aula de redes 6

1Aula 6 Leis da Potncia e Propriedades Estruturais de Grafos

BC0506 - Comunicao e Redes

David Correa Martins [email protected]

2Na aula passada

Algoritmos de caminhos mnimosCaminho mnimo com origem fixa (Dijkstra)

Caminhos mnimos entre todos os pares de vrtices(Floyd-Warshall)

3Roteiro da aula

Leis de Potncia e escalas logaritmicas

Propriedades estruturais de grafosCoeficiente de clusterizaoDensidade do grafoDistribuio de grauCaminho mdio e distncia

Sobre o Gephi

4I. Leis de Potncia

5A Lei do 80/20 (Lei do Pareto)

Vilfredo Pareto, importante economista Italiano.

Durante sua jardinagem percebeu que:- 80% das peras produzidas por 20% das rvores.

Comeou a notar um padro em outras reas:- 80% das terras 20% da populao.- 80% das decises 20% de uma reunio.- 80% dos crimes 20% dos criminosos.- 80% da poluio 20% dos paises


Distribuio de cidades de acordo com o tamanho de sua populao.


Existem outros cenrios em que a Lei do 80/20 no diretamente aplicvel, mas temos algo prximo:

- 80% dos hyperlinks 15% das pginas web.- 80% das citaes 38% dos cientistas.

Utilizamos o termo Lei de Potncia para descrever duas quantidades em que uma varia de acordo com uma potncia da outra.

f(x) = y = a xk

onde a e k so constantes

8Lei de Potncia

f(x) = y = a xk

a=1, k=2

9Lei de Potncia

f(x) = y = a xk

a=1, k=4

10

Lei de Potncia

f(x) = y = a xk

a=1, k=8

11

Lei de Potncia

f(x) = y = a xk

a=1, k=1/8

12

Lei de Potncia

f(x) = y = a xk

a=1, k=1/800

13

Lei de Potncia

f(x) = y = a xk

a=1, k=1/80000

14

Lei de Potncia

f(x) = y = a xk

a=1, k=1/80000

15

Lei de Potncia

f(x) = y = a xk

Pequenos eventos so frequentes eGrandes eventos so raros

No comrcio, 20% dos produtos representam 80% das vendas (verde). Mas a soma das vendas dos 80% dos produtos menos vendidos (amarelo) representam um faturamento importante

16

Lei de Potncia

f(x) = y = a xk

Pequenos eventos so frequentes eGrandes eventos so raros

No comrcio, 20% dos produtos representam 80% das vendas (verde). Mas a soma das vendas dos 80% produtos menos vendidos (amarelo) representam um faturamento importante.

Cauda longa

17

Sistemas Complexos e Lei de Potncia

Sistemas complexos so compostos por unidades que interagem de forma no linear.

Frequentemente possuem propriedades aderentes s Leis de Escala ou Leis de Potncia.

Uso de Leis de Potncia:- Tentativa de construir um arcabouo terico para o entendimento destes sistemas.- Origem nas teorias Fsicas, como a Teoria do Caos.

18

Leis de Potncia

Uma lei de potncia um tipo especial de relao matemtica entre duas quantidades.

Quando o nmero ou frequncia de um objeto/evento varia conforme a potncia de algum atributo do objeto (ex., o tamanho), diz-se que esse nmero ou tamanho segue uma lei de potncia.

19

Leis de Potncia

Diversas distribuies, tanto de fenmenos naturais quanto humanos, so compostas por:

Um grande nmero de fenmenos comuns. Um pequeno nmero de fenmenos raros.

20

Escalonando a funo

f(x) = y = a xk

O reescalonamento do argumento da funo muda a constante de proporcionalidade, mas preserva a forma da funo.

log(f(x)) = log(a xk)log(f(x)) = log(a)+ klog(x)

O reescalonamento de x produz apenas um deslocamento da funo para cima ou para baixo.

21

Escalonando a funo

22

Escalonando a funo

Distribuio de cidades de acordo com o tamanho de sua populao.

Histograma da populao dos Estados Unidos (>10000)

Escala logaritmica. A distribuio se torna aproximadamente linear.

23

Interpretando as leis de potncia em grafos

Veremos atravs de uma comparao de caractersticas entre um mapa rodovirio e um mapa de rotas areas

No mapa rodovirio as cidades so os vrtices e as auto-estradas conectando eles so as arestas.

A maioria dos ns possuem um nmero similar de conexes

No mapa de rotas areas os vrtices so aeroportos conectados entre si por voos diretos entre si.

Poucos hubs se conectam com muitos pequenos aeroportos.

24

Interpretando as leis de potncia em grafos

A distribuio de uma rede aleatria segue a curva tipo Sino, onde a maioria dos vrtices possui o mesmo nmero de links.A distribuio de lei de potncia das redes sem escala prediz que a maioria dos vrtices tem poucos links mantidos juntos com hubs altamente conectados.

25

Leis de potncia

A lei de Potncia invariante a escala.

Se pegarmos uma amostra da nossa distribuio ela ter o mesmo formato da distribuio completa.

26

Leis de potncia

Uma lei impressionante surge ao examinarmos a expectativa de vida das espcies e o batimento cardaco mdio.

27

Leis de potncia

28

Leis de potncia

Pegando, por exemplo, um macaco que tem cerca de 190bpm (batidas por minuto), e vive por 15 anos, o nmero de batimentos igual a 1,5 bilhes durante a vida.

Ou seja, o corao de todos os seres vivos tem um prazo de validade, em torno de 1,5 bilhes de batidas.

29

Leis de potncia

Animais maiores vivem mais pois seus coraes batem mais devagar, ou seja, eles so mais eficientes do que animais menores.

Isso pode ser observado tambm em urbanismo: cidades maiores so mais eficientes que cidades menores.

>

30

II. Coeficiente de Clusterizao/Agrupamento

31

Coeficiente de Clusterizao

Uma caracterstica importante de um grafo sua correlao das arestas ao redor de um vrtice.

Considere um vrtice que est relacionado a outro dois.

Quais as chances destes dois tambm estarem relacionados?

32

Coeficiente de Clusterizao

Uma caracterstica importante de um grafo sua correlao das arestas ao redor de um vrtice.

Considere um vrtice que est relacionado a outro dois.

Quais as chances destes dois tambm estarem relacionados?

O Coeficiente de Clusterizao captura esta ideia

33

Coeficiente de Clusterizao Local

O Coef. de clusterizao do vrtice i a frao de arestas que os vizinhos de i possuem entre si e o mximo de arestas que eles poderiam possuir entre si.

Dado que o grau do vrtice i di, o maior nmero de arestas entre seus vizinhos C(di,2).

Onde C(di,2) a combinao de di, 2 a 2.Ou seja, o maior nmero de arestas obtido quando todos os pares de vizinhos de i possuem aresta entre si.

Seja Ei o nmero efetivo de arestas entre os vizinhos do vrtice i:

Coeficiente de Clustericao = Ei / C(di,2)

34


35


CC = 3/3 = 1 CC = 1/3 = 0,33 CC = 0/3 = 0

36


CC = Ei/C(di,2) = 2Ei/(di(di-1))

CC = 1/3 = 0,33 CC = 3/3 = 1

CC = 0/15 = 0 CC = 5/15 = 0,33

37


Exerccio: Calcule o coeficiente de clusterizao para os vrtices indicados em azul.

CC = 2Ei/(di(di-1))

38

Coeficiente de Clusterizao do Grafo

CC = 2Ei/(di(di-1))

O CC no est definido para vrtices com grau 0 ou 1. Por conveno, o CC para

esses casos zero.

O CC do grafo a mdia aritmtica dos CC de cada vrtice: 1/10*(4,97) = 0,497

39


Ordem = 236Tamanho = 336

CC global 0,304

40


Ordem = 50Tamanho = 119

CC global 0,723

Baixa clusterizao pois existem poucas arestas entre seus muitos vizinhos

41


Considerando o grau de cada vrtice

42


O CC mede o grau (forma) com que os ns de um grafo tendem a agrupar-se.

O agrupamento uma propriedade muito comum nas redes sociais referindo-se aos crculos de amigos ou conhecidos onde os seus membros se conhecem formando, assim, um grupo na rede.

43

III. Densidade do Grafo

44

Densidade do Grafo

a frao (relao) de arestas que o grafo possui.

Considere um grafo de ordem n, e tamanho m.O maior nmero de arestas que o grafo poderia ter :

n(n-1)/2.

= m/ n(n-1)/2 = 2m/n(n-1) = d/(n-1)

onde d o grau mdio do grafo (mdia aritmtica do grau de todos os vrtices).

45

Densidade do Grafo

= 2m/n(n-1)

n=10m= 11 = 0,244

46

Densidade do Grafo

= 2m/n(n-1)

n=236m= 336 = 0,012

47

Densidade do Grafo

= 2m/n(n-1)

n=20m=8 = 0,042

48

Densidade do Grafo

= 2m/n(n-1)

n=20m=16 = 0,084

49

Densidade do Grafo

= 2m/n(n-1)

n=20m=27 = 0,142

50

Densidade do Grafo

= 2m/n(n-1)

n=20m=70 = 0,368

51

Densidade do Grafo

= 2m/n(n-1)

n=20m=154 = 0,811

52

Densidade do Grafo

= 2m/n(n-1)

n=20m=190 = 1

53

IV. Distribuio de grau

54

Distribuio de Grau

A distribuio emprica de grau a frao de vrtices do grafo que possui determinado grau.

Seja nk o nmero de vrtices com grau igual a k.

A frao de vrtices com grau k dada por:

fk = nk/n

55

Distribuio de Grau

*1/10

56

Distribuio de Grau

*1/10

57

Distribuio Complementar Cumulativa

A Distribuio Complementar Cumulativa (CCDF) do grau a frao de vrtices que tem grau maior ou igual a k.

Para calcular esse valor, somamos todos os graus menores do que k e obtemos o complemento.

58


k fkk=0 1-(0) 1k=1 1-(0+3/10) 0,7k=2 1-(0+3/10+0) 0,7k=3 1-(0+3/10+0+2/10) 0,5k=4 1-(0+3/10+0+2/10+3/10) 0,2k=5 1-(0+3/10+0+2/10+3/10+1/10) 0,1k=6 1-(0+3/10+0+2/10+3/10+1/10+1/10) 0

*1/10

59


*1/10

60


*1/10

61


Distribuio CCDF do grau de entrada e sada do Wikipedia (em ingls obtida em 2011), com mdia 22,1. Desvio padro 386,1 (entrada) e 44,9 (sada)

3.651.512 documentos (vrtices)

80.737.121 hiperlinks (arestas direcionadas).

Maioria das pginas com poucos hiperlinks de entrada e/ou sada,

Poucas pginas com milhares de hiperlinks de entrada e/ou sada

62





Distribuies distintas:Entrada atinge valores maiores Sada atinge valores menores

Apesar de ambas terem a mesma mdia.

63





A cauda da distribuio de entrada mais pesada do que a de sada

64


65


66


Grau

67


Grau

68

V. Caminho mdio e distncia

69

Caminho

Um caminho uma sequncia de vrtices sem repetio, onde existe uma aresta entre cada par de vrtices adjacentes na sequncia.

Intuitivamente, umcaminho uma sequncia de saltospelas arestas da rede.

Distncia entre 2 vrtices o comprimento docaminho mnimo entre eles.

b

a d

e

c

f

h

k

70

Distncia mdia

A distncia mdia dada pela mdia aritmtica das distncias entre todos os pares de vrtices do grafo.

Seja l(i, j) a distncia entre os vrtices i, j. A distncia mdia definida por:

So considerados todos os pares no-ordenados que ao todo so C(n,2)

71

Distncia mdia

2

3

1

4 5

6

7

8

9

10

Calcule a distncia mdia do grafo ao lado

Considere apenas a maior componente conexa.

72

Distncia mdia (caminho mdio)

2

3

1

4 5

6

7

8

9

10

1-2: 11-3: 21-4: 11-5: 21-6: 21-7: 1

2-3: 12-4: 12-5: 12-6: 12-7: 2

3-4: 23-5: 23-6: 13-7: 3

4-5: 14-6: 24-7: 1

5-6: 25-7: 1

6-7: 3

73

Dimetro do Grafo

2

3

1

4 5

6

7

8

9

10

1-2: 11-3: 21-4: 11-5: 21-6: 21-7: 1

2-3: 12-4: 12-5: 12-6: 12-7: 2

3-4: 23-5: 23-6: 13-7: 3

4-5: 14-6: 24-7: 1

5-6: 25-7: 1

6-7: 3

= 3Neste grafo, os vrtices esto muito prximos. Tanto a distncia quanto o dimetro so muito baixos.

74

Propriedades Estruturais

75

Propriedades Estruturais

76

VI. Gephi (visualizao de grafos/redes)

77

Gephi

78

Arquivo 'grafo-teste.gdf' (Tidia)

nodedef> name VARCHAR, label VARCHAR, group VARCHAR0 , Carlos H. , Professor1 , Joo E. , Professor2 , Junior B. , Professor3 , Marcel P. , Professor4 , Nina S. , Professor5 , Roberto H. , Professor6 , Roberto M. , Professor7 , Ronaldo F. , Professor8 , Jess P. , Colaborador9 , Andra B. , Alunoedgedef> node1 VARCHAR, node2 VARCHAR, weight DOUBLE2 , 4 , 2.0 2 , 5 , 1.0 2 , 6 , 3.0 2 , 7 , 1.0 4 , 5 , 3.0 4 , 7 , 1.0 5 , 6 , 4.0 6 , 7 , 2.0 6 , 8 , 10.0 6 , 9 , 1.0 8 , 9 , 2.0

79

Arquivo 'grafo-teste.gdf'

80

Gephi

81

Gephi

First Slide ExampleSlide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29Slide 30Slide 31Slide 32Slide 33Slide 34Slide 35Slide 36Slide 37Slide 38Slide 39Slide 40Slide 41Slide 42Slide 43Slide 44Slide 45Slide 46Slide 47Slide 48Slide 49Slide 50Slide 51Slide 52Slide 53Slide 54Slide 55Slide 56Slide 57Slide 58Slide 59Slide 60Slide 61Slide 62Slide 63Slide 64Slide 65Slide 66Slide 67Slide 68Slide 69Slide 70Slide 71Slide 72Slide 73Slide 74Slide 75Slide 76Slide 77Slide 78Slide 79Slide 80Slide 81

aula de redes 6

Documents