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ÁLGEBRA LINEAR
Espaços Vetoriais
Prof. Susie C. Keller
Introdução
Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas, oUS Columbia partiu majestosamente de sua plataformade lançamento numa manhã fresca num domingo deabril de 1981, em Palm.
Produto de dez anos de intensa pesquisa edesenvolvimento, o primeiro ônibus espacial dos EUAfoi uma vitória da engenharia de controle de sistemas,envolvendo muitas áreas da engenharia - aeronáutica,química, elétrica, hidráulica e mecânica.
Introdução Os sistemas de controle do ônibus espacial são
absolutamente críticos para o vôo. Como o ônibusespacial é uma aeronave instável, ele requer umconstante monitoramento por computador durante ovôo atmosférico. O sistema de controle de vôo enviauma seqüência de comandos para as superfícies decontrole aerodinâmico e 44 jatos de propulsão.
Este esquema é um sistema fechado de feedback típicoque controla a inclinação do ônibus espacial durante ovôo. O símbolo em destaque é onde os sinais dosdiversos sensores são somados aos sinais docomputador e fluem para o controlador.
Introdução
Introdução
Matematicamente, os sinais de entrada e saída de um sistema de engenharia são funções.
É importante para as aplicações que essas funções possam ser somadas e multiplicadas por escalares.
Essas operações em funções têm propriedades algébricas que são completamente análogas às operações de soma de vetor e multiplicação de vetor por escalar no IRn.
Introdução
Por este motivo, o conjunto de todas as entradas possíveis (funções) é chamado de um espaço vetorial.
A fundamentação matemática para a engenharia de sistemas repousa sobre os espaços vetoriais de funções, portanto precisamos entender a teoria de vetores do IRn
de modo a incluir as funções.
(Texto extraído e adaptado de Livro “Álgebra Linear e suas aplicações”, David C. Lay, 2ªedição. LTC.).
Introdução
Veremos hoje:
O que são Espaços Vetoriais: Propriedades dos Espaços Vetoriais,
Introdução
O conjuntoIR2 = {(x,y) / x, y IR}
é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano.
Um par ordenado (x,y) pode representar: um ponto, x e y são coordenadas; um vetor, (x,y) representam a extremidade do vetor.
Introdução
Essa idéia pode ser estendida para o IR3 que representa o espaço tridimensional.
Podemos ter espaços n-dimensionais formados por e-nuplas de reais, IR4, IR5..., IRn, porém perde-se a interpretação geométrica.
O espaço n-dimensional é definido porIRn = {(x1,x2,...,xn) / xi IR}
Introdução
Vamos considerar agora dois conjuntos: IRn
Matrizes M(m,n) ou Mmxn
Nesses conjuntos estão definidas as operações: Soma e Multiplicação por escalar,
Assim, esses conjuntos possuem uma série de propriedades em comum.
Introdução Se u, v e w IRn, se , IR e A, B, C M(m,n),
temos:
A) Em relação à Adição valem as propriedades:
1) (u + v) + w = u + (v + w)(A + B) + C = A + (B + C)
2) u + v = v + uA + B = B + A
3) u + 0 = u A + 0 = A
Associativa da Adição
Comutativa da Adição
Existência do Elemento Neutro
4) u + (-u) = 0 A + (-A) = 0
Por exemplo se u = (x1, x2, ..., xn) então o vetor simétrico é -u = (-x1, -x2, ..., -xn) e para A temos -A.
Introdução
O elemento zero, 0 , será um vetor na primeira igualdade e uma matriz nula na segunda igualdade.
Existência do Elemento Simétrico
B) Em relação à Multiplicação por Escalar valem as propriedades:
1) ()u = (u)()A = (A)
2) ( + )u = u + u( + )A = A + A
3) (u + v) = u + v(A + B) = A + B
4) 1u = u1A = A
Introdução
Associativa em relação ao Escalar
Distributiva em relação ao Escalar
Distributiva em relação ao Vetor (ou Matriz)
Existência do Elemento Neutro
Introdução Os conjuntos IRn e M(m,n) munidos desse
par de operações apresentam uma “estrutura” comum em relação a estas operações.
Existem outros conjuntos numéricos que também apresentam essa “estrutura” comum. Esses conjuntos são chamados ESPAÇOS VETORIAIS.
Espaços Vetoriais
Espaço Vetorial Real Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão
definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é:
u, v V, u + v V IR, u V, u V
O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real se forem verificados os seguinte axiomas:
Espaços Vetoriais
Em relação à Adição:
A1) (u + v) + w = u + (v + w), u, v, w V
A2) u + v = v + u, u, v V
A3) 0 V, u V, u + 0 = u
A4) u V, (-u) V, u + (-u) = 0
Espaços Vetoriais
Em relação à Multiplicação por Escalar:
M1) ()u = (u)
M2) ( + )u = u + u
M3) (u + v) = u + v
M4) 1u = uu, v V e , IR
Espaços Vetoriais
Nota: Um axioma é uma hipótese inicial do qual outros
enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um
enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal.
Espaços Vetoriais
Observações: Os elementos de um espaço vetorial são chamados
de vetores, independentemente de sua natureza (vetores, matrizes, Rn, polinômios...);
Se considerarmos conjuntos de nº complexos, definimos um espaço vetorial complexo.
Espaços Vetoriais
Exemplo 1: O conjunto V = IR2 = {(x, y)/ x, y IR} é um espaço
vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)(x, y) = (x, y)
Essas operações são denominadas operações usuais.
Espaços VetoriaisPara verificar os oito axiomas do espaço vetorial, sejam u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w = (x3, y3):
Em relação à Adição:
Espaços Vetoriais
Espaços Vetoriais
Espaços Vetoriais
Em relação à Multiplicação por Escalar
Espaços Vetoriais
Espaços Vetoriais
Espaços Vetoriais
Espaços Vetoriais Exemplo 2:
Podemos ter as operações de soma e multiplicação por escalar redefinidas e ainda assim o conjunto ser um Espaço Vetorial:
O conjunto V = {(x, x2)/x IR} com as operações definidas por:
é um espaço vetorial sobre IR.
22
21
221
2221
21
221
)(
2)(
xxxxxxxxxx
Espaços Vetoriais
Contra - exemplo: O conjunto IR2 = {(a, b)/a, b IR} não é um espaço
vetorial em relação às operações assim definidas:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)k(a, b) = (ka, b), k IR
A Adição aqui definida é a usual, portanto os axiomas A1, A2, A3, e A4 são satisfeitos como visto no Exemplo1. Já a Multiplicação por escalar é redefinida, o que ocasiona o problema.
Sejam u = (x1, y1), v = (x2, y2) e , IR:
Este axioma se verifica!!!
Espaços Vetoriais
Espaços Vetoriais
Como pode-se ver
( + )u ≠ u + u
Assim M2 não se verifica e o exemplo não é um espaço vetorial.
Espaços VetoriaisPropriedades dos Espaços Vetoriais
I) Existe um único vetor nulo em V.II) Cada vetor u V admite apenas um simétrico -u
V.III) Para quaisquer u, v, w V, se u + w = v + w,
então u = v.IV) Qualquer que seja v V, tem-se: -(-v) = v, isto é, o
oposto de –v é v.V) Quaisquer que sejam u, v V, existe um e somente
um x, tal que u + x = v.
Espaços Vetoriais
VI) Qualquer que seja v V, 0v = 0. O primeiro zero é um número real e o segundo zero é um vetor nulo.
VII) Qualquer que seja k IR, k0 = 0.VIII) kv = 0, implica k = 0 ou v = 0.IX) Qualquer que seja v V, (-1)v = -v.X) Quaisquer que sejam v V e k IR,
(-k)v = k(-v) = -(kv).