aula de redes 7

1Aula 7 Propriedades Estruturais de Grafos(continuao)

BC0506 - Comunicao e Redes

David Correa Martins [email protected]

2Na aula passada

Propriedades estruturaisCoeficiente de clusterizao/agrupamento.Densidade do grafo.Distribuio de grau.Distribuio complementar cumulativa.Distncia mdia e dimetro.

Gephi

3Propriedades Estruturais

t1 t2 t3

t5 t6 t7

4Propriedades Estruturais

5Gephi

6Arquivo 'grafo-teste.gdf' (Tidia)nodedef> name VARCHAR, label VARCHAR, group VARCHAR0 , Carlos H. , Professor1 , Joo E. , Professor2 , Junior B. , Professor3 , Marcel P. , Professor4 , Nina S. , Professor5 , Roberto H. , Professor6 , Roberto M. , Professor7 , Ronaldo F. , Professor8 , Jess P. , Colaborador9 , Andra B. , Alunoedgedef> node1 VARCHAR, node2 VARCHAR, weight DOUBLE2 , 4 , 2.0 2 , 5 , 1.0 2 , 6 , 3.0 2 , 7 , 1.0 4 , 5 , 3.0 4 , 7 , 1.0 5 , 6 , 4.0 6 , 7 , 2.0 6 , 8 , 10.0 6 , 9 , 1.0 8 , 9 , 2.0

7Arquivo 'grafo-teste.gdf'

8Gephi

9Gephi

10

I. Coreness

11

Coreness

O k-core de um grafo um subgrafo obtido da eliminao de todos os vrtices com grau menor ou igual a k.

O coreness de um dado vrtice, o mximo k tal que o vrtice ainda esteja presente no k-core, mas eliminado do (k+1)-core.

12

Coreness

Grafo original

13

Coreness

0-coreGrafo original

0

0

0

2

2

5

3

2

3

3

4

14

Coreness


0

0

0

2

2

5

3

2

3

3

4

15

Coreness


0

0

0

2

2

5

3

2

3

3

4

16

Coreness


0

0

0

2

2

5

3

2

3

3

4

17

Coreness

CorenessGrafo original

0

0

0

2

2

5

3

2

3

3

4

0

0

0

1

1

2

2

2

2

3

18

Coreness

CorenessGrafo original

0

0

0

2

2

5

3

2

3

3

4

3

2

2

2

2

11

19

Coreness

O coreness de um grafo o valor mdio dos coreness de todos os ns existentes no grafo.

O coreness do grafo seria = 13/10 = 1,3

0

0

0

1

1

2

2

2

2

3

20

Coreness

Exerccio: Determine o coreness de todos os vrtices dos seguintes grafos.

21

Coreness


2

2

2 2

k-1 corek-0 core k-1 core

k-2 core k-3 core

22

Coreness


0

1

2

22

23

k-0 core k-1 corek-0 core k-1 core

k-2 core k-3 core

23

Coreness

24

II. Clube Rico (Rich club)

25

Clube Rico

O clube rico (CR) de um grafo refere-se a um subgrafo que contm os vrtices com maior grau.

Geralmente o nmero de vrtices do CR limitado por uma porcentagem (e.g. 20%) dos vrtices com maior grau.

O coeciente de CR quantica quo perto um subgrafo, que contm os vrtices com maior grau, est de formar um clique.

Este coeciente a proporo do nmero de arestas no subgrafo, dividido pelo nmero mximo de arestas possveis no subgrafo.

O coeciente de clube rico pode variar de um mnimo de 0 (se no existem arestas) a um mximo de 1 (se o subgrafo for completo).

26

Clube Rico

Clube Rico (~50%)Grafo original

0

0

0

2

2

5

3

2

3

3

4

CR = 8/10 = 0,8

27

Clube Rico

Uma Rede Nacional de Pesquisa.

Ordem = 2456Tamanho = 13.868

28

Clube Rico

Uma Rede Nacional de Pesquisa.

Ordem = 2456Tamanho = 13.868

Clube Rico (~20%)Ordem = 491Tamanho = 659

CR = 0.005478199

29

Clube Rico

30

III. Centralidade

31

Centralidade

Intuitivamente, os vrtices mais centrais so aqueles que a partir dos quais podemos atingir qualquer outro com mais facilidade ou rapidez.

Diferentes medidas (locais):Centralidade de grau.Centralidade de proximidade.Centralidade de eficincia.Centralidade de intermediao de percursos aleatrios.

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Centralidade de Grau

A centralidade de Grau de um vrtice medida pelo nmero de vizinhos que ele possui.

Uma pessoa que se encontra em uma posio que permite o contato direto com muitos outros vista pelos demais como um canal maior de informaes, razo pela qual dizemos ser mais central.

33

Centralidade de Grau

Suponha dois grafos, G e H:

Ordem G = 8di = 6

Ordem H = 25dj = 6

Os vrtices i e j tero o mesmo potencial de controle em termos absolutos com relao ao prprio grafo.

O vrtice i poder dominar mais que a metade do sistema de comunicao do grafo G, enquanto j, apenas uma pequena porcentagem.

34

Centralidade Relativa de Grau

Seja G um grafo qualquer com n vrtices.

A centralidade Relativa de grau de um vrtice k ser dada por:

Essa medida reflete a proporo dos vrtices adjacentes a k em relao ordem do grafo

Porque (n-1) no denominador?

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Centralidade Relativa de GrauCentralidade de grau

0

0

0

2

2

5

3

2

3

3

4

0

0

0

0,550,33

0,33

0,33

0,22

0,22

0,44

36


claro que para um mesmo grafo,as medidas de centralidade absoluta e relativa produziro sempre a mesma ordenao para os vrtices em escala de importncia, uma vez que diferem apenas em funo da constante de normalizao.

0

0

0

2

2

5

3

2

3

3

4

0

0

0

0,550,33

0,33

0,33

0,22

0,22

0,44

37

Centralidade de Proximidade

Medida baseada na soma das distncias de um vrtice em relao aos demais vrtices do grafo.

Centralidade de Proximidade do vrtice k

A centralidade de proximidade para um vrtice de um grafo completo de ordem n?

38


Medida baseada na soma das distncias de um vrtice em relao aos demais vrtices do grafo.


A centralidade de proximidade para um vrtice de um grafo completo de orden n?

39


Exerccio: Calcule a Centralidade de Proximidade de cada vrtice do seguinte grafo.

40


2

3

6

4

1

5

7

Maior componente conexa1-2: 11-3: 21-4: 11-5: 21-6: 21-7: 1

2-1: 12-3: 12-4: 12-5: 12-6: 12-7: 2

3-1: 23-2: 13-4: 23-5: 23-6: 13-7: 3

4-1: 14-2: 14-3: 24-5: 14-6: 24-7: 1

5-1: 25-2: 15-3: 25-4: 15-6: 25-7: 1

6-1: 26-2: 16-3: 16-4: 26-5: 26-7: 3

7-1: 17-2: 27-3: 37-4: 17-5: 17-6: 3

1/9

1/11

1/7

1/8

1/9

1/11

1/11

41


Centralidade de ProximidadeCentralidade de Grau

0

0

0

2

2

5

3

2

3

3

4

1/9

1/11

1/7

1/81/9

1/11

1/11

42

Centralidade Relativa de Proximidade

Sabemos que:


Assim, podemos definir:

Centralidade Relativa de Proximidade do vrtice k =

43

Centralidade Relativa de Proximidade

Centralidade Relativa

6/9

6/11

6/7

6/86/9

6/11

6/11


1/9

1/11

1/7

1/81/9

1/11

1/11

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Centralidade de Eficincia

Em Pesquisa Operacional, alguns problemas de localizao consistem em se determinar um local de modo que minimize o tempo mximo de viagem entre o mesmo e todas as demais localizaes.

Estes problemas possuem diversas aplicaes prticas, como por exemplo, a instalao de um hospital, cujo objetivo minimizar o tempo mximo de atendimento de uma ambulncia a uma possvel emergncia.

neste sentido que HAGE e HARARY, em 1995, propuseram uma medida chamada centralidade de eficincia, baseada no conceito de excentricidade de um vrtice.

45


Seja G um grafo conexo com n vrtices.

A Centralidade de Eficincia do vrtice k definida por:

onde

Esta medida indica que um vrtice mais eficiente quanto menor for a sua excentricidade.

46


2

3

6

4

1

5

7

Maior componente conexa1-2: 11-3: 21-4: 11-5: 21-6: 21-7: 1

2-1: 12-3: 12-4: 12-5: 12-6: 12-7: 2

3-1: 23-2: 13-4: 23-5: 23-6: 13-7: 3

4-1: 14-2: 14-3: 14-5: 14-6: 24-7: 1

5-1: 25-2: 15-3: 25-4: 15-6: 25-7: 1

6-1: 26-2: 16-3: 16-4: 26-5: 26-7: 3

7-1: 17-2: 27-3: 37-4: 17-5: 17-6: 3

1/2

1/3

1/2

1/2

1/2

1/3

1/3

47


2

3

6

4

1

5

7

1/2

1/3

1/2

1/2

1/2

1/3

1/3

2

3

6

4

1

5

7

1/2

1/3

1/2

1/2

1/2

1/3

1/3

48

Sobre a Lista 03

49

Lista 03

50

Lista 03

Submisso:Envie as respostas atravs do seguinte formulrio:

https://docs.google.com/forms/d/1HTD6bzf5jEmd8V3GRUxatYqHWibFXmFnvBxZccjJqpk/viewform

Observaes:

Nos nmero reais considere at a terceira casa decimal.Pode submeter inmeras vezes, apenas a ltima submisso ser avaliada.Data limite: At 14/07 (23h55) Tera-feira.

51

Exerccios

Verdadeiro ou falso?

(1) A distncia entre dois vrtices o comprimento do maior caminho existente entre eles.

(2) A densidade de um grafo uma medida que pode ser representada por uma funo que considera como nico parmetro o nmero de arestas do grafo.

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Exerccios

Verdadeiro ou falso?

(1) A distncia entre dois vrtices o comprimento do maior caminho existente entre eles. FALSO do menor caminho

(2) A densidade de um grafo uma medida que pode ser representada por uma funo que considera como nico parmetro o nmero de arestas do grafo.FALSO tambm considera o nmero de vrtices

53

Exerccios

(3) A excentricidade de um vrtice o comprimento do maior caminho existente entre ele e os outros vrtices pertencentes a componente conexa.

(4) O coeficiente de clube rico, obtido do p% dos vrtices com maior centralidade de grau, de um grafo completo de N vrtices igual a 1/p.

54

Exerccios

(3) A excentricidade de um vrtice o comprimento do maior caminho existente entre ele e os outros vrtices pertencentes a componente conexa.FALSO a maior distncia (comprimento do cam. mnimo)

(4) O coeficiente de clube rico, obtido dos p% dos vrtices com maior centralidade de grau, de um grafo completo de N vrtices igual a 1/p.FALSO 1

55

Exerccios Desenhe o grafo abaixoV1V2V3V4V5V6V7V8V9V10V11V12V13V14V15

V1011110001001000

V2101110000000000

V3110010000000000

V4110000000000000

V5111000000000000

V6000000111000000

V7000001010000000

V8000001101000000

V9100001010000000

V10000000000011000

V11000000000101000

V12100000000110000

V13000000000000000

V14000000000000001

V15000000000000010

56

Exerccios Desenhe o grafo abaixoV1V2V3V4V5V6V7V8V9V10V11V12V13V14V15

V1111111

V21111

V3111

V411

V5111

V6111

V711

V8111

V9111

V1011

V1111

V12111

V13

V141

V151

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Desenho do Grafo G1

V13

V3

V2 V4

V5

V8 V7

V9 V6V10

V11 V12

V15

V14

V1

58

Exerccios

Execute o algoritmo de Busca em Profundidade a partir do vrtice 1 do grafo G1. Indique a sequncia de vrtices visitados, considerando na busca a preferncia para vrtices de:a) menor ndiceb) maior ndice

V13

V3

V2 V4

V5

V8 V7

V9 V6V10

V11 V12

V15

V14

V1

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Exerccios

Execute o algoritmo de Busca em Profundidade a partir do vrtice 1 do grafo G1. Indique a sequncia de vrtices visitados, considerando na busca a preferncia para vrtices de:

(a) menor ndice 1, 2, 3, 5, 4, 9, 6, 7, 8, 12, 10, 11

(b) maior ndice 1, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 3, 2, 4

First Slide ExampleSlide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29Slide 30Slide 31Slide 32Slide 33Slide 34Slide 35Slide 36Slide 37Slide 38Slide 39Slide 40Slide 41Slide 42Slide 43Slide 44Slide 45Slide 46Slide 47Slide 48Slide 49Slide 50Slide 51Slide 52Slide 53Slide 54Slide 55Slide 56Slide 57Slide 58Slide 59

aula de redes 7

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