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Postulados da óptica geométricaO Princípio de Fermat

A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell

Aula de Física III - Óptica Geométrica

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes

([email protected])

Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ

Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação

16 de novembro de 2010

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - Óptica Geométrica

Postulados da óptica geométrica

De�nimos como sendo o índice de refração n de um meio como a

relação n = cv, onde c é a velocidade da luz no vácuo e v é a

velocidade da luz no ambiente em questão. Os cinco postulados da

óptica geométrica são de�nidos como:

Caminhos em meios homogêneos e isotrópicos são retilí�neos;

Os caminhos de luz através de diferentes meios de propagação

são reversíveis.

Seja uma superfície que separa dois meios de índices n e N.

Os raio incidente, re�etido, transmitido ou refratado, e a

direção normal da superfície no ponto de incidência estão no

mesmo plano (plano de incidência);

são reversíveis.

Sejam θ1, θ2 e θ3 os ângulos formados pelos raios incidente,

refratado e re�etido com relação á normal, respectivamente.

Os raios incidente e transmitido veri�cam a Lei de Snell:

n1senθ1 = n2senθ2

Os raios incidente e re�etido veri�cam a Lei de Re�exão:

θ1 = θ3

Alcançado o chamado ângulo critico, o feixe refratado desaparece e

toda a luz passa a ser re�etida. Esse fenômeno chama-se re�exão

total. Para que isso ocorra, é preciso que a luz seja proveniente de

um meio mais refringente em relação ao outro (n1 < n2).

θ2 = 90o =⇒ senθ1 =n2n1

n1senθ1 = n2senθ2

θ1 = θ3

θ2 = 90o =⇒ senθ1 =n2n1

n1senθ1 = n2senθ2

θ1 = θ3

θ2 = 90o =⇒ senθ1 =n2n1

n1senθ1 = n2senθ2

θ1 = θ3

θ2 = 90o =⇒ senθ1 =n2n1

O Princípio de Fermat

Seja um meio homogêneo e isotrópico de índice n. De�nimos o

Caminho Óptico entre dois pontos A e B do meio como sendo o

produto entre o índice de refração n e a distância s entre A e B:

∆AB = nsAB (2)

Se a luz passa através de diferentes meios, o caminho óptico será:

∆ = Σni si (3)

Se o meio é heterogêneo e o índice de refração n varia de ponto a

ponto, a de�nição de caminho óptico torna-se a seguinte integral:

nds (4)

∆AB = nsAB (2)

∆ = Σni si (3)

nds (4)

∆AB = nsAB (2)

∆ = Σni si (3)

nds (4)

∆AB = nsAB (2)

∆ = Σni si (3)

nds (4)

∆AB = nsAB (2)

∆ = Σni si (3)

nds (4)

∆AB = nsAB (2)

∆ = Σni si (3)

nds (4)

∆AB = nsAB (2)

∆ = Σni si (3)

nds (4)

O princípio de Fermat diz que para ir de A para B, a luz segue um

caminho extremo (ou seja, um caminho máximo ou um caminho

mínimo).

O caminho óptico SOP da �gura é dado por:

∆SOP = n1[h2 + x2]12 + n2[b2 + (a − x)2]

12 (5)

mínimo).

∆SOP = n1[h2 + x2]12 + n2[b2 + (a − x)2]

12 (5)

mínimo).

∆SOP = n1[h2 + x2]12 + n2[b2 + (a − x)2]

12 (5)

mínimo).

∆SOP = n1[h2 + x2]12 + n2[b2 + (a − x)2]

12 (5)

Derivando em relação a x, obtemos:

[h2 + x2]12

− n2a − x

[b2 + (a − x)2]12

= 0 (6)

onde encontramos que:

n1senθ1 − n2senθ2 = 0 (7)

que é a expressão da lei de Snell de�nida anteriormente, para a

propagação de luz entre dois meios distintos 1 e 2.

[h2 + x2]12

− n2a − x

[b2 + (a − x)2]12

= 0 (6)

[h2 + x2]12

− n2a − x

[b2 + (a − x)2]12

= 0 (6)

[h2 + x2]12

− n2a − x

[b2 + (a − x)2]12

= 0 (6)

[h2 + x2]12

− n2a − x

[b2 + (a − x)2]12

= 0 (6)

A Lei de Snell Generalizada

A abordagem anterior se aplica ao caso unidimensional, ou seja,

quando o índice de refração varia em apenas uma direção. Como

exemplo desta situação, tomemos uma mistura não homogênea de

água (n=1.333) e álcool (n=1.361), que apresenta uma variação de

índice de refração como indicada na �gura:

Vamos ainda supor que o raio de luz penetra nesta mistura a uma

altura y0, localizada na região de transição água-álcool,

propagando-se ao longo do eixo z, conforme a �gura a seguir.

Como a variação de n é pequena e ocorre numa região

relativamente grande (da ordem de um centímetro), admitiremos

que o desvio sofrido pelo feixe é pequeno. Assim, o raio

deslocar-se-á pouco da altura y0 e o índice de refração pode ser

expandido em série de Taylor, de acordo com:

n(y) = n0 +

(y − y0) (8)

onde n0 e(dndy

são respectivamente o índice de refração e seu

gradiente na altura y0. A Lei de Snell mantém-se constante

conforme o feixe de luz se propaga por diferentes lâminas.

Tomando o limite em que as espessuras de duas lâminas tendem a

zero, obtemos a lei de Snell generalizada:

n(y)cosα = n0 (9)

onde α é o ângulo que o feixe faz com as faces das lâminas. O feixe

descreve uma trajetória curva dada por y = y(z), cuja inclinação é:

dz= tgα =

√1− cos2α

cosα(10)

n(y) = n0 +

(y − y0) (8)

onde n0 e(dndy

n(y)cosα = n0 (9)

dz= tgα =

√1− cos2α

cosα(10)

n(y) = n0 +

(y − y0) (8)

onde n0 e(dndy

n(y)cosα = n0 (9)

dz= tgα =

√1− cos2α

cosα(10)

n(y) = n0 +

(y − y0) (8)

onde n0 e(dndy

n(y)cosα = n0 (9)

dz= tgα =

√1− cos2α

cosα(10)

n(y) = n0 +

(y − y0) (8)

onde n0 e(dndy

n(y)cosα = n0 (9)

dz= tgα =

√1− cos2α

cosα(10)

Logo, por (7) e (9), temos:

n20− 1 =

(y − y0) (11)

onde o termo quadrático em dndy

foi desprezado. Integrando (10),

temos:

y = y0 +1

(y − y0) (12)

que representa a trajetória parabólica do feixe dentro do meio. A

uma distância z no interior do meio, a parte inferior do feixe

satisfará a equação (11), enquanto que a parte superior executará

uma trajetória descrita em função do diâmetro ∆y do feixe:

y ′ = (y0 + ∆y) +1

)y0+∆y

(y − y0) (13)

n20− 1 =

(y − y0) (11)

temos:

y = y0 +1

(y − y0) (12)

y ′ = (y0 + ∆y) +1

)y0+∆y

(y − y0) (13)

n20− 1 =

(y − y0) (11)

temos:

y = y0 +1

(y − y0) (12)

y ′ = (y0 + ∆y) +1

)y0+∆y

(y − y0) (13)

n20− 1 =

(y − y0) (11)

temos:

y = y0 +1

(y − y0) (12)

y ′ = (y0 + ∆y) +1

)y0+∆y

(y − y0) (13)

n20− 1 =

(y − y0) (11)

temos:

y = y0 +1

(y − y0) (12)

y ′ = (y0 + ∆y) +1

)y0+∆y

(y − y0) (13)

n20− 1 =

(y − y0) (11)

temos:

y = y0 +1

(y − y0) (12)

y ′ = (y0 + ∆y) +1

)y0+∆y

(y − y0) (13)

Relação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell

O princípio de Fermat estabelece a existência de um caminho muito

bem de�nido para o raio ir de S a P. Trata-se de um princípio

variacional de acordo com (3):

n(S)dS = 0 (14)

Agora, quando um raio se propaga no espaço, ds é expresso em

coordenadas cartesianas como:

dS =√

dx2 + dy2 + dz2 = dz

√1 +

Note que dz foi arbitrariamente colocado em evidência, mas

também poderíamos ter escolhido dx ou dy. Assim, o princípio de

Fermat �ca:

n(S)dS = 0 (14)

dS =√

√1 +

Fermat �ca:

n(S)dS = 0 (14)

dS =√

√1 +

Fermat �ca:

n(S)dS = 0 (14)

dS =√

√1 +

Fermat �ca:

n(S)dS = 0 (14)

dS =√

√1 +

Fermat �ca:Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - Óptica Geométrica

n(x , y , z)

√1 +

dz = 0 (16)

ou seja:

f (x , y , x ′, y ′, z) = 0; f (x , y , x ′, y ′, z) = n(x , y , z)√

1 + x ′2 + y ′2

A equação (17) é dita Princípio da Ação Mínima, e é aplicada

constantemente no contexto da Mecânica Clássica. Se supomos os

raios num plano yz, então (16) �ca:

dS = dy√

1 + z ′2 (18)

e a solução da equação (17) leva a um conjunto de equações do

tipo Euler-Lagrange:

n(x , y , z)

√1 +

dz = 0 (16)

ou seja:

1 + x ′2 + y ′2

dS = dy√

1 + z ′2 (18)

n(x , y , z)

√1 +

dz = 0 (16)

ou seja:

1 + x ′2 + y ′2

dS = dy√

1 + z ′2 (18)

n(x , y , z)

√1 +

dz = 0 (16)

ou seja:

1 + x ′2 + y ′2

dS = dy√

1 + z ′2 (18)

n(x , y , z)

√1 +

dz = 0 (16)

ou seja:

1 + x ′2 + y ′2

dS = dy√

1 + z ′2 (18)

n(x , y , z)

√1 +

dz = 0 (16)

ou seja:

1 + x ′2 + y ′2

dS = dy√

1 + z ′2 (18)

tipo Euler-Lagrange:Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - Óptica Geométrica

∂z ′

)− ∂f

∂z= 0 (19)

onde f (y , z ′) = n(y)√1 + z ′2 independe de z e, portanto, ∂f

∂z = 0.

Isto simpli�ca a solução da equação (19) pois ∂f∂z será constante.

Desta forma, temos:

∂z ′=

n(y)z ′√1 + z ′2

= n0 (20)

Elevando (20) ao quadrado, obtemos:

n(y)2z ′2 = n20(1 + z ′2) (21)

∂z ′

)− ∂f

∂z= 0 (19)

∂z = 0.

Desta forma, temos:

∂z ′=

n(y)z ′√1 + z ′2

= n0 (20)

n(y)2z ′2 = n20(1 + z ′2) (21)

∂z ′

)− ∂f

∂z= 0 (19)

∂z = 0.

Desta forma, temos:

∂z ′=

n(y)z ′√1 + z ′2

= n0 (20)

n(y)2z ′2 = n20(1 + z ′2) (21)

∂z ′

)− ∂f

∂z= 0 (19)

∂z = 0.

Desta forma, temos:

∂z ′=

n(y)z ′√1 + z ′2

= n0 (20)

n(y)2z ′2 = n20(1 + z ′2) (21)

∂z ′

)− ∂f

∂z= 0 (19)

∂z = 0.

Desta forma, temos:

∂z ′=

n(y)z ′√1 + z ′2

= n0 (20)

n(y)2z ′2 = n20(1 + z ′2) (21)

Substituindo a expressão aproximada para o índice de refração dado

por (8), e considerando que:

z ′ =dz

y ′(22)

então, obtemos:

y ′ =dy

(y − y0) (23)

Com esta análise chegamos ao mesmo resultado obtido com a lei

de Snell generalizada, salientando que as equações de

Euler-Lagrange permitem tratar problemas onde o índice de

refração varia nas três direções.

z ′ =dz

y ′(22)

então, obtemos:

y ′ =dy

(y − y0) (23)

z ′ =dz

y ′(22)

então, obtemos:

y ′ =dy

(y − y0) (23)

z ′ =dz

y ′(22)

então, obtemos:

y ′ =dy

(y − y0) (23)

z ′ =dz

y ′(22)

então, obtemos:

y ′ =dy

(y − y0) (23)

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