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Sistemas Digitais Sistema de NumeraoEdgar Norio Taka Ricardo Ouro Preto

CNPJ: 33.955.956/0001-04

Sistemas de numeraoNos sistemas digitais, recorre-se com frequncia a diferentes sistemas de numerao para representar a informao digital.

Sistema de numerao decimalO sistema numrico ao qual estamos acostumados o sistema numrico decimal. Este sistema foi originalmente inventado pelos matemticos hindus aproximadamente em 400 D.C. Os rabes comearam a usar o sistema em 800 D.C. aproximadamente, quando ficou conhecido como o Sistema Numrico Arbico. Aps ele ter sido introduzido na comunidade da Europa por volta de 1200 D.C., o sistema logo adquiriu o ttulo de "sistema numrico decimal". Uma caracterstica particular de um sistema numrico a sua base. A base indica o nmero de caracteres ou dgitos usados para representar quantidades naquele sistema numrico. O sistema numrico decimal tem base dez pois so usados os dez dgitos de 0 at 9 para representar quantidades. Quando um sistema numrico usado onde base no conhecida, um ndice usado para mostrar a base. Por exemplo: o nmero 460310 proveniente de um sistema numrico com base dez.

Valor ou Notao PosicionalO sistema numrico decimal posicional ou ponderado. Isto significa que cada posio dos dgitos num nmero possui um peso particular o qual determina a magnitude daquele nmero. Cada posio tem um peso caracterstico determinado pela potenciao da base do sistema numrico, neste caso o nmero dez. Os pesos posicionais so 10 0(unidades), 101(dezenas), 102(centenas); etc. Observe a tabela ao lado para uma lista condensada das potncias de dez. Potncias de 10 10 0 = 10 1 = 10 2 = 10 3 = 10 4 = 1 10 100 1.000 10.000 105 = 106 = 107 = 108 = 109 = 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000

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VALOR MAIS SIGNIFICATIVO

VALOR MENOS SIGNIFICATIVO

Valor Posicional de Nmero Decimal ( Base 10 )UNIDADE DE MILHO CENTENA DE MILHAR DEZENA DE MILHAR UNIDADE DE MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE

10

6

10

5

10

4

10

3

10

2

10

1

10 1

0

1.000.000 MAIS

100.000

10.000

1.000

100

10

Ns determinamos o valor total de um nmero considerando os dgitos especficos e os pesos de suas posies. Por exemplo, o nmero decimal 6903 est escrito na notao habitual. Este nmero tambm pode ser escrito na notao posicional. Para determinar o valor de um nmero devemos multiplicar cada dgito pelo peso de sua posio e somar os resultados.

Valor Posicional de um Nmero 6903 na Base 10( 6 x 103) + ( 6 x 1000 ) + 6.000 + ( 9 x 102) + ( 9 x 100 ) + 900 + ( 0 x 101) + ( 0 x 10 ) + 0+ ( 3 x 100 ) (3x1) 3= 6.90310

Conforme se pode verificar, um nmero expresso atravs da soma de potncias de base 10 multiplicadas pelo respectivo coeficiente (dgito). A seguir tem-se um nmero decimal com seu digito mais significativo (MSD) e o digito menos significativo (LSD) sendo enfatizados.

71.240.853MSD (Most Significant Digit) (Digito Mais Significativo) Caractersticas do sistema de numerao decimal: Base: 10 Dgitos: 0, 1, 2, ...., 8, 9 Representao: XXXX10 ou XXXX Potncias: maior peso 10X104 103 102 --------- 10000 1000 100 LSD (Least Significant Digit) (Digito Menos Significativo)

101 10

menor peso 100 1

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Sistema de numerao binrioO sistema numrico mais simples que usa notao posicional o sistema numrico binrio. Como o prprio nome diz, um sistema binrio contm apenas dois elementos ou estados. Num sistema numrico isto expresso como uma base dois, usando os dgitos 0 e 1. Esses dois dgitos tm o mesmo valor bsico de 0 e 1 do sistema numrico decimal. Devido a sua simplicidade, microprocessadores usam o sistema binrio de numerao para manipular dados. Dados binrios so representados por dgitos binrios chamados "bits". O termo "bit" derivado da contrao de "binary digit". Microprocessadores operam com grupos de "bits" os quais so chamados de palavras.O nmero binrio 1 1 1 0 1 1 0 1 contm oito "bits".

Valor ou Notao PosicionalTal qual no sistema numrico decimal, cada posio de "bit" (dgito) de um nmero binrio tem um peso particular o qual determina a magnitude daquele nmero. O peso de cada posio determinado por alguma potncia da base do sistema numrico. Para calcular o valor total do nmero, considere os "bits" especficos e os pesos de suas posies (a tabela abaixo mostra uma lista condensada das potncias de 2). Por exemplo, o nmero binrio 110101 pode ser escrito com notao posicional como segue: (1x25)+(1x24)+(0x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20) Para determinar o valor decimal ao nmero binrio 1101012, multiplique cada "bit" por seu peso posicional e some os resultados. 1101012 = (1x32)+(1x16)+(0x8)+(1x4)+(0x2)+(1x1) = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5310

Potncias de 2 20= 21 = 22= 23 = 24= 110 210 410 810 1610 25 = 26 = 27 = 28 = 29 = 3210 6410 12810 25610 51210

O sistema binrio o mais elementar pois possui apenas dois smbolos. Na sequncia binria, cada digito chamado de BIT (Binary Digit Digito Binrio). Pgina 3 de 15 78586361.doc

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A seguir tem-se um nmero binrio com seu BIT mais significativo (MSB) e o bit menos significativo (LSB) sendo enfatizados.

101001MSB (Most Significant Bit) (Bit Mais Significativo) LSB (Least Significant Bit) (Bit Menos Significativo)

Em sistemas descritos atravs de variveis lgicas recorre-se com frequncia ao sistema de numerao de base 2 (binrio). A vantagem na utilizao deste sistema de numerao resulta da correspondncia direta entre os dgitos 0 e 1 e os valores lgicos 0 e 1. Caractersticas do sistema de numerao binrio: Base: 2 Dgitos: 0, 1 Representao: XXXX2 Potncias: maior peso 2X 24 23 --------- 16 8

22 4

21 2

menor peso 20 1

Converso entre o sistema decimal e binrio Decimal BinrioNa converso decimal-binrio, pode ser utilizado o mtodo que mais geral, dito das divises sucessivas, consiste em dividir sucessivamente o nmero por 2 at obtermos o cociente 0 (zero). O resto dessa diviso colocado na ordem inversa corresponde ao nmero binrio, resultado da converso de decimal em binrio de um certo nmero de dados. Por exemplo:

menos significativo

19 1

2 9 1 2 4 0 2 2 0 2 1 1 2 0 19 (10) = 10011 (2)base

mais significativo 28 2 0 14 0

menos significativo

2 7 1 2 3 1 2 1 1 2 0 28 (10) = 11100 (2)

mais significativo

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Binrio DecimalPara converter um nmero no sistema binrio em seu correspondente no sistema digital basta expressar o nmero atravs da soma das potncias de base 2 multiplicadas pelo respectivo coeficiente (dgito). O resultado da soma ser o nmero expresso no sistema digital equivalente ao nmero dado, no sistema binrio. Por exemplo: 10101 (2) = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21 (10) 1101011 (2) = 1 x 26 + 1 x 25 +0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 107 (10)

Sistema de numerao octal e hexadecimalEstes sistemas de numerao so bastantes utilizados devido uma relao especial com o sistema de numerao binrio.

Sistema de numerao octalO sistema octal ou base 8 composto por oito smbolos ou dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, e 7. Os nmeros binrios, como vimos, so longos demais para manipularmos; so muito apropriados para as mquinas ou computadores, mas para seres humanos so muitos trabalhosos. Se considerarmos trs dgitos binrios, o maior que pode ser expresso por esses trs dgitos 111 ou em decimal 7. Como o 7 tambm o algarismo mais significativo do sistema octal, conclui-se que com a combinao de trs dgitos binrios pode-se ter o algarismo octal correspondente; da tambm poder dizer que os nmeros octais tm um tero do comprimento de um nmero binrio e fornecem a mesma informao. Binrio 000 001 010 011 100 101 110 111 Octal 0 1 2 3 4 5 6 7

Valor ou Notao PosicionalTal qual no sistema numrico decimal, cada posio de "digito" de um nmero octal tem um peso particular o qual determina a magnitude daquele nmero. O peso de cada posio determinado por alguma potncia da base do sistema numrico.

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Para calcular o valor total do nmero, considere os "digitos" especficos e os pesos de suas posies (a tabela abaixo mostra uma lista condensada das potncias de 8). Por exemplo, o nmero binrio 637 pode ser escrito com notao posicional como segue: 6378 = (6x82) + (3x81) + (7x80) Para determinar o valor decimal ao nmero binrio 637 8, multiplique cada "digito" por seu peso posicional e some os resultados. 6378 = (6x64)+(3x8)+(7x1) = 384 + 24 + 7 = 41510

Potncias de 8 80= 81 = 82= 83 = 84= 110 810 6410 51210 409610 85 = 86 = 87 = 88 = 89 = 3276810 26214410 209715210 1677721610 13421772810

A seguir tem-se um nmero octal com seu digito mais significativo (MSD) e o digito menos significativo (LSD) sendo enfatizados.

714538MSD (Most Significant Digit) (Digito Mais Significativo)

Base do sistema numrico octal

LSD (Least Significant Digit) (Digito Menos Significativo)

Caractersticas do sistema de numerao octal: Base: 8 Dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Representao: XXXX8 Potncias: maior peso 8X 84 83 -------- 4096 512

82 64

81 8

menor peso 80 1

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Sistema de numerao hexadecimalO sistema hexadecimal (hexa) foi criado com o mesmo propsito do sistema octal, para minimizar a representao de um nmero binrio que o utilizado em processamento. Tanto os nmeros em hexa como em octal so os meios de manipulao do homem, porm existiro sempre conversores internos mquina que os converta em binrio, com o qual a mquina trabalha. Analogamente, se considerarmos quatro dgitos ou bits binrios, o maior nmero que se pode ser expresso por esses quatro dgitos 1111 ou em decimal 15, da mesma forma que 15 o algarismo mais significativo do sistema hexadecimal, portanto com a combinao de 4 bits ou dgitos binrios pode-se ter o algarismo hexadecimal correspondente. Assim, com esse grupamento de 4 bits ou dgitos, podem-se definir 16 smbolos, o at 15. Contudo, como no existem smbolos dentro do sistema arbico que possam representar os nmeros decimais entre 10 e 15 sem repetir os smbolos anteriores, foram usados os smbolos A, B, C, D, E e F, portanto o sistema hexadecimal ser formato por 16 smbolos alfanumricos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Binrio 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Valor ou Notao PosicionalTal qual no sistema numrico decimal, cada posio de "digito" de um nmero hexadecimal tem um peso particular o qual determina a magnitude daquele nmero. O peso de cada posio determinado por alguma potncia da base do sistema numrico. Para calcular o valor total do nmero, considere os "digitos" especficos e os pesos de suas posies (a tabela abaixo mostra uma lista condensada das potncias de 16). Por exemplo, o nmero binrio 637 pode ser escrito com notao posicional como segue: 63716 = (6x162) + (3x161) + (7x160) Para determinar o valor decimal ao nmero binrio 63716, multiplique cada "digito" por seu peso posicional e some os resultados. 63716 = (6x256)+(3x16)+(7x1) = 1536 + 48 + 7 = 159110 Pgina 7 de 15 78586361.doc

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Potncias de 8 16 0 = 16 1 = 16 2 = 16 3 = 16 4 = 110 1610 25610 409610 6553610 165 = 166 = 167 = 168 = 169 = 104857610 1677721610 26843545610 429496729610 6871947673610

A seguir tem-se um nmero octal com seu digito mais significativo (MSD) e o digito menos significativo (LSD) sendo enfatizados.

6 3 7 16MSD (Most Significant Digit) (Digito Mais Significativo)

Base do sistema numrico hexadecimal

LSD (Least Significant Digit) (Digito Menos Significativo)

Caractersticas do sistema de numerao hexadecimal: Base: 16 Dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Representao: XXXX16 Potncias: maior peso menor peso 16X 164 163 162 161 160 -------- 65536 4096 256 16 1 A relao especial com o sistema de numerao binrio reside no fato de que tres dgitos binrios representam oito ( 23 ) nmeros distintos e quatro dgitos binrios representam dezesseis (2 4 ) nmeros distintos. Esta relao permite efetuar converses entre estes sistemas de uma forma quase imediata, conforme se pode verificar no seguinte exemplo: Octal Binrio Hexadecimal Binrio

2

7

4

6

2

103

111E

100D

1103

0102

11 1110

1101

0011 0010

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Converses entre sistemas de numerao Decimal Octalmenos significativo

19 3

8 2 2 8 0

19 (10) = 23 (8)

mais significativo

Octal Decimal23 (8) = 2 x 81 + 3 x 80 = 16 + 3 = 19 (10)

Decimal Hexadecimalmenos significativo mais significativo

45 D 13

16 2 2 16 0

45 (10) = 2D (16)

Hexadecimal Decimal2D (16) = 2 x 161 + 13 x 160 = 32 + 13 = 45 (10)

Binrio Octal Binrio2 6 0 5 4

Octal Binrio

10

110

000

101

100

Binrio Hexadecimal Binrio3 B A 7 F

Hexadecimal Binrio

11 1011

1010

0111 1111

Octal HexadecimalNeste caso, teremos que recorrer converso intermediria para a base binria ou decimal. Exemplo: 752 (8) = ........ (16) Octal Binrio7 5 2

Binrio Hexadecimal 0001 1110 10101 E A

111

101

010

Converso para binrio = 111101010 (2)

752 (8) = 1EA (16)

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Octal Decimal 752 (8) = 7 x 82 + 5 x 81 + 2 x 80 = 7 x 64 + 5 x 8 + 2 x 1 = 448 + 40 + 2 = 490 Converso para decimal = 490 (10) Decimal Hexadecimal 490 16 A 10 30 16 E 14 1 1 16 0

752 (8) = 1EA (16)

Converso de Nmeros Fracionrios da Base 10 para uma Base 2 Parte inteiraO nmero decimal dever ser dividido sucessivas vezes pela base; o resto de cada diviso ocupar sucessivamente as posies de ordem 0, 1, 2 e assim por diante at que o resto da ltima diviso (que resulta em quociente zero) ocupe a posio de mais alta ordem. Veja o exemplo da converso do nmero 1910 para a base 2:

Converso do nmero 19 para a base 2menos significativo

19 1

2 9 1 2 4 0 2 2 0 2 1 1 2 0 19 (10) = 10011 (2)

mais significativo

Parte fracionriaO processo para a parte fracionria consiste de uma srie de multiplicaes sucessivas do nmero fracionrio a ser convertido pela base; a parte inteira do resultado da primeira multiplicao ser o valor da primeira casa fracionria e a parte fracionria ser de novo multiplicada pela base; e assim por diante, at o resultado dar zero ou at encontrarmos o nmero de casas decimais desejado. Por exemplo, vamos converter 0,6510 para a base 2, com 5 e com 10 algarismos fracionrios: Parte Fracionria: Com 5 dgitos 0,65 x 2 = 1,3 0,3 x 2 = 0,6 0,6 x 2 = 1,2 0,2 x 2 = 0,4 0,4 x 2 = 0,8 Ampliando para 10 dgitos 0,8 x 2 = 1,6 0,6 x 2 = 1,2 0,2 x 2 = 0,4 0,4 x 2 = 0,8 0,8 x 2 = 1,6

Com 5 dgitos fracionrios : 0,65 = 0.10100 Com 10 dgitos fracionrios : 0,65 = 0.1010011001

Obs.: Em ambos os casos, a converso foi interrompida quando encontramos o nmero de algarismos fracionrios desejado. No entanto, como no encontramos resultado 0 em nenhuma das multiplicaes, poderamos continuar efetuando multiplicaes indefinidamente at encontrar (se encontrarmos) resultado zero. No caso de interrupo por chegarmos ao nmero de dgitos especificado sem encontramos resultado Pgina 10 de 15 78586361.doc

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zero, o resultado encontrado aproximado e essa aproximao ser funo do nmero de algarismos que calcularmos.

Converso de Nmeros Fracionrios da Base 2 para uma Base 10Fazendo a converso inversa, encontraremos: Com 5 algarismos fracionrios: Parte inteira: 11112 = 1510 Parte fracionria: 0,101002 = 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 + 0x2-4 + 0x2-5 = 0,5 + 0,125 = 0,62510 Com 10 algarismos fracionrios: Parte inteira: 11112 = 1510 Parte fracionria: 0,10100110012 = 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 + 0x2-4 + 0x2-5 + 1x2-6 + 1x2-7 + 0x2-8 + 0x2-9 + 1x2-10 = 1/2 + 1/8 + 1/64 + 1/128 + 1/1024 = 0,5 + 0,125 + 0,015625 + 0,0078125 + 0,0009765625 = 0,649414062510 Concluso podemos verificar que, quanto maior nmero de algarismos for considerado, melhor ser a aproximao.

Soma de Nmeros BinriosA adio binria realizada como a adio decimal. Se dois nmeros decimais 56719 e 31863, so adicionados, a soma 88582 obtida. Voc pode analisar os detalhes desta operao da seguinte maneira. Somando a primeira coluna, nmeros decimais 9 e 3, resulta o dgito 2 com um transporte de 1. O transporte ento somado prxima coluna. Adicionado segunda coluna, (1+1+6), resulta o nmero 8, sem transporte. Este processo continua at que todas a colunas (incluindo os transportes) tenham sido somadas. A soma representa o valor numrico das parcelas. Quando voc soma dois nmeros binrios, voc realiza a mesma operao. A tabela abaixo resume as quatro regras de adio com nmeros binrios.

REGRA 1 REGRA 2 REGRA 3 REGRA 4

BITS 0+0 0+1 1+0 1+1

SOMA 0 1 1 0

TRANSPORTE 0 0 0 1

VAI 1

Para ilustrar o processo de adio binria, vamos somar 1101 a 1101. Na primeira coluna, 1 mais 1 resulta 0 com um transporte de 1 para a segunda coluna. Isto concorda com a regra 4. Na segunda coluna, 0 mais 0 resulta 0 sem transporte. A este resultado, o transporte da primeira coluna somado. Assim 0 mais 1 resulta 1 sem transporte.

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Estas duas adies na segunda coluna do uma soma total de 1 com um transporte de 0. A Regra 2 foi usada para obter a soma. Na terceira coluna, a soma do transporte da segunda coluna, 0 somado ao 1 resulta 1 com um transporte de 0. O resultado 1 somado ao 1 restante e isto resulta uma soma da terceira coluna de 0 com um transporte de 1 para a coluna 4. Regras 1 e 4 foram usadas para obter a soma. Na coluna quatro, a soma do transporte da terceira coluna, 1 somado ao 1 resulta 0 com um transporte de 1. O resultado 0 somado ao 1 restante e isto resulta uma soma da quarta coluna de 1 com um transporte de 1 para a quinta coluna. Regras 4 e 1 foram usadas para obter a soma. Na quinta coluna, no h parcelas. Portanto, voc pode assumir a regra 3 e somar o transporte 1 a 0 para obter a soma 1. Assim, a soma 11012 mais 11012 igual a 110102. Voc pode verificar isto, convertendo os nmeros binrios para nmeros decimais.

Introduo CodificaoEquipamentos digitais, e alguns sistemas de computao tem seus dados de entrada e sada expressos em decimal, facilitando o trabalho do operador. Entretanto, esses dados so processados internamente em binrio, sendo a converso efetuada interna e automaticamente. Essa converso denominada de codificao. Existem alguns cdigos utilizados para esse fim. Entre eles destacaremos o BCD 8421. Cdigo BCD 8421 O cdigo BCD, do ingls Binary Coded Decimal Decimal Codificado em Binrio, o mais utilizado entre os cdigos existentes. Tendo como base a utilizao de 4 bits ou dgitos binrios para representar cada digito decimal. Desta forma h a possibilidade de representar 24 = 16 combinaes. Dessas 16 combinaes, so utilizadas apenas 10 ( correspondentes base 10 ).Dgitos Decimais 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 No so vlidos em BCD Cdigo BCD 8421 23 22 21 20 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

Os dgitos do cdigo BCD 8421 provem dos pesos posicionais do cdigo binrio puro, ou seja, referem-se s potncias de 2, como pode ser observado na tabela acima. Vejamos a representao de um nmero decimal no cdigo BCD 8421:

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Decimal Cdigo BCD 84214561(10) = ............. (BCD) 4(10) = 0100 (BCD) 5(10) = 0101 (BCD) 6(10) = 0110 (BCD) 1(10) = 0001 (BCD) Ento: 4561(10) = 0100 0101 0110 0001 (BCD) Quando da representao de qualquer nmero decimal em BCD, importante observar a separao dos bits em grupo de 4. Isto evita confundir o resultado com um nmero binrio puro, ou seja: 4561(10) = 0100 0101 0110 0001 (BCD) = 1000111010001(2) Veja que para um mesmo nmero decimal, os resultados em representaes binria e BCD so diferentes.

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