automação e controle ipt 2008 modelagem em variÁveis de estado e funÇÕes de transferÊncia 2...

Automação e Controle IPT 2008

MODELAGEM EM VARIÁVEIS DE ESTADO E FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

2 Tanques em Cascata

Reator CSTR


O QUE É MODELO?Síntese de todo o conhecimento que se dispõe sobre o fenômeno ou sistema em estudo (MODELO FÍSICO)

Equações diferenciais (cinética);Funções de Transferência;Redes Neurais Treinadas;Conjuntos de Regrasnão são Modelos Físicos. São a representação matemática ou lógica do Modelo Físico. Essa distinção é vital em Automação e Controle.


A ARTE DA MODELAGEMMáxima Suprema no Projeto de Controle: “Todo controlador é tão bom quanto bom é o modelo que representa a dinâmica do sistema que se pretende controlar” (Friedland, 87; Eykhoff, 94, entre outros).Em outras palavras:Modelo Bom Possíveis bons controladores

Modelo Ruim Controladores ruins


Após projeto, o controlador implementado continua a enxergar o modelo da fase de projeto e não a planta. Se o modelo não for aderente à planta, não há o que fazer para conseguir convergência (estabilidade).

Sofisticar a estratégia de controle é, em geral, inútil, a menos que haja um esquema de adaptação (aprender o modelo) acoplado.

Onde está a arte de modelagem em projetos de Engenharia?


Fase de Projeto

Fase de Implementação

Controlador MODELO

Sensores

Referência

Perturbações

Controlador

Sensores

PLANTAReferência

Perturbações


FenômenoSistema

Modelo FísicoModelo

MatemáticoParâmetros

Iniciais

Redefinir parâmetros Análise

ProjetoSatisfaz?

Otimizar?Automação

Controleetc

FIM

N

SS

N

CRIAÇÃO

ANÁLISE/SÍNTESE


CONSTRUÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS

Sistema/Modelo Físico

Leis Físicas Identificação

Modelo

,..., RiVamF

Ajuste


Tipos de Modelos Matemáticos- Estáticos (Regime Permanente) X Dinâmicos- Contínuos (Tempo-Variáveis de Estado, Equações Diferenciais ou Freqüências-Transf. Laplace, Funções de Transferência) X Discretos (Tempo-Variáveis de Estado, Equações de Diferenças ou Freqüências-Transformada Z, Funções Amostradas)- Lineares X Não Lineares- Parâmetros Concentrados (EDO) X Parâmetros Distribuidos (EDDP)- Determinísticos X Probabilísticos- Eventos Discretos X Mudanças Orientadas


Introdução à modelagem: Variáveis de Estado; Funções de Transferência

•Simulação de um Sistema de Controle de Concentração em 2 tanques em Cascata

•Uso de Simuladores tipo Matlab e Scilab


Controle da concentração em 2 reatores em cascata

ControladorA puro

Tanque 1Tanque2

Medidor

Vazão FConcentração Co

Válvula

m

F, C1 F,C2


Descrição do Processo: Corrente líquida entra no Tanque 1 com vazão F(l/min),

contendo o reagente A a uma concentração constante c0 (moles A/l);

Reagente A se decompõe segundo a reação irreversível A B; A reação é de 1ª ordem e ocorre a uma taxa r=k.c, onde: - r=nº moles de A que se decompõe/(l)(tempo); - c=concentração de A, moles de A/l; - k=constante de velocidade, função da temperatura. A reação é conduzida em 2 tanques, com agitação e mantidos

a temperaturas diferentes. Temperatura no tanque 2>temperatura no 1=> k2>k1


Objetivo do Sistema de Controle; Manter c2, concentração de A que deixa o Tanque 2,

num valor pré-especificado, apesar de variações na concentração de entrada c0.

Forma de atuação: adição de um fluxo de A puro, vindo de um tanque auxiliar, ao tanque 1 através de uma válvula de controle.

Obs.: i) o valor de não pode ser nulo, ié, deve haver adição constante de A ao processo; ii) o sistema é não co-locado, ié, atua-se na entrada do 1º tanque e mede-se na saída do 2º.

m


Modelagem do sistema Função de Transferência para os Reatores:

Balanço de material em torno do tanque 1

m=vazão molar de A puro através da válvula;ρA=densidade de A puro, gmol/l;V=volume retido no tanque, l.

Admitindo que a vazão volumétrica na válvula seja muito menor que a vazão de entrada F:

mVckcmFFcdtdcV

A

11101 )(


Em regime permanente,

Subtraindo (2) de (1) e definindo variáveis-erro como:

mFcVkFdtdcV 011 )(

)1(;1

11

10

11

11 VkF

VmVkF

cVkF

Fcdtdc

01 dtdc

)2(101

1

_

1

_

mccVkFVkF

F

mcc mMcCcC

;0;1

_

0011


Aplicando a Transformada de Laplace:

Para o Tanque 2:

MVkF

CVkF

FCdtdC

10

11

11

1

)(1

1

)(1

)(1

10

1

11 sM

sVkFsC

sVkF

F

sC


VkFVC

VkFFC

dtdC

221

22

22 ;

)(1

)( 12

12 sC

sVkF

F

sC


Valores numéricos para o processo considerado: ρA= 12,81 g moles/l; C0= 1,60 g mol A/l; F= 2800 l/min; = 454 g moles/min; K1= 1/6 min-1; K2= 2/3 min-1; V= 8400 l

m


Substituindo: 1= 2 min; 2= 1 min;

= 0,94 g mol A/l;

= 0,39 g mol A/l;

= 35 l/min.

1c

2c

A

m


Válvula de ControleDo catálogo da válvula:- Vazão linear de 0 a 56 l/min, para pressão variando de 1,2 a 2,0 atm;- Constante de tempo pequena comparada às outras constantes de tempo do processo: despreza-se sua dinâmica.Daí:-Coeficiente vazão-pressão:

-Vazão de regime:

atmlkv min//3,682,10,2056

min/35.

lm

A


Com isso, a pressão de regime será:

Equação da válvula:

Variáveis-erro:

Função de Transferência:

atmpp 71,1)2,10,2(56352,1

Av pkm )71,1(35

m

PkMpPmM Avm

71,1;

AvksPsM )()(


Sensor/Registrador (informação!)Dispositivo de pena, linear e sem atraso. A pena percorre escala de 0 a 10,16 cm (0 a 4 in) para variações de 0,16 a 0,80 g mol de A/l.Sensibilidade do instrumento:

Valor de referência(c2=0,39):

Equação do sensor:

)./(88,1516,080,0

16,10 lgmolcmkm

cmR 65,3)16,080,016,039,0(16,10

)39,0( 2 ckRb m


Variável erro no sensor: B=b-R=b-3,65; B=km C2

Função de Transferência:

No caso, temos um transdutor (troca de unidades entre entrada e saída)

mksCsB

)()(

2


ControladorPor enquanto, admitimos apenas proporcional. Com isso, a relação pressão de saída do controlador e o erro fica:

onde =R-b é o erro e kc é o ganho proporcional (atm/cm)Em variáveis-erro: P=kc e a Função de Transferência fica:

cc kpbRkpp )(

ckssP

)()(


Atraso de TransporteUma parte do fluxo é retirada continuamente do Tanque 2, a uma taxa de 2,8 l/min, através da linha de amostragem que contem o sensor de concentração. Esse elemento deve ficar em local remoto por questões de segurança.A linha de amostragem tem comprimento 15,24 m e a área da seção transversal do tubo é 0,92 cm2.Com isso, o efeito dessa linha de amostragem é impor um atraso de transporte, representado por:

Função de Transferência associada:

min5,02800

92,0.1524 dd vazão

volume

ss ee d 5,0


Representação por Diagrama de Blocos

Válvula

kvA

Conversão

1/F

Controlador

kc

1º Tanque

Coef1/(1s+1)

2º Tanque

Sensor

km

Atraso

e-ds

1º TanqueCr C2

C0

Coef2/(2s+1)

p M

M/F+

-+

+


Simular o sistema de 2 tanques com e sem atraso: A) Sem atraso

Referência ou Set-Point

Erros Ações SaídasFKvKc **

1 2/ *2 1

1

*1 1/ *1 1

1

s

F w Ks

F w K

)1)(1(2.1

21 ssCoefCoef

km


Simular o sistema de 2 tanques com e sem atraso: B) Com atraso

Referência ou Set-Point

Erros Ações SaídasFKvKc **

1 2/ *2 1

1

*1 1/ *1 1

1

s

F w Ks

F w K

)1)(1(2.1

21 ssCoefCoef

km

ss

d

d

11


Representação por Variáveis de EstadoUsaremos o exemplo de um CSTR para mostrar os principais conceitos. O comportamento dinâmico de um CSTR pressupõe o desenvolvimento de equações de balanço para:- massa- energia- componentesBalanço de MassaNa ausência de reações, o balanço de massa do sistema é dado por:


Vazão de massa na entrada – Vazão na saída = Variação de massa dentro do reator

Fentent - Fsaisai = d(V)/dt


Normalmente, a densidade é admitida constante ao longo do tempo e do processo:

Fent – Fsai = dV/dt (1)

Balanço de ComponentesComponentes podem aparecer ou desaparecer devido ás reações, lembrando que a massa global de reagentes e produtos deve ser sempre a mesma. Por exemplo, se A -> B é uma reação irreversível de 1ª ordem:

dCA/dt = - k.CA


Portanto, a concentração CA diminui ao longo do tempo com taxa k. Então, o balanço para o componente A é dado por:

Fent.CA ent – Fsai.CA sai – kVCA = d(V.CA)/dt (2)

n relações do tipo da Equação (2) devem ser escritas quando existem n componentes envolvidos no processo.

Balanço de EnergiaVariação de Energia na entrada – Variação de Energia na saída + Taxa em que Calor é liberado = Variação de Energia dentro do sistema


A reação A -> B é admitida exotérmica. Uma serpentina refrigerante é usada para remover o calor da reação a uma taxa Q (J/s ou W). O calor específico e a densidade do liquido são constantes.

Nesse caso:


FententCp[Tent-Tamb] - FsaisaiCp[T-Tamb] + kVCAH – Q = CpV(dT/dt)

Se Fent = Fsai = F, a expressão se simplifica para:

CpF (Tent-T) + kVCAH – Q = CpV(dT/dt)

onde k pode ser expresso pela lei de Arrenius:

k=k0exp(-E/RT),com E – energia de ativação; R – constante da Lei dos

Gases; k0 – coeficiente de Arrenius e T – temperatura da reação


Cálculo da troca de calor através da serpentina ou da jaquetaA taxa de troca de calor, Q, pode, em geral, ser utilizada para regular a temperatura do reator. Isso é feito através da variação da vazão de refrigerante. As hipóteses geralmente feitas são as seguintes:

O refrigerante tem densidade e calor específico constantes;

A dinâmica de refrigeração pode ser ignorada (é mais rápida que o reator);

A área da serpentina, multiplicada por um coeficiente global de troca de calor, é aproximada por:

AcU = Fc

onde e são constantes. A diferença média logarítmica de temperaturas é

aproximada por uma média aritmética.


Dessa maneira:Q = FcCp(Tc sai –Tc ent)

Q = Fc([T-Tc ent] + [T-Tc sai])/2

Essas duas expressões são combinadas de modo a eliminar a temperatura de saída, levando a:

p

cc

entcc

CFF

TTFQ

2

)( ,1


A expressão final para o balanço de energia resulta, então:

)3(

2

)()(1

dtdVC

CFF

TTFHkVCTTFC p

p

cc

centcAentp


Linearização das Equações do CSTRA linearização das equações (1) a (3) é feita sempre em torno de valores de regime permanente. Para achar esses valores, basta igualar a zero todos os termos que contêm as derivadas. O sistema resultante é, portanto, algébrico, embora não linear.Existem várias maneiras de linearizar um sistema de equações:- Expansão em Série de Taylor;- Linearização Entrada-Saída;- Linearização Global:- OutrasA expansão em série de Taylor é, de longe, a mais conhecida e empregada mas há casos em que falha. As outras técnicas são mais sofisticadas e devem ser empregadas quando a primeira falha.


Para simplificar nossa análise, admitimos que existe uma única reação A->B de 1ª ordem e que o controle de nível é perfeito (Fent=F), o que dispensa a equação (1). O modelo para o CSTR é dado, então, por:

Fent.CA ent – Fsai.CA sai – kVCA = d(V.CA)/dt (2)

)3(

2

)()(1

dtdVC

CFF

TTFHkVCTTFC p

p

cc

centcAentp


A expansão em série de Taylor em torno dos valores de regime leva a:

dCA/dt = [coef11]C’A+ [coef12]C’

Aent + [coef13]T’ + [coef14]F’ (4)onde cada variável x’=x-xreg e

][]14[

])exp([]13[

][]12[

)]exp([]11[

2

VCCcoef

CRTE

RTEkcoef

VFcoef

RTEk

VFcoef

AAent

Ao

o


dT’/dt = [coef21]F’ + [coef22]T’ + [coef23]T’ent + [coef24]C’

A + [coef25]F’

c

(5)Onde:

2

0

1

20

]2

[

))(2

([]25[

)]exp([]24[

][]23[

]2

)exp()([]22[

][]21[

VFFCV

TTCFF

CVF

coef

RTEk

CHcoef

VFcoef

VFFCV

FCRTE

RTEk

CH

VFcoef

VTTcoef

ccp

entp

cc

p

c

p

cp

cA

p

ent


São 2 equações lineares que podem ser agrupadas como:

c

ent

Aent

AA

c

ent

Aent

A

A

FFTC

ccccc

TC

cccc

TC

dtd

ouFFTC

coefcoefcoefcoefcoef

TC

coefcoefcoefcoef

dtdTdtdC

252123

1412

2224

1311

'

'

'

'

'

'

'

'

000

2521230014012

22241311

e


Das variáveis de entrada no modelo, a vazão de refrigerante é a única que pode ser manipulada. Vamos separar da seguinte forma:

A Equação (6) representa o MODELO EM VARIÁVEIS DE ESTADO do reator:

)6(00

02123

1412

252224

1311

FTC

cccc

FcT

Ccccc

TC

dtd

ent

Aent

cAA

EpBuAxxxdtd


x – vetor de variáveis de estadou – vetor de variáveis de controlep – vetor de perturbaçõesA – matriz dinâmica (2x2)B – matriz de controle (2x1)E – matriz de perturbações (2x3)

EpBuAxx


O sistema CSTR é claramente multivariável: 4 entradas (Fc,controle; Caent, Tent, F, perturbações) e 2 saídas (CA, T).

dx/dt=Ax+Bu+Ep

Sensores

ControladorAtuadores

x

y

u

p1p2

p3

Ref.


Para completar a representação é preciso dizer como o sistema será medido. Isto é representado por uma transformação algébrica:

y=Cxy – vetor de observações (dimensão igual ao nº de sensores)C – matriz de observação


MODELOS EM REPRESENTAÇÃO DE ESTADOS

O que se pretende? Atingir os 4 objetivos:- Sistema estável (alterar A)- Resposta dinâmica adequada (adequar A)- Seguir referência- Rejeitar perturbações (para qualquer p, sistema volta ao regime permanente)

CxyEpBuAxx


FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA E VARIÁVEIS DE ESTADOPara fins de projeto de controle, a(s) Função(ões) de Transferência de interesse são as que relacionam entradas (controle ou perturbações) e saídas dos instrumentos (lidas pelos sensores. Portanto, corresponde(m) à seguinte parte:

Planta/Sistema

Sensores

up

x

y


Uma Função de Transferência corresponde à relação de transformação entre a saída medida y e a entrada (u ou p), expressa em números complexos, s. A transformação da relação do domínio do tempo para o domínio complexo é extremamente útil para operações matemáticas.

No caso em análise, admitamos que as perturbações sejam nulas, o que reduz o sistema de equações a:

CxyBuAxx


Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados:

Da 1ª equação:

Substituindo na 2ª equação:

)()()()()(

sCXsYsBUsAXssIX

)()()(

)()()(1 sBUAsIsX

sBUsXAsI

BAsICsUsYsBUAsICsY 11 )()()()()()(


A expressão anterior contem uma ou mais Funções de Transferência entre as entradas de controle e as variáveis medidas.No caso do CSTR, supondo que as duas variáveis de interesse, concentração CA e temperatura T, sejam medidas, duas FT’s serão geradas:

relacionando a influência da vazão de refrigerante, Fc, com as variáveis de processo

)()()(;

)()()( 21 sF

sTsGsFsCsG

CC

A

automação e controle ipt 2008 modelagem em variÁveis de estado e funÇÕes de transferÊncia 2...

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