aula18 escmeiosporosos pit

1

Escoamento em Escoamento em leitos porosos leitos porosos (fixos e móveis)(fixos e móveis)

• Velocidade mínima de fluidização

• Equação de Ergun

OPERAÇÕES UNITÁRIAS I OPERAÇÕES UNITÁRIAS I

• Lei de Darcy

• Porosidade, Diâmetro hidráulico

Leitos fixos

Leitos fluidizados

Transporte pneumático

• Equação de Carman-Kozeny

Lei de DarcyLei de Darcy

Henry Darcy em 1856 demonstrou que a velocidade média (v) de um fluido newtoniano quando escoa em regime laminar dentro de um leito poroso é proporcional ao gradiente de pressão e inversamente proporcional à distância percorrida.

L

PKv

)(

v = velocidade média do fluido (fora do leito),

K = constante que depende das propriedades físicas do leito e do fluído.

(-P) = queda de pressão através do leito;

L = percurso realizado no leito poroso;

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Henry_Darcy.jpg

3

L

PBv

)( A equação de Darcy

também pode ser escrita da seguinte maneira:

B = coeficiente de permeabilidade;depende apenas das propriedades físicas do leito poroso

Lei de DarcyLei de Darcy

A

Q

Adt

dVv

v = velocidade superficial do fluido(antes ou depois de escoar no leito):

μ = viscosidade do fluído.

Equação de PoiseuilleEquação de PoiseuilleExplica o escoamento em regime laminar de um fluido newtoniano dentro de um tubo.

2

32

D

v

L

P

L

PDv

)(

32

2 Colocando a equação em termos

da velocidade média no tubo:

Onde:∆p é a pressão (N/m2)v é a velocidade no tubo (m/s) D é o diâmetro (m)L é o comprimento (m)µ é a viscosidade (Pa.s)

5

L

PBv

tortuosocanal

)(

Comparando as equações:Comparando as equações:

L

PDvtubo

)(

32

2

k

DB

2

Nesta expressão o diâmetro usado deve ser o diâmetro equivalente.

Pode-se pensar em uma expressão para a porosidade:

Darcy modificadaPoiseuille

Quais são as variáveis que atuam no escoamento de um fluido newtoniano dentro de um leito de partículas sólidas rígidas?

Precisamos de equações para descrever como varia a pressão, com a distância percorrida (altura do leito) e a velocidade do fluido, em função de:porosidade diâmetro de partícula, primeiro em leitos fixos e depois em leitos móveis (ou fluidizados)

Considerações

• Um leito de percurso curto (L pequeno)

• Usar a pressão piezométrica que incorpora o efeito da pressão (p) e da altura (z) numa variável só: P=p+gz.

• As partículas se distribuem homogeneamente, o que permite a formação de canais de escoamento contínuos e uniformes.

• O leito pode ser modelado como um conjunto de canais tortuosos em paralelo.

• Que o fluxo é laminar (f F = 16/Re ou f D = 64/Re).

8

PorosidadePorosidade

Em um leito poroso existem vazios (zonas sem partículas).

leitodototalVolume

vazioVolume

Fluido

Leito poroso

v

vc LL’

A porosidade () é definida como a razão entre o volume do leito que não está ocupado com material sólido e o volume total do leito.

9

Fluxo através de um leito de partículas

Vazio Sólido

Fração

Volume

Massa

ε ε)(1

bb )ρ(SLε)(1 )(SLε)(1 b

fb )ρ(SLε)(1 )(SLε b

10

Dedução de fórmula para calcular a porosidade a partir da densidade do leito e dos materiais:

)(SLV bT

T

T

V

mB

vs )1(B

vbsb )(SLε)(SLε)1(m T

)(B svs sv

s

B

11

Volumes no leito

leitodovolumeSLb

sólidasparticulaspelasocupadovolume)1( SLbfluxoparadisponívelvolumeSLb

Volume total do leito

Leito particulado

Conjunto de partículas

Volume = soma dos volumes unitários

Volume vazio

Volume do sólido

12

A vazão fora do leito é igual a vazão dentro do leito:

SuSu 0Balanço

de massa

Velocidade superficial e velocidade média no leito

lsuperficiavelocidade0 u

0uu

5,0

leitono médiavelocidadeu

Quando o leito não tem partículas: 1

02 uu Se a porosidade for 50%:

uu 0

0u

u

13

Diâmetro equivalente

Como não se trata do escoamento em uma tubulação cilíndrica devemos usar o conceito de diâmetro equivalente e raio hidráulico.

úmidoperimetro

fluxodeltransversaárea44 Heq RD

líquidosólidoatritodeárea

fluxooparadisponívelvolume4eqD

Multiplicando por L/L

14


líquidosólidoatritodeárea

fluxooparadisponívelvolume4eqD

fluxoparadisponívelvolumeSLb

sólidasparticulaspelasocupadovolume)1( SLb

sb

beq aSL

SLD

14

sólidode volume

sólidodeárea sa

s

eq aD

14


s

eq aD

14

pp

ps DD

Da

63

61

2

Para uma esfera:

peq DD

16

4

as é a área superficial por unidade de volume.

P

Ps V

Aa

Leito particulado fixo

Como calculamos a perda de pressão no leito?

fff

uff

Ev

gzp

Wv

gzp

22

22

21

11 ˆ

24

2v

D

Lf

PF

f

Para o escoamento de um canal tortuoso temos:

Usamos o Balanço de Energia Mecânica:

f

F Dvf

16

17

L

PBv

tortuosocanal

)(

Comparando as equações

L

PDvtubo

)(

32

2

k

DB

2

264

2v

D

L

vD

P

ff

vD

LP

ff

232

L

PDv

tortuosocanal

)(

32

2

18

Substituindo termos:

L

PDv

tortuosocanal

)(

32

1 2

0u

u

peq DD

16

4

lsuperficiavelocidade0 u

leitododentro médiavelocidadeu

L

PDu po

)(

)1(6

4

32

12

L

PDu p

o )(

)1(72 2

32

3

2

2

172

p

o

D

Lup

o

tortuosocanal

uv

Fluxo Laminar

3

2

20 172

pD

Lup

Como a equação não considera o caminho tortuoso do fluido dentro do leito, os dados experimentais revelam que o valor da constante é maior: 150.

3

2

20 1150

pD

Lup

f

fpp

uDRe

)1(0

Equação de Blake-Kozeny, válida para <0.5 e Rep<10.

Reynolds de partícula:

20

2kf

p

1

Re

kf

21

Regimes de escoamentoRegimes de escoamento

f

eqffp

dv

..

Re

Número de Reynolds da partícula:

Definição do regime do fluxo do fluído:

Laminar quando Rep < 40

Turbulento quando Rep > 40

f

fpp

uDRe

0

1

f

fpp

uDRe

)1(0

22

Fluxo Turbulento

Para o regime turbulento pode propor-se:

3

20 13

p

f

D

Lukp

Experimentalmente: 000,1pRe

Equação de Burke-Plummer

3

20 175.1

p

f

D

Lup

24

2u

D

Lk

P

f

kf

0u

u ph DD

16

4

2)1(

4

12

o

pf

u

D

Lk

P

23

Equação geral

Equação de Ergun

75.1150

1

3

20

p

p

ReL

D

u

p

No escoamento de gases se usa o valor médio da densidade no leito (ρm) e a vazão mássica (G=ρmū).

3

20

3

2

20 175.11150

p

bf

p

b

D

Lu

D

Lup

75.1150

1

3

2

p

pf

ReL

D

G

p

24

Escoamento de gases em leitos porosos fixos vG

25

Formas IrregularesNem todas as partículas tem forma esférica. Na indústria se usam partículas feitas especificamente para aumentar a área superficial para favorecer o contato entre fases na troca de massa e/ou calor.

partículadareal

partículadareal

eequivalentesféricap

partícula

esferas

V

S

D

a

a 6

Dp é o diâmetro da esfera do mesmo volume da partícula.

A partícula irregular é tratada como se fosse uma esfera, introduzindo o fator denominado esfericidade s que permite calcular um diâmetro equivalente.

26

Exemplo: Cubo

3

26

aV

aS

Qual é a esfericidade da esfera de volume a3?

33

6 pDa

313

13132

6/6

/)6( a

as

realpartícula

eequivalentesfera

VS

ass

aDp316 81.0 s

aDa

ps

31

31

33

6

66

aa

a

V

S 663

2

partículareal

partículareal Diâmetro equivalente da esfera de volume a3?

ps D

a6

131

32

6 aas

27

Para uma partícula esférica:

22peq dd deq = diâmetro equivalente

dp = diâmetro da partícula

Superfície específica da partículaSuperfície específica da partícula

2

2

.

.

p

eq

d

d

Para partículas quase esféricas do mesmo volume: p

eq

A

d 2.

pp

p

dV

A 6

p

pS V

Aa

partículadavolume

partículadaárea

deesfericida

28

Partículas não esféricas

A equação de Ergun inclui a esfericidade(multiplicando ao diâmetro de partícula):

3

20

3

2

220 175.11150

ps

b

ps

b

D

Lu

D

Lup

3

20

3

2

20 175.11150

p

bf

p

b

D

Lu

D

Lup

29

Resposta ao fluxo superficial

O fluido não fornece força de arraste suficiente para se sobrepor a

gravidade e fazer que as partículas se movimentem: Leito fixo.

A velocidade alta as forças de arraste e flotação superam a força da

gravidade e o leito se expande: Leito fluidizado.

Baixa velocidade

Alta Velocidade

p e o aumento da velocidade superficial u0

Enquanto se estabelece a fluidização o p cresce, depois se mantém constante.

Comprimento do leito quando aumenta u0

A altura (L) é constante até que se atinge o estado de fluidização depois começa a crescer.

30

Resposta a Velocidade Superficial

31

Quando inicia-se a fluidização, há um aumento da porosidade do leito e da altura também. Essa relação é da pela seguinte expressão:

Sem fluxo Com fluxo

L1

L2

1

2

)1()1( 2211 LSLS

Altura do leito porosoAltura do leito poroso

32

Velocidade do fluido no canalVelocidade do fluido no canal

Considerando área de fluxo igual, chega-se à equação da velocidade de circulação

do fluído através do canal (vc):

vSSvc .

v = velocidade do fluído livre de partículas;

L’= deslocamento do fluído no interior do leito

L = altura do leito

Fluido

Leito poroso

v

vc LL’.'

L

Lvvc

v

vc

33

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO

A fluidização ocorre quando um fluxo de fluido ascendente através de um leito de partículas adquire velocidade suficiente para suportar as partículas, porém sem arrastá-las junto com o fluido.

Sem fluxo Com fluxo

L1

L2

1

2

O leito assume então o aspecto de um líquido em ebulição e devido a isso surgiu o termo “fluidizado”

34

FINALIDADEFINALIDADE

A fluidização é empregada em:

• Secagem• Mistura • Revestimento de partículas • Aglomeração de pós • Aquecimento e resfriamento

de sólidos;• Congelamento.

Elevados coeficientes de transferência de calor e massa; Boa mistura dos sólidos; A área superficial das partículas sólidas fica

completamente disponível para a transferência.

Vantagens da Fluidização:

35

EXEMPLO: resfriador de sólidos

Entrada de sólidos quentes

Entrada de ar

Entrada de ar

Leito fluidizado

Água fria

Saída de ar

Saída de sólidos frios distribuidor

36

TIPOS DE FLUIDIZAÇÃOTIPOS DE FLUIDIZAÇÃO

1- Fluidização particulada:

Ocorre quando a densidade das partículas é parecida com a do fluido e o diâmetro das partículas é pequeno.

Observe como a presença do leito fluidizado melhora a distribuição do calor de um jato de gás quente no reator

Sem partículas Com partículas

37

2. Fluidização agregativa: Ocorre quando as densidades das partículas e do fluído são muito diferentes ou quando o diâmetro das partículas é grande.

38

Equação de ErgunEquação de Ergun

Pode ser utilizada para ambos os regimes, laminar e turbulento:

A equação de Ergun descreve a variação de pressão por unidade de comprimento do leito fluidizado.

23232

2 )1(75,1

)1(150

)(v

dv

dL

P

pp

f

pp

38

39

Velocidade mínima de fluidizaçãoVelocidade mínima de fluidização

Fg

Fp

O leito somente fluidizará a partir de um certo valor de velocidade do fluido ascendente que seria a velocidade mínima de fluidização (vmf).

Quando temos esta vmf , a força de pressão do fluido (Fp) se iguala a força peso do leito(Fg).

Logo,

(Fp) = (Fg) (Fp) = (Fg)

40


Fg

Fp gLSFg p )1.(.).(

SPFp ).( Sabe-se que

Assim, quando Fp = Fg

SPgLSp ).()1.(.).(

S=área transversal da coluna que contém as partículas;

p=densidade da partícula

gL

Pp )1)((

L=altura do leito

gSLF pg )1(

gSLFb )1(

41


Regime laminar

A parte final da equação de Ergun é insignificante em relação à primeira, logo temos:

mfvdpL

P23

2)1(150

)(

23

.)1(

)(

150

1dpgv p

mf

mfmf

2

3232

2 )1(75,1

)1(150

)(mf

p

fmf

p

vdp

vdpL

P

mfg

L

Pp )1)((

Considerando

1 p

42


Regime turbulento

O termo de velocidade ao quadrado é o único relevante:

23

)1(75,1

)(v

dpL

P

2/1

32 )(756,0

dpgv mf

pmf

2

3232

2 )1(75,1

)1(150

)(mf

p

fmf

p

vdp

vdpL

P

1 p mfg

L

Pp )1)((

Considerando

43

OA: Aumento da velocidade e da queda de pressão do fluído; AB: O leito está fluidizado; BC: Com o aumento da velocidade, há pouca variação na pressão de maneira instantânea, devido à mudança repentina da porosidade do leito; CD: A velocidade varia linearmente com a queda de pressão até chegar no ponto D. Após o ponto D, as partículas começam a ser carregadas pelo fluído e perde-se a funcionalidade do sistema.

vmf = velocidade mínima de fluidização

va = velocidade de arraste

Leito de ebulição (ou fluidização descontínua)

Transporte pneumático

Etapas da fluidizaçãoEtapas da fluidização

44

Para determiná-la, usam-se as seguintes relações:

mfleito

sólidaspartículasdetotalmfleitomf V

VV

14

1. 3 mfp

Experimentalmente:

Porosidade mínima de fluidizaçãoPorosidade mínima de fluidização

45

Distribuidor do fluidoDistribuidor do fluidoNuma boa distribuição, a perda de carga na placa deve ser: (a) aproximadamente 10% em relação a do leito, ou;(b) 35 cm ca, ou; Escolher sempre o maior valor.

Placa perfurada Desenho de chapéu

Entalhes horizontais contínuos

Desenho de edifício

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