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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1

Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 03

Fatoração. Conteúdo

4. Introdução – Parte 4 ............................................................................................................. 2

4.1. Fatoração ........................................................................................................................ 2

4.1.1. Números Primos e Números Compostos ............................................................ 2

4.1.2. Fatoração em Números Primos .............................................................................. 3

4.1.3. Máximo Divisor Comum (MDC) .............................................................................. 7

4.1.4. Mínimo Múltiplo Comum (mmc) ........................................................................... 10

4.1.5. Números Primos Entre Si ........................................................................................ 13

4.2. Função Distributiva ....................................................................................................... 14

4.2.1. Distribuindo Termos Individuais .......................................................................... 14

4.2.2. Distribuindo Binômios .............................................................................................. 15

4.2.3. Distribuindo Polinômios ........................................................................................... 15

4.2.4. Algumas Distribuições Especiais .......................................................................... 16

4.2.5. Triângulo de Pascal ................................................................................................... 18

4.3. Memorize para a prova ................................................................................................ 21

4.4. Exercícios de Fixação .................................................................................................... 25

4.5. Gabarito ............................................................................................................................. 32

4.6. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos ............................................... 33

Bibliografia ..................................................................................................................................... 62



4. Introdução – Parte 4

4.1. Fatoração

4.1.1. Números Primos e Números Compostos

Números primos são números inteiros, maiores que o número 1 (um), que sãodivisíveis apenas por eles mesmos e por 1 (um).

O primeiro e menor número primo é o 2 (dois), que é o único número primoque é par. E há uma lógica nisso, não? Se houvesse outro número primo maiorque 2 que fosse par, ele seria divisível por 2 (todo número par é divisível por2), e, consequentemente, não seria mais primo, pois não se enquadraria nadefinição. Esse número seria divisível, pelo menos, por ele mesmo, por 2 e por1. Entendeu? Veja:

4 é o primeiro número par após o 2. 4 é divisível por 4, 2 e 1 e não pode serprimo.

Os números primos menores que 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. Os números inteiros maiores que 1 (um) e que não são números primos, sãodenominados números compostos. Esses números compostos são divididos emnúmeros primos que se multiplicam entre si, ou seja, qualquer númerocomposto pode ser escrito como uma multiplicação de números primos, que éa nossa famosa “fatoração”. Há que se ressaltar que cada fatoração emnúmeros primos é única. Exemplos: 4 = 2 x 2 = 22

6 = 2 x 38 = 2 x 2 x 2 = 23

9 = 3 x 3 = 32

10 = 2 x 5100 = 2 x 2 x 5 x 5 = 22 x 52

324 = 3 x 3 x 3 x 3 x 2 x 2 = 34 x 22

510 = 2 x 3 x 5 x 17

Memorize para a prova:

Números primos: são números inteiros, maiores que o número 1 (um), que são divisíveis apenas por eles mesmo e por 1 (um). Números compostos: são números que não são primos e podem ser representados por uma multiplicação de números primos.



4.1.2. Fatoração em Números Primos

Para fazer uma fatoração em números primos, você deve pegar o número quedeseja fatorar e efetuar a divisão pelos números primos a começar do 2 (dois).Se a divisão do número a ser fatorado pelo número primo não for exata (oresto da divisão for diferente de zero), você deve dividi-lo pelo número primoseguinte (em ordem crescente), e assim por diante. A fatoração acaba quandoo resultado da divisão por um número primo for 1 (um). Não entendeu? Entãovamos aos nossos exemplos práticos, que são sempre infalíveis para oentendimento. Let´s go.

Exemplos: I) Fatorar o número 12.

Passo 1: Dividir 12 pelo primeiro número primo (2) ⇒12 dividido por 2 éigual a 6 com resto 0 (zero). Portanto, 2 é primeiro fator primo de 12.

Passo 2: Pegar o resultado da divisão do passo 1 (podemos considerar que onúmero a ser fatorado agora é o 6) e dividir ainda pelo primeiro número primo(2) ⇒ 6 dividido por 2 é igual a 3 com resto 0 (zero). Portanto, 2 é o segundofator primo de 12.

Passo 3: Pegar o resultado da divisão do passo 2 (podemos considerar que onúmero a ser fatorado agora é o 3) e dividir ainda pelo primeiro número primo(2) ⇒ 3 dividido por 2 é igual a 1 com resto 1 (um). Portanto, 2 não é oterceiro fator primo de 12.

Passo 4: Como o resultado da divisão do passo 3 foi diferente de zero,devemos utilizar o próximo número primo (em ordem crescente). No caso,será o 3.Pegar o resultado da divisão do passo 2 (podemos considerar que o número aser fatorado agora é o 3) e dividir pelo próximo número primo (3) ⇒ 3dividido por 3 é igual a 1 com resto 0 (zero). Portanto, 3 é o terceiro fatorprimo de 12.

Para facilitar, utilizamos a seguinte representação: 12 26 231

3

12 : 2 = 6 6 : 2 = 3 3 : 3 = 1 Fatoração de 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3



II) Fatorar o número 510.


Passo 2: Pegar o resultado da divisão do passo 1 (podemos considerar que onúmero a ser fatorado agora é o 255) e dividir ainda pelo primeiro númeroprimo (2) ⇒ 255 dividido por 2 é igual a 127 com resto 1 (um). Portanto, 2não é o segundo fator primo de 510.

Passo 3: Como o resultado da divisão do passo 2 foi diferente de zero,devemos utilizar o próximo número primo (em ordem crescente). No caso,será 3.Pegar o resultado da divisão do passo 2 (podemos considerar que o número aser fatorado agora é o 255) e dividir pelo próximo número primo (3) ⇒ 255dividido por 3 é igual a 85 com resto 0 (zero). Portanto, 3 é o segundo fatorprimo de 510.

Passo 4: Pegar o resultado da divisão do passo 3 (podemos considerar que onúmero a ser fatorado agora é o 85) e dividir ainda pelo segundo númeroprimo (3) ⇒ 85 dividido por 3 é igual a 28 com resto 1 (um). Portanto, 3 nãoé o terceiro fator primo de 510.

Passo 5: Como o resultado da divisão do passo 4 foi diferente de zero,devemos utilizar o próximo número primo (em ordem crescente). No caso,será 5.Pegar o resultado da divisão do passo 4 (podemos considerar que o número aser fatorado agora é o 85) e dividir pelo próximo número primo (5) ⇒ 85dividido por 5 é igual a 17 com resto 0 (zero). Portanto, 5 é o terceiro fatorprimo de 510.

Passo 6: Como o resultado da divisão do passo 5 já é um número primo (17),só podemos dividir este resultado por 17 ⇒ 17 dividido por 17 é igual a 1 comresto 0 (zero). Portanto, 17 é o quarto fator primo de 510.

Para facilitar, utilizamos a seguinte representação: 510 2255 385171

517

510 : 2 = 255 255 : 3 = 85 85 : 5 = 17 17 : 17 = 1 Fatoração de 510 = 2 x 3 x 5 x 17



Nota: Repare que você pode utilizar a fatoração para reduzir as frações aosmenores termos, pois as contas ficam mais fáceis.

Exemplo 1: Reduza a fração240

330aos menores termos:

I) Fatorar o numerador (240):

240 2120 260301551

2235

Fatoração de 240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 24 x 3 x 5

II) Fatorar o denominador (330):

330 2165 355111

511

Fatoração de 330 = 2 x 3 x 5 x 11 III) Escrever a fração com o numerador e o denominador fatorados:

4240 2 3 5

330 2 3 5 11

× ×=

× × ×

IV) Cancelar os fatores iguais do numerador e do denominador e achar afração dos menores termos:

4 4 1 3240 2 3 5 2 2 8

330 2 3 5 11 11 11 11

−× ×= = = =

× × ×



Exemplo 2: Reduza a fração3 2

2 4

32. . .

42. . .

x y z

x y zaos menores termos:

I) Fatorar o numerador (32.x3.y2.z):

32 216 28421

222

Fatoração de 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 Fatoração do numerador = 25.x3.y2.z

II) Fatorar o denominador (42.x.y2.z4):

42 221 371

7

Fatoração de 42 = 2 x 3 x 7 Fatoração do denominador = 2.3.7.x.y2.z4

III) Escrever a fração com o numerador e o denominador fatorados:

3 2 5 3 2

2 4 2 4

32. . . 2 . . .

42. . . 2.3.7. . .

x y z x y z

x y z x y z=

IV) Cancelar os fatores iguais do numerador e do denominador e achar afração dos menores termos:

3 2 5 3 2 5 1 3 1 2 2 4 2 0 4 2 4 2

2 4 2 4 4 1 3 3 3

32. . . 2 . . . 2 . . 2 . . 2 . 2 .

42. . . 2.3.7. . . 3.7. 3.7. 3.7. 21.

x y z x y z x y x y x x

x y z x y z z z z z

− − −

−= = = = =

Lembre que qualquer número elevado a zero é igual a 1. Portanto, y0 = 1.

Repare que é possível fazer a simplificação em relação a z de duas maneiras echegar ao mesmo resultado. Vejamos:

1 4 3

4 3

1zz z

z z

− −= = = ou

4 4 1 3

1 1z

z z z−= =




4.1.3. Máximo Divisor Comum (MDC)

O Máximo Divisor Comum (MDC) é o maior termo possível que divide cadatermo de uma expressão que contém dois ou mais termos. Caramba, que rolo!Como fazemos isso? Veja o procedimento:

I. Fazer a fatoração (decomposição em fatores primos) dos números,separadamente;

II. MDC = produto de todos os fatores comuns elevados ao menor expoente.

Exemplo 1: Calcule o máximo divisor comum dos seguintes números: 324 e32. 324 2162 281 327 39 33 31

Fatoração de 324 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 = 22 . 34

96 248 224 212 26 23 31

Fatoração de 96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 25 . 3 Fatores comuns: 2 e 3Menor expoente do fator comum 2 = 2Menor expoente do fator comum 3 = 1Fator comum 2 elevado ao menor expoente = 22

Fator comum 3 elevado ao menor expoente = 3MDC (324,96) = 22 . 3 = 12

Fatoração Representação de um número composto (que não é número primo) em umamultiplicação de números primos.



Exemplo 2: Calcule o máximo divisor comum dos seguintes números:12x2y6z3, 16xy3z4 e 20x3y2z5. 12 26 23 31

Fatoração de 12 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 3

16 28 24 22 21

Fatoração de 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24

20 210 25 51

Fatoração de 20 = 2 x 2 x 5 = 22 x 5 Termos:12x2y6z3 = 22. 3 . x2 . y6 . z3

16xy3z4= 24 . x . y3 . z4

20x3y2z5 = 22 . x3 . y2 . z5

Fatores comuns: 2, x, y e zMenor expoente do fator comum 2 = 2Menor expoente do fator comum x = 1Menor expoente do fator comum y = 2Menor expoente do fator comum z = 3

Fator comum 2 elevado ao menor expoente = 22

Fator comum x elevado ao menor expoente = xFator comum y elevado ao menor expoente = y2

Fator comum z elevado ao menor expoente = z3

MDC (12x2y6z3, 16xy3z4, 20x3y2z5) = 22 . x . y2 . z3 = 4xy2z3

Uma outra maneira de reduzir aos menores termos, no exemplo 2 do itemanterior, é dividir o numerador e o denominador pelo MDC. Vejamos.



Exemplo 3: Reduza a fração3 2

2 4

32. . .

42. . .

x y z

x y zaos menores termos:

I) Fatorar o numerador (32.x3.y2.z):

32 216 28421

222

Fatoração de 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 Fatoração do numerador = 25.x3.y2.z

II) Fatorar o numerador (42.x.y2.z4):

42 221 371

7

Fatoração de 42 = 2 x 3 x 7 Fatoração do denominador = 2.3.7.x.y2.z4

III) Achar o MDC:

Termos:32.x3.y2.z = 25.x3.y2.z42.x.y2.z4 = 2.3.7.x.y2.z4

Fatores comuns: 2, x, y e zMenor expoente do fator comum 2 = 1Menor expoente do fator comum x = 1Menor expoente do fator comum y = 2Menor expoente do fator comum z = 1

Fator comum 2 elevado ao menor expoente = 2Fator comum x elevado ao menor expoente = xFator comum y elevado ao menor expoente = y2

Fator comum z elevado ao menor expoente = z

MDC (32x3y2z, 42xy2z4) = 2 . x . y2 . z



IV) Dividir o numerador e o denominador pelo MDC:

3 2 5 3 25 1 3 1 2 2 1 1 4 2 0 0 4 2

2 2

32. . . 2 . . .2 . . . 2 . . . 2 .

2. . . 2. . .

x y z x y zx y z x y z x

x y z x y z

− − − −= = = =

2 4 2 41 1 1 1 2 2 4 1 0 0 0 3 3

2 2

42. . . 2.3.7. . .2 .3.7. . . 2 .3.7. . . 3.7.

2. . . 2. . .

x y z x y zx y z x y z z

x y z x y z

− − − −= = = =

V) Fração dos menores termos:3 2 4 2 4 2

2 4 3 3

32. . . 2 . 2 .

42. . . 3.7. 21.

x y z x x

x y z z z= =


4.1.4. Mínimo Múltiplo Comum (mmc)

O Mínimo Múltiplo Comum (mmc) de dois ou mais números é calculadoutilizando o seguinte procedimento:

I. Fazer a fatoração dos números (em fatores primos), separadamente; e

II. mmc = produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados aomaior expoente.

Exemplo 1: Calcule o mínimo múltiplo comum de 8 e 6.

8 24 22 21

Fatoração de 8 = 2 x 2 x 2 = 23

6 23 31

Fatoração de 6 = 2 x 3

Máximo Divisor Comum (MDC): o máximo divisor comum de dois ou maisnúmeros é calculado utilizando o seguinte procedimento: I. Fazer a fatoração (decomposição em fatores primos) dos números,separadamente;




Para achar o mínimo múltiplo comum, teríamos:

Fatores comuns e não comuns:8 = 23

6 = 2 x 3Fator Comum = 2Fator Não Comum = 3 Maiores expoentes:Maior expoente de 2 = 3Fator Comum elevado ao maior expoente = 23

Maior expoente de 3 = 1Fator Não Comum = 31 = 3 mmc (8,6) = 23 x 3 = 24 Exemplo 2: Calcule o mínimo múltiplo comum dos seguintes números:12x2y6z3, 16xy3z4 e 20x3y2z5. 12 26 23 31


16 28 24 22 21

Fatoração de 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24

20 210 25 51


16xy3z4= 24 . x . y3 . z4

20x3y2z5 = 22 . x3 . y2 . z5



Fatores comuns e não comuns: 2, 3, x, y e zMaior expoente de 2 = 4Maior expoente de 3 = 1Maior expoente de x = 3Maior expoente de y = 6Maior expoente de z = 5

Fator 2 elevado ao maior expoente = 24

Fator 3 elevado ao maior expoente = 3Fator x elevado ao maior expoente = x3

Fator y elevado ao maior expoente = y6

Fator z elevado ao maior expoente = z5

mmc (12x2y6z3, 16xy3z4, 20x3y2z5) = 24 . 3. x3 . y6 . z5

Memorize para a prova: Nota: Uma propriedade importante: mmc (X,Y) . MDC (X,Y) = X.Y Exemplo: I) Calcule o mínimo múltiplo comum de 8 e 6.

8 24 22 21


6 23 31

Fatoração de 6 = 2 x 3 Para achar o mínimo múltiplo comum, teríamos:

Fatores comuns e não comuns:8 = 23

6 = 2 x 3Fator Comum = 2Fator Não Comum = 3

Mínimo Múltiplo Comum (mmc): O mínimo múltiplo comum de dois oumais números é calculado utilizando o seguinte procedimento:

I. Fazer a fatoração dos números (em fatores primos), separadamente; e

II. mmc = produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados aomaior expoente.



Maiores expoentes:Maior expoente de 2 = 3Fator Comum elevado ao maior expoente = 23

Maior expoente de 3 = 1Fator Não Comum = 31 = 3 mmc (8,6) = 23 x 3 = 24 II) Calcule o máximo divisor comum de 8 e 6.

8 24 22 21


6 23 31

Fatoração de 6 = 2 x 3 Para achar o máximo divisor comum, teríamos:

Fator comum:8 = 23

6 = 2 x 3Fator Comum = 2Menor expoente de 2 = 1Fator Comum elevado ao menor expoente = 21 = 2

MDC (8,6) = 2 8 x 6 = 48 mmc (8,6) x MDC (8,6) = 24 x 2 = 48 = 8 x 6 Memorize para a prova: 4.1.5. Números Primos Entre Si

Dois números são primos entre si quando não possuem fatores primos emcomum.

Exemplo: 18 = 2 x 32

25 = 52

mmc (X,Y) . MDC (X,Y) = X.Y



Como 18 e 25 não possuem fatores primos em comum, são chamados primosentre si. Repare que 18 e 25 não são números primos (números que sãodivididos apenas por eles mesmos e por 1), mas são primos entre si. 4.2. Função Distributiva 4.2.1. Distribuindo Termos Individuais

De acordo com a função distributiva, podemos distribuir um termo sobre váriosoutros termos, ou seja, distribuir é multiplicar um termo individual por umasérie de termos agrupados.

Exemplos: X . (Y + Z) = X.Y + X.Z

X . (Y – Z) = X.Y – X.Z

3.(3x + 2y – 6z) = 3 . 3x + 3 . 2y + 3 . (-6z) = 9x + 6y – 18z

x . (3x4 – 2x3 + x – 1) = x . 3x4 + x . (-2x3) + x . x + x . (–1) == 3x4+1 – 2x3+1+ x1+1 – x = 3x5 – 2x4 + x2 – x

x . (3x-4 – 2x3 + x-1 – 1) = x . 3x-4 + x . (-2x3) + x . x-1 + x . (–1) == 3x-4+1 – 2x3+1+ x1-1 – x = 3x-3 – 2x4 + x0 – x = 3x-3 – 2x4 + 1 – x

-5x2y . (3x3 – y + z) = (-5x2y) . 3x3 + (-5x2y) . (-y) + (-5x2y) . z == – 5 . 3 . x2+3 . y + 5 . x2 . y1+1 – 5 . x2 . y . z == – 15x5y + 5x2y2 – 5x2yz

Repare que:- (3x + 2y – 3z – 6) é o mesmo que multiplicar (-1) por (3x + 2y – 3z – 6):(-1) . (3x + 2y – 3z – 6) = (-1) . 3x + (-1) . 2y + (-1) . (-3z) + (-1) . (-6) == – 3x – 2y + 3z + 6

Lembre que:(–) . (–) = (+)(–) . (+) = (–)

Repare também que:X . (Y + Z) = (Y + Z) . X = X.Y + X.Z


Distribuindo Termos Individuais:X . (Y + Z) = X.Y + X.ZX . (Y – Z) = X.Y – X.Z



4.2.2. Distribuindo Binômios

De acordo com a função distributiva, podemos distribuir dois termos (oubinômio) sobre vários outros termos, ou seja, distribuir é multiplicar o binômiopor uma série de termos agrupados.

Para facilitar, inicialmente, divida o primeiro binômio em dois termos e, depoismultiplique cada termo do primeiro binômio pelos termos do segundo binômio.Vamos ver exemplos sobre o assunto.

Exemplos:

(a + b).(c + d) = a.(c + d) + b.(c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d(a + b).(c – d) = a.(c – d) + b.(c – d) = a.c – a.d + b.c – b.d(a – b).(c + d) = a.(c + d) – b.(c + d) = a.c + a.d – b.c – b.d(a – b).(c – d) = a.(c – d) – b.(c – d) = a.c – a.d – b.c + b.d

(x2 + 1).(y3 – 3) = x2.(y3 – 3) + 1.(y3 – 3) = x2.y3 - 3x2 + y3 – 3

(x2 + 1).(4x3 + 2x – 3) = x2. (4x3 + 2x – 3) + 1. (4x3 + 2x – 3) == x2.4x3+ x2.2x – 3x2 + 4x3 + 2x – 3 = 4x3+2 + 2.x1+2 – 3x2 + 4x3 + 2x – 3 == 4x5 + 2x3 – 3x2 + 4x3 + 2x – 3 = 4x5 + (2x3+ 4x3) – 3x2 + 2x – 3 == 4x5 + 6x3 – 3x2 + 2x – 3

Nota: Lembre que podemos somar os termos com expoentes iguais, como nocaso de 2x3 e 4x3.

(x2 – y2).(x2 + 2xy + y2) = x2. (x2 + 2xy + y2) – y2. (x2 + 2xy + y2) == x2.x2 + x2 . 2xy + x2.y2 – y2.x2 – y2.2xy – y2.y2 == x2+2 + 2x1+2y + (x2y2 – x2y2) – 2xy1+2 – y2+2== x4 + 2x3y – 2xy3 – y4


4.2.3. Distribuindo Polinômios

De acordo com a função distributiva, podemos distribuir três termos (outrinômios) sobre vários outros termos, ou seja, distribuir é multiplicar obinômio por uma série de termos agrupados.

Para facilitar, inicialmente, divida o primeiro trinômio em três termos e, depoismultiplique cada termo do primeiro trinômio pelos termos do segundotrinômio. Vamos ver exemplos sobre o assunto.

Distribuindo Binômios:1. Divida o primeiro binômio em dois termos.2. Distribua cada termo do primeiro binômio pelos termos segundo binômio.3. Simplifique e combine os termos com os mesmos expoentes.



Nota: Se forem mais de três termos, chamaremos de polinômio. Além disso, épossível fazer várias combinações, ou seja, multiplicar um binômio por umtrinômio, um trinômio por um polinômio, e assim por diante.

Exemplos: (a + b + c).(d + e + f) = a.(d + e + f) + b.(d + e + f) + c.(d + e + f) == ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce +cf

(x + y + 2).(x2 – 2xy + y + 1) == x.( x2 – 2xy + y + 1) + y.(x2 – 2xy + y + 1) + 2.(x2 – 2xy + y + 1) == x.x2 – x.2xy + xy + x.1 + y.x2 – y.2xy + y.y + y.1 + 2x2 – 2.2xy + 2.y +2.1 == x1+2 – 2x1+1y + xy + x + x2y – 2xy1+1 + y2 + y + 2x2 – 4xy + 2y + 2 == x3 – 2x2y + xy + x + x2y – 2xy2 + y2 + y + 2x2 – 4xy + 2y + 2 == x3 – 2x2y + x2y + 2x2 + x + xy – 4xy – 2xy2 + y2 + y + 2y + 2 == x3 – x2y + 2x2 + x – 3xy – 2xy2 + y2 + 3y + 2

4.2.4. Algumas Distribuições Especiais

Quando multiplicamos um binômio por ele mesmo, o resultado será umtrinômio cujos termos são o quadrado do primeiro termo do binômio, oquadrado do segundo termo do binômio e duas vezes o produto dos doistermos do binômio. Vejamos:

(a + b).(a + b) = (a + b)2

(a + b).(a + b) = a.(a + b) + b.(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b == a1+1 + a.b + a.b + b1+1= a2 + 2ab + b2

Repare que: a.b = b.a

(a + b).(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Exemplo: (x + 2).(x + 2) = x.(x + 2) + 2.(x + 2) = x.x + x.2 + 2.x + 2.2 == x1+1 + 2x + 2x + 21+1 = x2 + 4x + 22 = x2 + 4x + 4

Fazendo direto:(x + 2).(x + 2) = (x + 2)2

Primeiro Termo = xSegundo Termo = 2Quadrado do Primeiro Termo = x2

Quadrado do Segundo Termo = 22 = 2Duas Vezes o Produto dos Termos = 2.x.2 = 4x

Distribuindo Polinômios:1. Divida o primeiro polinômio nos termos correspondentes.2. Distribua cada termo do primeiro polinômio pelos termos segundopolinômio.3. Simplifique e combine os termos com os mesmos expoentes.



(x + 2).(x + 2) = (x + 2)2 = x2 + 4x + 4

(a – b).(a – b) = (a – b)2

(a – b).(a – b) = a.(a – b) – b.(a – b) = a.a – a.b – b.a + (–b).(–b) == a1+1 – a.b – a.b + (–b)1+1= a2 – 2ab + b2

(a – b).(a – b) = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Exemplo: (4x – 5).(4x – 5) = 4x.(4x – 5) – 5.(4x – 5) == 4x.4x + 4x.(–5) + (–5).4.x + (–5).(-5) == 41+1.x1+1 – 20x – 20x + (–5)1+1 = 42x2 – 40x + (–5)2 = 16x2 – 40x + 25

Fazendo direto:(4x – 5).(4x – 5) = (4x – 5)2

Primeiro Termo = 4xSegundo Termo = –5Quadrado do Primeiro Termo = (4x)2 = 16x2

Quadrado do Segundo Termo = (–5)2 = 25Duas Vezes o Produto dos Termos = 2.4x.(–5) = –40x(4x – 5).(4x – 5) = (4x – 5)2 = 16x2 – 40x + 25

Quando multiplicamos a soma e a diferença dos mesmo dois termos debinômio, o resultado será um binômio cujos termos são o quadrado doprimeiro termo do binômio e menos o quadrado do segundo termo do binômio.Vejamos:

(a + b).(a – b) = a.(a – b) + b.(a – b) = a.a – a.b + b.a + b.(–b) == a1+1 – a.b + a.b – b1+1= a2 – b2

Repare que: a.b = b.a

(a + b).(a – b) = a2 – b2

Exemplo: (x + 2).(x – 2) = x.(x – 2) + 2.(x – 2) = x.x – x.2 + 2.x – 2.2 == x1+1 – 2x + 2x – 21+1 = x2 – 22 = x2 – 4

Fazendo direto:(x + 2).(x – 2)Primeiro Termo = xSegundo Termo = 2Quadrado do Primeiro Termo = x2

Quadrado do Segundo Termo = 22 = 2(x + 2).(x – 2) = x2 – 4

Soma e diferença de dois cubos a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2)a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2)



Vejamos:I) (a + b).(a2 – ab + b2) = a.(a2 – ab + b2) + b.(a2 – ab + b2) == a.a2 – a.ab + a.b2 + b.a2 – b.ab + b.b2 == a1+2 – a1+1.b + a.b2 + b.a2 – b1+1.a + b1+2 == a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3

II) (a – b).(a2 + ab + b2) = a.(a2 + ab + b2) – b.(a2 + ab + b2) == a.a2 + a.ab + a.b2 – b.a2 – b.ab – b.b2 == a1+2 + a1+1.b + a.b2 – b.a2 – b1+1.a – b1+2 == a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3 = a3 – b3

Exemplos: I) (x + 4).(x2 – 4x + 16) = x.(x2 – 4x + 42) + 4.(x2 – 4x + 42) == x.x2 – x.4x + x.42 + 4.x2 – 4.4x + 4.42 == x1+2 – x1+1.4 + x.42 + 4.x2 – 41+1.x + 41+2 == x3 – 4x2 + 42x + 4x2 – 42x + 43 = x3 + 43 = x3 + 64 II) (x – 4).(x2 + 4x + 16) = x.(x2 + 4x + 42) – 4.(x2 + 4x + 42) == x.x2 + x.4x + x.42 – 4.x2 – 4.4x – 4.42 == x1+2 + x1+1.4 + x.42 – 4.x2 – 41+1.x – 41+2 == x3 + 4x2 + 42x – 4x2 – 42x – 43 = x3 – 43 = x3 – 64

4.2.5. Triângulo de Pascal

O seguinte arranjo de números é conhecido como triângulo de Pascal:

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1(...)

Primeiramente, vamos aprender a regra de formação do triângulo de Pascal:

Primeira regra: a primeira linha começa com “1”. Segunda regra: a cada linha, aumentamos um termo. Terceira regra: os termos extremos (direita e esquerda) são sempre iguais a“1”.

Distribuições Especiais: (a + b).(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b).(a - b) = (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b).(a - b) = a2 – b2



Quarta regra: os termos do meio de uma linha correspondem à soma dostermos acima e à direita da linha anterior.

Vejamos:Linha 0: 1 (Você vai entender por que chamei de linha “0”. Aguarde!)

Linha 1: 1 1 (Aumenta um termo – agora são dois - e os extremos devem ser1. Não há termos do meio)

Linha 2: 1 2 1(Aumenta um termo – agora são três – e os extremos devem ser1. O termo do meio é a soma dos termos acima (1) e à direita da linha anterior(1): 1 + 1 = 2).

Linha 3: 1 3 3 1(Aumenta um termo – agora são quatro – e os extremosdevem ser 1. Os termos do meio são a soma dos termos acima e à direita dalinha anterior).

Termo do meio 1 = 1 + 2 = 3Termo do meio 2 = 2 + 1 = 3

Linha 4: 1 4 6 4 1(Aumenta um termo – agora são cinco – e os extremosdevem ser 1. Os termos do meio são a soma dos termos acima e à direita dalinha anterior).

Termo do meio 1 = 1 + 3 = 4Termo do meio 2 = 3 + 3 = 6Termo do meio 3 = 3 + 1 = 4

E assim por diante. Ou seja, o triângulo de Pascal seria:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1(...)

Um outro dado importantíssimo é que estes termos correspondem aos valoresdas potências dos binômios. Considere um binômio (x + y)n. Quando:

Linha 0: n = 0 ⇒ (a + b)0 = 1(primeira linha do triângulo de Pascal)

Repare que, para (a + b)1, só há dois termos a e b:Linha 1: n = 1 ⇒ (a + b)1 = a + b = 1.a + 1.b(os valores que multiplicam os termos correspondem à segunda linha dotriângulo de Pascal)



Repare que, para (a + b)2, começamos com o termo a2.b0 e, aí, vamosdiminuindo em uma unidade a potência de a e aumentando em uma unidade apotência de b, até b2.Linha 2: n = 2 ⇒ (a + b)2 = a2.b0+ 2a2-1.b0+1 + a2-2.b0+2 = 1.a2 + 2ab + 1.b2

(os valores que multiplicam os termos correspondem à terceira linha dotriângulo de Pascal)

Repare que, para (a + b)3, começamos com o termo a3.b0 e, aí, vamosdiminuindo em uma unidade a potência de a e aumentando em uma unidade apotência de b, até b3.Linha 3: n = 3 ⇒ (a + b)3 = a3.b0 + 3a3-1.b0+1 + 3a3-2.b0+2 + a3-3.b0+3 ⇒⇒ (a + b)3= 1.a3 + 3a2b + 3ab2 + 1.b3

(os valores que multiplicam os termos correspondem à quarta linha dotriângulo de Pascal).

Exemplo: Determine o coeficiente do termo xy6 no desenvolvimento de (x +y)7. Como n é igual 7 (potência do binômio), temos que montar o triângulo dePascal até a sétima linha:

Linha 0: 1Linha 1: 1 1Linha 2: 1 2 1Linha 3: 1 3 3 1Linha 4: 1 4 6 4 1Linha 5: 1 5 10 10 5 1Linha 6: 1 6 15 20 15 6 1Linha 7: 1 7 21 35 35 21 7 1

Lembre que os termos do meio de uma linha são o resultado da soma dostermos acima e à direita da linha anterior. No caso da linha 7, teríamos:

Termo do Meio 1 = 1 + 6 = 7Termo do Meio 2 = 6 + 15 = 21Termo do Meio 3 = 15 + 20 = 35Termo do Meio 4 = 20 + 15 = 35Termo do Meio 5 = 15 + 6 = 21Termo do Meio 6 = 6 + 1 = 7

Precisamos montar (x + y)7. Repare que nosso “a” será igual a x e nosso “b”será igual a y. Montando nossa expressão utilizando a linha 7 do triângulo dePascal (a potência do binômio é igual 7):

(x + y)7 = 1.x7.y0 + 7.x7-1.y0+1 + 21.x7-2.y0+2 + 35.x7-3.y0+3 + 35. x7-4.y0+4 +21.x7-5.y0+5 + 7.x7-6.y0+6 + 1.x7-7.y0+7

(x + y)7 = 1.x7 + 7.x6.y1 + 21.x5.y2 + 35.x4.y3 + 35. x3.y4 + 21.x2.y5 +7.x1.y6 + 1.y7

A questão pede o coeficiente do x.y6: 21



4.3. Memorize para a prova

Fatoração Números Primos e Números Compostos Números Primos são números inteiros, maiores que o número 1 (um), que sãodivisíveis apenas por eles mesmos e por 1 (um).

Os números primos menores que 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. Os números inteiros maiores que 1 (um) e que não são números primos, sãodenominados números compostos Fatoração em Números Primos Representação de um número composto (que não é número primo) em umamultiplicação de números primos.

Exemplo: I) Fatorar o número 510.


Passo 2: Pegar o resultado da divisão do passo 1 (podemos considerar que onúmero a ser fatorado agora é 255) e dividir ainda pelo primeiro número primo(2) ⇒ 255 dividido por 2 é igual a 127 com resto 1 (um). Portanto, 2 não é osegundo fator primo de 255.

Passo 3: Como o resultado da divisão do passo 2 foi diferente de zero,devemos utilizar o próximo número primo (em ordem crescente). No caso,será 3.Pegar o resultado da divisão do passo 2 (podemos considerar que o número aser fatorado agora é o 255) e dividir pelo próximo número primo (3) ⇒ 255dividido por 3 é igual a 85 com resto 0 (zero). Portanto, 3 é o segundo fatorprimo de 255.

Passo 4: Pegar o resultado da divisão do passo 3 (podemos considerar que onúmero a ser fatorado agora é o 85) e dividir ainda pelo segundo númeroprimo (3) ⇒ 85 dividido por 3 é igual a 28 com resto 1 (um). Portanto, 3 nãoé o terceiro fator primo de 255.

Passo 5: Como o resultado da divisão do passo 4 foi diferente de zero,devemos utilizar o próximo número primo (em ordem crescente). No caso,será 5.Pegar o resultado da divisão do passo 4 (podemos considerar que o número aser fatorado agora é o 85) e dividir pelo próximo número primo (5) ⇒ 85dividido por 5 é igual a 17 com resto 0 (zero). Portanto, 5 é o terceiro fatorprimo de 255.



Passo 6: Como o resultado da divisão do passo 5 já é um número primo (17),só podemos dividir este resultado por 17 ⇒ 17 dividido por 17 é igual a 1 comresto 0 (zero). Portanto, 17 é o quarto fator primo de 255.Para facilitar, utilizamos a seguinte representação:510 2255 385171

517

510 : 2 = 255 255 : 3 = 85 85 : 5 = 17 17 : 17 = 1 Fatoração de 510 = 2 x 3 x 5 x 17

Máximo Divisor Comum (MDC) I. Fazer a fatoração (decomposição em fatores primos) dos números,separadamente;


Exemplo: Calcule o máximo divisor comum dos seguintes números: 324 e 32.324 2162 281 327 39 33 31

Fatoração de 324 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 = 22 . 34

96 248 224 212 26 23 31

Fatoração de 96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 25 . 3 Fatores comuns: 2 e 3Menor expoente do fator comum 2 = 2Menor expoente do fator comum 3 = 1Fator comum 2 elevado ao menor expoente = 22

Fator comum 3 elevado ao menor expoente = 3MDC (324,96) = 22 . 3 = 12



Mínimo Múltiplo Comum (mmc) I. Fazer a fatoração dos números (em fatores primos), separadamente; e

II. mmc = produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados aomaior expoente. Exemplo: Calcule o mínimo múltiplo comum dos seguintes números: 12x2y6z3,16xy3z4 e 20x3y2z5. 12 26 23 31


16 28 24 22 21

Fatoração de 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24

20 210 25 51


16xy3z4= 24 . x . y3 . z4

20x3y2z5 = 22 . x3 . y2 . z5

Fatores comuns e não comuns: 2, 3, x, y e zMaior expoente de 2 = 4Maior expoente de 3 = 1Maior expoente de x = 3Maior expoente de y = 6Maior expoente de z = 5

Fator 2 elevado ao maior expoente = 24

Fator 3 elevado ao maior expoente = 3Fator x elevado ao maior expoente = x3

Fator y elevado ao maior expoente = y6

Fator z elevado ao maior expoente = z5



mmc (12x2y6z3, 16xy3z4, 20x3y2z5) = 24 . 3. x3 . y6 . z5

Propriedade: mmc (X,Y) . MDC (X,Y) = X.Y Números Primos Entre Si Dois números são primos entre si quando não possuem fatores primos emcomum.Exemplo: 18 = 2 x 32

25 = 52

Como 18 e 25 não possuem fatores primos comuns, são chamados primosentre si. Repare que 18 e 25 não são números primos (números que sãodivididos apenas por eles mesmos e por 1), mas são primos entre si. Função Distributiva Distribuindo Termos Individuais Exemplos: X . (Y + Z) = X.Y + X.ZX . (Y – Z) = X.Y – X.Z Distribuindo Binômios Exemplos: (a + b).(c + d) = a.(c + d) + b.(c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d(a + b).(c – d) = a.(c – d) + b.(c – d) = a.c – a.d + b.c – b.d(a – b).(c + d) = a.(c + d) – b.(c + d) = a.c + a.d – b.c – b.d(a – b).(c – d) = a.(c – d) – b.(c – d) = a.c – a.d – b.c + b.d

Distribuindo Polinômios Exemplo: (a + b + c).(d + e + f) = a.(d + e + f) + b.(d + e + f) + c.(d + e + f) == ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce +cf Algumas Distribuições Especiais (a + b).(a + b) = (a + b)2= a2 + 2ab + b2

(a – b).(a – b) = (a – b)2= a2 – 2ab + b2

(a + b).(a – b) = a2 – b2

a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2)a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2)

Triângulo de Pascal O seguinte arranjo de números é conhecido como triângulo de Pascal:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1(...)



4.4. Exercícios de Fixação

1.(TTN-1998-Esaf) Se aaxy

xy=

−

− 93, sendo axy ≠ , o valor da razão

x

y, para

a > 9, é igual a

a) (a – 9)b) (a – 3)c) (a + 3)d) (a + 9)e) a2

2.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Tomam-se os inteirosentre 1 e 100, inclusive, e constroem-se duas listas. Na lista D são colocadostodos os inteiros divisíveis por 2 e, na lista T, são colocados todos os inteirosdivisiveis por 3. O número de inteiros entre 1 e 100, inclusive, que sãodivisíveis por 2 e que não são divisíveis por 3 é igual a:

a) 22b) 24c) 26d) 28e) 34 3.(Analista Judiciário-Área: Administrativa-TRT/15R-2010-FCC)Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração. Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas letras quecompõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguintecriptograma:

(IN)2 = MOONSabendo que tal segredo é um número maior que 5 000, então a soma M + O+ O + N é igual a

(A) 16(B) 19(C) 25(D) 28(E) 31



4.(Analista de Processos Organizacoinais-Administração-Bahiagás-FCC-2010) Em uma partida de basquete o jogador pode fazer cestas valendo3 pontos, 2 pontos ou 1 ponto. A respeito dos únicos cinco jogadores de umaequipe que participaram de uma partida, sabe-se que:

− Alberto fez 19 pontos;− Bernardo fez apenas cestas de 3 pontos;− Cláudio fez apenas 13 cestas, todas de 2 pontos;− Diogo fez apenas cestas de 1 ponto;− Elton não fez cestas.

Se Diogo fez o dobro do número de cestas de Bernardo, é correto afirmar queo total de pontos feitos pela equipe nessa partida necessariamente é umnúmero

(A) que deixa resto 2 na divisão por 5.(B) múltiplo de 7.(C) múltiplo de 5.(D) múltiplo de 3.(E) ímpar.

5.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP-2010-FCC) Um provedor de acesso à internet cobrava de seus clientes R$80,00 por mês para acesso discado sem qualquer controle das horas utilizadas.Querendo limitar o tempo de conexão dos clientes, ofereceu um plano, noqual, por R$ 60,00, o cliente usaria os serviços por no máximo 70 horasmensais e pagaria R$ 2,00 por hora excedente. No mês seguinte, ao recebersua conta de consumo, um cliente que havia optado por esse plano verificouque o valor de sua conta ficou 60% maior em relação ao valor que pagaria noplano anterior. O número de horas em que esse cliente esteve conectado foi

(A) 96(B) 104(C) 110(D) 122(E) 126

6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-Marnahão-2009-FCC) O seguinte arranjo de números é conhecido comotriângulo de Pascal:



Sabe-se que os números do triângulo de Pascal correspondem aos coeficientesdo desenvolvimento de (a + b)n, segundo as potências decrescentes de a. Deacordo com essas informações, o coeficiente do termo contendo os fatores x5y2

no desenvolvimento de (2x + y)7 é

(A) 672(B) 480(C) 240(D) 32(E) 21

7.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-Marnahão-2009-FCC) O professor Chico Nery publicou um artigo na Revistado Professor de Matemática no 70, relatando um episódio ocorrido em uma desuas aulas. Ao observar que vários números ímpares podiam ser escritos comodiferença de dois quadrados perfeitos, um aluno lhe perguntou se isso erasempre verdadeiro. O professor Nery considerou que todo número ímpar é daforma 2k + 1, sendo k número natural; por isso, tem-se:

2k + 1 = (k2 + 2k + 1) – k2 = (k + 1)2 – k2.

Isso demonstra que o fato observado é sempre verdadeiro. Com base nessademonstração, percebe-se que o número ímpar 100 001 é igual a

(A) 50 0002 – 49 9992

(B) 50 0012 – 49 9992

(C) 100 0012 – 100 0002

(D) 100 0002 – 100 0022

(E) 50 0012 – 50 0002

8.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-Marnahão-2009-FCC) Em uma aula sobre fatoração e simplificação depolinômios, um professor de matemática solicitou que seus alunos obtivessem

o valor numérico de2

2

8 15

25

x x

x

+ +−

para x = 4,99. O resultado correto do

problema proposto é

(A) −799(B) −679(C) −563(D) −497(E) 546



9.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-Marnahão-2009-FCC) Uma herança de R$ 50.000,00 será repartida entre 3filhos de forma que cada um receba valor diretamente proporcional à suaidade. Armando e Bernadete são gêmeos, e Carlos é o filho mais velho.Chamando de x a idade de Armando e Bernadete, e de y a idade de Carlos, écorreto dizer que Armando receberá de herança, em reais, a quantia de

(A)50.000

2x y+

(B)50.000x

x y+

(C)50.000

2

x

x y+

(D)50.000(2 )x y

x

+

(E)2

50.000

x y+

10.(Professor de Matemática-Teresina-2009-FCC) Se os númerosnaturais A e B são tais que:

− mmc(A,B) = 840,− mdc(A,B) = 12,− A = 2x . 15 e B = 2y . 21, com x > y,

então, A + B é igual a

(A) 204.(B) 900.(C) 490.(D) 852.(E) 432.



11.(Auxiliar Judiciário-Área: Judiciária-TRF/2R-2007-FCC) Certo dia, emuma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judiciário observou queo número de pessoas atendidas no período da tarde excedera o das atendidaspela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a quantidade de pessoasatendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendida no período

da tarde era5

3, então é correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas

(A) 130 pessoas.(B) 48 pessoas pela manhã.(C) 78 pessoas à tarde.(D) 46 pessoas pela manhã.(E) 75 pessoas à tarde.

12.(Auxiliar Judiciário-Área: Judiciária-TRF/2R-2007-FCC) Calculandoos 38% de vinte e cinco milésimos obtém-se

(A) 95 décimos de milésimos.(B) 19 milésimos.(C) 95 milésimos.(D) 19 centésimos.(E) 95 centésimos.

13.(Professor de Matemática-SESI/SP-2004-FCC) Simplificando a fração2

2

4 2

( 1)( 4 4)

x x

x x x

− + +− + +

, na qual x ≠ 1 e x ≠ −2 obtém-se

(A)1

1x −

(B)1

2x +

(C)2

1

x

x

+−

(D) x – 1(E) x + 2



14.(CEFET/PA-Cespe-2003) Com os algarismos a, b e c, escolhidos noconjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}, forma-se o número natural N = abcabc.Com base nessas informações, julgue os itens seguintes:I – O número N pode ser escrito como N = 100.000a + 10.000b + 100c.II – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número par.III – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número primo.IV – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por7.V – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por11.A quantidade de itens certos é igual a:

(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 5

15.(CEFET/PA-Cespe-2003)Para enviar uma mensagem de Belém-PA paraBrasília-DF, via fax, uma empresa de telecomunicações cobra R$ 1,20 pelaprimeira página e R$ 0,80 para cada página adicional, completa ou não.Sabendo-se que, nessas condições, um empresário gastou R$ 12,40 paraenviar um documento de Belém para Brasília, é correto afirmar que o númerode páginas que esse documento contém é igual a:

(A) 11(B) 13(C) 15(D) 17(E) 19

16.(CEFET/PA-Cespe-2003) Assinale a opção que corresponde ao número0,064:

(A)

21

800

(B)

21

80

(C)

31

800

(D)

38

10

(E)

32

5



17.(CEFET/PA-Cespe-2003) Marcos e Pedro receberam, no início de abril,

mesadas de valores iguais. No final do mês, Marcos havia gastado4

5de sua

mesada e Pedro5

6da sua. Sabendo que Marcos ficou com R$ 10,00 a mais

que Pedro, o valor da mesada recebida por cada um deles é:

(A) inferior a R$ 240,00.(B) superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00.(C) superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00.(D) superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00.(E) superior a R$ 360,00. 18.(CEFET/PA-Cespe-2003) Sabendo-se que o produto dos númerosinteiros positivos m e n é igual a 572, que a divisão de m por x tem quociente4 e resto 2 e que a divisão de n por x + 1 tem também quociente 4 e resto 2,é correto afirmar que o valor de m + n é igual a:

(A) 48(B) 46(C) 42(D) 38(E) 36

(STM-Cespe-2004) A revisão e a conservação dos veículos de determinadaorganização são executadas por empregados da própria organização. Paraessas tarefas, a organização dispõe de x empregados; a frota é composta pory veículos. Sabendo-se que os números x e y estão entre os números inteirosmúltiplos de 3 e divisores de 30, julgue os itens que se seguem:

19. Se o número x de empregados for igual a 40% do número y de veículos dafrota, então a soma x + y é superior a 20.

20. Se a razão entre x e y for igual a1

10, então o produto x . y é inferior a

81.

(MPETO-Cespe-2006) Um grupo de voluntários que atuam em uma favela écomposto por X homens e Y mulheres. Sabe-se que o máximo divisor comumentre X e Y é igual a 6, que o mínimo múltiplo comum desses números é iguala 36, que existem mais mulheres que homens nesse grupo e que o número dehomens é superior a 10. Nesse caso, julgue os itens que se seguem:

21. O número de mulheres no grupo é superior a 16.

22. 3X = 2Y.



4.5. Gabarito

1. C 2. E 3. A 4. C 5. B 6. A 7. E 8. A 9. C 10. A 11. E 12. A 13. B 14. B 15. C 16. E 17. C 18. A 19. Certo 20. Errado 21. Certo 22. Certo



4.6. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos

1.(TTN-1998-Esaf) Se3 9y x

ay ax

− =−

, sendo axy ≠ , o valor da razãoy

x, para

a > 9, é igual a

a) (a – 9)b) (a – 3)c) (a + 3)d) (a + 9)e) a2

Resolução 3 9y x

ay ax

− =−

Vamos “multiplicar em cruz”:2

2

3 9 .( ) 3 9

9 3

y x a y ax y x ay a x

a x x ay y

⇒ − = − ⇒ − = − ⇒⇒ − = −

Beleza até aqui? Bom a questão pede o valor da razãoy

x. Repare que, do lado

esquerdo da igualdade temos dois termos com x. Então, é possível “isolar” o xou colocá-lo em evidência. Veja:

a2x – 9x = x.(a2 – 9)

Do mesmo modo, do lado direito da igualdade, temos dois termos com y.Então, é possível “isolar” o y ou colocá-lo em evidência. Veja:

ay – 3y = y.(a – 3)

Portanto, teríamos:2

2

9 3

.( 9) .( 3)

a x x ay y

x a y a

− = − ⇒

⇒ − = −

Como queremosy

x, vamos dividir os dois lados da igualdade por x:

2 2

2

1 1.( 9) .( 3) .( 9). .( 3).

( 9) .( 3)

x a y a x a y ax x

ya a

x

⇒ − = − ⇒ − = − ⇒

⇒ − = −



Agora, passando (a – 3) para o outro lado da igualdade (como ele estámultiplicando do lado direito, ao passar para o lado esquerdo, deve irdividindo):

2

2

2

( 9) .( 3)

( 9)

( 3)

( 9)

( 3)

ya a

x

a y

a x

y a

x a

⇒ − = − ⇒

−⇒ = ⇒

−

−⇒ =

−

E agora, o “pulo do gato”! Relembrando de nossa aula, temos: (x2 – a2) = (x + a).(x – a) Atenção, guarde a relação acima, pois sempre aparece em prova! Portanto, na nossa questão, teríamos:a2 – 9 = a2 – 32 = (a + 3).(a – 3).

Substituindo na igualdade:2( 9) ( 3)( 3)

3( 3) ( 3)

y a a aa

x a a

− + −⇒ = = = +

− −Repare que é possível “cortar” o (a – 3) do numerador com o (a – 3) dodenominador.GABARITO: C

2.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Tomam-se os inteirosentre 1 e 100, inclusive, e constroem-se duas listas. Na lista D são colocadostodos os inteiros divisíveis por 2 e, na lista T, são colocados todos os inteirosdivisiveis por 3. O número de inteiros entre 1 e 100, inclusive, que sãodivisíveis por 2 e que não são divisíveis por 3 é igual a:

a) 22b) 24c) 26d) 28e) 34 Resolução Vamos entender a questão!

I) Tomam-se os inteiros entre 1 e 100, inclusive...: chamarei de U o conjuntodos inteiro de 1 a 100, inclusive.U = inteiros de 1 a 100, inclusive = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 100}



...e constroem-se duas listas.

II) Na lista D são colocados todos os inteiros divisíveis por 2: os inteirosdivisíveis por 2 são todos os números pares (chamarei de D).

D (inteiros divisíveis por 2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...., 100}Número de elementos de D = 50 elementos (metade dos números de 1 a 100)

III) Na lista T, são colocados todos os inteiros divisíveis por 3: um número serádivisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos fordivisível por 3 (são os múltiplos de 3 de 1 a 100).

T (inteiros divisíveis por 3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,..., 99}

A questão pede o número de inteiros entre 1 e 100, inclusive, que sãodivisíveis por 2 e que não são divisíveis por 3.

IV) Para ficar mais fácil, vamos construir T´, que é o conjunto dos númerosinteiros divisíveis por 2 e por 3, ou seja, são os números pares da lista T (dosdivisíveis por 3):

T´(inteiros divisíveis por 2 e por 3) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60,66, 72, 78, 84, 90, 96}Número de elementos de T´= 16 elementos

V) Portanto, o número de inteiros, de 1 a 100, divisíveis por 2 e não divisíveispor 3 é justamente o resultado da diferença do número inteiros divisíveis por 2(D) e o número de inteiros divisíveis por 2 e por 3 (T´).

Número de inteiros entre 1 e 100 divisíveis por 2 e não divisíveis por 3:N = 50 – 16 = 34 elementos GABARITO: E 3.(Analista Judiciário-Área: Administrativa-TRT/15R-2010-FCC) Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração. Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas letras quecompõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguintecriptograma:

(IN)2 = MOONSabendo que tal segredo é um número maior que 5.000, então a soma M + O+ O + N é igual a

(A) 16(B) 19(C) 25(D) 28(E) 31



Resolução Calma. Não precisa ficar nervoso. A questão parece difícil, mas não é.Vejamos. Vamos, literalmente, “decifrar” a questão.

I) Se o segredo do cofre é a palavra MOON e cada letra corresponde a umalgarismo, temos:

M = algarismo dos milhares.O = algarismo das dezenas e das centenas (iguais)N = algarismo das unidades

II) Além disso, outras informações importantes são que o segredo (MOON) émaior que 5.000 e que um número de dois algarismos (IN) elevado aoquadrado é igual a MOON. Além disso, o algarismo das dezenas de IN (I) édiferente de quaisquer algarismos do segredo (MOON).

Como faremos o teste? Vamos adotar o seguinte procedimento.

I – Repare que os algarismos das unidades (N) do número elevado aoquadrado (IN) tem que ser igual ao algarismo das unidades do segredo(MOON). Ora, quais são os números de 1 a 9 que elevados ao quadradopossuem algarismos das unidades iguais? Vejamos

02 = 0 (ok)12 = 1 (ok)22 = 432 = 942 = 1652 = 25 (ok)62 = 36 (ok)72 = 4982 = 6492 = 81Por enquanto, temos que N pode ser 0, 1, 5 ou 6.

II – Com isso, quais são os números de dois algarismos (I0 ou I1 ou I5 ou I6)possíveis? São eles: 10, 11, 15, 16, 20, 21, 25, 26, 30, 31, 35, 36, 40, 41, 45,46, 50, 51, 55, 56, 60, 61, 65, 66, 70, 71, 75, 76, 80, 81, 85, 86, 90, 91, 95,96.

Repare ainda que:(60)2 = 3.600, que é menor que 5.000. Logo, o segredo (MOON) é maior que60.

(70)2 = 4.900, que é menor que 5.000. Logo, o segredo (MOON) é maior que70.



Com isso todos os números menores ou iguais a 70 também terão os seusquadrados menores que 5.000. Com isso, eliminamos 10, 11, 15, 16, 20, 21,25, 26, 30, 31, 35, 36, 40, 41, 45, 46, 50, 51, 55, 56, 60, 61, 65, 66 e 70.

Nossa lista de testes ficou com: 71, 75, 76, 80, 81, 85, 86, 90, 91, 95, 96.

IV – Vamos testar os demais:

(IN)2 = (71)2 = 71 x 71 = 5.041 (é maior que 5.000, mas não atende a outracaracterística do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (4) não é igual aoalgarismo das centenas (0)).


(IN)2 = (76)2= 76 x 76 = 5.776Será que este número atende todas as especificações da questão? Vejamos:

I = 7N =6(IN)2 = MOON = 762 = 5.776É maior que 5.000 e o algarismo das dezenas (7) é igual ao algarismo dascentenas (7). Tudo bem até aqui? Sim, mas repare que o algarismo dasdezenas de IN (I = 7) é igual do algarismo O (O = 7) do segredo, fato que nãoé possível, pois I é diferente de O. Portanto, 76 também não serve.

Continuando os nossos testes:(IN)2 = (80)2 = 80 x 80 = 6.400 (é maior que 5.000, mas não atende a outracaracterística do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (0) não é igual aoalgarismo das centenas (4)).


(IN)2 = (85)2= 85 x 85 = 7.225É maior que 5.000 e o algarismo das dezenas (2) é igual ao algarismo dascentenas (2). Tudo bem até aqui? Sim. Além disso, o algarismo das dezenasde IN (I = 8) é diferente do algarismo O (O = 2) do segredo. Portanto, osegredo é 7.225.

M = 7O = 2O = 2N = 5A questão pede a soma: M + O + O + N = 7 + 2 + 2 + 5 = 16 GABARITO: A



4.(Analista de Processos Organizacoinais-Administração-Bahiagás-FCC-2010) Em uma partida de basquete o jogador pode fazer cestas valendo3 pontos, 2 pontos ou 1 ponto. A respeito dos únicos cinco jogadores de umaequipe que participaram de uma partida, sabe-se que:

− Alberto fez 19 pontos;− Bernardo fez apenas cestas de 3 pontos;− Cláudio fez apenas 13 cestas, todas de 2 pontos;− Diogo fez apenas cestas de 1 ponto;− Elton não fez cestas.

Se Diogo fez o dobro do número de cestas de Bernardo, é correto afirmar queo total de pontos feitos pela equipe nessa partida necessariamente é umnúmero

(A) que deixa resto 2 na divisão por 5.(B) múltiplo de 7.(C) múltiplo de 5.(D) múltiplo de 3.(E) ímpar. Resolução A questão pede o número total de pontos feitos pela equipe de basquete.Vamos às informações da questão:

I) Alberto = 19 pontos (já informado).

II) Bernardo: não foi informado o número de pontos de Bernardo e sim que elesó fez cestas de 3 pontos. Vamos supor que Bernardo tenha feito X cestas.Bernardo = X cestas x 3 pontos = 3.X pontos

III) Cláudio: fez 13 cestas, todas de 2 pontos. Portanto, o total de pontosfeitos por Cláudio é:Cláudio = 13 cestas x 2 pontos = 26 pontos.

IV) Diogo: fez apenas cestas de 1 ponto. Além disso, foi informado que Diogofez o dobro do número de cestas de Bernardo. Como consideramos queBernardo fez X cestas, Diogo fez 2X cestas (o dobro do número de cestas deBernardo).Diogo = 2.X cestas x 1 ponto = 2.X pontos.

V) Elton: não fez cestas.

Total de pontos do time de basquete = 19 + 3X + 26 + 2X = 5X + 45 ⇒

Repare que os dois termos (5X e 45) são múltiplos de 5 e, portanto, podemoscolocar o 5 em “evidência”:⇒ Total de pontos do time de basquete = 5.X + 5.9 = 5.(X + 9)



Portanto, podemos afirmar, com certeza, que o número total de pontos dotime de basquete é divisível por 5, pois ele pode ser fatorado em 5 vezes (X +9).

Se o número total de pontos do time de basquete é divisível por 5, ele é um número múltiplo de 5. GABARITO: C 5.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP-2010-FCC) Um provedor de acesso à internet cobrava de seus clientes R$80,00 por mês para acesso discado sem qualquer controle das horas utilizadas.Querendo limitar o tempo de conexão dos clientes, ofereceu um plano, noqual, por R$ 60,00, o cliente usaria os serviços por no máximo 70 horasmensais e pagaria R$ 2,00 por hora excedente. No mês seguinte, ao recebersua conta de consumo, um cliente que havia optado por esse plano verificouque o valor de sua conta ficou 60% maior em relação ao valor que pagaria noplano anterior. O número de horas em que esse cliente esteve conectado foi

(A) 96(B) 104(C) 110(D) 122(E) 126 Resolução Vamos, novamente, “decifrar” a questão e transformá-la em linguagemmatemática:

Provedor de acesso à internet:Preço cobrado = R$ 80,00 por mês sem controle das horas utilizadas.

Querendo limitar o tempo de conexão dos clientes, o provedor ofereceu oseguinte plano:

R$ 60,00 por 70 horas mensaisR$ 2,00 por hora excedente

Se fôssemos montar uma expressão matemática para o valor a ser pago pelosclientes neste novo plano, de acordo com as horas utilizadas, teríamos:

X = número de horas utilizadasI) Se X ≤ 70 horas ⇒ Valor = R$ 60,00

II) Se X > 70 horasValor = 60 + 2 x (X – 70), onde (X – 70) representa o excedente de horasacima de 70.



No mês seguinte, ao receber sua conta de consumo, um cliente que haviaoptado por esse plano verificou que o valor de sua conta ficou 60% maior emrelação ao valor que pagaria no plano anterior.

Ou seja, no mês 1, o cliente pagou R$ 80,00 (acesso ilimitado). No mês 2, coma mudança para o plano novo, a conta do cliente aumentou em 60%.

Valor Pago no Mês 2 = Valor Pago no Mês 1 + 60% x Valor Pago no Mês 1 ⇒

⇒ Valor Pago no Mês 2 = 80 + 60% x 80 = 80 +60

100x 80 ⇒

⇒ Valor Pago no Mês 2 = 80 + 0,60 x 80 = 80 + 48 = 128

Substituindo esse valor (R$ 128,00) na expressão que montamos, teríamos:Valor = 60 + 2 x (X – 70) ⇒⇒ 128 = 60 + 2 x (X – 70) ⇒⇒ 128 – 60 = 2 x (X – 70) ⇒⇒ 2 x (X – 70) = 68 ⇒

⇒ X – 70 =68

2⇒

⇒ X – 70 = 34 ⇒⇒ X = 34 + 70 ⇒⇒ X = 104 horas GABARITO: B

6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-Marnahão-2009-FCC) O seguinte arranjo de números é conhecido comotriângulo de Pascal:

Sabe-se que os números do triângulo de Pascal correspondem aos coeficientesdo desenvolvimento de (a + b)n, segundo as potências decrescentes de a. Deacordo com essas informações, o coeficiente do termo contendo os fatores x5y2

no desenvolvimento de (2x + y)7 é

(A) 672(B) 480(C) 240(D) 32(E) 21



Resolução Vamos relembrar a regra de formação do triângulo de Pascal:

Primeira regra: a primeira linha começa com “1”.Segunda regra: a cada linha, aumentamos um termo.Terceira regra: os termos extremos (direita e esquerda) são sempre iguais a“1”.Quarta regra: os termos do meio de uma linha correspondem à soma dostermos acima e à direita da linha anterior.

Vejamos:Linha 0: 1

Linha 1: 1 1 (Aumenta um termo – agora são dois - e os extremos devem ser1. Não termos do meio)

Linha 2: 1 2 1(Aumenta um termo – agora são três – e os extremos devem ser1. O termo do meio é a soma dos termos acima (1) e à direita da linha anterior(1): 1 + 1 = 2).

Linha 3: 1 3 3 1(Aumenta um termo – agora são quatro – e os extremosdevem ser 1. Os termos do meio são a soma dos termos acima e à direita dalinha anterior).

Termo do meio 1 = 1 + 2 = 3Termo do meio 2 = 2 + 1 = 3

Linha 4: 1 4 6 4 1(Aumenta um termo – agora são cinco – e os extremosdevem ser 1. Os termos do meio são a soma dos termos acima e à direita dalinha anterior).

Termo do meio 1 = 1 + 3 = 4Termo do meio 2 = 3 + 3 = 6Termo do meio 3 = 3 + 1 = 4

E assim por diante. Ou seja, o triângulo de Pascal seria:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1

Um outro dado importantíssimo é que estes termos correspondem aos valoresdas potências dos binômios. Considere um binômio (x + y)n.

Quando:Linha 0: n = 0 ⇒ (a + b)0 = 1(primeira linha do triângulo de Pascal)



Repare que, para (a + b)1, só há dois termos a e b:Linha 1: n = 1 ⇒ (a + b)1 = a + b = 1.a + 1.b(os valores que multiplicam os termos correspondem à segunda linha dotriângulo de Pascal)

Repare que, para (a + b)2, começamos com o termo a2.b0 e, aí, vamosdiminuindo em uma unidade a potência de a e aumentando em uma unidade apotência de b, até b2.Linha 2: n = 2 ⇒ (a + b)2 = a2.b0+ 2a2-1.b0+1 + a2-2.b0+2 = 1.a2 + 2ab + 1.b2

(os valores que multiplicam os termos correspondem à terceira linha dotriângulo de Pascal)

Repare que, para (a + b)3, começamos com o termo a3.b0 e, aí, vamosdiminuindo em uma unidade a potência de a e aumentando em uma unidade apotência de b, até b3.Linha 3: n = 3 ⇒ (a + b)3 = a3.b0 + 3a3-1.b0+1 + 3a3-2.b0+2 + a3-3.b0+3 ⇒⇒ (a + b)3= 1.a3 + 3a2b + 3ab2 + 1.b3

(os valores que multiplicam os termos correspondem à quarta linha dotriângulo de Pascal).

Bom, agora que sabemos as regras, a questão pede o coeficiente do termocontendo os fatores x5y2 no desenvolvimento de (2x + y)7. Como n é igual 7(potência do binômio), temos que montar o triângulo de Pascal até a sétimalinha:

Linha 0: 1Linha 1: 1 1Linha 2: 1 2 1Linha 3: 1 3 3 1Linha 4: 1 4 6 4 1Linha 5: 1 5 10 10 5 1Linha 6: 1 6 15 20 15 6 1Linha 7: 1 7 21 35 35 21 7 1

Lembre que os termos do meio de uma linha são o resultado da soma dostermos acima e à direita da linha anterior. No caso da linha 7, teríamos:

Termo do Meio 1 = 1 + 6 = 7Termo do Meio 2 = 6 + 15 = 21Termo do Meio 3 = 15 + 20 = 35Termo do Meio 4 = 20 + 15 = 35Termo do Meio 5 = 15 + 6 = 21Termo do Meio 6 = 6 + 1 = 7

Precisamos montar (2x + y)7. Repare que nosso “a” será igual a 2x e nosso “b”será igual a y. Montando nossa expressão utilizando a linha 7 do triângulo dePascal (a potência do binômio é igual 7):

(2x + y)7 = 1.(2x)7.y0 + 7.(2x)7-1.y0+1 + 21.(2x)7-2.y0+2 + 35.(2x)7-3.y0+3 +35. (2x)7-4.y0+4 + 21.(2x)7-5.y0+5 + 7.(2x)7-6.y0+6 + 1.(2x)7-7.y0+7



(2x + y)7 = 1.(2x)7 + 7.(2x)6.y1 + 21.(2x)5.y2 + 35.(2x)4.y3 + 35. (2x)3.y4 +21.(2x)2.y5 + 7.(2x)1.y6 + 1.y7

A questão pede o coeficiente do x5.y2:Coeficiente de x5.y2 = 21.(2x)5.y2 = 21 . 25. x5 . y2 = 21 . 32 . x5y2 ⇒⇒ Coeficiente de x5.y2 = 672. x5y2

GABARITO: A

7.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-Marnahão-2009-FCC) O professor Chico Nery publicou um artigo na Revistado Professor de Matemática no 70, relatando um episódio ocorrido em uma desuas aulas. Ao observar que vários números ímpares podiam ser escritos comodiferença de dois quadrados perfeitos, um aluno lhe perguntou se isso erasempre verdadeiro. O professor Nery considerou que todo número ímpar é daforma 2k + 1, sendo k número natural; por isso, tem-se:

2k + 1 = (k2 + 2k + 1) – k2 = (k + 1)2 – k2.

Isso demonstra que o fato observado é sempre verdadeiro. Com base nessademonstração, percebe-se que o número ímpar 100.001 é igual a

(A) 50 0002 – 49 9992

(B) 50 0012 – 49 9992

(C) 100 0012 – 100 0002

(D) 100 0002 – 100 0022

(E) 50 0012 – 50 0002

Resolução Esta questão demonstra que um número ímpar pode ser escrito como adiferença de dois quadrados perfeitos:2k + 1 = (k2 + 2k + 1) – k2 = (k + 1)2 – k2.

A questão pede, simplesmente, para “montarmos” esta expressão para onúmero ímpar “100.001”. Como o número ímpar, na expressão acima, érepresentado por 2k + 1, basta igualarmos 2k + 1 a 100.001 e achamos ovalor de k. Vejamos:

2k + 1 = 100.001 ⇒ 2k = 100.001 – 1 ⇒ 2k = 100.000 ⇒ k =100.000

2⇒

⇒ k = 50.000

Portanto, 100.001 pode ser representado por:100.001 = (k + 1)2 – k2 = (50.000 + 1)2 – (50.000)2 ⇒⇒100.001 = 50.0012 – 50.0002

GABARITO: E



8.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-Marnahão-2009-FCC) Em uma aula sobre fatoração e simplificação depolinômios, um professor de matemática solicitou que seus alunos obtivessem

o valor numérico de2

2

8 15

25

x x

x

+ +

−para x = 4,99. O resultado correto do

problema proposto é

(A) −799(B) −679(C) −563(D) −497(E) 546

Resolução Repare que não precisamos, simplesmente, substituir x = 4,99 na expressão2

2

8 15

25

x x

x

+ +

−para calcular o seu valor numérico. Vamos inicialmente,

simplificar a expressão.

Em relação ao denominador, você não pode esquecer!A2 – B2 = (A + B).(A – B) x2 – 25 = x2 – 52 = (x + 5).(x – 5). Portanto, fatoramos o denominador!

E o numerador? O que faremos? Bom, vou ensinar outro “macete” (queveremos novamente, quando tratarmos de equação do segundo grau). Umtrinômio do tipo x2 + bx + c possui as seguintes características:

b = menos soma das raízes do binômioc = produto das raízes do binômio

E que história é essa de raízes do trinômio? São os valores de x para os quaiso trinômio é igual a zero. Serão apenas duas raízes, pois o trinômio é de grau2.

Repare que 15 é igual a (–5) x (–3) e que 8 é igual a –(–5 – 3). Coincidência?Não. Essas são as raízes do trinômio. Veja:

x = –5 ⇒ x2 + 8x + 15 = (–5)2 + 8 x (–5) + 15 = 25 – 40 + 15 = 0 (ok)x = –3 ⇒ x2 + 8x + 15 = (–3)2 + 8 x (–3) + 15 = 9 – 24 + 15 = 0 (ok)

Portanto, o trinômio x2 + bx + c pode ser fatorado por:(x – Raiz 1).(x – Raiz 2)

Logo, o trinômio x2 + 8x + 15 pode ser fatorado da seguinte maneira:x2 + 8x + 15 = (x – (-5)).(x – (-3)) = (x + 5).(x + 3)



A expressão inicial ficaria da seguinte forma:2

2

8 15 ( 5).( 3)

25 ( 5).( 5)

x x x x

x x x

+ + + +=

− + −

Simplificando o x + 5:2

2

8 15 ( 5).( 3) 3

25 ( 5).( 5) 5

x x x x x

x x x x

+ + + + += =

− + − −

Agora, podemos substituir por x = 4,99:2

2

8 15 3 4,99 3 7,99

25 5 4,99 5 0,01

x x x

x x

+ + + += = =

− − − −

Mais três observações para “fechar” a questão:1) Podemos “passar” o sinal menos do denominador para o numerador semalterar a fração. É o mesmo que multiplicarmos o numerador e o denominadorpor menos 1 (-1). Veja:7,99 1 7,99

.0,01 1 0,01

− −=

− −

2) 0,01 =1

100(fração decimal, onde o número algarismos após a vírgula

representa o número zeros que o denominador, que é múltiplo de 10, terá).7,99 1 7,99 7,99

.10,01 1 0,01

100

− − −= =

− −

3) Divisão de uma fração: troca o sinal para multiplicação e inverte a fração dodenominador:7,99 1 7,99 7,99 100

. 7,99. 79910,01 1 0,01 1

100

− − −= = = − = −

− −

GABARITO: A



9.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-Marnahão-2009-FCC) Uma herança de R$ 50.000,00 será repartida entre 3filhos de forma que cada um receba valor diretamente proporcional à suaidade. Armando e Bernadete são gêmeos, e Carlos é o filho mais velho.Chamando de x a idade de Armando e Bernadete, e de y a idade de Carlos, écorreto dizer que Armando receberá de herança, em reais, a quantia de

(A)50.000

2x y+

(B)50.000x

x y+

(C)50.000

2

x

x y+

(D)50.000(2 )x y

x

+

(E)2

50.000

x y+

Resolução De acordo com a questão, os filhos receberão a herança de forma proporcionalas suas idades, ou seja, será proporcional à idade de cada um em relação àsoma das idades.

Idade de Armando = xIdade de Bernadete = x (Armando e Bernadete são gêmeos)Idade de Carlos = y

Soma das Idades = x + x + y = 2x + yHerança = 50.000

Valor a ser recebido por Armando (A):

A =idade Armando

Soma idadesx Herança =

50.00050.000

2 2

x x

x y x y× =

+ +GABARITO: C



10.(Professor de Matemática-Teresina-2009-FCC) Se os númerosnaturais A e B são tais que:

− mmc(A,B) = 840,− mdc(A,B) = 12,− A = 2x . 15 e B = 2y . 21, com x > y,

então, A + B é igual a

(A) 204.(B) 900.(C) 490.(D) 852.(E) 432.

Resolução Representando o A e o B em fatores primos:A = 2x . 15 = 2x . 3 . 5B = 2y . 21 = 2y . 3 . 7x > y I) mmc (A, B): fatores comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes.

Fator Comum = 2Maior expoente = xFator Comum Elevado ao Maior Expoente = 2x

Fator Comum = 3Maior expoente = 1Fator Comum Elevado ao Maior Expoente = 3

Fatores Não Comuns = 5 e 7

mmc (A, B) = 2x . 3 . 5 . 7 = 840 ⇒

⇒ 2x =840

3 5 7× ×

Fatorando 840 para facilitar a conta:840 2420 22101053571

2357

Fatoração de 840 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 23 x 3 x 5 x 7



33

3

840 2 3 5 72 2

15 21 3 5 7

2 2 3

x

x x

× × ×⇒ = = = ⇒

× × ×

⇒ = ⇒ =

II) mdc (A, B): fatores comuns elevados aos menores expoentes.

Fator Comum = 2Menor expoente = yFator Comum Elevado ao Menor Expoente = 2y

Fator Comum = 3Menor expoente = 1Fator Comum Elevado ao Menor Expoente = 3

mdc (A, B) = 2y . 3 = 12 ⇒⇒ 2y . 3 = 3 . 4 ⇒

⇒ 2y=3 2 2

3

× ×⇒

⇒ 2y = 2 x 2 = 22 ⇒y = 2

A = 2x . 15 = 23 . 15 = 8 x 15 = 120B = 2y . 21 = 22 . 21 = 4 x 21 = 84

A questão pede o valor de A + B = 120 + 84 = 204 GABARITO: A 11.(Auxiliar Judiciário-Área: Judiciária-TRF/2R-2007-FCC) Certo dia, emuma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judiciário observou queo número de pessoas atendidas no período da tarde excedera o das atendidaspela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a quantidade de pessoasatendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendida no período

da tarde era5

3, então é correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas

(A) 130 pessoas.(B) 48 pessoas pela manhã.(C) 78 pessoas à tarde.(D) 46 pessoas pela manhã.(E) 75 pessoas à tarde.

Resolução Vamos decifrar a questão:Número de pessoas atendidas no período da tarde = TNúmero de pessoas atendidas no período da manhã = M



De acordo com a questão: O número de pessoas atendidas no período da tardeexcedera o das atendidas pela manhã em 30 unidades.

T = M + 30 (I)

Ainda de acordo com a questão: A razão entre a quantidade de pessoasatendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendida no período

da tarde era5

35 5

.3 3

TT M

M= ⇒ = (II)

Substituindo (II) em (I):5

30 . 303

5 5 3. 30 . . 303 3 3

5 3 2. 30 . 30

3 3

330. 15 3 452

T M M M

M M M M

M M

M M M

= + ⇒ = + ⇒

⇒ − = ⇒ − = ⇒

−⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ = × ⇒ =

T = M + 30 = 45 + 30 ⇒ T = 75GABARITO: E

12.(Auxiliar Judiciário-Área: Judiciária-TRF/2R-2007-FCC) Calculandoos 38% de vinte e cinco milésimos obtém-se

(A) 95 décimos de milésimos.(B) 19 milésimos.(C) 95 milésimos.(D) 19 centésimos.(E) 95 centésimos. Resolução Mais uma questão de frações!

38% =38

100

Vinte e cinco milésimos =25

1.000(se é milésimos, temos 1.000 no

denominador).



38% de vinte e cinco milésimos é igual a:

38% x vinte cinco milésimo

=38

100x25

1.000=

38 25 38 25 25 38

100 1.000 100 1.000 25 4 1.000

× ×= ÷ =

× × ×

Se dividirmos 38 por 4, o resultado será 9,5 com resto 0.38 9,5

4 1.000 1.000=

×

Ou seja, em “português” seria 9,5 (nove vírgula cinco) milésimos, mas não háesta resposta.

Contudo nas alternativas, há 95 (noventa cinco). Para obtermos 95, devemosmultiplicar o numerador por 10. Para não alterar a proporcionalidade da fraçãodevemos multiplicar o denominador também por 10. Vejamos:38 9,5 10 95

0,00954 1.000 1.000 10 10.000

= × = =×

Em “português”, falaríamos noventa e cinco décimos de milésimos.GABARITO: A

13.(Professor de Matemática-SESI/SP-2004-FCC) Simplificando a fração2

2

4 2

( 1)( 4 4)

x x

x x x

− + +− + +

, na qual x ≠ 1 e x ≠ −2 obtém-se

(A)1

1x −

(B)1

2x +

(C)2

1

x

x

+−

(D) x − 1(E) x + 2 Resolução Mais uma questão de simplificação de frações. Relembrando:

(a2 – b2) = (a + b).(a – b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Na questão temos:(x2 – 4) = x2 – 22 = (x + 2).(x – 2)x2 + 4x + 4 = x2 + 2. 2x + 22 = (x + 2)2



Substituindo na expressão:

2

2 2

4 2 ( 2).( 2) ( 2)

( 1)( 4 4) ( 1).( 2)

x x x x x

x x x x x

− + + + − + +=

− + + − +

Repare que, como os dois termos do numerador possuem (x + 2), podemoscolocá-lo em evidência:

[ ] [ ]2 2 2 2

( 2). ( 2) 1 ( 2). 2 1( 2).( 2) ( 2) ( 2).( 1)

( 1).( 2) ( 1).( 2) ( 1).( 2) ( 1).( 2)

x x x xx x x x x

x x x x x x x x

+ − + + − ++ − + + + −= = =

− + − + − + − +

Portanto, podemos simplificar o numerador com o denominador “cortando” o(x + 2) e o (x – 1):

2

( 2).( 1) ( 1) 1

( 1).( 2) ( 1).( 2) 2

x x x

x x x x x

+ − −= =

− + − + +

GABARITO: B

14.(CEFET/PA-Cespe-2003) Com os algarismos a, b e c, escolhidos noconjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}, forma-se o número natural N = abcabc.Com base nessas informações, julgue os itens seguintes:

I – O número N pode ser escrito como N = 100.000a + 10.000b + 100c.II – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número par.III – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número primo.IV – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por7.V – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por11.

A quantidade de itens certos é igual a:

(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 5

Resolução Mais uma questão para ser decifrada.

Com os algarismos a, b e c, escolhidos no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9},forma-se o número natural N = abcabc.



Vamos analisar os itens:

I – O número N pode ser escrito como N = 100.000a + 10.000b + 100c.

Como N é um número decimal e é igual a abcabc, pode ser representado por:Algarismos da direita para a esquerda:c = Algarismo de ordem 0. Representa as unidades. Será multiplicado por 100.b = Algarismo de ordem 1. Representa as dezenas. Será multiplicado por 101.a = Algarismo de ordem 2. Representa as centenas. Será multiplicado por 102.c = Algarismo de ordem 3. Representa os milhares. Será multiplicado por 103.b = Algarismo de ordem 4. Representa as dezenas de milhares. Serámultiplicado por 104.a = Algarismo de ordem 5. Representa as centenas de milhares. Serámultiplicado por 105.

Portanto, o número N = abcabc, na base decimal, é representado por:abcabc = a x 105 + b x 104 + c x 103 + a x 102 + b x 101 + c x 100 ⇒⇒ abcabc = a x 100.000 + b x 10.000 + c x 1.000 + a x 100 + b x 10 + c⇒ abcabc = 100.000a + 10.000b + 1.000c + 100a + 10b + c ⇒⇒ abcabc = (100.000 + 100)a + (10.000 + 10)b + (1.000 + 1)c ⇒⇒ abcabc = 100.100a + 10.010b + 1.001c O item está ERRADO.

II – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número par.O item está ERRADO, pois somente se c for um número par (2, 4, 6 ou 8), onúmero N = abcabc será par.

III – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número primo.Os números primos são divisíveis por eles mesmos e por 1. Contudo, se c forpar (2, 4, 6 ou 8), além de N = abcabc ser divisível por ele mesmo e por 1,também será divisível, pelo menos, por 2. Portanto, o item está ERRADO.

IV – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por7.Do item I, chegamos ao resultado que:N = abcabc = 100.100a + 10.010b + 1.001c

Repare que todos os termos são divisíveis por 1.001 (sei que é difícil, mastemos que ficar atentos a todos os detalhes na hora da prova). Veja:

100.100 = 100 x 1.00110.010 = 10 x 1.0011.001 = 1 x 1.001

Portanto, podemos colocar o 1.001 em evidência:N = abcabc = 100.100a + 10.010b + 1.001c ⇒⇒ N = 100 x 1.001 x a + 10 x 1.001 x b + 1.001 x c ⇒⇒ N = 1.001 x (100a + 10b + c)



Ou seja, N pode ser representado pela multiplicação de dois fatores: 1.001 e(100a + 10b + c).

Portanto, se verificarmos que 1.001 é divisível por 7, então o número N serádivisível por 7, independentemente do valores de a, b e c.

1.001 : 7 = 143 com resto 0. Portanto, N é divisível por 7, independentemente dos valores de a, b e c. O item está CORRETO.

V – Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por11.

Faremos a mesma análise do item anterior. Se verificarmos que 1.001 édivisível por 11, então o número N será divisível por 11, independentementedo valores de a, b e c.

1.001 : 11 = 91 com resto 0. Portanto, N é divisível por 11, independentemente dos valores de a, b e c. O item está CORRETO.

Há dois itens corretos.GABARITO: B

15.(CEFET/PA-Cespe-2003) Para enviar uma mensagem de Belém-PA paraBrasília-DF, via fax, uma empresa de telecomunicações cobra R$ 1,20 pelaprimeira página e R$ 0,80 para cada página adicional, completa ou não.Sabendo-se que, nessas condições, um empresário gastou R$ 12,40 paraenviar um documento de Belém para Brasília, é correto afirmar que o númerode páginas que esse documento contém é igual a:

(A) 11(B) 13(C) 15(D) 17(E) 19

Resolução A cobrança da empresa de telecomunicações, para que seja enviado um fax, é:Primeira Página = R$ 1,20Página Adicional (completa ou não) = R$ 0,80

Portanto, considerando que o empresário irá enviar X páginas de fax, teríamosa seguinte expressão:

Valor Gasto = 1,20 x 1 + 0,80 x (X – 1)Repare que multiplico R$ 1,20 por 1 (que corresponde à primeira página) e R$0,80 por (X – 1) (que correspondem às páginas seguintes, da 2 em diante, ouseja, o total de páginas menos a primeira página).



Como o empresário gastou R$ 12,40, teríamos:

12,40 = 1,20 x 1 + 0,80 x (X – 1) ⇒⇒ 12,40 = 1,20 + 0,80X – 0,80 ⇒⇒ 12,40 = 1,20 – 0,08 + 0,80X ⇒⇒ 12,40 = 0,40 + 0,80X ⇒⇒ 0,80X = 12,40 – 0,40 ⇒⇒ 0,80X = 12 ⇒

⇒ X =12 12 10 10

12 3 3 580,8 8 2

10

= = × = × = × ⇒ X = 15 páginas

Repare que:

I) 0,8 =8

10II) 12 e 8 são divisíveis por 4. Por isso, simplifiquei a expressão: 12 divididopor 4 é igual a 3 e 8 dividido por 4 é igual a 2.GABARITO: C

16.(CEFET/PA-Cespe-2003) Assinale a opção que corresponde ao número0,064:

(A)

21

800

(B)

21

80

(C)

31

800

(D)

38

10

(E)

32

5

Resolução

0,064 =64

1.000(fração decimal: três algarismo após o zero corresponde ao

número de zeros que terá o denominador, que é uma potência de 10).



Se fatorarmos o numerador e o denominador:64 232 2168421

2222

Fatoração de 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26

1.000 2500 22501252551

2555

Fatoração de 1.000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 = 23 x 53

Portanto, nossa fração ficaria da seguinte forma:

0,064 =

36 6 3 3

3 3 3 3

64 2 2 2 2

1.000 2 5 5 5 5

− = = = = × GABARITO: E

17.(CEFET/PA-Cespe-2003) Marcos e Pedro receberam, no início de abril,

mesadas de valores iguais. No final do mês, Marcos havia gastado4

5de sua

mesada e Pedro5

6da sua. Sabendo que Marcos ficou com R$ 10,00 a mais

que Pedro, o valor da mesada recebida por cada um deles é:

(A) inferior a R$ 240,00.(B) superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00.(C) superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00.(D) superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00.(E) superior a R$ 360,00. Resolução De acordo com a questão, Marcos e Pedro receberam, no início de abril,mesadas de valores iguais. Vamos denominar o valor da mesada como sendoM.



No final do mês, Marcos havia gasto quatro quintos (4

5) de sua mesada.

Portanto, no final do mês, Marcos ainda tinha1

5da mesada. Veja:

Valor que sobrou no final do mês (Marcos) =4 5 4 5 4 1. . . . .5 5 5 5 5

M M M M M M−

− = − = =

Por outro lado, no final do mês, Pedro havia gasto quatro quintos (5

6) de sua

mesada. Portanto, no final do mês, Pedro ainda tinha1

6da mesada. Veja:

Valor que sobrou no final do mês (Pedro) =5 6 5 6 5 1. . . . .6 6 6 6 6

M M M M M M−

− = − = =

Ainda de acordo com a questão: Marcos ficou com R$ 10,00 a mais que Pedro,o valor da mesada recebida.

1 1. . 105 6M M− =

Repare que o mmc (5,6) = 5 x 2 x 3 = 30. Portanto, teríamos:1 1 1 6 1 5. . 10 . . . . 105 6 5 6 6 5

6 5 1. 10 . 10 10 30

30 30

300

M M M M

M M M

M

− = ⇒ − = ⇒

−⇒ = ⇒ = ⇒ = × ⇒

⇒ =GABARITO: C 18.(CEFET/PA-Cespe-2003) Sabendo-se que o produto dos númerosinteiros positivos m e n é igual a 572, que a divisão de m por x tem quociente4 e resto 2 e que a divisão de n por x + 1 tem também quociente 4 e resto 2,é correto afirmar que o valor de m + n é igual a:

(A) 48(B) 46(C) 42(D) 38(E) 36



Resolução Dois números inteiros positivos: m e n

Produto dos números inteiros positivos m e n é igual a 572: m.n = 572

Relembrando da aula 0:.a b q r= +

a = dividendo b = divisor q = quociente r = resto

Divisão de m por x tem quociente 4 e resto 2:m = 4x + 2 (I)

Divisão de n por x + 1 tem também quociente 4 e resto 2:n = 4.(x + 1) + 2 ⇒ n = 4x + 4 + 2 ⇒ n = 4x + 6 (II)

Fazendo (II) – (I):n – m = 4x + 6 – (4x + 2) ⇒ n – m = 4x + 6 – 4x – 2 ⇒ n – m = 4

Logo, temos que:

m.n = 572 (III)n – m = 4 ⇒ n = m + 4 (IV)

Substituindo (IV) em (III):m.n = 572 ⇒ m . (m + 4) = 572 ⇒ m2 + 4m – 572 = 0

Ainda não aprendemos a resolver uma equação do segundo grau pela fórmulade Báskara, mas vou mostrá-la aqui (veremos na próxima aula):

ax2 + bx + c = 0

Raízes da equação (Fórmula de Báskara): x =2 4

2

b b ac

a

− ± −

Em relação à questão, temos: 1.m2 + 4m – 572 = 0a = 1b = 4c = -572

Substituindo na fórmula de Báskara: m =2 4

2

b b ac

a

− ± −

m =24 4 4.1.( 572) 4 16 2.288 4 2.304

2.1 2 2

− ± − − − ± + − ±= =



Sabemos que:50 x 50 = 502 = 2.50040 x 40 = 402 = 1.600

Portanto, a raiz quadrada de 2.304 está entre 40 e 50. Como final do número é4 (2.304), vamos tentar números que elevados ao quadrado dêem final 4 (22

= 4 ou 82 = 64). Como 2.304 está mais próximo de 2.500, que é o quadradode 50, vamos tentar o número 48:

482 = 48 x 48 = 2.304. Portanto, a raiz quadrada de 2.304 é 48.

Continuando a resolução:

m =4 2.304 4 48

2 2

− ± − ±= =

Portanto, há duas raízes:

m =4 48 44

222 2

− += =

ou

m =4 48 52

262 2

− − −= = − (como, pela questão, m e n são inteiros positivos,

esta raiz está descartada).

Logo:m = 22

De (IV): n = m + 4 ⇒ n = 22 + 4 = 26

A questão pede o valor de m + n: m + n = 22 + 26 = 48 GABARITO: A

(STM-Cespe-2004) A revisão e a conservação dos veículos de determinadaorganização são executadas por empregados da própria organização. Paraessas tarefas, a organização dispõe de x empregados; a frota é composta pory veículos. Sabendo-se que os números x e y estão entre os números inteirosmúltiplos de 3 e divisores de 30, julgue os itens que se seguem:

19. Se o número x de empregados for igual a 40% do número y de veículos dafrota, então a soma x + y é superior a 20.

Resolução Vamos decifrar a questão: a revisão e a conservação dos veículos dedeterminada organização são executadas por empregados da própriaorganização.



Para essas tarefas, a organização dispõe de x empregados; a frota é compostapor y veículos.

Empregados = x (múltilplo de 3 e divisor de 30)Frota de veículos = y (múltiplo de 3 e divisor de 30)

Bom, para iniciar, vamos verificar quais são os divisores de 30:

Divisores de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30}Divisores de 30 que também são múltiplos de 3 = {3, 6, 15 e 30}

De acordo com o item: x = 40% . y = 0,40 . y. Portanto, y é maior que x.

Vamos testar as possibilidades:y = 30 ⇒ x = 0,40 x 30 = 12 (não pertence ao conjunto dos divisores de 30 emúltiplos de 3).

y = 15 ⇒ x = 0,40 x 15 = 6 (pertence ao conjunto dos divisores de 30 e múltiplos de 3). Portanto, é uma opção válida.

y = 6 ⇒ x = 0,40 x 6 = 2,4 (não pertence ao conjunto dos divisores de 30 emúltiplos de 3).

Logo, y = 15 e x = 6. Neste caso, x + y = 15 + 6 = 21, que é superior a 20. GABARITO: Certo

20. Se a razão entre x e y for igual a1

10, então o produto x . y é inferior a

81.

Resolução Empregados = x (múltilplo de 3 e divisor de 30)Frota de veículos = y (múltiplo de 3 e divisor de 30)Divisores de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30}Divisores de 30 que também são múltiplos de 3 = {3, 6, 15 e 30}

Para a razão entre x e y ser igual a1

10, y deve ser igual a 30 e x igual a 3.

Portanto, o produto xy = 30 x 3 = 90, que é maior que 81. GABARITO: Errado



(MPETO-Cespe-2006) Um grupo de voluntários que atuam em uma favela écomposto por X homens e Y mulheres. Sabe-se que o máximo divisor comumentre X e Y é igual a 6, que o mínimo múltiplo comum desses números é iguala 36, que existem mais mulheres que homens nesse grupo e que o número dehomens é superior a 10. Nesse caso, julgue os itens que se seguem:

21. O número de mulheres no grupo é superior a 16.

Resolução Informações da questão:Homens = XMulheres = Y MDC (X, Y) = 6mmc (x, y) = 36

Y > X (mais mulheres que homens)X > 10

Relembrando: MDC (X, Y) . mmc (X, Y) = X . Y ⇒⇒ 6 x 36 = XY ⇒⇒ XY = 6 x 62 = 63 = (2 x 3)3 = 23 x 33 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3

Aqui, temos que montar as várias possibilidades, pois X e Y serão formadospor parcelas do resultado de sua multiplicação representada por fatores primos(2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3). Repare que temos mais duas informações na questão:Y > X (mais mulheres que homens)X > 10

I) Repare que X não pode ser 2 ou 22 (4) ou 23 (8), pois são números menoresque 10 (exigência da questão).

II) X também não pode ser 23 x 3 = 8 x 3 = 24, pois somente sobraria para Yo valor de 3 x 3 = 9. Contudo, pela questão, Y deve ser maior que X.

III) X também não pode ser 32 x 2 = 9 x 2 = 18, pois somente sobraria para Yo valor de 22 x 3 = 4 x 3 = 12. Contudo, pela questão, Y deve ser maior que X.

IV) Com isso, a opção possível de X e Y seria:X = 2 x 2 x 3 = 12 (X > 10)Y = 3 x 3 x 2 = 18 (Y > X), que é superior a 16. GABARITO: Certo



22. 3X = 2Y. Resolução X = 12Y = 18

3X = 3 x 12 = 362Y = 2 x 18 = 36

3X = 2Y GABARITO: Certo

Abraços e até a próxima aula,

Bons estudos,

Moraes [email protected]

Alexandre [email protected]



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