7aula

Janeiro de 2012

CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS I: Papel Milimetrado

Objetivos: Construção de tabelas e gráficos, escalas especiais para construção de

gráficos e ajuste de curvas à dados experimentais.

7.1 Introdução

7.1.1 Construção de Tabelas e Gráficos

A apresentação de dados experimentais em forma de gráficos é uma técnica usada em todas as áreas

do conhecimento. A análise gráfica é muito útil, pois permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege o

fenômeno através de uma visualização imediata do comportamento de suas variáveis.

Após a realização de um experimento, geralmente temos em mãos um conjunto de dados que podem

ser apresentados em tabelas e/ou gráficos. As tabelas e os gráficos devem ser construídos na forma mais

clara possível para quem lê o trabalho de forma que se tenha uma interpretação correta dos dados.

Na construção de gráficos devemos obedecer às seguintes regras gerais:

a) Escolha a área do papel com tamanho adequado;

b) Os eixos devem ser desenhados claramente. A variável dependente geralmente estará no eixo

vertical, eixo y, e a variável independente no eixo horizontal, eixo x;

c) Marque nos eixos as escalas, escolhendo divisões que resultem em fácil leitura de valores

intermediários (por exemplo, divida de 2 em 2 e não de 7,7 em 7,7). Se possível, cada um dos

eixos deve começar em zero;

d) Escolher as escalas de maneira a não obter um gráfico mal dimensionado;

e) Colocar título e comentários → é conveniente que uma pessoa observando o gráfico, possa

entender do que se trata este gráfico, sem recorrer ao texto.

f) Colocar a grandeza a ser representada e sua unidade, em cada eixo coordenado.

g) Marque cada ponto do gráfico cuidadosamente e claramente, escolhendo para isto um símbolo

adequado e de tamanho facilmente visível (por exemplo, um círculo ou um quadrinho com um

ponto no centro).

Caderno de Laboratório de Física 27

7.1.2 Construção de uma Escala Linear

Para construir uma escala linear em um certo segmento de reta (chamado de eixo), deve-se conhecer,

inicialmente o tamanho deste segmento (L). Deve-se conhecer a diferença entre os valores máximo e mínimo

da grandeza medida. Essa diferença será representada por “D”. Dividindo-se “L” por “D”, obtém-se uma

certa constante denominada de módulo da escala (Mod).

Por exemplo, considere a tabela a seguir para ser marcada em uma escala linear de 18 cm de

comprimento.

Força (N) 4 9 20 26 32

O intervalo das medidas é D = 32 – 4 = 28 N e o comprimento do eixo é L = 18 cm. Portanto, o

modulo da escala, é dado por: Mod = 18/28 = 0,6428 cm/N. Este resultado indica que cada unidade da força

será representada por um comprimento igual a 0,6428 cm. A escala deve ser construída, então, com

espaçamentos iguais de 0,6428 cm. Como se percebe, o módulo da escala acima é inconveniente para se

trabalhar e, portanto, adota-se um número melhor que facilite as marcações. Na escolha deste melhor número

para representar o módulo Mod, o arredondamento deverá ser sempre para menos e deve ser tal que seja

utilizado pelo menos 2/3 do comprimento L ( por razões estéticas). No exemplo acima, um número

conveniente para representar o módulo da escala seria 0,5 cm/N. Escalas do tipo 1:3, 1:7 e 1:9 devem ser

evitadas, pois dificultam a marcação de submúltiplos dos valores da escala.

Em tabelas onde o valor mínimo é próximo de zero, como no exemplo acima, é aconselhável incluir

o zero para efeito de cálculo do módulo Mod. Isto pode ser feito quando for necessária a apresentação da

origem da escala. Nestes casos, divide-se comprimento disponível L pelo valor máximo de grandeza: Mod =

18/32 = 0,5625 cm/N. Com d determinação do módulo, obtêm-se os comprimentos que representarão cada

uma das medidas da tabela.

No exemplo anterior considerando-se o módulo como 0,5cm/N, tem-se a correlação dada pela tabela

7.1.

Força (N) 4 9 20 26 32

Distância (cm) 2,0 4,5 10,0 13,0 16,0

Tabela 7.1 – Comprimento em cm que representa cada valor de Força.

Note que para obter o ponto correspondente à força, basta multiplicar o Mod pelo valor da força. É

tecnicamente errado, ao se montar o eixo da escala, representar nela as medidas da tabela. O que se usa fazer

é representar no eixo da escala pontos igualmente espaçados, marcando e destacando cada um deles. Indica-

se, abaixo de cada ponto, o valor respectivo da grandeza, sem, no entanto, sobrecarregar a escala com

excesso de números. Em suma, deve-se sempre observar o aspecto da escala, procurando construí-la de

modo a se ter uma boa visualização de seus valores.

28 Caderno de Laboratório de Física

7.1.3 Escalas Especiais

Em alguns casos a escolha de uma escala inadequada na construção de um gráfico, pode indicar,

visualmente, uma informação confusa sobre o experimento. Veja o exercício 1.

7.1.4 Ajuste de curvas a dados experimentais – Método dos Mínimos Quadrados.

Consideremos duas grandezas que podem ser relacionadas, teoricamente, por uma função do 1o grau,

cuja representação gráfica é uma reta.

Quando determinamos experimentalmente os dados (os quais estão sujeitos a erros de medidas) e

representamos as coordenadas cartesianas (x,y) no gráfico, verificamos que geralmente, os pontos não estão

perfeitamente alinhados, então, o nosso problema passa a ser o de determinar a equação, isto é, os

coeficientes angular e linear da melhor reta que se ajusta ao conjunto de dados experimentais.

Uma das maneiras de encontrar esta reta pode ser “a olho”. Neste método o observador deverá

ajustar a reta aos pontos a partir da observação visual. Este procedimento tem a desvantagem de

observadores distintos obterem retas com coeficientes angulares e lineares diferentes, já que a escolha é

subjetiva devida a interpretação de cada um.

Para evitar o critério individual na determinação da reta, torna-se necessário encontrar

matematicamente a “melhor reta ajustada”. Isto pode ser feito com o Método dos Mínimos Quadrados, no

qual podemos encontrar os coeficientes a e b de uma reta (y = ax +b) que se ajusta a N pontos

experimentais. Os coeficientes desta reta são:

2 2

2

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

i i i i

i i

i i i i i

i i

N x y x ya

N x x

y x x y xb

N x x

Para exemplificar o uso do Método dos Mínimos Quadrados, resolva o exercício 3.

7.2 Material Utilizado

a) Régua milimetrada;

b) Lápis ou lapiseira;

c) Borracha;

d) Calculadora;

e) Papel milimetrado

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7.3 Exercícios

1. Considere um carro inicialmente em repouso, partindo da posição inicial S0 = 500m, com uma

aceleração constante de 2 m/s2 (MRUV). Neste caso, sua equação horária será:

2 2

0

1500

2S S at S t

Obtendo o valor da posição para cada valor do tempo indicado tem-se a seguinte tabela:

Tempo t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Posição

S(cm) 500 501 504 509 516 525 536 549 564 581 600

Tabela 7.2 – Tempo x Posição.

Com os dados da tabela 7.2 foi construído o gráfico S x t, em duas escalas diferentes, indicados na

figura 7.1.

0 2 4 6 8 10

0

200

400

600

800

1000

S(m)

t(s) 0 2 4 6 8 10

500

520

540

560

580

600

S(m)

t(s)

Figura 7.1 – Gráficos S x t – Escolha de uma escala adequada.

a) Em qual dos dois gráficos (os dois estão corretos) se observa melhor o resultado esperado?

Justifique sua resposta.

2. Considere que a população de uma região varie linearmente conforme a função P(t) = 200t, onde

t é dado em anos. Construa, num mesmo papel milimetrado, dois gráficos Pxt em escalas

diferentes, de maneira que em um deles a população aparentemente aumente rapidamente e no

outro ela aumente lentamente.

3. Represente no gráfico y x x os pontos da tabela 7.3.

X(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y(m) 10 14 17 18 19 20 25 26 27 31

Tabela 7.3 – Y versus X

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a) Ajuste uma reta “a olho” aos pontos do gráfico e determine os coeficientes a e b desta. Compare

os valores encontrados com os de outros alunos.

b) Aplicando o Método dos Mínimos quadrados, determine a equação da reta que melhor se ajusta

aos pontos do gráfico. Represente esta reta no gráfico e compare com a reta ajustada “a olho”.