DualidadeProf. M.Sc. Fbio Francisco da Costa Fontes

Outubro - 2009

O problema DualCertas vezes estamos interessados em encontrar uma estimativa da soluo tima em vez de encontr-la, utilizando o mtodo Simplex. Isto pode ser obtido atravs da procura de valores limites inferiores (para maximizao) ou superiores (para minimizao).

O problema DualPor exemplo:Por tentativa podemos estabelecer solues viveis para os problemas a seguir:

O problema DualMin Z = 5x1 - 2x2Sujeito a: x1 3soluo (2,2) Z* 6 x2 4soluo (1,3) Z* -1 x1 + 2x2 9 soluo (3,2) Z* 11 x1 0 e x2 0

Max Z = 5x1 + 2x2Sujeito a: x1 3 soluo (2,2) Z* 14 x2 4 soluo (1,3) Z* 11 x1 + 2x2 9 soluo (3,2) Z* 19 x1 0 e x2 0

O problema Dual No caso maximizao, quando consideramos x1 = 2 e x2=2, o valor do limite inferior, Z = 14, fica automaticamente estabelecido, j que, como desejamos maximizar a funo objetivo, podemos garantir que a funo objetivo no ficar abaixo deste valor. No podemos garantir se existe uma soluo com um valor maior, porm menor no ser.

O problema DualNo caso da minimizao, quando x1 = 2 e x2 = 2, o valor do limite superior, Z = 6, fica estabelecido.

No podemos garantir que existe uma soluo onde o valor de Z seja menor, porm maior no ser.

O problema DualO ideal seria estabelecer um intervalo onde podssemos garantir que o nosso valor timo estivesse.

Ento vamos atravs do problema de maximizao tentar estabelecer um limite superior para a nossa soluo.

O problema DualMax Z = 5x1 + 2x2Sujeito a: x1 3 x2 4 x1 + 2x2 9 x1 0 e x2 0

Se multiplicarmos por 5 todos os valores da 3 restrio, no alteraramos a sua identidade e teriamos:

O problema Dual 5x1 + 10x2 45Como os coeficiente da restrio acima so maiores que os coeficientes da funo objetivo ento

5x1 + 2x2 5x1 + 10x2 45

Logo a funo objetivo no poder alcanar nenhum valor superior a 45

O problema DualConcluso 1: a multiplicao de uma restrio por um valor positivo pode nos ajudar a obter um limite superior para o nosso problema

O problema Dual Agora multiplicando a primeira restrio por 6 e a segunda por 3, e somando os resultados.

6x1 18 + 3x2 12 6x1 + 3x2 30

Novamente os coeficiente da restrio acima so maiores que os coeficientes da funo objetivo ento

5x1 + 2x2 6x1 + 3x2 30

Logo a funo objetivo no poder alcanar nenhum valor superior a 30 (novo limite superior)

O problema Dual Concluso 2:

Multiplicar cada restrio por uma constante inteira positiva e somar as novas restries pode nos ajudar a obter um limite superior para o nosso problema

O problema Dual Generalizando temos:Max Z = 5x1 + 2x2Sujeito a: x1 3 x (y1) y1x1 3y1 x2 4 x (y2) y2x2 4y2 x1 + 2x2 9 x (y3) y3x1 + 2y3x2 9y3 x1 0 e x2 0Aps multiplicarmos cada restrio por uma constante positiva, somamos as restries:

O problema Dualy1x1 +y2x2 + y3x1 + 2y3x2 3y1 +4y2 + 9y3(y1 + y3)x1 +(y2 + 2y3)x2 3y1 +4y2 + 9y3 Como devemos garantir que os coeficientes da restrio acima so maiores que o coeficientes da funo objetivo, ento temos:Z = 5x1 + 2x2Logo: y1 + y3 5 y2 + 2y3 2

O problema DualPortanto, se encontrarmos um conjunto de valores {y1, y2, y3} (constantes no negativos) que satisfaam o conjunto de inequaes acima, poderamos substituir estes valores no lado esquerdo da inequao e estabelecer um limite superior para o nosso problema.

O que desejamos na realidade estabelecer o menor valor possvel para o nosso limite superior. Isto matematicamente pode ser representado por:

O problema Dual

Min 3y1 +4y2 + 9y3 S.a: y1 + y3 5 y2 + 2y3 2y1, y2 , y3 0

O problema Dual De modo geral, podemos dizer que a todo problema de maximizao de programao linear na forma padro corresponde um problema de minimizao denominado Problema Dual PRIMALDUALMax Z = 5x1 + 2x2Sujeito a: x1 3x2 4 x1 + 2x2 9 x1 0 e x2 0Min 3y1 +4y2 + 9y3 S.a: y1 + y3 5 y2 + 2y3 2y1, y2 , y3 0

O problema DualDe uma forma geral:PrimalDual

Max Min

O problema DualExiste uma srie de relaes entre o Primal e o Dual, entre as quais podemos citar:Os termos constantes da restries do Dual so os coeficientes das variveis da funo objetivo do Primal;Os coeficientes das variveis da funo objetivo do Dual so os termos constantes das restries do Primal;As restries do Dual so do tipo maior ou igual, ao passo que as do Primal so do tipo menor ou igual (na forma padro);O nmero de variveis do Dual igual ao nmero de restries do Primal;O nmero de restries do Dual igual ao nmero de variveis do PrimalA matriz dos coeficientes do Dual a transposta da matriz dos coeficientes do Primal

O problema Dual

Existem algumas razes parra o estudo dos problemas duais. A primeira e mais importante so as interpretaes econmicas que podemos obter dos valores das varveis do Dual na soluo tima, tais como variaes marginais. A segunda est ligada ao nmero de restries. Computacionalmente falando , algumas vezes, mais eficiente resolver o problema Dual.

O problema DualTeorema IO dual do dual o primal.

Teorema IISe a k-sima restrio do primal uma igualdade, ento a k-sima varivel do dual (yk) sem restrio de sinal, isto , pode ter valor positivo, zero ou negativo.

Teorema IIISe a p-sima varivel do primal sem restrio de sinal, ento a p-sima restrio do dual uma igualdade.

O problema DualPropriedade Fraca da DualidadeSe o problema Primal e o Dual tiverem solues compatveis finitas, ento Z D para qualquer soluo compatvel do Primal e qualquer soluo compatvel do Dual.

Matematicamente

O problema DualPropriedade Forte da DualidadeSe tanto o Primal quanto o Dual tiverem solues compatveis finitas, ento existe uma soluo tima finita para cada um dos problemas, tal que Z* = D*Matematicamente

O problema DualTeorema da Dualidade

Dual

PrimalTem Solues ViveisSem Solues ViveistimaIlimitadaInvivelTem Solues ViveistimaPossvelImpossvelImpossvelIlimitadaImpossvelImpossvelPossvelSem Solues ViveisInvivelImpossvelPossvelPossvel

ExerccioDado o problema abaixo, ache o seu dual e resolva o dual atravs do mtodo tablau-simplex (use o mtodo da funo objetivo artificial).Max Z = 5x1 + 6x2 sa: x1 + 2x2 14 x1 + x2 9 7x1 + 4x2 56 x1 e x2 0

RefernciasLACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decises: modelagem em Excel. So Paulo: Campus, 2006.