e a consecução desse mesmo objectivo vai diminuindo (a diferença entre o desempenho do aluno e objectivo diminui no eixo vertical).

Figura 8. Aproximação a um dado objectivo de diversos resultados de um mesmo aluno

Embora esta mudança traga melhorias à avaliação, não resolve o problema da fiabilidade pois a avaliação comporta sempre um certo grau de subjectividade. A avaliação sumativa tendo as finalidades de verificar a aprendizagem dos alunos relativamente aos objectivos desse programa ou parte dele, é utilizada habitualmente no final de um segmento de ensino com uma extensão que justifique um balanço global das aprendizagens realizadas Esta modalidade de avaliação pretende ser uma avaliação de malha larga pois o que se pretende é uma visão global sobre um conjunto vasto de objectivos e não um olhar de precisão sobre apenas alguns aspectos (Ribeiro & Ribeiro, 1990). Quando se fala em extensão, tanto pode ser uma unidade de ensino com aprendizagem longa, ou a um conjunto de unidades de aprendizagem, mais curtas. Assim, a incidência da avaliação sumativa deve ocorrer comandada por uma lógica que se prende com o final das unidades de ensino aprendizagem, isto é, por um imperativo curricular e não administrativo, que está ligado a um certo momento no tempo (fim do trimestre por exemplo). Todavia, em termos de prática, o que acontece frequentemente é a lógica da avaliação sumativa inverter-se, ou seja, o que comanda são os momentos formais em que as escolas têm que dar conta dos resultados dos alunos, bem como no final de ano. Estas razões administrativas sobrepõem-se às curriculares e transforma toda a avaliação em momentos de avaliação sumativa. Como nesses momentos formais, a avaliação é divulgada socialmente, nomeadamente aos pais, ela tem que ser o mais objectiva possível. Como se acredita que em termos de objectividade ter várias notas de um aluno é melhor que ter só uma ou


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duas, pois dá assim uma ideia de média, toda a avaliação se transforma em momentos de avaliação sumativa que depois serão tidos em conta nessa nota final. Como os resultados da avaliação têm um grande impacto, não só em termos sociais, como na vida de cada estudante, a avaliação ganha um peso significativo e passa-se então a ensinar aquilo que vai sair na prova ou no exame. O currículo passa a servir a avaliação e não o contrário, com todos os prejuízos que daí decorrem, traduzido por um empobrecimento curricular na medida em que, o que pode ser medido numa prova ou num exame é sempre apenas uma parte dos objectivos de curriculares. Por exemplo, desenvolver o espírito crítico, resolver problemas, ou saber comunicar oralmente através duma língua é algo que não se pode avaliar através de um teste e, portanto, estes aspectos correm o risco de serem secundarizados.

4.2. ORIENTAÇÕES PARA A CONSTRUÇÃO DE UM INSTRUMENTO DE MEDIDA

No contexto desta modalidade de avaliação, os testes (sumativos) são o instrumento mais utilizado. Estes incidem sobre um conjunto alargado de objectivos, representativo dos saberes que foram trabalhados numa ou em várias unidades de ensino. Como um teste é feito num certo período de tempo exige que se façam escolhas sobre os objectivos que se querem testar em termos dos alunos. Naturalmente que isto exige três cuidados a ter: a selecção dos objectivos e a sua representatividade. Os objectivos a seleccionar deverão ser aqueles que são mais importantes/relevantes numa ou nas unidades de ensino selecionadas para o teste. Nesta selecção, também deve ser tida em conta a sua exequibilidade, ou seja, se estes objectivos podem ser testados num tempo limitado; e a selecção de objectivos deve ser representativa do conhecimento trabalhado, isto é, não incidir apenas sobre um aspecto e nada perguntar sobre outros. Para permitir a resposta dos alunos a cada objectivo seleccionado devem ser elaborados itens que devem garantir a validade do teste, ou seja que permitam avaliar aquilo que se pretende efectivamente avaliar. Estes itens podem ser de natureza diversa. Segundo Neves & Ferreira (2015), os itens podem ser de selecção ou de construção.

Entre os de selecção, podemos elencar os de:

– Escolha múltipla - responder implica seleccionar a opção correspondente à resposta correcta entre possíveis alternativas apresentadas;

– Associação - requer estabelecer relações entre dois conjuntos de expressões ou figuras fornecidos;

– Ordenação - exige estabelecer uma sequência ordenada das expressões apresentadas;

– Verdadeiro/falso - exige decidir se a afirmação apresentada é “verdadeira” ou “falsa”;

– De completamento - requer o preenchimento de uma ou mais lacunas numa frase.

Como itens de construção podemos ter:

– De completamento - requer o preenchimento de uma ou mais lacunas numa fraseEx. A sarna é uma doença de pele causada por um bichinho muito_________(engraçado/pequeno/grande)


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– Resposta curta - exige apresentar uma frase sucinta, uma palavra ou númeroEx. Depois de apresentar um extrato da história “O leão e o coelho saltitão”, o professor pergunta: “O leão andava esfomeado. O que lhe apetecia comer?”

– De desenvolvimento - requer a elaboração de um texto, que deve ou não respeitar um conjunto de indicações (resposta orientada ou não orientada).

Todos estes itens devem ser acompanhados dos respectivos critérios de avaliação, que variam em função da tipologia desses mesmos itens, como se pode ver no quadro 2.

Quadro 2. Tipologia de itens e critérios de classificação (Santos & Pinto, 2017, p. 525)

Tipo de item Critérios de classificação

Itens de selecção

Escolha múltipla Dicotómico (certo/errado)

Associação Dicotómico ou não (níveis de desempenho)

Ordenação Dicotómico (certo/errado)

Verdadeiro/Falso Dicotómico ou não (níveis de desempenho)

De completamento Dicotómico ou não (níveis de desempenho)

Itens de construção

Resposta curta Dicotómico (certo/errado)

De completamento Dicotómico ou não (níveis de desempenho)

De desenvolvimento A indicar

Para a elaboração de uma prova é necessário pensar na relação entre a quantidade de questões a colocar aos alunos e o tempo previsto para a sua realização. Esta relação deve ser estabelecida com base no conhecimento que cada professor tem dos seus alunos. Isto é válido para qualquer instrumento de avaliação. Quando se elabora um teste deve ter-se em consideração alguns princípios básicos na formulação das perguntas.

– As perguntas devem ser formuladas de forma concisa e clara.Ex. Depois de ler um texto sobre animais, o professor pergunta: “Quem era o rei da floresta grande?”

– Não usar duplas negativas na formulação da pergunta pois o número de respostas erradas aumenta. Ex. O Pedro não vai brincar se não fizer sol. O Pedro vai brincar?

– Se as perguntas se relacionam com uma figura, esta deve ser muito clara e o que se pergunta estar muito bem identificado. Se a figura está esbatida ou se as relações com a pergunta são pouco perceptíveis é natural que o número de respostas erradas aumente pela falta de compreensão por parte dos alunos do que realmente se pergunta. Também se deve ter muito cuidado com as gralhas que, por vezes, os testes têm no enunciado. Ex. Completa as frases com lha, lhe, lhi e lho:

– A abe___ ficou a fi___ da D. Ana.

– Ela levou o fi___ ao colo e deu___ um fo___ de mi___ para brincar.


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TRABALHO 1.

1. Escolha uma unidade didáctica que acabou de trabalhar com os seus alunos. Planifique a construção de um teste. Preencha a seguinte tabela de forma a garantir coerência no teste que está a preparar.

Seleccione os tópicos que pretende avaliar (perceber se os alunos os sabem ou não)

Construa os itens a que os alunos têm que responder

Defina os critérios de avaliação para cada item

2. Verifique se as questões que incluiu no teste estão de acordo com as orientações dadas nesta secção.

TRABALHO 2.

Escolha um teste que já tenha feito. Convide um colega a escolher também um teste seu, sobre a mesma unidade didáctica. Comparem os testes. Desta análise, procurem responder às seguintes questões, justificando as respostas dadas:

– Os itens respeitam as orientações dadas nesta secção?

– Que semelhanças e diferenças há entre os itens de cada teste?

– Caso tal aconteça, que razões poderão explicar a existência de itens em que a maioria dos alunos erra? Devem-se à elaboração do item ou à falta de saber dos alunos?


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5. INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO

5.1. PRESSUPOSTOS DE PARTIDA

São dois os pressupostos que devem ser tidos em conta na leitura desta secção. Por um lado, não há instrumentos adequados à avaliação sumativa, e outros à formativa. Todo o instrumento é adequado qualquer que seja a modalidade de avaliação. É o uso que se dá à informação recolhida através do instrumento de avaliação que determina a modalidade de avaliação que se está a desenvolver. Mais ainda, em momentos diferentes, o mesmo instrumento pode servir propósitos distintos, contribuir para a aprendizagem ou fazer um ponto de situação sobre a aprendizagem.Por outro lado, não há um instrumento que tenha as potencialidades de todos os outros em conjunto. Isto é, cada instrumento é adequado a recolher informação relativa a certo tipo de aprendizagens e não o é para outros tipos. Deste modo, de forma a cobrir o programa de uma qualquer disciplina há que diversificar os instrumentos de recolha de informação sobre as aprendizagens dos alunos.Deste modo, e perante a diversidade de instrumentos de avaliação de que o professor dispõe, existe um conjunto de questões que o professor poderá responder sequencialmente de forma a seleccionar qual o que vai usar num dado momento.

1. Sobre o que pretendo ter informação? Que aprendizagens me interessam focar no momento? Sobre o que quero saber ou trabalhar com os alunos?

2. Qual o número de alunos a quem quero aplicar o instrumento de avaliação? Quero ter informação sobre quantos alunos?

3. Qual o tempo que tenho disponível agora? É uma época escolar relativamente folgada, ou pelo contrário, muito sobrecarregada?

4. Qual a minha experiência profissional no uso de cada instrumento? Sinto especial insegurança na aplicação de alguns deles? Tenho possibilidades de trabalhar com algum colega ou vou trabalhar sozinho?

5. A que materiais tenho acesso? De que recursos necessito?

6. Neste ano lectivo o que já usei com estes alunos? O que ainda não lhes apliquei? O que não posso deixar de aplicar?

Tendo como referência este conjunto de pressupostos e orientações, iremos na próxima secção abordar, embora de forma sumária, alguns instrumentos de avaliação.

5.2. POSSÍVEIS INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO

Os instrumentos de avaliação que iremos abordar nas próximas linhas são o relatório escrito, as questões de aula, a apresentação oral, e o portefólio. O teste escrito, individual e em tempo limitado, já foi tratado na secção anterior. Relatório escrito. O relatório traduz-se habitualmente por uma produção escrita. O seu conteúdo descreve e justifica uma dada situação ou tarefa realizada, ou desenvolve um dado tema escolhido. Pode ser realizado individualmente ou em grupo. Quando o aluno não tem experiência anterior de elaboração de relatórios, o professor deverá


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conceber, adaptar, utilizar documentos de apoio, nomeadamente um guião da estrutura do relatório que ajudará o aluno a compreender o que se espera que faça. Um outro documento essencial para apoiar um desenvolvimento prof ícuo do relatório é o uso de critérios de avaliação. Investigação recente desenvolvida em Portugal sobre o uso de critérios de avaliação na sala de aula, nomeadamente de matemática, com crianças de idade variável, evidenciam que o trabalho em torno dos critérios de avaliação contribui para a compreensão da actividade matemática (Peres, 2012), permite a tomada de consciência de dificuldades, dando lugar a pedidos de apoio (Beirão, 2012); e contribui de forma significativa para o desenvolvimento da capacidade de auto-regulação dos alunos (Semana, 2016).Quando a aplicação do relatório prevê a criação de uma nova oportunidade de aprendizagem, isto é, é-lhe dado um uso formativo, é recomendado que se desenvolva um processo de “ida e volta”. Haverá, assim, um primeiro momento de realização do relatório, que de seguida será comentado pelo professor (por ex. este leva para casa e dá feedback escrito). Quando o relatório é devolvido aos alunos já comentado, estes terão um segundo momento para o aperfeiçoar, antes de se ter a versão definitiva. O relatório é um instrumento adequado para apreciar e/ou desenvolver capacidades, tais como a responsabilidade e autonomia, reforçadas quando se recorre ao processo de ida e volta. Num estudo desenvolvido por Menino & Santos (2004), as professoras do 2.º ciclo (alunos com 10 e 11 anos) que nele participaram consideraram que a escrita de relatórios escritos contribuiu para o desenvolvimento de capacidade de raciocínio, de comunicação, de organização e clareza de ideias.

Questões de aula. As questões de aula são questões que se aplicam no último período da aula (habitualmente nos últimos 10 a 15m) para serem, em geral, produzidas individualmente. Assim, as questões devem ser fechadas e em número reduzido para poderem ser respondidas em tão curto espaço de tempo. Incidem sobre os assuntos tratados nessa aula. A sua periodicidade é variável. No entanto, a investigação aponta para que os efeitos no melhoramento do desempenho dos alunos e na qualidade dos trabalhos de casa aumentam significativamente quando as questões de aula têm uma frequência regular, diária (Shirvani, 2009). Este estudo feito nos Estados Unidos da América, envolveu quatro turmas em matemática de alunos espanhóis do ensino secundário, todas com o mesmo professor. O tópico de matemática onde foi desenvolvido o estudo foi a Geometria. Em duas das turmas, os alunos responderam diariamente a questões de aula enquanto as outras duas apenas uma vez por semana. Para este instrumento não são normalmente previstos documentos de apoio.O seu modo de explorar pode ser muito diverso. Quando nos encontramos num registo de avaliação sumativa ou avaliação das aprendizagens, as questões são recolhidas e classificadas. Um conjunto de questões de aula, que perfaça o número habitual de questões de um teste pode substituí-lo. Assim, por exemplo, seis questões de aula que poderão acontecer ao longo de seis semanas, podem substituir um teste do período escolar. Quando pretendemos dar um carácter formativo a este instrumento de avaliação, o procedimento a desenvolver deverá ser bastante distinto. Após os alunos responderem às questões colocadas, o professor leva para casa, analisa as respostas e dá feedback a cada produção. Desejavelmente não assinala os erros, mas sim dá pistas que levem os alunos a identificá-los e a autocorrigi-los. Na aula seguinte, é dada oportunidade aos alunos de melhorarem as suas primeiras produções com base no feedback fornecido pelo professor. Por outras palavras, este instrumento cria um novo momento de aprendizagem. Estudos desenvolvidos por Agarwal et al. (2014) que envolveram 1408 alunos dos Estados Unidos da América, dos 11 aos 18 anos, e em que as questões de aula foram aplicadas numa perspectiva formativa, seguindo o processo descrito, evidenciaram que 68% dos alunos considerou


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que este instrumento os ajuda a identificar o que sabem e o que não sabem (desenvolvimento da meta-cognição), 92% referiram que os ajudou a aprender, uma vez que dispõem de feedback do professor, e 72% que os prepara para o teste, reduzindo-lhes a ansiedade habitualmente associada a este instrumento de avaliação. Perspectivas muito semelhantes foram encontradas por parte dos alunos de um outro estudo desenvolvido agora em Portugal com crianças da 2.ª classe (Gomes, 2016).Mas este instrumento pode igualmente servir para, em certas situações, regular o próprio ensino. Quando o professor identifica uma questão em que a grande maioria dos alunos resolveu indevidamente, é sinal que a aprendizagem não ocorreu, cabendo-lhe reajustar a sua planificação no sentido de voltar a abordar o mesmo assunto, agora preferencialmente de modo diferente.Desde já fica claro que a realização de questões de aula pode ajudar a controlar a indisciplina dos alunos e a aumentar a sua atenção nas actividades da aula, pelo menos nos dias em que houver questões de aula. Dado que as questões têm de ser obrigatoriamente de resposta rápida, são mais adequadas a testar ou apelar para conhecimentos factuais ou domínio de cálculo.

Apresentação oral. Os instrumentos de avaliação recorrem predominantemente à forma escrita, pelo que utilizar pelo menos um que faça apelo à expressão oral, seja qual for a disciplina, parece-nos indispensável. A apresentação oral à turma pode seguir-se à realização de trabalhos individuais ou feitos em grupo. Fichas de registo de auto-avaliação a serem preenchidas pelos alunos poderão ajudá-los a ter em atenção aspectos importantes na preparação dessa mesma apresentação. A intervenção e apreciação da qualidade da apresentação por parte dos outros alunos poderão igualmente ajudar os que são responsáveis pela apresentação, porque poderão levá-los a reflectir sobre o que fizeram, bem como aos restantes, porque lhes desenvolve o espírito crítico e de análise.Uma das grandes potencialidades da apresentação oral é a possibilidade de serem detectados conceitos ou raciocínios erróneos que poderão surgir quando os alunos explicam oralmente algo do seu trabalho. Quando tal acontece, fica criada uma excelente oportunidade para que o professor em interacção com os alunos possa criar situações facilitadoras de aprendizagem. A apresentação oral é, sem sombra de dúvida, adequada para apreciar e/ou desenvolver a comunicação oral dos alunos, bem como a organização e estrutura de ideias. Quando elaborada em grupo, capacidades como a de se relacionar com os outros e o de trabalhar de forma cooperativa devem ser igualmente acrescentadas. Portefólio. Não existe um entendimento único do que é um portefólio, nem tão pouco o entendimento correcto. Neste texto consideramos um portefólio como “uma amostra diversificada e representativa de trabalhos realizados pelo aluno ao longo de um período amplo de tempo, que cubra a abrangência, a profundidade e o desenvolvimento conceptual” (Pinto & Santos, 2006, p. 148). A componente reflexiva do portefólio é outra dimensão que o caracteriza e o faz ser uma mais-valia para os alunos. Para tal, cada trabalho deve ser acompanhado de uma reflexão e no final de cada período, uma reflexão do balanço do trabalho realizado deve fazer igualmente parte do portefólio (Leal, 1997). Dado que reflectir é uma actividade de elevada complexidade, os alunos devem ser apoiados. Para tal pode ser-lhes fornecido um conjunto de questões que os poderão orientar nesta escrita (Fig. 9).


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Guião de Apoio – Quais as actividades e os tópicos envolvidos?

– De que modo é que a tarefa te ajudou a aprender?

– O que aprendeste a partir desta tarefa?

– Terias feito algo diferente se tivesses tido mais tempo?

– Como encaras a qualidade do trabalho?

– ...

Figura 9. Guião de apoio à elaboração de reflexões (adaptado de Lambdin & Walker, 1994)

Também um guião que oriente os alunos na estrutura do portefólio poderá vir a revelar-se útil, sobretudo para aqueles que não tenham tido experiências escolares anteriores de realização deste instrumento. À semelhança dos instrumentos de avaliação anteriormente descritos também o portefólio poderá ser desenvolvido numa modalidade de avaliação formativa, sendo dado ao aluno a oportunidade de melhorar progressivamente as suas produções, em particular as suas reflexões, dispondo do feedback do professor. Em certos momentos do ano escolar, como sejam os finais de período, poder-se-á apreciar a qualidade do portefólio naquele momento, contribuindo esta informação para a determinação da classificação de final de período. A investigação evidencia que os portefólios se podem desenvolver com alunos de qualquer idade. Isto é, não há uma idade em que só a partir dela se podem desenvolver portefólios, e antes disso não. Todo o ser humano é pensante e, como tal, mesmo sem escrever, nem ler, já o pode fazer (Bondoso & Santos, 2009). Tendo o portefólio as características descritas pode dizer-se que constitui um contexto propiciador de desenvolvimento das capacidades de reflexão, de metacognição e de auto-regulação dos alunos, para além de ser um veículo de comunicação entre professor e encarregados de educação. Tem ainda uma forte componente informativa pois permite aceder facilmente à evolução ao longo do tempo das aprendizagens dos alunos.


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TRABALHO 1.

Considere a seguinte tabela:O que quero

avaliar?Como vou avaliar? Que trabalhos ou

perguntas vou incluir?

Que critérios de avaliação vou usar?

Quais as dificuldades

previsíveis e as formas de ajuda

possíveis?

1. Num sábado pedagógico comece por preencher a tabela, pensando num momento de avaliação que quer desenvolver na sua aula.

2. Compare a sua tabela com a de um outro colega. Discuta as eventuais diferenças encontradas e justifique as opções que tomou. Aperfeiçoe o que fez, se for caso disso.

3. Reflicta com o seu colega que aprendizagens retira desta tarefa.

TRABALHO 2.

– Construa uma tabela com duas colunas. Numa delas liste todos os instrumentos de avaliação que considera adequados na sua disciplina ou na área da Língua Portuguesa ou na de Matemática. Para cada instrumento, identifique no máximo três objectivos gerais retirados do respectivo programa, que possam ser avaliados por esse instrumento. No final todos os objectivos deverão ter sido cobertos.

– Compare e discuta, de forma fundamentada, com colegas as tabelas construídas.

– Que implicações retira para a sua prática avaliativa?


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6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Afonso, M. (2011). Manual de apoio ao sistema de avaliação das aprendizagens Ensino Primário. Luanda: INIDE.

Agarwal, P., D’Antonio, L., Roediger III, H., McDermott, K., & McDaniel, M. (2014). Classroom-based programs of retrieval practice reduce middle School and high School students’ test anxiety. Journal of Applied Research in Memory and Cognition, 3(3), 131–139.

Beirão, E. (2012). O desenvolvimento do raciocínio matemático apoiado pelo uso continuado de critérios de avaliação: Um estudo com alunos do 2.º ciclo do Ensino Básico. (Dissertação de mestrado, Universidade de Lisboa)

Bloom, B., Hastings, J., & Madaus, G. (1971). Handbook of formative and sumative evaluation of student learning. New York: McGraw-Hill.

Bondoso, T., & Santos, L. (2009). Portefólio ... e outras descobertas. Educação e Matemática, 101, 3-9.

Bruno, I. (2013). Os critérios de avaliação para o desenvolvimento da autorregulação das aprendizagens. (Tese de doutoramento, Universidade de Lisboa)

Elshout-Mohr, M., Oostdam, R., & Overmaat, M. (2002). Student assessment within the context of constructivist educational settings. Studies in Educational Evaluation, 28(4), 369-390. (doi.org/10.1016/S0191-491X(02)00044-5)

Gomes, S. (2016). Práticas de questões-aula numa perspetiva de avaliação formativa em Matemática. (Relatório de Mestrado, Instituto Politécnico de Setúbal) Harlen.

Lambdin, D. & Walker, V. (1994). Planning for classroom portfolio assessment. Arithmetic Teacher, 41, 318-324.

Leal, L. C. (1997). Portfolio ou pasta do aluno. Educação e Matemática, 42, 11-12.

Mateo, J. (2000). La evaluación educativa, su práctica y otras metáforas. Barcelona: ICE, Universidad de Barcelona, cuadernos de educación.

Menino, H., & Santos, L. (2004). Instrumentos de avaliação das aprendizagens em Matemática. O uso do relatório escrito, do teste em duas fases e do portefólio no 2.º ciclo do ensino básico. XV SIEM, Seminário de Investigação em Educação Matemática (pp. 271-291). Lisboa: Associação de Professores de Matemática.

Neves, A. & Ferreira, A. (2015). Avaliar é preciso? Guia prático de Avaliação para professores e formadores. Lisboa: Guerra e Paz, Editores, S. A..

Noizet, G., & Caverni, J. (1985). Psicologia da avaliação escolar. Paris: PUF. (obra original em francês, publicada em 1978).

Nunziati, G. (1990). Pour construire un dispositif d’évaluation formatrice. Cahiers Pédagogiques, 280, 47-64.

Peres, A. (2012). O contributo dos critérios de avaliação no desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas, em alunos do 1.º ciclo do Ensino Básico. (Dissertação de Mestrado, Universidade de Lisboa)

Perrenoud, Ph. (2001). “Évaluation informative”: une expression malheureuse, source de toutes les confusions. Éducateur, 3(2), 22-39. (recolhido em Julho de 2008, de http://www.unige.ch/fapse/SSE/teachers/perrenoud/php_main/php_2001/2001_03.html).

Pimentel, I. (2013). O contributo do portefólio para as aprendizagens dos alunos no 1.º ciclo do ensino básico. (Relatório de Mestrado, Instituto Politécnico de Setúbal)

Pinto, J. (2002). A avaliação formal no 1.º ciclo do ensino básico: Uma construção social. (Tese de Doutoramento, Universidade do Minho).

Pinto, J., & Santos, L. (2006). Modelos de avaliação das aprendizagens. Lisboa: Universidade Aberta.

Pinto, F., & Santos, L. (2010). A comunicação em sala de aula no desenvolvimento de uma tarefa de natureza exploratória. EIEM 2010, Comunicação no Ensino e na Aprendizagem da Matemática (pp. 87–101). Costa da Caparica: SPIEM. (http:// www.spiem.pt/publicacoes/arquivo/encontro-2010/)

Ribeiro, A; Ribeiro, L. (1990). Planificação e avaliação do Ensino e Aprendizagem. Lisboa: Universidade Aberta.


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Santos, L. (2002). Auto-avaliação regulada: porquê, o quê e como? In P. Abrantes & F. Araújo (Orgs.), Avaliação das Aprendizagens. Das concepções às práticas (pp. 75-84). Lisboa: Ministério da Educação, Departamento do Ensino Básico.

Santos, L. (2016). A articulação entre a avaliação somativa e a formativa, na prática pedagógica: Uma impossibilidade ou um desafio? Revista Ensaio, 24(92), 637-669. (DOI: 10.1590/S0104-40362016000300006)

Santos, L., & Pinto, J. (2017). Ensino de conteúdos escolares: A avaliação como Fator estruturante. In F. Veiga (Coord.), O Ensino como fator de envolvimento numa escola para todos (pp. 503-539). Lisboa: Climepsi Editores.

Santos, L., Pinto, J., Rio, F., Pinto, F., Varandas, J., Moreirinha, O., Dias, P., Dias, S., & Bondoso, T. (2010). Avaliar para aprender. Relatos de experiências de sala de aula do pré-escolar ao ensino secundário. Porto: Porto Editora e Instituto de Educação, Universidade de Lisboa.

Semana, S. (2016). Prática avaliativa de uma professora na promoção da autorregulação da Aprendizagem dos alunos em Matemática (Tese de doutoramento, Universidade de Lisboa).

Shirvani, H. (2009). Examining an assessment strategy on high school mathematics achievement. Daily quizzes vs weekly tests. American Secondary Education, 38(1), 34-45.

Torrance, H., & Pryor, J. (2001). Developing formative assessment in the classroom: using action research to explore and modify theory. British Educational Research Journal, 27(5), 615-631.

Weiss, J. (1996). Vers une conception cohérente de l’évaluation pour la scolarité obligatoire en Suisse Romande et au Tessin. Rapport nº 2.


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LÍNGUA PORTUGUESA: AVALIAÇÃO DA LEITURA EM CLASSES INICIAIS

Ana Pires Sequeira, Fernanda Botelho, Lúcia Vidal Soares e Luísa Solla


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ÍNDICE

1. Apresentação e organização .................................................................................................................452. Contributos para o diagnóstico e melhoria do desempenho na leitura .......................................473. Avaliar o desempenho da leitura dos alunos .....................................................................................484. Compreensão Oral ................................................................................................................................51

4.1. Para ler e analisar ........................................................................................................................................... 514.2. Para discutir e fazer ....................................................................................................................................... 514.3. Tarefas de sala de aula .................................................................................................................................. 52

4.3.1. A. Compreensão de textos orais ...................................................................................................................... 524.3.2. B. Compreensão e identificação de vocabulário oral ................................................................................... 54

4.4. Tarefas a desenvolver na Formação ........................................................................................................... 554.5. Tarefa de Auto-Avaliação ............................................................................................................................ 56

5. Literacia Emergente, Consciência Fonológica e Conhecimentos Alfabéticos ...........................575.1. Para ler e analisar ........................................................................................................................................... 575.2. Para discutir e fazer ...................................................................................................................................... 585.3. Tarefas de sala de aula ................................................................................................................................... 59

5.3.1. A. Consciência fonológica: identificação dos sons da língua ..................................................................... 605.3.2. B. Conhecimentos alfabéticos .......................................................................................................................... 63


6. A Capacidade de Decifração ................................................................................................................706.1. Para ler e analisar ........................................................................................................................................... 706.2. Para discutir e fazer ....................................................................................................................................... 726.3. Tarefas de sala de aula ................................................................................................................................... 72

6.3.1. A . Tarefas de leitura de palavras familiares .................................................................................................. 726.3.2. B. Tarefas de leitura de palavras não familiares ............................................................................................ 736.3.3. C. Tarefas de leitura de pseudopalavras ......................................................................................................... 73

6.4. Tarefas a desenvolver na Formação .......................................................................................................... 746.5. Tarefa de Auto-Avaliação ............................................................................................................................. 75

7. Compreensão da Linguagem Escrita ..................................................................................................767.1. Para ler e analisar ........................................................................................................................................... 767.2. Para discutir e fazer ....................................................................................................................................... 777.3. Tarefas de sala de aula .................................................................................................................................. 77

7.3.1. A. Compreensão da leitura em voz alta.......................................................................................................... 777.3.2. B. Compreensão da leitura silenciosa ............................................................................................................. 787.3.3. C. A compreensão da leitura silenciosa de um texto informativo ............................................................ 787.3.4. D. Outras tarefas de compreensão da linguagem escrita .......................................................................... 79


8. Tarefas de Aprofundamento e/ou de Auto-Formação ....................................................................848.1. Compreensão da linguagem oral ................................................................................................................ 848.2. Literacia emergente, consciência fonológica e conhecimentos alfabéticos ....................................... 858.3. A Capacidade de decifração ........................................................................................................................ 878.4. Compreensão da linguagem escrita ........................................................................................................... 898.5. Tarefa final integradora ................................................................................................................................ 91

9. Os testes EGRA - Avaliação da Leitura nas Classes Iniciais ..........................................................9210. Referências bibliográficas .....................................................................................................................94


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AVALIAÇÃO PEDAGÓGICA LÍNGUA PORTUGUESA: AVALIAÇÃO DA LEITURA EM CLASSES INICIAIS

1. APRESENTAÇÃO E ORGANIZAÇÃO

Este capítulo é sobre a Avaliação da leitura em Língua Portuguesa, nas classes iniciais, por considerarmos que ela é fundamental, desde muito cedo pois é, sobretudo, através da leitura, que a maior parte das aprendizagens dos alunos ocorre na escola. Além de recolher informações para classificar os alunos, é fundamental que o professor seja capaz de ajuizar dos progressos que fazem, de identificar os problemas que vão surgindo e de procurar diferentes soluções para os resolver.Como sabemos, a avaliação da leitura na sala de aula pode ser realizada, globalmente, através de: i) testes formais, normalmente escritos e ii) de tarefas de avaliação (actividades e exercícios) idênticas às que os alunos realizam para aprenderem a ler. No caso dos testes formais, os alunos respondem, por escrito, a perguntas também escritas, sobre o texto que leram. No segundo caso - realização de tarefas com base na leitura- os alunos realizam tarefas e exercícios orais ou escritos. Neste capítulo segue-se esta segunda opção: propomos várias tarefas e exercícios que poderão servir para a avaliação da leitura. As propostas que apresentamos consideram os seguintes aspectos:

– cabe ao professor definir previamente o que quer avaliar, preparar os materiais necessários e orien-tar os alunos na realização das tarefas;

– durante a sua realização, deve verificar se os alunos compreenderam bem o que devem fazer, ob-servar e anotar os dados da sua observação, em folhas de registo próprias;

– finalmente, com as informações recolhidas o professor tomará as decisões avaliativas sobre os re-sultados obtidos pelos alunos na realização dessas tarefas.

Caso o professor assim o entenda, as tarefas propostas podem também ser utilizadas como tarefas de aprendizagem da leitura.Aconselhamos a leitura atenta da parte I deste livro porque trata de questões mais gerais que aqui não são abordadas, mas podem ajudar a melhor compreender e realizar as actividades de avaliação que propomos neste texto.

Apresentamos, em seguida, a organização deste capítulo.

Actividades e conteúdos

As actividades e conteúdos seleccionados foram escolhidos em referência à avaliação da leitura nas classes iniciais.


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Organização

O professor encontrará as seguintes tarefas:

i. Para ler e analisar apresenta textos com informação para actualizar conhecimentos, aprender conteúdos novos e reflectir sobre o tema;

ii. Para discutir e fazer propõe actividades para realizar na formação;

iii. Tarefas de sala de aula (de aprendizagem ou de testagem) conforme os objectivos do professor;

iv. Tarefas a desenvolver na Formação – elaboração de tarefas no decorrer da formação, relacionadas com os conteúdos abordados;

v. No final, propomos uma actividade de Auto-avaliação que permitirá ao professor avaliar o que aprendeu na formação.

Em seguida, apresentam-se um conjunto de Tarefas de Aprofundamento, a realizar pelos professores, enquanto actividades de auto-formação.

Segue-se um texto sobre os Testes EGRA (Early Grade Reading Assessment) que fornece aos docentes informação que lhes poderá vir a ser útil, caso a escola onde leccionam seja seleccionada para realizar os referidos testes.

A finalizar, encontram-se ‘Referências Bibliográficas’ que enquadram as propostas apresentadas.

Metodologia

Este capítulo sobre a avaliação em Língua Portuguesa incide na Competência de Leitura, tal como será explicado e justificado na apresentação deste capítulo.

MateriaisAconselha-se a consulta do Manual de Língua Portuguesa cujos temas Leitura: ensino, aprendizagem e avaliação, Escrita: ensino, aprendizagem e avaliação e Oralidade: ensino, aprendizagem e avaliação apresentam outras actividades de avaliação dos alunos.Pode ainda consultar as seguintes brochuras: Cartilha- Actividades que facilitam a Literacia- Leitura e Escrita e Caderno de Apoio- Língua Portuguesa- Literacia – Para as Escolas de Formação de Professores do Ensino Primário.

As Autoras


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2. CONTRIBUTOS PARA O DIAGNÓSTICO E MELHORIA DO DESEMPENHO NA LEITURA

O primeiro contacto com a língua escrita faz-se, para a maior parte das crianças, na escola primária. Por essa razão, cabe aos professores deste nível de ensino ensinarem as crianças a ler e a escrever. No entanto, os professores manifestam muitas vezes dificuldade em fazê-lo e os resultados dos alunos também revelam que alguma coisa não está a correr bem. Por isso, perante tal situação, muitos professores se questionam: “Porque é que os meus alunos têm dificuldades na leitura? Será do método que uso? Será do programa? Será do manual? Será porque as crianças não falam a língua portuguesa ou porque têm pouco ou nenhum contacto com materiais escritos? Será que não tenho formação suficiente? Por onde devo começar?”Procurar as respostas a estas perguntas pode ser uma discussão interessante que poderá ocorrer ao longo da formação, com a leitura dos textos e a realização das tarefas propostas. O parágrafo seguinte aponta algumas questões básicas que podem ajudar nesta reflexão. Vejamos, então:Três condições são necessárias para que se faça a aprendizagem da leitura: i) a criança deve ser exposta regularmente aos símbolos da escrita (palavras, letras...); ii) estes devem ser apresentados em sequências espaciais e temporais seleccionadas e organizadas de maneira a representarem a linguagem e serem portadoras de significados; iii) quem ensina, neste caso o professor, tem de ser capaz de fazer compreender aos alunos o que estes símbolos representam e como estão estruturados (Morais, 2010). O mesmo autor alerta-nos ainda para uma questão muito importante: este é um processo de ensino e aprendizagem e não de descoberta. Diz Morais: “Aprende-se sendo ensinado e tanto melhor quanto se é mais bem ensinado.” (2010, p. 5). Este alerta do autor ainda é mais importante porque sabemos que muitos alunos não dominam a língua oral, que é fundamental no processo de aprendizagem da leitura. Por isso mesmo, é também necessário ensiná-la.


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3. AVALIAR O DESEMPENHO DA LEITURA DOS ALUNOS

No intuito de alargar não só a forma de apresentação, como os diferentes tipos de actividades que nos permitem avaliar as diversas competências incluídas nas orientações do EGRA, elaborámos o quadro que se apresenta nas páginas seguintes. Para permitir uma leitura mais adequada às tarefas de avaliação, introduzimos uma coluna a que chamámos “tipo de exercício”. Procurou-se, deste modo, estabelecer uma relação entre as competências avaliadas, as tarefas propostas, o objectivo a avaliar e o tipo de exercício a realizar, no decurso da avaliação da compreensão da leitura dos alunos.

Os subtemas do texto referem-se às diferentes Competências que serão avaliadas, ou seja: – A Compreensão Oral – A Literacia Emergente – A Consciência Fonológica – A Decifração – A Fluência na Leitura.

Vejamos como se distribuem e em que consiste cada uma delas.

A Compreensão Oral implica que os alunos sejam capazes de compreender e identificar o vocabulário oral, assim como de interpretar um texto que ouvem. O objectivo da avaliação desta competência é verificar se os alunos conseguem compreender um texto que o professor lhes lê expressivamente em voz alta e responder correctamente a perguntas que lhes são feitas sobre o texto que ouviram, quer a resposta se encontre no texto, quer tenham que inferir com base no texto que ouviram. Por Literacia Emergente entende-se a aquisição das capacidades (conhecimentos, competências e atitudes) para a leitura e escrita, que as crianças desenvolvem antes do seu ensino formal. Esta designação, que integra os comportamentos emergentes da leitura e os comportamentos emergentes de escrita, veio demonstrar que a leitura é um processo que se inicia antes do ensino da decifração e que, quanto mais as crianças souberem sobre leitura e escrita, antes de serem formalmente ensinadas a ler, e a escrever, maior será o seu sucesso no processo de ensino/aprendizagem destas competências. A Consciência Fonológica, ou seja, a consciência que a criança tem para identificar os sons da língua oral e que lhe permite avançar mais rapidamente no processo de aprendizagem da leitura e da escrita. É uma capacidade imprescindível, que abarca diversos aspectos e cujo desenvolvimento percorre um longo caminho que vai desde a sensibilidade à produção de um som da fala até à identificação do nome das letras com que a palavra é escrita, passando pela capacidade de soletrar os sons da mesma. Se a Decifração implica o reconhecimento da palavra escrita (Sim-Sim, 2009), para decifrar ou descodificar é necessário ser capaz de identificar as palavras escritas, relacionando a sequência de letras com a sequência de sons de uma dada língua (Conhecimentos alfabéticos). Por outro lado, no processo da decifração, um leitor fluente é aquele que identifica automática, rápida e fluentemente o significado das palavras lidas (Capacidade de decifração). A compreensão do escrito assenta neste processo de decifração automático, rápido e preciso, criando nos alunos automatismos no processamento da leitura, ou seja, pressupõe, Fluência na Leitura. Leitores pouco fluentes e muito lentos na decifração perdem-se na construção do significado dos textos que lêem. Só uma leitura rápida e automatizada permite libertar a memória para a compreensão do que se lê e, consequentemente, para a construção do sentido.


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Quadro 1. Competências de Leitura a avaliar [adaptado por Soares & Solla a partir de Gove & Wetterberg (2011, p.13) e do Manual EGRA (2016, p.41)]

Competências a avaliar Tarefas O aluno é capaz de: Tipo de Exercício

COMPREENSÃO ORAL: – COMPREENSÃO DA

LINGUAGEM ORAL

Compreensão e identificação de vocabulário oral

Apontar partes do corpo.Apontar objectos presentes na sala.

Exercícios de compreensão oral.

Compreensão oral a partir de um texto lido em voz alta pelo professor

Responder correctamente a perguntas literais.Responder correctamente a perguntas inferenciais.

Exercícios de compreensão oral.

LITERACIA EMERGENTE: – COMPORTAMENTOS

EMERGENTES DE LITE-RACIA

CONSCIÊNCIA FONOLÓGICA

DECIFRAÇÃO: – CONHECIMENTOS

ALFABÉTICOS

Conceitos fundamentais sobre escrita:• noção de

direccionalidade da escrita;

Ler da esquerda para a direita e de cima para baixo.

Exercícios de treino ou de avaliação das competências identificadas na coluna anterior.

• as palavras separam-se por espaços;

Reconhecer a fronteira de palavra.

• a escrita contém informação;

Reconhecer que a escrita expressa informação.

• a leitura permite o acesso a essa informação.

Reconhecer que a leitura permite o acesso à informação contida na escrita.

Identificação dos sons da língua:

• Identificação do som inicial de palavra.

• Identificação do som final da palavra.

Identificar o som inicial de palavra.

Identificar o som final de palavra.

Exercícios de discriminação/ identificação auditiva.

Exercícios de discriminação/ identificação auditiva .

• Segmentação de palavras. Segmentar palavras em sons (fonemas) ou em sílabas.

Exercícios de segmentação da palavra oral.

Identificação de sons e do nome das letras.

Identificar o som das letras.Identificar o nome das letras.

Exercícios de identificação do nome das letras.Exercícios de identificação do som das letras.

Distinção de maiúsculas e minúsculas.

Distinguir maiúsculas e minúsculas, apresentadas de forma aleatória (misturada).

Exercícios de identificação de letras: maiúsculas e minúsculas (conhecimento do alfabeto).

Identificação da estrutura silábica e frásica.

Identificar sílabas bem formadas, apresentadas de forma aleatória (misturada).Segmentar palavras em sílabas.Compor palavras a partir de sílabas.Segmentar palavras em frases.

Exercícios de segmentação de palavras.Exercícios de composição de palavras.

Exercícios de segmentação de frases em palavras.


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– CAPACIDADE DE DECI-FRAÇÃO

Leitura de palavras familiares.

Ler de modo fluente (com precisão e rapidez), em voz alta, uma lista de palavras que os alunos conhecem e que são apresentadas de forma aleatória (misturada).

Exercícios de reconhecimento de palavras.Exercícios de leitura de palavras familiares.

Leitura de palavras não familiares.

Ler de modo fluente palavras com as quais os alunos não contactam frequentemente.

Exercicios de leitura de palavras não familiares.

Leitura de pseudopalavras (palavras que não existem).

Utilizar as correspondências grafema-fonema (CGF) para ler em voz alta palavras que não existem (pseudopalavras). Ler em voz alta e de modo fluente (com precisão e rapidez) as pseudopalavras.

Exercícios de decifração.

FLUÊNCIA NA LEITURA: – COMPREENSÃO DA

LINGUAGEM ESCRITA

Leitura em voz alta de um texto narrativo ou informativo.

Ler em voz alta com fluência (com precisão e rapidez) o texto. Responder a perguntas literais sobre o mesmo.Responder a perguntas inferenciais sobre o mesmo.

Exercícios de compreensão da leitura.

Leitura silenciosa de um texto narrativo ou informativo e controlo da compreensão.

Ler silenciosamente um parágrafo. Seleccionar de um conjunto de palavras dadas a palavra apropriada em falta.

Exercícios lacunares de compreensão escrita.


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4. COMPREENSÃO ORAL

Fernanda Botelho

4.1. PARA LER E ANALISAR

Leia individualmente o texto que se segue, tome notas e sintetize as ideias principais.

Texto

A compreensão oral é uma competência linguística fundamental. Se não compreendermos o que ouvimos, o que nos dizem, não interagimos e muito menos aprendemos. A compreensão oral relaciona-se directamente com a expressão oral; são como faces de uma mesma moeda. No entanto, em termos de aquisição, a compreensão oral precede a expressão oral, pois, ao adquirir a língua, a criança primeiro compreende e só depois produz o que já é capaz de compreender. Este processo torna-se ainda mais evidente quando se trata da aprendizagem de uma língua não materna. Esta competência implica a recepção do que ouvimos e a sua decifração através do acesso à informação linguística registada na memória de cada um. É a competência responsável “pela atribuição de significado a cadeias fónicas produzidas de acordo com a gramática de uma língua” (Sim-Sim, Duarte & Ferraz, 1997, p. 26).No acesso ao conhecimento, designadamente nas aprendizagens escolares, a compreensão oral tem um peso enorme, uma vez que muito do que se aprende é transmitido oralmente. Envolve outras competências não linguísticas tais como a escuta activa, a capacidade de prestar atenção e de memorizar. Não compreender o que se ouve compromete, ou seja, dificulta a aquisição de conhecimentos e a manutenção da atenção em relação ao que se ouve, impossibilitando, deste modo, que o aluno se situe em relação à informação que recebe oralmente, perdendo-a. Neste contexto, os alunos tendem a alhear-se e a isolar-se, o que, frequentemente, se traduz em indisciplina e insucesso escolar. É essencial desenvolver a compreensão oral dos alunos para garantir que compreendem o que se lhe diz, contribuindo, assim, para o seu sucesso educativo. A compreensão oral é uma competência pouco assumida em sala de aula e o seu desenvolvimento pouco explícito, ou seja: é necessário exercitá-la. A realização de tarefas que envolvam audição e a sua compreensão é fundamental. Por exemplo: desenhar o que se ouviu com precisão; realizar jogos orais, envolvendo a nomeação de objectos ou descrição de imagens, tendo a criança que apontar, demonstrando a sua compreensão; seguir (ouvindo) instruções de natureza variada; desenhar objectos e lugares a partir de descrições mais ou menos detalhadas consoante o grau de dificuldade que queiramos atribuir à tarefa; ouvir frases incompletas e acabá-las; ouvir programas de rádio ou de televisão e responder a perguntas constituem exemplos de tarefas interessantes para desenvolver explicitamente a compreensão oral em sala de aula.Como para qualquer situação de avaliação, o aluno tem de exercitar a sua compreensão oral. Para avaliar esta competência, o professor deverá colocar o aluno perante tarefas simples em que ele demonstre que compreende o que ouve.(Consultar ainda o Capítulo 2 Oralidade – Ensino, aprendizagem e avaliação do Manual de Língua Portuguesa - Professores do Ensino Primário, Projecto Aprendizagem para Todos, Luanda, 2016.)

4.2. PARA DISCUTIR E FAZER

– Confronte a informação contida neste texto com a informação que encontra no programa de Língua Portuguesa para o Ensino Primário, centrando-se no(s) ano(s) que lecciona.


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– Analise as seguintes tarefas de compreensão da linguagem oral e faça-as individualmente ou com um(a) colega.

– Discuta-as com o seu grupo de formação e tirem algumas conclusões sobre avaliação da com-preensão da linguagem oral.

4.3. TAREFAS DE SALA DE AULA

4.3.1. A. COMPREENSÃO DE TEXTOS ORAIS

1. A partir de textos lidos em voz alta pelo professor

O professor lê de forma muito clara e sobretudo expressiva o texto que se segue aos alunos. As perguntas que se sugerem deverão ser feitas oralmente, assim como as respectivas respostas por parte dos alunos.

O texto (e respectivas perguntas) constituem uma tarefa de compreensão oral.

O professor deverá registar as respostas dos alunos, assinalando correcto ; incorrecto e sem resposta na sua folha de registo.

O tio Ismael

A Ana saiu da escola.Vai de férias e diz adeus a todos os seus amigos. Ela vai passar uns dias a Malanje a casa do seu tio Ismael. O tio Ismael vive no bairro Carreira-de-tiro. Ele gosta muito da sua sobrinha e no fim-de-semana foram dar um passeio a Xamuteba. Deram várias voltas na carrinha do tio que serviu de observatório dos pomares com frutas variadas. No fim do dia regressaram a casa e trouxeram um grande cesto com fruta fresca e saborosa.Que belo fim-de-semana!

In: Gonzalez, J.; Gonzalez, R.; Rodrigues, F. (2015). Língua Portuguesa – da teoria à prática 2, Angola: Plural Editores.

1.1. Perguntas feitas oralmente pelo professor e a responder também oralmente pelos alunos

a. Onde vai a Ana passar uns dias?b. Achas que ela vai faltar à escola?c. Onde foi a Ana passear com o tio?d. O que viram durante o passeio?e. O que trouxeram para casa ao fim do dia?

1.2. Apresenta-se ainda para este mesmo texto uma tipologia de exercício diferente. Fazem-se afirmações sobre o texto, tendo os alunos que assinalar se são verdadeiras ou falsas (V ou F).

O professor dá a seguinte indicação aos alunos:“Depois da audição do texto, vão ouvir afirmações sobre ele.

Têm de indicar se estas afirmações são verdadeiras ou falsas (V ou F), marcando a resposta correcta na folha de respostas.

O professor deverá recolher as folhas de resposta dos alunos.


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Afirmações

a. A Ana vai passar férias a casa da avó. b. A Ana despediu-se dos amigos.c. Viram muitos campos de milho.d. O tio Ismael gosta muito da sobrinha.e. No fim do passeio, trouxeram um pequeno cesto de fruta.

2. Apresenta-se a seguir outro exemplo, em que se utiliza um texto diferente para realizar este tipo de tarefa de avaliação da compreensão oral

O professor lê o texto que se segue aos alunos. As perguntas que se sugerem deverão ser feitas também oralmente, assim como as respostas por parte dos alunos.

A Lavra

O meu pai tem uma lavra onde todos trabalhamos. Semeia-se feijão, mandioca, batata-doce e outros produtos agrícolas. Os meus avós, tios e primos costumam ajudar nas plantações e nas colheitas.Depois da colheita, parte dos produtos é vendida. É o meu tio Carlos quem transporta na sua carrinha muitos dos nossos produtos até ao mercado. Com o dinheiro compram-se novas sementes para novas plantações, comida e roupa.

In: Gonzalez, J.; Gonzalez, R.; Rodrigues, F. (2015). Língua Portuguesa – da teoria à prática 2, Angola: Plural Editores.

2.1. Perguntas feitas oralmente pelo professor e a responder também oralmente pelos alunos.

a. O que se pode semear numa lavra?b. Quem costuma ajudar nas plantações e colheitas da lavra?c. Os produtos da colheita são todos vendidos?d. Quem transporta os produtos até ao mercado?

e. Para que serve o dinheiro da venda?

2.2. À semelhança das indicações dadas anteriormente, apresenta-se também para este mesmo texto uma tipologia de exercício diferente. Fazem-se afirmações sobre o texto, tendo os alunos que assinalar se são verdadeiras ou falsas (V ou F).

O professor dá a seguinte indicação aos alunos:“Depois da audição do texto, vão ouvir afirmações sobre ele.

Têm de indicar se estas afirmações são verdadeiras ou falsas (V ou F), marcando a resposta correcta na folha de respostas.”

Neste caso, o professor também tem de recolher as folhas de resposta dos alunos.

Afirmações

a. Ninguém trabalhava na lavra do meu pai. b. A minha família ajuda nas plantações.c. Só os vizinhos ajudam a colher os produtos agrícolas.d. O tio Carlos transporta na sua carrinha muitos produtos para o mercado.e. O dinheiro da venda serve para comprar sementes, comida e roupa.


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4.3.2. B. COMPREENSÃO E IDENTIFICAÇÃO DE VOCABULÁRIO ORAL

Apesar de o vocabulário se desenvolver através das tarefas propostas para o desenvolvimento da compreensão oral e escrita, podem propor-se exercícios específicos para a sua aprendizagem e avaliação. Já muito se escreveu sobre a importância da utilização didáctica dos jogos para a aprendizagem em geral e para o desenvolvimento lexical em particular.1 Na 3ª classe, os alunos já deverão dominar o vocabulário referente ao corpo humano (em Língua Portuguesa), bem como o vocabulário relativo aos objectos da sala de aula, que, como se sabe, diferem muito de acordo com os diferentes contextos e culturas.Neste sentido e tendo em vista a aprendizagem (e memorização) do vocabulário relativo a estes dois temas, propõe-se um jogo: o jogo da forca adaptado a este propósito: desenvolver a compreensão oral dos alunos. Para além de aprenderem oralmente novas palavras, este jogo estimula a atenção dos alunos, permitindo-lhes a consolidação das letras do alfabeto, não só porque as escrevem, mas, sobretudo, porque as pronunciam, bem como memorizam as próprias palavras.

O jogo da forca (adaptado)

Como jogar: depois de organizar a turma em grupos de 3, o professor escolhe uma palavra (sobre o corpo humano ou objectos da sala de aula, consoante o tema a trabalhar) pede a um(a) aluno(a) de cada grupo que desenhe a forca numa folha de papel (esse aluno será o encarregado de ir desenhando a forca à medida que o jogo se desenrola). Coloca ainda o número de traços correspondente ao número de letras dessa palavra. Pode dar-se ou não uma pista, de acordo com o grau de dificuldade desejado.

Fonte: http://passatempo.ig.com.br/images/jogos/

forca.jpg

Os jogadores (2), cada um na sua vez, vão dizendo as letras ou os sons que podem completar a palavra. Quando acertam numa letra, o(a) aluno(a), supervisionado pelo(a) professor(a), encarregado do jogo “Forca”, coloca as letras no local correspondente. Quando alguém diz uma letra que não consta da palavra, faz-se o primeiro traço do desenho do enforcado. Procura-se sobretudo desenvolver o vocabulário oral dos alunos, a sua expressão, assim como a sua compreensão.

Os jogadores que conseguirem acertar na palavra antes que se complete o desenho da forca, ganham o jogo.

Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galeri-as/imagem/0000004367/md.0000046277.jpg

1 A este propósito veja-se Manual de Língua Portuguesa para Professores do Ensino Primário, capítulo 2 – Oralidade - Ensino, aprendizagem e avaliação.


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A compreensão e identificação do vocabulário oral podem ser trabalhadas de forma ainda mais simples: a partir da dicção de palavras das áreas vocabulares do corpo humano e dos objectos da sala de aula, o professor pede aos alunos que apontem as respectivas partes do corpo e/ou os objectos da sala de aula correspondentes. Deverá ser também deste modo que o professor avalia a compreensão oral do vocabulário por parte dos alunos.

4.4. TAREFAS A DESENVOLVER NA FORMAÇÃO

– Releia e discuta em grupo o quadro ”Competências da leitura a avaliar”, no que se refere à com-preensão da linguagem oral, assim como o texto ”Avaliar o desempenho da leitura dos alunos”.

– Agora, a partir dos exemplos, construa com o seu grupo de formação, novas tarefas de avaliação que lhe permitam testar a compreensão oral dos seus alunos. Pode utilizar textos narrativos ou informativos.

– Apresentem as tarefas que planificaram ao grande grupo, evidenciando:• as suas vantagens para a avaliação da compreensão oral;

• algumas dificuldades sentidas na avaliação desta competência.


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4.5. TAREFA DE AUTO-AVALIAÇÃO

Pense sobre o que leu, analisou, debateu e registou, no decurso da Formação sobre a compreensão oral. Reflicta sobre:

– O que aprendi sobre o tema? – O que recordei? – Que dificuldades senti? – O que gostaria ainda de aprofundar?

Registe esses aspectos na grelha que se segue:

O que aprendi

O que recordei

As dificuldades que senti

O que gostaria de aprofundar


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5. LITERACIA EMERGENTE, CONSCIÊNCIA FONOLÓGICA E CONHECIMENTOS ALFABÉTICOS

Lúcia Vidal Soares


Leia individualmente o texto que se segue e tome notas.

TextoDa Consciência Fonológica à Decifração – percursos

O ensino da leitura é composto por múltiplos processos interdependentes que se desenvolvem por etapas2. A criança, numa fase muito inicial, através do contacto com a linguagem escrita, vai descobrindo, que esta transmite informação, que a leitura permite expressar, através da linguagem oral, mas também que se lê da esquerda para a direita e de cima para baixo, entre outros aspectos.A estes conhecimentos precoces sobre a linguagem escrita chamamos comportamentos emergentes de leitura e de escrita ou literacia emergente. Poderá enquadrar-se naquilo que o Programa da 1ª classe designa por “1ª Aquisição e Desenvolvimento da Língua” e que explicita do seguinte modo:

Sendo a escola um novo contexto de socialização, este primeiro momento é um período de enquadramento e de iniciação ao processo formal do ensino-aprendizagem em que deverão ser privilegiadas as actividades que proporcionem o desenvolvimento da compreensão e expressão oral.

Isto é, para aprender a ler, a criança precisa, além de motivação para o fazer, de ter desenvolvido uma série de pré-requisitos (coordenação motora, lateralidade definida, discriminação visual e auditiva, etc.), anteriores à aprendizagem da “verdadeira” leitura, que ocorrerá com a sua aprendizagem formal, na escola.

Segue-se uma 2ª fase. Para que as crianças se tornem leitoras, importa desenvolver a consciência fonológica, entendida esta como “a capacidade para prestar atenção, identificar e manipular os sons da fala” (Sim-Sim, 2009, p. 39). Um dos primeiros passos é o de conhecer o som da letra ou de uma sequência de letras, o que designamos por grafema. Saber como os grafemas, se pronunciam e saber identificar o nome da letra é uma competência essencial para ler. A avaliação desta competência permite saber se a criança domina o princípio da decifração, que alguns autores também referem como descodificação. Efectivamente, para ler é necessário não só relacionar cada grafema com o fonema correspondente, mas também possuir um conjunto de outras capacidades de consciência fonológica, como seja, a capacidade para: i) produzir e detectar rimas; ii) segmentar frases em palavras; iii) segmentar palavras em sílabas; iv) aglutinar (juntar) sílabas em palavras; v) identificar sílabas iguais; vi) identificar sons iniciais iguais; vii) identificar sons finais iguais, etc. Estas actividades de segmentação e de reconstrução, quando convertidas em testes, permitem avaliar a capacidade de reconhecimento de que a cadeia falada é

2 Releia no Manual de Língua Portuguesa para professores do Ensino Primário (2017) os temas 2 e 3 do capítulo relativo a Orali-dade: Ensino, Aprendizagem e Avaliação e ainda o tema A decifração: tarefas de formação do capítulo Leitura: Ensino, Aprendiza-gem e Avaliação.


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constituída por segmentos possíveis de isolar e de reconhecer. O grande desafio é que as crianças identifiquem os sons, “descubram a sua existência e a possibilidade de separá-los” (Adams, Foorman, Lundberg & Beeler, 2006, p. 20).Assim, por decifração entende-se “a tradução de uma sequência de grafemas numa sequência de sons” (Sim-Sim, 2009, p.22) que formam uma palavra. O ensino desta correspondência “som/grafema deve ser explícito, directo e transparente, permitindo ao aluno a prática independente da correspondência aprendida ou o seu treino em parceria com os colegas”, como refere Sim-Sim (2009, p. 27). Constatamos assim que a aprendizagem da leitura é “um processo contínuo que se inicia antes do ensino da decifração [leitura] e que continua para além da aprendizagem da mesma” (Sim-Sim, 2009, p. 20). Mas não é um processo isolado, sendo acompanhado de perto pela Fala e pela Escrita, pelo que Sim-Sim (2009, p. 66) sugere, entre outras, que

Durante a aprendizagem da decifração é importante estimular a expressão escrita da criança para: i) reforçar o conhecimento da função comunicativa da escrita; ii) consolidar a descoberta do princípio alfabético; iii) sedimentar a correspondência som/letra e representar graficamente os diversos sons da palavra (…),

No entanto, situando-nos em contexto angolano, há dois aspectos que podem interferir neste processo: i) o facto de alguns alunos não serem falantes de português, língua de escolarização e ii) o facto de a cultura angolana ser de cariz oral, sobretudo em regiões menos urbanas.Relativamente ao primeiro factor, isto é, ao facto de o português ser uma língua não materna para alguns destes alunos, os aspectos fonológicos assumem certa relevância, uma vez que há sons no sistema fonológico português, que não existem nas línguas maternas dos alunos. Por isso, temos de desenvolver actividades de discriminação auditiva, de modo a que os alunos dominem oralmente esses sons, antes de se iniciar o processo de escrita. Importa referir que já estão identificados alguns problemas dos alunos angolanos no processo de aprendizagem do português, como refere a Cartilha (2014), elaborada pelo GGTDSNAA3 e editada pelo INIDE e MED/READ, tais como a confusão entre as letras B e F; P e B; M e N, X e Y – ou a inexistência de oposição entre r e rr.


Após a leitura do texto acima apresentado:1. Identifique, com a colaboração dos seus colegas de grupo, os conceitos apresentados no texto

que acabou de ler tais como literacia emergente, decifração, consciência fonológica, grafema, etc. Discutam-nos e expliquem porque são importantes para o processo de aprendizagem e avaliação da Leitura.

2. Concordam com as dificuldades apresentadas no último parágrafo do texto. Porquê?

3. Conhecem outras dificuldades? Quais?

4. Têm em conta estas dificuldades quando avaliam a leitura dos vossos alunos?

3 GGTDSNAA – Grupo Técnico do Desenvolvimento do Sistema Nacional da Avaliação das Aprendizagens.


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Antes de entrarmos na apresentação de exercícios para a avaliação da Consciência Fonológica, propomos dois tipos de testes de discriminação oral e identificação auditiva, com registo das respostas pelo professor.

– Identificação do som, isto é, segmentação de palavras em fonemas, ou seja, a divisão das palavras em sons. Nesta prova, com tempo limitado (um minuto), é pedido às crianças para reproduzirem o som de letras, ou de sequências de grupos de letras, como seja o caso de: br; pr; gr; cr; vr; cl; fl; tl; bl; ar, entre outros, combinações frequentes de vogal/consoante como é o caso de al, il, el, ar, er, as, os, etc. e os designados dígrafos4, tais como: ch; lh; nh ou ss e rr. Os items são apresentados numa ordem aleatória, misturando minúsculas e maiúsculas. Os caracteres utilizados devem ser grandes, lisiveis (fáceis de ler) e familiares para as crianças. Este tipo de tarefa prende-se sobretudo com a avaliação dos conhecimentos alfabéticos. Ex: O professor pronuncia amor duas vezes e aguarda que o aluno identifique os sons da palavra: /a/ /m/ /o/ /r/. Se a criança não responder correctamente, o professor dá a resposta certa e avança para nova palavra, por exemplo: fala - /f/ /a/ /l/ /a/. Na folha de registo, corta com um traço oblíquo todos os sons incorrectos ou que o aluno saltar. Por exemplo: /a/ /m/ /o/ /r/.

– Identificação dos grafemas (letras e sequências de letras), isto é, pedir ao aluno que identifique o primeiro ou o último som numa selecção de palavras comuns. Saber de que forma os grafemas (le-tras e sequências de letras) se pronunciam é uma competência essencial que as crianças precisam de dominar para se tornarem leitoras. Este exercício não tem tempos pré-definidos.

Sim-Sim (2009) reforça esta ideia, explicando que o ensino da correspondência som/grafema permite à criança converter sequências de grafemas em sequências de sons que constituem a palavra, ou seja, é necessário estabelecer uma relação entre cada grafema e o fonema correspondente. Neste caso, o professor deverá ter uma grelha, tal como no exemplo:

Nome do aluno:

Perguntas: Correcto Incorrecto Sem resposta

a

b

……..

A importância destes testes, como instrumentos para avaliar a competência de leitura no seu início, prende-se com a necessidade de os alunos terem de conhecer o som dos grafemas (letras e sequências de letras), incluindo vogais e ditongos, para se tornarem bons leitores. O professor pode, deste modo, saber se a criança domina competências relacionadas com a consciência fonológica. Também recentemente ficou demonstrado que conhecer o nome das letras facilita a leitura. Tal como refere Fernandes (2004),

Conhecer o nome das letras e identificar o som que corresponde a cada uma delas não é tarefa fácil, uma vez que é necessário adquirir consciência de que à variação de articulação dos sons nas palavras corresponde a variação das formas gráficas que as compõem, ou que palavras com sons idênticos se representam por símbolos-letras -

4 No dígrafo (nh,ch, lh) os dois grafemas representam um só som, acontecendo o mesmo com ss e rr.


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idênticos. [É deste modo que] aumenta a sua capacidade de considerar a relação estreita entre cada letra e o respectivo som. (p.77)

Vejamos os seguintes exemplos:

GatoPato RatoMato

A alteração da letra inicial (a variação gráfica), acarreta a alteração do som, remetendo para diferentes realidades: animais (gato, pato e rato) e tipo de vegetação (mato).

É, pois, necessário que o professor explicite e promova o conhecimento das relações letra-som. Em Angola, nem todos os alunos chegam à escola dominando a Língua Portuguesa. Muitos deles vão aprendê-la precisamente aí, ao mesmo tempo que vão construindo uma consciência fonológica do português, à medida que essa aprendizagem se vai realizando/processando. Todas as “actividades que promovam o conhecimento fonológico e o reconhecimento das letras contribuem para a consolidação da consciência fonológica e posterior sucesso na aprendizagem da leitura e da escrita” (Fernandes, 2004, p.88).

5.3.1. A. CONSCIÊNCIA FONOLÓGICA: IDENTIFICAÇÃO DOS SONS DA LÍNGUA

Aconselha-se que o professor tenha sempre em atenção, quando avalia os alunos, os seguintes aspectos:

– ler com expressividade e de forma muito clara quer textos, quer listas de palavras, quer palavras isoladas;

– realizar sempre com os alunos tarefas exemplificativas do que estes terão que fazer; – combinar com os alunos a linguagem gestual a utilizar; quando for caso disso, e exercitá-la

antes da realização do exercício, de modo a que os alunos não se confundam; – anotar os resultados das tarefas quer orais, quer escritas numa grelha de observação.

1. Exercícios de discriminação/identificação auditiva

1.1. Numa lista de palavras, que o professor vai ler de forma muito clara e expressiva, os alunos levantam um braço ao ouvirem o som representado por r ou ambos os braços ao ouvirem o som representado por rr. O professor antes de avançar para o exercício propriamente dito, pode dar um ou dois exemplos. Por exemplo: terra/ cara/ferida/jarro

caro carroserá serra

murro murotorre tiro

barata barracacigarro cadeirarádio vassoura


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1.2. Outros sons que podem oferecer dificuldade aos alunos são os representados pelos dígrafos: ch; nh; lh. O professor deve combinar uma linguagem gestual que permita aos alunos distinguir os três sons (por exemplo: levantar um braço, quando ouve o som representado por nh, bater palmas ao ouvir o som representado por lh e levantar os dois braços quando o som é o reproduzido por ch). Depois disso, o professor lerá uma lista de palavras com os três sons. Tal como no exercício anterior, deverá dar um ou dois exemplos, antes de iniciar a actividade. Exemplo: chefe; lenha; olho.

chuva; galinha; filho

unha; coelho; chave

chapéu; caminho, abelha

ilha; chifre; linha

folha; ninho; chapa

amanhã; milho; flecha

2. Exercícios de identificação auditiva

2.1. Identificação do nome das letrasO objectivo desta tarefa é identificar as letras que formam o nome do aluno. O professor deve exemplificar o exercício, antes de pedir aos alunos que o realizem. Assim, deverá começar por dizer o seu nome e indicar as letras que o compõem. Por exemplo: Chamo-me Fátima.F–éfe ou fê; a–á; t –tê; i – i: m-éme ou mê; a-á

E tu, como te chamas?

Cada aluno diz o seu nome e identifica oralmente as letras do seu nome.

2.2. Identificação do som inicial de uma palavra

O professor chama a atenção dos alunos para a seguinte actividade:“Vou dizer uma palavra duas vezes. Quero saber qual é o primeiro som que ouvem. Atenção: Não é o nome. É o som da letra. Vamos fazer um pequeno ensaio:“lavra”. Qual é o primeiro som?” /l/ muito bem!

E agora ...

pai /p/ lago /l/

mãe /m/ dia /d/

casa /k/ voo /v/

saco /s/ galo /g/

filho /f/ já /j/

tia /t/ bola /b/

2.3. Identificação da rima (som final de palavra)

O exercício agora pretendido é semelhante, mas prestando agora atenção ao som final da palavra. Aconselha-se o professor a combinar uma linguagem gestual com os alunos.


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2.3.1. O professor lê com expressividade e de forma muito clara o seguinte poema. Pára, após a apresentação de cada grupo de versos, realizando o exercício.

1 É branca a gata gatinha. 2 É preto o gato gatão. 3 E os filhos, gatos, gatinhos.É branca como a farinha. É preto como o carvão. São todos aos quadradinhos.

In: Sidónio Muralha (1992). A televisão da bicharada. S. Paulo: Nórdica

2.3.2. O professor lê em seguida cada par de versos e os alunos identificam os sons finais de cada verso.

2.3.3. Peça aos seus alunos que façam, com a sua ajuda, uma lista com outros pares de palavras que tenham o mesmo som final. Deve registar no quadro os pares sugeridos pelos alunos.

Por exemplo: gato/mato; limão/ melão, etc.

3. Exercícios de segmentação oral de palavras em sílabas

3.1. Agora, o objectivo deste exercício é o de contar as sílabas das palavras. Pede-se, então, ao aluno que diga o seu nome próprio e que bata palmas, enquanto conta as sílabas respectivas. Retomemos o exemplo de Fátima- Fá/ti/ma

3.2. O professor lê duas vezes a seguinte lengalenga aos alunos. Em seguida, pede-lhes que a recitem com ele.

Rei, capitãoSoldado, ladrão,Menina bonita do meu coração.

Fonte: http://blogcantinhodadeia.blogspot.com.br/

3.3. Posteriormente, voltam a repeti-la, mas agora parando em cada palavra para que a dividam em sílabas, podendo acompanhar a sua segmentação, com batimentos de palmas.

Rei/ ca/pi/tãoSol/da/do/ la/drãoMe/ni/na/bo/ni/ta/do/meu/co/ra/ção.

3.4. Finalmente, os alunos tentarão repeti-la sozinhos, ainda que o professor os ajude sempre que necessário. Sugere-se que o docente vá circulando na aula por entre os alunos, a fim de tentar identificar as dificuldades de articulação que possam surgir.


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5.3.2. B. CONHECIMENTOS ALFABÉTICOS

1. Exercícios de identificação do nome das letras

1.1. Copie para o quadro a seguinte tabela. Identifique com os seus alunos as letras aí apresentadas.

Letra Nome Letra Nome Letra Nome

B V vê Y Ípsilon ou i grego

L E G

Z X O

A S F

H M C

N T P

U J V

1.2. Depois, preencham em conjunto os espaços em branco da tabela com o nome de cada letra.

1.3. O professor poderá colocar, num saco opaco, cartões (recortes) com as letras do alfabeto. Caso tenha muitos alunos, poderá usar mais do que uma série das letras do alfabeto. Cada aluno retira um cartão. Terá, depois, chegada a sua vez, de identificar a letra e de dizer o nome de uma pessoa, cujo nome comece por essa letra, ou o nome de um animal, de uma planta, etc.

2. Exercícios de identificação de letras maiúsculas e minúsculas

2.1. Peça aos seus alunos que liguem a maiúscula à minúscula correspondente. Prestem atenção ao exemplo:

Maiúscula MinúsculaB mJ fX bP jF xM nN p

2.2. Nos nomes dos seguintes clubes de futebol:

i. sublinha a letra L/ l ;

ii. indica com um círculo a letra P/p;

iii. indica com um quadrado a letra D/d;

Académica do Lobito

Desportivo da Huíla

Sagrada Esperança

Kabuscorp do Palanca


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2.3. Comece por pedir aos alunos que pintem a vermelho as quadrículas das letras B, N, X, M, Y, P e a azul as quadrículas com as letras f, m, b, p, x, n, y.

C R f X H y S

J p Y F K j h

W a g w n m P

M V x B b D N

2.3.1. Depois, peça aos alunos que leiam, linha a linha, a sequência de letras maiúsculas e, finalmente, a sequência das minúsculas.

2.3.2. Peça que escolham uma letra e digam o nome de uma palavra começada por essa letra. Por exemplo: h- hora.

2.3.3. Peça que escolham uma letra e digam o nome de uma palavra que termine nessa letra. Por exemplo: a- lata.

2.3.4. Peça a um aluno que escolha uma letra maiúscula e diga um nome próprio. Por exemplo: M- Manuela.

3. Exercícios de identificação de letra de imprensa e de letra manuscrita

3.1. Escreva os títulos das obras apresentadas abaixo, no quadro com letra de imprensa.

3.2. Peça aos alunos que identifiquem oralmente as letras dos títulos que escreveu no quadro.

3.3. Ajude-os a ler os títulos.

3.4. Peça aos alunos que escrevam os títulos das obras com letra manuscrita.

4. Exercícios de identificação da estrutura silábica e frásica

4.1. Exercício da segmentação de palavras em sons

4.1.1. Prestem atenção à seguinte frase, registada no quadro:

O Sol bate no sal que está no balde azul.


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Agora, com a ajuda do professor, agrupem as palavras que começam pelo mesmo som:

Sol batesal balde

Em seguida, a partir destas duas estrofes de Cecília Meireles e Josué de Castro (1996), que o professor deve escrever no quadro, os alunos identificam as palavras que começam pelo mesmo som.

Venha para a Festa que o F vai dar com as folhas da lavra e as frutas do pomar!

Sou o B de Boca-limpa, sou o B de Banho-frio Sou o B Brincalhão: Trago Bife de beringela, Para um batalhão!

Cecília Meireles e Josué de Castro (1996, s/p.), adaptado

4.1.2. Exercite com os seus alunos agrupar palavras com sons iniciais iguais.

Sola, rei, armário, sal, rainha, rio, sílaba, saia, raio, árvores r a

sola rei armáriosal rainha árvore

sílaba riosaia raio

4.1.3. Peça aos alunos que agrupem as seguintes palavras, de acordo com o som inicial de cada uma delas:

sapato gato porco palanca galinha sapo leão pato galo

4.2. Exercício de agrupamento de palavras de acordo com o som final

Peça agora aos alunos que agrupem as palavras abaixo apresentadas de acordo com o som final de cada uma delas.

Antes, porém, faça alguns exercícios semelhantes para treino dos alunos. Não se esqueça de escrever no quadro as palavras. Exemplo:

Automóvel, flor, botão, anel, coração, futebol, director, caracol, liçãoExercício:

Passear, funil, mar, sul, comer, viajar, mal, cafezal, caril, viver, azul

-ar -il -er -al -ul


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4.3. Exercício de segmentação de palavras em sílabas

4.3.1. Antes de pedir aos alunos que dividam em sílabas as palavras, que fazem parte de títulos de livros, deverá o professor exercitar com eles esta actividade.

Exemplo: A Guerra dos Fazedores de Chuva com os Caçadores de Nuvens: A-Gue-rra-dos-Fa-ze-do-res-de-Chu-va-com-os-Ca-ça-do-res-de-Nu-vens.

Exercício:

Conchas e búzios – (Con-chas - e - bú-zi-os)

O leão e o coelho saltitão – (O-le-ão-e-o-co-e-lho- sal-ti-tão)

A bicicleta que tinha bigodes – (A-bi-ci-cle-ta-que-ti-nha-bi-go-des)

4.3.2. Vamos agora apresentar uma tarefa para ajudar a criança a separar forma e conteúdo da palavra, situação que pode ocorrer no início da aprendizagem da Leitura. Sabendo que vaca é maior que passarinho, o aluno pode revelar uma certa resistência em concordar que passarinho é uma palavra mais longa do que vaca. Serão apresentados pares de palavras, em que uma é mais longa do que outra. Além disso, uma das palavras refere-se a um objecto familiar para a criança e que é significativamente maior do que o outro.

Comece por pronunciar um par de palavras leão e mosquito e pergunte aos alunos qual delas é a maior. Faça-os pronunciar cada palavra, segmentando-a em sílabas acompanhada por batimento de palmas. Depois de os alunos terem respondido, registe no quadro o par de palavras apresentadas.

Alguns exemplos:

Ser maior Ser menor Objecto maior Objecto menor

leão mosquito ambulância carro

boi formiga avião bicicleta

elefante gato baliza bola

girafa caranguejo livro caneta

Adaptado de Adams, Foorman, Lundberg & Beeler (2006, pp.72-73)

4.4. Exercício de composição de palavras

Os alunos deverão, agora, formar uma palavra a partir das sílabas apresentadas. Se quiserem, podem desenhar a palavra encontrada. O professor pode exemplificar a partir do registo no quadro.

sílabas palavrapa Cam nha i Campainha

sílabas palavraco la Es Escola


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Exercício:

sílabas palavrasssor fe Pro dor Ca ça Ja ré ca tes Den ------- bo cim Ca vra La -------

4.5. Exercício de segmentação de palavras em frases

O professor vai agora pedir aos alunos que estabeleçam a fronteira de palavra nas seguintes frases. Antes, o professor deverá propor alguns exercícios.

Exemplos:

ODuculogostadejogaràbola – O Duculo gosta de jogar à bola.

Éprecisotercuidadocomasfacas – É preciso ter cuidado com as facas.

Exercício:

OtioRuiésimpático.

Temsemprebuédepressa

Àsvezesnosdádinheiroparairmoscomprargelado

Nodia1deJunhopodemosentrarnoquintaldacasadeleparaouvirestórias

Os Programas de Língua Portuguesa do Ensino Primário consideram a avaliação da leitura essencialmente de carácter formativo, evidenciando as metas que se pretendem atingir, sobretudo a nível de cada tema. Esta avaliação formativa tem, no entanto, de ser complementada com outra de carácter sumativo.Para realizar a avaliação sumativa, os professores têm de conhecer as competências que os alunos deverão desenvolver, ao longo dos diferentes anos, no âmbito da Leitura e dos restantes domínios. Devem também saber como proceder para fazer uma avaliação individual do aluno, sendo capazes de identificar os pontos fortes e fracos de cada um.


Assim, sugere-se aos professores as seguintes tarefas a desenvolver durante a formação:

– Reler e discutir em grupo o quadro “Competências de leitura a avaliar”, no que respeita a: Competências avaliadas (Literacia Emergente e Decifração: conhecimentos alfabéticos) e registe aquilo que o aluno deve ser capaz de fazer, isto é, os aspectos sobre os quais vai recair a avaliação.

– Leia o seguinte excerto do texto apresentado na tarefa Para ler e analisar (pp. 57/58)


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“Para ler é necessário não só relacionar cada grafema com o fonema correspondente, mas também possuir um conjunto de outras capacidades de consciência fonológica, como seja, a capacidade para: i) produzir e detectar rimas; ii) segmentar frases em palavras; iii) segmentar palavras em sílabas; iv) aglutinar (juntar) sílabas em palavras; v) identificar sílabas iguais; vi) identificar sons iniciais iguais; vii) identificar sons finais iguais, etc. Estas actividades de segmentação e de reconstrução, quando convertidas em testes, permitem avaliar a capacidade de reconhecimento de que a cadeia falada é constituída por segmentos possíveis de isolar e de reconhecer”.

– Elabore exercícios de avaliação de acordo com as propostas do texto.


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Pense no que leu, analisou, debateu e registou, no decorrer desta parte da Formação sobre Literacia Emergente, Consciência Fonológica e Conhecimentos Alfabéticos. Reflicta sobre:



O que aprendi

O que recordei




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6. A CAPACIDADE DE DECIFRAÇÃO

Ana Pires Sequeira


Leia individualmente o texto que se segue e tome notas.

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Continuando a temática da decifração, vamos agora debruçarmo-nos sobre a capacidade de decifração ou descodificação.Como sabemos, a leitura é uma actividade complexa, nela assentando o reconhecimento da palavra escrita, ou seja, a aquisição e o desenvolvimento de uma competência leitora o que implica o reconhecimento de palavras escritas. Sabendo-se que uma competência é a “capacidade de mobilizar diversos recursos cognitivos para enfrentar um tipo de situação” (Perrenoud, 2000, p.15), comecemos por reflectir sobre o que implica para as crianças a aquisição e o desenvolvimento de uma competência leitora. Isto é, quais os recursos cognitivos que as crianças mobilizam quando se confrontam com uma tarefa de leitura. São dois os principais recursos a mobilizar: a capacidade de descodificação e o conhecimento lexical, ou seja, o vocabulário que conhecem e dominam.A capacidade de descodificação ou decifração envolve um “processo cognitivo em que o leitor associa a representação escrita da palavra à sua forma oral” (Sim-Sim, 2009, p.12). Podemos, pois, referir que “decifrar, ou descodificar, significa identificar as palavras escritas, relacionando a sequência de letras com a sequência dos sons correspondentes na respectiva língua.” (ibidem)Face ao exposto, apresentamos, em seguida, três estratégias facilitadoras do desenvolvimento da capacidade de descodificação:

– leitura de palavras familiares; – leitura de palavras não familiares; – leitura de pseudopalavras.

A leitura de palavras familiares

A leitura de palavras familiares não pode estar dissociada da influência que exerce o meio no qual a criança está inserida. Ou seja, a exposição a diversos registos escritos, bem como a audição de determinadas palavras comuns à linguagem oral são elementos importantes no reconhecimento que a criança pode vir a fazer no decurso do seu processo de aprendizagem da leitura. São vários os estudos que apontam para que no processo de alfabetização a familiaridade das palavras possa ser uma variável facilitadora da aquisição de leitura.Tomemos como exemplo o caso de uma criança que tem como tarefa a leitura da palavra: quitandeira. Se a palavra lhe for familiar não só ao nível da audição, como do registo escrito já observado, será maior a sua facilidade em ultrapassar a dificuldade que a leitura de uma palavra com quatro sílabas apresenta.


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Podemos, pois, considerar que a exposição e a estimulação lexical a que a criança está sujeita no ambiente familiar e escolar favorece o desenvolvimento cognitivo, e auxilia na aprendizagem da leitura.O que pretendemos com a leitura de palavras familiares? Avaliar a fluência, ou seja, a precisão e rapidez com que as crianças, em voz alta, lêem uma lista de palavras isoladas que lhes é apresentada, sendo a lista composta por palavras suas conhecidas (familiares).

A leitura de palavras não familiares

O rápido reconhecimento de palavras não se verifica quanto à leitura de palavras que não são familiares às crianças. Tal pode ocorrer por não fazerem parte do vocabulário habitual, quer o utilizado no ambiente escolar, quer o utilizado na sua comunidade familiar, e, como tal, o recurso a estratégias de reconhecimento rápido da palavra não se verifica. Tomemos como exemplo, a palavra quitandeira anteriormente apresentada. Como referimos, ao fazer parte do vocabulário habitual da criança, o reconhecimento visual e a rapidez na sua leitura não se poderão comparar com o reconhecimento visual e a rapidez de leitura de outra palavra que não só não faz parte do vocabulário habitual da criança como, também, é dela desconhecida. Podemos ter como exemplo a palavra constitucionalmente. O que se passa com a criança de modo a poder decifrar/descodificar a palavra? Recorre à via fonológica, ou seja, associa cada grafema ao som correspondente (fonema). É, assim, um processo mais moroso. O que pretendemos com a leitura de palavras não familiares? Avaliar a leitura, em voz alta, e de modo fluente com que as crianças lêem uma lista de palavras isoladas que não conhecem ou com que não contactam frequentemente. Dito de outro modo, a leitura de palavras não familiares permite-nos avaliar a correspondência grafema fonema e a fluência de leitura.

A leitura de pseudopalavras

Uma pseudopalavra representa “uma estrutura linguística possível na língua, em termos de constituição fonológica, mas sem significado associado” (Sim-Sim, 2009, p.12). Podemos, assim, considerar que pseudopalavras constituem uma sequência pronunciável de caracteres, mas sem qualquer significado numa língua. Em Língua Portuguesa, podemos considerar como exemplos: tapi e vena.O desenvolvimento da competência leitora, aliada, obviamente, à experiência e à prática de leitura, possibilita às crianças um acesso mais rápido ao reconhecimento global de palavras. Crianças cuja língua materna é a língua de ensino, no caso o português, têm, à partida, maior proficiência na leitura de palavras (familiares e não familiares), bem como no reconhecimento e identificação de pseudopalavras. Crianças que não tenham como língua materna a Língua Portuguesa, quando aprendem a ler na escola podem ter mais dificuldade em recorrer à via lexical para saber se uma determinada palavra consta ou não do léxico da Língua Portuguesa porque se limitam a recorrer à via fonológica. Assim, o risco de considerarem as pseudopalavras apresentadas como fazendo parte do léxico da língua de ensino é grande. Vários autores consideram que a capacidade de descodificação aliada ao princípio alfabético da ortografia em Língua Portuguesa pode ajudar a reconhecer e a distinguir palavras e pseudopalavras. O desenvolvimento da competência leitora implica também o recurso à via fonológica na leitura de novas palavras, o que se reveste de primordial importância na leitura de pseudopalavras (Cruz, 2009). Salvaguarda-se, contudo, que as palavras mais curtas (exemplos: monossílabos e


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dissílabos) são de mais fácil leitura do que as mais longas, ou das que têm diversas combinações, como por exemplo: consoante+vogal (CV - má); consoante+consoante+vogal (CCV - cru); consoante+vogal+consoante+vogal (CVCV - cara).


Após a leitura do texto acima apresentado:1. sintetize, com o seu grupo, as ideias principais;2. analise as tarefas que se apresentam em seguida. Realize-as individualmente ou em parceria com

um(a) colega; 3. em seguida, discuta-as com o seu grupo de formação, e tirem algumas conclusões sobre as

competências a avaliar, bem como da sua aplicação no contexto da sua sala de aula ou, se preferir, da sua escola.


6.3.1. A . TAREFAS DE LEITURA DE PALAVRAS FAMILIARES

Apresentam-se, em seguida, um conjunto de tarefas, a realizar oralmente pelos alunos, que constituem exemplos de avaliação.O(a) professor(a) deve registar a leitura dos(as) alunos(as), assinalando (leitura correcta, leitura incorrecta, não leu) na sua folha de registo.As tarefas apresentadas contêm listas de palavras familiares subordinadas a diversas temáticas abordadas em sala de aula e/ou em contextos exteriores.

1. Tarefa com lista de palavras familiares referentes a materiais utilizados em sala de aula.

O(a) professor(a) mostra a lista de palavras familiares que se segue e pede aos alunos que as leiam.

lápis régua livro pasta pincel cola

caderno borracha caneta estojo tesoura cartolina

2. Tarefa com lista de palavras familiares referentes a peças de vestuário.


meias bota calças blusa chapéu saia

casaco sandália camisola vestido sapato camisa

3. Tarefa com lista de palavras familiares referentes a vocabulário utilizado na sala de aula.


dúzia texto desenho dezena ditado adição

exercício centena sílaba letra divisão pintura


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4. Tarefa com lista de palavras familiares referentes a profissões.


cantor médica pintor pedreiro maquinista polícia

alfaiate professor enfermeira pescador bombeiro jardineiro

5. Tarefa com lista de palavras familiares referentes a meios de transporte.


barco camião táxi avião carro mota

bicicleta candongueiro helicóptero comboio motorizada autocarro

6.3.2. B. TAREFAS DE LEITURA DE PALAVRAS NÃO FAMILIARES

Em seguida, apresentam-se um conjunto de palavras com que os(as) alunos (as) não têm contacto frequente, e que devem ser lidas, por eles, em voz alta. O(a) professor(a) deve registar a leitura dos(as) alunos(as), assinalando (leitura correcta, leitura incorrecta, não leu) na sua folha de registo.

1. Palavras não familiares - curtas 2. Palavras não familiares - longas

global lequeiodo astro solovelozralo

porçãosériefaixa

novelodinamiteinflexívelmonitor

opinativaliderançaerudita

optimistacompromisso

iniciativa

6.3.3. C. TAREFAS DE LEITURA DE PSEUDOPALAVRAS

Apresentam-se, em seguida, um conjunto de pseudopalavras, a ler, em voz alta, pelos alunos. O(a) professor(a) deve registar a leitura dos(as) alunos(as), assinalando (leitura correcta, leitura incorrecta, não leu) na sua folha de registo.A tarefa apresentada inclui uma lista de pseudopalavras5 constituídas por uma só sílaba (monossílabos) ou por duas sílabas (dissílabos).

5 Muitas das “pseudopalavras” seleccionadas fazem parte do teste EGRA aplicado em Angola.


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cabel lamp elha feb croesc cos exam lem garf

cleta jud dit rel gatfla afog fiv iog boneczag vomi ten nav buzfut identi quist esmol san

gram val pint sapat gripnuv pla hol fev vistduz tromb flau pel difo


Volte a ler o quadro “Competências de leitura a avaliar”. A partir dos exemplos de tarefas apresentadas construa, com o seu grupo de formação, tarefas de avaliação de leitura.


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Reflicta sobre o que leu, analisou, debateu e registou nas suas notas pessoais durante a formação sobre como desenvolver e avaliar as tarefas de leitura em discussão. Pode registar a sua reflexão numa grelha como a que se apresenta de seguida.

O que aprendi sobre o tema


As dúvidas que ainda tenho



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7. COMPREENSÃO DA LINGUAGEM ESCRITA

Fernanda Botelho


Leia individualmente o texto que se segue e tome notas. Sintetize as ideias principais.

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Um bom desenvolvimento da literacia é fundamental para o sucesso dos alunos em todas as áreas de aprendizagem. Por isso, as crianças têm de “aprender a ler” para poderem “ler para aprender” (USAID, 2016, p.2).A capacidade de receber novas informações e de adquirir novos conhecimentos por escrito depende da compreensão do que somos capazes de fazer, isto é, da capacidade que temos de construir os sentidos dos textos que lemos. Por isso, a capacidade de compreender um texto escrito é uma competência fundamental a desenvolver desde o início da escolaridade. Ao longo do percurso escolar, muitos conteúdos são transmitidos através de textos escritos o que pressupõe, por parte dos alunos, capacidades de construção do sentido, essenciais para a sua aquisição de conhecimentos. Neste percurso, muitas das aprendizagens que fazemos dependem da compreensão do que lemos. A compreensão dos textos escritos é a finalidade da leitura. O conhecimento do vocabulário, melhor dito, o desenvolvimento lexical, torna-se essencial à compreensão do texto, bem como a capacidade de compreender as relações entre as palavras nas frases. A compreensão do escrito pressupõe (assenta na) a decifração automática, rápida e precisa (fluência); os leitores pouco fluentes e muito lentos na decifração perdem-se na construção da significação dos textos que lêem. A expressividade na leitura em voz alta é um indicador da compreensão textual. A compreensão do texto escrito relaciona-se ainda directamente com a compreensão oral da língua em que se lê.Para avaliar a compreensão textual dos alunos, é fundamental que o professor não recorra apenas a questionários escritos, nem exija sempre aos alunos a escrita das respectivas respostas. Por isso, muitas vezes, é importante que as perguntas sejam feitas oralmente para que o aluno não tenha de recorrer à sua leitura, pois pode-se comprometer a avaliação da sua compreensão. Quando as crianças têm dificuldade de compreender a pergunta ou de escrever a resposta, ficamos sem saber se, de facto, compreenderam o texto. Neste sentido, os alunos deverão responder oralmente, uma vez que, se tivessem de escrever as respostas, também se poderia pôr em causa a avaliação que o professor faz da sua compreensão do texto.No entanto, as perguntas podem ser feitas por escrito (o que exige a compreensão das mesmas); neste caso, as respostas implicam a leitura, ou seja, a compreensão da linguagem escrita. Incluem-se neste caso perguntas, cuja resposta consiste em ler afirmações sobre um texto, tendo o aluno de assinalar, em alternativa, verdadeiro/falso ou ainda de escolher a resposta correcta a partir de um conjunto de afirmações (perguntas de escolha múltipla).


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Confronte a informação contida neste texto com a informação que encontra no programa de Língua Portuguesa para o Ensino Primário, centrando-se no(s) ano(s) que lecciona.Analise as tarefas de compreensão da linguagem escrita que a seguir se apresentam e faça-as individualmente ou com um(a) colega. Discuta-as com o seu grupo de formação e tirem algumas conclusões sobre avaliação da compreensão da linguagem escrita.


7.3.1. A. COMPREENSÃO DA LEITURA EM VOZ ALTA

O professor pede a um aluno que leia em voz alta com precisão e rapidez o princípio da história que se apresenta a seguir. Pede ainda a máxima atenção, pois vai fazer-lhe perguntas oralmente, às quais o aluno deverá responder também oralmente.Nesta tarefa, procura-se exercitar a fluência da leitura em voz alta. Recorre-se à oralidade, tanto na elaboração das perguntas por parte do professor, como na elaboração das respostas pelos alunos, de modo a minorar dificuldades de compreensão da linguagem escrita e, consequentemente, não comprometer a avaliação da compreensão do lido por parte dos alunos, o que poderia acontecer se se recorresse à escrita. O professor deverá registar as respostas dos alunos, assinalando correcto ; incorrecto e sem resposta na sua folha de registo.

As Mandiocas

As mandiocas que viviam debaixo da terra em casinhas de tecto arredondado, em vários montinhos, estavam já a dormir. A noite era calma e com um luar muito bonito. Podia ver-se até muito bem a casa da vovó Jaja, que vivia com o seu neto Mingo.No terreno em frente à sua casa havia uma mandioqueira, mas essa só dava sombra. Debaixo dela, vovó tinha o fogareiro onde sempre fazia as refeições, o banquinho onde sempre se sentava, o abano que utilizava para espevitar o fogo, o barril e a tábua onde esfregava e lavava a roupa.

In: Lima, C. (2009). Nguico e as Mandiocas. in Histórias, historietas. Luanda: Texto Editores.

Perguntas feitas oralmente pelo professor e a responder também oralmente pelos alunos.a. Com quem vivia o Mingo?

b. Era noite, mas via-se muito bem a casa da vovó Jaja. Porquê?

c. Que árvore havia à frente da casa da avó Jaja?

d. Porque é que a mandioqueira só dava sombra?

e. O que fazia a avó Jaja à sombra dessa árvore?

f. Quantos objectos havia por baixo da mandioqueira?


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7.3.2. B. COMPREENSÃO DA LEITURA SILENCIOSA

O professor pede aos alunos que leiam silenciosamente o texto que se apresenta a seguir, pois vai fazer-lhes algumas perguntas sobre ele. Depois de terminarem a leitura, faz-lhes oralmente as perguntas que se encontram logo a seguir e diz-lhes que vão responder também oralmente.Chama-lhes a atenção que, para responderem correctamente, terão de recorrer à informação explícita do texto, nuns casos e, noutros, terão de deduzir a partir da informação contida no texto.O professor deverá registar as respostas dos alunos, assinalando correcto; incorrecto e sem resposta na sua folha de registo.

O Meu Amiguinho Dito

Lá no meu bairro, vive um menino muito simpático. Chama-se Dito.Ele gosta muito de brincar connosco, mas não pode participar em todas as brincadeiras porque não consegue andar bem. Anda com a ajuda de dois paus, que se chamam muletas.Quando jogamos futebol, ele é o árbitro.Fica sentado por cima de um tronco alto e vai apitando quando alguém joga mal.Quando voltamos da escola, há sempre um voluntário para carregar a pasta do Dito.Eu gosto muito de estudar com o Dito porque ele é um bom aluno.O Dito disse-nos que os pais estão a tentar juntar dinheiro para lhe comprar uma cadeira de rodas. Eu ofereci-me logo para empurrar a cadeira dele.

In: Carvalho, F.; Mesquita, H.; Quizela, L. (2007). Português para todos, 3ª classe - Livro do aluno. Luanda: Editora Escolar.

Perguntas feitas oralmente pelo professor e a responder também oralmente pelos alunos.

a. Como se chama o menino que vive no bairro?

b. Porque é que não pode participar em todas as brincadeiras?

c. Por que razão, quando os meninos jogam à bola, o Dito é o árbitro?

d. Porque é que o menino gosta de estudar com o Dito?

e. Para que estão os pais do Dito a juntar dinheiro?

7.3.3. C. A COMPREENSÃO DA LEITURA SILENCIOSA DE UM TEXTO INFORMATIVO

O professor pede aos alunos que leiam silenciosamente uma passagem do texto que se apresenta a seguir. Chama-lhes a atenção para o facto de este texto ter espaços em branco. Compreendê-lo implica que o aluno o complete, seleccionando e escrevendo a palavra apropriada em falta, a partir das três palavras dadas em cada um destes espaços.


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A Higiene do Nosso Corpo

A higiene afasta do nosso corpo os_________(bichos/ micróbios/piolhos) que causam doenças.Devemos lavar sempre o nosso corpo, o cabelo, as mãos e os dentes para_______(termos/apanharmos/evitarmos) doenças.As pessoas que são pouco limpas e vestem roupa ________(lavada/nova/suja) apanham sarna.A sarna é uma doença de pele causada por um bichinho muito_________(engraçado/pequeno/grande)Este bichinho é parecido com uma aranha e chama-se ácaro.

In: I: Gonzalez, J.; Gonzalez, R.; Rodrigues, F. (2015). Língua Portuguesa – da teoria à prática 2. Angola: Plural Editores, .

7.3.4. D. OUTRAS TAREFAS DE COMPREENSÃO DA LINGUAGEM ESCRITA

Apresentam-se ainda dois textos para os quais o professor pode adoptar uma prática semelhante ou, em alternativa às perguntas que se encontram a seguir a cada texto, pode apresentar aos alunos outro tipo de tarefas de compreensão: num caso, pede-se que assinalem se as afirmações são verdadeiras ou falsas e, noutro caso, fazem-se perguntas de escolha múltipla, ou seja, pede-se aos alunos que escolham as respostas correctas a partir de um conjunto de respostas.

Em qualquer dos casos, os textos deverão ser lidos silenciosamente pelos alunos.

O Leão e o Coelho Saltitão

Certa tarde, o Leão, rei da Floresta Grande, estava esfomeado e cansado de comer ervas e peixe seco. Chamou o seu amigo Coelho Saltitão para resolver este problema da fome.

– Meu grande amigo Coelho – cumprimentou o Leão. – Leão, meu velho…Como vai essa saúde? – A saúde vai mais ou menos…O pior é a fome. Não aguento mais comer raízes e frutos que

não sabem a nada. Apetece-me comer carne, carne fresca e abundante. Entendes? – Entendo, meu velho – respondia o Coelho Saltitão, sempre mantendo alguma distância do

Leão, não fosse o rei querer resolver o problema do seu apetite com carne de coelho amigo.

In: Ondjaki (2008). O Leão e o Coelho Saltitão, Luanda: Editorial Nzila

1. Depois de os alunos lerem silenciosamente o texto, o professor faz-lhes as seguintes perguntas a que os alunos vão responder também oralmente.

a. Quem era o rei da floresta grande?b. Por que razão estava esfomeado?c. O Leão decidiu chamar um velho amigo. Quem?d. Por que razão achas que o leão o chamou?e. O Leão andava esfomeado. O que lhe apetecia comer?f. Porque é que o Coelho Saltitão mantinha uma certa distância do leão?


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2. Com base no mesmo texto, apresenta-se uma tipologia de exercício diferente. Fazem-se afirmações sobre o texto, tendo os alunos que assinalar se são verdadeiras ou falsas (V ou F).

O professor dá a seguinte indicação aos alunos:

“Depois de leres silenciosamente o texto, vais indicar se as afirmações que se seguem são verdadeiras ou falsas (V ou F).”

a. O Leão andava contente por comer ervas e peixe seco.

b. O Leão queria resolver o seu problema de fome.

c. O Leão gostava muito de carne fresca.

d. O Coelho era muito cauteloso.

e. O Leão era muito amigo do Coelho.

f. O rei não queria comer o Coelho.

3. Depois de os alunos lerem silenciosamente o texto O Tubarão, o professor faz-lhes as perguntas que se encontram a seguir e a que os alunos vão responder também oralmente.

O TubarãoEra um grande tubarão Um bicho sem coraçãoQue andava um dia a nadarViu um peixinho e pensou- Olha só!Mas que peixe mais bonitoP’ra me servir de jantar.

Era um peixinho assim:quase quase a ser comidopelo tal tubarão.Como é que vamos fazerse o tubarão quer comere é bicho sem coração?

- Vou-te comer ó peixinhoé pena não seres maiorseres assim pequenininho.

- Meu caro e grande senhorcomo é que me vai comer?Frito, grelhado ou cozido?- Queres lá ver!Peixe burro como tu nunca vi na minha vidavou-te comer vivo e cru.E é assim mesmo que eu gostode comer toda a comida.


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- Senhor Tubarão, eu apostoque não conhece um segredoé que os reis do mundo inteironão comem sem cozinheiroque lhe faça esse serviço.

- E que tenho eu com isso?- O senhor é rei do mar.É ou não é, tubarão?- Lá nisso tu tens razão.

In: Dario de Melo (2009). O tubarão (excerto). Contos para contar. Luanda: Texto Editores.

Perguntasa. Como era o tubarão?b. O que andava a fazer?c. Quem viu?d. Como reagiu o peixinho?e. O que pensou o tubarão?f. Achas que o tubarão compreendeu a resposta do peixe?g. O que significa a expressão “sem coração”?

4. Com base no mesmo texto, apresenta-se um exercício de escolha múltipla. Fazem-se afirmações sobre o texto, tendo os alunos que escolher e assinalar a única resposta correcta a partir de um conjunto de respostas.

O professor dá a seguinte indicação aos alunos:“Depois de leres silenciosamente o texto, lê as afirmações seguintes e escolhe a resposta correcta, assinalando-a com um X.”

4.1. De que tamanho era o tubarão?

a. Pequeno.

b. Médio.

c. Grande.

4.2. Como era o tubarão?

a. O tubarão tinha um bom coração.

b. O tubarão sofria do coração.

c. O tubarão era mau.

4.3. E o peixinho?

a. O peixinho era muito feio.

b. O peixinho era pequenino.

c. O peixinho era antipático.


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4.4. O tubarão queria comer o peixe:

a. grelhado.

b. vivo e cru.

c. cozido.

4.5. O Peixinho:

a. era muito tímido.

b. era convencido.

c. conseguiu enganar o tubarão.

4.6. O tubarão:

a. desistiu de comer o peixinho.

b. teve pena do peixinho.

c. foi-se embora.


– Releia e discuta em grupo o quadro “Competências de leitura a avaliar” no que se refere à Fluência na leitura - Compreensão da linguagem escrita, assim como o texto “Avaliar o desempenho da leitura dos alunos”. Agora, a partir dos exemplos apresentados, construa com o seu grupo de formação novas tarefas de avaliação da compreensão da linguagem escrita.

Pode utilizar textos narrativos, informativos ou propor a realização de pequenas tarefas para a avaliação da compreensão oral dos alunos.Apresentem as tarefas que planificaram ao grande grupo, evidenciando:

– as suas potencialidades e importância para a aprendizagem e avaliação da compreensão da linguagem escrita;

– algumas dificuldades sentidas na avaliação desta competência.


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Pense no que leu, analisou, debateu e registou, no decurso desta parte da formação sobre Compreensão da linguagem escrita. Reflicta sobre:



O que aprendi

O que recordei




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8. TAREFAS DE APROFUNDAMENTO E/OU DE AUTO-FORMAÇÃO

Neste ponto sugerem-se uma série de tarefas identificadas de acordo com os subcapítulos apresentados.

8.1. COMPREENSÃO DA LINGUAGEM ORAL

Em casa ou na escola durante os sábados dedicados à auto-formação, reflicta sobre as potencialidades do jogo do dominó poder constituir uma tarefa para desenvolver a compreensão oral dos alunos da 3ª classe. A partir do jogo “tradicional”, apresenta-se uma adaptação das suas regras. Propõe-se que construam um dominó para o desenvolvimento do vocabulário sobre o corpo humano ou outro que entendam relevante para a aprendizagem dos vossos alunos.Dominó (adaptado)

Fonte: http://www.semprefamilia.com.br/vocequerbrincar/wp-content/uploads/sites/30/2016/09/domino-

wallpaper-893522325.jpg

Como jogar:Antes de cada partida, colocam-se as 28 peças do dominó (feito previamente pelo professor sobre o corpo humano ou sobre objectos da sala de aula) em cima da mesa viradas para baixo. Baralham-se como se fossem cartas. Jogam 3 jogadores e tiram 7 peças de dominó cada um (ficam 7 no “baralho”). O número de dominós na sala de aula determina o número de grupos. Podem fazer-se 2 equipas, jogando em simultâneo; os restantes alunos observam e vão-se rodando os membros das equipas.Começa o jogo e o 1º jogador coloca um dominó na mesa, nomeando as duas imagens contidas na peça que jogou (o jogo roda no sentido dos ponteiros do relógio).O jogador seguinte coloca outra peça de dominó, tendo um dos lados de ser igual a um dos lados da peça de dominó que já está na mesa, identificando e nomeando a imagem representada e, assim, sucessivamente. Haverá sempre dois lados “abertos” a jogo e as peças de dominó correspondentes podem ser colocadas vertical ou horizontalmente.Cada jogador tem sempre de jogar. Se não tiver uma peça de dominó que possa jogar, o jogador terá que ir buscar ao “baralho” até conseguir fazer uma jogada. O jogo termina quando alguém acaba todas as suas peças de dominó, sendo esse o vencedor.Esta tarefa termina, quando todos os grupos de jogadores nomearem todas as imagens que constituem o dominó.Variante: cada grupo de jogadores vai atribuir uma função a cada imagem representada na peça de dominó que lhe sai. Ex: cabeça - serve para pensar; mão – serve para trabalhar, para escrever, para desenhar.


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EXEMPLOS DE DOMINÓS:

obtido em https://i1.wp.com/educanimando.com/wp-content/uploads/2016/02/ingles-partes-cuerpo-1.jpg

btido em https://aulapt.files.wordpress.com/2009/07/memo-dif1.jpg

8.2. LITERACIA EMERGENTE, CONSCIÊNCIA FONOLÓGICA E CONHECIMENTOS ALFABÉTICOS

A tarefa que a seguir se propõe consiste na construção de materiais para o desenvolvimento da Consciência Fonológica e dos Conhecimentos Alfabéticos.

Tarefa Leia o seguinte excerto de Fernandes (2004, pp.58-59) sobre Consciência Fonológica e Decifração:“As crianças que aprendem a ler e a escrever com sucesso dominam basicamente um conjunto de competências, demonstrando:

a. ser capaz de identificar palavras escritas usando conhecimentos das associações grafemas-fonema ou letra-som, possuindo muitas vezes um vocabulário de palavras que reconhecem pala sua forma global;

b. usar com frequência conhecimentos prévios, vocabulário, e estratégias de compreensão da linguagem escrita;

c. que quando uma criança, algum tempo após o início da aprendizagem formal da leitura e escrita, lê com fluência, assegura que a tarefa de leitura é uma tarefa com sentido e encontra – ou reforça – motivação para a leitura.


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As crianças começam a acumular estas competências muito antes do processo formal de aprendizagem [da leitura] se iniciar. Para a emergência de uma competência literácica é necessário assegurar que se reúnem oportunidades de desenvolver uma linguagem oral competente, incluindo o conhecimento fonológico da língua, o conhecimento de princípios sobre o impresso, o reconhecimento de letras, a consciência de regras de escrita e motivação para a leitura (Burns et al., 1999).”

1.1. Relacione o conteúdo deste texto com o quadro “Competências de leitura a avaliar”.

1.2. Podemos agora, após as leituras feitas e as tarefas realizadas, retomar uma sugestão feita no início do capítulo, ou seja, procurar respostas e discuti-las para as seguintes questões:

“Porque é que os meus alunos têm dificuldades na leitura? Será do método que uso? Será do programa? Será do manual? Será porque as crianças não falam a língua portuguesa ou porque têm pouco ou nenhum contacto com materiais escritos? Será que não tenho formação suficiente? Por onde devo começar?”

1.3. Elaborem diferentes tipos de testes de avaliação da leitura, no domínio da consciência fonológica e dos conhecimentos alfabéticos, para identificar os pontos fortes e fracos dos seus alunos. Depois de feitos, podem colocá-los numa caixa e utilizá-los, em sala de aula, como fichas formativas para ultrapassar as dificuldades dos alunos.

Exemplo:Actividade: Palavras diferentes com o mesmo princípio.Objectivo: Ouvir, isolar, repetir e identificar o som /R/ no início da palavra.Leitura : Roda na rua, poema de Cecília Meireles.

Roda na rua

A roda do carro

Roda na ruaA roda das danças.

A roda da ruarodava no barro.

Na roda da ruarodavam crianças

O carro, na rua

In Isto ou Aquilo, Rio de Janeiro, Editora Nova Fronteira (2006)

Descrição da Actividade: – Escolha de imagens que representem palavras do poema, por exemplo, roda

e rua. – Manipulação do som [R]em início de palavra.

Após a leitura expressiva pelo professor do poema Roda na rua, com realce para o som [R], apresentar a imagem de uma roda, pedir a nomeação da mesma às crianças, seguindo-se a pronuncia da palavra pelo professor prolongando a consoante inicial [RRRR]oda. Em grupo e individualmente, as crianças repetirão a palavra. Segue-se a imagem e a pronúncia de [RRRR]ua. Repete-se com outras palavras que comecem por [R] (rato, rio, ramo, rede, rico, Rui…, etc).

– Identificação e reconhecimento do som em posição inicial de palavra.Depois de cada criança ter identificado o som com que começam as palavras rato, rio, ramo, etc. o professor apresenta imagens cujas palavras podem começar por [R] e por sons diferentes, pedindo-lhes que levantem a mão direita para as palavras que começam por [R] e a esquerda para as restantes palavras.

In: Sim-Sim (2004). O ensino da Leitura: A Decifração. Lisboa: DGIDC. (pp.40-41)

Para vos ajudar vamos deixar três poemas, que podem ser utilizados para a tarefa que propomos. Procurar poemas de autores angolanos que escrevam para crianças será o mais adequado.


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Boa Noite Luciana O Pato - Patati Patata

A zebra quis ir passear mas a infeliz foi para a cama teve de se deitar porque estava de pijama.

In: Sidónio Muralha (1962). A televisão da bicharada. S.Paulo: Nórdica.

Luciana lia na lua recados de Luci e Ana, lembranças de Lina e Lana e saudades de Luana.

Bartolomeu Campos de Queirós (1992). Diário de

classe. São Paulo:Moderna.

Lá vem o pato Pata aqui, pata acolá Lá vem o pato Para ver o que é que háO pato pateta Pintou o caneco Surrou a galinha Bateu no marreco Pulou do poleiro No pé do cavalo Levou um coice Criou um galo.

Vinícius de Moraes

8.3. A CAPACIDADE DE DECIFRAÇÃO

Como possibilidades de tarefas para reflexão no tempo que destinar à sua auto-formação, nomeadamente nos sábados agendados para essa função, apresentamos algumas sugestões que poderá concretizar com os seus alunos. 1. Construção de um quadro com palavras relacionadas com uma determinada temática, evidenciadas

a uma cor diferente. O quadro deve ser apresentado aos alunos que, em voz alta, lêem a palavra em destaque (palavras familiares).

O exemplo que se segue contempla graus de parentesco.

A C P A I Z L T M C O PP T U C C P R I M O X YA V Ó T X X B D L N N IT W W O A P C E T I A RY V V S O B R I N H O WX M Ã E A T A E I P M NX H H R L V V I R M Ã UA L A V Ô T R Y Z Z L OB O R R M A D R I N H AT F I L H A D O W Y Z TR R B C V C U N H A D OQ T A E Y Z I R M Ã O X

2. Cartazes com palavras onde surge a mesma letra que o(a) professor(a) apresenta aos alunos para lerem as palavras, em voz alta.


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Apresentamos alguns exemplos onde podem surgir palavras familiares e não familiares.

Z F Bzebraazeite

azeitonaazulejodúzia

dezenabelezaazedoazulluz

frascofruto

Franciscofriofeiofrota

Áfricafunje

frangofrigideira

bonecabarcobolotacebolaabacatecubatadobrobolocubo

cabide

3. Cartazes com palavras onde surge o mesmo dígrafo6. Tal como na tarefa anterior os cartazes são apresentados aos alunos que devem ler, em voz alta, as palavras. Apresentamos alguns exemplos de onde podem constar palavras familiares e não familiares.

LH CH SS

alhomilhoabelhapalhailha

colheragulhabilhetepalhaçoorelha

chuvaChinachifre

cachimbochuveirofantoche

chefeconcha

borrachachinelo

assentoassistirassar

girassolpássaro

vassouraprofessora

passeiocarrossel

osso

4. O(a) professor(a) propõe um jogo aos alunos, para isso, constrói um conjunto de cartazes onde constam diversas palavras com as sílabas trocadas7. Os(as) alunos terão de ler as palavras apresentadas e descobrir a palavra correcta. Apresentamos exemplos com nomes de animais, mas poderá utilizar qualquer outra temática.

Palavras com duas sílabas:

taga xepei celintora ceal gagun

braco brele calcha

Solução:

gata peixe lincerato alce gunga

cobra lebre chacal

6 Nos exemplos apresentados, os dígrafos são consonantais, ou seja, a junção de duas letras que formam um som consonantal. Nota: consonantal refere-se às letras consoantes. 7 Atenção: não confundir palavras com sílabas trocadas com pseudopalavras.


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Palavras com três sílabas:

linhaga caçapa valocaposara lancapa cacomarafagi falobú rilago

Solução:

galinha pacaça cavaloraposa palanca macacogirafa búfalo gorila

Palavras de maior dimensão (mais de três sílabas):

buíbano pardoleo faneletecodilocro loantípe catarisu

Solução:

babuíno leopardo elefantecrocodilo antílope suricata

8.4. COMPREENSÃO DA LINGUAGEM ESCRITA

Durante os sábados dedicados à auto-formação, realize as seguintes tarefas de controlo da compreensão da leitura. Discuta a sua adequação e construa outras tarefas que se adaptem aos seus alunos.

Tarefa 1Leitura silenciosa de um texto narrativo e controlo da compreensão através de exercícios de completamento.

O professor pede aos alunos que leiam silenciosamente uma passagem do texto que se apresenta a seguir. Chama-lhes a atenção para o facto de este texto ter espaços em branco. Compreendê-lo implica que o aluno o complete, seleccionando e escrevendo a palavra apropriada em falta, a partir das três palavras dadas em cada um destes espaços.

Muadi, o regresso dos elefantes

Era uma vez uma manada de elefantes que vivia na Namíbia. Era uma família muito________ (unida/grande/desunida) graças à sabedoria e sensatez da sua matriarca, Muadi, uma elefanta de 58 anos. Com ela, podiam atravessar rios, florestas e savanas sem nada ________(conseguir/recear/ousar). Como todos os elefantes, Muadi possuía uma memória ________(pequena/curta/extraordinária). Mais do que isso, tinha a importante missão de ensinar tudo o que sabia aos seus descendentes, para ________(pagar/garantir/sustentar) a sua sobrevivência. Agora tinha chegado a altura de _______(contar/explicar/perguntar) um segredo nunca antes partilhado: a história da sua vida…

In: Costa, Adjany; Baptista, Sendi. (2016). Estórias para conservar. Angola: Fundação Kissama.


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Tarefa 2Leitura silenciosa de um texto narrativo e controlo da compreensão através de exercícios de múltipla escolha.O professor pede aos alunos que leiam silenciosamente o texto que se segue.Para demostrar a sua compreensão, o aluno tem de ler as afirmações seguintes e escolher a resposta correcta, assinalando-a com um X na sua folha de respostas.

Juba, a chita do deserto

O sol nascia esplendoroso sobre as areias do deserto do Namibe, no Parque Nacional do Iona. Depois de uma fria noite, a sua luz dava início a mais um longo e tórrido dia para todos os animais e plantas daquele local, adaptados a viver quase sem água.Para Juba, uma veloz chita fêmea, este amanhecer iluminava também as suas quatro lindas crias recém-nascidas.Como todas as fêmeas adultas desta espécie, a Juba era um animal solitário e uma mãe super-protectora, além de ser uma hábil caçadora.

In: Baptista, Sendi. (2013). Estórias para conservar. Angola: Fundação Kissama.

Leia as afirmações que se seguem e assinale a resposta correcta com um X.

1. A noite estevea. morna.b. gelada.c. agradável.

2. O sola. nascia lentamente.b. brilhava muito.c. estava muito quente.

3. O dia ia sera. agradável.b. fresco.c. muito quente.

4. A chita corria

a. devagar.b. normalmente.c. muito depressa.

5. Os seus filhotes

a. tinham nascido há uma semana.b. tinham acabado de nascer.c. tinham nascido há mais de um mês.

6. A Juba

a. gostava de caçar.b. caçava muito bem.c. tinha alguma dificuldade em caçar.


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8.5. TAREFA FINAL INTEGRADORA

Finalmente, propomos uma última tarefa que pode integrar qualquer um ou partes dos vários subtemas tratados neste capítulo sobre a Avaliação da Leitura.Observe a figura 1, Ciclo avaliativo contínuo para melhorar a aprendizagem dos alunos, que a seguir apresentamos.

Figura 1. Ciclo avaliativo.

Fonte: Évaluation des Compétences Fondamentales en Lecture (EGRA) (2016, p. 17) (adaptado).

A figura 1 sintetiza em parte o que tem vindo a ser afirmado relativamente à Avaliação. Todo o processo avaliativo tem por objectivo diagnosticar as dificuldades e melhorar os conhecimentos dos alunos. O professor, depois de ter aplicado algumas das tarefas propostas neste manual de Avaliação e/ou outras que possam ter sido construídas no decorrer da formação junto dos alunos, deve identificar as dificuldades manifestadas pelas crianças (diagnosticar), para depois poder intervir, elaborando propostas de tarefas de remediação e, finalmente, monitorizar o processo de ensino e aprendizagem, através da avaliação. Daí que possamos dizer que se trata de um ciclo avaliativo contínuo para melhorar a aprendizagem dos alunos.Assim, sugere-se que os professores realizem em grupo a tarefa acima proposta, isto é, identificar as dificuldades a partir das tarefas realizadas, elaborar novas propostas de tarefas e, finalmente, avaliar se o processo de ensino e aprendizagem teve ou não sucesso.


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9. OS TESTES EGRA - AVALIAÇÃO DA LEITURA NAS CLASSES INICIAIS

Luísa Solla

Em vários países, incluindo Angola, têm sido realizados testes EGRA8 cujos resultados revelam algumas das dificuldades que as crianças têm na leitura, enquanto meio de acesso ao significado, isto é, na compreensão do texto escrito. Algumas dessas dificuldades são: vocabulário reduzido a nível oral e escrito; desconhecimento dos sons das letras; leitura muito lenta (fluência reduzida) que dificulta o acesso ao significado e leva o aluno a desistir; desconhecimento da língua portuguesa, a nível oral. Na escola, a leitura é utilizada também para estudar e aprender os conteúdos das diferentes disciplinas e, se a leitura não for adquirida de forma automatizada pelos alunos, será dif ícil que todas as outras aprendizagens se realizem com sucesso e no tempo adequado.

O que é o EGRA?

O EGRA é um instrumento de avaliação diagnóstica, direccionado para a compreensão da leitura, destinado a alunos dos primeiros anos de escolaridade. É um teste de aplicação individual, com diferentes componentes, cuja utilização tem sempre o mesmo fim: avaliar a competência de leitura nos anos iniciais de aprendizagem. O Teste EGRA é composto por um conjunto de exercícios para avaliar a competência de leitura dos alunos das classes iniciais.

Objectivos do EGRA

– Fornecer aos professores informação sobre o desempenho dos alunos quanto às competências de leitura nos primeiros anos de escolaridade.

– Informar os responsáveis da Educação sobre as necessidades do sistema, tendo em vista a melhoria da qualidade do ensino.

Para que serve o EGRA?

O EGRA serve para:

i) diagnosticar competências de leitura dos alunos; ii) dar informações sobre algumas dificuldades dos alunos em relação à leitura. Com os resultados obtidos, podemos identificar alguns domínios em que é preciso agir, tanto na formação de professores, promovendo a sua actualização científica e pedagógica, como no sistema educativo, dando orientações aos responsáveis no sentido de reverem os programas e os manuais de ensino. Em alguns países, os exercícios EGRA têm vindo a ser usados para treinar os alunos e ajudá-los a melhorar as suas competências de leitura.

8 Early Grade Reading Assessment (avaliação da leitura nas classes iniciais).


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O EGRA não serve para: – Avaliar as crianças no sentido académico do termo: dar uma nota. – Punir ou premiar os professores, as escolas e as crianças pelos resultados dos testes. – Responsabilizar os pais e as famílias pelos resultados escolares. – Fazer comparações entre línguas.

LIÇÕES DO EGRAMuitos estudos realçam a importância atribuída às competências de leitura consideradas fundamentais para os alunos, a vários níveis: do sucesso académico; do sucesso profissional e integração social; do desenvolvimento pessoal. Por essa razão o ensino da leitura é fundamental na escola, desde muito cedo.A utilização destes exercícios pretende fundamentalmente uma intervenção precoce na iniciação à leitura procurando, assim, evitar o mais cedo possível o insucesso na aprendizagem, diminuindo o risco de abandono da escola. Por isso o EGRA refere as “classes iniciais” como o campo preferencial para a acção do professor.Os exercícios EGRA servem para testar formativamente as competências de leitura dos alunos, mas também podem ser usados como exercícios de treino para melhorar as competências de leitura.


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10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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AVALIAÇÃO PEDAGÓGICA: AS APRENDIZAGENS INICIAIS EM MATEMÁTICA

Catarina Delgado, Fátima Mendes, Joana Brocardo, José Duarte e Ana Maria Boavida


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ÍNDICE

Apresentação e Organização ........................................................................................................................................ 99

1. Identificação de Números ....................................................................................................................................1001.1. O que é a Identificação de Números? ...............................................................................................1001.2. Que Matemática envolve? ..........................................................................................................................1001.3. Como desenvolver a Identificação de Números? ............................................................................101

1.3.1. Tarefas-tipo 1: Determinar o número de elementos de um conjunto .................................1011.3.2. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 1 ................................1031.3.3. Tarefas-tipo 2: Representar um conjunto com um dado número de elementos ...............1041.3.4. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 2 ................................1051.3.5. Tarefas-tipo 3: Identificar números em diferentes contextos ...............................................1071.3.6. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 3 ................................1071.3.7. Tarefas-tipo 4: Identificar números representados em cartões ............................................1081.3.8. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 4 ...............................109

2. Discriminação de Números .................................................................................................................................1112.1. O que é a Discriminação de Números? ....................................................................................................1112.2. Que Matemática envolve? ..........................................................................................................................1112.3. Como desenvolver a Discriminação de Números? ................................................................................112

2.3.1. Tarefas-tipo 1: Comparar o número de elementos de dois conjuntos .................................1122.3.2. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 1 ................................1142.3.3. Tarefas-tipo 2: Representar e comparar o cardinal de dois ou mais conjuntos ............. 1162.3.4. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 2 ................................1182.3.5. Tarefas-tipo 3: Comparar números em diferentes contextos ...............................................1192.3.6. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 3 ................................1202.3.7. Tarefas-tipo 4: Comparar números representados em cartões (situações sem contexto) 1212.3.8. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 4 ................................122

3. Números em Falta .................................................................................................................................................1233.1. O que é Números em Falta? .......................................................................................................................1233.2. Que Matemática envolve? ..........................................................................................................................1233.3. Como desenvolver a identificação de Números em falta? ...................................................................128

3.3.1. Tarefas-tipo 1: Ordenar números naturais ................................................................................1293.3.2. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 1 ................................1303.3.3. Tarefas-tipo 2: Identificar regularidades em sequências ........................................................1313.3.4. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 2 ................................1313.3.5. Tarefas-tipo 3: Escrever termos próximos em sequências .....................................................1323.3.6. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 3 ................................1333.3.7. Tarefas-tipo 4: Expressar, por palavras, a generalização em sequências .............................1343.3.8. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 4 ................................135

4. Problemas de Palavras ..........................................................................................................................................1364.1. O que são Problemas de Palavras? ...........................................................................................................1364.2. Que Matemática envolve? ..........................................................................................................................1364.3. Como desenvolver a capacidade de resolução de Problemas de Palavras? ......................................137

4.3.1. Problemas-tipo 1: mudar (resultado desconhecido) ...............................................................1394.3.2. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de problemas-tipo 1 .........................1414.3.3. Problemas-tipo 2: combinar (resultado desconhecido) ..........................................................1454.3.4. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de problemas-tipo 2 .........................1464.3.5. Problema-tipo 3: comparar (mudança desconhecida) ............................................................1494.3.6. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de problemas-tipo 3 .........................152


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4.3.7. Problema-tipo 4: Mudar (início desconhecido) .......................................................................1574.3.8. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de problemas-tipo 4 .........................1574.3.9. Problema-tipo 5: Partilhar equitativamente ..............................................................................1594.3.10. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de problemas-tipo 5 .........................1614.3.11. Problema-tipo 6: juntar grupos com o mesmo número de elementos ................................1634.3.12. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de problemas-tipo 6 .........................165

5. Adição e Subtracção ..............................................................................................................................................1685.1. O que é a Adição e Subtracção? ................................................................................................................1685.2. Que Matemática envolve? ..........................................................................................................................1685.3. Como desenvolver a Adição e Subtracção? ............................................................................................169

5.3.1. Tarefas-tipo 1 – Adicionar números até 20 ...............................................................................1705.3.2. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 1 ................................1715.3.3. Tarefas-tipo 2: Subtrair números até 20 .....................................................................................1725.3.4. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 2 ................................1735.3.5. Tarefas-tipo 3: Adicionar números até 100 usando cadeias numéricas ..............................1735.3.6. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 3 ................................1745.3.7. Tarefas-tipo 4: Subtrair números até 100 usando cadeias numéricas ..................................1755.3.8. Perspectivar a aprendizagem a partir da exploração de tarefas-tipo 4 ................................176

6. Tarefas de Auto-Formação para os Professores ..............................................................................................1786.1. Identificação e discriminação de números .............................................................................................1786.2. Números em falta ........................................................................................................................................1796.3. Problemas de palavras ................................................................................................................................1806.4. Adição e subtracção ....................................................................................................................................182


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APRESENTAÇÃO E ORGANIZAÇÃO

Vários estudos realçam a importância das aprendizagens iniciais em Matemática e a sua relevância para o sucesso escolar dos alunos, tanto em Matemática como noutras disciplinas. Destaca-se, igualmente a necessidade de avaliar o que cada aluno sabe para poder apoiar a progressão dos seus conhecimentos e competências. No caso da Matemática tem vindo a ser destacada a importância de desenvolver um conjunto de competências que se designam habitualmente por ‘sentido de número’.Sentido de número é um constructo que inclui, de modo integrado, o conhecimento dos números, o conhecimento das operações e a aplicação do conhecimento dos números e das operações. Em contraste com aprendizagens iniciais muito focadas nos processos algorítmicos de cálculo, o sentido de número dá ênfase e à capacidade de usar mentalmente a Matemática e de a utilizar para interpretar o mundo que nos rodeia, tirando partido das relações entre números e entre operações aritméticas e suas propriedades, para fazer comparações, analisar resultados e criticar conclusões. Este capítulo foca a avaliação diagnóstico em cinco tópicos basilares1 do desenvolvimento de sentido de número:

– Identificação de Números;

– Discriminação de Números;

– Números em Falta;

– Problemas de Palavras;

– Adição e Subtracção;

Nas secções seguintes focamos cada um destes tópicos, explicando os aspectos matemáticos que incluem e sugerimos tarefas para os trabalhar.Partindo da apresentação de exemplos de tarefas e da análise de episódios a elas associados, damos particular atenção ao modo de diagnosticar o que cada aluno sabe e de apoiar o desenvolvimento de sentido de número de cada criança. Neste âmbito, referimos várias vezes o Manual de Matemática para Professores do Ensino Primário (MMPEP)2 que consideramos um importante recurso para apoiar o professor na análise dos itens propostos e na identificação dos conhecimentos matemáticos das crianças.

1 Estes tópicos são igualmente considerados no EGMA, uma sigla adoptada para designar Early Grade Mathematics Assessement (Avaliação em Matemática nos anos iniciais). O EGMA é um instrumento de avaliação internacional, que inclui uma bateria de testes, que visa detectar e dar indicações aos sistemas educativos sobre dificuldades nas aprendizagens iniciais das crianças.2 Boavida, A.; Delgado, C.; Mendes, F.; Brocardo, J. & Duarte, J. (2017). Manual de Matemática para Professores do Ensino Primário. Luanda: Fundação Calouste Gulbenkian, Banco Mundial, República de Angola.


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1. IDENTIFICAÇÃO DE NÚMEROS

1.1. O QUE É A IDENTIFICAÇÃO DE NÚMEROS?

A Identificação de números diz respeito a todos os conhecimentos necessários para reconhecer correctamente, por exemplo, números dispostos numa tabela com 20 números, como a seguinte:

3 9 0 12 30

27 55 92 56 48

18 31 67 89 65

208 145 337 832 989

Este tópico envolve a memorização do numeral, das palavras associadas a cada número e da grandeza que cada número representa. Na base desta, tal como de outras competências associadas ao desenvolvimento do sentido de número, está a contagem e a correspondência um a um. No entanto, a Identificação de Números situa-se num plano que exige maior abstracção e que é fundamental desenvolver para que as crianças consigam progredir para um domínio da Matemática que envolve a manipulação simbólica e a abstracção.

1.2. QUE MATEMÁTICA ENVOLVE?

Este tópico incide na leitura oral no sistema de numeração decimal (ver MMPEP, p. 14 – 20). Tratando-se de um sistema de posição seria de esperar que a leitura de cada número se fizesse a partir da leitura sucessiva dos seus símbolos, ou seja, o número 245 ler-se-ia ‘dois, quatro, cinco’. Isto é o que acontece com todos os outros sistemas de numeração de posição. Por exemplo, 125 (base 7) lê-se ‘um, dois, cinco’ ou 101011 (base 2) lê-se ‘um, zero, um, zero, um, um’.No entanto, o sistema de numeração decimal, também designado por sistema de numeração indo-árabe, foi progressivamente substituindo o sistema de numeração romano, inicialmente muito usado na Europa. Ao nível da oralidade, as palavras associadas à leitura aditiva dos numerais romanos era igualmente usada para a leitura dos numerais indo-árabes. Por isso, o sistema de numeração oral decimal é misto (posicional e aditivo) e não só posicional. Vejamos mais em detalhe esta distinção. Como se sabe, o sistema de numeração indo-árabe é um sistema posicional pois a cada símbolo de um numeral está associado um valor de posição. Quando pensamos no número 245 sabemos que 2 vale 200 unidades, 4 vale 40 unidades 5 vale cinco unidades. Ao fazer a sua leitura oral, usamos esta informação e adicionamos, tal como se faz no sistema de numeração romano, dizendo ‘duzentos e quarenta e cinco’. Consideremos o número 457 que se representa no sistema de numeração romano por CDLVII. Ao ler CDLVII pensa-se que:

CD – é quatrocentos pois a quinhentos tirei cem.

L – é cinquenta.

VII – é sete.


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A leitura de CDLVII será então a que liga aditivamente quatrocentos com cinquenta com sete ou seja será quatrocentos e cinquenta e sete.

Para ler o número 457 procede-se de modo análogo:

4 representa 4 x 102 ou seja 4 x 100 = 400 e que lemos quatrocentos.5 representa 5 x 101 ou seja 5 x 10 = 50 e que lemos cinquenta.7 representa 7 x 100 ou seja 7 x 1 = 7 e que lemos sete.

A leitura de 457 é a que liga aditivamente quatrocentos com cinquenta com sete ou seja será quatrocentos e cinquenta e sete.A classificação dos vários sistemas de numeração como sendo de posição, aditivos ou mistos ultrapassa o âmbito do que as crianças do Ensino Primário devem aprender. No entanto, esta distinção ajuda o professor a melhor perceber características dos sistemas de numeração que estão subjacentes ao trabalho que desenvolve com as crianças.

1.3. COMO DESENVOLVER A IDENTIFICAÇÃO DE NÚMEROS?

A aprendizagem da leitura oral dos números não se faz por simples memorização, alicerçando-se em conhecimentos essenciais que importa desenvolver desde o início do Ensino Primário.A Identificação de Números assenta na contagem, na compreensão de que o cardinal de um conjunto é o último valor contado, na identificação do numeral que representa o cardinal de um conjunto e finalmente, na identificação dos números a partir da sua representação simbólica. Por isso, consideramos quatro tarefas-tipo, associadas a cada um destes aspectos:

– Determinar o número de elementos de um dado conjunto;

– Representar um conjunto com um dado número de elementos;

– Identificar números em diferentes contextos;

– Identificar números representados em cartões (situações sem contexto).

Estas tarefas-tipo devem ser exploradas a partir de numerosos exemplos, tendo em conta o que cada aluno sabe e perspectivando o que ainda precisa de compreender. Por isso, o professor deve conseguir interpretar os procedimentos dos alunos, de modo a decidir sobre os aspectos que importa ainda que cada um trabalhe mais. Nos pontos seguintes apresentamos um exemplo de cada um dos tipos de tarefas, analisamos diferentes respostas de alunos, identificando o que o aluno sabe e o que precisa ainda de aprofundar.

1.3.1. TAREFAS-TIPO 1: DETERMINAR O NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO

Estas tarefas, associadas à contagem do número de objectos de um dado conjunto, são essenciais para desenvolver os conhecimentos numéricos dos alunos pelo que devem ser realizadas com bastante frequência no início da 1.ª classe. Os alunos podem, por exemplo, contar quantos meninos há na turma, quantas janelas há na sala, quantas meninas usam saias ou quantos rebuçados estão numa caixa.


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Exemplo: Contar pedrinhasA professora organiza pequenos montes de pedrinhas e pede aos alunos para as contar. O número de pedrinhas de cada monte pode ser diferente mas importa, pelo menos numa fase inicial, que não haja montinhos com um número de pedras muito superior ao de outros montinhos. Por exemplo, poderá ter 13, 15, 16 ou 19 pedras em cada montinho.

EPISÓDIO 1: Mara conta as pedras de um montinho com 15 pedrinhas

Mara: Um (separa uma pedrinha do monte e coloca-a à esquerda), dois (separa uma outra pedrinha do monte e coloca-a à esquerda), três (separa duas outras pedrinhas do monte e coloca-as à esquerda), quatro (separa duas outras pedrinhas do monte e coloca-as à esquerda), cinco (separa uma outra pedrinha do monte e coloca-a à esquerda), ..., onze. Professora: Quantas pedrinhas há neste montinho? Mara: Há onze.Professora: Podes contar outra vez para ver se contaste bem?

(Mara conta uma segunda vez mas continua a enganar-se pois desloca duas pedras de uma vez e conta como se tivesse deslocado apenas uma. Por isso, conta 14 pedrinhas.)

Professora: Então quantas pedrinhas há no montinho?Mara: Catorze.Professora: Mas há bocado tinhas dito que havia onze. Há onze ou há catorze? Mara: Tenho de contar outra vez.

EPISÓDIO 2: Nelson conta as pedras de um montinho com 11 pedrinhas

Nelson começa por espalhar as pedras para as poder contar mais facilmente. Depois aponta as pedras, uma a uma, e conta.Nelson: Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, onze .Professora: Então quantas pedrinhas há neste montinho?

(O aluno não responde. A professora insiste:) Professora: Nelson, então diz lá quantas pedras contaste. Nelson (volta a contar): Ahh uma, duas, três, ..., onze.Professora: Então quantas pedras são?Nelson (depois de alguma pausa responde hesitante): Onze?

EPISÓDIO 3: Pedro conta as pedras de um montinho com 19 pedrinhas

Pedro (desloca as pedras uma a uma): Uma, duas, três, quatro, cinco seis, sete, oito, nove, dez, onze, ..., dezanove.Professora: Então quantas pedrinhas há neste montinho?Pedro: Há dezanove.


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1.3.2. PERSPECTIVAR A APRENDIZAGEM A PARTIR DA EXPLORAÇÃO DE TAREFAS-TIPO 1

Mara consegue contar até catorze sem se enganar e percebe que o número de elementos de um conjunto corresponde ao último número que contou. Por isso, primeiro diz que há onze pedrinhas e depois, quando volta a contar, indica que há catorze. No entanto, ainda não consegue fazer a correspondência entre o número de objectos que desloca e a contagem que efectua. Por isso, por exemplo, desloca dois objectos e conta apenas um. Há muitos alunos que, tal como Mara, passam por esta fase. Habitualmente basta insistir um pouco na necessidade de fazer uma correspondência entre os objectos que se deslocam e a contagem, ou seja, clarificar a importância de fazer uma correspondência um a um deslocando um objecto e adicionando um:

Para alunos como Mara pode também ser facilitador da sua progressão pedir a um colega que a ajude a perceber o que ela está a fazer mal e a deslocar os objectos de acordo com a contagem que vai realizando. A partir de uma experiência continuada de contar diferentes objectos concretos, os alunos como Mara ultrapassam este tipo de dificuldade e passam a contar correctamente.

Nelson sabe contar até 11 e faz correctamente a correspondência termo a termo. No entanto, precisa de interiorizar que o último número contado corresponde ao número de elementos do conjunto de objectos que contou. Para isso, importa realizar várias experiências de contagem com o objectivo de identificar o número de elementos de um dado conjunto de objectos. Um tipo de tarefa que ajuda Nelson a evoluir é:

Propor, por exemplo, que represente objectos de modo que o número de objectos desenhados corresponda ao que é indicado e que explique como pensou. Por exemplo, Nelson desenha 12 bolinhas:

Depois, quando o professor pede a Nelson para explicar como pensou, ele poderá contar as bolinhas desenhadas um, dois, três, ... doze e ir percebendo que o que fez está certo quando o último valor contado (neste caso doze) corresponde ao numeral indicado inicialmente.


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Pedro sabe contar correctamente objectos um a um. Por isso, é importante continuar a desafiá-lo propondo contagens de conjuntos formados por um maior número de objectos e em que use não só as contagens de um em um, mas também de dois em dois, três em três, quatro em quatro, cinco em cinco, ..., dez em dez. Uma tarefa adequada para apoiar a evolução de Pedro poderá ser: Determinar o número de objectos de cada conjunto:

Na tabela 1.1 resumimos a análise destes episódios e concretizamos sugestões para apoiar a progressão dos alunos.

Tabela 1.1. Síntese da análise dos episódios 1, 2 e 3.

Mara Nelson Pedro

Sabe Contar até 14. O último número contado corresponde ao número de elementos do conjunto de objectos que contou.

Contar até 11.Fazer a correspondência entre os objectos contados e a contagem.

Contar até 19.O último número contado corresponde ao número de elementos do conjunto de objectos que contou.

Precisa saber Fazer a correspondência entre os objectos contados e a contagem.

O último número contado corresponde ao número de elementos do conjunto de objectos que contou.

Contar objectos de 2 em 2, de 3 em 3, de 4 em 4, de 5 em 5, ... .

Como evoluir Contar vários conjuntos de objectos, tendo em atenção que se se adiciona 1 na contagem, desloca-se apenas um objecto.

Formar conjuntos com um determinado dado número de elementos e verificar por contagem que a resposta está certa.

Fazer contagens de objectos dispostos de uma forma que favoreça a formação de grupos de contagem como se sugere anteriormente para os grupos de 2 e de 5.

1.3.3. TAREFAS-TIPO 2: REPRESENTAR UM CONJUNTO COM UM DADO NÚMERO DE ELEMENTOS

Este tipo de tarefas incide na relação entre o numeral e número de elementos que ele representa, estando profundamente ligadas à compreensão do sistema de numeração decimal.

Exemplo: Conjuntos com 14 elementosO professor pede aos alunos que desenhem no seu caderno um conjunto com o número de objectos identificado na etiqueta:


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EPISÓDIO 4: A representação de Luciano

O professor nota que Luciano desenha cinco objectos colocando 1 do lado esquerdo, mais separado dos restante 4 objectos.

Professor: Explica lá como fizeste.Luciano: Fiz uma bola e depois quatro.Professora: E está a representar 14 bolas? (Como o aluno não responde a professora pede-lhe para contar as bolas que representou). Luciano: Um , dois, três, quatro cinco. Cinco bolas.Professora: Mas eu pedi quantas?Luciano: Ahhhh ... catorze. Tenho de desenhar mais.

EPISÓDIO 5: A representação de Adelino

Adelino representa 14 objectos da seguinte forma

Professor: Como sabes que a tua resposta está certa?Adelino: Então eu fui desenhando e dá. Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, onze, doze, treze e catorze.

EPISÓDIO 6: A representação de Luísa

Por sua vez, Luísa propõe a representação: (as bolas estão juntas 2 a 2)

Professor: Como sabes que a tua resposta está certa? Luísa: Então 2 mais 2 é quatro. Mais 2 seis, mais 2 oito, mais 2 dez, mais 2 doze, mais 2 catorze. Há catorze.


Luciano, embora saiba contar correctamente até 14 ainda não interiorizou o numeral que representa esta quantidade. Por isso, inicialmente, interpreta 14 como 1 e 4 e não como 10+4. Para alunos como Luciano importa trabalhar a ideia de valor de posição que está associada ao nosso sistema de numeração. O professor pode pedir para partir de determinado número de objectos (pauzinhos, palhinhas, berlindes, ...) para organizar a formação de agrupamentos das várias ordens.

A releitura das páginas 14 a 20 do MMPEP ajuda o professor a melhor perceber a dificuldade dos alunos como Luciano e a perspectivar modos de as ultrapassar.


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Adelino e Luísa sabem representar a quantidade a que corresponde o numeral 14. Adelino ainda não estrutura a representação da quantidade, ao passo que Luísa já o começa a fazer, agrupando os objectos dois a dois. As tarefas como as que sugerem a contagem de objectos a partir da formação de pares são adequadas para apoiar a evolução de Adelino: Junta os pares e determina o número total de objectos:

Luísa pode ser desafiada a comparar modos de dispor 32 objectos que facilitem a sua contagem: Qual a disposição dos berlindes que te parece facilitar mais a contagem? Porquê?

Propõe uma disposição que te pareça que facilite a contagem de 23 pauzinhos.

Na tabela 1.2 resumimos a análise destes episódios e concretizamos sugestões para apoiar a progressão dos alunos.

Tabela 1.2 . Síntese da análise dos episódios 4, 5 e 6

Luciano Adelino Luísa

Sabe Contar até 14. Contar até 14, associando o numeral à quantidade que ele representa.

Contar de 2 em 2 até 14.

Precisa saber Identificar o numeral que representa uma dada quantidade.

Estruturar a representação das quantidades em grupos de objectos de modo a facilitar a contagem.

Escolher a estruturação da quantidade que é mais ‘eficaz’.

Como evoluir Usar pauzinhos, palhinhas, berlindes, ... para organizar a formação dos agrupamentos de várias ordens.

Formar pares de objectos e contar a partir da formação dos pares obtidos.

Comparar formas de dispor um determinado número de objectos de modo a facilitar a sua contagem.


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1.3.5. TAREFAS-TIPO 3: IDENTIFICAR NÚMEROS EM DIFERENTES CONTEXTOS

Este tipo de tarefas faz apelo à articulação entre a quantidade (numerosidade) de cada número e os contextos que eles podem representar. Estas tarefas, não muito habituais no Ensino Primário, são fundamentais para dar sentido ao valor que cada número representa num dado contexto e para desenvolver a capacidade de previsão de valores numéricos associados a uma dada situação real.

Exemplo: O professor propõe aos alunos que registem por escrito números que possam e não possam associar a contextos de:

Idade dos pais de meninos da classeIdade das crianças da classe Preço de um sumoMeses de vida de um menino de 4 anosPáginas de um livro

EPISÓDIO 7: Anderson regista 32 e 27 como possibilidade de números que representam a idade dos pais

Professor: Então que idades é que os pais poderão ter? Anderson: Os pais podem ter vinte e sete e trinta e dois anos.Professor: Só? Não há mais possibilidades?Anderson: Não. O meu pai tem trinta e dois anos e a minha mãe tem vinte e sete.

EPISÓDIO 8 : Isabel explica como sabe que os números que indica podem ser o número de meses de um menino com 4 anos

Isabel: O meu irmão vai fazer 4 anos. Quando tinha 1 ano eram 12 meses. Agora tem ... deve ter 40 meses e .... Mais de 40 meses.


Anderson identifica números que podem ser incluídos num dado contexto (neste caso, o contexto das possíveis idades dos pais das crianças da classe) mas fixa-se apenas nos casos particulares que conhece. Sabe dois possíveis valores numéricos (a idade dos seus pais) e não consegue ainda perspectivar a importância de conseguir indicar outros valores. O seu ‘mundo das idades dos pais’ está limitado à idade que, de facto, os seus pais têm. Para alunos como Anderson o professor pode pedir-lhe que averigúe qual a idade dos pais de mais três crianças da classe. Depois, pode indicar números solicitando que indique quais os que poderá ou não associar à idade dos pais dos meninos da classe:

Rodeia os números que pensas que não podem traduzir a idade dos meninos da tua classe:

107 28 11 39 67 87 256 1 5 809 453 45


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Isabel já consegue estabelecer relações numéricas úteis para indicar possibilidades de números que possam estar associados a um dado contexto (no exemplo, o número de meses de uma criança com 4 anos). No entanto, ainda não consegue sistematizar a informação que conhece para generalizar, indicando, neste caso, todos os valores numéricos que podem traduzir a idade em meses de uma criança de 4 anos.

Para alunos como Isabel poderá ser importante incentivar a formulação de generalizações, a partir da análise e do uso de representações adequadas para resolver problemas como o seguinte: Representa na recta o número de meses de um menino que faz hoje 2 anos. E onde poderás assinalar todos os meninos que têm 2 anos?

Na tabela 1.3 resumimos a análise dos episódios anteriores.

Tabela 1.3. Síntese da análise dos episódios 7 e 8

Anderson Isabel

Sabe Identificar números que traduzam atributos como a idade mas limita-se a indicar os números a eles associados para os casos particulares que conhece.

Identificar números que traduzam várias possibilidades para um dado atributo a partir da análise das relações que é possível estabelecer num caso particular que conhece.

Precisa saber Identificar números que traduzam mais casos de um mesmo atributo, sabendo, por exemplo, que 35 é um valor possível para a idade de uma mãe de um menino de 7 anos e que 8 ou 76 não o é.

Identificar todos números que traduzam as várias possibilidades para um dado atributo a partir da análise das relações que é possível estabelecer num caso particular que conhece.

Como evoluir Fazer uma pesquisa registando a idade dos meninos da sua classe e indicar outros valores possíveis para a idade dos pais.

Sistematizar o modo de generalizar a partir do contexto que conhece.

1.3.7. TAREFAS-TIPO 4: IDENTIFICAR NÚMEROS REPRESENTADOS EM CARTÕES

Este tipo de tarefas faz apelo à articulação entre o conhecimento do sistema de numeração de posição escrito e o sistema de numeração de posição oral (sistema de numeração misto). As crianças devem integrar o que sabem sobre o valor de posição com a sua leitura. Por isso, ao verem o algarismo 5:

na ordem zero devem ler ‘cinco’;na ordem um devem ler ‘cinquenta’; na ordem dois devem ler ‘quinhentos’.


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No Ensino Primário são relativamente frequentes os exercícios associados à leitura dos números. No entanto, é mais habitual ser pedido que essa leitura seja registada por escrito (representar por extenso). Note-se que este tipo de tarefa não corresponde ao que se pede no EGMA, que se foca exclusivamente na leitura oral (e não por escrito) dos números.

Exemplo: O professor mostra tabelas preenchidas com números e pede aos alunos para os lerem oralmente.

EPISÓDIO 9: André lê uma tabela com números até 25

2 4 9 12

3 7 22 23

18 25 15 20

André olha para a tabela e lê os números à medida que o professor os aponta, seguindo a ordem da tabela.

André: Dois, quatro, nove, ... doze, três, sete, ... dois e dois.Professor: Dois e dois? Não é assim que se lê, pois não?André: Não me lembro como se lê.Professor: Tenta lá lembrar-te. Começa a contar a partir de 15.André: Quinze, dezasseis, dezassete, dezoito, dezanove ... vinte, vinte e um, vinte e dois.Professor: Então como se lê este número (apontado para 22)?André: Vinte e dois.

EPISÓDIO 10: Fátima lê uma tabela com números entre 100 e 567

100 150 107 160

123 51 78 313

400 500 567 501

Fátima (lê os números apontando-os com o dedo): “cem, cento e cinco, cento e sete, cento e seis, cento e vinte e três, cinquenta e um, setenta e oito, trezentos e treze, ...”

Professora: Espera. Quando apontaste este número (indica 150) leste como?


André sabe contar de um em um e identifica correctamente vários números. No entanto, ainda tem alguma dificuldade em identificar números com mais do que um algarismo que lê incorrectamente, indicando a leitura de um algarismo seguida da leitura do outro algarismo.André precisa de praticar a identificação oral de números com dois algarismos, lendo sequências que envolvem diferentes níveis de dificuldade, como no exemplo seguinte:


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Lê em voz alta os seguintes números:

21 22 24 36 19 30 31 33 36

20 34 43 21 45 12 34 76 68

79 77 67 54 76 89 91 87 73

Fátima sabe identificar correctamente os números com dois algarismos e muitos números com três algarismos. No entanto, na leitura de números com três algarismos, tem ainda dificuldade em articular a leitura do 0 com o valor de posição e regride para a ideia de que ele não representa ‘nada’. Os alunos como Fátima costumam ultrapassar esta dificuldade com relativa facilidade. Muitas vezes basta o professor sugerir que pensem um pouco no modo como leram um deles, para os alunos se aperceberem do que estão a fazer mal:

A leitura de pares de números como os seguintes pode igualmente apoiar a evolução destes alunos:

250 205103 130770 707980 908

Na tabela 1.4 resumimos a análise dos episódios 9 e 10.

Tabela 1.4: Síntese da análise dos episódios 9 e 10

André Fátima

Sabe Identificar correctamente alguns números até 100.

Identificar correctamente os números com dois algarismos e muitos números com três algarismos.

Precisa saber Identificar correctamente todos os números até 100.

Identificar correctamente os números com três algarismos mesmo no caso em que um deles é 0.

Como evoluir Identificar os números em sequências com diferentes graus de dificuldade.

Identificar pares de números do tipo a0b e ab0.


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2. DISCRIMINAÇÃO DE NÚMEROS

2.1. O QUE É A DISCRIMINAÇÃO DE NÚMEROS?

A Discriminação de Números diz respeito aos conhecimentos necessários para comparar correctamente a grandeza relativa de números, por exemplo, dispostos dois a dois numa tabela como a seguinte:

8 6 93 78

13 24 153 146

38 23 287 534

68 59 634 643

67 65 965 867

Este tópico envolve, sobretudo, compreender a grandeza relativa dos números, cuja aprendizagem se foca em conhecimentos essenciais que é necessário desenvolver desde o início do Ensino Primário. Ser capaz de comparar a grandeza de dois números é um aspecto, a par de outros, associado ao desenvolvimento do sentido de número e que se fundamenta na relação de ordem que é possível estabelecer no conjunto dos números naturais.


A Discriminação de Números inclui a compreensão da grandeza relativa dos números, associada à relação de ordem que é possível estabelecer dados dois números naturais. Perante dois números naturais diferentes é sempre possível dizer qual deles é o maior e qual é o menor.A compreensão sobre a grandeza dos números está associada à ideia de inclusão hierárquica, ou seja, que um número, no sentido cardinal, inclui sempre os números precedentes. Está ainda associada à ideia que os números aumentam um a um e que “encaixam” uns nos outros, também um a um. A noção de inclusão hierárquica e, consequentemente, a compreensão da grandeza relativa de dois números é fundamental para as crianças serem capazes de contar a partir de um número para chegarem a outro. Perceber que 8 é maior que 6 implica perceber que um conjunto com 6 elementos tem menos elementos que o que tem 8. Inclui ainda perceber que se se adicionar 2 elementos ao conjunto que tem 6, este ficará com 8. Esta percepção está associada à noção de cardinal e à ideia de inclusão hierárquica, ou seja, perceber que o 8 ‘contém’ o 6 e que posso contar desde o 6 até ao 8.Compreender a grandeza relativa de dois ou mais números é essencial na resolução de problemas numéricos – está associada à determinação de possíveis respostas para um problema, de acordo com as condições propostas e à identificação da plausibilidade de uma solução encontrada.Por exemplo, se nas condições iniciais de um problema se refere a procura de uma solução que corresponda a um número maior que 25, e se foi encontrada uma possível solução igual a 17, esta pode ser excluída, uma vez que corresponde a um número menor. Um raciocínio semelhante poderá ser efectuado ao encontrar uma solução de um problema que não seja possível, dada a sua ordem de grandeza.A Discriminação de Números, intimamente relacionada com a Identificação de Números, pois envolve a memorização do numeral, das palavras a ele associadas e a grandeza que representa, vai mais longe,


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uma vez que também implica a comparação da grandeza de dois números, a partir da sua representação simbólica. Por exemplo, implica identificar que se tivermos dois números, 23 e 45, o maior deles é o 45. Mas se o mesmo número 45 for comparado com 69, então 45 já não é o maior, mas o menor dos dois números. Ou seja, a grandeza relativa de um número é sempre determinada por comparação com outro, podendo variar de acordo com a grandeza do outro número com o qual é comparado.Comparar a grandeza relativa de dois números está, também, relacionado com a percepção do valor de posição dos dígitos (ou algarismos) num número. Implica perceber, por exemplo, que o algarismo 7 no número 27 tem um valor de posição igual a 7, diferente do que no número 74, em que vale setenta ou sete dezenas. A facilidade ou dificuldade na Discriminação de números pode estar associada às características dos números que estão a ser comparados. Geralmente, é mais fácil comparar números que estão muito ‘longe’ uns (como por exemplo, 23 e 75) do que os que estão mais ‘próximos’ um do outro (como por exemplo, 42 e 39).

2.3. COMO DESENVOLVER A DISCRIMINAÇÃO DE NÚMEROS?

A Discriminação de Números assenta, para além dos aspectos mencionados a propósito do tópico Identificação de Números, na comparação do número de elementos de dois conjuntos, na representação e comparação do cardinal de dois ou mais conjuntos e, finalmente, na comparação de números em situações com e sem contexto. Por isso, consideramos quatro tarefas-tipo, associadas a cada um destes aspectos:

– Comparar o número de elementos de dois conjuntos;

– Representar e comparar o cardinal de dois ou mais conjuntos;

– Comparar números em diferentes contextos;

– Comparar números representados em cartões (situações sem contexto).

Estas tarefas-tipo devem ser exploradas a partir de numerosos e diversificados exemplos, considerando o que cada aluno sabe e perspectivando o que ainda precisa de compreender. Para isso, o professor deve ser capaz de interpretar o que fazem e dizem os alunos em cada momento, de modo a poder decidir o que é essencial propor-lhes para que estes progridam na sua aprendizagem. Nas subsecções seguintes apresentamos um exemplo de cada um dos tipos de tarefas e analisamos diferentes respostas de alunos, identificando o que cada um sabe e o que necessita, ainda, de aprofundar.

2.3.1. TAREFAS-TIPO 1: COMPARAR O NÚMERO DE ELEMENTOS DE DOIS CONJUNTOS

As tarefas relacionadas com a comparação do número de objectos de dois conjuntos são fundamentais para desenvolver os conhecimentos numéricos dos alunos, em particular, para compreender a grandeza relativa dos números, pelo que devem ser realizadas com bastante frequência no início da 1ª classe. Os alunos podem, por exemplo, comparar o número de lápis com o número de esferográficas que há na sala; o número de meninos de uma classe e de outra, comparar o número de vidros que há em cada janela da sala (no caso de haver pelo menos duas), comparar o número de meninas que usam saias com


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as que usam calças num determinado dia; comparar o número de berlindes que há numa caixa com o número de berlindes que há noutra caixa. Nestas comparações há sempre dois tipos de perguntas que podem ser feitas e que correspondem a identificar o maior, ou o menor número, depois de realizada a comparação. Por exemplo, perante duas caixas com diferentes números de berlindes o professor pode perguntar: ‘Em qual das caixas há um maior número de berlindes? Quantos há a mais?’ ou então ‘Em qual das caixas há um menor número de berlindes? Quantos há a menos?’Sugere-se que o professor vá alternando estes dois tipos de perguntas em diferentes tarefas.

Exemplo: Comparar montes de pedrinhasA professora organiza dois montes de pedrinhas e pede aos alunos para identificarem o número de pedrinhas que tem cada monte e qual o que tem mais. Numa fase inicial, o número de pedrinhas em cada monte não deve ser muito diferente, para que haja a necessidade de contar as pedrinhas. Podem ser, por exemplo, 8 e 10 pedrinhas, dispostas aleatoriamente em montinho.

EPISÓDIO 1: Mateus compara as pedrinhas dos dois montinhos

Mateus separa as pedrinhas de um dos montinhos e conta-as uma a uma.Mateus: Uma, duas, três, quatro, …, oito. Este tem oito pedrinhas. Professora: Quantas pedrinhas há no outro montinho? Mateus: Uma, duas, três, …, dez pedrinhas.Professora: Então qual é o monte que tem mais pedrinhas?Mateus: Não sei, vou contar outra vez! (Mateus dispõe as 8 pedras em fila e faz o mesmo às 10 pedrinhas, colocando umas em frente às outras. Afasta mais as oito pedrinhas ficando com uma fila igual à das 10 pedrinhas.)Professora: Então, qual é o montinho que tem mais?Mateus (hesita, observa as duas filas e responde): Não sei, parecem os dois iguais.

EPISÓDIO 2: Inocência compara as pedrinhas dos dois montinhos

Inocência começa por espalhar as pedras dos dois montinhos para as poder contar mais facilmente. Depois aponta as pedras, uma a uma, e conta.Inocência: Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito. Professora: Então quantas pedrinhas há neste montinho? Inocência: Há oito pedrinhas. Professora: E no outro?. Inocência (volta a contar): Uma, duas, três, ..., dez.Professora: Então qual é o que tem mais pedrinhas?Inocência (depois de um silêncio, em que observa os montinhos, responde hesitante): Este parece maior (aponta para o montinho com 10 pedrinhas).Professora: Como sabes?Inocência (pensa um pouco): Não sei.


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EPISÓDIO 3: Pedro compara as pedrinhas dos dois montinhos

Pedro (desloca as pedras colocando-as em fila e conta-as): Uma, duas, três, quatro, cinco seis, sete, oito. Uma, duas, …, nove, dez.Professora: Então qual é o montinho que tem mais pedrinhas?Pedro: É este (aponta para as dez pedrinhas).Professora: Como sabes?Pedro: Porque eu sei que dez é maior do que oito. Professora: Quantas pedras tem a mais esse montinho?Pedro (hesita, pensa um pouco): Não sei.


Análise do episódio 1. Mateus consegue contar o número de elementos de cada conjunto, mas não consegue compará-los. Tenta colocar os elementos em fila, para mais facilmente os contar e comparar, mas não o faz correctamente. Ao colocar as pedrinhas em fila e ao observar as duas filas, o aluno perde a noção da quantidade de pedrinhas de cada fila e repara apenas que o comprimento de cada uma aparenta ser igual, tal como se mostra na figura 1.

Figura 1. Duas filas de 8 e 10 pedrinhas, respectivamente

Há muitos alunos que procedem como Mateus, o que significa que, provavelmente, ainda não têm a noção da conservação das quantidades discretas. Para perceber se é este o caso pode fazer-se a seguinte experiência. Colocam-se duas filas com o mesmo número de objectos, num caso mais espaçados que no outro, como mostra a figura 2.

Figura 2. Duas filas com 7 círculos

Se o professor pedir aos alunos para comparar o número de círculos em cada uma das filas, um aluno que ainda não faça a conservação das quantidades discretas, mesmo que saiba contar o número de círculos em cada uma, dirá que há mais círculos azuis do que verdes, pois estão mais afastados uns dos outros e a fila tem um maior comprimento. Pelo contrário, um aluno que tenha a noção da conservação das quantidades saberá responder que as duas filas têm o mesmo número de círculos, embora estejam dispostos de maneira diferente. Esta noção vai-se adquirindo ao longo do tempo, sendo importante propor tarefas aos alunos para que a desenvolvam. Habitualmente, basta propor várias situações de correspondências um a um, que podem ser efectuadas como se exemplifica para os círculos verdes e os círculos azuis: (1) colocar


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os círculos sobrepostos (figura 3), no caso de estes se poderem manipular, ou (2) representar essa correspondência através de um esquema (figura 4).

Figura 3. Correspondência entre os círculos verdes e os círculos azuis

Figura 4. Esquema mostrando a correspondência entre os círculos verdes e os círculos azuis

Análise do episódio 2. Inocência consegue contar o número de elementos de cada conjunto, mas não consegue comparar os números que correspondem aos cardinais de cada um dos conjuntos. Parece ter uma ideia da numerosidade dos dois conjuntos e conseguir identificar aquele que tem mais elementos, mas não consegue traduzir essa comparação em termos numéricos. Uma maneira de facilitar a progressão de Inocência será colocar as pedrinhas em fila, fazendo corresponder uma a uma as pedrinhas de uma e outra fila, para que possa perceber qual a que tem mais pedrinhas e quantas tem a mais. Análise do episódio 3. Pedro sabe contar as pedras de cada montinho e tem ideia que 10 é maior do que 8, mas não consegue ainda identificar a diferença entre 8 e 10. Um modo de o ajudar a progredir na sua aprendizagem é pedir-lhe que coloque as pedrinhas de modo a fazer uma correspondência um a um, tal como se evidencia na figura 5. Deste modo, Pedro poderá compreender que o conjunto com dez pedrinhas tem mais duas que o que tem oito.

Figura 5. Comparar conjuntos com 8 e 10 elementos

Esta ideia está associada à noção inclusão hierárquica, ou seja, perceber que o dez ‘inclui’ o oito e que é possível contar a partir do 8 até ao 10. Este tipo de raciocínio vai ser fundamental para o desenvolvimento do sentido de número, em particular, para perceber diferentes representações do 8 e do 10, como por exemplo: 8 + 2 = 1 0 ;

1 0 - 2 = 8 e 1 0 - 8 = 2 .

Na tabela seguinte resume-se a análise os episódios 1, 2 e 3, concretizando sugestões para apoiar a progressão de Mateus, Inocência e Pedro.


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Tabela 2.1. Resumo da análise dos episódios 1, 2 e 3

Mateus Inocência Pedro

Sabe Contar os elementos de cada conjunto

Contar os elementos de cada conjunto; comparar a numerosidade de dois conjuntos embora não consiga quantificar essa diferença

Contar os elementos de cada conjunto; Identificar que 10 é maior que 8 embora não saiba quantificar ‘quanto maior’.

Precisa saber Comparar a quantidade de elementos de cada conjunto;Perceber que alterar a disposição dos elementos de um conjunto não altera o seu cardinal – conservação das quantidades

Comparar o cardinal de dois conjuntos, identificar e quantificar a diferença entre eles.

Comparar o cardinal de dois conjuntos e quantificar a diferença entre eles.

Como evoluir Comparar o número de elementos de dois conjuntos, usando materiais diversos: pauzinhos, pedrinhas, sementes, lápis, etc. e diferentes disposições.

Comparar o número de elementos de dois conjuntos (usando materiais diversificados) através da correspondência um a um, de modo a identificar a diferença entre eles.

Fazer correspondência um a um entre os elementos de dois conjuntos, de modo a quantificar a diferença entre eles e a estabelecer relações numéricas entre os cardinais.

2.3.3. TAREFAS-TIPO 2: REPRESENTAR E COMPARAR O CARDINAL DE DOIS OU MAIS CONJUN-TOS

As tarefas relacionadas com a representação e a comparação do cardinal de dois ou mais conjuntos estão relacionadas com as anteriores, mas vão mais além, pois importa que os alunos sejam capazes de representar o cardinal de cada conjunto e exprimir a sua comparação de modo simbólico. Estes aspectos são essenciais para a progressão dos conhecimentos numéricos dos alunos associados à comparação da grandeza de números, pelo que, durante a 1.ª classe devem ser propostas tarefas que auxiliem este desenvolvimento. Neste tipo de tarefas é essencial a representação de conjuntos feita pelos alunos e a sua associação à representação simbólica do cardinal de cada um, de modo a facilitar a progressão tanto em termos da representação de números como na comparação da sua grandeza. Deste modo, deve haver uma relação entre as representações icónicas elaboradas pelos alunos e as respectivas representações simbólicas, recorrendo a numerais.


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Exemplo: No sentido de ajudar os alunos na representação e comparação do cardinal de dois conjuntos, a professora Luísa propõe aos alunos que desenhem no seu caderno um conjunto com 15 bolinhas e outro com 21 bolinhas. Depois pede-lhes que digam qual o conjunto com mais bolinhas e que indiquem quantas bolinhas tem a mais.

EPISÓDIO 4: Madalena representa e compara o número de bolinhas dos dois conjuntos

Madalena representa cada um dos dois conjuntos de bolinhas e o numeral correspondente, tal como mostra a figura 6.

Figura 6. Representação de Madalena

15

21

Professora: Como sabes que são 15 e 21 bolinhas? Madalena: Porque contei, uma, duas, três, …, quinze. E estas (aponta para as outras que desenhou), também contei, uma, duas, três, …, vinte e uma bolinhas.Professora: E tens mais bolinhas azuis ou bolinhas cor de laranja?Madalena: Tenho mais bolinhas cor de laranja. Estas são mais (apontando para as bolinhas cor de laranja).Professora: E tem mais quantas?Madalena: Não sei, vou contar (e começa novamente a contar as 15 bolinhas azuis)Madalena (quando conta 15 bolinhas cor de laranja): agora vou contar o resto destas, 16, 17, 18, 19, 20, 21. Tenho mais seis destas.

EPISÓDIO 5: Nelson representa e compara o número de bolinhas dos dois conjuntos

Nelson representa cada um dos dois conjuntos de bolinhas e o numeral correspondente, agrupando as bolinhas em conjuntos de cinco, tal como mostra a figura 7.

15

21

Figura 7. Representação de Nelson

Professora: Como sabes que são 15 e 21 bolinhas? Nelson: Porque contei, cinco mais cinco, dez e mais cinco, quinze. E estas (aponta para as bolinhas azuis que desenhou), também contei cinco mais cinco, dez e mais cinco, quinze e mais cinco, vinte e uma, vinte e uma bolinhas.Professora: E tens mais bolinhas cor-de-laranja ou azuis?


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Nelson: Tenho mais bolinhas cor-de-laranja. Tenho mais estas. Cinco mais uma, seis bolinhas. Porque 15 mais 6 são 21 bolinhas (E escreve na sua folha 15+6=21).


Análise do episódio 4. Madalena consegue fazer uma representação icónica (desenha bolinhas) em linha de cada uma das quantidades, associando-lhe correctamente os numerais correspondentes. Quando lhe é perguntado se há mais bolinhas azuis ou cor de laranja, Madalena identifica imediatamente que há mais bolinhas cor de laranja, embora não quantifique logo quantas há a mais. Para quantificar essa diferença volta a contar as bolinhas azuis e as bolinhas cor de laranja até 15. Nessa altura pára e diz que vai contar o resto dessas bolinhas. Essa afirmação permite perceber que a aluna sabe que as bolinhas a mais correspondem à sua contagem a partir do número 15. Ou seja, se contar a partir de 15 até 21, identifica a diferença entre estes dois números através dos números que enuncia oralmente.Um modo de a ajudar a progredir na sua aprendizagem é pedir-lhe que represente números usando um colar de contas ou uma sua representação. Deste modo poderá compreender que comparar a grandeza de dois números corresponde a pensar se um número está ‘contido’ no outro. A quantificação dessa comparação poderá ser também visualizada no colar de contas, recorrendo ao uso de grupos de 5. Por exemplo, para comparar a grandeza de 17 e 29 os alunos podem representar estes números no colar de contas, tal como mostra a figura 8. A observação da representação destes dois números permite perceber que 17 é menor que 29 e que essa diferença corresponde a 12 unidades. Permite ainda perceber que o 12 é obtido ‘percorrendo a distância’ entre 17 e 29 do seguinte modo: 3 unidades até 20, 5 unidades entre 20 e 25 e mais 4 unidades entre 25 e 29.

Figura 8. Uso do colar de contas para comparar a grandeza de números

Usar um colar de contas ou uma sua representação auxilia os alunos a comparar números e a traduzir essa comparação recorrendo a relações numéricas importantes: a proximidade a dezenas ‘certas’ e a decomposição de números em ‘grupos de 5 e de 10’. Este facto ajuda a resolução de problemas de adição e de subtracção. De facto, comparar a grandeza de 17 e 29 e perceber que a diferença entre eles é de 12 unidades ajuda a compreender que 17+12=29 e que 29-17=12.

Análise do episódio 5. Nelson representa 15 e 21 bolinhas, usando grupos de 5 bolinhas. Isto permite-lhe perceber que nas 21 bolinhas existe mais um grupo de 5 e mais uma bolinha. O aluno é ainda capaz de representar simbolicamente cada uma das quantidades usando correctamente os numerais. Nelson consegue mostrar que 21 é maior do que 15, justificando através de uma expressão aditiva (15+6=21) revelando um bom domínio das relações entre números desta ordem de grandeza. Um modo de o ajudar a progredir é sugerir-lhe a comparação relativa de números maiores, por exemplo, perto de cinco dezenas e, mais tarde, perto de uma centena.


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Para o ajudar a comparar a grandeza de números pode ser-lhe sugerida a sua representação num colar de contas, organizado em grupos de 10. Mais tarde poder-lhe-á ser proposta a representação de números na linha numérica, de modo a poder compará-los mais facilmente. Estes dois modelos de apoio à representação e comparação de números serão, mais tarde, muito úteis para apoiar cálculos que envolvem a adição e a subtracção de números.

Figura 9. Representação de 35 e 52 no colar de contas para comparar a sua grandeza

A figura 9 mostra a representação dos números 35 e 52 no colar de contas. Através desta representação é possível, não apenas perceber que 52 é maior do que 35, mas também perceber quanto se tem de adicionar a 35 para chegar a 52. 17 corresponde a 5+10+2, decomposição que pode ser compreendida através da observação dos saltos que é preciso dar para ir de 35 até 52. O mesmo tipo de raciocínio pode ser efectuado tendo como suporte a recta numérica, como mostra a figura 10.

Figura 10. Comparação dos números 35 e 42 na recta numérica

2.3.5. TAREFAS-TIPO 3: COMPARAR NÚMEROS EM DIFERENTES CONTEXTOS

Este tipo de tarefas faz apelo à articulação entre a grandeza relativa de dois ou mais números e os contextos a que poderão estar associados. Embora não muito habituais no Ensino Primário, ajudam a dar sentido aos números em contextos diversificados, auxiliando também a comparação da sua grandeza.

Exemplo: O professor propõe aos alunos que registem por escrito números que possam estar associados a contextos de:

– Idade dos pais e dos avós de meninos da classe – Idade das crianças da classe – Preço de um sumo – Meses de vida de um menino de 4 anos – Número de páginas de um livro.

Em seguida o professor propõe que os alunos comparem a grandeza relativa dos números identificados.

EPISÓDIO 6: Josina e Nelson comparam a idade dos seus pais

Josina regista como possibilidade de números que representam a idade dos pais 30 e 34. Nelson regista como possibilidades 29 e 32. Professor: Então, Josina, qual é a idade dos teus pais?Josina: A minha mãe tem 30 e o meu pai tem 34.


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Professor: E qual é o mais velho? Josina: É o meu pai, porque tem 30 mais 4 anos e a mãe tem só 30. O pai tem mais 4 anos do que a mãe.Professor: Nelson, qual é a idade dos teus pais? Nelson: A mãe tem 32 e o pai 29. Professor: E qual é o mais velho?Nelson: O pai, porque os pais são sempre mais velhos do que as mães. Mas 32 parece maior do que 29.Professor: E dos quatro, qual é o mais velho? E o mais novo?Josina: Não sei fazer com 4 idades.


Análise do episódio 6. O episódio descrito evidencia que Josina consegue representar e comparar a idade dos pais enquanto Nelson não o consegue fazer. Josina compara os números 30 e 34, justificando que 34 é igual a 30+4. Pelo contrário, Nelson parece confuso pois tem ideia que os pais são sempre mais velhos do que as mães, embora lhe pareça que 32 é maior do que 29. Para o auxiliar, o professor pode pedir-lhe que represente os números no colar de contas ou na recta numérica, de modo a perceber que, de facto, 32 é maior do que 29.Além disso poderá propor-lhe que averigue a idade dos pais e das mães dos alunos da classe, para perceber que nem sempre o pai é mais velho, ou tem mais idade do que a mãe. Este episódio mostra, também, a importância de comparar a grandeza relativa de mais do que dois números. Josina, que consegue comparar as idades dos seus pais, refere que não o consegue fazer quando estão envolvidos mais do que dois números. Nestes casos o professor pode usar a representação no colar de contas ou na recta numérica. Esta poderá estar marcada previamente com as dezenas, tal como a da figura seguinte ou poderá estar ‘vazia’.

Figura 11. Representação de 29, 30, 32 e 34 na recta numérica

A representação de mais do que dois números na recta numérica ajuda os alunos a compreender que a grandeza relativa de um número está relacionada com a grandeza de outro número, com o qual é comparado e, por isso se denomina relativa, porque varia consoante a grandeza do outro número. Por exemplo, 32 é maior do que 29 mas, quando comparado com 34 é menor do que este. Comparar a grandeza entre mais do que dois números auxilia, também, os alunos a compreender que no conjunto dos números naturais é sempre possível estabelecer uma relação de ordem entre os números.De modo a proporcionar que os alunos progridam na comparação de números, o professor deve pedir-lhes que identifiquem números num determinado contexto e que os comparem, usando para o efeito a sua representação no colar de contas ou na recta numérica. Tal como referido na Identificação de Números, o número de meses de vida dos irmãos mais novos poderá ser um bom contexto a partir do qual os alunos representem e comparem números, uma vez que se poderá trabalhar com números até 100.


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Para fazer a comparação relativa de números maiores do que 100 poder-se-á usar como contexto o dinheiro que cada um tem guardado, resultante de algumas prendas. Neste caso será possível comparar números na ordem dos milhares e que tenham significado para as crianças. Também o número de páginas de livros poderá ser um contexto bastante rico e significativo para os alunos, a partir do qual comparam números na ordem das dezenas e das centenas. Habitualmente, na sala de aula, o que é pedido é que os alunos comparem dois números e indiquem, oralmente, qual é o maior. Contudo, para que os alunos sejam capazes de o fazer correctamente é necessário que lhes sejam propostas tarefas, como as explicitadas anteriormente, que os auxiliem a dar significado aos números e à sua grandeza relativa, quando comparados com outros. Só mais tarde fará sentido propor a comparação de números sem contexto, tal como se explicita em seguida e é solicitado no sub-domínio Discriminação de Números.

2.3.7. TAREFAS-TIPO 4: COMPARAR NÚMEROS REPRESENTADOS EM CARTÕES (SITUAÇÕES SEM CONTEXTO)

Este tipo de tarefas faz apelo, tal como nas tarefas-tipo 3, à articulação entre a grandeza relativa de dois ou mais números, mas agora, sem que estes estejam associados a contextos com significado para os alunos.Estas tarefas-tipo associam o conhecimento das crianças em termos do sistema de numeração posicional escrito e o sistema de numeração de posição oral. As crianças devem ser capazes de perceber que a posição de cada algarismo num determinado número determina o seu valor de posição. Por isso, ao comparar por exemplo, 45 com 53, devem ser capazes de perceber que o algarismo 5 no primeiro número vale cinco unidades e por isso se lê quarenta e cinco e no segundo número o mesmo algarismo vale 50 ou 5 dezenas, pelo que o segundo número se lê cinquenta e três. Ou seja, o número 53 é maior do que 45 porque cinco dezenas é mais do que quatro dezenas.

Exemplo: O professor mostra cartões com pares de números e pede aos alunos para os lerem oralmente e identificarem o maior deles.

EPISÓDIO 7: Julino lê em voz alta dois números (47 e 85), registados em cartões e identifica o maior

Julino: Quarenta e sete; oitenta e cinco. Este é maior (aponta para o 85) porque tem um oito e oito é maior do que sete.

EPISÓDIO 8: Ivone lê em voz alta dois números registados em cartões (164 e 146) e não identifica o maior

Ivone: Cento e sessenta e quatro; cento e quarenta e seis. Parecem iguais, têm estes números trocados (aponta para o 46 e 64). Não sei. O que acaba em 6 deve ser maior, mas não tenho a certeza.


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Análise do episódio 7. Julino sabe ler correctamente cada um dos números e até identifica o número maior. Contudo fica-se na dúvida se essa identificação não terá sido casual, uma vez que a justificação do aluno parece evidenciar que este só atendeu ao valor absoluto dos algarismos 8 e 7. Um modo de ajudar este aluno a progredir é propor-lhe que represente estes números na recta numérica, de modo a compreender que 85 está próximo de 80 e que 47 está entre 40 e 50. Ser capaz de contar de 10 em 10, de representar ‘dezenas certas’ na recta numérica e de as comparar são capacidades que o aluno deve desenvolver para poder comparar números com dois algarismos. Efectivamente, ao ser capaz de comparar números como 20, 30, 40, 50, …, 80, 90, poderá compreender que qualquer número de dois algarismos que tenha o algarismo das dezenas igual a 8 é sempre maior que outro cujo algarismo das dezenas seja igual a 4. O aluno deve também compreender que a posição de um algarismo num número importa para perceber a sua grandeza. Para que progrida na sua aprendizagem, o professor deve pedir-lhe para comparar números tais como 19 e 23, que contrariam a ideia de Julino. Ou seja, o número que contém o algarismo 9 é o menor porque o que interessa é começar por comparar o algarismo de maior ordem, neste caso, o algarismo das dezenas.

Análise do episódio 8. Tal como Julino, também Ivone faz uma correcta leitura em voz alta dos números apresentados no cartão. Contudo, não é capaz de identificar qual dos dois números é o maior, uma vez que estes são constituídos pelos mesmos algarismos, mas em diferentes posições. Esta dificuldade pode ser ultrapassada com alguma facilidade, propondo aos alunos que ouçam o que lêem em voz alta. Ao ouvir e pensar naquilo que lêem oralmente, neste caso, ‘cento e sessenta e quatro’ e ‘cento e quarenta e seis’, os alunos percebem que sessenta é maior que quarenta e, por isso, 164 é o maior dos dois números.Para que alunos como Ivone progridam na sua aprendizagem, o professor deve continuar com este tipo de tarefa, apresentando números que sejam constituídos pelos mesmos algarismos em posições diferentes, para que os alunos percebam a importância da posição de cada algarismo no número. Por exemplo, podem ser propostos os seguintes pares de números para que seja identificado o maior:

45 54235 325543 534820 802

Nestes pares de números a posição do maior deve variar, podendo ser o primeiro ou o segundo número a ser mostrado. Também devem ser apresentados aos alunos números que incluam o algarismo zero, uma vez que, por vezes, isso constitui uma dificuldade acrescida na comparação da grandeza relativa de números.


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3. NÚMEROS EM FALTA

3.1. O QUE É NÚMEROS EM FALTA?

O tópico Números em Falta diz respeito a todos os conhecimentos necessários para identificar regularidades numa sequência numérica, de modo a preencher um espaço em branco relativo a um dos seus termos.Consideremos um conjunto de dez sequências numéricas, cada uma delas com 4 termos, em que um dos termos está em falta. Os números que constituem as diferentes sequências podem ter um, dois ou três dígitos.

4 5 6 238 239 241

18 19 21 26 24 22

30 50 60 40 45 55

200 300 400 650 640 630

2 4 6 2 7 17

Figura 1. Sequências com um número em falta

O número em falta pode estar em qualquer posição, na respectiva sequência. Por exemplo, na sequên-cia 2, 4, 6, … falta ‘encontrar’ o último termo e na sequência 26, …, 24, 22, é o 2.º termo que está em falta.


Neste ponto descreve-se, quer a matemática que pode ser considerada pré-requisito para que os alunos possam compreender melhor o que são sequências, quer a matemática mais avançada (álgebra) que, a partir das sequências, pode ser desenvolvida e aprofundada, mas que pode ser abordada apenas com conhecimentos de matemática elementar, nomeadamente de aritmética e, como tal, ser compreendida por alunos até à 3.ª classe.Desenvolver a competência para identificar uma regularidade ou padrão numa sequência numérica, pode iniciar-se na contagem por ‘saltos’ (contar de 2 em 2, de 5 em 5, de 10 em 10, etc.) e apoiar-se na recta numérica (figura 2), um assunto explicado e ilustrado no Capítulo 2 - Adição e subtracção do MMPEP.

Figura 2. ‘Saltos de 2 e de 5’ na recta numérica


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Este tipo de tarefas com Números em Falta são consideradas preparatórias do desenvolvimento do pensamento relacional e do pensamento algébrico, referidos no MMPEP (pp. 105-109). Por exemplo, na sequência 2, 4, 6, ... da figura 1, a partir da análise dos casos particulares conhecidos, observando que o crescimento se faz ‘de dois em dois’, somos levados a conjecturar que, por generalização, se mantém este ‘andamento’, pelo que o número em falta será o 8. A capacidade para identificar padrões numéricos, por exemplo, contar por saltos de 20, 30, 40, etc., é uma competência fundamental para desenvolver o pensamento algébrico. A generalização, a ideia central do pensamento algébrico, está presente de forma transversal na Aritmética e tem a ver com o raciocinar, para além do que é conhecido. No caso das sequências decrescentes, de que é exemplo a sequência 26, 24, 22, 20, passamos de um termo ao seguinte subtraindo 2, o que pode ser melhor observado com o auxílio da recta numérica. Assim, identificamos que, da esquerda para a direita, adicionamos 2 unidades e, da direita para a esquerda, subtraímos o mesmo valor. A subtracção surge assim, naturalmente, como a operação inversa da adição (Figura 3).

Figura 3. A recta numérica para ilustrar a subtracção como operação inversa da adição

O processo recomendado é que se comece por observar o que se passa nos termos conhecidos, procurando identificar alguma regularidade ou padrão que se repita. Por exemplo, no caso da sequência da figura 4, os alunos devem constatar que se vai passando de um termo ao seguinte subtraindo 10 unidades (650 –> 640 –> 630). A partir daí, o aluno é desafiado a conjecturar o termo da sequência em falta (620), prolongando o seu raciocínio.

650 640 630Figura 4. Sequência com números de 3 dígitos, com um número em falta

Em síntese, para que um aluno possa entender melhor e progredir no tópico dos Números em Falta, numa sequência numérica, identificando a regularidade presente e conjecturando sobre os números omissos, deve conhecer: (i) a sequência dos números naturais; (ii) a relação de ordem (menor e maior do que) no conjunto dos números naturais; (iii) as operações de adição e subtracção de números inteiros; (iv) a subtracção como operação inversa da adição.No entanto, quando estudamos um tema da Matemática, devemos ter em conta, não apenas as aprendizagens prévias que o aluno deve dominar para mais facilmente poder compreender o tema e progredir, mas também termos um conhecimento sobre a importância daquele tema como suporte de aprendizagens futuras, mais avançadas. É disso que vamos tratar de seguida, ‘desocultando’ a matemática que os ‘Números em Falta’ têm por detrás.A observação atenta das sequências revela relações e regularidades entre os números que se podem traduzir mais tarde por expressões algébricas, onde figuram variáveis (designadas por letras) que podem representar vários números. Todas estas sequências em que, cada termo, a partir do segundo,


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se obtém adicionando sempre o mesmo valor (constante) ao termo anterior, são casos particulares de sucessões e designam-se por ‘conjuntos de termos de progressões aritméticas’. Esse valor constante tem o nome de razão da progressão. Por exemplo, a sequência 18, 19, 20, 21 representa quatro termos de uma progressão aritmética de razão 1, enquanto a sequência 26, 24, 22, 20 representa quatro termos de uma progressão aritmética de razão negativa (-2). Para os alunos do ensino primário, nomeadamente dos primeiros três anos de escolaridade, que são o objecto do nosso trabalho, não faz qualquer sentido falar em números negativos. Por isso, analisamos as sequências identificando se passamos de um termo ao termo seguinte, adicionando ou subtraindo o mesmo valor, o que pode ser ilustrado com o apoio da recta numérica.Outro factor que contribui para variar o nível de dificuldade da tarefa é poderem existir sequências com a mesma razão de crescimento (por exemplo, 5) iniciando-se ou não num múltiplo de 5. Na figura 1 temos duas sequências nestas condições: 40, 45, …, 55 e 2, 7, …, 17. Em ambos os casos, os termos ‘crescem de 5 em 5’, mas na primeira, por estar associada aos múltiplos de 5, que terminam em 0 ou 5, pode ser mais fácil completar os números em falta.São várias as sequências apresentadas na figura 1 onde podemos identificar múltiplos de números conhecidos. Por exemplo, na 3.ª sequência podemos identificar múltiplos de 10 (terminam sempre em 0), na 4.ª sequência, múltiplos de 100 (os dois últimos dígitos são zeros), na 5.ª sequência, múltiplos de 2 e na 8.ª sequência, múltiplos de 5 (terminam, alternadamente, em 0 ou 5). A questão dos múltiplos de um número natural é discutida no MMPEP (pp. 115-116).Em todos os casos, o importante é que o aluno tenha um tempo para observar e analisar a sequência de números, o que pode ser facilitado se estes estiverem organizados numa tabela. Por exemplo, dada a sequência dos múltiplos de 5 que os alunos não têm que conhecer como tal, estes podem ver apenas os números 5, 10, 15, 20. Mas podem também observar a regularidade do algarismo das unidades (0 e 5), a sua decomposição em somas 5, 5+5, 5+5+5, 5+5+5+5 ou a sua decomposição em produtos 1x5, 2x5, 3x5, 4x5 (Figura 5).

SequênciaOrdem Simples Decomposta em adições Decomposta em produtos

1 5 5 1x52 10 5+5 2x53 15 5+5+5 3x54 20 5+5+5+5 4x55 25 5+5+5+5+5 5x5

Figura 5. Várias ‘leituras’ da mesma sequência

Poderem existir estas e outras ‘leituras’ diferentes dos termos da sequência, pode ajudar a descobrir a regularidade que carateriza os seus termos e a forma como se pode generalizar, quer de um termo para o termo seguinte (generalização local), quer encontrando uma expressão capaz de gerar todos os termos, a partir do conhecimento das respectivas posições ou ordens (generalização distante).Da observação e análise da sequência de números, nas tabelas da Figura 5, podem ocorrer conjecturas aos alunos, como as seguintes: ‘Passo de um termo ao termo seguinte, adicionando 5’; ‘O terceiro termo é a soma de três 5 e o quarto termo é a soma de quatro 5’; ‘Posso obter o quarto termo, multiplicando 4 (a ordem) por 5’. Ao mesmo tempo, é uma oportunidade para identificar o sentido aditivo da multiplicação (MMPEP, pp. 45-46).


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Também podemos olhar para algumas destas sequências como termos (variáveis dependentes), que são gerados a partir dos números naturais (a ordem dos termos - variáveis independentes) pondo em destaque o que se pode designar como o pensamento funcional, que abre caminho ao trabalho posterior com funções, neste caso, de variável natural. Como ilustração do que dissemos, vamos pensar nos cinco primeiros termos da sequência 10, 20, 30, 40, 50. O 1.º termo (para n=1) ou termo que está na 1.ª posição é 1×10=10, o 2.º termo (para n=2) é 2×10=20, o 3.º termo (para n=3) é 3×10=30 e assim sucessivamente. Podemos usar este raciocínio, quer num problema estritamente matemático, quer num problema com contexto, próximo do nosso quotidiano. Por exemplo, temos latas de sumo, embaladas em caixas que contêm 10 latas cada. A tabela seguinte organiza os dados obtidos nesta relação (ou função) e indica na coluna da esquerda o número de caixas (variável independente) e na coluna da direita, o número total de latas de sumo (variável dependente).

Número de caixas Número de latas de sumo1 102 203 304 405 50

Repare que esta organização nos permite colocar dois tipos questões, contribuindo para o desenvolvimento do pensamento funcional e para a análise das relações inversas: (i) Quantas latas de sumo levam, por exemplo, 4 caixas? (ii) Quantas caixas de sumos eu preciso para embalar, por exemplo, 50 latas? A resposta à primeira questão é directa e ‘lê-se’ na tabela, da esquerda para a direita (4 caixas correspondem a 40 latas). A segunda questão, destaca a relação inversa da anterior e ‘lê-se’ da direita para a esquerda (50 latas de sumo, necessitam de 5 caixas para serem embaladas). É o tipo de questões que o professor coloca que permitem focar a observação e destacar um ou outro aspecto da aprendizagem.O foco da análise está agora na observação da relação entre duas quantidades que variam (latas e caixas), uma em função da outra e daí a designação de pensamento funcional. Observamos os números e as relações, de uma coluna (à esquerda) para a outra (à direita), para encontrar nelas regularidades e padrões, à procura do que podemos designar como generalização distante. Trata-se de encontrar uma expressão geral que nos permita determinar qualquer termo da sequência, por maior que seja a sua ordem. Por exemplo, no caso do problema das latas, a relação ‘dez vezes …’ ou a expressão geral 10×n, permite-nos determinar o número de latas de sumo de 15 caixas, 10×15 latas, ou seja, 150 latas. Nos primeiros anos de escolaridade, esta generalização dos alunos expressa-se apenas por palavras, mas não deixa por isso de ser uma generalização se ela nos permitir encontrar outros termos para além dos conhecidos.No entanto, também podemos pedir aos alunos que observem o que se passa em cada uma das colunas da tabela, de cima para baixo e aqui estamos focados num processo de generalização local, recursiva, recorrendo sempre ao termo anterior. Na coluna da esquerda, os números vão aumentado de um em um (a ordem dos termos da sequência dos números naturais), enquanto, na coluna da direita, os números vão aumentando de 10 em 10 (o aumento de uma caixa leva ao aumento de 10 latas). Os alunos podem ver outras regularidades e todas essas descobertas devem ser registadas e discutidas porque ajudam a ver e perceber a estrutura dos números e as relações, mais do que os números ‘em si’.


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É a partir de muitas observações, da partilha entre o que uns e outros alunos vêem e dos registos que devem ser feitos no quadro ou no caderno, que os alunos são convidados a conjecturar.Segue-se mais um exemplo da forma como o professor pode colocar questões, convidando o aluno a usar aquilo que sabe e domina, os seus esquemas e representações próprias. Por exemplo, na sequência dos números ímpares 1, 3, 5, 7, 9, 11, … os alunos podem dizer que o padrão que encontram é o seguinte: “Vão de dois em dois’ … são ímpares!” O professor poderá desafiar os alunos a pensar: “Mas será que todas as sequências que vão de dois em dois geram números ímpares?” Não é verdade, porque os números pares também ‘vão de dois em dois’. O professor pode lançar outras perguntas como: “Em que dígitos terminam os números ímpares?”; “E os pares?” As perguntas não devem ser fechadas, de sim ou não, mas terem elementos que incentivem a reflexão e os alunos devem ser convidados a usar esquemas próprios para ilustrarem o que vêem. Por exemplo, os pares podem agrupar-se, fazendo pares (conjuntos de dois elementos) enquanto com os ímpares, sobra sempre um elemento (Figura 6).

Figura 6. Agrupamento aos pares

Outras perguntas abertas para desafiar os alunos: “És capaz de continuar a sequência dos ímpares, a partir do 11? Como o farias? Escreve mais três termos!”; “Consideras que 73 pertence a esta sequência? E 96? Justifica o porquê das tuas respostas!”. Os números devem ser suficientemente grandes para desincentivar os alunos a calcularem todos, desde o primeiro.Podemos pensar agora numa outra sequência da figura 1, como a sequência 2, 4, 6, … que pode ser entendida como parte da sequência dos números pares, que é gerada a partir da sequência dos números naturais 1, 2, 3, … através da relação ‘dobro de’, ou ‘2 vezes …’. Usando a metáfora da máquina de transformação, os sucessivos números pares podem agora pensar-se como sendo obtidos através dos sucessivos produtos de 2×1= 2 ; 2 ×2 = 4 ; 2 ×3 = 6 ; 2 ×4 = 8 ; 2 ×5 = 1 0 ; … multiplicando por 2 cada um dos números naturais. Podemos considerar a máquina representada na figura 7 como uma ‘representação’ rudimentar do que dissemos. Em cima, entram os sucessivos números naturais e em baixo saem os correspondentes números pares, à medida que ‘damos à manivela’, cujo papel é calcular ‘o dobro de …’.

Figura 7. A função como uma máquina de transformação

Esta sequência dos pares é gerada a partir do conjunto dos números naturais, através da expressão geradora (geral) que se pode representar por f(n)=2n. Função é esta relação unívoca que a cada número natural faz corresponder um único número, neste caso, par. Ao 1 corresponde o 2, ao 2 corresponde o 4, etc. Este tipo de raciocínio, que parte de um conjunto de casos particulares para o geral, designa-se por raciocínio indutivo.É esta generalização, em conjunto com diferentes formas de representação que são admitidas, como a linguagem natural das crianças e as tabelas, que se podem usar no trabalho da aritmética dos


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primeiros anos, que permitem que se desenvolva mais tarde uma forma de pensamento simbólico, mais abstracto (algébrico).Os termos das sequências representadas na figura 1, têm todos uma característica em comum: a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é sempre constante, ou seja, a taxa de variação da sequência é constante e, portanto, a sequência é linear.Também analisando a 8.ª sequência da lista (Figura 1) vemos 40, 45, …, 55. Se entendermos que a diferença entre os termos consecutivos se deve manter constante (adiciona-se 5 ao anterior ou retira-se 5 ao seguinte), o número em falta calcula-se facilmente (50). Existe, no entanto, um processo algébrico de determinar o número que deve preencher o espaço vazio (que, para facilidade, vamos designar por n), sabendo que as diferenças entre termos consecutivos são iguais. Por exemplo, podemos igualar a diferença entre o 3.º e o 2.º termos, à diferença entre o 4.º e 3.º termos, de forma a obtermos uma equação do 1.º grau, com uma incógnita: n−45 = 55 – n <=> 2n = 100 <=> n = 50. O número em falta é, portanto, 50 e a sequência completa é agora 40, 45, 50, 55.A tarefa pode ser dificultada suprimindo dois termos (seguidos ou intercalados), em vez de um, mantendo a exigência da diferença constante entre dois termos consecutivos.

200 ? ? 500 600? 300 400 ? 600

No 1.º caso, deve começar por se analisar a sequência a partir dos dois termos consecutivos conhecidos (500 e 600). A manter-se o mesmo ‘andamento’ (a 500 adiciona-se 100 para obter 600), a seguir a 200 será 300 (200+100) e a seguir 400 (300+100). Finalmente, basta verificar se o padrão se mantém entre todos os termos, o que é verdade. No 2.º caso, procede-se de forma idêntica, mas a partir da diferença 400-300 conhecida. A sequência é exactamente a mesma da do 1.º caso. Mas muitas vezes pensamos assim: “Qual é o número que, ao adicionarmos 100, obtemos 300?” Isto pode traduzir-se matematicamente por ? + 100 = 300. Esta forma de pensar decorre de se entender a adição como a operação inversa da subtracção.Em síntese, estes conhecimentos elementares sobre sequências ordenadas de números naturais, adição e subtracção, ‘saltos’ na recta numérica, etc., articulados com um ambiente de sala de aula onde se privilegie a observação, a análise, a discussão e a conjectura e onde o professor vá colocando questões que obriguem o aluno a pensar, vão ser a base do desenvolvimento do pensamento algébrico.

3.3. COMO DESENVOLVER A IDENTIFICAÇÃO DE NÚMEROS EM FALTA?

Identificar o número em falta numa sequência assenta: (i) no conhecimento dos números naturais e das relações de ordem ‘maior do que’ e ‘menor do que’; (ii) na observação de vários tipos de sequências, procurando nelas alguma regularidade; (iii) na observação dos números de uma sequência numérica, procurando identificar uma regularidade entre os termos consecutivos da sequência (traduzida por uma operação de adição ou subtracção, com um determinado valor associado) para calcular um termo próximo; (iv) na observação dos números de uma sequência numérica, procurando identificar uma regularidade traduzida através de uma relação funcional, entre a ordem e o termo da sequência, que permita calcular um termo distante. Por isso, consideramos quatro tarefas-tipo, associadas a cada um destes aspectos:


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– Ordenar conjuntos de números naturais, de forma crescente e decrescente; – Identificar regularidades em sequências repetitivas e sequências crescentes; – Identificar a regularidade existente entre os termos consecutivos de uma sequência e escrever

termos próximos, para além dos dados; – Descrever, por palavras, uma relação entre a ordem e os termos de uma sequência, de modo a

encontrar termos distantes dos conhecidos.Estas tarefas-tipo devem ser exploradas a partir de exemplos e de pequenos diálogos entre o professor e os alunos (episódios) na sala de aula, tendo em conta o que cada aluno sabe e perspectivando o que ainda precisa de aprender. Por isso, o professor, perante as resoluções dos alunos, antecipando as suas respostas ou face a dificuldades identificadas, deve conseguir interpretar os procedimentos que usaram, de modo a decidir sobre os aspectos que importa que cada um trabalhe mais.

3.3.1. TAREFAS-TIPO 1: ORDENAR NÚMEROS NATURAIS

Estas tarefas têm por objectivos que os alunos conheçam e usem adequadamente as relações ‘menor que’ e ‘maior que’, no conjunto dos números naturais, e sejam capazes de ordenar números de um, dois ou três dígitos. Para o efeito, apresentam-se dois exemplos, através de curtos episódios de sala de aula.

Exemplos

1. Considera os números 19, 8, 21, 20 e 12. Ordena-os de forma crescente.

2. Tens os seguintes números: 156, 201, 440, 404 e 398. Coloca-os por ordem decrescente.

EPISÓDIO 1: Cada vez maior

Eurico (referindo-se à ordenação crescente dos números 19, 8, 21, 20 e 12): Eu acho que pode ficar assim … 20, 12, 21, 8, 19.Professor: Mas porque os colocaste nessa ordem?Eurico: Porque 8 e 9 são maiores que 1 e 2 …Ivone: Para mim não está bem … Os números ordenados são 8, 21, 12, 19, 20 ... não, o 12 está antes do 21.Professor: Porque hesitaste então?Ivone: O 12 e o 21 têm os mesmos números, 1 e 2 … mas 21 é um número maior, é 20 mais um e 12 não chega a 20.

EPISÓDIO 2: Cada vez mais pequeno

Eurico (referindo-se à ordenação decrescente dos números 156, 201, 440, 404 e 398): Já sei … 398, 156, 404, 440 e 201.Professor: Então 398 é o maior número que tens …?Eurico: Sim … tem o 9 e o 8 que são maiores que 1, 2 ou 4.Ivone: Não. 440 é o maior número … mais de 4 centenas, como o 404. Depois vem o 404, o 398, o 201 e o último é o 156!Professor: Mas dizes que o 440 e o 404 têm mais de 4 centenas?! Mas porque colocas primeiro o 440?Ivone: Porque é maior ainda. Tem 4 centenas e 4 dezenas e o 404 não tem dezenas …


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Eurico consegue comparar números de um dígito. No entanto, pode ter necessidade de criar agrupamentos de unidades em dezenas (agrupamentos de 1.ª ordem) para perceber onde existem mais elementos e portanto, qual deles é o maior. Por exemplo, em 21, temos 2 agrupamentos de 10 unidades e uma unidade ‘solta’, enquanto no 19 ou no 12 apenas existe um agrupamento de 10 unidades (uma unidade de 1ª ordem - dezena) e sobram, respectivamente, 9 ou 2 unidades. No caso do 156 existe um agrupamento de 2.ª ordem (1 conjunto de 10 dezenas ou de 10x10 unidades), enquanto no 404 existem quatro agrupamentos de 2.ª ordem (4 conjuntos de 10 dezenas ou de 10x10 unidades), pelo que se conclui que 404 > 156. Para rever os agrupamentos, consultar o Capítulo Número e Valor de Posição do MMPEP (pp. 18-19).Ivone domina a relação de ordem e compara os números com base no valor de posição dos seus dígitos. Apenas os números compostos pelos mesmos dígitos, em posição diferente (21 e 12 e 404 e 440) a fazem reflectir um pouco, mas o conhecimento do valor de posição e da ordem dos agrupamentos, permitem-lhe decidir bem. Em caso de dúvida, poderá ser necessário, recorrer à decomposição polinomial dos números:

4 0 4 = 4 × 1 0 0 + 0 × 1 0 + 4 × 14 4 0 = 4 × 1 0 0 + 4 × 1 0 + 0 × 1

E, em seguida, colocá-los numa tabela, comparando, um a um, os algarismos correspondentes às mesmas ordens:

404 440Ordem 2 (centenas) 4 = 4Ordem 1 (dezenas) 0 < 4

Donde se conclui que 404 < 440.Enquanto Eurico precisa de trabalhar com agrupamentos para se aperceber do valor de posição de um algarismo, Ivone pode, na dúvida, ser desafiada a recorrer à decomposição polinomial do número e a escrever números diferentes, mas com os mesmos três dígitos e, a seguir, ordená-los. Por exemplo, com os dígitos 3, 5 e 9 pode escrever 539, 395 e 593, entre outros números. Ordenados: 395 < 539 < 593.


Eurico Ivone

Sabe Reconhecer como se representam números naturais, usando numerais.

A relação de ordem ‘maior que’ e ‘menor que’ no conjunto dos números naturais. O valor de posição dos dígitos, num número.

Precisa saber A relação de ordem ‘maior que’ e ‘menor que’.O valor de posição dos dígitos, num número.

Realizar a decomposição polinomial dos números.

Como evoluir Fazer agrupamentos de diferentes ordens e comparar. Realizar a decomposição polinomial dos números.

Escrever números diferentes com os mesmos dígitos e ordená-los.


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3.3.3. TAREFAS-TIPO 2: IDENTIFICAR REGULARIDADES EM SEQUÊNCIAS

Estas tarefas têm por objectivos que os alunos conheçam sequências e que, por observação dos seus termos, identifiquem algum tipo de regularidade. Para o efeito apresentam-se dois exemplos, através de curtos episódios de sala de aula.

Exemplos1. Observa os termos da sequência numérica 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, … e identifica nela um

padrão ou regularidade.2. Olha para o final das páginas do teu manual escolar onde estão impressos os respectivos

números de página. Que regularidades observas?

EPISÓDIO 3: Repete-se ou não?

Pedro (observando os termos da sequência 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, …): Os números 1, 2, 3 e 4 aparecem outra vez … e continuam …Professor: Podes explicar melhor?Pedro: Sim. Temos 1, 2, 3 e 4 duas vezes, a seguir …Adriano: Sim, são os quatro primeiros números que eu conheço, por ordem, e depois, repetem-se.Professor: Por ordem …?Adriano: … por ordem crescente, desde o 1 até ao 4.

EPISÓDIO 4: Folheando um livro

Pedro (folheando o manual escolar): Sim … já sei … vejo os números 1, 2, 3, 4, 5, ... Professor: Queres acrescentar mais alguma coisa?Pedro: Os números vão de um em um … não sei?!Adriano: Sim, à medida que folheio o livro, o número da página aumenta uma unidade.Professor: Só encontras essa regularidade ou …?Adriano: Bom, quando olho para as páginas, na ‘frente’ vejo sempre números ímpares … e nas ‘costas’ da página … deixa ver … Estão números pares: o 2, o 4, o 6, o 8, etc. ... Vão sempre de 2 em 2.


Em qualquer dos exemplos, Pedro descreve o que observa, sem procurar ‘ter um outro olhar’ sobre a sequência ou encontrar alguma relação entre os números (se crescem, se se repetem, se o algarismo das unidades tem alguma característica especial, etc.).No caso do episódio 3, pode ter interesse recordar ao aluno outras sequências repetitivas, não de números, mas de figuras (Figura 8) ou de letras (A, B, C, A, B, C, A, …), para identificar a unidade que se repete: no caso das letras, é a sequência A, B, C e no caso das molas, a sequência de duas molas, constituída pelo par, mola azul - mola laranja.


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Figura 8. Sequência repetitiva (unidade de repetição - mola azul, mola laranja)

No episódio 4, Pedro mantém uma postura de reconhecimento do que vê, sem identificar características ou propriedades que sejam comuns aos números das sequências ou que os relacionem uns com os outros. Pode ser importante pedir para continuar a sequência como forma de analisar se percebeu. Se sim, deve pedir-se para explicar como pensou e aproveitar a explicação para identificar a regularidade (tipo de números gerados, dígito em que terminam, ‘salto’ constante que dão para passar de um termo ao outro, etc.).Adriano, pelo contrário, olha para os números, procurando as suas propriedades e as relações entre eles e, por vezes, como é o caso da numeração das páginas do livro, vai mais além, identificando outras ‘leituras’. O aluno deve ser desafiado a verbalizar, por palavras ou com ajuda de esquemas, as regularidades que encontra. Em seguida, para nos certificarmos que compreendeu, pode pedir-se-lhe que escreva outra sequência que ‘vá de dois em dois’, mas gerando números diferentes da sequência dada.


Pedro Adriano

Sabe Fazer uma ‘leitura’ directa dos números da sequência, tal como os vê.

Olhar para os números e procurar o que é constante, o que varia e de que forma (ordem, repetição, …)

Precisa saber Olhar para os números de uma sequência, não em si mesmos, mas para procurar relações que eles têm entre si.

Procurar expressar a regularidade de forma progressivamente mais formal.

Como evoluir Ser solicitado a fazer ‘leituras’ específicas de sequências de números organizados em tabela (em que dígito terminam, pares ou ímpares, como se passa de um termo ao outro).

Escrever sequências obedecendo a condições dadas (números ‘de 3 em 3’, iniciando-se em determinado número, …) e identificar se uma sequência obedece a determinadas condições.

3.3.5. TAREFAS-TIPO 3: ESCREVER TERMOS PRÓXIMOS EM SEQUÊNCIAS

Estas tarefas têm por objectivos que os alunos conheçam sequências crescentes e que, usando a regularidade encontrada entre os termos consecutivos, calculem outros termos próximos, diferentes dos dados. Para o efeito apresentam-se dois exemplos, através de curtos episódios de sala de aula.

Exemplos1. Observa os termos da sequência 20, 30, 40, 50. Identifica uma regularidade e escreve os dois

termos seguintes.2. Observa os termos da sequência de quatro números 4, 7, …, 13, em que o 3.º termo se apagou.

És capaz de ajudar a ‘encontrá-lo’?


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EPISÓDIO 5: E depois?

Eurico (observando os termos da sequência 20, 30, 40, 50): Os próximos termos são o 55 e o 60 … os termos estão sempre a crescer.Professor: Concordas, Adriano?Adriano: Não … devem terminar em 0! Por exemplo, o 70 e o 90 … ou o 80.Professor: Basta terminarem em zero ou terão outra regularidade importante?Adriano: Bom, os números vão aumentando 10 unidades … Assim será 60 e 70 …

EPISÓDIO 6: O que falta?

Eurico (observando os termos da sequência de quatro números 4, 7, …, 13, em que o 3.º termo se apagou): É capaz de ser o 8 … é par.Professor: Não pode ser ímpar?Eurico: Não. Par, ímpar, par, ímpar.Professor: Queres comentar Adriano?Adriano: 4 e três 7. Os termos da sequência ‘vão de 3 em 3’. Penso que a seguir vem o 10.Professor: Podes continuar ou já acabaste …? Ainda tens mais um termo … Adriano: Pois tenho. Então, se for 10 … com três, 13. Está certo!


Eurico identifica como regularidade o crescimento da sequência e o tipo de número (par-ímpar), mas não respeita a diferença constante entre os termos. Para este aluno, na situação do episódio 5, o professor deve colocar um conjunto de questões: Como se pode passar do 1.º (10) para o 2.º termo (20)? E deste para o 3.º termo (30)? Como se pode então continuar a sequência? O apoio na recta numérica (Figura 9) pode auxiliar o aluno a perceber este processo recursivo e a identificar a regularidade.

Figura 9. Apoio ao processo recursivo na sequência

Quanto ao 6.º episódio, pode confrontar o aluno com a sequência que ele propôs (4, 7, 8, 13) e convidá-lo a averiguar se o crescimento se faz da mesma maneira. É evidente que não, pois de 4 para 7 adicionam-se 3 unidades e de 7 para 8, ou de 8 para 13, adicionam-se, respectivamente, 1 e 5 unidades.

Adriano já percebeu que os termos da sequência estão a crescer e que esse crescimento se faz sempre da mesma forma. No 1.º exemplo, de 10 em 10 e no 2.º exemplo, de 3 em 3. Usando esses processos sistemáticos de cálculo (algoritmos), pode sempre continuar qualquer das sequências.


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Eurico Adriano

Sabe Olhar para alguma característica dos números de uma sequência e considerá-la, de imediato, uma regularidade (p. ex., a monotonia ou o algarismo das unidades).

Identificar a regularidade, neste caso a diferença constante entre dois termos consecutivos e usá-la para determinar termos próximos.

Precisa saber Como identificar uma regularidade, procurando uma relação constante entre os termos consecutivos.

Procurar expressar as regularidades observadas, usando diferentes representações e formas progressivamente mais formais.

Como evoluir Ser solicitado a fazer ‘leituras’ específicas de sequências de números (como se passa de um termo ao seguinte).

Ser solicitado a escrever sequências diferentes com o mesmo tipo de crescimento, sequências com determinadas condições e termos em falta.

3.3.7. TAREFAS-TIPO 4: EXPRESSAR, POR PALAVRAS, A GENERALIZAÇÃO EM SEQUÊNCIAS

Estas tarefas têm por objectivo que os alunos expressem, por palavras, a generalização numa sequência, em função da ordem (ou posição) do termo. Para o efeito apresenta-se um exemplo, através de um episódio.

ExemploConsidera a sequência 5, 10, 15, 20. Observa a regularidade que existe entre a posição (ordem) e o respectivo termo. Descreve um processo que te permita calcular facilmente o 10.º e o 100.º termos.

EPISÓDIO 7: E na centésima posição?

Eurico (observando a sequência 5, 10, 15, 20): Na 2.ª posição está o 10 e na 4.ª posição está o 20. Indo de 2 em 2 chego à 10.ª posição. Termina em 0.Professor: E o 100.º?Eurico: O centésimo … também termina em 0.Fátima: Mas posso saber qual é o número … porque vão de 5 em 5. Na 2.ª posição é 5+5=2×5=10 e na 10.ª posição é adicionar dez ‘cincos’, ou seja, 10×5=50.Professor: E na 100.ª posição, podes saber qual é o número?Fátima: Sim, basta multiplicar por 5. 100×5=500Professor: Podes explicar como fazemos então, sabendo a posição ou ordem?Fátima: Sim. Multiplicamos a posição por 5 para obter o termo.


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Eurico é capaz de analisar a regularidade (dígitos em que terminam os números da sequência), mas não consegue determinar o número. O aluno necessita de ir mais além na análise da regularidade, procurando a relação ordem-termo. É importante representar os números numa tabela onde se assinalam as ordens e os termos de modo a identificar uma relação e procurar descrevê-la por palavras.

Ordem ou posição 1 2 3 4 ...Termos 5 10 15 20 Multiplica-se por 5

Figura 10. Tabela que evidencia a relação ordem-termo

Fátima, pelo contrário, identifica que os termos crescem de 5 em 5, à medida que a ordem aumenta e procura traduzir essa relação. No 2.º termo adiciona dois ‘cincos’ (5+5=2×5), no 3.º termo adiciona três ‘cincos’ (5+5+5=3×5) e no 4.º termo adiciona 4 ‘cincos’ (5+5+5+5=4×5). Este processo permite calcular qualquer termo da sequência e, para o 100.º termo, terá de adicionar 100 ‘cincos’, ou seja, 100×5=500.Na figura 11, as duas tabelas mostram os dois processos de generalização para esta sequência: na tabela 1, o processo que recorre ao termo anterior para calcular o seguinte – recursivo, de generalização local; na tabela 2, o processo que recorre à relação da ordem com o termo – de generalização distante.

Figura 11. Organização de dados para facilitar a generalização (local e distante)

Tabela 5. Síntese da análise do episódio 7

Eurico Fátima

Sabe Identificar parcialmente a regularidade, prolongando o processo recursivo, mas que lhe permite apenas uma resposta incompleta.

Identificar a regularidade na relação or-dem-termo e usar esse conhecimento para a generalização próxima e distante.

Precisa saber Como identificar um processo que lhe per-mita calcular termos próximos e distantes.

Expressar a regularidade observada entre a ordem e o termo, servindo-se de várias re-presentações e de modo progressivamente mais formal.

Como evoluir Ser solicitado a fazer ‘leituras’ específicas de sequências de números sobre relações entre a ordem e o termo (dobro de, triplo de, …) e a descrever processos para obter um termo, conhecida a ordem.

Ser solicitado a explicar, por palavras suas, o processo de obter qualquer termo de uma sequência, conhecida a sua posição na sequência, usando as operações básicas.


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4. PROBLEMAS DE PALAVRAS

4.1. O QUE SÃO PROBLEMAS DE PALAVRAS?

É amplamente consensual a ideia de que para os alunos aprenderem Matemática com compreensão é essencial envolverem-se em actividades de resolução de problemas. Um problema é uma tarefa matemática não rotineira que constitui um desafio para os alunos, isto é, não pode ser resolvida através da mera aplicação directa de procedimentos mecanizados ou estandardizados (por exemplo, algoritmos) por eles conhecidos. Para resolver um problema é necessário que os alunos, através de um raciocínio que é novo para si, descubram um caminho que lhes permita chegar à solução mobilizando e interligando os seus conhecimentos. Este caminho pode ser percorrido de modos muito diversos que estão relacionados, nomeadamente com o que já são, ou não, capazes de fazer.Há diversos tipos de problemas, entre os quais estão os que, habitualmente, se designam por problemas de palavras. Problemas de palavras são tarefas cujo enunciado relata, na maioria dos casos, uma história (ainda que breve), contém uma questão cuja resposta corresponde à solução do problema e inclui toda a informação necessária para responder a esta questão. Esta história pode, ou não, referir-se a contextos reais. Por exemplo: A Malika e a Maria foram apanhar mangas. A Malika apanhou catorze mangas e a Maria cinco. Quantas mais mangas tem que apanhar a Maria para ficar com o mesmo número de mangas que a Malika tem?A história de um problema de palavras é apresentada usando, sobretudo, termos e expressões da linguagem natural e nela há informação desconhecida que o aluno deve poder determinar (Quantas mais mangas tem que apanhar a Maria para ficar com o mesmo número de mangas que a Malika tem?) apoiando-se, por um lado, nos dados fornecidos pelo enunciado (A Malika apanhou catorze mangas e a Maria cinco) e, por outro, nos seus conhecimentos e competências. A resolução destes problemas requer que se tomem decisões quanto à operação ou operações a aplicar aos dados apresentados no enunciado. Está-se na presença de um problema de um passo ou de vários passos, consoante a sua resolução esteja associada, respectivamente, ao uso de uma só operação aritmética ou de várias operações.


A resolução de problemas é um processo matemático, com determinadas características, que é transversal ao ensino e aprendizagem de todos os conteúdos matemáticos do currículo. Trata-se de um processo que coloca a tónica no modo de adquirir e utilizar os conhecimentos sobre estes conteúdos.Aprender a resolver problemas de palavras não passa apenas por saber conceitos e procedimentos matemáticos. Com muita frequência, os alunos vão procurar no enunciado dos problemas números que aí constam e operam correctamente com eles, mesmo que os cálculos que fazem não tenham qualquer sentido face à situação apresentada. Outras vezes procuram no enunciado certas palavras que associam a determinadas acções ou operações aritméticas, mesmo que estas não permitam chegar à solução correcta.Consideremos, por exemplo, o problema da Malika e da Maria apresentado no ponto 4.1: A Malika e a Maria foram apanhar mangas. A Malika apanhou catorze mangas e a Maria cinco. Quantas mais mangas tem que apanhar a Maria para ficar com o mesmo número de mangas que a Malika tem?


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Trata-se de um problema de subtracção mas as quantidades catorze e cinco são seguidas pela palavra “mais”. Um aluno que se foque exclusivamente nos números e no que considera serem palavras-chave (neste caso, “mais”), tentará determinar o resultado da adição de 14 com 5, seja recorrendo explicitamente a esta operação seja, por exemplo, desenhando no papel 14 traços e 5 traços e contando todos os traços desenhados. Para que os alunos sejam bem sucedidos na resolução de problemas de palavras é essencial que aprendam a interpretar a situação descrita, o que vai muito para além da descodificação de palavras, de ter em atenção os números e de pensar, meramente, em cálculos. Neste âmbito, a primeira etapa é compreender a situação e representá-la matematicamente, de alguma forma, seja esta forma simbólica, pictórica, esquemática, envolvendo materiais manipuláveis ou qualquer outra. Representar a situação requer que os alunos construam uma imagem mental de quais são as suas componentes essenciais, de quais são os aspectos-chave do problema que não podem ser ignorados e que informação é irrelevante. Caso o contexto do problema se foque numa situação da vida real, requer que lidem com o desafio de relacionar o problema com a tarefa matemática que têm que resolver. É importante que aprendam, por exemplo, que no problema da Malika e da Maria os nomes das crianças não são relevantes, tal como não o é saber o tipo de fruta que estão a apanhar. É essencial, também, que aprendam que não é útil pensar em questões do tipo Onde é que estas crianças andam a apanhar mangas? ou Há aí mangas suficientes para a Maria apanhar de modo a ficar com a mesma quantidade de mangas que a Malika? Em contrapartida, é imprescindível que aprendam a distinguir o que se sabe e o que se pretende saber e que se foquem em detectar de que modo se relacionam as quantidades referidas no problema. Esta actividade permitirá que os alunos matematizem a situação, ou seja, que concebam um plano que pode conduzir à solução do problema. A concepção deste plano constitui a segunda etapa da resolução do problema. A esta etapa segue-se uma outra: concretizar o plano. Sobretudo nas 1.ª e 2.ª classes, a concretização deste plano passa frequentemente pelo recurso a procedimentos que espelham acções ou relações referidas no problema. Os alunos podem recorrer, por exemplo, a dramatizações da situação descrita, à representação desta situação através de desenhos que, por vezes, incluem muito dos pormenores da situação ou a registos mais esquemáticos em que se focam nas quantidades e nas relações entre elas. A última etapa da resolução de um problema consiste em avaliar o que foi feito. Trata-se de uma etapa importante em que os alunos devem analisar criticamente a resposta obtida e questionar-se se esta resposta faz sentido no contexto do problema. Por vezes, concluem que não o faz: por exemplo, alunos que adicionam 14 com 5 no problema de Maria e de Malika obtendo 19 mangas, dizem que não pode ser porque assim a Maria ficava com mais mangas do que a Malika. Neste caso, é importante que retomem a 1.ª etapa do processo de resolução de problemas, ou seja, que se debrucem, de novo, sobre a compreensão do problema.

4.3. COMO DESENVOLVER A CAPACIDADE DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PALAVRAS?

Uma vez que a resolução de problemas de palavras requer, em primeiro lugar, a interpretação dos problemas é importante que estes sejam sobre situações reais, próximas das suas vivências e experiências.A resolução de problemas requer, também, a identificação da operação ou das operações adequada(s) para o resolver, estando esta associada ao contexto do problema. A tabela 4.1 apresenta seis


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problemas-tipo que ilustram Problemas de Palavras, habitualmente associados às aprendizagens numéricas iniciais.

Tabela 4.1. Problemas-tipo dos Problemas de Palavras

Problemas-tipo Exemplos

(1) Mudar:resultado desconhecido

O António pescou cinco peixes. Chegou o amigo Amílcar e ofereceu-lhe os sete peixes que tinha pescado. Com quantos peixes ficou o António?O António pescou cinco peixes e deu dois. Com quantos ficou?

(2) Combinar: resultado desconhecido

O António e o Amílcar estiveram a encher saquinhos com cajus para vender. Conseguiram encher vinte e três saquinhos. O Amílcar encheu seis. Quantos saquinhos terá enchido o António? O António e o Amílcar estiveram a encher saquinhos com cajus para vender. O António encheu cinco saquinhos e o Amílcar encheu sete. Quantos saquinhos encheram os dois amigos?

(3) Comparar: mudança desconhecida

A Malika e a Maria foram apanhar mangas. A Malika apanhou catorze mangas e a Maria cinco. Quantas mais mangas tem que apanhar a Maria para ficar com o mesmo número de mangas que a Malika tem?

(4) Mudar: início desconhecido

Na paragem da cidade de Lubango entraram vinte e quatro pessoas no autocarro. Agora viajam sessenta e sete pessoas. Quantas pessoas viajavam no autocarro antes de chegar à paragem de Lubango?Na paragem de Lubango saíram vinte e quatro pessoas do autocarro. Agora viajam treze. Quantas pessoas viajavam no autocarro antes de chegar à paragem de Lubango?

(5) Partilhar equitativamenteA tia Adelina deu aos seus quatro sobrinhos um saco com vinte e quatro rebuçados. Os sobrinhos repartiram igualmente os rebuçados entre si. Com quantos rebuçados ficou cada um?

(6) Juntar grupos com o mesmo número de elementos

O João colecciona cromos com fotos de jogadores de futebol. Deram-lhe quatro embalagens de cromos. Cada embalagem tem três cromos. Quantos cromos deram ao João?

Os problemas-tipo 1 têm associada uma situação que parte de uma quantidade inicial que, devido a uma determinada acção, provoca uma mudança nessa quantidade, sendo desconhecido o resultado. Num dos exemplos da tabela 4.1 temos uma quantidade inicial já definida (cinco peixes pescados pelo António), à qual se acrescenta outra quantidade (sete peixes oferecidos pelo Amílcar). Pretende-se, assim, saber o resultado da adição de 5 com 7 (ou seja: 5+7=?). No outro exemplo temos uma quantidade inicial já definida (cinco peixes pescados pelo António), à qual se retira outra quantidade (dois peixes que o António deu). Pretende-se, assim, saber o resultado da subtracção entre 5 e 2 (5-2=?).

Aos problemas-tipo 2 está, também, associada uma situação em que o resultado é desconhecido. O que se pretende é estabelecer uma relação que envolve duas quantidades distintas que são partes de um mesmo todo. Baseando-nos num dos exemplos da tabela 4.1, são conhecidos o todo (23 saquinhos que foram enchidos Amílcar e António) e uma das partes (6 saquinhos que Amílcar encheu) e pretende-se conhecer a outra parte (número de saquinhos que António encheu). Trata-se, neste caso, de tirar uma quantidade conhecida (uma parte) a outra também conhecida (o todo). No outro exemplo são


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conhecidas as partes (5 saquinhos enchidos pelo António e 7 pelo Amilcar). Trata-se, neste caso, de conhecer o todo.O problema-tipo 3 tem subjacente a comparação de duas quantidades e o intuito será descobrir quanto tem a menos (ou a mais) uma delas em relação à outra. Trata-se, assim, de determinar uma quantidade que provoque mudança numa quantidade quando comparada com outra. O exemplo da tabela 4.1 corresponde a procurar a quantidade de mangas que deve apanhar a Maria (mudança desconhecida) de modo a perfazer a quantidade de mangas de Malika (14), o que pode ser traduzido do seguinte modo: 5 + ? = 14.Aos problemas-tipo 4 está associada uma situação na qual é necessário determinar a quantidade que se deve juntar ou retirar a uma outra quantidade para se obter um determinado resultado. No primeiro exemplo de problema da tabela 4.1, o que se pretende saber é o número de pessoas que viajavam no autocarro antes deste chegar à paragem da cidade de Lubango, ou seja: ? + 24 = 67. No outro exemplo o que se pretende saber é, também, o número de pessoas que viajavam no autocarro antes de este chegar à paragem do Lobango, ou seja, ? − 24 = 13.O problema-tipo 5 corresponde ao que habitualmente se designa por um problema de partilha equitativa. Na verdade, trata-se de repartir equitativamente uma determinada quantidade por um certo número de conjuntos (a partição). Atendendo ao exemplo da tabela 4.1, pretende-se distribuir 24 rebuçados por 4 pessoas de forma a que cada uma delas fique com a mesma quantidade de rebuçados. A solução deste problema corresponde ao número de rebuçados com que fica cada uma das pessoas, ou seja, 6.Ao problema-tipo 6 está associada uma situação de juntar grupos com o mesmo número de elementos. Concretizando com o exemplo da tabela 4.1, trata-se de adicionar a quantidade 3 (o número de cromos por embalagem) quatro vezes (o número de embalagens de cromos), ou seja 3+3+3+3 ou 4×3.

Nos pontos seguintes partimos de um dos exemplos de cada problema-tipo apresentado na tabela 4.1 e analisamos diferentes resoluções de alunos, identificando o que cada um sabe, o que precisa ainda de aprofundar e como poderá ser apoiado para evoluir.

4.3.1. PROBLEMAS-TIPO 1: MUDAR (RESULTADO DESCONHECIDO)

Exemplo: O António pescou cinco peixes. Chegou o amigo Amílcar e ofereceu-lhe os sete peixes que tinha pescado. Com quantos peixes ficou o António?

EPISÓDIO 1: Eu juntei as sementes…1. Professor: Já sabem com quantos peixes ficou o António?2. Benedita: Sim. Eu juntei as sementes dos dois. Fiz: 1, 2, 3, 4, 5. Estes são os peixes que o

António pescou (de entre várias sementes, Benedita separa 5 sementes, contando-as). 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Estes são os peixes do Amílcar (do mesmo modo conta 7 sementes). Então o António ficou com… 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Ficou com 12 peixes.

3. Ariel: Eu contei de outra maneira. Tenho neste montinho os peixes que o António pescou, que são 5 (aponta para o conjunto de 5 sementes). Neste montinho tenho os peixes que o Amílcar pescou (aponta para o conjunto com 7 sementes). Depois, fiz 5… 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (vai juntando, ao conjunto das sementes que representam os peixes de António, uma


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semente de cada vez do conjunto de peixes oferecidos por Amílcar). O António ficou com 12 peixes.

4. Professor: Benedita, o que achas da estratégia da Ariel?5. Benedita: É mais rápida. Há sementes que já estão contadas.6. Professor: Explica melhor o que queres dizer com “há sementes que já estão contadas”!7. Benedita: Se já se tem 5, podemos passar logo para o 6 e ir juntando. 5…, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

12.8. Nelson: Eu fiz parecido com a Ariel. Comecei pelos peixes que o Amílcar ofereceu e depois

é que juntei os do António. Fiz 7… 8, 9, 10, 11, 12. 9. Professor: Porque começaste com os peixes do Amílcar?10. Nelson: Porque é mais rápido. Porque 7 é maior do que 5.11. Rui: Eu também contei a partir do 7 que é o número maior. Mas não usei as sementes. Fiz

assim: 7… 8, 9, 10, 11, 12 (à medida que vai contando vai tocando em cada um dos dedos de uma mão).

EPISÓDIO 2: Eu não fiz na folha… fiz na cabeça

1. Professor: Já sabem com quantos peixes ficou o António?2. Luena: Sim. Eu fiz na folha (Luena mostra a sua folha). Eu

coloquei o 7 na recta, que são os peixes oferecidos pelo Amílcar. Depois, fui juntando os do António, que são 5. Fiz 8, 9, 10, 11 e 12 (vai apontando para os arcos de 1 à medida que vai referindo os números que está a obter). Cheguei ao 12, por isso, são 12 peixes.

Estratégia de Luena

3. Francisco: Eu também utilizei a recta (Francisco mostra a sua folha). Fiz como a Luena, pus o 7. Só que depois cheguei logo ao 10 porque sei que 7 + 3 são 10. No fim, juntei 2 que era o que faltava juntar. Também cheguei ao 12. Estratégia de Francisco

4. Professor: O que acham da estratégia do Francisco? 5. Celmira: Eu acho que está bem porque deu poucos saltos. Mas

eu também consegui dar poucos saltos e não fiz igual. Fiz assim (Celmira mostra a sua folha): Primeiro pus o 5, que são os peixes que o António pescou. Como sei que 7 é 5 mais 2, depois fiz um salto de 5 e fiquei no 10. No fim, fiz um salto de 2 e cheguei ao 12. O António ficou com 12 peixes.

Estratégia de Celmira

6. Jacira: Eu também fiz na folha, mas não usei a recta (Jacira mostra a sua folha). Eu queria fazer 5 mais 7. Como 7 é 5 mais 2, pus aqui (aponta para a segunda expressão). Depois, já sei que 5 mais 5 são 10. E vi logo que dá 12. Estratégia de Jacira

7. Celmira: A resolução da Jacira é parecida com a minha, mas não fez na recta. Ela também tem um 5 primeiro, depois junta o 5 e depois o 2.

8. Professor: E porque é que junta o 5 e depois o 2?9. Celmira: Ah! Porque 7 é o mesmo que 5 mais 2.10. Ivo: Eu não fiz na folha… fiz na cabeça. Eu juntei o 5 com o 7 na cabeça.11. Professor: Na cabeça? Explica lá melhor!12. Ivo: Eu já sei que 5 mais 7 são 12.


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4.3.2. PERSPECTIVAR A APRENDIZAGEM A PARTIR DA EXPLORAÇÃO DE PROBLEMAS-TIPO 1

Análise do episódio 1. Benedita, Ariel e Nelson recorrem a materiais manipuláveis (neste caso, sementes) para os auxiliar na contagem. As suas estratégias têm em comum o facto de começarem por formar dois conjuntos de sementes – um com 5 e outro com 7 – que representam o número de peixes pescados por cada uma das personagens do enunciado do problema. Contudo, o modo como efectuam as contagens é diferente e está associado às acções que realizam.Benedita, depois de constituir os dois conjuntos de sementes, cujos cardinais correspondem às quantidades que pretende adicionar, junta as sementes e efectua uma contagem a partir de 1 até chegar a 12 (ver episódio 1, parágrafo 2). Já Ariel e Nelson, para adicionar as duas quantidades, iniciam a contagem no número que representa a quantidade de sementes de um dos conjuntos e vão adicionando, uma a uma, as sementes do outro conjunto. Ariel conta a partir de 5 até juntar 7 (ver o episódio 1, parágrafo 3). Esta aluna conta a partir do número menor, muito provavelmente por ser o que surge em primeiro lugar no enunciado do problema ou porque o próprio enunciado sugere que se acrescente 7. Nelson conta a partir do 7 até juntar 5 e revela que esta opção é intencional (ver o episódio 1, do parágrafo 8 ao 10). Ao fazê-lo, distancia-se do contexto do problema e mostra reconhecer que é mais rápido contar a partir do maior número.Rui é o único aluno do episódio 1 que não recorre a materiais manipuláveis para representar os dois conjuntos de peixes. Utiliza os dedos para auxiliar a contagem e, tal como Nelson, fá-lo a partir do número que representa a maior quantidade de peixes (ver episódio 1, parágrafo 11). Os alunos que recorrem a materiais manipuláveis começam por construir um dos conjuntos ao qual acrescentaram o número de elementos do outro conjunto. Em seguida, alguns deles tendem a juntar todos os elementos formando um único conjunto para, finalmente, contarem todos os elementos um a um (tal como faz Benedita). Estes alunos devem ser ajudados a compreender que se trata de acrescentar a uma quantidade outra quantidade e que, portanto, basta contar a partir de um dos números para obter o total de elementos. Uma forma de apoiar a evolução de alunos como Benedita é promover a comparação do seu modo de pensar com estratégias como a de Ariel e de Nelson (tal como ilustra o episódio 1, do parágrafo 4 ao 7).As estratégias de Ariel e Nelson diferem na escolha do número a partir do qual iniciam a contagem. Alunos que, tal como Ariel, optam por iniciar a contagem a partir do menor número deverão ser ajudados a compreender que é mais rápido iniciá-la a partir do maior. Esta evolução pode ser conseguida a partir da comparação com estratégias de alunos que intencionalmente escolhem o número maior para iniciar a contagem, tal como Nelson (ver episódio 1, do parágrafo 9 ao 10). Naturalmente que a opção pela estratégia de Nelson exige já um certo afastamento do contexto do problema e o reconhecimento que adicionar 7 a 5 é o mesmo que adicionar 5 a 7.Por sua vez, Nelson deverá evoluir para estratégias em que já não necessita de recorrer ao uso de materiais manipuláveis para simular a situação associada ao problema. Numa primeira fase, poderá apoiar-se na contagem pelos dedos, tal como faz Rui. A proposta de problemas com números maiores poderá ajudar os alunos, como Rui, a abandonar a contagem pelos dedos. Para tal, é importante que desenvolvam estratégias de cálculo com recurso à recta numérica, como ilustra o episódio 2.Na tabela 4.2 resumimos a análise do episódio 1 e referimos sugestões para apoiar a progressão dos alunos.

Análise do episódio 2. Este episódio ilustra o modo como um conjunto de alunos, que se situa a um nível mais avançado do cálculo do que os do episódio 1, pode resolver um problema-tipo 1. Luena,


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Francisco, Celmira e Jacira recorrem ao registo em papel enquanto que Ivo já não necessita de qualquer suporte de cálculo para dar resposta ao problema. Comparando com os restantes alunos, este é aquele que se situa num nível mais avançado de cálculo, pois, para ele, 5+7=12 é já um facto numérico que memorizou.Tal como Ivo, habitualmente, os alunos que recorrem a factos numéricos conhecidos, quando lhes é pedido para explicar como efectuaram os cálculos usam expressões do tipo “fiz na cabeça” ou “já sei” (ver episódio 2, do parágrafo 10 ao 12). Na verdade, para estes alunos, estes cálculos já estão mecanizados e, por isso, não necessitam, ou mesmo não conseguem, explicitar como os efectuaram. É de salientar que não é por Ivo ter usado um facto numérico (5+7=12) na resolução deste problema, que não precise de recorrer a registos escritos (que envolvam o uso da recta numérica ou do cálculo horizontal) para efectuar cálculos com outros números. Muito provavelmente, perante problemas que envolvam números maiores e diferentes dos números de referência, este aluno poderá ter de usar cálculos intermédios, apoiando-se eventualmente, em factos numéricos que conhece.De entre os alunos que recorrem à recta numérica podemos observar que Luena inicia o cálculo no maior número (7), mas faz cinco saltos, de um em um, até chegar a 12 (ver episódio 2, parágrafo 2), não mobilizando, ainda, estratégias que evidenciem o uso de números de referência (como o 5 e o 10). Para alunos que apresentem o mesmo tipo de registos de Luena é importante que o professor crie oportunidades de partilha de resoluções de alunos que apoiam os seus cálculos no uso de números de referência e que efectuam saltos na recta numérica com maiores amplitudes, tal como Francisco e Celmira. Francisco inicia o cálculo em 7 e junta 5 através de dois saltos na recta numérica – um salto até à dezena mais próxima de 7 (salto de 3) e um salto de 2 (ver episódio 2, parágrafo 3). Celmira inicia em 5 (menor número) e junta 7 através de um salto de 5 e outro de 2 (ver episódio 2, parágrafo 5). Efectuar saltos até à dezena mais próxima e/ou fazer saltos de cinco são estratégias usadas por estes dois alunos e que são essenciais para o desenvolvimento do cálculo mental, sobretudo com números até 20.O uso da recta numérica como suporte de cálculo é importante, mas é fundamental que gradualmente os alunos deixem de necessitar dela, usando estratégias de cálculo baseadas na decomposição dos números (com números de referência) e em factos numéricos conhecidos. Para tal, é essencial que o professor crie oportunidades de comparação de resoluções de alunos que usam a recta numérica com os que recorrem ao cálculo horizontal e cujas decomposições dos números deem significado aos cálculos efectuados na recta. É o caso de Celmira que faz um salto de 5 e outro de 2 e que, perante a estratégia de Jacira, evidencia reconhecer que 7 é 5+2 (ver episódio 2, do parágrafo 7 ao 9). Jacira já recorre ao cálculo horizontal. Para calcular 5 + 7 usa a decomposição de 7 em 5 + 2. Em seguida, substitui 5+5 por 10 e adiciona 2 a 10, obtendo 12. Para esta aluna 5+5=10 e 10+2=12 são já factos numéricos conhecidos (ver episódio 2, parágrafo 6). É importante que alunos que recorrem a estratégias idênticas à de Jacira caminhem para a construção de mais factos numéricos, automatizando, por exemplo, que 5 mais 7 são 12. Para tal, e à semelhança do que sugerimos para ajudar Ivo a evoluir, é fundamental que seja desafiada a resolver problemas de adição envolvendo números maiores.Na tabela 4.3 resumimos a análise do episódio 2 e apresentamos sugestões para apoiar a progressão dos alunos.


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4.3.3. PROBLEMAS-TIPO 2: COMBINAR (RESULTADO DESCONHECIDO)

Exemplo: O António e o Amílcar estiveram a encher saquinhos com cajus para vender. Conseguiram encher vinte e três saquinhos. O Amílcar encheu seis. Quantos saquinhos terá enchido o António?

EPISÓDIO 3: Eu tirei 6 sementes…

1. Professor: Já sabem quantos saquinhos encheu o António?2. Virgínia: 29 saquinhos.3. Vera: Não, são 17. Eu tirei 6 sementes. Tinha aqui estas 23 sementes que são os saquinhos

dos dois (de entre várias sementes, Vera separou 23 sementes) e tirei 1, 2, 3, 4, 5, 6 (vai tirando sementes uma a uma até tirar 6). Então tenho 1, 2, 3, 4, ..., 17 saquinhos (conta o número de sementes com que ficou).

4. Pedro: Eu desenhei os saquinhos, mas deu-me 16 (Pedro mostra a sua folha).

5. Professor: Então, o António encheu 16 ou 17 saquinhos?

6. Pedro: São 17, são 17! Faltou-me desenhar um saquinho (Pedro conta os saquinhos que desenhou e verifica que lhe faltou desenhar um; apressadamente acrescenta um saquinho).

Estratégia de Pedro7. Fátima: Eu não fiz assim. Fiz: 23, 22, 21, 20, 19, 18 (à medida que faz a contagem decrescente

a partir do 23 vai tocando nos dedos, num total de 6 vezes). O António encheu 17 saquinhos.8. Professor: E se o Amílcar tivesse enchido 19 saquinhos, quantos saquinhos teria enchido o

António?9. Fátima: 20, 21, 22, 23 (conta com os dedos a partir do 20 até perfazer a quantidade 23).

Tinha enchido só 4 saquinhos.

EPISÓDIO 4: Eu fiz na recta…

1. Professor: Niara, queres dizer-nos como resolveste o problema?2. Niara: Eu fiz na recta (Niara mostra a sua folha). Eu coloquei

o 23 na recta e andei 6 saltinhos para trás (vai apontando para os arcos que representam saltos de 1 à medida que vai referindo os números que está a obter). Cheguei ao 17, por isso, o António encheu 17 saquinhos.

Estratégia de Niara


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3. Egídio: Eu também utilizei a recta (Egídio mostra a sua folha). Fiz como a Niara, pus o 23. Só que depois cheguei logo ao 20 porque sei que 23 menos 3 são 20. Depois, andei mais 3 para trás.

Estratégia de Egídio4. Guilhermina: Eu também fiz na folha, mas não usei a

recta (Guilhermina mostra a sua folha). Eu queria fazer 23 menos 6. Sei que 23 menos 3 dá 20 (aponta para a segunda expressão). Depois, também sei que 20 menos 3 dá 17 (aponta para a terceira expressão). Então dá 17.

Estratégia de Guilhermina5. Marcos: Eu fiz a conta (Marcos mostra a sua folha),

mas deu-me 23. Ah! Mas não pode ser porque tem de ser menos do que 23 saquinhos. Os 23 saquinhos são dos dois!

Estratégia de Marcos6. Professor: Explica-nos como fizeste a conta!7. Marcos: Então… primeiro pensei nas unidade e fiz 6 menos 3 que dá 3. Depois pensei nas

dezenas e fiz 2 menos 0 que dá 2.8. João: Tu não podes fazer 6 menos 3. Tu tens 3 menos 6. Como de 3 não podes tirar 6 tens

que pensar em 13 unidades e, assim, dá 7. Depois, como já gastaste uma dezena ficas com outra. Dá 17.

9. Professor: Foi assim que fizeste, João?10. João: Eu não fiz na folha… mas pensei como a Guilhermina.


Análise do episódio 3. Virgínia não identifica que o problema corresponde a uma situação de subtracção (ver episódio 3, parágrafo 2). Tal como Virgínia, há alunos que tendem a operar com os números que fazem parte do enunciado do problema sem o interpretarem. Para apoiar estes alunos é importante incentivá-los a representar a situação descrita através da acção, levando-os a compreender que se conhece o todo (número total de saquinhos) e uma das partes (número de saquinhos que o Amílcar encheu). Para conhecer a outra parte podemos, por exemplo usando sementes, formar um conjunto com 23 elementos (o todo que é conhecido, ou seja, o número de saquinhos que foram cheios pelos dois amigos) e tirar 6 sementes (a parte que é conhecida, ou seja, o número de saquinhos que foram cheios apenas por Amílcar). O número de sementes que ficam depois de tirar estas 6, dá-nos o número de saquinhos que António encheu. Também se pode optar por partir do número de elementos da parte conhecida (6) e ir juntando elementos (neste caso sementes) até perfazer a quantidade que corresponde ao todo (23). Contudo, a opção por cada uma destas possibilidades deve depender dos números envolvidos. Como 6 ‘está longe’ de 23, neste caso torna-se mais rápido tirar 6 de 23 do que completar 6 até perfazer 23, pelo que a primeira opção aqui apresentada será mais adequada. Esta é, aliás, a opção dos restantes alunos que participam neste episódio. As estratégias de Vera e Pedro têm em comum o facto de necessitarem de recorrer à representação da situação associada ao problema: respectivamente, através da acção (usando sementes) e da


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representação icónica (fazendo desenhos). Vera começa por formar um conjunto com 23 sementes (número de saquinhos feitos pelos dois amigos) e, desse conjunto, tira 6 sementes uma a uma. Em seguida, conta as sementes deste ‘novo’ conjunto, concluindo que o António terá enchido 17 saquinhos (ver episódio 3, parágrafo 3).Pedro opta por desenhar os saquinhos no papel e, em seguida, risca 6. Tal como Vera conta os saquinhos que lhe restam (neste caso, os que não estão riscados). Apercebe-se que desenhou um saquinho a menos e, rapidamente, corrige a sua resolução, desenhando mais um saquinho e corrigindo a solução que apresentara para o problema (ver episódio 3, do parágrafo 4 ao 6).Tanto Vera como Pedro precisam de ser incentivados a abandonar a representação da situação com materiais manipuláveis e desenhos, passando, numa primeira fase, para o uso da contagem decrescente a partir do 23 (tal como Fátima) e, posteriormente, para o recurso à recta numérica (tal como os alunos que participam no episódio 4). Para além de o professor proporcionar a estes alunos oportunidades de ouvirem as explicações das estratégias de outros colegas (por exemplo, os que recorrem a estratégias semelhantes às de Fátima ou dos que são mencionados no episódio 4), uma forma de os ajudar a evoluir é propor problemas do mesmo tipo, mas envolvendo números maiores. Na verdade, é habitual que perante números maiores os alunos tentem encontrar outros caminhos diferentes do uso de materiais manipuláveis ou da elaboração de desenhos.Fátima recorre à contagem decrescente a partir de 23, usando os dedos das mãos (vai tocando em cada um deles, num total de 6 vezes). Quando confrontada com a mudança do subtractivo de 6 para 19, mantém a estratégia da contagem pelos dedos, mas efectua uma contagem crescente a partir de 20 até perfazer a quantidade 23 (ver episódio 3, do parágrafo 7 a 9). Esta opção revela que, por um lado, Fátima reconhece que a subtracção é a operação inversa da adição (mais concretamente, que calcular 23-19=___ é o mesmo do que pensar num número que adicionado com 19 seja 23) e, por outro, que é capaz de adaptar o tipo de contagem que efectua às características dos números envolvidos no problema. De facto, ao pretendermos encontrar a diferença entre 23 e 19 é mais fácil contar a partir de 19 até chegar a 23, do que começar em 23 e ‘contar para trás’ até 19.Ainda assim, alunos como Fátima devem ser ajudados a desenvolverem estratégias de cálculo que, numa primeira fase, passam pelo uso da recta numérica. Para tal, é importante que o professor lhes proporcione oportunidades de ouvirem as explicações das estratégias idênticas às que são apresentadas no episódio 4. É, também, fundamental que os problemas deste tipo passem a incluir números em que o subtractivo seja superior ao número de dedos das duas mãos e que, simultaneamente, a diferença entre o subtractivo e o aditivo seja suficientemente grande para inibir a contagem pelos dedos (quer decrescente, quer crescente). Por exemplo, se for pedido para calcular 67-38, a contagem pelos dedos é demasiado morosa e pode facilmente conduzir a erros. Nestas circunstâncias, os alunos são impelidos a encontrar outras estratégias mais eficazes.Na tabela 4.4 resumimos a análise do episódio 3 e concretizamos sugestões para apoiar a progressão dos alunos.

Análise do episódio 4. O episódio 4 ilustra o modo como um conjunto de alunos, que se situa a um nível mais avançado do cálculo do que os do episódio 3, pode resolver o problema proposto. Niara, Egídio, Guilhermina e Marcos recorrem ao registo em papel, apresentando, contudo, diferentes estratégias de cálculo.Niara subtrai 6 a 23, usando a recta numérica. Começa por marcar 23 e dá seis saltos de uma unidade para trás, chegando a 17 (ver episódio 4, parágrafo 2). Tal como Niara, Egídio utiliza a recta numérica e começa por marcar 23, mas faz saltos para trás de maior amplitude. Primeiro faz um salto até à dezena


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MATEMÁTICA

mais próxima (até a 20), que corresponde a subtrair 3. Depois, subtrai o resto da quantidade que falta para perfazer 6 (que é 3), efectuando saltos de um em um até chegar a 17 (ver episódio 4, parágrafo 3).Para alunos que apresentem o mesmo tipo de registos de Niara é importante que o professor crie oportunidades de partilha de resoluções de alunos que efectuem saltos na recta com maiores amplitudes e que evidenciem, neste caso, o recurso a saltos de aproximação à dezena mais próxima (como faz Egídio).A explicação de Guilhermina sobre o modo como resolveu o problema poderá ajudar Niara e Egídio a recorrer ao cálculo horizontal. Guilhermina começa por subtrair 3 a 23 que sabe que é igual a 20. Em seguida, pensa na quantidade que lhe permite perfazer a quantidade 6 e conclui que é 3. De 20 subtrai 3, concluindo que é igual a 17 (ver episódio 4, parágrafo 4). Para esta aluna 23-3=20 e 20-3=17 parecem já ser factos numéricos conhecidos ou estão ancorados em factos numéricos (20+3=23 e 17+3=20).Marcos compreende que se trata de uma situação de subtracção e recorre ao algoritmo, colocando correctamente o subtractivo e o aditivo na representação vertical (ver episódio 4, parágrafo 5). Contudo, não identifica que está perante uma subtracção em que o algarismo das unidades do aditivo (3) é inferior a 6 que é o algarismo das unidades do subtractivo. É frequente que perante a impossibilidade de retirar 6 de 3, os alunos, tal como Marcos, optem, incorrectamente, por tirar 3 de 6, concluindo que ficam com 3 unidades. A explicação de João apela à transformação de duas dezenas e três unidades em uma dezena e treze unidades, pelo que o resultado será uma dezena e sete unidades (ver episódio 4, parágrafo 8). Alunos como Marcos devem ser ajudados a compreender o algoritmo da subtracção em situações em que o algarismo das unidades do aditivo é inferior ao das unidades do subtractivo, mas, sobretudo, devem ser incentivados a recorrer a estratégias de cálculo mental (quer com suporte na recta numérica, quer através do cálculo horizontal) quando se trata de subtrair números tão pequenos como os que fazem parte do enunciado deste problema. O modo como João pensa para resolver o problema é muito idêntico ao de Guilhermina (ver episódio 4, parágrafo 10). A única diferença é que João já não necessita de efectuar registos escritos. Tal não significa que, para este aluno, 23-6=17 seja um facto numérico conhecido, pois também efectua cálculos intermédios só que, neste caso, ‘de cabeça’.Para apoiar a evolução de Guilhermina e de João é fundamental que os problemas de subtracção envolvam números maiores que não sejam de referência e em que a diferença entre o subtractivo e o aditivo seja grande.Na tabela 4.5 resumimos a análise do episódio 4 e indicamos sugestões para apoiar a progressão dos alunos.

4.3.5. PROBLEMA-TIPO 3: COMPARAR (MUDANÇA DESCONHECIDA)

Exemplo: A Malika e a Maria foram apanhar mangas. A Malika apanhou catorze mangas e a Maria cinco. Quantas mangas a mais tem que apanhar a Maria para ficar com o mesmo número de mangas que a Malika tem?


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EPISÓDIO 5: Ela não tem que apanhar tantas mangas...

1. Professora: António, como fizeste? 2. António: Fui buscar sementes. Contei 14. São as mangas da Malika. Depois contei mais

5 sementes. São as da Maria. Depois juntei as sementes todas e contei: uma, duas, três, quatro, (continua até dezanove). A Maria tem que apanhar 19 mangas.

3. Rui: Ela não tem que apanhar tantas mangas... 4. António: Tem! Pergunta quantas mais... mais é para juntar tudo...5. Rui: Mas não é para saber quantas têm as duas juntas! A Maria já

tem 5 mangas. Eu fiz de maneira diferente...6. Professora: Explica lá como pensaste. 7. Rui: Eu também fui buscar sementes e contei 14: as mangas da

Malika. Depois fui buscar pedrinhas e contei 5. São as mangas da Maria. Depois pus uma semente ao pé de uma pedra, outra semente, outra pedra, semente, pedra, até acabar as pedras (ilustra recorrendo aos materiais que usou). Depois contei as sementes que ficaram sem pedra: uma, duas, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove. A Maria tem que apanhar mais 9 mangas.

Rui: emparelhamento de pedras e sementes

8. Professora: Tens a certeza, Rui?9. Rui: Sim... Se a Maria apanhar mais 9 mangas eu posso ir buscar mais 9 pedrinhas e consigo

pôr sempre semente, pedra, semente, pedra... Não fica nada de fora. Nem sementes nem pedras.

10. Professora: Dina, eu vi que tu andaste a fazer traços no teu papel e que depois escreveste 9... Foi isto?

11. Dina: Foi. Fiz 14 tracinhos que eram as mangas da Malika. Risquei 5 porque a Maria já tem 5 mangas (mostra os registos que fez no papel). Depois contei os tracinhos que não estavam riscados. Um (aponta para o primeiro traço não riscado), dois (aponta para o segundo traço), três (aponta para o terceiro traço) e continuei assim. Quando cheguei ao último tracinho estava em 9. Por isso é que eu escrevi 9. A Maria ainda tem que apanhar 9 mangas.

Estratégia de Dina

12. Gaby: Eu também contei mas usei os dedos. A Maria já tem 5 mangas. Comecei em 5 e fui contando para a frente até 14 que eram as da Malika. Assim: seis (levanta um dedo de uma mão), sete (levanta outro dedo da mesma mão), oito (levanta um terceiro dedo), nove (...) (prossegue até chegar a 14; de cada vez que diz um número levanta um dedo; quando esgota os dedos de uma mão passa para os dedos da outra). Quando cheguei a 14 tinha levantado os 5 dedos de uma mão e 4 da outra mão. Duas mãos são 10 dedos, mas um não está levantado. Estão 10 menos 1 dedos levantados. Faltam 9 mangas à Maria.

EPISÓDIO 6: Alguém fez sem usar a recta?

1. Professora: Então quantas mais mangas tem que apanhar a Maria para ficar com a mesma quantidade de mangas que tem a Malika?


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2. Justino: São 9. Fiz assim (mostra a sua folha de papel onde tem o registo). Desenhei a recta e marquei 14 que são as mangas da Malika. Depois fui andando até chegar a 5: 14, 13, 12, 11, 9, 8, 7, 6, 5 (vai apontando para os traços que indicam os saltos de 1 em 1 registados na recta). Contei os saltos. São 9 e é por isso que a Maria ainda tem que apanhar mais nove mangas.

Estratégia de Justino

3. Neide: Eu também fiz com a recta mas dei menos saltos. Foi assim (mostra a sua folha).

4. Erica: Foi quase igual ao que eu fiz mas em vez de andar para trás, andei para a frente. Comecei em 5, que eram as mangas da Maria, e dei um salto de 5. Cheguei a 10. Depois dei mais um salto de 4 para chegar ao 14, que eram as mangas da Malika. Depois juntei 4 com 5. São 9.

5. Professora: Neide, porque é que escreveste que 4 mais 5 é igual a 9?6. Neide: Comecei no 4 e contei: cinco, seis, sete, oito, nove.

Estratégia de Neide

7. Professora: Alguém fez sem usar a recta? 8. Eduardo: Eu fiz. Pensei quanto falta a 5 para chegar até 14. Faltam

5 para chegar a 10. Faltam mais quatro para chegar de 10 até 14 (mostra a sua folha). Depois já sabia que 5 mais 4 é 9. A Maria tem que apanhar 9 mangas.

9. Karina: Eu também não usei a recta mas fiz de uma maneira diferente da do Eduardo. Pensei em 14 menos 5 e fiz assim (mostra a sua folha). Estratégia de Eduardo

10. Ana: Eu não escrevi nada. Eu sei que 5 mais 10 é 15. Se a Maria tivesse apanhado 10 mangas ficava com mais uma do que a Malika porque 14 mais 1 é igual a 15. Por isso tem que apanhar menos uma do que 10. Tem que apanhar 9 mangas.

Estratégia de Karina


Análise do episódio 5. A análise deste episódio revela que António interpreta o problema como sendo de adição e não de subtracção. As suas palavras (ver episódio 5, parágrafo 4) indiciam que esta interpretação está directamente relacionada com a presença da palavra “mais” no enunciado. É como se o processo que usa para resolver problemas dependesse apenas da identificação das quantidades aí referidas e da procura de palavras associadas às acções a executar ou às operações a efectuar. São estas palavras que determinam o procedimento a usar, tal como transparece na justificação que apresenta: “mais é para juntar tudo”.


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Se o problema fosse de adição, António não teria dificuldade em determinar a soma de 14 com 5 recorrendo a materiais manipuláveis e à contagem de 1 em 1 (ver episódio 5, parágrafo 4). Até poderia evoluir para procedimentos de cálculo mais eficazes, mas a principal dificuldade de António não são os cálculos mas a compreensão do problema. Alunos como este devem aprender, antes de mais nada, que identificar palavras “tipo” (por exemplo, mais, menos, vezes, tirar, juntar), sem prestar atenção à situação descrita no enunciado e usá-las para determinar o que fazer com as quantidades indicadas, não é um bom método para resolver problemas. Uma forma de ajudar a evoluir estes alunos é incentivá-los a representar a situação descrita no enunciado. O professor pode, por exemplo, pedir-lhe para contar, por palavras suas, o que diz o problema, encorajá-los a fazer uma simulação da situação ou a representá-la através de um desenho e proporcionar que se confrontem com representações deste tipo feitas por colegas. Trata-se de os apoiar na matematização do problema.A estratégia usada por Rui (ver episódio 5, parágrafo 7) é uma das formas possíveis de matematização da situação. Tal como António, também este aluno simula o seu entendimento do problema recorrendo a materiais manipuláveis. Para o efeito, forma dois conjuntos cujos cardinais são as quantidades indicadas no enunciado: usa 14 sementes para representar as mangas de Malika e 5 pedras para representar as de Maria. Em seguida, usando uma estratégia de emparelhamento entre pedras e sementes — o que, do ponto de vista matemático, significa estabelecer uma correspondência biunívoca entre duas quantidades de objectos —, descobre quantas mangas (sementes) tem Malika a mais do que Maria. Esta acção é indiciadora de que compreende que tem que encontrar um número que adicionado a 5 permita obter 14 (ver episódio 5, parágrafo 9). Ou seja, a sua matematização da situação corresponde a uma expressão do tipo 5 + ___ = 14. Encontra o referido número por contagem de 1 em 1 do número de sementes que não foram emparelhadas com pedras. Outros alunos que, a exemplo de Rui, interpretam correctamente o problema, associando-o a uma situação de subtracção, são Dina e Gaby. Nenhuma usa materiais manipuláveis, mas resolvem-no de modo diferente, apoiando-se em recursos também diferentes.Dina desenha traços que representam as mangas de Malika e, em seguida, risca as que Maria já tem (ver episódio 5, parágrafo 11). A sua matematização da situação corresponde a uma expressão do tipo: 14 − 5= ___. Para encontrar a solução conta de 1 em 1 os traços não riscados. Este modo de agir pode ser indiciador de que Dina começa a distanciar-se do contexto do problema uma vez que nada na descrição da situação remete para retirar 5 mangas a 14 mangas. A estratégia de Gaby está mais próxima deste contexto pois parte do número de mangas que Maria tem e, utilizando os dedos, conta de 1 em 1 até chegar a 14 que é o número de mangas de Malika (ver episódio 5, parágrafo 12). Encontra a solução do problema recorrendo a factos conhecidos (duas mãos são dez dedos e 10 − 1= 9). Alunos que matematizam problemas de subtracção através de raciocínios associados a expressões do tipo a + ___ = b (como Rui e Gaby) devem ser ajudados a compreender que também podem usar estratégias que remetem para expressões do tipo b−a= ___, tal como faz Dina. O recíproco também é verdadeiro, ou seja alunos como Dina devem contactar com resoluções análogas, do ponto de vista da estrutura matemática, às usadas por Rui e Gaby. O que importa é que se movam flexivelmente entre estes dois tipos de matematização, que favorece o estabelecimento de relações entre a adição e a subtracção, e que escolham aquela que, face à situação descrita, lhes parece mais simples. Uma forma de os ajudar a evoluir neste sentido é proporcionar a análise e comparação de estratégias de resolução que traduzam os tipos de matematização referidos.


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Alunos que, como Rui, recorrem a materiais manipuláveis para modelar a situação descrita no problema deverão ser ajudados a evoluir para estratégias em que já não necessitam destes materiais. Inicialmente, podem ser incentivados a usar representações icónicas, tal como fez Dina, que são menos consumidoras de tempo. Também podem ser impulsionados a apoiar-se na contagem pelos dedos e no que conhecem sobre as quantidades de dedos de uma e de duas mãos, como fez Gaby. Apresentar problemas com números maiores pode ser vantajoso para, posteriormente, levar os alunos a abandonar, a pouco e pouco, simulações com materiais, representações icónicas ou contagem pelos dedos, e para começar a usar estratégias mais eficazes entre as quais estão, nomeadamente as que envolvem o recurso à recta numérica ilustradas no episódio 6. Na tabela 4.6 apresentamos uma síntese da análise do episódio 5 bem como sugestões para apoiar a progressão dos alunos.

Análise do episódio 6. A análise deste episódio revela que todos os alunos reconhecem a situação descrita no problema como sendo de subtracção. Revela, também, que a generalidade está num nível de cálculo mais avançado do qualquer um dos referidos no episódio 5. Dois (Justino e Neide) recorrem à recta numérica para determinar a diferença entre 14 e 9. Ambos partem de 14, mas enquanto que Justino recorre a nove saltos de um em um (ver episódio 6, parágrafo 2), Neide usa apenas dois: um de 14 para 10 e outro de 10 para 5 (episódio 6, parágrafo 3). A estratégia desta aluna é mais eficaz do que a de Justino e evidencia que para efectuar o cálculo se apoia em números de referência, o que lhe permite uma maior amplitude nos saltos. Uma estratégia de cálculo idêntica é a usada por Erica (ver episódio 6, parágrafo 4), embora tenha modelado o problema de outro modo: 5+___ =14 em vez de 14 − ___ = 5, como fizeram Neide e Justino. Diferentemente dos alunos referidos, Eduardo, Karina e Ana não se apoiaram na recta numérica mas antes na decomposição de números e em factos numéricos conhecidos. Eduardo matematiza a situação como 5+___ =14 (ver episódio 6, parágrafo 8) e usa uma estratégia aditiva. Sabe que 9 é igual a 5 mais 4 e, por isso, adiciona 5 (o número de mangas de Maria) com 5, chegando ao número de referência 10. Em seguida, adiciona 10 com 4, obtendo o número a que queria chegar (14). Karina, por seu lado, matematiza a situação como 14−5 = ___ e usa uma estratégia subtractiva. Decompõe 5 em 4+1 e subtrai 4 a 14, aproximando-se, assim, da dezena mais próxima (10). Posteriormente, retira 1 a 10. Ana situa-se num nível de cálculo mais avançado do que Eduardo e Karina. Com efeito, calcula mentalmente a diferença entre 14 e 5 recorrendo a uma estratégia aditiva, parecendo não ter necessidade de usar registos intermédios (ver episódio 6, parágrafo 10). Para o efeito, apoia-se em factos numéricos conhecidos (“eu sei que 5 mais 10 é 15”; 14 mais 1 é igual a 15), em números que lhe dão jeito (10 em vez do 9 que surge no enunciado do problema) e numa estratégia de compensação: obteve um resultado superior em uma unidade a um dos dados do problema e, por isso, ao resultado obtido tem que subtrair, também, uma unidade.Uma síntese da análise do episódio 6, a par de sugestões para apoiar a progressão dos alunos, é apresentada na tabela 4.7 .


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4.3.7. PROBLEMA-TIPO 4: MUDAR (INÍCIO DESCONHECIDO)

Exemplo: Na paragem da cidade de Lubango entraram vinte e quatro pessoas no autocarro. Agora viajam sessenta e sete pessoas. Quantas pessoas viajavam no autocarro antes de chegar à paragem de Lubango?

EPISÓDIO 7

1. Professor: Já resolveram o problema?2. Benedita: Não. (Benedita está a usar sementes e vai

contando baixinho). 25, …, 33, 34, 36, …, 43, 45, 46, …, 67. Viajavam 41 pessoas.

3. Pedro: Não. A mim deu-me 43 pessoas. Eu fiz na recta (Pedro mostra a sua folha). Eu parti do 24 dei um salto até ao 25, depois um salto até ao 30, depois dei um salto grande até ao 60 e depois fiz um salto de 7 e cheguei ao 67. Depois somei estes números (vai apontando para os números que registou perto dos arcos) e deu-me 43.

Estratégia de Pedro

4. Fátima: Eu também fiz na recta (Fátima mostra a sua folha). Eu parti do 24 dei um salto muito, muito grande de 40 e cheguei logo ao 64. Depois, foi só juntar 3.

Estratégia de Fátima5. João: Eu fiz 67 menos 24 e deu-me 43 (João mostra a sua

folha e, a seguir, acrescenta). Se eu fizer 24 mais 43 dá 67, que são as pessoas que viajam no autocarro depois da paragem de Lubango.

Estratégia de João


Análise do episódio 7. Os alunos interpretam bem a situação associada ao problema, mas nem todos conseguem apresentar uma solução correcta. Benedita compreende que tem de completar a quantidade 24 até perfazer 67. Como os números envolvidos neste problema já são quantidades consideráveis, acaba por se enganar na contagem duas vezes (do 34 passa para o 36 e do 43 passa para o 45 – ver episódio 7, parágrafo 2). Alunos que optam pela mesma estratégia de Benedita devem ser incentivados a usar a recta numérica, em particular, em situações como estas (que envolve números desta ordem de grandeza) e em que a contagem um a um, para além de morosa, pode conduzir a erros. Para além deste aspecto, é também importante que resolvam mais problemas de subtracção, mas em que os números envolvidos, numa primeira fase, sejam múltiplos de 10 e/ou de 5 (por exemplo, 60 e 25).


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Embora de modo diferente, Pedro e Fátima recorrem à recta numérica. Ambos começam por assinalar na recta o número 24, efectuando, em seguida, saltos com amplitudes diferentes. Pedro começa por efectuar um salto de um, chegando a um múltiplo de 5 (25). Depois, faz um salto de 5, chegando à dezena mais próxima (30). Prossegue com um salto de 30 (o que revela que sabe que 30+30=60) e termina com um salto de 7, chegando a 67. No final da explicação da sua estratégia, Pedro revela, ainda, compreender que adicionando os números associados aos saltos que foi fazendo, obtém o número que adicionado com 24 permite obter 67, ou seja, 43 (ver episódio 7, parágrafo 3).Fátima usa a recta numérica e revela um bom domínio do cálculo aditivo. Na verdade, sabe que se 20+40=60, então 24+40= 64, começando por efectuar um salto de amplitude 40, que completa com um salto de 3. Pedro e Fátima devem ser incentivados a recorrer ao cálculo horizontal, usando estratégias baseadas na decomposição dos números (com números de referência) e em factos numéricos conhecidos. Para tal, é importante que o professor apoie estes alunos no registo de expressões que mostrem os raciocínios subjacentes às suas representações na recta. Devem, também, ter a oportunidade de se confrontar com a estratégia de João, que evidencia que a subtracção é a operação inversa da adição. Mais concretamente, pensar num número cuja soma com 24 seja igual a 67 é o mesmo do que calcular 67− 24.A estratégia de João, para além de ilustrar esta relação entre a adição e a subtracção, constitui também um exemplo de recurso ao cálculo horizontal, importante para alunos como Pedro e Fátima. Uma vez que o algarismo das unidades do aditivo é superior ao do subtractivo, ficamos sem saber como é que João efectuaria uma subtracção em que tal não acontecesse (por exemplo 64−27). Assim, seria importante propor a João problemas com números com estas características e que tenham a mesma ordem de grandeza dos do enunciado do exemplo do problema-tipo 4. Paralelamente, será fundamental que continue a resolver problemas de subtracção envolvendo números com maior ordem de grandeza.

Na tabela 4.8 resumimos a análise do episódio 7 e apresentamos sugestões para apoiar a progressão dos alunos.


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Tabela 4.8 – Síntese da análise do episódio 7

Benedita Pedro Fátima João

Recursos de apoio ao cálculo

Materiais manipuláveis para auxiliar a contagem.

Registos em papel e lápis.

Recta numérica. Cálculo horizontal.

Sabe Representar a situação associada ao problema – representação através da acção (conta a partir de 24).Contar a partir de um número.

Efectuar saltos na recta numérica usando números de referência, factos numéricos e relações numéricas.

Usar estratégias de cálculo mental baseadas na decomposição dos números e em factos numéricos conhecidos.Relacionar a operação adição com a operação subtracção.

Precisa saber Que com números desta grandeza não é eficaz recorrer a estratégias de contagem um a um.

Realizar cálculo horizontal, usando estratégias de cálculo baseadas na decomposição dos números (com números de referência) e em factos numéricos conhecidos.Relacionar a operação adição com a operação subtracção.

Mais factos numéricos.

Como evoluir Comparar a sua estratégia com a de outros alunos que recorrem à recta numérica.Resolver problemas de subtracção em que os números envolvidos são números da mesma ordem de grandeza, mas mais ‘fáceis’ de operar (múltiplos de 5 e de 10).

Traduzir através de expressões os raciocínios efectuados na recta numérica.Comparar a sua estratégia com a de alunos que recorrem ao cálculo horizontal.

Resolver problemas de subtracção com números de maior ordem de grandeza.Resolver problemas de subtracção em que o algarismo das unidades do aditivo seja inferior ao do subtractivo.

4.3.9. PROBLEMA-TIPO 5: PARTILHAR EQUITATIVAMENTE

Exemplo: A tia Adelina deu aos seus quatro sobrinhos um saco com vinte e quatro rebuçados. Os sobrinhos repartiram igualmente os rebuçados entre si. Com quantos rebuçados ficou cada um?

EPISÓDIO 8: Dei um rebuçado a cada um e fui contando

1. Professora: Quem é que já descobriu com quantos rebuçados ficou cada sobrinho da tia Adelina?


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2. Henrique: Eu descobri. Um ficou com 10, outro com 10, outro com 2 e outro com 2. São os 24 rebuçados que a tia deu. 10 mais 10 são 20, mais 2, são 22 e mais outros 2 são 24.(vários alunos manifestam que não estão de acordo)

3. Professora: Neusa, porque é que dizes que não pode ser?4. Neusa: Porque o problema diz que os sobrinhos repartiram igualmente os rebuçados.

Igualmente! (ênfase) Uns não podem ficar com mais rebuçados e outros com menos. Têm todos que ficar com o mesmo número de rebuçados...

5. Henrique: Diz repartir (fica com ar pensativo). Igualmente... (continua com ar pensativo). Ah!... É distribuir os rebuçados mas no fim todos têm que ter o mesmo número...

6. Professora: Pois é. Neusa, como é que tu fizeste? 7. Neusa: Primeiro desenhei quatro meninos; cada um é um

sobrinho. Dei um rebuçado a cada um que são as cruzes e fui contando: 1, 2, 3, 4. Assim (aponta a primeira linha de cruzes). Depois dei mais um rebuçado a cada um, fiz estas cruzes (aponta para a segunda linha de cruzes), e continuei a contar: 5, 6, 7, 8. E fui fazendo sempre assim: dei um rebuçado a cada menino e contei até chegar a 24 que eram todos os rebuçados. Depois contei quantas cruzes estavam ao pé de cada menino: 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (à medida que vai dizendo cada número vai apontando para uma cruz). Cheguei a 6; cada sobrinho tem 6 rebuçados.

Estratégia de Neusa: Início

Estratégia de Neusa: Fim

8. Professora: Muito bem, Neusa. Tiveste bastante trabalho... Anselmo, tu fizeste de outra maneira e penso que foi mais rápida...

9. Anselmo: Foi. Pensei: são quatro sobrinhos. Se eu der um rebuçado a cada um, dou 4 rebuçados. Se eu der outro rebuçado a cada um dou mais quatro. Já dei oito. E depois fui fazendo sempre assim. Fui juntando quatros até chegar a 24 (mostra a sua folha). Contei e vi que dei seis vezes um rebuçado a cada sobrinho. Cada um ficou com seis rebuçados

Estratégia de Anselmo

10. Professora: Danny, também começaste como o Anselmo, não foi? Mas depois fizeste de maneira diferente. Explica lá.


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11. Danny: Foi. Também comecei por dar um rebuçado a cada sobrinho. Dei 4. Mas depois vi que ainda sobravam 20 rebuçados... (mostra a sua folha). Sobravam muitos rebuçados e então pensei que podia dar logo 4 a cada sobrinho para não demorar muito. Dei 4 mais 4 mais 4 mais 4 que são 16. Ainda sobraram 4 rebuçados e dei mais 1 a cada sobrinho. Ao todo dei a cada sobrinho um rebuçado mais 4 rebuçados mais um rebuçado. Seis rebuçados para cada um.

Estratégia de Danny

12. Professora: Vamos ver como fez a Ariel. Ela teve menos trabalho, não foi Ariel?13. Ariel: Sim. São quatro sobrinhos e há

24 rebuçados e então pensei que tinha que descobrir um número para aqui (mostra a sua folha e aponta para o ? em 4 × ?=24). Quatro vezes esse número tem que ser igual a 24. Depois andei a tentar descobrir qual era o número e fiz assim (aponta para a sua folha).

14. Professora: Explica no quadro o que escreveste na tua folha.

Estratégia de Ariel15. Ariel: Eu sei que quatro vezes cinco são 20 porque dois vezes cinco são 10 e outra vez dois vezes

cinco são outros 10. Depois vi que estava no 20 e queria para chegar a 24. Podia dar mais um rebuçado a cada um. Quatro vezes um é quatro. Cada um dos 4 sobrinhos fica com 5 rebuçados mais 1 rebuçado. São 6 rebuçados ao todo. Quatro vezes seis são vinte e quatro.


Análise do episódio 8. O problema-tipo 5 é um problema de partilha equitativa que, do ponto de vista matemático, está associado à operação divisão. No entanto, como ilustra o episódio 8, os alunos podem resolvê-lo de modos muito diferentes que não requerem o uso desta operação. A análise deste episódio revela que os alunos aí mencionados que resolveram correctamente o problema usaram seis estratégias diferentes, algumas com mais afinidades entre si do que outras. Nenhum destes alunos recorre a materiais manipuláveis enquanto recurso de apoio à contagem ou envereda por uma dramatização da situação. No entanto, Neusa representa a situação descrita no problema de uma forma bastante realista. As suas palavras e os seus registos levam a supor que imaginou esta dramatização e usou um desenho para registar a forma como nela pensou (ver episódio 8, parágrafo 7). Com efeito, desenhou quatro “meninos” (os quatro sobrinhos) e refere que foi dando um rebuçado (representado por uma cruz) a cada um até esgotar os 24 rebuçados. No final contou


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o número de cruzes registadas abaixo de cada “menino”, ou seja, calculou contando de 1 em 1. Esta estratégia está muito próxima da que usamos no dia-a-dia quando pretendemos distribuir de forma justa uma certa quantidade de ‘coisas’ por um certo número de pessoas, pelo que podemos considerar que estamos perante uma estratégia de acção.Anselmo também parece iniciar a resolução do problema através de uma estratégia de acção embora esta seja mental: “se eu der um rebuçado a cada um, dou quatro rebuçados” (ver episódio 8, parágrafo 9). Uma vez compreendida a situação, deixa de se focar nos aspectos irrelevantes do problema (por exemplo, partilham-se rebuçados) para se centrar nas quantidades referidas e no modo como se relacionam: começa em 4 e vai contando de 4 em 4 até obter 24. Por fim, conta os números escritos que correspondem ao número de grupos de 4 contidos em 24, ou seja, mede 24 usando 4 como unidade de medida, embora não seja provável que tenha consciência de que está a medir algo. A estratégia que Anselmo usa para obter 24 é aditiva: começa em 4 e vai adicionando 4 ao número anterior até chegar ao que pretende. Diferentemente, Danny adopta uma estratégia subtractiva (ver episódio 8, parágrafo 10). Parte de 24, subtrai 4 e prossegue do mesmo modo tentando obter a diferença entre cada número que regista e 4. Procura, assim, resolver um problema de divisão recorrendo à subtracção. Usar uma estratégia de cálculo que envolve uma contagem regressiva, isto é, contar para trás como faz Danny, é uma actividade mais complexa do que contar para a frente (contagem progressiva) e este aluno engana-se ao subtrair 4 de 12. Para alunos que ainda não estejam à vontade com este procedimento de cálculo, é vantajoso o recurso a um modelo de apoio ao cálculo. É, precisamente, este aspeto que a professora procura evidenciar ao solicitar a Chica que explique a forma como pensou. Esta aluna usa uma estratégia bastante semelhante à de Danny mas recorre à recta numérica, um dos modelos de apoio ao cálculo, para registar o que vai fazendo. A sua actividade revela que sabe como efectuar aí saltos de 4 ou de 2, partindo de 24 e usando relações e factos numéricos conhecidos (ver episódio 8, parágrafo 12). É o uso da recta numérica que a ajuda a lidar com a incerteza do cálculo da diferença entre 12 e 4. Aparentemente, Ariel situa-se num nível da cálculo mais avançado do que os alunos referidos anteriormente (ver episódio 8, parágrafo 14). De facto, é capaz de relacionar a junção de grupos iguais com uma situação de multiplicação e, por isso, resolve o problema recorrendo à operação inversa da divisão: a multiplicação. Em primeiro lugar, identifica o cardinal de um conjunto composto pelos rebuçados que usará se der um a cada sobrinho: 4 rebuçados. Em seguida, considera 4 como um grupo e determina quantos grupos de 4 há em 24. O procedimento de cálculo que usa (ver episódio 8, parágrafo 16) baseia-se no recurso a factos numéricos conhecidos, na decomposição de 24 em 20 mais 4 (“24 tem mais um quatro do que 20”), na estruturação de 20 em cincos (“Eu sei que 20 são 4 cincos”) e no uso da propriedade comutativa da multiplicação (“e, por isso, [20] também são 5 quatros”).O episódio 8 ilustra uma dificuldade na resolução de problemas de palavras com que se deparam bastantes alunos: negligenciar aspectos que são fundamentais à correcta interpretação do problema. Henrique, ao contactar com a situação descrita no enunciado, não tem em conta a palavra “igualmente” que é imprescindível para ser capaz de o resolver correctamente (ver episódio 8, parágrafos 2 e 5). As suas palavras e o ar pensativo com que fica depois da intervenção de uma colega, levam a supor que não foi capaz de identificar um aspecto-chave do problema que não pode ser ignorado, diferentemente do que acontece com outra informação incluída no relato da situação (por exemplo, o nome da tia). Não compreendeu bem o problema e, por isso, não construiu uma imagem mental que incluísse todas as componentes essenciais que lhe permitiriam matematizá-lo adequadamente. Entre as possibilidades que podem ajudar este aluno a evoluir estão incentivá-lo a destacar toda a informação importante do problema (por exemplo, sublinhando-a), a dramatizar a situação recorrendo, nomeadamente


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a materiais de apoio à contagem, a comparar a sua estratégia com a de alunos que recorrem a representações pictóricas (por exemplo, Neusa) e a resolver outros problemas de partilha equitativa com números da mesma ordem de grandeza.A tabela 4.9 contém uma síntese da análise do episódio 8 e, também, sugestões para apoiar a progressão dos alunos.

4.3.11. PROBLEMA-TIPO 6: JUNTAR GRUPOS COM O MESMO NÚMERO DE ELEMENTOS

Exemplo: O João colecciona cromos com fotos de jogadores de futebol. Deram-lhe quatro embalagens de cromos. Cada embalagem tem três cromos. Quantos cromos deram ao João?

EPISÓDIO 9: São quatro vezes os três cromos

1. Professora: Então vamos lá ver quantos cromos deram ao João. Marcos, como pensaste? 2. Marcos: Quatro, cinco, seis, sete. Deram-lhe 7. 3. Professora: Vou ler outra vez o problema (lê o enunciado enfatizando as palavras “cada

embalagem”).4. Marcos: É cada embalagem que tem 3... E são quatro embalagens... Não podem ser 7

cromos... Têm que ser mais... 5. Paulo: Isso não pode ser... Eu faço colecção de cromos de jogadores de futebol! As

embalagens têm 5 cromos! Não têm 3 cromos!... O João não pode ter recebido embalagens dessas...

6. Professora: Paulo, se calhar as que deram ao João são de outra colecção diferente da tua. O que diz o problema é que cada embalagem (enfatiza a palavra “cada”) que deram ao João tem três cromos (enfatiza a palavra “três”) e deram-lhe quatro embalagens. Vamos pensar nas embalagens de cromos que deram ao João, sim? Felizardo, descobriste quantos cromos são?

7. Felizardo: Sim. Deram-lhe 12 cromos. Eu fiz um desenho das embalagens e dos cromos que estão lá dentro (mostra a sua folha). Depois contei os cromos todos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (enquanto conta vai apontando para os desenhos dos cromos).

Estratégia de Felizardo

8. Niara: Eu não desenhei. Fiz 3 mais 3 mais 3 mais 3. Cada embalagem tem 3 cromos e são 4 embalagens.

9. Professora: E descobriste quantos cromos deram ao João?

10. Niara: Sim. Deu-me o mesmo que ao Felizardo (mostra a sua folha). Eu sei que 3 mais 3 são 6 e que 6 mais 6 são 12. Estratégia de Niara


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11. Muxima: Eu fiz, 3, 6, 9, 12 (mostra os seus registos). Andei para a frente de 3 em 3.

12. Professora: Luena, e tu como pensaste?13. Luena: São 4 embalagens e cada uma com 3 cromos.

São quatro vezes os 3 cromos. Eu sei que duas vezes o 3 são 6. Quatro vezes são duas vezes mais duas vezes.

Estratégia de Muxima

São 6 mais 6 que é igual a 12. Fiz assim (mostra a sua folha).

14. Professora: Então deram 12 cromos ao João. Num problema temos que prestar muita atenção ao que nos dizem e ver aquilo que é mesmo importante e aquilo que não é. Aqui não nos podíamos esquecer que eram 4 embalagens e que dentro de cada embalagem havia 3 cromos.

Estratégia de Luena


Análise do episódio 9. O problema-tipo 6 é um problema de multiplicação no sentido aditivo. À semelhança do que acontece com o problema tipo 5, os alunos podem resolvê-lo de modos muito diversos que não requerem, necessariamente, o conhecimento desta operação. Um dos aspectos que o episódio 9 pretende ilustrar é, precisamente, esta ideia. Observando as intervenções que constam deste episódio, concluímos que um aluno (Marcos, parágrafo 2) não resolveu correctamente o problema e que outro se debate com ele porque trata a situação descrita de uma forma excessivamente realista (Paulo, parágrafo 5). A estratégia adoptada por Marcos pode derivar da crença de que para chegar à solução de um problema basta operar com os números que estão no enunciado ou decorrer do facto de não ter sido capaz de selecionar, entre a informação apresentada, toda a que era relevante (neste caso, a palavra “cada” que antecede a palavra “embalagem”). Paulo, por sua vez, parece não ter entendido que mesmo os problemas que relatam situações próximas do dia-a-dia, são representações hipotéticas destas situações pelo que a informação que aí consta não tem que corresponder, necessariamente, às suas experiências pessoais. Quando os alunos são confrontados com a necessidade de resolverem problemas de palavras, são bastante comuns modos de agir semelhantes aos de Marcos e de Paulo. Alunos como Marcos têm, antes de mais, que aprender que um problema não pode resolver-se fazendo qualquer tipo de cálculos com os números que surgem no seu enunciado. Para os que agem de um modo semelhante ao de Paulo é primordial compreenderem que os dados de um problema devem ser respeitados e que as situações descritas não têm que representar, com exactidão, a realidade que conhecem.Uma via para os ajudar a progredir é dedicar bastante atenção à fase de interpretação das situações descritas no enunciado. Para o efeito, o professor pode enfatizar, através do tom de voz, informação relevante (ver episódio 9, parágrafos 3 e 6) e incentivar que sublinhem (ou registem) toda a informação- -chave analisando se o fizeram. Pode, também, pedir-lhes que contem a situação descrita no problema por palavras suas, que a representem recorrendo a estratégias de acção (por exemplo, simulações ou uso de materiais de apoio à contagem) ou que comparem a sua interpretação do problema com a de outros alunos que usam, nomeadamente representações pictóricas como faz Felizardo.


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Paralelamente, é importante que o professor promova e apoie a compreensão de que, para efeitos de resolução de um problema de palavras, certas considerações relacionadas com vivências particulares não são apropriadas, isto é, que auxilie os alunos a entender que este tipo de problema não deve ser tratado de uma forma excessivamente realista (ver episódio 9, parágrafos 6 e 14). Abordá-los demasiado realisticamente pode conduzir, como parece acontecer com Paulo, a que suspendam as suas capacidades de construção de sentido para o problema e, por isso mesmo, não sejam capazes de se envolver na sua resolução. Exceptuando Marcos e Paulo, todos os restantes alunos referidos no episódio 9 chegam à solução correcta do problema, se bem que usem estratégias diferenciadas. Felizardo recorre a um desenho, bastante pormenorizado, para representar a situação descrita e, em seguida, determina o número de cromos por contagem de 1 em 1 apoiando-se nos cromos que desenhou (ver episódio 9, parágrafo 7). Diferentemente de Felizardo, as resoluções de Niara, Muxima e Luena mostram que estas alunas já se distanciaram da informação irrelevante do contexto do problema retendo, apenas, a essencial. Tanto Niara como Muxima reconhecem que estão na presença de uma situação de adição repetitiva: ambas começam por registar uma adição de quatro parcelas iguais a 3 (o número de cromos de cada embalagem). Niara recorrendo ao cálculo horizontal, associa estas parcelas duas a duas e determina o resultado apoiando-se em factos numéricos conhecidos (ver episódio 9, parágrafos 8 e 10). Este procedimento é indiciador de que sabe usar a propriedade associativa da adição. Muxima, por sua vez, efectua uma contagem progressiva de 3 em 3 até 12 (ver episódio 9, parágrafo 11). Para evoluir qualquer uma destas duas alunas precisa de aprender a relacionar a adição repetitiva de parcelas iguais com a multiplicação, a exemplo do que faz Luena (ver episódio 9, parágrafo 13).A estratégia usada por Luena evidencia que é a aluna que se situa num nível de cálculo mais avançado pois já é capaz de matematizar o problema recorrendo à multiplicação: 4×3= ?. Para determinar o produto decompõe o multiplicador (4) em duas parcelas iguais a 2 e multiplica cada uma destas parcelas pelo multiplicando (3). Este procedimento revela que já consegue utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, mesmo que ainda possa não ter consciência de que a usa. Por fim, obtém a soma dos dois produtos parciais recorrendo a factos conhecidos (6 mais 6 é igual a 12).

A tabela 4.10 apresenta uma síntese da análise do episódio 9 e, ainda, sugestões para apoiar a progressão dos alunos.


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5. ADIÇÃO E SUBTRACÇÃO

5.1. O QUE É A ADIÇÃO E SUBTRACÇÃO?

O tópico adição e subtracção diz respeito aos conhecimentos necessários para efectuar correctamente cálculos que envolvem estas operações. Podem considerar-se dois níveis diferentes, que correspondem à realização de cálculos com números até 10, no nível 1, e com números entre 10 e 100, no nível 2. As tabelas seguintes apresentam exemplos de cálculos que podem ser usados para cada um dos níveis:

Adição e subtracção – Nível 1 Adição e subtracção – Nível 2

1+3= 4−1= 13+6= 19−6= 3+2= 5−2= 18+6= 24−6= 4+5= 9−5= 12+13= 25−12= 3+6= 9−3= 23+36= 59−23= 8+4= 12−4= 46+37= 83−46=


As operações adição e subtracção, em conjunto com a multiplicação e a divisão, são fundamentais para toda a aprendizagem da matemática e para a resolução de problemas dentro e fora da escola. Compreender as operações aritméticas adição e subtracção, significa, numa primeira fase, ser capaz de juntar dois conjuntos de objectos e identificar que o cardinal do conjunto formado corresponde à soma dos cardinais de cada um dos conjuntos iniciais. Inicialmente, as crianças contam tudo, os elementos de um conjunto e de outro e, também, os elementos que correspondem à reunião dos conjuntos iniciais. A partir de uma certa altura, são capazes de perceber que basta começarem a contar a partir do número que corresponde ao cardinal de um dos conjuntos e continuar até obterem o cardinal do conjunto que corresponde à reunião dos dois. Mais tarde, as estratégias usadas com objectos concretos podem ser também aplicadas quando as crianças efectuam cálculos que envolvem a adição, evoluindo progressivamente para estratégias mais sofisticadas e, se possível, apoiando-se em modelos tais como o colar de contas e a recta numérica. Para um aprofundamento sobre as estratégias usadas pelos alunos na resolução de cálculos aditivos pode consultar-se o Capítulo Número e Operações no MMPEP (pp. 29-33).A aprendizagem da subtracção deve ser realizada a par da adição, de modo que os alunos percebam, desde cedo, a relação existente entre estas duas operações. A percepção desta relação inversa permite aos alunos saber factos numéricos básicos relacionados com a subtracção a partir dos que já conhecem sobre a adição e construir estratégias de cálculo mais eficazes. Por exemplo, se um aluno da 1.ª classe souber que 4+6=10 deve também ser capaz, a partir de uma certa altura, de deduzir daí os seguintes factos: 10−4=6 e 10−6=4. Se lhe for perguntado como sabe, por exemplo, que 10−4=6, possivelmente uma das respostas será: Porque sei que 4+6=10. Cabe ao professor do Ensino Primário, desde muito cedo, criar oportunidades de aprendizagem que evidenciem a relação inversa entre a adição e a subtracção.


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Tal como se referiu para a adição, para um aprofundamento sobre as estratégias de cálculo usadas pelos alunos a propósito da subtracção pode consultar-se o Capítulo Número e Operações – Adição e Subtracção do MMPEP.

5.3. COMO DESENVOLVER A ADIÇÃO E SUBTRACÇÃO?

O tópico Adição e Subtracção assenta na realização de expressões numéricas com estas duas operações. Por isso está intimamente relacionado com o tópico Problemas de palavras associados a estas duas operações aritméticas. Para que os alunos compreendam estas duas operações devem ser propostos problemas diversificados de modo a trabalhar com os números em contexto. Só mais tarde, os alunos deverão realizar cálculos “sem contexto”, ou seja, num contexto estritamente matemático. Assim, o que vamos referir nesta secção parte do pressuposto que os alunos, anteriormente, resolveram problemas de palavras de adição e de subtracção, tal como especificado a propósito do sub-item Problemas de palavras e no MMPEP (pp. 29-33). A adição e subtracção de números inteiros assenta, para além dos aspectos mencionados a propósito da resolução de problemas de palavras, no conhecimento sobre diferentes procedimentos de cálculo mental tais como os lineares e os de decomposição (ver MMPEP, p. 32). Efectivamente, calcular mentalmente, é trabalhar com os números e as relações entre eles, desenvolvendo um sistema de relações que pode ajudar na realização de cálculos cada vez mais complexos. Por isso é fundamental que os alunos tenham oportunidades para desenvolver estratégias de cálculo mental. Uma das maneiras de o fazer é propor-lhes o cálculo de expressões numéricas, encadeadas umas nas outras, de modo a fazer emergir uma estratégia de cálculo baseada em relações numéricas. Cada cadeia numérica é constituída por um conjunto de exercícios de cálculo, sem contexto, relacionados entre si e organizados sequencialmente. O modo como os exercícios são ordenados é pensado cuidadosa e previamente pelo professor, de maneira a realçar a utilização de uma determinada estratégia de cálculo. O desenvolvimento do cálculo mental pressupõe um trabalho sistemático, focado no estabelecimento de relações entre os números e as operações, que tem de ser feito ao longo de todo o ano escolar. No Guião do Professor 03 – Calcular em cadeia (MMPEP, p. 282) é explicado detalhadamente como devem ser exploradas as cadeias numéricas na sala de aula e são apresentados diversos exemplos de cadeias que envolvem as quatro operações aritméticas.Para desenvolver os diferentes aspectos associados à adição e subtracção, consideramos as seguintes quatro tarefas-tipo:

– adicionar números até 20; – subtrair números até 20; – adicionar números até 100 usando cadeias numéricas; – subtrair números até 100 usando cadeias numéricas.

Estas tarefas-tipo devem ser exploradas considerando o que cada aluno sabe e perspectivando o que ainda precisa de compreender. Por isso, é fundamental interpretar o que fazem e dizem os alunos em cada momento, de modo a poder decidir o que é essencial propor-lhes a seguir, para que progridam na sua aprendizagem. Nas sub-secções seguintes apresentamos exemplos de cada tarefa-tipo e analisamos diferentes respostas de alunos.


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5.3.1. TAREFAS-TIPO 1 – ADICIONAR NÚMEROS ATÉ 20

As tarefas que envolvem a adição de números até 20 são a base para o cálculo com números maiores, pelo que é essencial, depois do trabalho à volta da resolução de problemas, que o professor proponha aos seus alunos a realização de cálculos num contexto puramente matemático. Inicialmente os alunos precisarão do apoio de materiais ou de efectuarem o registo das suas estratégias no papel, mas a partir de certa altura o professor deverá incentivar que estes resolvam, quase automaticamente, os cálculos que envolvem números até 20.

Exemplo: No sentido de ajudar os alunos nos cálculos aditivos com números até 20, a professora Luísa construiu um conjunto de cartões com expressões numéricas, que vai mostrando um a um. Organiza um grupo de alunos a quem vai mostrando os cartões e pedindo para calcularem, justificando o modo como pensaram. Tem à disposição dos alunos pedrinhas (ou outro material de contagem), papel e lápis.A professora mostra o cartão 5+7 e pede aos alunos do primeiro ano para calcularem e explicarem como o fizeram.

EPISÓDIO 1: Julino calcula 5+7 no colar de contas

Julino: É 12.Professora: É verdade. Julino, podes explicar aos teus colegas como fizeste? Julino: Eu vi onde estava o 5 (aponta para o colar de contas) e depois contei a partir daí: 6, 7, 8, até 12. São 12.

EPISÓDIO 2: Ivone calcula 5+7

Ivone: Professora, eu não precisei de contar! Eu sei que 5+7 é igual a 12.Professora: Como sabes? Podes explicar? Ivone: Eu já sei que 5+5 são 10 e mais 2 são 12. E também me lembrei do problema dos peixes do António e do Amílcar.Professora: Sim, estes números fazem lembrar o problema dos peixes, tens razão.

Exemplo (continuação): Em seguida a professora mostra outro cartão 12+8 e pede novamente aos seus alunos para calcularem e explicarem como o fizeram.


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EPISÓDIO 3: Januário calcula 12+8

Januário: Eu já fiz, é 20.Professora: Januário, podes explicar como pensaste?Januário: Eu fiz na recta numérica (mostra a sua folha – figura ao lado)Professora: Então explica lá aos teus colegas o que fizeste.Januário: Primeiro escrevi o 12, depois juntei 3 e cheguei ao 15. Depois juntei mais 5 e cheguei ao 20.

EPISÓDIO 4: Luena calcula 12+8

Luena: Professora, eu fiz de outra maneira.Professora: Então explica lá como fizeste.Luena: Eu tirei o 2 do 10 e já sei que 2+8 são 10. Depois somei o outro 10 do doze e deu 20 (mostra o que tem escrito na sua folha)


Análise do episódio 1. Julino representa 5 no colar de contas e conta a partir deste número, até chegar a 12. Um modo de fazer progredir Julino na sua aprendizagem é fazê-lo perceber que adicionar 7 corresponde a adicionar 5 e depois mais 2. Observando o colar de contas com estas organizadas em duas cores, de 5 em 5, o aluno poderá perceber a decomposição do 7 a partir do número de referência 5. Deste modo não precisará de contar a partir do 5 mas poderá pensar em 5+5+2, calculando de modo mais eficaz. A estratégia usada, contar a partir de um número, embora possa ser utilizada com números desta ordem de grandeza, rapidamente se tornará pouco eficaz com números maiores, podendo conduzir a incorrecções. No sentido de o fazer progredir na sua aprendizagem, o professor deve incentivar Julino a tirar partido das propriedades dos números, concretamente, no uso de decomposições que recorram a números de referência como o 5. Além disso poderá propor-lhe que use a recta numérica para apoiar as suas estratégias, modelo que lhe será útil no cálculo com números maiores.

Análise do episódio 2. Ivone já tem conhecimento de alguns factos básicos e usa-os para calcular. Sabe que o 7 se pode decompor em 5+2, usando o número de referência 5 e sabe, também, que 5+5 são 10. Ou seja, parece saber adicionar ‘dobros’, estratégia bastante eficiente no caso da adição com números até 20. Além disso, Ivone consegue estabelecer uma conexão com um problema já trabalhado na sala de aula – O problema dos peixinhos (ver problemas tipo 1 no tópico anterior). Este facto permite-lhe progredir na sua aprendizagem, uma vez que consegue relacionar os números num contexto apenas matemático com os mesmos números que fazem parte de um problema de palavras. Além disso poderá ajudá-la a usar alguma das estratégias utilizadas durante a resolução desse problema de palavras (ver as estratégias referidas na secção 3 do tópico Problemas de Palavras).De modo a evoluir, Ivone deve ser incentivada a memorizar e usar factos básicos, aspecto que lhe poderá ser útil mais tarde, com números maiores. Efectivamente o saber de cor factos básicos com números até 20, tal como 5+5=10 poderá ajudá-la mais a tarde a relacioná-los com outros, como por exemplo, que 50+50=100 ou que 500+500=1000.


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Análise do episódio 3. Januário usa uma estratégia linear apoiando-se na recta numérica. Começa no 12 e dá um salto de 3, chegando ao número de referência 15. Depois dá mais um salto de 5, que corresponde a adicionar 5, e chega ao 20. O aluno evidencia saber que 8 pode ser decomposto em 3+5, ou seja, usa o facto básico 3+5=8, adicionando primeiro 3 e depois 5. Embora esta estratégia funcione com números desta ordem de grandeza, será importante que Januário saiba usar o facto básico 2+8=10. De modo a progredir na sua aprendizagem deve ser incentivado a efectuar cálculos com números maiores em que seja promissor usar este facto numérico, como por exemplo, calcular 32+28.

Análise do episódio 4. Luena, ao contrário dos colegas, não se apoia nem no colar de contas nem na recta numérica e usa um procedimento de decomposição seguido de um procedimento linear. Decompõe o 12 em 2 mais 10 e adiciona 2+8 e, em seguida adiciona 10+10. Embora evidencie um bom nível de abstracção é importante que Ivone recorra à recta numérica, para facilitar o estabelecimento da relação entre a adição e a subtracção. De facto, embora os procedimentos de decomposição sejam úteis e eficazes no caso de cálculos aditivos, poderão conduzir a erros no caso da subtracção.

5.3.3. TAREFAS-TIPO 2: SUBTRAIR NÚMEROS ATÉ 20

As tarefas que envolvem a subtracção de números até 20 devem estar relacionadas com cálculos aditivos, evidenciando a relação entre estas duas operações aritméticas. Tal como foi anteriormente referido os números devem surgir em contextos significativos para os alunos, em problemas de palavras e só depois poderão ser realizados cálculos em contexto apenas matemático.Inicialmente os alunos precisarão do apoio de materiais ou de efectuarem o registo das suas estratégias no papel, mas a partir de certa altura o professor deve incentivar que os alunos resolvam quase automaticamente os cálculos que envolvem números até 20, relacionando-os com a adição.

Exemplo: No sentido de ajudar os alunos nos cálculos de subtracção com números até 20, a professora Luísa construiu um conjunto de cartões com expressões numéricas, que envolvem a adição e a subtracção. Mostra um cartão com uma expressão com subtracção e espalha na mesa alguns cartões com expressões aditivas. Pede aos alunos que calculem a expressão subtractiva e que escolham um cartão com uma expressão aditiva relacionada com a primeira. Pede sempre que justifiquem o modo como pensaram. Tem à disposição dos alunos pedrinhas (ou outro material de contagem), papel e lápis.A professora mostra o cartão 14−5 e pede aos alunos do primeiro ano para efectuarem o cálculo e escolherem o cartão correspondente.

EPISÓDIO 5: Julino calcula 14−5

Julino: Eu fiz na recta numérica (mostra o que fez – figura seguinte). Fiz 14, dei um salto para trás de 4 e cheguei ao 10. Depois dei um salto de 1 e cheguei ao 9.Professora: Muito bem. E qual é o cartão que escolhes?Julino: Este que tem 9+5=14


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EPISÓDIO 6: Ivone calcula 14−5

Ivone: Eu fiz na recta numérica (mostra o que fez – figura seguinte) mas fiz diferente do Julino. Pensei primeiro no 5 e dei um salto de 10 e cheguei ao 15. Mas como 15 era demais dei um salto de 1 para trás e cheguei ao 14.Professora: Queres mostrar aos teus colegas? E qual é o cartão que escolhes?Ivone: Este que tem 5+9=14Professora: O teu cartão é igual ao do teu colega? O que te parece?Ivone: Não é igual mas dá a mesma coisa. Porque 5+9 é igual a 9+5.


Análise do episódio 5: Julino pensa linearmente e usa a recta numérica para subtrair. Parte do 14 e chega até à dezena mais próxima, 10. Depois subtrai uma unidade, chegando ao 9. O aluno usa uma estratégia linear “saltar até à dezena mais próxima”, dando ainda um salto de 1 pois pretendia subtrair 5. Embora evidencie um bom nível de cálculo considerando os números envolvidos, é importante que efectue cálculos com números maiores em que esta estratégia seja útil, como por exemplo, 34−5. Além disso, embora o aluno tenha escolhido o cartão associado 9+5=14, é fundamental que Julino memorize e use 9+5=14, de modo quase automático, e que relacione esta igualdade com as seguintes: 14−5=9 e 14−9=5, justificando os cálculos de subtracção através da adição.

Análise do episódio 6. Ivone usa também a recta numérica, mas pensa de modo diferente de Julino. Começa no número 5, um número de referência, e dá um salto de 10, para a frente, chegando ao 15. Depois, como pretendia chegar ao 14 dá um salto de 1 para trás. A aluna usa uma estratégia aditiva, pois adiciona para subtrair, evidenciando que compreende a relação entre a adição e a subtracção. Dá um salto de 10 e depois usa uma estratégia de compensação, mostrando que tem um bom domínio das relações entre os números e as operações adição e subtracção. Quando escolhe o cartão com uma igualdade associada, Ivone, mostra, mais uma vez que tem um bom domínio das relações entre números até 20. Além disso, evidencia ter já uma percepção da propriedade comutativa da adição. Para progredir na sua aprendizagem deverá efectuar cálculos com números maiores, de modo a poder construir as suas estratégias de acordo com as características dos números envolvidos e das relações que podem ser estabelecidas entre eles.

5.3.5. TAREFAS-TIPO 3: ADICIONAR NÚMEROS ATÉ 100 USANDO CADEIAS NUMÉRICAS

Este tipo de tarefas assenta na exploração de cadeias numéricas cujo propósito é desenvolver estratégias de cálculo mental associadas à operação adição. A exploração de cadeias numéricas deve ser feita ao longo de todo o ano escolar, em paralelo com a resolução de problemas de palavras, à medida que se quer consolidar relações numéricas e propriedades da operação adição. No início do trabalho com esta operação é essencial propor cadeias focadas no desenvolvimento de relações numéricas e propriedades da adição tais como a adição de dobros (números iguais) e “quase dobros” (por exemplo, 3+4), a propriedade comutativa e a adição de


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números em que pelo menos um dos termos é um múltiplo de 5 ou um número “próximo” deles (por exemplo 5+7; 5+8).

Apresenta-se o exemplo de duas cadeias, uma com números até 20 e outra com números maiores.

Cadeia 1 Cadeia 26 + 6 = 6 + 7 = 6 + 8 = 7 + 6 = 8 + 6 =

25+25=25+26=25+27=27+27=24+24=


Na condução da exploração de cadeias numéricas é fundamental que os exercícios da cadeia sejam apresentados um a um, que cada aluno pense na solução sozinho e que o professor registe no quadro os resultados e as explicações que evidenciem como pensaram os alunos. O professor escreve no quadro a primeira proposta de cálculo e pede aos alunos para pensarem no resultado e colocarem o dedo no ar quando souberem a resposta. Depois de algum tempo, quando já bastantes alunos têm o dedo no ar, pede a um deles que diga a sua resposta e que explique como pensou. Uma vez que o modo como cada um chegou ao resultado pode ser diferente de aluno para aluno, apresenta-se, para a Cadeia1, alguns exemplos de possíveis respostas e indica-se ainda as relações numéricas ou as propriedades das operações envolvidas que fundamentam os raciocínios efectuados.

CADEIA 1

Cálculos Possíveis respostas dos alunos Propriedades/relações envolvidas

6 + 6 = – Porque já sei de cor que 6+6 é igual a 12. – Porque sei que 5+5 é igual a 10 e mais dois são 12.

– Usar factos aritméticos básicos, neste caso, adição de dobros.

– Usar adição de dobros de números de referência (5); partindo de 5+5, se se adicionar uma unidade a cada parcela, à soma são adicionadas 2 unidades.

6 + 7 = – Porque 6+6 é 12 e 6+7 é mais um – Porque eu sei que 7+7 é 14 e como é menos 1, são 13.

– Usar factos aritméticos básicos, neste caso, adição de dobros e relacionar com “quase-dobros”.

– Relacionar com dobros superiores (7+7) e compensar.


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6 + 8 = – Porque 6+6 é 12 e 6+8 é mais dois, pois 8 é mais 2 do que 6

– Porque eu sei que 8+8 é 16 e como é menos 2, são 14.

– Porque é mais um do que 6+7.

– Usar factos aritméticos básicos, neste caso, adição de dobros e relacionar com “quase-dobros”.

– Relacionar com dobros superiores (8+8) e compensar.

– Se se adicionar uma unidade a uma parcela o total também é aumentado uma unidade.

7 + 6 = – Porque é o mesmo que 6+7. – Porque sei 6+6 e 7+6 é mais um.

– Usar a propriedade comutativa da adição. – Relacionar com a adição de dobros. – Se se adicionar uma unidade a uma parcela o total também é aumentado uma unidade.

8 + 6 = – Porque é o mesmo que 6+8. – Porque sei 6+6 e 8+6 é mais 2. – Porque eu sei que 8+8 é 16 e como é menos 2, são 14.

– Usar a propriedade comutativa da adição. – Relacionar com a adição de dobros. – Se se adicionar duas unidades a uma parcela o total também é aumentado duas unidades.

– Se se subtrair duas unidades a uma parcela o total também é diminuído duas unidades.

A Cadeia 2 apresentada, embora com números completamente diferentes dos da Cadeia 1, tem como base o uso do mesmo tipo de propriedades e de relações numéricas para efectuar os cálculos propostos. É iniciada com um cálculo de ‘dobros’ e recorre a um número de referência, o 25. No final da 1.ª classe, os alunos deverão saber como um facto numérico que 25+25 é igual a 50, usando-o para realizar outros cálculos com números próximos. O professor deve explorar sistematicamente cadeias numéricas, de modo a facilitar a progressão dos seus alunos no uso de estratégias de cálculo mental, aumentando a grandeza dos números envolvidos. Deste modo, à medida que vão calculando com números cada vez maiores, os alunos também compreendem que as estratégias de cálculo que usaram com números mais pequenos se podem continuar a usar, uma vez que decorrem das propriedades dos números e das operações.

5.3.7. TAREFAS-TIPO 4: SUBTRAIR NÚMEROS ATÉ 100 USANDO CADEIAS NUMÉRICAS

Este tipo de tarefas assenta na exploração de cadeias numéricas cujo propósito é o de desenvolver estratégias de cálculo mental associadas à operação subtracção, evidenciando sempre a sua relação com a adição.

No início do trabalho com esta operação é essencial propor cadeias focadas na relação inversa da subtracção com a adição, para além de se poderem usar relações numéricas. Apresenta-se o exemplo de duas cadeias, uma com números até 20 e outra com números maiores, que devem ser exploradas com os alunos na sala de aula e que têm subjacentes estratégias de cálculo potentes. Estas cadeias incluem cálculos intimamente relacionados com os subjacentes às cadeias


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anteriores – Cadeia 1 e Cadeia 2. Deste modo, na sua exploração, pode sempre fazer-se apelo às relações estabelecidas anteriormente.

Cadeia 3 Cadeia 412−6= 12−7= 14−6= 14−8= 15−6=

50−25= 50−26= 50−24= 50−20= 50−19=


As Cadeias 3 e 4 são ambas de subtracção e baseiam-se no mesmo tipo de relações numéricas, embora incluam números com diferentes grandezas. Apresenta-se, para a Cadeia 4, alguns exemplos de possíveis respostas de alunos, explicitando também as relações numéricas ou as propriedades das operações envolvidas e que fundamentam os possíveis raciocínios efectuados.

CADEIA 4

Cálculos Possíveis respostas dos alunos Propriedades/relações envolvidas

50−25= – Porque sei que 25+25 é igual a 50. – Porque 50−20 é igual a 30 e se tirar 5 de 30 fico com 25.

– Relacionar a subtracção com a adição; usar factos numéricos.

– Decompor o subtractivo em 20+5; subtrair as dezenas e depois ao resto subtrair 5.

50−26= – Porque pensei no número que adicionado ao 26 é igual a 50 e sei que 26+24=50.

– Porque se 50−25 é igual a 25 e agora tenho de tirar 26 (25+1) então vou obter 25−1=24.

– Relacionar a subtracção com a adição; usar factos numéricos (5+5=10 e 25+25=50).

– Numa subtracção, se se adicionar um número ao subtractivo, tem de se subtrair esse número ao resto, para que a igualdade se mantenha verdadeira.

50−24= – Porque pensei no número que adicionado ao 24 é igual a 50 e sei que 26+24=50.

– Porque se 50−25 é igual a 25 e agora tenho de tirar 24 (25−1) então vou obter 25+1=26.

– Porque sei que 50−26=24 e agora é só trocar o 26 pelo 24.

– Relacionar a subtracção com a adição; usar factos numéricos (4+6=10).

– Numa subtracção, se se subtrair um número ao subtractivo, tem-se de adicionar esse número ao resto, para que a igualdade se mantenha.

– Numa subtracção, se se trocar o subtractivo pelo resto, obtém-se uma igualdade verdadeira, considerando a relação inversa entre a subtracção e a adição e a propriedade comutativa da adição.

50−20= – Porque sei que 20+30=50 – Porque tirei 10 ao 50, fiquei com 40 e depois tirei mais 10 e fiquei com 30.

– Relacionar a subtracção com a adição; usar factos numéricos (2+3=5; 20+30=50)

– Usar múltiplos de 10 para subtrair.


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50−19= – Porque sei que 20+30=50, por isso 19 + 31 também são 50.

– Porque sei que 50−20=30, por isso, se retirar 19 ao 50, em vez de 20, obtenho um resto maior uma unidade.

– Relacionar a subtracção com a adição; numa adição, se retirar uma unidade a uma das parcelas e a acrescentar à outra o total não se altera.

– Relacionar com a subtracção anterior; – Numa subtracção, se se subtrair um número ao subtractivo, tem-se de adicionar esse número ao resto, para que a igualdade se mantenha.

Para que os alunos vão progredindo no uso de estratégias de cálculo mental, associadas à subtracção, o professor deve explorar sistematicamente cadeias numéricas, aumentando a grandeza dos números envolvidos, usando números de referência e evidenciando sempre a relação inversa entre esta operação e a operação adição. No MMPEP (p. 284-286) encontra-se um conjunto de cadeias numéricas de adição e de subtracção que podem ser exploradas pelo professor na sua sala de aula.


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6. TAREFAS DE AUTO-FORMAÇÃO PARA OS PROFESSORES

Nas secções anteriores apresentámos e analisámos os itens relacionados com os tópicos Identificação de Números, Discriminação de Números, Números em Falta, Problemas de Palavras e Adição e Subtracção. Nesta secção apresentamos outros tipos de itens de avaliação que focam os mesmos tópicos e diferentes respostas e resoluções de alunos para cada um. Propõe-se aos professores que os analisem e que perspectivem modos de apoiar a progressão da aprendizagem de cada aluno. No final da secção, apresentamos interpretações possíveis das respostas dos alunos e indicamos pistas que podem ajudar a delinear o trabalho a realizar com cada um.Para cada um dos cinco tópicos, acima indicados, analise os itens que a seguir se apresentam. Observe as respostas de alguns alunos e indique:

– Possíveis interpretações do que cada um parece saber; – O que poderá propor para que cada aluno possa progredir na sua aprendizagem.

6.1. IDENTIFICAÇÃO E DISCRIMINAÇÃO DE NÚMEROS

Item 1

Num torneio de futebol as equipas participantes obtiveram as seguintes pontuações: 56, 23, 57, 32, 90, 21, 89, 47, 19, 221.1 Lê em voz alta a pontuação de cada equipa

1.2 Qual a pontuação que obteve a equipa vencedora do torneio? E a da que ficou em terceiro lugar?

Item 1 Respostas de alunos

1.1 Carlos: “cinquenta e seis, vinte e três, cinquenta e sete, nove, vinte e um, ...”Inocência: “cinco seis, vinte e três, cinco sete, tree trinnta e dois, nove zero, ... “

1.2 Mateus: Em primeiro lugar é este (56). Em terceiro lugar é (aponta para 57).Julino: Em primeiro lugar é a que tem oitenta e nove. Em terceiro é a equipa com cinquenta e sete.

Item 2

Uma professora da 2.ª classe apresentou um desafio aos seus alunos com 15 cartões, em que cada um tem um número registado. De cada vez que se escolhe uma carta deve ler-se oralmente o número do cartão e indicar um número inferior e um número superior aos das cartas escolhidas até à altura.2.1. A primeira carta escolhida foi 199. Que dois números poderás indicar? Regista-os por

escrito e lê-os em voz alta.

2.2. Depois de terem saído 7 cartas com os números 199, 186, 567, 687, 678, 193, 200, que dois números poderás indicar? Regista-os por escrito e lê-os em voz alta.

2.3. Depois de saírem todas as 15 cartas, um aluno diz que 185 é inferior a todas as 15 cartas e 777 é superior a todas. Que números podiam ter as restantes 8 cartas?


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2.1 Fátima: escreve 200 e 201 e lê “Duzentos, duzentos e um”

Miguel: escreve 198 e 197 e lê “Cento e noventa e oito, cento e noventa e sete”

Abílio: escreve 198 e 200 e lê “Cento e noventa e oito, duzentos”

Fernanda: escreve 150 e 250 e lê “Cento e cinquenta. duzentos e cinquenta”

2.2 Luciano: escreve 198 e 679 e lê “Cento e noventa e oito” e “Seiscentos e setenta e nove”

André: escreve 1 e 1000 e lê “Um. Mil”

2.3 Edgar: Podiam ser as mesmas.

Nuno: Escreve 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193 e lê “Cento e oitenta e sete, cento e oitenta e oito, cento e oitenta e nove, cento e noventa, cento e noventa e um, cento e noventa e dois, cento e noventa e três”

6.2. NÚMEROS EM FALTA

Item 3

Observa as três sequências de cinco números abaixo, nas quais, por lapso, se apagaram alguns números, aqui representados por um ponto de interrogação.

3.1. Sabendo que entre os números consecutivos (seguidos) existe sempre a mesma diferença, quais os números em falta em cada uma das 3 sequências?

3.2. Se na 2.ª sequência suprimirmos o 6, mesmo assim ainda podemos descobrir os números em falta? Explica como.

? 5 ? 15 20

18 14 ? 6 ?

? 7 11 15 ?


3.1Luísa: “Um e cinco; Doze e oito; Cinco e dezassete”

Domingos: “Zero e dez; Doze e dois; Três e dezassete“

3.2Conceição: “Assim … é mais dif ícil … De 18 para 14, retiramos 4. Continuando … não sei”

Teresa: “18, 14 … e a seguir vem o 10, porque retiro 4 unidades, certo? Depois vem então o 6 e no final o 10 … não … o 2, porque retiro 4 ao 6”


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Item 4

A seguir estão representadas quatro sequências numéricas e em cada uma delas apagaram-se, sem querer, três números. Sabe-se, no entanto, que: a 1.ª é crescente e os termos vão ‘de 2 em 2’; a 2.ª é crescente e os termos ‘vão de 3 em 3’; a 3.ª é decrescente e os termos ‘vão de 10 em 10’; e na 4.ª os termos ‘vão de 5 em 5’.4.1. Descobre os números escondidos de cada uma das sequências e explica como fizeste.

4.2. Haverá mais do que uma solução para a 4.ª sequência? Se sim, indica qual e justifica.

? ? 7 ?

2 ? ? ?

? ? ? 20

? 15 ? ?


4.1Luísa: “2, 4, 7, 9; 2, 3, 6, 9; 30, 20, 10, 20; 5, 15,20, 25”

Domingos: “5, 7, 7, 9; 2, 3, 6, 9; 0, 0, 10, 20; 5, 15, 20, 25“

4.2

Conceição: “Não. Pois se vai de 5 em 5 será 5, 15, 20 e 25. Não existe outra maneira”

Teresa: “Acho que sim. 10, 15, 20, 25 também serve como solução”

André: “Além dessa, há outra … 20, 15, 10, 5 … sempre mais pequenos”

6.3. PROBLEMAS DE PALAVRAS

Item 5

No autocarro viajavam doze passageiros. Na paragem da escola entraram três crianças e saíram cinco. Quantos passageiros continuaram a viagem?

Item 5 Resoluções de alunos

Vera: “Tenho estas 12 sementes que são os passageiros (separa 12 sementes de entre um conjunto de sementes que tem à sua disposição). Depois entraram 3 crianças (junta três sementes) e depois saíram 5 (retira 5 sementes). 1, 2, 3, …,10 (conta uma a uma as sementes com que ficou). Ficaram 10 pessoas no autocarro.”


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Nelson:

Pedro:

Virgínia: “Como entraram 3 e saíram 5, ficaram duas pessoas a menos. Então ficaram 10 passageiros.”

Item 6

Uma turma da 1.ª classe tem 30 crianças. 22 são rapazes e as restantes são raparigas. As raparigas estão a ensaiar uma dança para a festa final de ano da escola e decidiram levar, cada uma delas, dois colares de flores. Quantos colares de flores serão necessários?

Item 6 Resoluções de alunos

Ariel:

Fátima:

Ivo:

Francisco:


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6.4. ADIÇÃO E SUBTRACÇÃO

Ser capaz de olhar cada número a partir de diferentes composições e decomposições ajuda a consolidar a adição e subtracção e favorece o cálculo mental. Por isso, as tarefas que pedem, como a seguinte, a indicação de uma possível ‘aranha’ de um número são muito potentes:

Tarefa (exemplo): Observa uma ‘aranha’ do 55:

Completa uma possível ‘aranha’ do 87:

Item 7

Observa a seguinte ‘aranha’ do 43: 40 + 3; 50 – 7; 20 + 20 + 3; 30 + 13; 45 – 2.

7.1. Que representação do 43 escolhias para facilitar a resolução de 25 + 43? Usa essa representação para calcular 25 + 43.

7.2. E qual pensas que poderia facilitar o cálculo de 43–7? Porquê?


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7.1

Jéssica:

20 + 20 + 3

25 + 20= 45 + 20 = 65 + 3 = 68

José:

50 – 7

25 + 50 = 75

75 – 7 = 72

7.2

Miguel:

50 – 7

Já sabia tirar 7

André:

30 + 13

13 menos 7 sei


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POSSÍVEIS SOLUÇÕES

IDENTIFICAÇÃO E DISCRIMINAÇÃO DE NÚMEROS

Respostas de alunos Possível interpretação da resposta Aspectos a trabalhar

Item 1.1

Carlos: “cinquenta e seis, vinte e três, cinquenta e sete, nove, vinte e um, ...”

Carlos assume 0 como ‘nada’. Perceber a diferença entre 9 e 90, recorrendo, por exemplo, à representação destes números num ábaco vertical ou usando o material MAB. Realizar tarefas para compreender a quantidade representada por números que incluem o algarismo ‘0’ (30, 40, 50, ..., 100, 105, 200, 320, ...).

Inocência: “cinco seis, vinte e três, cinco sete, tree trinnta e dois, nove zero, ...”.

Inocência parece conhecer a leitura oral dos números até às duas dezenas (vinte e ...) e está a aprender a ler correctamente os números com 3 dezenas (trinta e ...)

Ler oralmente números com 3, 4, 5, ... dezenas.

Item 1.2

Mateus: Em primeiro lugar é este (56). Em terceiro lugar é (aponta para 57).

Mateus confunde ficar em primeiro (terceiro) lugar no torneio com estar em primeiro (terceiro) lugar na série de números apresentada.

Distinguir a ordenação de número (crescente ou decrescente) da ordem por que eles são apresentados, começando por casos simples do tipo “3 equipas obtiveram 34, 21 e 37 potos. Ordene as pontuações por ordem crescente. Quantos pontos teve a equipa que ficou em primeiro lugar?”

Julino: Em primeiro lugar é a que tem oitenta e nove. Em terceiro é a equipa com cinquenta e sete.

Julino parece conseguir ordenar os números, embora cometa ainda erros. Neste caso poderá ter esquecido o 90 ou ter ficado um pouco confuso ao comparar 90 com 89, número formado por algarismos superiores aos que constituem o número 90.

Propor a ordenação de números (crescente ou decrescente) em séries com mais do que 8 termos, como por exemplo:

45, 56, 55, 89, 21, 34, 67, 23, 67

11, 98, 101, 204, 210, 56, 105, 23


Item 2.1

Fátima: escreve 200 e 201 e lê “Duzentos, duzentos e um”.

Fátima parece entender que deverá indicar dois números superiores a 199.

Analisar o que é pedido, pedindo, por exemplo que leia em voz alta o enunciado.


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Miguel: escreve 198 e 197 e lê “Cento e noventa e oito, cento e noventa e sete”.

Miguel parece entender que deverá indicar dois números inferiores a 199.

Analisar o que é pedido, pedindo, por exemplo que leia em voz alta o enunciado.

Abílio: escreve 198 e 200 e lê “Cento e noventa e oito, duzentos”.

Abílio indica uma resposta correcta mas que não permite perceber se ele interpreta o item como pedindo para indicar o número anterior e o posterior a 199.

Pedir para indicar uma outra solução para a pergunta.

Fernanda: escreve 150 e 251 e lê “Cento e cinquenta. duzentos e cinquenta” .

Fernanda parece ter a noção de que pode indicar muitos valores diferentes, escolhendo 2 possíveis.

Desafiar Fernanda a indicar outras soluções. Perguntar se consegue ter uma ideia do número de soluções que há.

Item 2.2

Luciano: escreve 198 e 679 e lê “Cento e noventa e oito, “seiscentos e setenta e nove”.

Luciano pode ter apenas observado alguns dos números incluídos na série, não comparando sistematicamente os números que propõe com todos os que são indicados.

Pedir para comparar 198/679 com todos os termos da série indicada.

André: escreve 1 e 1000 e lê “Um, mil”.

André parece ter observado globalmente os números indicados e perceber que os números que tem, todos com três dígitos, têm de ser superiores a 1 e inferiores a 1000?

Desafiar André, pedindo que indique números com três dígitos.

Item 2.3

Edgar: Podiam ser as mesmas. Edgar parece não ter percebido o que é pedido.

Perguntar, por exemplo, se pensa que poderia sair a carta 150. E a carta 800?

Nuno: Escreve 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193 e lê “Cento e oitenta e sete, cento e oitenta e oito, cento e oitenta e nove, cento e noventa, cento e noventa e um, cento e noventa e dois, cento e noventa e três”.

Nuno percebe o que lhe é pedido e opta por indicar números consecutivos.

Desafiar Nuno a indicar números não consecutivos.

NÚMEROS EM FALTA


Item 3.1

Luísa: “Um e cinco; Doze e oito; Cinco e dezassete”

Luísa considera que as sequências se iniciam em 1 (não existe outro número antes) e depois faz o preenchimento olhando apenas ao tipo de números (pares e ímpares) e para a monotonia (crescente ou decrescente).

Perceber em que consiste uma regularidade (ir ‘de 2 em 2’ ou ‘de 5 em 5’).

Usar a diferença constante entre os termos consecutivos para descobrir os números (termos) da sequência.


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Domingos: “Zero e dez; Doze e dois; Três e dezassete“.

Domingos sabe interpretar o significado de manter a mesma diferença entre os termos. Na 2.ª sequência, engana-se, talvez porque o 12 se impõe como uma dúzia ou o dobro de 6. Na última sequência começa bem, mas talvez por falta de concentração termina olhando apenas ser ímpar.

Inventar sequências de números cuja diferença entre si seja de 2, de 3, de 5 e de 10, crescentes e decrescentes.

Escrever sequências com um ou dois números ‘errados’ e solicitar-lhe que os ‘emende’ (p. ex. emendar o 10, de modo a que a regularidade se mantenha em 1, 5, 10, 13, 17; solução: 9).

Item 3.2

Conceição: “Assim … é mais dif ícil … De 18 para 14, retiramos 4. Continuando … não sei”.

Ficar com três números por determinar, parece ser tarefa impossível para Conceição pois não consegue fazer mais do que uma diferença (18−14)

A aluna deve ser confrontada com exemplos de sequências completas, em que os termos ‘vão de 4 em 4’ (p. ex. 0, 4, 8, 12, 16). Depois vão-se escondendo sucessivamente termos (o 4, o 8 e depois o 0) e analisando as relações entre os termos consecutivos que ficam e que permitem reconstituir a sequência inicial.

Teresa: “18, 14 … e a seguir vem o 10, porque retiro 4 unidades, certo? Depois vem então o 6 e no final o 10 … não … o 2, porque retiro 4 ao 6”.

Teresa sabe que caminha da esquerda para a direita, retirando 4 unidades. Então, continua o processo com uma ligeira hesitação na determinação do último termo (adicionar ou subtrair).

A aluna deve ser desafiada a inventar sequências de 5 números, com determinado ‘andamento’ (‘de 3 em 3’, por exemplo). Depois vai escondendo sucessivamente, um, dois ou três números e analisando as relações entre os que ficam.


Item 4.1

Luísa: “2, 4, 7, 9; 2, 3, 6, 9; 30, 20, 10, 20; 5, 15,20, 25”.

O ‘andamento’ da sequência indicado (‘de 2 em 2, ‘de 3 em 3’, …) surge nos termos da sequência, independente do número que já lá está.

A Luísa deve ser desafiada a escrever sequências com um crescimento (ou decrescimento) constante dado, confirmando depois através das diferenças de termos consecutivos. Depois deve retirar-se um dos números e verificar que as relações se mantêm e que aquele é o único elemento que serve na sequência.

Domingos: “A 1.ª termina em 9. Depois, andando para trás, vem o 5 e o 3; Na 2.ª vou adicionando 3: 2, 5, 8 e 11; Na 3.ª escreve 0, 0, 10, 20; E na 4.ª, 5, 15, 20, 25“.

Domingos percebe a regularidade e reconstitui as sequências nos dois sentidos (adicionando ou subtraindo). Engana-se na 3.ª porque possivelmente pensa em crescente e como não consegue iniciar antes de 0, repete-o. Na 4.ª engana-se no 1.º termo (induzido pelo ‘andamento’ de 5?).

Domingos deve trabalhar sequências (crescentes e decrescentes) com um número em falta, na 1.ª posição e com diferentes ‘andamentos’ (de ‘3 em 3’, de ‘5 em 5’, de ’10 em 10’).


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MATEMÁTICA

Item 4.2

Conceição: “Não. Pois se vai de 5 em 5 será 5, 15, 20 e 25. Não existe outra maneira”.

Conceição considera como sequências, apenas as sequências crescentes. Além disso, engana-se no 1.º termo, confundida pelo ‘andamento’ (‘5 em 5’).

Conceição deve ser confrontada com várias sequências onde exista mais do que uma possibilidade para os seus termos.

Teresa: “Acho que sim. 10, 15, 20, 25 também serve como solução”.

Teresa vê outra solução mas não identifica que a de Conceição está errada.

Teresa pode ser confrontada com problemas do tipo: Constrói todas as sequências com 4 termos, com um andamento ‘de 5 em 5’, em que um dos termos é obrigatoriamente 20.

André: “Além dessa, há outra … 20, 15, 10, 5 … sempre a decrescer”.

André confirma a solução de Teresa e acrescenta uma nova, decrescente, que acentua.

André deve ser convidado a criar sequências com critério dado e, em seguida, esconder dois termos e convidar os colegas a descobrir quais são.

PROBLEMAS DE PALAVRAS

Resoluções de alunos Possível interpretação da resolução Aspectos a trabalhar

Item 5.1

Vera: “Tenho estas 12 sementes que são os passageiros (separa 12 sementes de entre um conjunto de sementes que tem à sua disposição). Depois entraram 3 crianças (junta três sementes) e depois saíram 5 (retira 5 sementes). 1, 2, 3, …,10 (conta uma a uma as sementes com que ficou). Ficaram 10 pessoas no autocarro.”

Representa a situação associada ao problema – estratégia de acção (constrói um conjunto com materiais manipuláveis e vai acrescentado e retirando elementos de acordo com as situações descritas no problema).

Comparar a sua estratégia com a de outros alunos que não recorrem à representação através da acção. Nomeadamente com alunos que recorrem à recta numérica (como Nelson).

Nelson: Efectua saltos na recta numérica, de acordo com as situações descritas no problema.

Comparar a sua estratégia com a de outros alunos que já não necessitam de recorrer à recta numérica para resolverem problemas que envolvam números pequenos (como Pedro).

Pedro: Recorre ao cálculo horizontal, parecendo efectuar os cálculos recorrendo a factos conhecidos.

Incentivar Pedro a compreender a estratégia de Virgínia.Desafiá-lo a resolver problemas com números maiores.


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Virgínia:

“Como entraram 3 e saíram 5, ficaram duas pessoas a menos. Então ficaram 10 passageiros.”

Efectua os cálculos sem o apoio de qualquer recurso de suporte ao cálculo.Compreende que para saber quantas pessoas ficam no autocarro basta saber quantas ficaram a menos ou mais após a paragem da escola.

Desafiar Virgínia a resolver problemas com números maiores.

Resoluções de alunos Possível interpretação da resolução Aspectos a trabalhar

Item 6.1

Ariel: Ariel revela não interpretar correctamente o problema, pois não identifica que o 1º passo corresponde a uma situação de subtracção.Parece reconhecer que 52 não pode corresponder ao número de raparigas, riscando a sua resolução.

Identificar que se trata de uma situação de subtracção. Para tal, deve ser incentivado a representar a situação associada ao 1º passo do problema – representação através da acção.

Fátima: Fátima revela interpretar correctamente o problema resolvendo-o em dois passos.

1.º passo

Representa a situação associada ao problema – representação icónica (desenha os alunos da turma em grupos de 10 e risca os que são rapazes, fazendo um traço sobre dois grupos de 10 e riscando mais 2). Determina o número de raparigas (8), contando cada “aluno” que não está riscado.O modo como Fátima risca a imagem parece revelar que sabe que 22 é o mesmo do que 10 + 10 + 2.

Observar estratégias de outros alunos (como Francisco) para passar a usar a recta numérica e desenvolver estratégias de cálculo mental associadas à subtracção, abandonando a representação icónica da situação.

Estabelecer a relação entre a adição repetida de parcelas iguais e a multiplicação (observando, por exemplo a estratégia de Francisco), e reconhecer que se trata de calcular 8x2.

2.º passo

Reconhece que se trata de uma situação de adição repetida (representa a adição de 8 parcelas iguais a 2). Adiciona correctamente as parcelas duas a duas.

Desafiar Fátima a resolver problemas idênticos, mas com números maiores.

Ivo: Ivo revela interpretar correctamente o problema resolvendo-o em dois passos.


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MATEMÁTICA

1º passo

Identifica que se trata de uma situação de subtracção.

Recorre ao cálculo horizontal, usando estratégias de cálculo baseadas na decomposição dos números (com números de referência) e em factos numéricos conhecidos.

Resolver os problemas de subtracção, no sentido de retirar, que envolvam números maiores (em que a diferença entre o subtractivo e o aditivo seja grande) e que não sejam números de referência.

2º passo

Reconhece que se trata de uma situação de adição repetida (representa a adição de 8 parcelas iguais a 2).

Efectua correctamente contagens de 2 em 2 até 16.

Estabelecer a relação entre a adição repetida de parcelas iguais e a multiplicação (observando, por exemplo a estratégia de Francisco), e reconhecer que se trata de calcular 8x2.

Francisco: Francisco revela interpretar correctamente o problema resolvendo-o em dois passos.

1º passo

Identifica que se trata de uma situação de subtracção; recorre ao algoritmo para efectuar 30−22, mas engana-se no cálculo, concluindo que a turma tem 12 raparigas.

2º passo

Reconhece que se trata de uma situação de multiplicação no sentido aditivo, multiplicando o número de raparigas (12) pelo número de colares que cada uma deverá usar (2).Recorre à decomposição decimal de um dos factores e usa produtos conhecidos para calcular 12x2

Precisa de compreender o algoritmo da subtracção com transporte.

Deve também ter oportunidade de comparar a sua estratégia para efectuar a subtracção com a de outros alunos (como Ivo) que recorrem à decomposição dos números (com números de referência) e a factos numéricos conhecidos.

Desafiar Francisco a resolver problemas idênticos, mas com números maiores.


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ADIÇÃO E SUBTRACÇÃO


Item 7.1

Jéssica:

20 + 20 + 3

25 + 20 = 45 + 20 = 65 + 3 = 68

Jéssica escolhe uma decomposição de 43 que facilita o cálculo, uma vez que pode ser usada adicionando a 45, 20 mais 20 e mais 3. No entanto, entende o sinal de igual como exprimindo o resultado de uma operação e não como uma relação entre duas expressões. Por isso usa o sinal de igual entre 25+20 e 45+20 e entre 45+20 e 65+3.

Trabalhar o entendimento do sinal de igual como o de equivalência entre duas expressões.

José: 50 – 725 + 50 = 7575 – 7 = 72

Como não pode tirar 5 de 7, inverte os termos, retirando 7 de 5 incorrectamente.

Pedir para representar 75 na recta e retirar 7 ou retirar 5 e depois 2.

Item 7.2

Miguel:

50 – 7

Já sabia tirar 7

Miguel parece não perceber a pergunta, confundindo o que lhe é pedido (retirar 7) com uma representação em que está o número 7.

Escrever o que se pede para calcular (43 – 7) e pedir para explicar de que modo é que 50 – 7 poderia ajudar.

André: 30 +1313 menos 7 sei

André parece perceber de que modo 30 + 13 ajuda a calcular 43 – 7.

Pedir a André outras decomposições de 43 que poderiam, igualmente, facilitar o cálculo de 43 – 7.

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