avaliaÇÃo de forÇas hidrostÁticas e hidrodinÂmicas …

AVALIAÇÃO DE FORÇAS HIDROSTÁTICAS E HIDRODINÂMICAS NÃO

LINEARES EM CORPOS FLUTUANTES REPRESENTADOS POR MALHAS

DE PAINÉIS

Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Civil.

Orientador: Fabrício Nogueira Corrêa

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2020



DE PAINÉIS


DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM

CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.


Aprovada por: Prof. Fabrício Nogueira Corrêa

Eng. Allan Carre de Oliveira

Prof. Breno Pinheiro Jacob

Prof. Carl Horst Albrecht

Prof. Joel Sena Sales Junior

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2020

iii

Ribeiro, Jhonathan Jhefferson de Sousa

Avaliação de forças hidrostáticas e hidrodinâmicas não

lineares em corpos flutuantes representados por malhas de

painéis / Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro – Rio de

Janeiro: UFRJ/ COPPE, 2020.

XIV, 97 p.: il.; 29,7 cm.


Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Civil, 2020.

Referências Bibliográficas: p. 95-97.

1. Hidrostática não linear. 2. Hidrodinâmica não linear.

3. Integral de superfície. 4. Offshore. I. Corrêa, Fabrício

Nogueira. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título.

iv

Ao meu avô Otávio Borges.

Outro dia, noutro plano,

noutra vida, a gente se vê.

v

AGRADECIMENTOS

A Deus, em todas as suas formas de manifestação.

Ao meu pai. Por toda vida, estive sempre de pé sobre seus ombros.

À minha mãe, um anjo lindo a quem peço que sempre me acompanhe.

À minha tia Socorro. Eu amo muito você. Muito.

Ao meu ao meu avô Otávio Borges. O seu exemplo de força e brio vive no ideal de

homem que busco um dia me tornar. “As coisas findas, muito mais que lindas, essas

ficarão”.

À minha avó Maria Antonieta, por ser “um dom, uma certa magia, a dose mais forte

e lenta de uma gente que ri quando deve chorar”.

À minha família. “Se for preciso, eu crio alguma máquina mais rápida que a dúvida,

mais súbita que a lágrima, viajo a toda força, e num instante de saudade, eu chego pra

dizer que eu vim te ver.”

Aos meus amigos, aos quais agradeço pela leveza e peço desculpas pela minha

ausência e às vezes impaciência nos últimos meses.

Aos colegas de trabalho do LAMCSO, em especial à Ivete. Vocês são uma família

que me acolheu e da qual muito bem me faz pertencer.

Ao professor Carl Albrecht, pela imensa ajuda prestada em todas as fases deste

trabalho.

Ao aluno de iniciação científica Lucas Clarino, pelo grande auxílio na confecção de

modelos e imagens deste trabalho.

Ao meu orientador Fabrício Corrêa, por ser minha maior referência técnica na

engenharia.

“O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento

de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001

This study was financed in part by the Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal

de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Finance Code 001”

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau Mestre em Ciências (M.Sc.)



DE PAINÉIS


Fevereiro/2020


Programa: Engenharia Civil

Atividades de extração de petróleo offshore têm sito feitas através de sistemas

flutuantes baseados em plataformas ancoradas. Para análise e projeto destes sistemas,

torna-se necessário calcular seus movimentos sob ação de carregamentos ambientais

diversos, o que usualmente é feito através de ferramentas computacionais.

Tradicionalmente, nestas ferramentas, forças geradas pela água devido à passagem de

ondas são calculadas por matrizes lineares unitárias ou pela formulação de Morison para

cilindros. Em ambos os casos, simplificações são impostas e não linearidades, além de

outros efeitos como elevação instantânea da superfície do mar, podem ser

negligenciados. Neste contexto, o objetivo deste trabalho é desenvolver um algoritmo

para cálculo de forças e momentos resultantes de cargas hidrostáticas e hidrodinâmicas

não lineares de onda atuando em cascos de plataformas offshore levando em

consideração efeitos de elevação instantânea da superfície do mar. O algoritmo será

incorporado à plataforma SITUA-Prosim, e sua verificação se dará a partir de

comparação dos resultados com valores obtidos analiticamente ou por ferramentas

computacionais já consolidadas.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

EVALUATION OF NONLINEAR HYDROSTATIC AND HYDRODYNAMIC

FORCES IN FLOATING BODIES REPRESENTED BY PANEL MESH


February/2020

Advisor: Fabrício Nogueira Corrêa

Department: Civil Engineering

Offshore oil production has been carried out by floating systems based on moored

platforms. For the analysis and design of these systems, it is necessary to assess their

motion responses under the action of various environmental loads, which is usually

performed by numerical tools. Traditional tools usually evaluate forces due to the passage

of waves by linear unitary matrices or by the Morison formulation for cylinders. In both

cases, simplifications are imposed and non-linearities might be neglected, besides other

effects such as instantaneous elevation of the sea surface. In this context, the goal of this

work is to develop an algorithm for calculating forces and moments resulting from

nonlinear hydrostatic and hydrodynamic wave loads acting on hulls of offshore platforms

considering effects of instantaneous elevation of the sea surface. The algorithm will be

incorporated into the SITUA-Prosim code and validated by comparing the results with

values obtained analytically or by well-stablished computational tools.

viii

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO ....................................................................................... 1

1.1 Contexto e Motivação..................................................................................... 1

1.2 Objetivo ......................................................................................................... 2

1.3 Estruturação do Texto..................................................................................... 3

2 FORMULAÇÃO ..................................................................................... 4

2.1 Forças geradas pelo fluido .............................................................................. 4

2.2 Representação do mar..................................................................................... 4

Ondas regulares ....................................................................................... 4

Representação espectral ........................................................................... 5

2.3 Forças Hidrostáticas ....................................................................................... 6

2.4 Forças Hidrodinâmicas ................................................................................... 8

Formulação de Morison ........................................................................... 8

Formulação de Froude-Krylov ................................................................. 9

Formulação de Difração/Radiação ......................................................... 11

Formulações Híbridas ............................................................................ 12

3 IMPLEMENTAÇÃO .............................................................................. 13

3.1 O SITUA-Prosim ......................................................................................... 13

3.2 Conceitos básicos ......................................................................................... 14

Definição de vetor normal unitário ........................................................ 14

Volume e centro de volume de tetraedro ................................................ 15

3.3 A Integral de Pressões .................................................................................. 16

3.4 Descrição do método .................................................................................... 20

3.5 Forças hidrostáticas ...................................................................................... 21

3.6 Forças hidrodinâmicas .................................................................................. 25

4 ESTUDO DE REFINAMENTO DE MALHA DE SUPERFÍCIE ...................... 28

4.1 Introdução .................................................................................................... 28

ix

4.2 Plano horizontal: forças verticais .................................................................. 30

4.3 Plano vertical: forças na direção da onda ...................................................... 36

4.4 Semicilindro ................................................................................................. 42

4.5 Cubo ............................................................................................................ 48

4.6 Cilindro ........................................................................................................ 53

4.7 Plataforma Semissubmersível ....................................................................... 58

5 RESULTADOS E VERIFICAÇÃO ........................................................... 69

5.1 Parede vertical .............................................................................................. 69

5.2 Semicilindro ................................................................................................. 72

5.3 Cubo ............................................................................................................ 76

5.4 Cilindro ........................................................................................................ 80

5.5 Navio ........................................................................................................... 84

5.6 Plataforma Semissubmersível ....................................................................... 88

6 CONCLUSÕES ..................................................................................... 92

6.1 Considerações Finais .................................................................................... 92

6.2 Sugestões para Trabalhos Futuros ................................................................. 93

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................ 95

x

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Representação de uma onda regular [4] ..................................................... 4

Figura 2.2 – Pressões hidrostáticas atuando em um corpo parcialmente submerso ......... 6

Figura 2.3 – Cilindro parcialmente submerso com eixo inclinado ................................. 7

Figura 3.1 – Modelo de uma plataforma flutuante no programa SITUA-Prosim .......... 14

Figura 3.2 – Definição de vetor normal à superfície do triângulo ................................ 15

Figura 3.3 – Tetraedro e seu centro de volume ............................................................ 15

Figura 3.4 – Integral de uma função numa superfície .................................................. 16

Figura 3.5 – Triângulo destacado da malha com seus nós e vetor normal .................... 17

Figura 3.6 – Volume de pressões sobre o triângulo ..................................................... 17

Figura 3.7 – Demonstração geométrica do cálculo do volume ..................................... 18

Figura 3.8 – Campo de pressões hidrostáticas atuando numa barragem ....................... 19

Figura 3.9 – Fluxograma geral do método desenvolvido ............................................. 21

Figura 3.10 – Cilindro com superfície “cortada” pela onda ......................................... 22

Figura 3.11 – Definição do plano secante.................................................................... 22

Figura 3.12 – Corte do triângulo pelo plano secante .................................................... 23

Figura 3.13 – Profundidade dos nós do triângulo ........................................................ 23

Figura 3.14 – Fluxograma para cálculo de forças hidrostáticas .................................... 24

Figura 3.15 – Fluxograma para cálculo de forças a partir de pressões hidrostáticas ..... 24

Figura 3.16 – Fluxograma para cálculo de forças hidrodinâmicas ............................... 26

Figura 3.17 – Fluxograma para cálculo de forças a partir de pressões hidrodinâmicas . 26

Figura 4.1 – Relação λ/n em cubo com aresta L = 12 m e onda com λ = 60 m ............. 29

Figura 4.2 – Modelo esquemático de um quadrado horizontal fixo no espaço submetido

a passagem de onda regular ........................................................................................ 31

Figura 4.3 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no quadrado

(n=5) .......................................................................................................................... 32


(n=100) ...................................................................................................................... 32

Figura 4.5 – Erro percentual nos valores de máximo, mínimo e amplitude em função de

n ................................................................................................................................. 35

xi

Figura 4.6 – Modelo esquemático de um quadrado vertical fixo no espaço submetido a

passagem de onda regular ........................................................................................... 36

Figura 4.7 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no quadrado

(n=5) .......................................................................................................................... 37

Figura 4.8 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no quadrado

(n=100) ...................................................................................................................... 38

Figura 4.9 – Erro percentual nos valores de máximo, mínimo e amplitude em função de

n ................................................................................................................................. 41

Figura 4.10 – Modelo esquemático de um semicilindro fixo no espaço submetido a


Figura 4.11 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no

semicilindro ................................................................................................................ 44

Figura 4.12 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no semicilindro

................................................................................................................................... 45

Figura 4.13 – Modelo esquemático de um cubo fixo no espaço submetido a passagem

de onda regular ........................................................................................................... 48

Figura 4.14 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no cubo .... 50

Figura 4.15 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no cubo ........ 51

Figura 4.16 – Modelo esquemático de um cilindro fixo no espaço submetido a


Figura 4.17 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no cilindro

................................................................................................................................... 55

Figura 4.18 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no cilindro ... 56

Figura 4.19 – Plataforma semissubmersível ................................................................ 58

Figura 4.20 – Modelo esquemático da plataforma com posição fixa submetida a


Figura 4.21 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente na plataforma

(T = 5 s) ..................................................................................................................... 61

Figura 4.22 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente na plataforma

(T = 25 s).................................................................................................................... 61

Figura 5.1 – Modelo de uma parede vertical modelada no SITUA .............................. 70

Figura 5.2 – Série temporal de momento resultante em y ............................................ 71

Figura 5.3 – Série temporal de forças atuando horizontalmente no semicilindro (T = 12

s) ................................................................................................................................ 72

Figura 5.4 – Série temporal de forças atuando verticalmente no semicilindro (T = 12 s)

................................................................................................................................... 74

xii

Figura 5.5 – Série temporal de forças atuando horizontalmente no cubo (T = 12 s) ..... 76

Figura 5.6 – Série temporal de forças atuando verticalmente no cubo (T = 12 s) ......... 78

Figura 5.7 – Série temporal de forças atuando horizontalmente no cilindro (T = 12 s) . 80

Figura 5.8 – Série temporal de forças atuando verticalmente no cilindro (T = 12 s) ..... 82

Figura 5.9 – Modelo de navio gerado no SITUA ......................................................... 84

Figura 5.10 – Deslocamento Δz (heave) ...................................................................... 85

Figura 5.11 –Forças hidrostáticas ................................................................................ 85

Figura 5.12 – Deslocamento θ (roll) ........................................................................... 86

Figura 5.13 – Momento devido às forças hidrostáticas ................................................ 87

Figura 5.14 – Plataforma gerada por cilindros no SITUA ............................................ 88

Figura 5.15 – Espectro de forças hidrodinâmicas em z ................................................ 89

Figura 5.16 – Espectro de forças hidrodinâmicas em x ................................................ 90

Figura 5.17 – Detalhe da região do encontro entre pontoons e colunas ........................ 91

xiii

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes ........................................ 33

Tabela 4.2 – Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes ........................................ 39

Tabela 4.3 – Raio corrigido em função do número de lados do polígono regular ......... 43

Tabela 4.4 – Forças de empuxo no semicilindro .......................................................... 44




Tabela 4.8 – Refinamento x Tempo de processamento x Erro ..................................... 47

Tabela 4.9 – Discretização da superfície do cubo ........................................................ 49

Tabela 4.10 – Forças de empuxo no cubo ................................................................... 50

Tabela 4.11 – Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes ...................................... 51

Tabela 4.12 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes ...................................... 52

Tabela 4.13 – Refinamento x Tempo de processamento x Erro ................................... 52

Tabela 4.14 – Raio corrigido em função do número de lados do polígono regular ....... 54

Tabela 4.15 – Forças de empuxo no cilindro ............................................................... 55

Tabela 4.16 – Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes ...................................... 56

Tabela 4.17 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes ...................................... 57


Tabela 4.19 – Propriedades físicas e geométricas da plataforma.................................. 59

Tabela 4.20 – Malhas da plataforma ........................................................................... 59

Tabela 4.21 – Forças em z (Malha 1): máximos, mínimos e amplitudes ...................... 62

Tabela 4.22 – Forças em z (Malha 2): máximos, mínimos e amplitudes ...................... 64

Tabela 4.23 – Relação entre λ, arestas das malhas e erros ........................................... 67


Tabela 5.1 – Erro percentual no valor do empuxo ....................................................... 72





xiv



Tabela 5.8 – Rigidez hidrostática k33 e sua variação .................................................... 86

Tabela 5.9 – Rigidez hidrostática k44 e sua variação .................................................... 87

Tabela 5.10 –Tempo de processamento x pontos de integração ................................... 91

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Contexto e Motivação

As atividades de produção de petróleo em campos situados no mar (offshore),

afastados da costa, têm sido feitas através de sistemas flutuantes baseados em plataformas

ancoradas (tais como FPSOs, Semissubmersíveis, Monoboias etc.). Para a análise e

projeto desses sistemas, torna-se necessário calcular seus movimentos sob a ação de

carregamentos ambientais de onda e corrente o que usualmente é feito através de

ferramentas computacionais baseadas em modelos hidrodinâmicos para representar o

casco das plataformas, e modelos estruturais para representar as linhas de ancoragem e

risers.

Dentre as várias ferramentas computacionais disponíveis, destaca-se neste trabalho

o SITUA-Prosim [1,2] (desenvolvido por pesquisadores do LAMCSO em parceria com

a Petrobras). Esse programa permite que o usuário defina as configurações físicas e

geométricas de componentes estruturais de sistemas offshore, além das condições de

onda, vento, corrente etc., combinando-as em casos de carregamento. Nos modelos

hidrodinâmicos, os cascos são representados como corpos rígidos com seis graus de

liberdade (três de translação e três de rotação) e a interação destes com o fluido pode ser

calculada por diferentes formulações.

Tradicionalmente, em programas de análise dinâmica, forças geradas pelo fluido em

plataformas Semissubmersíveis e Navios são calculadas a partir de matrizes lineares

unitárias obtidas por programas de CFD (Computational Fluid Dynamics) adaptados,

enquanto em Monoboias essas forças são calculadas por formulações de Morison para

cilindros [3]. Em ambos os casos, elevações instantâneas de onda são negligenciadas e o

cálculo de forças introduz simplificações: no primeiro, não linearidades são perdidas

quando definidas ondas com amplitude não unitária; no segundo, forças são calculadas

apenas no eixo dos cilindros e tidas como constantes ao longo da seção transversal.

2

Sob determinadas condições, as simplificações impostas por estas formulações

usuais são válidas e apresentam bons resultados. Contudo, em casos que se afastem das

premissas impostas às formulações, os resultados obtidos no cálculo de forças podem

não ser confiáveis. Como exemplo de não adequação, tem-se análises de sistemas sob

ação de ondas com grandes amplitudes que, por sua vez, geram forças não lineares. Isto

significa que as elevações instantâneas da superfície do mar causadas pela energia das

ondas devem ser consideradas. É demandado, então, o desenvolvimento de pesquisas

com objetivo de propor soluções para estes casos.

1.2 Objetivo

Com base nas considerações descritas em 1.1, este trabalho tem por objetivo

descrever a implementação de um algoritmo para cálculo de forças e momentos

resultantes de cargas hidrostáticas e hidrodinâmicas não lineares de ondas atuando no

casco de plataformas offshore levando em consideração efeitos de elevação instantânea

da superfície do mar.

O algoritmo é baseado na representação da superfície do casco através de uma malha

de painéis com elementos triangulares. A partir desta, são definidos planos secantes para

representação local da onda em cada painel e, utilizando expressões analíticas [3],

pressões são calculadas em cada vértice da malha. Estas pressões são transformadas em

forças sobre a área de cada elemento triangular, que por sua vez irão participar do cálculo

de forças e momentos nos seis graus de liberdade da plataforma, acumulados e aplicados

ao centro de gravidade da plataforma, referencial escolhido para definição da equação de

movimento do corpo rígido no SITUA-Prosim (ao qual o algoritmo será incorporado).

Desta forma, a ferramenta desenvolvida possibilita um cálculo mais preciso das

componentes de pressão atuantes. A definição de planos secantes para representação

local da onda permite que seja considerada de forma mais rigorosa a superfície submersa

do corpo ao longo do tempo, avaliando a influência das elevações instantâneas de onda

no cálculo de forças hidrostáticas e hidrodinâmicas.

3

1.3 Estruturação do Texto

Inicialmente, no capítulo 2, são apresentadas formulações para o cálculo de pressões

e forças hidrostáticas e hidrodinâmicas em corpos parcial ou totalmente submersos.

Em 3, é apresentada a integral de pressões. São expostos seu cálculo, premissas e

como a integral de pressões será utilizada para calcular resultantes de pressões

hidrostáticas e hidrodinâmicas.

No capítulo 4, é desenvolvido um estudo de refinamento com intuito de estabelecer

uma relação entre o comprimento das arestas da malha e o comprimento da onda

incidente. A partir daí, serão estabelecidas relações entre refinamento, acurácia dos

resultados e tempo de processamento.

Em 5, aliadas às conclusões sobre refinamento obtidas em 4, são expostas aplicações

do método desenvolvido.

Por fim, as conclusões e sugestões para trabalhos futuros são apresentadas no

Capítulo 6, que é seguido pelas Referências Bibliográficas.

4

2 FORMULAÇÃO

2.1 Forças geradas pelo fluido

Um corpo total ou parcialmente imerso em um fluido está sujeito às atuações de

forças hidrostáticas e, caso haja presença de ondas e correntes, também às forças

hidrodinâmicas. Neste trabalho, serão apresentadas formulações para cálculo de forças

hidrostáticas, além de, separadamente, formulações para o cálculo de forças decorrentes

da passagem de ondas. Finda a exposição dessas, é apresentado o conceito de modelagens

híbridas, que buscam combinar características positivas das formulações anteriores.

2.2 Representação do mar

Ondas marítimas podem ser descritas, basicamente, por dois modelos matemáticos:

ondas determinísticas (ou mar regular) e representação espectral (ou mar irregular). Neste

item, ambas serão brevemente apresentadas.

Ondas regulares

Ondas regulares têm seu comportamento descrito em função de parâmetros que as

caracterizam, como amplitude a (ou altura H), período T, comprimento de onda L (ou λ),

profundidade d, elevação de superfície η e nível médio MWL, conforme Figura 2.1.

Figura 2.1 – Representação de uma onda regular [4]

5

Devido à natureza aleatória das ondas, é complexo prever seu comportamento. Para

tal, modelos matemáticos foram formulados e soluções aproximadas foram

desenvolvidas com intuito de prever parâmetros como pressão, aceleração e velocidade.

Dentre as teorias mais comuns que buscam resolver esse problema, pode-se citar:

a teoria Linear de Airy: teoria de primeira ordem, baseada na premissa de que

a altura de onda é pequena comparada à profundidade;

e a Teoria de Stokes: teoria não linear de segunda, terceira ou quinta ordem.

As teorias citadas, além da formulação e resolução do modelo para representação de

ondas regulares podem ser encontradas em [3,5,6].

Representação espectral

Uma representação mais realística do mar pode ser feita através de um modelo

espectral, que representa a distribuição de energia de onda numa faixa de frequências.

Neste, o mar é assumido como uma soma de ondas determinísticas, cada uma com seus

valores característicos de período, amplitude e fase. A partir de medições realizadas no

campo e estudos estatísticos, os modelos espectrais são ajustados à área cujo mar deseja-

se representar [7].

Dentre os espectros mais utilizados, pode-se destacar o de Pierson-Moskowitz (2.1)

e o de Jonswap (2.2):

�(�) =

��

4�

2�

�� exp �− �

2�

�� (2.1)

onde S(ω) é a função densidade espectral, ω é a frequência angular da onda, HS é a altura

de onda significativa e TZ é o período de cruzamento zero.

�(�) = ��

��

��

�� −1.25 ��

��

��

� ��

��

��

(2.2)

onde S(ω) é a função densidade espectral, ω é a frequência angular da onda, α é um

parâmetro de forma, γ é o parâmetro de pico, ωp é a frequência de pico e σ é um parâmetro

de forma determinado em função da relação entre frequência ω e frequência de pico ωp

[7].

6

Uma descrição mais detalhada de cada um destes espectros pode ser encontrada em

Chakrabarti [3].

2.3 Forças Hidrostáticas

Pontos situados no interior de um fluido estão sujeitos a um campo de pressões

hidrostáticas com valor dado pela equação (2.3):

� = ��ℎ (2.3)

na qual ρ é a densidade do fluido, g é o módulo da aceleração da gravidade e h é a

distância do ponto até a linha d’água.

A partir desta expressão, pode-se realizar a integral destas pressões atuando na

superfície de um corpo total ou parcialmente submerso, de forma a obter o valor da força

resultante gerada pelo fluido, conforme equação (2.4):

��á�� = � ��ℎ�� (2.4)

De acordo com o princípio de Arquimedes, esta força resultante é denominada

Empuxo, atua verticalmente para cima e pode ser calcula pela equação (2.5)

� = �� (2.5)

onde Vol é o volume da região do corpo submersa no líquido.

A Figura 2.2 ilustra um corpo parcialmente submerso sobre o qual atuam pressões

hidrostáticas resultando numa força resultante de empuxo E. O ponto de aplicação do

empuxo é o centro geométrico do volume (CV) submerso do corpo e é denominado

centro de empuxo ou centro de Carena.

Figura 2.2 – Pressões hidrostáticas atuando em um corpo parcialmente submerso

7

Em ferramentas computacionais, as forças hidrostáticas podem ser calculadas de

diversas formas, dentre as quais pode-se destacar:

Corpos completamente submersos: Estando um corpo completamente submerso,

sendo seu volume conhecido, o valor do empuxo que atua sobre ele é constante.

O valor do empuxo pode ser calculado diretamente pela equação (2.5);

Cilindro vertical parcialmente submerso: em corpos cilíndricos dispostos

verticalmente (ou com pequenas inclinações), o cálculo da força hidrostática

atuante pode ser obtido de forma aproximada considerando que seu volume

submerso é igual a área da base do cilindro vezes a altura do seu eixo que se

encontra submersa. Tendo o volume submerso, pode-se aplicar diretamente a

equação (2.5);

Figura 2.3 – Cilindro parcialmente submerso com eixo inclinado

Corpos quaisquer integrados numericamente: aplicando-se a equação (2.4) na

superfície de um corpo. A partir da expressão do campo de pressões hidrostáticas

num fluido e de uma malha de superfície que defina a geometria do corpo, pode-

se efetuar a integração e calcular o empuxo. Durante análises, o corpo pode se

deslocar, exigindo a atualização da posição dos vértices da malha de superfície e

nova integração para cálculo de empuxo a cada deslocamento [3];

8

Corpos quaisquer definidos por uma matriz de rigidez hidrostática: utilizando

matrizes de rigidez hidrostática, nas quais os termos são forças e momentos

restauradores que surgem no corpo quando submetido a deslocamentos (lineares

ou angulares) unitários. Desta maneira, parte-se do princípio que geometria e

deslocamentos do corpo não implicarão em não linearidades nas forças e

momentos, de forma que esses possam ser calculados multiplicando o vetor de

deslocamentos do corpo pelos termos da matriz. Cabe ressaltar que estas matrizes

podem ser obtidas analiticamente a partir da área seccional da linha d’água [8],

por ensaios com modelos reduzidos em tanques de provas [9], ou através da

integração numérica mencionada anteriormente.

2.4 Forças Hidrodinâmicas

Formulação de Morison

A formulação de Morison [10] foi desenvolvida para aplicação, originalmente, em

corpos cilíndricos esbeltos, quando a presença do corpo não ocasiona interferências

significativas no fluido. Tendo D como uma dimensão transversal característica do

corpo, a Chakrabarti [3]estabelece como critério usual o limite expresso na equação

(2.6), na qual λ é o comprimento da onda incidente.

� <

�

5 (2.6)

Satisfeita a equação anterior, a expressão de forças de Morison (2.7) é composta por

parcelas inerciais (proporcionais às acelerações do corpo e das partículas fluidas) e de

arrasto (proporcional à velocidade relativa entre corpo e fluido).

� =

1

2��|�̇ − �̇|(�̇ − �̇) + ��

��

4��̈ − ��

��

4��̈ (2.7)

9

Nesta expressão, ρw é a massa específica do fluido, D é a dimensão transversal do

corpo (usualmente o diâmetro de cilindros) e Cd, Cm e Ca são, respectivamente,

coeficientes empíricos adimensionais de arrasto, inércia e massa adicionada. Tendo em

vista a consideração de que os corpos têm dimensões pequenas se comparadas ao

comprimento da onda atuante, a variação de alguns parâmetros do fluido é desprezada e,

portanto, �̇ e �̈ são, nesta ordem, velocidade e aceleração do fluido no eixo da seção

transversal do corpo esbelto; �̇ e �̈ são velocidade e aceleração do corpo.

Em termos práticos, a formulação de Morison apresenta bons resultados para

aplicações em membros de plataformas fixas reticuladas (jaquetas), linhas de ancoragem

e risers, além de (com devidas ressalvas) plataformas Semissubmersíveis, Monoboias e

TLPs [1]. Normas e recomendações técnicas como a DNV-RP-H103 [11] apresentam

tabelas para determinação dos coeficientes de arrasto, de inércia e de massa adicionada

a partir de informações geométricas da estrutura e de direção do movimento.

Formulação de Froude-Krylov

De acordo com a teoria de Froude-Krylov, as forças atuantes num corpo submerso

oriundas da passagem de uma onda podem ser calculadas a partir de uma integração da

pressão do fluido na superfície do corpo, também assumindo que a presença deste não

causa interferências significativas no fluxo. Desta forma, tendo uma expressão para

pressões, as forças resultantes são dadas pelas equações (2.8) e (2.9):

�� = �� (2.8)

�� = ��

(2.9)

onde Fx é a força atuando na direção da onda, Fy é a força atuando na direção vertical, nx

e ny são as componentes horizontal e vertical do vetor normal à superfície do corpo e CH

e CV são coeficientes de força horizontal e vertical que podem ser calibrados [3]. Cabe

aqui ressaltar que estes não devem ser confundidos com os coeficientes da formulação

de Morison.

10

Campo de pressões

Neste ponto, fica evidente a necessidade de uma expressão que descreva o

comportamento das pressões do fluido. Dentre as formulações mais conhecidas, estão a

teoria linear (de primeira ordem) de Airy e a teoria de Stokes de ordens superiores. Em

suma, a teoria de Airy se baseia na premissa de que a altura de onda é pequena se

comparada com o comprimento da onda. Esta premissa permite que as condições de

contorno de superfície livre sejam satisfeitas no nível médio de águas tranquilas e não no

nível real de elevação da onda. Para tanto, as condições de contorno são linearizadas,

desprezando os termos de segunda ordem e de ordens superiores. Na teoria de Stokes,

estes termos não são desprezados [12].

A seguir, estão as expressões de pressão pelas teorias de Airy (2.10) e Stokes de

segunda ordem (2.11):

�(�, �, �) = ��

��ℎ �(� + �)

��ℎ �� (�� − ��) (2.10)

�(�, �, �) = ��

��ℎ �(� + �)

��ℎ ��(�� − ��) +

+3

4��

��

�

1

��ℎ 2��ℎ 2�(� + �)

��ℎ� ��

−1

3� �� 2(�� − ��) −

−1

4��

��

�

1

��ℎ 2��[�� 2�(� + �) − 1]

(2.11)

onde ρ é a massa específica do fluido, g é a aceleração da gravidade, a é a amplitude da

onda, k é a o número de onda, d é a lâmina d’água, e λ e H são, respectivamente, o

comprimento e a altura da onda.

11

Desta maneira, as equações (2.10) ou (2.11) podem ser substituídas nas equações

(2.8) e (2.9) para o cálculo das forças exercidas pelo fluido. Vale ressaltar que, em suas

deduções, ambas desprezam efeitos de viscosidade, implicando que, em termos práticos,

a formulação de Froude-Krylov seja aplicável quando forças de arrasto são pequenas se

comparadas a efeitos de inércia. Segundo Chakrabarti [3], em muitos casos, as

expressões resultantes são semelhantes às obtidas pela parcela de inércia da fórmula de

Morison. Em [3], pode-se encontrar a dedução das expressões de força e coeficientes

verticais e horizontais para corpos com geometria simples, como semicilindros, cilindros

e cubos.

Formulação de Difração/Radiação

Por fim, quando as dimensões dos corpos são grandes comparadas ao comprimento

das ondas, ocasionando em interferências significativas no fluido, as teorias expostas em

2.4.1 e 2.4.2 não são válidas. Neste caso, um método de cálculo de forças deve ser

baseado na teoria da Difração/Radiação.

A formulação deste problema se assemelha ao desenvolvido por Airy e Stokes,

acrescentando-se duas condições de contorno:

a componente da velocidade da partícula de fluido normal às superfície do

corpo é igual à velocidade da superfície do corpo naquele ponto;

ondas irradiadas têm amplitude decrescente e nula no infinito.

Assim como em 2.4.2, este problema é complexo e altamente não linear e, de modo

geral, a solução deve ser obtida introduzindo aproximações e/ou utilizando métodos

numéricos. Utilizando expansão em séries, podem ser obtidas expressões de primeira

ordem (tal qual Airy) ou de ordens superiores (semelhante a Stokes). Tendo as expressões

de pressão, procede-se à integração das mesmas na superfície do corpo:

��

= � �� (2.12)

onde nj é a componente do vetor normal na direção j. O resultado Fnj é a força de ordem

n na direção j.

12

O programa Wamit [13] por exemplo, é uma ferramenta bastante utilizada no

cômputo de cargas de fluido empregando um modelo de Difração/Radiação. A partir dos

resultados de primeira ordem, são geradas funções de transferência do corpo

denominadas Response Amplitude Operator (RAO), nas quais são contabilizados os

valores de força resultantes para ondas de diversas frequências com amplitude unitária

atuando em determinadas direções. Utilizando RAOs, parte-se do pressuposto que ondas

com o dobro de amplitude resultarão em forças duas vezes maiores, e assim por diante.

Seguindo o mesmo raciocínio, o programa também calcula matrizes de rigidez

hidrostática com uso semelhante, nas quais os termos são forças restauradoras que

surgem no corpo quando submetido a deslocamentos (lineares ou angulares) unitários.

Discussões sobre resultados de segunda ordem podem ser encontrados em [14,15,16].

Vale lembrar, por fim, que a teoria de Difração/Radiação também não considera a

viscosidade do fluido, implicando na ausência de contribuições de forças de arrasto em

seus resultados. Modelos mais rigorosos que levam em conta este efeito resultam em

problemas matemáticos ainda mais complexos [17].

Formulações Híbridas

A partir de propostas apresentadas por Hooft [17] e Pauling [18], forças resultantes

no corpo oriundas da passagem da onda podem ser calculadas combinando-se

características positivas das diferentes formulações apresentadas anteriormente. Neste

modelo híbrido, combinam-se as seguintes forças:

Forças de onda de primeira ordem oriundas da viscosidade do fluido, obtidas

a partir da fórmula de Morison;

Forças inerciais de primeira ordem, obtidas por Morison, Froude-Krylov ou

Difração/Radiação;

Forças de onda de segunda ordem, obtidas pelo modelo de

Difração/Radiação ou Froude-Krylov.

Neste contexto, esta dissertação aborda um outro tipo de modelo híbrido em que

parcelas de força de primeira ordem são obtidas a partir da integral de superfície das

pressões estáticas e dinâmicas sobre as áreas instantaneamente submersas do corpo,

assumindo que o corpo não perturba as ondas incidentes.

13

3 IMPLEMENTAÇÃO

3.1 O SITUA-Prosim

O Sistema SITUA-Prosim vem sendo desenvolvido pelo LAMCSO em parceria com

o CENPES-Petrobras. O programa tem o objetivo de efetuar tanto análises de unidades

flutuantes ancoradas (considerando a interação dos cascos com as linhas de ancoragem e

risers) quanto de situações de instalação e avaria (incluindo instalação de dutos).

A plataforma SITUA compõe a interface gráfica para entrada de dados, geração de

modelos complexos e visualização de resultados, enquanto os módulos de análise estão

incorporados no programa Prosim.

O Prosim utiliza modelos hidrodinâmicos para fazer a análise de movimento dos

cascos da embarcação e, para a análise do comportamento estrutural dos risers, linhas de

ancoragem e lançamento de dutos, utiliza o Método dos Elementos Finitos de treliça e de

pórtico, utilizando diferentes algoritmos para a análise, dentre eles o algoritmo implícito

αβ-Newmark, com propriedade de dissipação numérica, além de algoritmos explícitos

apropriados para análise de situações transientes.

Em se tratando dos modelos hidrodinâmicos, o programa permite ao usuário a

definição do cálculo de parcelas de forças através de diversos “provedores”, como os

listados a seguir:

Modelo de Cilindros: formulação de Morison para o cálculo das forças de

fluidos em corpos esbeltos;

Modelo de Difração

Matriz de Restauração Hidrostática

Desta forma, o usuário pode utilizar as formulações tradicionais de Morison,

Froude-Krylov e Difração/Radiação, além das formulações híbridas descritas em 2.4.4.

Na Figura 3.1 é representa a tela do SITUA, na qual estão em destaque um casco e os

provedores para cálculo de forças hidrostáticas e hidrodinâmicas.

14

Figura 3.1 – Modelo de uma plataforma flutuante no programa SITUA-Prosim

3.2 Conceitos básicos

Definição de vetor normal unitário

Um vetor normal à área de um triângulo pode ser calculado a partir do produto

vetorial de dois vetores que correspondam a duas de suas arestas. O vetor ��⃗ na Figura

3.2 indica o resultado da operação (3.1):

��⃗ = ��⃗ × ��⃗ (3.1)

15

Figura 3.2 – Definição de vetor normal à superfície do triângulo

Para torná-lo unitário, as componentes do vetor são dividas pelo seu módulo de

acordo com a equação (3.2):

��⃗ =

��⃗

��⃗ � (3.2)

Volume e centro de volume de tetraedro

O volume de um tetraedro pode ser obtido de forma simples através do produto

vetorial misto dado pela equação (3.3):

�� =

��⃗ × ��⃗ � ∙ ��⃗

6 (3.3)

Figura 3.3 – Tetraedro e seu centro de volume

Já o seu centro de volume (CV) pode ser facilmente calculado pela média aritmética

das coordenadas de seus vértices, conforme equações a seguir:

�� =

�� + �� + �� + ��

4 (3.4)

�� =

�� + �� + �� + ��

4

(3.5)

16

�� =

�� + �� + �� + ��

4

(3.6)

3.3 A Integral de Pressões

Segundo a teoria de cálculo infinitesimal [19], a integral de uma função f(x,y,z) em

uma área é numericamente igual ao volume compreendido entre o plano que consta o

domínio da função e a superfície formada pela imagem do intervalo de integração,

conforme a Figura 3.4:

Figura 3.4 – Integral de uma função numa superfície

Partindo desta definição, e tornando a área integrada pequena o suficiente para que

a superfície da função possa ser substituída por um plano, a integral de uma função pode

ser obtida calculando geometricamente o volume gerado.

Desta forma, dado um corpo com geometria modelada por painéis planos submetido

a uma função f(x,y,z) que define um campo de pressões, pode-se realizar a integração da

função na superfície do corpo. Para isto, cada painel deve ser calculado individualmente,

atuando como um plano sobre o qual será gerado o volume de pressões que corresponde

numericamente ao valor da integral. A Figura 3.5 ilustra o início deste processo, no qual

um painel triangular da malha do corpo foi destacado e indicados seus nós e vetor normal

unitário.

17

Figura 3.5 – Triângulo destacado da malha com seus nós e vetor normal

Com intuito de gerar o volume de pressões geometricamente no espaço, são

calculados os valores da função de pressões f(x,y,z) nos três nós do triângulo e o módulo

destes valores são multiplicados pelo vetor normal ao triângulo e somados aos seus

respectivos nós. Vetorialmente, tem-se:

��⃗ = �ó�

��⃗ + |�(�ó�)|��⃗ (3.7)

��⃗ = �ó�

��⃗ + |�(�ó�)|��⃗ (3.8)

��⃗ = �ó�

��⃗ + |�(�ó�)|��⃗ (3.9)

A Figura 3.6 ilustra o volume gerado, no qual a distância entre os pontos P1, P2 e

P3 aos seus respectivos nós são numericamente iguais ao módulo da função f(x,y,z) nos

nós.

Figura 3.6 – Volume de pressões sobre o triângulo

18

Dado o volume geométrico de pressões correspondente à integral da função,

procede-se ao cálculo do seu valor numérico. Para isto, ele é subdividido em três

tetraedros, já que estes têm seu volume e centro de volume facilmente calculados (seção

3.2.2). A Figura 3.7 elucida o processo de divisão do volume original em tetraedros, na

qual os traçados em vermelho são planos de corte.

(a)

(b)

(c)

Figura 3.7 – Demonstração geométrica do cálculo do volume

Findo este processo, o volume original é igual à soma dos volumes dos tetraedros, e

o centro de volume é uma média ponderada dos centros de volumes dos tetraedros por

seus respectivos volumes, conforme equações a seguir:

19

�� = �� + �� + �� (3.10)

��⃗ =

��⃗ + ��

��⃗ + ��⃗

�� + �� + ��

(3.11)

A partir do que foi exposto, pode-se calcular as contribuições de força e momento

em cada elemento da malha e somá-los para que se encontre força e momento resultantes

gerados pela função de pressões atuando na superfície do corpo.

Cabe ressaltar que o cálculo do ponto de aplicação da força no elemento de superfície

através de médias aritméticas das coordenadas ou médias ponderadas por valores de

pressão não é recomendado. Um exemplo simples, com resultado amplamente

conhecido, é o de pressões hidrostáticas atuando numa parede vertical (normalmente

barragens), no qual a resultante de forças atua a 1/3 da altura da barragem, conforme

Figura 3.8. Naturalmente, estas aproximações são válidas em elementos infinitesimais.

No entanto, como um dos objetivos deste trabalho é obter a integral de pressões com o

menor custo computacional possível, quanto maior o tamanho do elemento, e por sua

vez, menor o número de elementos no modelo, melhor. Sendo assim, a técnica do cálculo

do centro de volume de pressões, que é a mais precisa, foi adotada.

(a) – 3D

(b) – 2D

Figura 3.8 – Campo de pressões hidrostáticas atuando numa barragem

20

No capítulo 5, dedicado a verificações da integral de pressões, este exemplo de

campo de pressões hidrostáticas atuando numa barragem será analisado com intuito de

verificar a adequação do cálculo do ponto de aplicação da força resultante.

3.4 Descrição do método

O método desenvolvido consiste em, a partir de expressões analíticas para o cálculo

de pressões, integrá-las na superfície de um corpo (seguindo a proposta de Froude-

Krylov) com geometria definida por painéis triangulares utilizando a integral de pressões

apresentada no item 3.3. Somando as parcelas de força e momento geradas em cada um

dos painéis, tem-se forças e momentos resultantes que integrarão a equação de

movimento do corpo (daqui em diante também denominado Unidade Flutuante ou UF).

Para isso, além da geometria da UF, o usuário deve definir as características do mar,

informando se ele será do tipo regular, com período, direção e amplitude de cada uma

das componentes de onda que o representam, ou irregular, no qual as ondas são definidas

por espectros de energia com um número discreto de componentes.

A partir da definição da geometria do corpo e das características do mar, o algoritmo

desenvolvido faz um loop nos elementos de superfície e, em seguida, em seus nós,

calculando pressões através das expressões analíticas de hidrostática (2.3) e pressão de

onda de primeira ordem (2.4.2). Ao fim do loop, forças e momentos são acumulados e

aplicados no CG da UF.

Definido o vetor de forças e momentos, o programa SITUA-Prosim resolve a

equação de movimento do corpo, calculando translações e rotações. A partir destes

deslocamentos, a posição do centro de gravidade e dos pontos da malha de superfície são

atualizadas e o processo se repete até o fim da análise. Cabe ressaltar que esta etapa de

resolução da equação de movimento não foi desenvolvida neste trabalho, tendo este se

limitado a calcular as forças e momentos gerados pelo fluido. A Figura 3.9 traz, em forma

de pseudocódigo, fluxograma explicativo do método aqui exposto. O cálculo das

parcelas de força será explicado individualmente nas seções seguintes.

21

Figura 3.9 – Fluxograma geral do método desenvolvido

3.5 Forças hidrostáticas

O cálculo das forças hidrostáticas está baseado nas definições expostas nas seções

2.3 e 3.3. Primeiramente, inicia-se um loop de subvolumes da UF (unidade flutuante).

Em cada subvolume, é feito um loop nos painéis triangulares da malha de superfície.

Neste ponto, inicia-se uma importante etapa do método: o corte da malha de superfície

pelo plano gerado pela onda (Figura 3.10).

22

(a) – 3D

(b) – 2D

(c) – 2D

Figura 3.10 – Cilindro com superfície “cortada” pela onda

Para cada triângulo, é definido um plano secante que represente localmente a onda

(Figura 3.11).

Figura 3.11 – Definição do plano secante

Neste processo, elementos de superfície parcialmente submersos são cortados e

regerados após cálculo das coordenadas de interseção com o plano da onda (Figura 3.12).

23

(a) – Antes

(b) – Depois

Figura 3.12 – Corte do triângulo pelo plano secante

Identificados os triângulos com área submersa, são calculadas as pressões

hidrostáticas em cada um de seus nós a partir da equação (2.3) definida na seção 2.3.

Vale ressaltar que a profundidade aqui considerada trata-se da distância da superfície

instantânea da onda até o nó em questão (Figura 3.13).

Figura 3.13 – Profundidade dos nós do triângulo

Calculadas as pressões em cada nó do triângulo, são gerados no espaço os pontos

que comporão o volume de pressões, como descrito em 3.3, e procede-se à integral de

pressões para cálculo da força hidrostática atuante no triângulo e seu ponto de aplicação.

A partir deste, é calculado o momento causado pela força no centro de gravidade da UF.

Findo o loop de elementos de superfície, contribuições de forças e momentos de

cada triângulo submerso (que foram armazenados em variáveis acumuladoras) são

aplicados no CG da UF. Este processo se repete até o fim do loop de subvolumes que

compõem o corpo.

A Figura 3.14 traz fluxograma explicativo do cálculo de forças hidrostáticas.

24

Figura 3.14 – Fluxograma para cálculo de forças hidrostáticas

Figura 3.15 – Fluxograma para cálculo de forças a partir de pressões hidrostáticas

25

Na Figura 3.14, define-se as seguintes variáveis:

IVOLUME: contador de subvolumes que compõem a UF;

ITRIANGULO: contador de triângulos (elementos de superfície) do subvolume

analisado;

NTRIANGULOS: número total de triângulos que compõem a malha de superfície

do subvolume analisado;

NVOLUMES: número total de subvolumes que compõem a UF.

3.6 Forças hidrodinâmicas

O cálculo das forças hidrodinâmicas está baseado nas definições expostas nas seções

2.4.2 e 3.3 e em muito se assemelha ao algoritmo para forças hidrostáticas apresentado

anteriormente (seção 3.5). Inicialmente, é realizado um loop de subvolumes da UF. Em

cada subvolume, é feito um loop nos painéis triangulares da malha de superfície. Para

cada triângulo, é definido um plano secante que represente localmente a onda a fim de

verificar quais nós do elemento de superfície estão submersos. Identificados os triângulos

com área submersa, são calculadas as pressões hidrodinâmicas em cada um de seus nós

a partir da equação (2.10) de Airy definida na seção 2.4.2.

As demais etapas de cálculo são idênticas aquelas apresentadas na seção anterior,

podendo-se seguir o mesmo fluxograma de cálculo de forças da Figura 3.14, substituindo

apenas a pressão hidrostática pela hidrodinâmica.

A Figura 3.16 traz fluxograma explicativo do cálculo de forças hidrodinâmicas.

26

Figura 3.16 – Fluxograma para cálculo de forças hidrodinâmicas

Figura 3.17 – Fluxograma para cálculo de forças a partir de pressões hidrodinâmicas

27

Neste ponto, apresentados os fluxogramas para cálculos de forças hidrostáticas e

hidrodinâmicas, cabe o questionamento acerca da unificação dos algoritmos, tendo em

vista as semelhanças que há em maior parte do código. A separação em duas rotinas se

deu devido às expressões de cálculo de pressões: a pressão hidrostática é regida por uma

expressão linear em função da profundidade do ponto, enquanto a pressão hidrodinâmica

é dada por uma expressão com cossenos hiperbólicos, acentuadamente não lineares.

Desta forma, resultados de hidrostática podem ser obtidos com discretização da malha

de superfície menos refinada, exigindo menores custos computacionais. Fica permitido

ao usuário, então, definir duas malhas distintas, uma para cada parcela de força, deixando

o programa computacional mais genérico.

28

4 ESTUDO DE REFINAMENTO DE MALHA

DE SUPERFÍCIE

4.1 Introdução

Com o intuito de estabelecer parâmetros que norteassem o refinamento da malha a

ser usada no método de painéis, levando em conta custo computacional e acurácia dos

resultados, foram realizadas análises que buscam estabelecer relação entre o

comprimento λ da onda incidente e a dimensão máxima das arestas dos elementos de

superfície.

Para isto, foram fixadas uma profundidade do corpo e uma onda (direção, período,

amplitude e comprimento), para a qual foi calculado seu comprimento λ. Em seguida,

estabeleceu-se a relação � �� (sendo n um número inteiro) que define um tamanho

máximo da aresta dos elementos da malha de superfície. À medida em que é aumentado

o valor de n, tem-se malhas mais refinadas, e um erro menor associado.

A fim de elucidar esta proposta, tem-se o exemplo a seguir de um cubo com aresta

arbitrada � = 12 �, sobre o qual incide uma onda com comprimento também

arbitrado � = 60 �. A superfície do cubo foi então dividida em elementos cujas arestas

obedecem a relação �� , com � = 10, � = 20 e � = 30 (Figura 4.1). É então esperado

que, com aumento de n, obtenha-se melhores (mais acurados) resultados de forças

atuando no corpo, porém eleve-se o custo computacional.

29

� = 10

�� = 60

10� = 6.0 �

(a) – Vistas 2 e 3D para n = 10

� = 20

�� = 60

20� = 3.0 �

(b) – Vistas 2 e 3D para n = 20

� = 30

�� = 60

30� = 2.0 �

(c) – Vistas 2 e 3D para n = 30

Figura 4.1 – Relação λ/n em cubo com aresta L = 12 m e onda com λ = 60 m

30

Com intuito de obter valores de referência para o cálculo do erro nas forças

horizontais e verticais atuantes no corpo, foi utilizado o programa comercial Mathcad

[20], que permite o cálculo de integrais definidas com boa acurácia, tendo em vista que

este realiza o cálculo numérico dividindo o domínio de integração em um número de

pontos grande o suficiente para que os critérios de convergência definidos pelo usuário

sejam satisfeitos. Assim sendo, os resultados do Mathcad foram assumidos como

corretos e tentou-se melhorar o refinamento das malhas para análises pelo método de

painéis de modo que os resultados se aproximassem dos obtidos pelo programa

comercial.

4.2 Plano horizontal: forças verticais

Em princípio, a fim de estabelecer uma relação � �� que possa ser extrapolada para

corpos de diversas formas, foi realizado um estudo de forças hidrodinâmicas verticais

atuando em um quadrado fixo disposto horizontalmente no espaço (Figura 4.2). Definiu-

se onda, lâmina d’água, profundidade do plano etc. e análises foram realizadas variando-

se o comprimento Larestas das arestas do quadrado, que assumiu valores de acordo com os

resultados da expressão �� .

31

(a) – 3D (b) – 2D

Figura 4.2 – Modelo esquemático de um quadrado horizontal fixo no espaço

submetido a passagem de onda regular

A seguir, estão listados alguns dados referentes aos modelos e às análises:

Período T da onda: 6.00 s

Amplitude A da onda: 1.00 m

Comprimento de onda λ: 56.18 m (obtido com auxílio de código

desenvolvido no Mathcad)

Coordenada z do plano: -15.00 m

Malha da superfície: 4 vértices, 2 triângulos

Análise dinâmica com tempo total de 100.00 s e intervalo de integração de

0.10 s

Duração das análises: 0.26 s (em média)

A seguir, são apresentados trechos das séries temporais das forças hidrodinâmicas

obtidas pelo método dos painéis e pelo Mathcad para os valores � = 5 (Figura 4.3) e � =

100 (Figura 4.4), a partir dos quais é possível notar melhor acurácia nos resultados para

valores maiores de n.

32


(n=5)


(n=100)

Com intuito de quantificar erros nos resultados obtidos, foram identificados valores

de máximo, mínimo e amplitude nas séries temporais obtidas pelo Mathcad e pelo

método de painéis e foram calculados os erros relativos. Estes resultados podem ser

observados na Tabela 4.1.

33

Tabela 4.1 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes

n λ/n (m) Forças Hidrodinâmicas Painéis

(kN) Mathcad

(kN) Erro (%)

5 11.24

Máximo 176.12 200.84 -12.31%

Mínimo -209.15 -245.18 14.70%

Amplitude 192.63 223.01 -13.62%

6 9.36

Máximo 130.14 142.10 -8.42%

Mínimo -156.43 -174.13 10.17%

Amplitude 143.28 158.12 -9.38%

7 8.03

Máximo 99.10 105.57 -6.13%

Mínimo -120.01 -129.67 7.45%

Amplitude 109.55 117.62 -6.86%

8 7.02

Máximo 77.61 81.41 -4.66%

Mínimo -94.45 -100.15 5.69%

Amplitude 86.03 90.78 -5.23%

9 6.24

Máximo 62.27 64.64 -3.67%

Mínimo -76.03 -79.61 4.49%

Amplitude 69.15 72.12 -4.12%

10 5.62

Máximo 50.99 52.54 -2.96%

Mínimo -62.41 -64.76 3.63%

Amplitude 56.70 58.65 -3.33%

11 5.11

Máximo 42.47 43.54 -2.44%

Mínimo -52.08 -53.69 3.00%

Amplitude 47.28 48.61 -2.75%

12 4.68

Máximo 35.91 36.65 -2.04%

Mínimo -44.09 -45.22 2.52%

Amplitude 40.00 40.94 -2.30%

13 4.32

Máximo 30.74 31.28 -1.74%

Mínimo -37.78 -38.60 2.14%

Amplitude 34.26 34.94 -1.96%

14 4.01

Máximo 26.60 27.00 -1.49%

Mínimo -32.72 -33.34 1.84%

Amplitude 29.66 30.17 -1.69%

34

Tabela 4.1 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes (continuação)


(kN) Mathcad

(kN) Erro (%)

15 3.75

Máximo 23.24 23.55 -1.29%

Mínimo -28.61 -29.08 1.60%

Amplitude 25.92 26.31 -1.47%

16 3.51

Máximo 20.48 20.71 -1.14%

Mínimo -25.22 -25.58 1.41%

Amplitude 22.85 23.15 -1.29%

17 3.30

Máximo 18.17 18.36 -1.00%

Mínimo -22.39 -22.68 1.24%

Amplitude 20.28 20.52 -1.14%

18 3.12

Máximo 16.24 16.38 -0.89%

Mínimo -20.02 -20.24 1.11%

Amplitude 18.13 18.31 -1.01%

19 2.96

Máximo 14.59 14.71 -0.80%

Mínimo -18.00 -18.18 0.99%

Amplitude 16.30 16.44 -0.91%

20 2.81

Máximo 13.19 13.28 -0.72%

Mínimo -16.27 -16.41 0.90%

Amplitude 14.73 14.85 -0.82%

25 2.25

Máximo 8.47 8.51 -0.45%

Mínimo -10.46 -10.52 0.56%

Amplitude 9.47 9.52 -0.51%

30 1.87

Máximo 5.90 5.92 -0.30%

Mínimo -7.28 -7.31 0.39%

Amplitude 6.59 6.61 -0.35%

35 1.61

Máximo 4.34 4.35 -0.22%

Mínimo -5.36 -5.38 0.28%

Amplitude 4.85 4.86 -0.25%

40 1.40

Máximo 3.32 3.33 -0.17%

Mínimo -4.11 -4.12 0.21%

Amplitude 3.72 3.72 -0.19%

35

Tabela 4.1 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes (continuação)


(kN) Mathcad

(kN) Erro (%)

45 1.25

Máximo 2.62797 2.63100 -0.12%

Mínimo -3.24840 -3.25400 0.17%

Amplitude 2.938185 2.9425 -0.15%

50 1.12

Máximo 2.12973 2.1320 -0.11%

Mínimo -2.63279 -2.6360 0.12%

Amplitude 2.38126 2.384 -0.11%

100 0.56

Máximo 0.53304 0.5330 0.01%

Mínimo -0.65916 -0.6590 -0.02%

Amplitude 0.5961 0.596 0.02%

Conforme o exposto, erros menores que 5% exigem malhas com dimensão

�� = �9 � e erros menores que 1% exigem malhas com �� = �

19 � . A

Figura 4.5 traz gráficos do comportamento do erro relativo em função da variação de n.

Figura 4.5 – Erro percentual nos valores de máximo, mínimo e amplitude em função

de n

36

4.3 Plano vertical: forças na direção da onda

Seguindo o raciocínio exposto no item anterior (4.2), procedeu-se a um estudo de

forças hidrodinâmicas na direção da onda (eixo x global do SITUA) atuando em um

quadrado fixo disposto verticalmente no espaço (Figura 4.6). Os valores de período e

amplitude da onda, lâmina d’água, profundidade do plano etc. são os mesmos utilizados

no estudo de forças verticais e, de forma semelhante, as análises foram realizadas

variando-se o comprimento Larestas das arestas do quadrado, que assumiu valores de

acordo com os resultados da expressão � � � .

(a) – 3D (b) – 2D

Figura 4.6 – Modelo esquemático de um quadrado vertical fixo no espaço

submetido a passagem de onda regular






Coordenada z da base do plano: -15.00 m

Malha da superfície: 4 vértices, 2 triângulos

37


0.10 s

Duração das análises: 0.26 s (em média)


obtidas pelo método dos painéis e pelo Mathcad para os valores � = 5 (Figura 4.7) e

� = 100 (Figura 4.8), a partir dos quais é possível notar melhor acurácia nos resultados

para valores maiores de n.


quadrado (n=5)

38


quadrado (n=100)



método de painéis e foram calculados os erros relativos. Estes resultados podem ser

observados na Tabela 4.2.

39

Tabela 4.2 – Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes


(kN) Mathcad

(kN) Erro (%)

5 11.24

Máximo 597.36 529.00 12.92%

Mínimo -479.87 -425.59 -12.76%

Amplitude 538.61 477.29 12.85%

6 9.36

Máximo 353.58 324.24 9.05%

Mínimo -284.42 -261.10 -8.93%

Amplitude 319.00 292.67 9.00%

7 8.03

Máximo 232.95 218.36 6.68%

Mínimo -187.56 -175.95 -6.60%

Amplitude 210.25 197.15 6.64%

8 7.02

Máximo 164.85 156.80 5.14%

Mínimo -132.82 -126.41 -5.07%

Amplitude 148.83 141.60 5.11%

9 6.24

Máximo 122.75 117.95 4.07%

Mínimo -98.94 -95.12 -4.02%

Amplitude 110.84 106.53 4.05%

10 5.62

Máximo 94.93 91.89 3.30%

Mínimo -76.55 -74.13 -3.26%

Amplitude 85.74 83.01 3.29%

11 5.11

Máximo 75.60 73.59 2.74%

Mínimo -60.98 -59.38 -2.70%

Amplitude 68.29 66.48 2.72%

12 4.68

Máximo 61.63 60.24 2.30%

Mínimo -49.73 -48.62 -2.28%

Amplitude 55.68 54.43 2.29%

13 4.32

Máximo 51.21 50.22 1.97%

Mínimo -41.32 -40.54 -1.94%

Amplitude 46.26 45.38 1.96%

14 4.01

Máximo 43.22 42.50 1.70%

Mínimo -34.89 -34.31 -1.68%

Amplitude 39.05 38.41 1.69%

40

Tabela 4.2– Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes (continuação)


(kN) Mathcad

(kN) Erro (%)

15 3.75

Máximo 36.97 36.43 1.48%

Mínimo -29.85 -29.41 -1.47%

Amplitude 33.41 32.92 1.48%

16 3.51

Máximo 31.99 31.58 1.31%

Mínimo -25.82 -25.50 -1.29%

Amplitude 28.91 28.54 1.30%

17 3.30

Máximo 27.95 27.63 1.16%

Mínimo -22.56 -22.31 -1.15%

Amplitude 25.26 24.97 1.15%

18 3.12

Máximo 24.63 24.37 1.04%

Mínimo -19.89 -19.68 -1.02%

Amplitude 22.26 22.03 1.03%

19 2.96

Máximo 21.87 21.67 0.93%

Mínimo -17.66 -17.50 -0.92%

Amplitude 19.76 19.58 0.93%

20 2.81

Máximo 19.55 19.38 0.84%

Mínimo -15.78 -15.66 -0.83%

Amplitude 17.67 17.52 0.84%

25 2.25

Máximo 12.07 12.00 0.55%

Mínimo -9.75 -9.70 -0.54%

Amplitude 10.91 10.85 0.54%

30 1.87

Máximo 8.19 8.16 0.37%

Mínimo -6.61 -6.59 -0.37%

Amplitude 7.40 7.37 0.37%

35 1.61

Máximo 5.92 5.90 0.29%

Mínimo -4.78 -4.77 -0.29%

Amplitude 5.35 5.33 0.29%

40 1.40

Máximo 4.47 4.46 0.23%

Mínimo -3.62 -3.61 -0.22%

Amplitude 4.05 4.04 0.23%

41

Tabela 4.2– Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes (continuação)


(kN) Mathcad

(kN) Erro (%)

45 1.25

Máximo 3.50 3.50 0.17%

Mínimo -2.83 -2.83 -0.19%

Amplitude 3.17 3.16 0.18%

50 1.12

Máximo 2.82 2.81 0.14%

Mínimo -2.28 -2.27 -0.17%

Amplitude 2.55 2.54 0.15%

100 0.56

Máximo 0.68 0.68 0.00%

Mínimo -0.55 -0.55 -0.09%

Amplitude 0.62 0.62 0.04%

Conforme o exposto, assim como no item anterior (4.2), erros menores que 5%

exigem malhas com dimensão �� = �9 � e erros menores que 1% exigem malhas

com � = �19 � . A Figura 4.9 traz gráficos do comportamento do erro relativo em função

da variação de n.

Figura 4.9 – Erro percentual nos valores de máximo, mínimo e amplitude em função

de n

42

4.4 Semicilindro

A partir dos resultados de � �� obtidos nos itens anteriores (4.2 e 4.3), foram

realizadas análises de forças hidrostáticas e hidrodinâmicas atuando em semicilindros

fixos no espaço. As dimensões do corpo, assim como profundidade, lâmina d’água, etc.

estão listados a seguir e podem ser observadas na Figura 4.10.





Raio teórico do semicilindro: 5.00 m

Altura do semicilindro: 10.00 m

Coordenada z da base do semicilindro: -15.00 m

(a) – 3D (b) – 2D

Figura 4.10 – Modelo esquemático de um semicilindro fixo no espaço submetido a

passagem de onda regular

43

A princípio, a fim de corrigir erros introduzidos pela discretização da malha no

volume do corpo submerso, foram realizadas correções nos raios dos semicilindros

gerados de acordo com o número narestas de arestas do perímetro, conforme Tabela 4.3. A

partir das correções, garante-se que as forças hidrostáticas (que dependem do volume

submerso) sejam iguais às atuantes num semicilindro com volume � = ��2� .

Tabela 4.3 – Raio corrigido em função do número de lados do polígono regular

narestas Raio corrigido (m)

3

4

5

6

44

Feitas as correções nos volumes, foram efetuadas análises dinâmicas de 100 s com

intervalo de integração de 0.10 s. Os modelos com narestas igual a 3, 4 e 5 respeitaram o

critério de �� < �9� , e o modelo com narestas igual a 6 respeitou o critério

de �� < �19� .

Como esperado, os valores de força hidrostáticas apresentaram boa acurácia devido

às correções feitas nos volumes dos semicilindros. Tais resultados podem ser observados

na Tabela 4.4:

Tabela 4.4 – Forças de empuxo no semicilindro

n Empuxo (kN) Mathcad (kN) Erro (%)

3 3947.34 3947.34 0.000%

4 3947.34 3947.34 0.000%

5 3947.34 3947.34 0.000%

6 3947.34 3947.34 0.000%

A seguir, são expostos trechos das séries temporais das forças hidrodinâmicas

atuando em x (Figura 4.11) e z (Figura 4.12) obtidas pelo Mathcad, pelo modelo menos

refinado (�� = 3) e pelo modelo mais refinado (�� = 6).


semicilindro

45

Figura 4.12 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no

semicilindro

Os valores de máximo, mínimo e amplitude (além de respectivos erros) das forças

hidrodinâmicas atuantes na direção da onda estão resumidos na Tabela 4.5.


narestas Forças Hidrodinâmicas Painéis (kN) Mathcad (kN) Erro (%)

3

Máximo 99.483 103.796 -4.16%

Mínimo -99.483 -103.796 4.16%

Amplitude 99.483 103.796 -4.16%

4

Máximo 101.503 103.796 -2.21%

Mínimo -101.503 -103.796 2.21%

Amplitude 101.503 103.796 -2.21%

5

Máximo 102.395 103.796 -1.35%

Mínimo -102.395 -103.796 1.35%

Amplitude 102.395 103.796 -1.35%

6

Máximo 102.842 103.796 -0.92%

Mínimo -102.842 -103.796 0.92%

Amplitude 102.842 103.796 -0.92%

Valores de máximo, mínimo e amplitude (além de respectivos erros) das forças

hidrodinâmicas atuantes na direção z estão resumidos na Tabela 4.6.

46



3

Máximo 117.92 113.34 4.04%

Mínimo -95.36 -91.58 -4.12%

Amplitude 106.64 102.46 4.08%

4

Máximo 118.49 113.34 4.55%

Mínimo -95.42 -91.58 -4.19%

Amplitude 106.95 102.46 4.39%

5

Máximo 118.64 113.34 4.68%

Mínimo -95.42 -91.58 -4.19%

Amplitude 107.03 102.46 4.46%

6

Máximo 114.24 113.34 0.80%

Mínimo -92.32 -91.58 -0.80%

Amplitude 103.28 102.46 0.80%

Após o exposto, nota-se que os critérios para arestas �� < �9� e �� <

� 19� dos elementos da malha conduziram, como esperado, a erros menores que 5% e

1%. Pode-se observar também uma possível inconsistência nos erros na Tabela 4.6, que

estão aumentando conforme melhora na discretização. Isso ocorre devido à correção no

raio do semicilindro, feita incialmente com intuito de corrigir erros no cálculo do empuxo

do corpo. A Tabela 4.7 mostra que os erros seguiriam a tendência de queda caso a

correção no raio não fosse realizada.

47



3

Máximo 95.78 113.34 -15.49%

Mínimo -77.31 -91.58 15.59%

Amplitude 86.55 102.46 -15.53%

4

Máximo 105.54 113.34 -6.88%

Mínimo -84.93 -91.58 7.27%

Amplitude 95.23 102.46 -7.05%

5

Máximo 110.22 113.34 -2.75%

Mínimo -88.61 -91.58 3.24%

Amplitude 99.42 102.46 -2.97%

6

Máximo 112.83 113.34 -0.45%

Mínimo -90.66 -91.58 1.00%

Amplitude 101.75 102.46 -0.70%

Na Tabela 4.8, tomando como referência o semicilindro com �� = 3, foram

obtidas porcentagens indicando aumento ou decréscimo de número de painéis, tempo de

processamento e erros na amplitude da força hidrodinâmica atuando verticalmente. A

partir dela, é possível perceber que uma malha com o quádruplo de elementos de

superfície gera resultados com erro cinco vezes menor, às custas do triplo de tempo de

processamento.

Tabela 4.8 – Refinamento x Tempo de processamento x Erro

narestas Triângulos % Tempo (s) % Erro amplitude

Forca z (%) %

3 26 - 0.33 - 4.08% -

4 32 123% 0.34 103% 4.39% 108%

5 38 146% 0.39 118% 4.46% 109%

6 116 446% 0.92 279% 0.80% 20%

48

4.5 Cubo

Seguindo com o estudo da relação de � �� obtidos nos itens anteriores (4.2 e 4.3),

foram realizadas análises de forças hidrostáticas e hidrodinâmicas atuando em cubos

fixos no espaço. As dimensões do corpo, assim como profundidade, lâmina d’água, etc.

podem estão listados a seguir e podem ser observadas na Figura 4.10.





Aresta do cubo: 10.00 m

Coordenada z da base do cubo: -15.00 m

(a) – 3D (b) – 2D

Figura 4.13 – Modelo esquemático de um cubo fixo no espaço submetido a


49

Neste caso, o estudo de refinamento levou em conta o número de divisões ndiv nas

arestas do cubo (Tabela 4.9), nos quais os modelos com 1 divisão e 2 divisões atendem

ao critério de arestas �� < �9� e o modelo com 3 divisões atende ao

critério �� < �19� .

Tabela 4.9 – Discretização da superfície do cubo

1 divisão

�� =10 �

2= 5� <

�

9= 6.24�

2 divisões

�� =10 �

3= 3.33� <

�

9= 6.24�

3 divisões

�� =10 �

4= 2.5� <

�

19= 2.96�

50

Foram então realizadas análises dinâmicas com tempo total de 100.00 s e intervalo

de integração de 0.10 s e, como esperado, os valores obtidos de força hidrostáticas

apresentaram boa acurácia posto que, independentemente do número de divisões, a

superfície gerada representa fielmente o volume do cubo. Tais resultados podem ser

observados na Tabela 4.10:

Tabela 4.10 – Forças de empuxo no cubo

Divisões Empuxo (kN) Mathcad (kN) Erro (%)

1 10051.82 10051.82 0.000%

2 10051.82 10051.82 0.000%

3 10051.82 10051.82 0.000%




Figura 4.14 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no cubo

51

Figura 4.15 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no cubo




Divisões Forças Hidrodinâmicas Painéis (kN) Mathcad (kN) Erro (%)

1

Máximo 383.24 373.71 2.55%

Mínimo -383.24 -373.71 -2.55%

Amplitude 383.24 373.71 2.55%

2

Máximo 377.86 373.71 1.11%

Mínimo -377.86 -373.71 -1.11%

Amplitude 377.86 373.71 1.11%

3

Máximo 375.97 373.71 0.60%

Mínimo -375.97 -373.71 -0.60%

Amplitude 375.97 373.71 0.60%



52


Divisões Forças Hidrodinâmicas Painéis (kN) Mathcad (kN) Erro (%)

1

Máximo 396.68 408.26 -2.84%

Mínimo -322.21 -330.08 2.38%

Amplitude 359.45 369.17 -2.63%

2

Máximo 403.16 408.26 -1.25%

Mínimo -326.60 -330.08 1.05%

Amplitude 364.88 369.17 -1.16%

3

Máximo 405.41 408.26 -0.70%

Mínimo -328.14 -330.08 0.59%

Amplitude 366.77 369.17 -0.65%

Após o exposto, nota-se que os critérios para arestas �� < �9� e �� <

� 19� dos elementos da malha conduziram, como esperado, a erros menores que 5% e

1%.

Na Tabela 4.13, tomando como referência a superfície do cubo com 1 divisão, foram



partir dela, é possível perceber que uma malha com o quádruplo de elementos de

superfície gera resultados com erro quatro vezes menor, às custas do dobro de tempo de

processamento.


Divisões Triângulos % Tempo (s) % Erro amplitude

Forca z (%) %

1 48 - 0.58 - 2.63 -

2 108 225% 0.77 133% 1.16 44%

3 192 400% 1.20 207% 0.65 25%

53

4.6 Cilindro

Dando sequência no estudo dos resultados de � �� obtidos nos itens anteriores (4.2 e

4.3), foram realizadas análises de forças hidrostáticas e hidrodinâmicas atuando em

cilindros fixos no espaço. As dimensões do corpo, assim como profundidade, lâmina

d’água etc. estão listados a seguir e podem ser observadas na Figura 4.10.





Raio teórico do cilindro: 5.00 m

Altura do cilindro: 10.00 m

Coordenada z da base do cilindro: -15.00 m

(a) – 2D (b) – 3D

Figura 4.16 – Modelo esquemático de um cilindro fixo no espaço submetido a


54

Assim como em 4.6, a fim de corrigir erros introduzidos pela discretização da malha

no volume do corpo submerso, foram realizadas correções nos raios dos cilindros gerados

de acordo com o número narestas de arestas do perímetro, conforme Tabela 4.14. A partir

das correções, garante-se que as forças hidrostáticas (que dependem do volume

submerso) sejam iguais às atuantes num cilindro com volume � = �� .

Tabela 4.14 – Raio corrigido em função do número de lados do polígono regular

narestas Raio corrigido (m)

6

8

10

12

55

Feitas as correções nos volumes, foram efetuadas análises dinâmicas de 100 s com

intervalo de integração de 0.10 s. Os modelos com narestas igual a 6, 8 e 10 respeitaram o

critério de �� < �9� , e o modelo com narestas igual a 12 respeitou o critério

de �� < �19� .

Como esperado, os valores de força hidrostáticas apresentaram boa acurácia devido

às correções feitas nos volumes dos semicilindros. Tais resultados podem ser observados

na Tabela 4.15:

Tabela 4.15 – Forças de empuxo no cilindro

n Empuxo (kN) Mathcad (kN) Erro (%)

6 7894.68 7894.68 0.000%

8 7894.68 7894.68 0.000%

10 7894.68 7894.68 0.000%

12 7894.68 7894.68 0.000%





cilindro

56

Figura 4.18 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no cilindro





6

Máximo 302.63 297.77 1.63%

Mínimo -302.63 -297.77 -1.63%

Amplitude 302.63 297.77 1.63%

8

Máximo 303.96 297.77 2.08%

Mínimo -303.96 -297.77 -2.08%

Amplitude 303.96 297.77 2.08%

10

Máximo 304.51 297.77 2.27%

Mínimo -304.51 -297.77 -2.27%

Amplitude 304.51 297.77 2.27%

12

Máximo 299.02 297.77 0.42%

Mínimo -299.02 -297.77 -0.42%

Amplitude 299.02 297.77 0.42%



57



6

Máximo 316.95 325.39 -2.59%

Mínimo -256.68 -262.37 2.17%

Amplitude 286.82 293.88 -2.40%

8

Máximo 318.75 325.39 -2.04%

Mínimo -257.91 -262.37 1.70%

Amplitude 288.33 293.88 -1.89%

10

Máximo 319.52 325.39 -1.80%

Mínimo -258.42 -262.37 1.50%

Amplitude 288.97 293.88 -1.67%

12

Máximo 323.57 325.39 -0.56%

Mínimo -261.14 -262.37 0.47%

Amplitude 292.35 293.88 -0.52%

Apresentados os resultados, nota-se que os critérios para arestas �� < �9� e

�� < �19� dos elementos da malha conduziram, como esperado, a erros menores

que 5% e 1%. Assim como no estudo do semicilindro (4.4), pode-se observar também

uma possível inconsistência nos erros na Tabela 4.16, que estão aumentando conforme

melhora na discretização. Como já explicado, isso ocorre devido à correção no raio do

cilindro, feita incialmente com intuito de corrigir erros no cálculo do empuxo do corpo.

Os erros seguiriam a tendência de queda caso a correção no raio não fosse realizada.

Na Tabela 4.18, tomando como referência o cilindro com �� = 6, foram



partir dela, é possível perceber que uma malha com o quíntuplo de elementos de

superfície gera resultados com erro cinco vezes menor, às custas do triplo de tempo de

processamento.

58


narestas Triângulos % Tempo (s) % Erro amplitude

Forca z (%) %

6 36 - 0.39 - -2.40% -

8 48 133% 0.44 113% -1.89% 79%

10 60 167% 0.50 128% -1.67% 69%

12 168 467% 1.05 269% -0.52% 22%

4.7 Plataforma Semissubmersível

Prosseguindo no estudo da relação entre o λ da onda, comprimento máximo das

arestas da malha do corpo e erros associados à discretização, foi realizado um estudo em

modelos de uma plataforma semissubmersível.

(a) – Vista lateral (b) – Vista superior

(c) – Vista isométrica (SITUA)

Figura 4.19 – Plataforma semissubmersível

A Tabela 4.19 a seguir traz algumas das propriedades físicas e geométricas da

plataforma.

59

Tabela 4.19 – Propriedades físicas e geométricas da plataforma

Item Valor Unidade

Comprimento do casco (ao nível do pontoon) 94.32 m

Largura do casco (ao nível do pontoon) 94.32 m

Altura do casco (até o Deck principal) 55.5 m

Seção Transversal dos pontoons (base x altura) 19.80 x 11.40 m

Seção Transversal das Colunas 19.80 x 19.80 m

Adoçamento no canto externo das colunas 4.20 m

Massa 105237 ton

Peso 1031954 kN

Neste caso, por se tratar de uma superfície mais extensa, com geração da superfície

mais trabalhosa, foram analisadas apenas duas malhas: uma primeira (Malha 01), com

arestas dos elementos inferiores a 1.0 m, e uma segunda (Malha 02), com arestas dos

elementos inferiores a 5.5 m. A Tabela 4.20 traz o número de triângulos de cada uma.

Tabela 4.20 – Malhas da plataforma

Aresta máxima (m) Número de elementos

Malha 01 1.00 46984

Malha 02 5.50 2628

Definidas as malhas de superfície, foram realizadas análises com ondas regulares em

dois modelos (um com cada malha), nas quais o corpo permanece fixo e está sujeito à

passagem de ondas regulares e os resultados de força hidrodinâmica foram comparados

aos obtidos pelo Mathcad. Neste caso, foram comparadas apenas as forças verticais (em

z), pois a definição dos limites de integração numa planilha do Mathcad se tornou

inviável devido à geometria do corpo que, diferentemente das análises anteriores

(semicilindro, cilindro e cubo), está sendo “cortado” pela superfície das ondas. A Figura

4.20 esquematiza os modelos analisados.

60

Figura 4.20 – Modelo esquemático da plataforma com posição fixa submetida a


A seguir, estão listados dados referentes aos modelos e às análises:

Período T da onda: 5 a 25 s


Calado da plataforma: -34.35 m


0.10 s


obtidas pelo método dos painéis (para as duas malhas) e pelo Mathcad para os valores de

período � = 5 � (Figura 4.21) e � = 25 � (Figura 4.22), a partir dos quais é possível

notar melhor acurácia nos resultados para valores maiores de T (ondas com maior

comprimento λ).

61

Figura 4.21 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente na

plataforma (T = 5 s)

Figura 4.22 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente na

plataforma (T = 25 s)



método de painéis (para as duas malhas) e foram calculados os erros relativos. Estes

resultados podem ser observados na Tabela 4.21 (Malha 1) e na Tabela 4.22 (Malha 2).

62

Tabela 4.21 – Forças em z (Malha 1): máximos, mínimos e amplitudes

T (s) Forças Hidrodinâmicas Painéis (kN) Mathcad (kN) Erro (%)

5.00

Máximo 206.45 206.72 -0.13%

Mínimo -71.36 -71.61 0.34%

Amplitude 138.91 139.16 -0.18%

6.00

Máximo 433.68 434.05 -0.08%

Mínimo -228.17 -228.60 0.19%

Amplitude 330.92 331.32 -0.12%

7.00

Máximo 400.85 400.07 0.20%

Mínimo -132.83 -132.13 -0.53%

Amplitude 266.84 266.10 0.28%

8.00

Máximo 1062.69 1064.63 -0.18%

Mínimo -858.69 -860.83 0.25%

Amplitude 960.69 962.73 -0.21%

9.00

Máximo 2193.34 2195.43 -0.10%

Mínimo -2018.43 -2020.57 0.11%

Amplitude 2105.88 2108.00 -0.10%

10.00

Máximo 2598.79 2600.03 -0.05%

Mínimo -2427.07 -2428.25 0.05%

Amplitude 2512.93 2514.14 -0.05%

11.00

Máximo 2275.95 2275.82 0.01%

Mínimo -2125.01 -2124.84 -0.01%

Amplitude 2200.48 2200.33 0.01%

12.00

Máximo 1459.82 1458.20 0.11%

Mínimo -1349.10 -1347.48 -0.12%

Amplitude 1404.46 1402.84 0.12%

13.00

Máximo 382.25 379.20 0.80%

Mínimo -318.73 -315.72 -0.95%

Amplitude 350.49 347.46 0.87%

14.00

Máximo 812.48 816.74 -0.52%

Mínimo -793.41 -797.76 0.54%

Amplitude 802.95 807.25 -0.53%

63

Tabela 4.21 – Forças em z (Malha 1): máximos, mínimos e amplitudes (continuação)


15.00

Máximo 1950.06 1955.42 -0.27%

Mínimo -1968.17 -1973.65 0.28%

Amplitude 1959.12 1964.53 -0.28%

16.00

Máximo 3041.24 3047.56 -0.21%

Mínimo -3088.24 -3094.70 0.21%

Amplitude 3064.74 3071.13 -0.21%

17.00

Máximo 4059.78 4066.93 -0.18%

Mínimo -4128.04 -4135.34 0.18%

Amplitude 4093.91 4101.14 -0.18%

18.00

Máximo 4995.29 5003.17 -0.16%

Mínimo -5078.46 -5086.49 0.16%

Amplitude 5036.87 5044.83 -0.16%

19.00

Máximo 5846.41 5854.91 -0.15%

Mínimo -5939.46 -5948.12 0.15%

Amplitude 5892.94 5901.51 -0.15%

20.00

Máximo 6616.60 6625.64 -0.14%

Mínimo -6715.71 -6724.90 0.14%

Amplitude 6666.15 6675.27 -0.14%

21.00

Máximo 7311.69 7321.21 -0.13%

Mínimo -7413.99 -7423.65 0.13%

Amplitude 7362.84 7372.43 -0.13%

22.00

Máximo 7938.43 7948.38 -0.13%

Mínimo -8041.79 -8051.88 0.13%

Amplitude 7990.11 8000.13 -0.13%

23.00

Máximo 8503.71 8514.00 -0.12%

Mínimo -8606.60 -8617.03 0.12%

Amplitude 8555.16 8565.52 -0.12%

24.00

Máximo 9014.05 9024.65 -0.12%

Mínimo -9115.36 -9126.10 0.12%

Amplitude 9064.70 9075.38 -0.12%

25.00

Máximo 9475.47 9486.35 -0.11%

Mínimo -9574.44 -9585.45 0.11%

Amplitude 9524.96 9535.90 -0.11%

64

Tabela 4.22 – Forças em z (Malha 2): máximos, mínimos e amplitudes


5.00

Máximo 199.60 206.72 -3.45%

Mínimo -65.48 -71.61 8.56%

Amplitude 132.54 139.16 -4.76%

6.00

Máximo 426.45 434.05 -1.750%

Mínimo -218.58 -228.60 4.38%

Amplitude 322.52 331.32 -2.66%

7.00

Máximo 395.83 400.07 -1.06%

Mínimo -128.95 -132.13 2.41%

Amplitude 262.39 266.10 -1.40%

8.00

Máximo 1055.77 1064.63 -0.83%

Mínimo -851.38 -860.83 1.10%

Amplitude 953.58 962.73 -0.95%

9.00

Máximo 2182.35 2195.43 -0.60%

Mínimo -2007.33 -2020.57 0.66%

Amplitude 2094.84 2108.00 -0.62%

10.00

Máximo 2588.78 2600.03 -0.43%

Mínimo -2417.55 -2428.25 0.44%

Amplitude 2503.17 2514.14 -0.44%

11.00

Máximo 2268.58 2275.82 -0.32%

Mínimo -2118.27 -2124.84 0.31%

Amplitude 2193.43 2200.33 -0.31%

12.00

Máximo 1454.97 1458.20 -0.22%

Mínimo -1344.75 -1347.48 0.20%

Amplitude 1399.86 1402.84 -0.21%

13.00

Máximo 379.27 379.20 0.02%

Mínimo -316.08 -315.72 -0.11%

Amplitude 347.67 347.46 0.06%

14.00

Máximo 814.03 816.74 -0.33%

Mínimo -795.16 -797.76 0.33%

Amplitude 804.60 807.25 -0.33%

65

Tabela 4.22 – Forças em z (Malha 2): máximos, mínimos e amplitudes (continuação)


15.00

Máximo 1950.94 1955.42 -0.23%

Mínimo -1969.16 -1973.65 0.23%

Amplitude 1960.05 1964.53 -0.23%

16.00

Máximo 3041.74 3047.56 -0.19%

Mínimo -3088.80 -3094.70 0.19%

Amplitude 3065.27 3071.13 -0.19%

17.00

Máximo 4060.09 4066.93 -0.17%

Mínimo -4128.37 -4135.34 0.17%

Amplitude 4094.23 4101.14 -0.17%

18.00

Máximo 4995.52 5003.17 -0.15%

Mínimo -5078.69 -5086.49 0.15%

Amplitude 5037.11 5044.83 -0.15%

19.00

Máximo 5846.62 5854.91 -0.14%

Mínimo -5939.68 -5948.12 0.14%

Amplitude 5893.15 5901.51 -0.14%

20.00

Máximo 6616.84 6625.64 -0.13%

Mínimo -6715.95 -6724.90 0.13%

Amplitude 6666.39 6675.27 -0.13%

21.00

Máximo 7311.98 7321.21 -0.13%

Mínimo -7414.27 -7423.65 0.13%

Amplitude 7363.12 7372.43 -0.13%

22.00

Máximo 7938.77 7948.38 -0.12%

Mínimo -8042.12 -8051.88 0.12%

Amplitude 7990.45 8000.13 -0.12%

23.00

Máximo 8504.11 8514.00 -0.12%

Mínimo -8607.00 -8617.03 0.12%

Amplitude 8555.55 8565.52 -0.12%

24.00

Máximo 9014.50 9024.65 -0.11%

Mínimo -9115.81 -9126.10 0.11%

Amplitude 9065.16 9075.38 -0.11%

25.00

Máximo 9475.98 9486.35 -0.11%

Mínimo -9574.95 -9585.45 0.11%

Amplitude 9525.47 9535.90 -0.11%

66

Por fim, a Tabela 4.23 evidencia a relação das malhas de superfícies analisadas com

os resultados de �� < �9� e �� < �

19 � para erros menores que 5% e 1%

obtidos nos itens anteriores (4.2 e 4.3). Como mencionado, a Malha 1 possui elementos

com arestas que não ultrapassam 1.0 m de comprimento sendo, portanto, menores que

� 9 � para todos os períodos analisados. Desta forma, todos os erros foram inferiores a

1%. Já a Malha 2, com arestas não superiores a 5.5 m, respeita o critério de �� <

� 9 � a partir de ondas de 6 s. Ainda assim, os erros são inferiores a 5% mesmo para

períodos de 5 s. O critério de �� < �19� (para a Malha 2) é satisfeito a partir de

ondas de 9 s. Contudo, erros menores que 1% podem ser observados em ondas de 8 s.

67

Tabela 4.23 – Relação entre λ, arestas das malhas e erros

T (s) λ (m) λ/9 (m) λ/19 (m) Erro na amplitude da força (Malha 1)

Erro na amplitude da força (Malha2)

5.0 39.02 4.34 2.05 -0.18% -4.76%

6.0 56.18 6.24 2.96 -0.12% -2.66%

7.0 76.47 8.50 4.02 0.28% -1.40%

8.0 99.88 11.10 5.26 -0.21% -0.95%

9.0 126.41 14.05 6.65 -0.10% -0.62%

10.0 156.07 17.34 8.21 -0.05% -0.44%

11.0 188.84 20.98 9.94 0.01% -0.31%

12.0 224.74 24.97 11.83 0.12% -0.21%

13.0 263.75 29.31 13.88 0.87% 0.06%

14.0 305.89 33.99 16.10 -0.53% -0.33%

15.0 351.15 39.02 18.48 -0.28% -0.23%

16.0 399.53 44.39 21.03 -0.21% -0.19%

17.0 451.03 50.11 23.74 -0.18% -0.17%

18.0 505.65 56.18 26.61 -0.16% -0.15%

19.0 563.38 62.60 29.65 -0.15% -0.14%

20.0 624.20 69.36 32.85 -0.14% -0.13%

21.0 688.08 76.45 36.21 -0.13% -0.13%

22.0 754.93 83.88 39.73 -0.13% -0.12%

23.0 824.65 91.63 43.40 -0.12% -0.12%

24.0 897.07 99.67 47.21 -0.12% -0.11%

25.0 971.97 108.00 51.16 -0.11% -0.11%

Na Tabela 4.24, tomando como referência a Malha 1, foram obtidas porcentagens

indicando aumento ou decréscimo de número de painéis, tempo de processamento e erros

na amplitude da força hidrodinâmica atuando verticalmente para os períodos de 5 e 25 s.

A partir dela, é possível perceber que, respeitando-se as relações de � �� , a malha menos

refinada apresenta resultados com boa acurácia e redução do tempo de processamento

em mais de 90%.

68


Triângulos % Tempo % Erro

Amplitude Fz (T=5s)

% Erro

Amplitude Fz (T=25s)

%

Malha 1 46984 - 1min58s - 0.18% - 0.11% -

Malha 2 2628 5.59% 7s 6.07% 4.76% 2644% 0.11% 100%

69

5 RESULTADOS E VERIFICAÇÃO

Findo o estudo de refinamento de malha realizado no capítulo 4, procedeu-se a

análise de modelos para verificação do método de painéis. Em 5.1, o cálculo do ponto de

aplicação da força foi avaliado num modelo de uma parede vertical modelada por uma

superfície com 2 triângulos (o mínimo necessário para descrever a parede).

Nos itens 5.2, 5.3 e 5.4, foram analisados modelos corpos sob ação de ondas com

período de 6 a 12 s. Os modelos estudados são semelhantes aos do capítulo anterior,

variando-se apenas o carregamento. Portanto, os corpos mantêm-se fixos e são

submetidos a passagem de ondas regulares. Planilhas no Mathcad serviram de valores de

referência no cálculo de erros das forças hidrodinâmicas.

Em 5.5, foram realizadas análises em modelos de navios com intuito de verificar não

linearidades nas forças e momentos hidrostáticos oriundos da geometria de corpos

submetidos a grandes deslocamentos.

Por fim, em 5.6, foi realizado um estudo de mar irregular atuando na plataforma

semissubmersível cuja malha foi estudada no capítulo anterior. Neste, os valores de

referência foram obtidos pela ferramenta SITUA-Prosim através da formulação de

Morison já implementada e consolidada no programa.

5.1 Parede vertical

Como proposto em 3.3, com intuito de verificar o cálculo do ponto de aplicação das

forças, será analisado o modelo de uma parece vertical, semelhante a uma barragem, no

qual a força resultante devido às pressões hidrostáticas atua a 1/3 de sua altura H.

A Figura 5.1 ilustra o modelo gerado no SITUA. Em (c), há o detalhe da região a

jusante da parede vertical, na qual foi usado o artifício de não definir uma superfície, já

que as forças atuantes nesta região anulariam os efeitos gerados na região a montante. O

centro de gravidade do corpo foi definido em �

�=

��

�= 10 � , mesma altura em que,

teoricamente, atua a força resultante das pressões hidrostáticas. Desta forma, poderá ser

observado momento nulo nos resultados da análise.

70

(a) – Vista em 3D

(montante)

(b) – Vista lateral

em 2D

(c) – Vista em 3D

(jusante)

Figura 5.1 – Modelo de uma parede vertical modelada no SITUA

A seguir, estão listados alguns dados referentes ao modelo e à análise:

Altura da parede: 30 m

Largura da parede: 30 m

Coordenada z do centro de gravidade em relação à base do corpo: 10 m

Malha da superfície a montante: 4 vértices, 2 triângulos

Análise dinâmica com tempo total de 10 s e intervalo de integração de 1 s

Duração da análise: 0.02 s

A Figura 5.2 traz o gráfico dos momentos resultantes no eixo y do corpo. Como

esperado, estes são nulos.

71

Figura 5.2 – Série temporal de momento resultante em y

Ademais, a equação (5.1) permite que seja calculado o módulo da força que atua

horizontalmente na parede:

� = � ��ℎ�� = � � ��ℎ��ℎ

�

�

=��

2

�

�

= 1.025 ∗ 9.806 ∗ 30� ∗ 30

2

= 135699.52 kN

(5.1)

A Tabela 5.1 traz uma comparação entre o valor de força encontrado pelo algoritmo

e o valor obtido analiticamente.

72

Tabela 5.1 – Erro percentual no valor do empuxo

Paneis Analítico Erro (%)

Força (kN)

135699.52 135699.52 0.000%

5.2 Semicilindro

A partir da malha definida em 4.4 com � �� = 6 (já com a correção do raio para

adequação ao volume definido analiticamente), foram realizadas análises em um

semicilindro fixo submetido a ondas regulares com amplitude unitária e período variando

de 6 a 12 s. A fim de definir valores de referência para cálculos de erros, os modelos

foram analisados também em planilhas no Mathcad. A Figura 5.3 traz o gráfico das séries

temporais das forças hidrodinâmicas horizontais atuando no corpo para onda com

período T= 12 � .

Figura 5.3 – Série temporal de forças atuando horizontalmente no semicilindro (T =

12 s)



73



6.00

Máximo 102.84 103.80 -0.92%

Mínimo -102.84 -103.80 -0.92%

Amplitude 102.84 103.80 -0.92%

7.00

Máximo 111.41 112.20 -0.70%

Mínimo -111.41 -112.20 -0.70%

Amplitude 111.41 112.20 -0.70%

8.00

Máximo 109.56 110.25 -0.63%

Mínimo -109.56 -110.25 -0.63%

Amplitude 109.56 110.25 -0.63%

9.00

Máximo 102.85 103.33 -0.47%

Mínimo -102.85 -103.33 -0.47%

Amplitude 102.85 103.33 -0.47%

10.00

Máximo 94.19 94.56 -0.39%

Mínimo -94.19 -94.56 -0.39%

Amplitude 94.19 94.56 -0.39%

11.00

Máximo 85.23 85.52 -0.35%

Mínimo -85.23 -85.52 -0.35%

Amplitude 85.23 85.52 -0.35%

12.00

Máximo 76.75 76.96 -0.27%

Mínimo -76.75 -76.96 -0.27%

Amplitude 76.75 76.96 -0.27%

A Figura 5.4 traz o gráfico das séries temporais das forças hidrodinâmicas verticais

atuando no corpo para onda com período T= 12 � .

74

Figura 5.4 – Série temporal de forças atuando verticalmente no semicilindro (T = 12

s)

Na Tabela 5.3, estão resumidos os valores de máximo, mínimo e amplitude (além de

respectivos erros) das forças hidrodinâmicas atuantes na direção z.

75


T(s) Forças Hidrodinâmicas Paineis (kN) Mathcad (kN) Erro (%)

6.00

Máximo 114.24 113.34 0.80%

Mínimo -92.32 -91.58 0.80%

Amplitude 103.28 102.46 0.80%

7.00

Máximo 121.05 120.27 0.65%

Mínimo -103.06 -102.41 0.63%

Amplitude 112.05 111.34 0.64%

8.00

Máximo 117.23 116.62 0.52%

Mínimo -103.38 -102.86 0.51%

Amplitude 110.30 109.74 0.51%

9.00

Máximo 108.69 108.23 0.42%

Mínimo -98.23 -97.83 0.41%

Amplitude 103.46 103.03 0.42%

10.00

Máximo 98.65 98.31 0.35%

Mínimo -90.76 -90.45 0.34%

Amplitude 94.71 94.38 0.35%

11.00

Máximo 88.67 88.41 0.30%

Mínimo -82.66 -82.42 0.29%

Amplitude 85.66 85.41 0.29%

12.00

Máximo 79.40 79.20 0.25%

Mínimo -74.77 -74.59 0.25%

Amplitude 77.09 76.90 0.25%

A partir das Tabela 5.2 e Tabela 5.3, percebe-se que, como presumido, a malha com

� �� = 6 conduziu a erros menores que 1% nos valores das forças hidrodinâmicas

verticais e horizontais.

76

5.3 Cubo

Utilizando a malha definida em 4.5 com �� = 3, foram realizadas análises em um

cubo fixo submetido a ondas regulares com amplitude unitária e período variando de 6 a

12 s. A fim de definir valores de referência para cálculos de erros, os modelos foram

analisados também em planilhas no Mathcad. A Figura 5.5 traz o gráfico das séries

temporais das forças hidrodinâmicas horizontais atuando no cubo para onda com período

T= 12 � .

Figura 5.5 – Série temporal de forças atuando horizontalmente no cubo (T = 12 s)



77



6.00

Máximo 375.97 373.71 0.60%

Mínimo -375.97 -373.71 0.60%

Amplitude 375.97 373.71 0.60%

7.00

Máximo 368.34 367.04 0.35%

Mínimo -368.34 -367.04 0.35%

Amplitude 368.34 367.04 0.35%

8.00

Máximo 339.83 339.34 0.14%

Mínimo -339.83 -339.34 0.14%

Amplitude 339.83 339.34 0.14%

9.00

Máximo 305.62 305.23 0.13%

Mínimo -305.62 -305.23 0.13%

Amplitude 305.62 305.23 0.13%

10.00

Máximo 271.55 271.34 0.08%

Mínimo -271.55 -271.34 0.08%

Amplitude 271.55 271.34 0.08%

11.00

Máximo 240.34 240.26 0.03%

Mínimo -240.34 -240.26 0.03%

Amplitude 240.34 240.26 0.03%

12.00

Máximo 212.87 212.78 0.04%

Mínimo -212.87 -212.78 0.04%

Amplitude 212.87 212.78 0.04%

A Figura 5.6 traz o gráfico das séries temporais das forças hidrodinâmicas verticais

atuando no corpo para onda com período T= 12 � .

78

Figura 5.6 – Série temporal de forças atuando verticalmente no cubo (T = 12 s)



79



6.00

Máximo 405.41 408.26 -0.70%

Mínimo -328.14 -330.08 -0.59%

Amplitude 366.77 369.17 -0.65%

7.00

Máximo 392.15 393.62 -0.37%

Mínimo -333.89 -334.96 -0.32%

Amplitude 363.02 364.29 -0.35%

8.00

Máximo 358.32 359.09 -0.21%

Mínimo -315.84 -316.44 -0.19%

Amplitude 337.08 337.77 -0.20%

9.00

Máximo 319.40 319.82 -0.13%

Mínimo -288.51 -288.85 -0.12%

Amplitude 303.96 304.34 -0.13%

10.00

Máximo 281.94 282.19 -0.09%

Mínimo -259.24 -259.44 -0.08%

Amplitude 270.59 270.82 -0.08%

11.00

Máximo 248.29 248.43 -0.06%

Mínimo -231.34 -231.47 -0.05%

Amplitude 239.81 239.95 -0.06%

12.00

Máximo 218.94 219.02 -0.04%

Mínimo -206.08 -206.15 -0.04%

Amplitude 212.51 212.59 -0.04%

A partir das Tabela 5.4 e Tabela 5.5, percebe-se que, como presumido, a malha com



80

5.4 Cilindro

Utilizando a malha definida em 4.6 com �� = 12, foram realizadas análises

em um cilindro fixo submetido a ondas regulares com amplitude unitária e período

variando de 6 a 12 s. A fim de definir valores de referência para cálculos de erros, os

modelos foram analisados também em planilhas no Mathcad. A Figura 5.5 traz o gráfico

das séries temporais das forças hidrodinâmicas horizontais atuando no cubo para onda

com período T= 12 � .

Figura 5.7 – Série temporal de forças atuando horizontalmente no cilindro (T = 12 s)



81



6.00

Máximo 299.02 297.77 0.42%

Mínimo -299.02 -297.77 -0.42%

Amplitude 299.02 297.77 0.42%

7.00

Máximo 291.15 290.43 0.25%

Mínimo -291.15 -290.43 -0.25%

Amplitude 291.15 290.43 0.25%

8.00

Máximo 267.87 267.66 0.08%

Mínimo -267.87 -267.66 -0.08%

Amplitude 267.87 267.66 0.08%

9.00

Máximo 240.58 240.36 0.09%

Mínimo -240.58 -240.36 -0.09%

Amplitude 240.58 240.36 0.09%

10.00

Máximo 213.59 213.47 0.05%

Mínimo -213.59 -213.47 -0.05%

Amplitude 213.59 213.47 0.05%

11.00

Máximo 188.95 188.92 0.02%

Mínimo -188.95 -188.92 -0.02%

Amplitude 188.95 188.92 0.02%

12.00

Máximo 167.30 167.25 0.03%

Mínimo -167.30 -167.25 -0.03%

Amplitude 167.30 167.25 0.03%

A seguir, a Figura 5.8 traz o gráfico das séries temporais das forças hidrodinâmicas

verticais atuando no corpo para onda com período T= 12 � .

82

Figura 5.8 – Série temporal de forças atuando verticalmente no cilindro (T = 12 s)



83



6.00

Máximo 323.57 325.39 -0.56%

Mínimo -261.14 -262.37 0.47%

Amplitude 292.35 293.88 -0.52%

7.00

Máximo 310.60 311.53 -0.30%

Mínimo -264.13 -264.81 0.26%

Amplitude 287.37 288.17 -0.28%

8.00

Máximo 282.79 283.28 -0.17%

Mínimo -249.13 -249.50 0.15%

Amplitude 265.96 266.39 -0.16%

9.00

Máximo 251.61 251.87 -0.11%

Mínimo -227.21 -227.42 0.09%

Amplitude 239.41 239.65 -0.10%

10.00

Máximo 221.87 222.02 -0.07%

Mínimo -203.97 -204.10 0.06%

Amplitude 212.92 213.06 -0.07%

11.00

Máximo 195.26 195.35 -0.05%

Mínimo -181.92 -182.00 0.04%

Amplitude 188.59 188.67 -0.04%

12.00

Máximo 172.11 172.17 -0.03%

Mínimo -161.99 -162.04 0.03%

Amplitude 167.05 167.10 -0.03%

A partir das Tabela 5.6 e Tabela 5.7, observa-se que, como esperado, a malha com



84

5.5 Navio

A fim de verificar não linearidades no gráfico de Força/Momento x Deslocamentos,

foi analisado o modelo de um navio cuja malha pode ser encontrada no banco de

superfícies do programa SITUA. Como já mencionado, é comum o cálculo de forças

hidrostáticas através de matrizes de rigidez nas quais os termos são forças e momentos

que surgem quando são impostos deslocamentos unitários ao corpo (particularmente, a

força que surge em z devido um deslocamento de heave é indicada como k33, e o momento

que surge em x devido a um deslocamento de roll é indicado como k44). Desta forma,

pressupõe-se que um deslocamento de 2 unidades geraria o dobro de forças, e assim por

diante. A Figura 5.9 ilustra o modelo em questão.

Figura 5.9 – Modelo de navio gerado no SITUA

Para verificar o comportamento da força de empuxo, foi arbitrado ao navio um

calado inicial de 10 m. Posteriormente, foram criados outros 5 modelos semelhantes,

variando-se o calado até que chegasse a 15 m (Figura 5.10).

85

Figura 5.10 – Deslocamento Δz (heave)

Após análises estáticas utilizando o modelo de superfícies implementado (método

dos painéis), foram coletados os valores de força hidrostática no eixo z (Figura 5.11). A

derivada do gráfico em cada trecho (termo k33 da matriz de rigidez) é dada na Tabela 5.8,

além de sua variação com relação ao primeiro trecho do gráfico.

Figura 5.11 –Forças hidrostáticas

86

Tabela 5.8 – Rigidez hidrostática k33 e sua variação

Δz (m) k33 (kN/m) Variação k33

1.00 137972 -

2.00 138998 0.74%

3.00 140070 1.52%

4.00 141296 2.41%

5.00 142638 3.38%

Mantido o calado de 10 m, foram realizadas análises estáticas aplicando

deslocamentos iniciais de roll, variando o ângulo θ até que este fosse igual a 15° (Figura

5.12).

Figura 5.12 – Deslocamento θ (roll)

Findas as análises, foram coletados os valores de momento no eixo x devido ao

empuxo (Figura 5.13). A derivada do gráfico em cada trecho (termo k44 da matriz de

rigidez) é dada na Tabela 5.9, além de sua variação com relação ao primeiro trecho do

gráfico.

87

Figura 5.13 – Momento devido às forças hidrostáticas

Tabela 5.9 – Rigidez hidrostática k44 e sua variação

θ (graus) K44 (kN/m) Variação k44

1.00 -184574 -

3.00 -185443 0.47%

5.00 -188096 1.91%

7.00 -192079 4.07%

10.00 -199275 7.97%

15.00 -214365 16.14%

Como pode ser observado, ainda que pequena, o algoritmo conseguiu quantificar

uma não linearidade no coeficiente k33 da matriz de rigidez hidrostática do corpo. Já no

coeficiente k44, a não linearidade é mais acentuada e variou 16% para uma rotação de

15 graus. Este exercício pode ser feito para outros graus de liberdade do navio e, em

casos em que não linearidades podem ser desprezadas, o algoritmo pode ser usado

também para obter uma matriz de rigidez hidrostática.


Malha da superfície do navio: 884 vértices, 769 triângulos

Duração das análises: em média, 0.04 s

88

5.6 Plataforma Semissubmersível

Utilizando a Malha 2 (com arestas não superiores a 5.5m) definida em 4.7, foi

realizada uma análise com mar irregular representado por espectro de Jonswap com

altura significativa �� = 7.84 � e período de cruzamento zero �� = 15.55 �. Desta vez,

para efeitos de verificação, foi utilizado um modelo analisado com a formulação de

Morison existente no SITUA-Prosim. Neste, as colunas e pontoons da plataforma são

aproximados por cilindros com volume equivalente, conforme Figura 5.14.

Figura 5.14 – Plataforma gerada por cilindros no SITUA

Assim como nos modelos anteriores analisados neste trabalho, o corpo permanece

fixo e são calculadas as forças atuantes devido a passagem das ondas. A seguir, estão

listados dados referentes aos modelos e às análises:

89

Mar irregular (Jonswap)

�� = 15.55 �

�� = 7.84 �

Calado da plataforma: -34.35 m

Direção da onda (vindo de): SW


0.10 s

Obtidas as séries temporais de forças hidrodinâmicas, foram gerados espectros. As

Figura 5.15 e Figura 5.16 representam, respectivamente, os espectros das parcelas de

forças hidrodinâmicas em z e x obtidas pela formulação de Morison e pelo método dos

painéis.

Figura 5.15 – Espectro de forças hidrodinâmicas em z

Como pode ser observado, os espectros em z obtidos pelas duas formulações

apresentam valores coincidentes ao longo do domínio. Vale destacar também que os

picos dos gráficos ocorrem quando � ≈ 0.4 ��/�, valor condizente com o �� =

15.55 � do mar irregular.

90

Figura 5.16 – Espectro de forças hidrodinâmicas em x

Já em x, ainda que os picos dos gráficos sejam condizentes com o valor de �� =

15.55 �, os espectros obtidos possuem valores distintos ao longo do domínio. Isso se

deve ao fato de, como já mencionado em 2.4.1, o cálculo das forças pela formulação de

Morison ser realizado pressupondo que as pressões pouco variam ao longo da seção

transversal do cilindro, podendo ser assumidas como constantes e com valor igual à

pressão no eixo do cilindro. Além do mais, conforme detalhe na Figura 5.17, as

aproximações das colunas e pontoons das plataformas por cilindros geram regiões onde

são calculadas forças que não existiriam caso a geometria do corpo fosse bem definida.

No método dos painéis, a malha de superfície representa fielmente a geometria da

plataforma e o cálculo de forças é realizado levando em conta todos os nós definidos na

superfície do corpo.

91

Figura 5.17 – Detalhe da região do encontro entre pontoons e colunas

Por fim, na Tabela 5.10, tomando como referência o modelo analisado pela

formulação de Morison, foi obtida a porcentagem indicando maior tempo de

processamento demandado pelo método dos painéis tendo em vista a realização do

cálculo de forças levando em conta um número maior de pontos de integração.

Tabela 5.10 –Tempo de processamento x pontos de integração

Tempo % Pontos de integração %

Morison 6min19s - 240 (no eixo dos cilindros) -

Painéis 5h2min 4792% 1488 (na superfície do corpo) 620%

92

6 CONCLUSÕES

6.1 Considerações Finais

Neste trabalho, foi desenvolvido e verificação um algoritmo para cálculo de forças

e momentos hidrostáticos e hidrodinâmicos não lineares atuando em corpos flutuantes.

Baseado na formulação de Froude-Krylov e na teoria linear de Airy, o algoritmo integra

pressões na superfície de um corpo modelada por painéis triangulares levando em conta

a elevação instantânea da onda.

No capítulo 2, foram apresentadas formulações para o cálculo de forças hidrostáticas

e hidrodinâmicas. Dentre elas está a formulação de Froude-Krylov, que estabelece que a

força resultante devido a passagem de um fluido num corpo parcial ou totalmente

submerso pode ser obtida a partir da integral de pressões na superfície do corpo. Foi

apresentada também a teoria linear de Airy para representação do campo de pressões num

fluido.

Em 3, foi apresentada a integral de pressões. Seu cálculo e premissas foram expostos,

deixando clara a necessidade de se estudar a dimensão dos elementos da malha de

superfície devido à aproximação da superfície da função integrada por um plano,

aproximação esta adotada pelo método. Posteriormente, mostrou-se como a integral de

pressões foi utilizada para calcular resultantes de pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas

atuando em corpos parcial ou totalmente submersos.

93

No capítulo 4, foi desenvolvido um estudo de refinamento com intuito de estabelecer

uma relação entre o comprimento das arestas da malha e o comprimento da onda

incidente. Foram encontradas as relações �� < �9� e �� < �

19� que, se

satisfeitas, limitam erros nas forças hidrodinâmicas a 5% e 1%, respectivamente. Desta

forma, garante-se acurácia dos resultados sem excessos de custo computacional. Ainda

neste capítulo, mostrou-se a importância da correta representação da geometria do corpo

pela malha de superfície adotada. Satisfeita esta condição, resultados de forças

hidrostáticas podem ser obtidos com acurácia bastante elevada (todos os exemplos

analisados retornaram erros menores que 0.01%). No que concerne a relação entre tempo

de processamento e refinamento, não se estabeleceu uma relação com exatidão de

valores. Contudo, pode-se observar que, em análises com mar regular, mesmo malhas

muito refinadas não demandaram grandes custos de tempo de processamento.

Em 5, aplicou-se o método desenvolvido aliado às conclusões sobre refinamento

obtidas em 4. Os resultados, como esperado, ficaram dentro de uma margem de erro

tolerável de 1%. Evidenciou-se também, em 5.1, a vantagem do cálculo da integral de

pressões para que se identifique o correto ponto de aplicação das forças. No item 5.5, a

partir do modelo de um navio, demonstrou-se a capacidade do método em identificar não

linearidades no cálculo de forças e momentos. Em 5.6, um modelo complexo de

plataforma semissubmersível submetida a um mar irregular foi estudado e verificação

através de comparação com o modelo de Morison já consolidado no programa SITUA-

Prosim. Pelos resultados, mostrou-se que, respeitadas condições de refinamento e

validade da teoria de Morison, o método de painéis está apto a calcular forças

hidrostáticas e hidrodinâmicas não lineares em corpos submersos.

6.2 Sugestões para Trabalhos Futuros

Na continuação dos trabalhos nesta linha de pesquisa, com o objetivo de diminuir o

tempo de processamento demandado nas análises, há a possibilidade de armazenagem

dos valores de pressão nos nós dentro do loop de elementos de superfície. Desta forma,

evita-se que o cálculo da pressão se repita em vértices que compõem mais de um

triângulo.

94

Ademais, boa parte do código das duas rotinas é semelhante e ainda assim estão

separadas. Isso se deve ao fato de a expressão de pressões hidrostáticas ser linear,

enquanto a de pressões hidrodinâmicas contém senos e cossenos hiperbólicos, o que a

torna bastante não linear. Desta forma, resultados de forças hidrostáticas são obtidos com

malhas mais pobres, enquanto resultados de forças hidrodinâmicas exigem malhas mais

refinadas. Porém, devido à semelhança nos códigos, deve-se estudar a possibilidade de

permitir ao usuário que seja usada a mesma malha, de forma que as rotinas possam ser

aglutinadas em uma única, evitando repetição de trechos em que os códigos são iguais.

Além disso, tendo em vista a validade da integral de pressões, o método pode ser

expandido para outros problemas em que, dispondo de um campo de pressões, deseja-se

integrá-lo numa superfície a fim de obter forças e momentos resultantes. Atualmente, a

aplicação do método para o cálculo de forças de arrasto hidrodinâmico está

implementado e passa por testes de verificação, assim como o cálculo de massa

adicionada considerando a elevação instantânea da onda. A integral já foi aplicada

também no cálculo de forças e momentos ocasionados pelo solo em contato com estacas

torpedo durante sua cravação [21].

Outra possibilidade de estudo referente à integral de pressões é a comparação de

seus resultados com valores obtidos pela teoria de difração/radiação. Desta forma, pode-

se analisar a validade do método dos painéis em corpos com dimensões maiores e, ainda

em corpos com dimensões pequenas, pode-se calibrar os coeficientes de força previstos

na formulação de Froude-Krylov.

Por fim, propõe-se também estudar situações em que não linearidades nas forças

hidrostáticas e hidrodinâmicas sejam bastante relevantes para a correta avaliação do

problema, como movimento de Monoboias e o fenômeno de roll paramétrico [22].

95

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] JACOB, B.P., “PROSIM – Simulação Numérica do Comportamento de Unidades

Flutuantes Ancoradas, Versão 3.2 – Manual Teórico”, LAMCSO/COPPE/UFRJ,

Programa de Engenharia Civil, Rio de Janeiro 2006.

[2] JACOB, B.P., “PROSIM – Simulação Numérica do Comportamento de Unidades

Flutuantes Ancoradas, Versão 3.2 – Manual de Entrada de Dados”,

LAMCSO/COPPE/UFRJ, Programa de Engenharia Civil, Rio de Janeiro 2006.

[3] CHAKRABARTI, S.K., Hydrodynamics of Offshore Structures. Computational

Mechanics Publications / Springer-Verlag, 1987.

[4] BATALHA. A. F., Análise de Fadiga de Estruturas Offshore Tipo Topside.

Dissertação de Mestrado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil, 2009.

[5] LEMEHAUTE, B., Introduction to Hydrodynamics and Water Waves, Springer-

Verlag, New York, 1976.

[6] STOKES, G. G., On the theory of oscillatory waves, Mathematical Physics Papers,

Cambridge University Press, 1880.

[7] SENRA, S. F., Metodologia de Análise e Projeto Integrado de Sistemas Flutuantes

para Explotação de Petróleo Offshore. Tese de Doutorado, COPPE/UFRJ, Rio de

Janeiro, Brasil, 2004.

[8] CHOU, FRANK S. F., GHISH, SUSOBHAN, HUANG, EDARD W., “Conceptual

Design Process of a Tension Leg Platform”, Society of Naval Architects and Marien

Engineers, SNAME Transactions, Vol. 91, pp275-305, 1983.

[9] SENRA, S. F. ; JACOB, B. P. ; CORRÊA, F. N. ; JACOVAZZO, B. M., ; A.L.

Lima ; LACERDA, T. A. G. ; FUCATU, C. H. . Assessment and Calibration of

Numerical Coupled Models of a Deep-Draft Semisubmersible Platform Based On

Model Tests. In: Proceedings of the Twentieth International Offshore and Polar

Engineering Conference, 2010, Beijing. ISOPE 2010, 2010.

96

[10] MORISON, J. R., O’Brien, M. P., Johnson, J. W., and Schaaf, S. A. , The force

exerted by surface waves on piles, Petroleum Transactions, AIME 1950

[11] DNV-RP-H103, Modelling and Analysis of Marine Operations, Det Norske Veritas,

2011.

[12] ELLWANGER, Gilberto Bruno. Tópicos básicos de hidrodinâmica aplicados a

estruturas offshore. 05 mar. 2018, 01 jun. 2018. 68 p. Notas de Aula.

[13] ____, WAMIT – A Radiation-Difraction Panel Program for Wave-Body

Interactions. Version 5.3, User Manual, Department of Ocean Engineering

Massachusetts Institute of Technology, 1995.

[14] FALTINSEN, O.M., Sea Loads on Ships and Offshore Structures, Cambridge

University Press, Cambridge, UK, 1990.

[15] MOLIN, B., Second-Order Hydrodynamics applied to Moored Structures. 19th

WEGEMT School, Nantes, 1993.

[16] MENEZES, F. G. T., Acoplamento Hidrodinâmico e Estrutural de Sistemas

Flutuantes Multicorpos para Produção e Escoamento de Petróleo e Gás. Tese de

Doutorado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil, 2013.

[17] HOOFT, J.P., Advanced Dynamics of Marine Structures, John Wiley & Sons, USA,

1982.

[18] PAULING, J.R., TDSIM6 – Time Domain Platform Motion Simulation with Six

Degrees of Freedom: Theory and User Guide, 1992

[19] PINTO, Diomara; MORGADO, Maria Cândido Ferreira. Cálculo Diferencial e

Integral de Funções de Várias Variáveis. 3. ed. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 2011.

364 p.

[20] ____, Mathcad – The standard for Engineering Calculation and Communication.

Version 14, User Manual, Parametric Technology Corporation, 2007.

97

[21] BEZERRA, CAROLINA MARIA NUNES; CORRÊA, FABRÍCIO

NOGUEIRA; RIBEIRO, JHONATHAN JHEFFERSON DE SOUSA; LÓPEZ,

ADOLFO EMMANUEL CORREA; JACOB, BRENO PINHEIRO. GLOBAL

ANALYSIS OF THE PENETRATION OF A TORPEDO ANCHOR MODELED BY

PANEL MESH. In: XXXVIII IberianLatin American Congress on Computational

Methods in Engineering, 2017, Florianopolis, 2017.

[22] POLO, J. C. F., ESTUDO DAS CARACTERÍSTICAS ESTOCÁSTICAS DO ROLL

PARAMÉTRICO. Tese de Doutorado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil, 2017.

avaliaÇÃo de forÇas hidrostÁticas e hidrodinÂmicas …

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