AULA DO

CPOGTeoria dos conjutos

TEORIA DOS CONJUNTOSProfessor Felipe

Técnico de Operações – P-25 Petrobras

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Felipe da Silva Cardoso

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Tipos de conjunto

• Conjunto dos dias da semana,

• Conjunto dos times de futebol da primeira divisão,

• Conjunto das marcas de cerveja

• Conjunto dos alunos do Ensino Médio de um colégio

• Todo conjunto é formado por um ou vários objetos que são denominados elementos.

• Por exemplo: No conjunto dos dias da semana são elementos a segunda-feira, a terça feira, a quarta feira, etc.

• De maneira geral indicamos um conjunto por uma letra maiúscula

CONCEITOS IMPORTANTES

• PERTINÊNCIA: O conceito de pertinência procura relacionar um elemento com um conjunto. Um elemento pode pertencer ou não a um conjunto. Quando um elemento pertence a um conjunto, é por que ele está “dentro” do conjunto. Se o elemento não pertence a um conjunto, é por

que ele está “fora” do conjunto.

• Para representar um elemento pertencente a um conjunto

usamos o símbolo e para indicar um elemento que não

pertence a um conjunto usamos o símbolo ∉.

SUBCONJUNTO

• Esse conceito visa estabelecer uma relação entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A também é um elemento do conjunto B. Indica-se por:

• A B (lê-se A está contido em B)

• E dizemos que B é conjunto no qual encontra-se o conjunto A. Indica-se por:

• B ⊃ 𝑨 (lê-se B contém A)

IGUALDADE DE CONJUNTOS

• Dois conjuntos A e B são ditos iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos.

• Observação: A ordem em que os elementos aparecem não é importante quando trabalhamos com conjuntos. Sendo assim, dois conjuntos que possuam os mesmos elementos são iguais mesmo que os elementos apareçam em ordens diferentes.

• Conjunto vazio: O conjunto vazio corresponde a um tipo particular de conjunto, já que ele não possui elementos. Esse conjunto é usado para indicar uma situação impossível de ocorrer.

• Podemos indicar um conjunto vazio por {} ou . Nunca indique o conjunto vazio por {}.

• Conjunto Unitário: Corresponde a outro tipo especial de conjunto. O conjunto unitário é todo conjunto que possui apenas um elemento.

• Conjunto Universo: Corresponde ao conjunto ao qual pertencem todos os elementos que fazem parte do nosso estudo.

FORMAS DE REPRESENTAR UM CONJUNTO

• Por extensão: Nesse tipo de representação costumamos enumerar os elementos, escrevendo-os entre vírgulas e os limitando por meio de chaves:

• Exemplo: Seja A o conjunto que representa os meses do ano:

• A = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro}.

• Por Compreensão: Nesse tipo de situação procuramos representar o conjunto por meio de uma propriedade ou uma característica de seus elementos.

• Exemplo: Seja C o conjunto dos números naturais menores que 6.

• C = {x N/ x < 6}

• Por figura: Também conhecida como Diagrama de Euler-Venn, a representação por meio de figuras é uma alternativa muito boa para visualizarmos melhor o conjunto com o qual trabalhamos. Nesse tipo de representação colocamos os elementos que pertencem ao conjunto “dentro” da figura e os elementos que não pertencem ao conjunto “fora” da figura.

• Exemplo:

•

• Neste caso, os elementos 1,2,3,4 pertencem ao conjunto A, já os elementos 5, 6 não pertencem ao conjunto A.

CONJUNTO DAS PARTES

• O conjunto das partes de um conjunto é formado por todos os subconjuntos de A. Ou seja:

• ℙ (A) = {x / {x} A}• Exemplo: o conjunto das partes dos conjuntos abaixo: A = {0,

1} é:• ℙ (A) = {Ø, {0}, {1}, {0,1}}• Já para o conjunto B = {0, 1, 2}, o conjunto das partes será• ℙ (B) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 1, 2}}

PROPRIEDADES IMPORTANTES

• a) Ø ℙ (A)

• b) A ℙ (A)

• c) Se A possui n elementos, ℙ (A) possui elementos

Relações entre conjuntos

1 pertence a A

{1} está contido em A

{3} não está contido em B

B está contido em A

A não está contido em B

O conjunto vazio está contido em BB

BA

AB

B

A

A

CouC

B

A

}3{

}1{

1

{}

}2,1{

}4,3,2,1,0{

Operações com conjuntos:Intersecção

• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

• A B = {x/xA e x B} (Intersecção)

• A B = {0, 2}

A

B1 3 4 5 6

0 2

Operações com conjuntos:União

• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

• A B = {x/xA ou x B} (União)

• A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6}

A

B1 3 4 5 6

0 2

Operações com conjuntos:Diferença

• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

• A - B = {x/xA e xB} (Diferença)

• A - B = {1, 3, 4}

A

B1 3 4 5 6

0 2

Operações com conjuntos:Complementar

• Caso especial: um conjunto está contido no outro:

• A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos:

A B

0 1 25 6

• O complementar de B em relação a A:

}6,5{ ABC A

B

A B = {0, 1, 2, 5 ,6} = B A B = {0, 1, 2} = A

A-B={ } B-A={5, 6}

Operações com conjuntos:Produto cartesiano

• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

• A x B = {(x,y)/xA e yB} (Produto cartesiano)

• AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6);(1,0); (1,2); (1,5); (1,6);(2,0); (2,2); (2,5); (2,6);(3,0); (3,2); (3,5); (3,6);(4,0); (4,2); (4,5); (4,6)}

• Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20

• Par ordenado: (2, 0)(0, 2)

Representação no plano cartesiano

A={0, 1 ,2, 3, 4}

B={0, 2, 5, 6}

A

B

Atenção para:

•AxB: A no eixo horizontal e B

no eixo vertical

• (0,2) e (2,0) são pontos

distintos

• Os pontos não estão ligados

por linhas contínuas, isso

depende dos conjuntos e da

relação!

NÚMEROS NATURAIS

Estes números foram criados pela

necessidade prática de contar as coisas

da natureza, por isso são chamados de

números naturais.

1

2

3

4

A representação matemática deste conjunto é:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS INTEIROS

• Os números naturais não permitiam a resolução

de todas as operações. A subtracção de 3 - 4 era

impossível.

• A ideia do número negativo, aparece na

Índia,associada a problemas comerciais que

envolviam dívidas.

• A ideia do número zero surgiu também nesta

altura, para representar o nada.

NÚMEROS INTEIROS

A representação matemática deste conjunto é:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

A representação matemática deste conjunto

através de diagramas e feita desta maneira

N Z

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS RACIONAIS

Entretanto...surgiu outro tipo de problema:

“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “

Para resolver este tipo de problemas foram criados

os números fracionários. Estes números juntamente

com os números inteiros formam os racionais.

Conjuntos numéricos

• Representação decimal de números racionais:

– A representação decimal de um número racional é obtida pela divisão de a por b.

– Esta divisão pode resultar em decimais exatas ou dízimas periódicas:

b

a

...1666,06

15,0

2

1

NÚMEROS RACIONAIS

Q = Z { números fracionários }

A representação matemática deste conjunto é:

A representação matemática deste conjunto através de

diagramas e feita desta maneira.

N Z Q

NÚMEROS IRRACIONAIS

É formado pelos números decimais

infinitos não-periódicos.

Alguns números irracionais famosos:

• Pi que vale 3,14159265 ....

• Phi φ que vale 1,61803399...

• Raízes quadradas de números primos

Conjunto numéricos

Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir)

Números decimais que não admitem representação fracionária

Exemplo: , a raiz quadrada de um número inteiro não-negativo que não é inteira, decimais infinitas e não-periódicas

...123456,275,3,2,

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS REAIS

Os pitagóricos ao aplicarem o

Teorema de Pitágoras para

determinar a medida do

comprimento da diagonal de

um quadrado de lado unitário,

não conseguiram encontrar um

número racional para essa

medida.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

A representação matemática deste conjunto é:

R = Q { números irracionais }

NÚMEROS REAIS

A representação matemática deste conjunto através

de diagramas e feita desta maneira.

N Z Q

I

R

Petrobras 2003 TO CESP

Um posto de abastecimento decombustíveis vende gasolina

comum (GC), álcool anidro (AA)e óleo dísel (OD). Em uma

pesquisa realizada com 200 clientes, cada entrevistado declarou que seus veículos consomem pelo menos um dos produtos citados, de acordo com a tabela.Considerando essas informações e que cada veículo consome apenas um tipo de combustível, é correto afirmar que• 26) 35 clientes possuem apenas veículos que consomem OD.• 27) pelo menos dois produtos são consumidos pelos veículos de mais de

120 clientes.• 28) 10 clientes possuem mais de um veículo, sendo que pelo menos um

desses veículos consome GC e outro consome AA, mas não possuem nenhum veículo que consome OD.

PETROBRAS Cesp 2007

PETROBRAS 2008 CESP

PETROBRAS 2010 MAIO

PETROBRAS 2010

PETROBRAS 2010

PETROBRAS 2010.2

PETROBRAS 2011.2

PETROBRAS BIOCOMBUSTIVEIS

PETROQUIMICA SUAPE 2009