aulas 8 e 9 - sistemas de numeração

Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração

Profª Jocelma RiosOut/2012

O que pretendemos:O que pretendemos:

● Contar um pouco sobre a origem dos números e dos sistemas de numeração

● Apresentar alguns sistemas de numeração utilizados no passado e atualmente

● Mostrar as possibilidades de conversão entre os sistemas de numeração vinculados à computação

● Refletir sobre a relação entre os sistemas de numeração estudados e o processamento computacional

A origem dos númerosA origem dos números

Na pré- história, será que os homens já contavam?


● Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos conhecer um pouco da história humana, que pode ser feito através de:

– estudo das ruínas de antigas civilizações– estudo de fósseis – estudo da linguagem escrita – avaliação do

comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos


A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, voltadas para sua “civilização”, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo

O homem começou a produzir alimentos, construir casas e domesticar animais, aproveitando-se dos mesmos através do uso da lã e do leite, tornando-se criador e desenvolvendo o pastoreio... tudo isso trouxe profundas modificações na vida humana


Olhando ao redor, podemos observar como é grande a presença dos números...


● As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, desenvolveram-se há cerca de 10 mil anos na região que hoje fica o Oriente Médio

● A agricultura passou a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua, e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário


No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho.

Assim, eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.


No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro.

No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco.

Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais, e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra.


● A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa “pedrinha”

● A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação

Senso numéricoSenso numérico

● Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção

● O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental

"Distinguimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo quatro elementos. Mas aí para nosso poder de identificação dos números."

História Universal dos Algarismos, Georges Ifrah.

Senso numéricoSenso numérico

Temos também alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóis e os corvos, que possuem este senso numérico onde reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades

Existe um exemplo célebre sobre um corvo que um corvo que tinha capacidade de reconhecer quantidade...tinha capacidade de reconhecer quantidade...

Um corvo que sabia contar...Um corvo que sabia contar...Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de observação de sua que fez seu ninho na torre de observação de sua mansão. mansão.

Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. do ninho.

De uma árvore distante, ele esperava atentamente De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho.voltava ao ninho.

Um corvo que sabia contar...Um corvo que sabia contar...

Um dia, o fazendeiro tentou uma nova tática: 2 Um dia, o fazendeiro tentou uma nova tática: 2 homens entraram na torre, um ficou dentro e o homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro enganado: manteve-se afastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi repetida homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subsequentes com 3 e 4 homens, ainda nos dias subsequentes com 3 e 4 homens, ainda sem sucesso.sem sucesso.

Finalmente, foram utilizados 5 homens como antes, Finalmente, foram utilizados 5 homens como antes, todos entraram na torre e um permaneceu lá todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros 4 saíam e se afastavam. dentro enquanto os outros 4 saíam e se afastavam. Desta vez, o corvo perdeu a conta. Incapaz de Desta vez, o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre 4 e 5, voltou imediatamente ao distinguir entre 4 e 5, voltou imediatamente ao ninho e foi surpreendido.ninho e foi surpreendido.

ÁbacoÁbaco● Antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem que podem fazer-se deslizar livremente

● Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos, apesar dos chineses também serem apontados como seus inventores

● Emprega um processo de cálculo com sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dez

Saiba um pouco mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco

ÁbacoÁbaco

● No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais

● No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular

Representação numéricaRepresentação numéricaCom o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação

A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos

O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental

Sistemas de numeraçãoSistemas de numeração

● Como existem infinitas quantidades, não é possível criar um símbolo para cada uma. Assim, para resolver este problema, foram desenvolvidos os sistemas de numeração

● Portanto, um sistema de numeração é um conjunto sistema de numeração é um conjunto finito de símbolos somado a uma lei de formação finito de símbolos somado a uma lei de formação que permite representar qualquer quantidadeque permite representar qualquer quantidade

● Podem ser classificados em:– Sistemas de Numeração Posicionais– Sistemas de Numeração Não Posicionais

Sistema de numeração não-Sistema de numeração não-posicionalposicional

● Neles, cada símbolo, independente da posição, representa um único valor, como é o caso do sistema romano

É composto de um conjunto de sete símbolos {I,V,L,C,D,M} capazes de representar uma grande variedade de números, com base numa lei de formação, porém não é possível representar qualquer quantidade como o zero por exemplo

Sistema de numeração não-Sistema de numeração não-posicionalposicional

● Sistema romano – é dito não-posicional...por exemplo, IV e

VI representam 4 e 6 respectivamente, contudo I e V representam 1 e 5 em ambos os numerais

– No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso, a representação é aditiva, com X representando a quantidade decimal 10, e com a combinação XX associada a 10+10=20. Por outro lado, em IX (nove em decimal) a representação é subtrativa

Sistemas de numeração Sistemas de numeração posicionalposicional

● Nos sistemas de numeração posicionalsistemas de numeração posicional, o valor do dígito em um número depende da posição que ele ocupa neste mesmo número

– 1989 = 1000 + 900 + 80 + 9– 1989 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100

● Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito

● Os pesos crescem para esquerda na parte inteira e decrescem para a direita na parte fracionária

– 1989,4 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100 + 4*10-1

Sistemas de numeração Sistemas de numeração posicionalposicional

● A representação posicional fornece uma forma simplificada para a escrita de números e permite a representação de qualquer número com um alfabeto (uma coleção de símbolos) restrito de dígitos

Sistema de numeração egípcioSistema de numeração egípcio

● Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dezbase dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:


● Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33

Saiba mais: http://nucibmlenematematica.blogspot.com.br/2009/06/um-pouco-da-historia-da-matematuca.html

Sistema de numeração MaiaSistema de numeração Maia

Sistema de numeração Sistema de numeração babilônicobabilônico

● Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado há, aproximadamente, 4 mil anos

Sistema de numeração hinduSistema de numeração hindu

● Evolução aos longo da história

Sistema de numeração indo-Sistema de numeração indo-arábicoarábico

● Nosso sistema de numeração (decimaldecimal) surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão

● O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade; o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade; e o número 3 significava muitos, multidão

Saiba mais: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm

Sistema de numeração - Sistema de numeração - comparativocomparativo

Sistemas de numeração Sistemas de numeração computacionalcomputacional

O sistema de numeração com o qual estamos mais familiarizados é o decimal, cujo alfabeto (coleção de símbolos) é formado por 10 dígitos acima mostrados.

Um Computador Decimal: se trabalhasse com o sistema decimal um computador precisaria codificar 10 níveis de referência para caracterizar os 10 dígitos do sistema utilizado. Esses níveis de referência poderiam ser valores de tensão (0V, 1V, 2V etc.) que precisariam ser definidos e interpretados de maneira clara e precisa pela máquina.

Desvantagem: quanto maior o número de interpretações maior a probabilidade de erro. Para decidir que está lendo o número 5 a máquina precisaria ter certeza de que o que leu não é: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.


Consequência: O sistema de numeração mais seguro deveria ser aquele com o menor número de símbolos (dígitos).

Conclusão: o melhor sistema de numeração para uma máquina seria o binário com apenas dois dígitos, o zero (0) e o um (1). Obs.: Não há sistema de numeração com alfabeto de um único dígito. Todo sistema de numeração precisa dos conceitos de presença (1) e ausência (0), ao menos.


Um possível problema no uso de máquinas binárias: o número binário precisa de mais dígitos para ser escrito que o decimal.

→ Quatro em decimal é representado como 4.

→ Sua representação em binário é 100.

Consequência: o computador binário seria mais preciso, porém muito lento porque a leitura da informação iria requerer mais tempo.


Uma solução: o uso de dispositivos eletrônicos baseados na tecnologia dos semicondutores, como os transistores.

O transistor: é um dispositivo usado para controlar o fluxo de corrente. Ele tem duas características importantes:

1- é capaz de amplificar um sinal elétrico.

2- é capaz de chavear (comutar) entre ligado e desligado (ou fechado e aberto), deixando corrente passar através dele ou bloqueando-a.


O transistor pode mudar da condição de saturação para o corte em velocidades acima de um milionésimo de segundo. Ele pode ser usado para caracterizar a presença (ou ausência) de um dígito binário (0 ou 1) e pode tomar decisões desse tipo a uma taxa superior a um milhão de decisões por segundo.

O primeiro Transistor Um Transistor moderno


Fatos importantes:

- Máquinas do século XIX utilizavam base 10

- O matemático inglês George Boole (1815-1864) publicou em 1854 os princípios da lógica booleana, onde variáveis assumem valores de 0 (falso) ou 1 (verdadeiro)

- Alan Turing utilizou a lógica booleana para conceber a Máquina de Turing, que deu origem à computação digital

- A lógica booleana foi usada na implementação dos circuitos elétricos internos do computador digital.

Bases de sistemas de Bases de sistemas de numeraçãonumeração

● A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação

● A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja a única utilizada

● No comércio, pedimos uma dúzia de rosas ou uma grosa de parafusos (base 12) e também marcamos o tempo em minutos e segundos (base 60)

● Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como a base 16 ou sistema hexadecimal ou eventualmente ainda a base 8 ou sistema octal

Bases de sistemas de Bases de sistemas de numeraçãonumeração

● Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

● Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1● Na base 16, seriam 16: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades

● Generalizando, temos que uma Generalizando, temos que uma base bbase b qualquer qualquer disporá de disporá de bb algarismos, variando entre 0 e (b-1) algarismos, variando entre 0 e (b-1)

Bases de sistemas de Bases de sistemas de numeração posicionalnumeração posicional

● Sistema Decimal → Base 10→ Base 10

→ alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}● Sistema Binário → Base 2 → Base 2

→→ alfabeto {0, 1}● Sistema Octal → Base 8 → Base 8

→→ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}● Sistema Hexadecimal → Base 16 → Base 16

→→ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

Bases de sistemas de Bases de sistemas de numeração posicionalnumeração posicional

Conversão de baseConversão de basePassagem de uma Base R para a base Z

● Consiste em decompor o número de acordo com a estrutura posicional, usando operações de produtos, divisão e somas

● Para facilitar o cálculo das operações de conversão de base, vale a pena relembrar as potências das bases numéricas mais utilizadas na teoria da computação

– 2– 10– 16– 8

Conversão de baseConversão de base

● Potência de 2:

20 1

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

29 512

210 1.024

● Potência de 8:

80 181 882 6483 51284 4.09685 3276886 262.14487 2.097.152

88 16.777.21689 134.217.728810 10.73.741.824


● Potência de 10:

100 1101 10102 100103 1.000104 10.000105 100.000106 1.000.000107 10.000.000108 100.000.000109 1.000.000.0001010 10.000.000.000

● Potência de 16:

160 1161 16162 256163 4.096164 65.536165 1.048.576166 16.777.216167 268.435.456

168 4.294.967.296169 68.719.476.7361610 1.099.511.627.776


Passagem de uma Base R para a base 10● Converte-se a base e cada dígito do número para o equivalente decimal

● Decompõe-se o número de acordo com a estrutura posicional e, usando aritmética decimal, efetua-se as operações de produtos e somas

Notação: (...)R ler como o número do parêntesis expresso na base R

– (1101)2=1*23 + 1*22+ 0*21 + 1*20 = 8+4+0+1=>13

– (2B0)16=2*162 + (11)*161+ 0*160= 512+176+0=>688

Conversão de baseConversão de basePassagem de uma Base 2 para base 10

● Basta multiplicar cada dígito pela potência e 10 correspondente a sua posição


● Basta multiplicar cada dígito pela potência ed 16 correspondente a sua posição


Passagem de uma Base 10 para a base R● Parte inteira: algoritmo da divisão repetida● Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R até que se obtenha um quociente inteiro igual a zero

● Os restos das divisões sucessivas, lidos do último para o primeiro, constituem o número transformado para a base R

(341)10 = (2331)

5


● Basta dividir o número repetidas vezes por 2, até que não seja mais possível efetuar a divisão para obter número maior ou igual a 1


● Basta dividir o número repetidas vezes por 16, até que não seja mais possível efetuar a divisão para obter número maior ou igual a 1


Passagem de uma Base 10 para a base R● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida

● A parte fracionária é multiplicada por R. A parte inteira desse produto é guardada e a parte fracionária é novamente multiplicada por R. O processo é repetido até que se obtenha um número com parte fracionária nula ou até que se considere a aproximação suficiente.

● As partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da primeira para a última, formam a parte fracionária do número transformado


Passagem de uma Base 10 para a base R● Ex: 341

10 = 2331

5


Passagem de uma Base R para a base 10● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida

● Exemplo: transformar 0,4375 para a Base 2– 0,4375*2 = 0,8750– 0,8750*2 = 1,7500– 0,7500*2 = 1,1500– 0,5000*2 = 1,0000

resultado → 0,0111resultado → 0,011122


Passagem de uma Base 2 para base de potência 2 (8 ou 16 p.ex.)

● A base para a qual se quer a transformação é expressa no formato 2n

– Se essa base for 8, por exemplo, o valor de “n” é 3 porque 8 = 23

● Formam-se grupos, a partir da direita do número binário, contendo uma quantidade de dígitos igual ao número “n”. Esses grupos de “n” dígitos são lidos e representados como os dígitos do sistema para o qual se quer a transformação.


Utilizando a calculadora do Windows

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Operações aritméticas em base Operações aritméticas em base bináriabinária

Veremos agora como se efetua as operações aritméticas de soma, subtração, multiplicação e divisão de binários, além de conceitos como complemento a 1 e a 2 e a sinalização dos números binários.

Essas funções lógicas aritméticas constituem a Unidade Lógica e Aritmética (ULA) que é um bloco funcional fundamental

em um processador.


Para efetuarmos a adição no sistema binário, devemos agir como numa adição convencional no sistema decimal, lembrando que, no sistema binário temos apenas dois algarismos. Assim:

✔ 0 + 0 = 0, (vai 0)✔ 1 + 0 = 1, (vai 0)✔ 0 + 1 = 1, (vai 0)✔ 1 + 1 = 0, e transporta 1 (vai 1)


Observe, então, que enquanto no sistema decimal 1 + 1 = 2

10, no sistema binário seria 10

2.

Exemplo 1: Exemplo 2:


A subtração requer um pouco de atenção. Quando subtraímos números às vezes temos que fazer um empréstimo da próxima coluna à esquerda. Esse caso ocorre quando temos que subtrair 1 de 0. Observe as operações:

✔ 0 – 0 = 0, empresta 0✔ 1 – 1 = 0, empresta 0✔ 1 – 0 = 1, empresta 0✔ 0 – 1 = 1, empresta 1 da próxima coluna


Vejamos como se realiza a operação de subtração com binário:



● As regras da multiplicação de binários são iguais às regras da multiplicação de decimais.

✔ 0 x 0 = 0✔ 0 x 1 = 0✔ 1 x 0 = 0✔ 1 x 1 = 1


Vejamos como se realiza a operação de multiplicação com binário. Note que numa multiplicação por um número com dois ou mais algarismos, é necessário fazer a soma do resultado gerado para obter o resultado final da multiplicação.



● A divisão é análoga a uma divisão de decimais, trabalhando com multiplicação e subtração na lógica binária.

✔ No dividendo, separa-se uma quantidade de algarismos (mais significativos) para iniciar a divisão pelo divisor;

✔ Multiplica-se o divisor por 1 ou 0, conforme cada caso;

✔ Subtrai-se o resultado do dividendo, encontrando o resto


Vejamos como se realiza a operação de divisão com binário.

Exemplo:


Representação de números negativos:

● Complemento de 1: O complemento de 1 de um número binário é obtido trocando-se cada dígito 1 por 0 e vice-versa. A notação C1 (...) é usada para designar o complemento de um do número entre parêntesis.

● Complemento de 2: O complemento de 2 de um número binário é obtido trocando-se inicialmente todos os 0s por 1s e vice-versa. Após isso adiciona-se 1 ao número obtido. Notação C2(...)


Overflow● Em computação, há limitações no tamanho de registradores para representar números e a aritmética binária obedece tais limitações.

● Os números são finitos e devem ser representados no intervalo entre 0 e 2r-1, onde r é o número de bits dos registradores.

● Nas operações aritméticas, devemos considerar a possibilidade de obter resultados que extrapolam os limites de representação dos números num dado registrador, ou seja, fora dos limites de +/- (2r-1)

● Quando isto ocorre dizemos que temos uma condição de aritmética de overflow

Para refletir...Para refletir...

Por que o sistema de numeração hexadecimal é

também largamente utilizado na computação, se os

computadores só conseguem compreender 0 e 1?

ReferênciasReferências

● BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2005.

● FEDELI, R.; POLLONI, E.; PERES, F. Introdução à Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2003.

ReferênciasReferências(História da Matemática)(História da Matemática)

● www.matematica.br/historia● http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/nume

ros/numeros.htm● www.infoescola.com/matematica/historia-da-matematica● www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/historia-da-

matematica/historia-da-matematica-1.php

Vídeos sugeridosVídeos sugeridosConversão de base

Binário para Decimal

– www.youtube.com/watch?v=0XsHNwNXpt0Binário para Hexadecimal // Binário para Octal

– www.youtube.com/watch?v=vjSKQPTkJ_oDecimal para Octal

– www.youtube.com/watch?v=pl1vdcMrBTg

Decimal para Binário // Binário para Decimal

– www.youtube.com/watch?v=1sRdkyAzdy4

Octal para Decimal // Hexadecimal para Decimal

– www.youtube.com/watch?v=9qSNPCMS3r4

Vídeos sugeridosVídeos sugeridos

Operações aritméticas

Adição e subtração em binário

– www.youtube.com/watch?v=MeragDzjp5M– www.youtube.com/watch?v=5GOL-qg3420

Multiplicação e divisão em binário

– www.youtube.com/watch?v=WOFKKTUWFd0– www.youtube.com/watch?v=lJPtZnaZZ-k– www.youtube.com/watch?v=8VMk7GYzYa0– www.youtube.com/watch?v=YBhBJSyaGTk (em espanhol)

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