aula de estatistica parte 1-2-2015

Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental - PHA

Universidade de São Paulo

Escola Politécnica

Departamento de Engenharia Hidráulica

e Ambiental

Aula 16 - 2015

Estatística de Extremos Parte 1 de 2

PHD 2307

Hidrologia Aplicada

Prof. Dr. Arisvaldo Méllo

Prof. Dr. Joaquin Garcia

Prof. Dr. Marco Palermo


Objetivos da Aula

1. Aprender os conceitos de período de retorno e risco

2. Conhecer aplicações em eventos extremos de cheias e estiagens.

3. Aprender conceitos de estatística descritiva: parâmetros da amostra e período de retorno amostral

4. Rever os conceitos de histograma, função densidade de probabilidade e função de probabilidades acumuladas.

5. Rever a distribuição normal.


Curva de Permanência

Curva de Permanência - Vazões Médias Mensais Guarapiranga

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

freqüência de excedência (%)

va

zõ

es

(m

³/s

)

exemplo: a vazão de 5,4 m3/s é igualada ou superada em 90% dos meses

Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental - PHA 4

Curva de Permanência - Limitação

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Freqüência de excedência (%)

Vazõ

es (

m3/s

)

5

?

Como se poderia obter a vazão Q5 neste exemplo? A

extrapolação gráfica poderia levar a erros muito grandes...

Frequência de excedência (%)


Variáveis hidrológicas estarão sempre associadas a uma probabilidade de

ocorrência.

Técnicas estatísticas podem ser aplicadas para avaliar a ocorrência de

fenômenos hidrológicos com determinada magnitude.

Eventos Hidrológicos como Variáveis Aleatórias

NA máximos anuais do Rio Negro em Manaus

20

22

24

26

28

30

1903 1908 1913 1918 1923 1928 1933 1938 1943 1948 1953 1958 1963 1968 1973 1978 1983 1988 1993 1998 2003

NA

ma

x (

m)

Dados hidrológicos apresentam variações sazonais que podem ser

irregulares e onde ocorrem extremos e diferentes seqüências de valores

variáveis aleatórias.


Várzea do Carmo

São Paulo - 1887

Militão Augusto de Azevedo – Várzea do Carmo

Fonte: exposição: Inundações em São Paulo


São Paulo - 1929

Autor desconhecido



Rua da Cantareira

São Paulo - 1940

Benedito Junqueira Duarte



São Paulo - 1976

Iminência de Galgamento da Barragem do Guarapiranga


Paranapanema - 1983


Santa Catarina - 2008


São Paulo, 2009


Aplicações: dimensionamento de vertedores, canais de drenagem, obras de proteção contra cheias, etc...

13

foto com vertedor, pode ser jurumirim ou outra do panema...


Também pode ser aplicada ao estudo de secas (Amazônia, 2005)

14


Período de Retorno (ou Tempo de Recorrência) é definido como o

intervalo médio de tempo em que um dado evento é igualado ou

ultrapassado. Numericamente é igual ao inverso da probabilidade.

Conceito de Período de Retorno

PT

1

Quando a ocorrência de um determinado evento está associada a um período de retorno igual a 50 anos, diz-se que tal evento deve ocorrer ou ser superado num tempo médio de 50 anos. Fica intrínseco que sua probabilidade de ocorrência é igual a 2% (em um ano QUALQUER).

É um conceito probabilístico (não significa periodicidade!!!)


pq 11

pp

pT

ppxET

1

11

11

2

2

nn pq 1

Probabilidade de não-ocorrência num ano

Probabilidade de não-ocorrência em um período “n” (“n”

anos)

ppqj

j 1

1 Probabilidade da cheia acontecer pela primeira vez

(anos normais, j – 1) e o último ano com cheia

n

i

ixi xpxXE1

Valor esperado de uma variável aleatória (X)

1

11

j

jppjjET

32

32

1413121

141312

pppp

ppppppp

2 e 1 com

6/212/111 32

npx

xnnnxnnnxxn

−2 ∙ −1 1 − 𝑝 = 2 1 − 𝑝

Conceito de Período de Retorno


Conceito de Risco Associado a um Período de Retorno

Pq 11

• Período de retorno igual ao inverso da probabilidade de ocorrência;

• Probabilidade de não-ocorrência num ano;

• Probabilidade de não-ocorrência em um período “n” (“n” anos);

• Probabilidade de ocorrência (uma ou mais vezes) de um determinado evento em um determinado período “n” chamado de horizonte de planejamento. Risco.

PT

1

n

TR

111

nn Pq 1


• Uma obra de proteção contra inundações foi projetada com período de retorno de 50 anos. Durante os primeiros 49 anos de operação da obra não se observou nenhuma vazão maior ou igual à vazão de projeto. A probabilidade de que no 50º ano ocorra uma vazão maior ou igual à vazão de projeto será?

%202,050

111

1

R

Exemplo


Qual o risco que a canalização do rio Tamanduateí tem

de falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil,

estimada em 50 anos? A obra foi projetada para T = 500

anos.

Exemplo

%5,9095,0500

111

50

R


Qual o risco de ocorrência (uma ou mais vezes) de um

determinado evento em um período igual ao seu

período de retorno (n=T)?

5 anos:

50 anos:

100 anos:

1000 anos:

Exemplo

%2,63632,01000/111

%4,63634,0100/111

%6,63636,050/111

%2,67672,05/111

1000

100

50

5

R

R

R

R

%2,631

11

11lim

)(lim

eTTTR

T

T


Risco x T


repetindo: “Período de Retorno”

é um conceito probabilístico, NÃO significa periodicidade!!!


Riscos Intrínsecos

1E-08 1E-07 1E-06 1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01 1E+00

RISCO DE VIVER

casam ento term inar em divórcio

m orrer fazendo roleta russam orte por câncer

ter o carro roubado/furtado em São Paulo

m orrer de infartom orrer assasinado

m orrer em acidente de carro

incêndio em casa (de qualquer proporção)

ter a casa roubada/furtada

m orrer atropelado em São Pauloser assaltado em São Paulo

bater carro(dia de chuva) em São Paulo

bater carro(dia sem chuva) em São Paulo

acidente dom éstico (escada)acidente dom éstico (garrafa)

acidente dom éstico (brinquedo)

acidente dom éstico (copo)

acid.dom . (ferram enta elétrica)

escorregar em tapete

m orte por acidente dom

ser atingido por um raio

ganhar na lot esportiva

m orte acid. aéreo

acidente aéreo

supersena

ser atingido por avião


É um dos problemas mais comuns (e importantes)

em hidrologia, uma vez que involve diretamente as

dimensões da obra (e portanto, seu custo) e o risco

que esta obra tem de falhar durante sua vida útil.

Valores usuais de T (anos)

Qual é a vazão de projeto?

Obras de microdrenagem 2 a 10

Obras de macrodrenagem 25 a 100

Barragens 1000 a 10000


Determinação de Condições Extremas

Em alguns estudos faz-se necessária a determinação

de condições extremas, por exemplo a vazão de cheia

com período de retorno de 10000 anos.

Verifica-se também a necessidade de determinação

de vazões mínimas, seja para fins de abastecimento,

navegação, geração de energia, ambientais, etc.


Seleção da Amostra

Séries temporais: contínuas, máximos, mínimos, médias

Vazões médias mensais do Guarapiranga: 1910-2004

0

10

20

30

40

50

60

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

tempo (meses)

vazão

(m

³/s)


Séries de vazões diárias


Séries de Vazões Máximas


Séries de Vazões Máximas

Séries anuais: valores máximos de cada

ano a partir de séries diárias (um ponto por

ano => série de valores independentes)


Ano Calendário x Ano Hidrológico

Máxima 1988 Máxima 1987

as máximas de 1987 e 1988 não são independentes...


Ano Hidrológico

Ano hidrológico

Ano calendário


Cálculo das Estatísticas Básicas

Estatísticas são números calculados a partir de uma amostra de dados que resume características importantes de um conjunto de dados. Parâmetros estatísticos são características de uma população.

média, desvio padrão, mediana, moda, assimetria...

São utilizados na estimativa dos parâmetros das distribuições de probabilidades empregadas para o ajuste de dados hidrológicos amostrais, tais com chuvas intensas, níveis d’água, vazões máximas e mínimas, etc.


Média

n

x

x

n

i

i 1

Vazões médias mensais do Guarapiranga: 1990-1999

0

10

20

30

40

50

01/1990 01/1991 01/1992 01/1993 01/1994 01/1995 01/1996 01/1997 01/1998 01/1999

tempo (meses)

vazão

(m

³/s)

Mede a tendência central de uma distribuição


Médias mensais

Média das vazões mensais do Guarapiranga (1910-2004)

0

5

10

15

20

25

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

va

zã

o (

m³/

s)


Desvio Padrão

11

2

n

xx

s

n

i

iMede o grau de dispersão em relação à média

x

f(x)

grande S

pequeno S


Mediana e Moda

Mediana: corresponde a um percentil 50% (valor acima do qual situam-se metade dos dados)

Moda: É o valor mais frequente

Moda

Moda

Mediana Média

50% dos dados 50% dos dados


Coeficiente de Assimetria

Mede a diferença entre os dois lados da distribuição em torno da média

31

3

21 snn

xxn

g

n

i

i

x

f(x)

g > 0

concentração

de valores à

direita

g < 0

concentração

de valores à

esquerda


Cálculo das Estatísticas Básicas - Exemplo

QmaxOct/38 Sep/39 575.5 média 517.6Oct/39 Sep/40 415.4 máximo 1010.3Oct/40 Sep/41 473.8 mínimo 235.8Oct/41 Sep/42 461.4 desvio padrão 173.2Oct/42 Sep/43 670.0 mediana 490.0Oct/43 Sep/44 409.4 assimetria 0.59Oct/44 Sep/45 350.0 curtose -0.01Oct/45 Sep/46 318.4Oct/46 Sep/47 492.8Oct/47 Sep/48 519.4Oct/48 Sep/49 770.8Oct/49 Sep/50 356.0Oct/50 Sep/51 706.0Oct/51 Sep/52 410.6Oct/52 Sep/53 279.7Oct/53 Sep/54 292.9Oct/54 Sep/55 649.8Oct/55 Sep/56 358.5Oct/56 Sep/57 706.0Oct/57 Sep/58 236.9Oct/58 Sep/59 392.3Oct/59 Sep/60 419.2Oct/60 Sep/61 822.1Oct/61 Sep/62 317.0Oct/62 Sep/63 510.6Oct/63 Sep/64 768.4Oct/64 Sep/65 573.6Oct/65 Sep/66 739.8Oct/66 Sep/67 485.3Oct/67 Sep/68 467.6Oct/68 Sep/69 466.4Oct/69 Sep/70 348.9Oct/70 Sep/71 235.8Oct/71 Sep/72 541.3Oct/72 Sep/73 455.1Oct/73 Sep/74 456.4Oct/74 Sep/75 356.1Oct/75 Sep/76 274.2Oct/76 Sep/77 560.7Oct/77 Sep/78 771.2Oct/78 Sep/79 855.4Oct/79 Sep/80 541.3Oct/80 Sep/81 434.0Oct/81 Sep/82 608.4Oct/82 Sep/83 675.8Oct/83 Sep/84 554.9Oct/84 Sep/85 1010.3Oct/85 Sep/86 430.1Oct/86 Sep/87 527.6Oct/87 Sep/88 552.0Oct/88 Sep/89 246.1Oct/89 Sep/90 476.4Oct/90 Sep/91 893.5Oct/91 Sep/92 823.7Oct/92 Sep/93 424.5Oct/93 Sep/94 540.5Oct/94 Sep/95 620.1Oct/95 Sep/96 669.9Oct/96 Sep/97Oct/97 Sep/98 294.9Oct/98 Sep/99 396.7Oct/99 Sep/00 506.2Oct/00 Sep/01 489.8Oct/01 Sep/02 378.8Oct/02 Sep/03 506.2Oct/03 Sep/04 668.5Oct/04 Sep/05 620.1

ano hidrológico

Exemplo: Posto

Fluviométrico Ponte

Nova do Paraopeba

(40800001)

A=5762 Km²

amostra e estatísticas


Histogramas


Distribuições de Probabilidade


Ordenando...

Ano Qmáx

1990 1445

1991 1747

1992 1287

1993 1887

1994 1490

1995 3089

1996 1737

1997 2234

1998 1454

1999 1517

Ano Qmáx ordem

1995 3089 1

1997 2234 2

1993 1887 3

1991 1747 4

1996 1737 5

1999 1517 6

1994 1490 7

1998 1454 8

1990 1445 9

1992 1287 10

Ordem cronológica Ordem decrescente de Qmáx


Probabilidade de uma vazão ser excedida...

Ano Qmáx ordem Probabilidade

1995 3089 1 0.10

1997 2234 2 0.20

1993 1887 3 0.30

1991 1747 4 0.40

1996 1737 5 0.50

1999 1517 6 0.60

1994 1490 7 0.70

1998 1454 8 0.80

1990 1445 9 0.90

1992 1287 10 1.00Incoerente!

i: ordem N: número de anos

N

iP


Ordenação e Estimação

Posições de Plotagem e Distribuição

Probabilística Empírica

seja x1, x2, x3,..., xi,..., xn-1, xn uma série em ordem

decrescente de N vazões (diária máxima em

cada ano)

a posição de plotagem do i-ésimo valor da

amostra é a probabilidade empírica P(xi)

atribuída a esse valor xi (0 < P(xi) < 1)

Probabilidade de excedência ou posição de

plotagem de Weibull (existem outras...):

1)(

N

ixP i

(para valores mínimos a série ficaria em ordem crescente...)


Probabilidade de uma vazão ser excedida...

Ano Qmáx ordem Probabilidade Tempo de retorno

1995 3089 1 0.09 11.0

1997 2234 2 0.18 5.5

1993 1887 3 0.27 3.7

1991 1747 4 0.36 2.8

1996 1737 5 0.45 2.2

1999 1517 6 0.55 1.8

1994 1490 7 0.64 1.6

1998 1454 8 0.73 1.4

1990 1445 9 0.82 1.2

1992 1287 10 0.91 1.1

i: ordem N: número de anos

1

N

iP


Probabilidade de excedência


Vazões máximas do Rio Cuiabá

Ano Q máx

1984 1796.8

1985 1492.0

1986 1565.0

1987 1812.0

1988 2218.0

1989 2190.0

1990 1445.0

1991 1747.0


Ano Vazão (m3/s) Ordem Probabilidade TR (anos)

1988 2218.0 1 0.11 9.0

1989 2190.0 2 0.22 4.5

1987 1812.0 3 0.33 3.0

1984 1796.8 4 0.44 2.3

1991 1747.0 5 0.56 1.8

1986 1565.0 6 0.67 1.5

1985 1492.0 7 0.78 1.3

1990 1445.0 8 0.89 1.1

Vazões máximas do Rio Cuiabá

T = 5 anos =>

Q entre 2190 e

2218 m³/s


Problemas com a probabilidade empírica...

Se uma cheia de T = 100 anos ocorrer em uma série com 10 anos, será atribuído um período de retorno de 11 anos a esta cheia (!)

?

Como estimar vazões com T alto, usando séries de relativamente poucos anos?

Supor que os dados correspondem a uma distribuição de frequência conhecida.


Distribuição Normal

2

2

2exp

2

1

xxf

Função de distribuição de probabilidade

x

xXPdxxfxF

Função acumulada de probabilidades de não

excedência


Exemplo: chuvas totais anuais


Exemplo: chuvas totais anuais

O total de chuva que cai ao longo de um ano pode ser

considerado uma variável aleatória com distribuição

aproximadamente normal. Esta suposição permite

explorar melhor amostras relativamente pequenas,

com apenas 20 anos, por exemplo.


Usando a distribuição normal:

Calcular a média

Calcular o desvio padrão

Obter os valores de vazões para

probabilidades associadas a cada período

de retorno


Ajuste da Distribuição Normal aos dados do Rio Cuiabá de 1967 a 1999

Subestima!


Ajuste da Distribuição Normal aos dados do Rio Guaporé de 1940 a 1995

Subestima!


Problema

a distribuição de frequência de vazões máximas não é normal...


Exercício

aula de estatistica parte 1-2-2015

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