estatistica afrfb aula 00

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    Ponto dos oncursos

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    Ateno.

    Ocontedodestecursodeusoexclusivodoalunomatriculado,cujo

    nome e CPF constam do texto apresentado, sendo vedada, por

    quaisquer meios e a qualquer ttulo, a sua reproduo, cpia,

    divulgaoedistribuio.

    vedado, tambm, o fornecimento de informaes cadastrais

    inexatas ou incompletas nome, endereo, CPF, e-mail - no ato da

    matrcula.

    O descumprimento dessas vedaes implicar o imediato

    cancelamento da matrcula, sem prvio aviso e sem devoluo de

    valores pagos - sem prejuzo da responsabilizao civil e criminal do

    infrator.

    Em razo da presena da marca d gua, identificadora do nome e

    CPF do aluno matriculado, em todas as pginas deste material,

    recomenda-seasuaimpressonomodoeconmicodaimpressora.

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    CURSO ON-LINE ESTATSTICA P/ RECEITA FEDERALPROFESSOR: VITOR MENEZES

    APRESENTAO PESSOAL

    Meu nome Vtor Menezes. Sou servidor pblico desde fevereiro de 2005. Nestetempo, fui Auditor Fiscal da Secretaria de Estado de Fazenda de Minas Geraisdurante um ano e meio e desde agosto de 2006 ocupo o cargo de Analista doTribunal de Contas da Unio.

    Sou formado em engenharia eletrnica pelo ITA. Desde 2005 dou aulas em cursospreparatrios para concursos, sempre na rea de exatas (matemtica financeira,estatstica e raciocnio lgico).

    APRESENTAO DO CURSO

    Na prova da Receita cai apenas estatstica descritiva. Assim, caso algum tenhafeito o nosso curso de estatstica para o TCU, em que o edital priorizou a estatsticainferencial, notar que este agora tem foco bastante diferente.

    A seqncia que pretendo seguir :

    Aula 1 Medidas de posio para dados em rol Aula

    2 Medidas de posio para dados agrupados Aula

    3 Medidas de disperso

    Aula 4 Medidas de assimetria e curtose

    Aula 5 - Correlao

    Aula 6 Nmeros ndices

    Depois de cada tpico eu trago exerccios correspondentes. Em alguns casos,exerccios mais simples, que eu mesmo elaborei (exerccios propostos sigla EP).E, claro, sempre utilizaremos muitos exerccios de concursos (sigla EC).Prioridade, bvia, para a ESAF. Vez ou outra, principalmente quando no tivermosmuitos exerccios da ESAF sobre dado tpico, trago de outras bancas tambm.

    Na rea de exatas usual a utilizao de uma rgida linguagem matemtica. Oobjetivo deste rigor garantir que os resultados obtidos sejam realmente exatos.No entanto, no caso de uma preparao para concursos, creio que seja possveldeixar um pouco de lado todo esse rigor. Ser um pouco inexato. Afinal de contas,queremos simplesmente que as pessoas passem em concursos pblicos.

    Nesta aula zero eu trago um trechinho da aula 1. Como a parte bem inicial damatria, ainda no temos muitos exerccios. Mas vocs vo ver que j d para teruma noo do que a estatstica descritiva cobrada em concursos.

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    AULA 0

    I INTRODUO

    A estatstica usualmente dividida em duas partes: a descritiva e a inferencial.

    Nos concursos, a estatstica descritiva geralmente aparece como EstatsticaBsica. Ela busca descrever um conjunto de dados por meio de algumas medidas.Acho que a melhor maneira de entender por meio de um exemplo.

    Suponhamos que desejamos pesquisar o salrio das pessoas de um bairro.Entrevistamos diversos moradores e anotamos seus salrios. Um trecho de nossasanotaes poderia ser representado assim:

    Salrios dos moradores bairro Nova Vila:

    R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00,R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00...

    E a lista prosseguiria, com dezenas e dezenas de salrios. S que simplesmentepegar esta listagem e apresentar para algum no permite, de imediato, tirarconcluses sobre as pessoas deste bairro. So predominantemente de classemdia, baixa, alta? O bairro mais ou menos homogneo ou abriga pessoas ricas epobres?

    Se em vez de apresentarmos toda a nossa listagem dissermos que o salrio mdiodas pessoas pesquisadas no bairro Nova Vila de R$ 3.600,00, a sim j podemoscomear a tirar algumas concluses. Esta mdia descreve, de maneira sucinta, todoo nosso conjunto de dados. uma medida tpica na estatstica descritiva.

    J a estatstica inferencial tem outro propsito. Se quisermos, a partir da mdiaobtida nesta nossa pesquisa, calcular qual a provvel mdia salarial de TODOS osmoradores do bairro, usaremos ferramentas de estatstica inferencial. Seu intuito fazer generalizaes, a partir de alguns valores conhecidos. Nos concursos daReceita Federal no caem tpicos de estatstica inferencial.

    II CONCEITOS INICIAIS

    1 Populao e amostra

    Voltemos ao exemplo da seo anterior, em que queramos pesquisar o salrio das

    pessoas do bairro Nova Vila. O conjunto formado pelos salrios de TODAS aspessoas do bairro a nossa populao.

    Populao: conjunto de todos os elementos que possuem uma determinadacaracterstica em comum.

    No nosso caso, estamos interessados nos dados que representam salrios depessoas que moram no bairro Nova Vila. Esta a caracterstica de interesse.

    Se entrevistarmos TODAS as pessoas do bairro, estamos realizando um CENSO.Agora, dependendo da populao, fica invivel entrevistar todo mundo. Imagine se

    for um bairro muito grande. De repente no se tem tempo suficiente para esperarque todo mundo seja entrevistado. Ou no se tem dinheiro para pagar toda a

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    quantidade de pessoal que seria necessria para coletar tais dados. Nestes casos,em vez de entrevistarmos todo mundo, escolhemos uma AMOSTRA.

    Amostra: qualquer subconjunto no vazio da populao.

    Apesar de eu ter dito qualquer subconjunto, este qualquer tem exceo. Oconjunto de todos os salrios dos moradores (= populao) um subconjunto de simesmo. Ento uma definio mais correta de amostra seria: qualquer subconjuntono vazio da populao, exceto a prpria populao. Mas isto j preciosismo...

    H diversos fatores que nos levam a fazer uma amostragem. No exemplo dapesquisa salarial com os moradores do bairro Nova Vila j demos algumas razes(tempo, custo). H outras. Suponha que se deseje testar a resistncia de uma dadamercadoria, produzida em srie por uma empresa. O teste consiste em submeteresta mercadoria a presses cada vez maiores, at que ele arrebente. No podemostestar todas as mercadorias produzidas. Se no, no sobra nenhum produto e oteste fica sem o menor sentido. Seria o caso daquela piada comum do portugus(com todo respeito aos portugueses) que risca todos os fsforos da caixa para verse esto funcionando. Neste caso, testando toda a populao, temos uma situaoabsurda.

    2 Amostragem aleatria

    H diversos tipos de amostragem. A amostragem aleatria simples a maiscobrada em provas de concursos. De forma bem resumida, podemos dizer que setrata da amostragem feita de forma que cada elemento da populao tem a mesmachance de ser escolhido. Por exemplo: queremos escolher algumas pessoas de umaempresa para realizar uma entrevista. Escrevemos os nomes de todos osfuncionrios em pedaos de papel de mesmo tamanho. Colocamos todos os nomesem um saco. Misturamos bem todos os papis. Feito isto sorteamos 5 nomes. Este um exemplo de amostragem aleatria simples. Todos os funcionrios tm amesma chance de serem escolhidos. Alm disso, qualquer combinao de cincopessoas tem a mesma chance de ser sorteada.

    III MEDIDAS DE POSIO PARA DADOS EM ROL.

    Vamos falar agora de medidas de posio para dados em rol. Precisamos, portanto,saber o que um rol e o que so medidas de posio. Comecemos pelo rol. S que

    para chegarmos a ele, vejamos os chamados dados brutos.

    1 Dados brutos

    Voltemos ao bairro Nova Vila. Vamos supor que efetuamos a tal pesquisa no bairro.Entrevistamos apenas dez pessoas. Os resultados obtidos foram:

    Salrio dos moradores da Nova Vila amostra com dez salrios: R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00.

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    O que significa a listagem acima? Significa que chegamos para um primeiromorador e perguntamos: qual o seu salrio? Ele responde: R$ 5.000,00. A gentepega e anota este valor. Fazemos a mesma pergunta para uma segunda pessoa.Ela responde: R$ 2.000,00. A gente pega e anota este valor. E assim por diante.

    A estes dados desorganizados, chamamos de DADOS BRUTOS. Eles estosimplesmente na ordem em que foram coletados. No receberam qualquer

    tratamento.

    2 Rol

    Se colocarmos nossos dados em ordem crescente (ou decrescente) temos um ROL.Geralmente em concurso s aparece o rol crescente. O rol da nossa pesquisa ficariaassim:

    Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00.

    O rol j uma primeira forma de organizar nossos dados. tambm uma maneirade apresentarmos nossos dados. Como ainda vamos utilizar este exemplo durantealgum tempo ao longo do curso, vamos simplificar a escrita. Vamos tirar o smbolo

    R$ e indicar apenas as unidades de milhar.

    Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

    Ento rol apenas isto. Nada mais que um conjunto de nmeros (resultados deuma pesquisa, de um experimento, etc), colocados em ordem crescente (ou

    decrescente). muito comum que se queira referir a um elemento em particular da nossa sriede dados. Uma notao muito usual : X i (l-se xis, ndice i). utilizada paranos referimos ao i-simo elemento. Vamos dar um exemplo.Quem o terceiro elemento? A pergunta pode ser reescrita como:

    Qual o valor deX 3 ?

    Resposta: o terceiro elemento 2 (X 3 =2)

    Para chegar resposta, simplesmente nos dirigimos ao Rol e contamos. O primeiroelemento o 1, o segundo elemento o 2 e o terceiro elemento tambm 2.

    Abaixo seguem mais valores de Xi:

    X1= 1; X2= 2; X3= 2; X4= 2; X5= 3; X6= 4; X7= 4; X8= 5; X9= 6; X10= 7.

    Somatrio

    Conhecendo esta notao, podemos apresentar uma ferramenta muito importanteem estatstica: o SOMATRIO.

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    O smbolo de somatrio : A utilidade do somatrio possibilitar uma escrita mais compacta.

    Desejamos saber qual o salrio total das pessoas pesquisadas. Ou seja, queremossomar todos os valores de salrios das dez pessoas entrevistadas.

    Precisamos fazer o seguinte:X1+ X2+ X3+ X4+ X5+ X6+ X7+ X8+ X9+ X10= 36.

    Ou seja, o salrio total das dez pessoas entrevistadas de R$ 36.000,00.

    Em vez de escrever desta forma, poderamos escrever:

    10

    Xi=36

    i=1

    O que significa esta simbologia? Significa que queremos somar valores (pois h umsmbolo de somatrio). Que valores queremos somar? Queremos somar valores deXi. Quais valores de Xi? Aqueles para os quais i vai de 1 at 10.

    10

    A expresso

    Xi =36 nada mais que uma forma compacta de escrever X1+ X2i=1

    + X3+ X4+ X5+ X6+ X7+ X8+ X9+ X10= 36.

    Passemos para um outro exemplo. Para a nossa mesma srie de dados, vamos5

    calcular

    Xi .i=

    2

    Sabemos que queremos somar valores (pois h um smbolo de somatrio).Queremos somar valores de Xi para os quais i vai de 2 at 5. Assim, queremoscalcular a seguinte soma:

    X2+ X3+ X4+ X5

    Substituindo os valores, ficamos com:

    5

    Xi = X2+ X3+ X4+ X5= 2 + 2 + 2 + 3 = 9.i=2

    EXERCCIOS PROPOSTOS

    EP 1

    Considere a seguinte seqncia de dados:

    2, 6, 1, 4, 6.

    Obtenha o rol correspondente

    EP 2

    Considere a seguinte seqncia de dados:

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    3, 1, 4, 2, 7, 3

    3

    Obtenha o valor de

    Xii=1

    EP 3

    Para a mesma seqncia de dados do exerccio anterior, obtenha4

    ( )2Xi .

    i=1

    RESOLUO DOS EXERCCIOS PROPOSTOS

    Resoluo - EP 1ROL: 1, 2, 4, 6, 6

    Resoluo EP 2

    Primeiro passo: obtendo o ROL.

    ROL: 1, 2, 3, 3, 4, 7

    Identificando os termos.

    X1=1; X2=2; X3=3; X4=3; X5=4; X6=7

    Fazendo a soma:

    3

    Xii 1=

    =X1 +X2 +X3 =1+2+3=6

    Resoluo EP 3

    Fazendo a soma:

    4

    ( )2 =21X

    i

    +22 +32 +32 =1+4+9+9=23.

    i=1

    3 Medidas de posio

    Medidas de posio nos fornecem informaes acerca de posies que os dadosocupam. Podem ser de dois tipos:

    Medidas de tendncia central (mdia, mediana e moda).

    Medidas separatrizes.

    As medidas de tendncia central indicam valores em torno dos quais os dados

    giram. Um exemplo a mdia. Se dissermos que a nota mdia dos alunos emuma prova foi 6, razovel esperar que as notas giraram em torno de 6. Um ououtro aluno deve ter tirado 9 ou 10. Um ou outro deve ter tirado 0 ou 1. Mas amaioria deve ter ficado com uma nota intermediria, uns 4, 5, 6 ou 7.

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    Se dissermos que a nota mdia desses mesmos alunos em uma outra prova foi 8, razovel esperar que as notas giraram em torno de 8. Um ou outro aluno tirou 0 ou1. Mas o restante deve ter ido muito bem, tirando 6, 7, 8, 9 e 10.

    As medidas separatrizes nos ajudam a separar os dados. Um exemplo de medidaseparatriz o quartil. Uma srie de dados possui trs quartis que separam a sriede dados em quatro partes.

    4 Mdia Aritmtica

    A MDIA ARITMTICA dos dados dada pela soma dos valores observados, divididapelo total de observaes. Voltemos nossa pesquisa sobre o salrio dosmoradores do bairro. Relembrando o nosso rol:

    Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

    Calculando a soma dos dados, temos:

    10

    Xi =36i 1=

    S relembrando. A simbologia acima significa que queremos somar valores (pois hum smbolo de somatrio). Quais valores? Valores de X para os quais i vai de 1 at10. Ou seja, queremos somar todos os 10 valores observados.A mdia fica:

    =36

    =3 6,___

    X10

    Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas apresenta um salrio mdio de R$3.600,00.

    Mdia apenas isto. Basta somar todos os valores e dividir pelo nmero de dados.Este smbolo adotado para mdia (X ) muito comum. Muitos autores o utilizam. importante saber isto porque s vezes as provas de concursos simplesmenteindicam X e no explicam que se trata da mdia.

    Para um conjunto de n dados, a mdia pode ser representada por:

    n

    X i___X = 1

    n

    A frmula acima indica que, para obter a mdia aritmtica, somamos todos osdados e dividimos por n.

    Uma coisa que muita gente confunde o seguinte. Muitas pessoas acham que amdia precisa pertencer ao conjunto de dados. Isto falso. No exemplo acima, amdia foi 3,6. E na nossa amostra no h nenhuma pessoa que ganhe um salriode R$ 3.600,00.

    Este valor 3,6 s um indicativo de que os salrios das pessoas entrevistadasdevem girar em torno de R$ 3.600,00.

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    Antes de irmos para os exerccios, s um comentrio. Alm da mdia aritmtica, houtras (veremos mais algumas adiante). Contudo, para fins de concurso, aaritmtica a mais importante (porque a mais cobrada). Portanto, se o exercciofalar apenas mdia, sem mencionar que a aritmtica, pode supor que se tratadela.

    Vamos a alguns exerccios sobre o assunto.

    EP 4EXERCCIOS PROPOSTOS - MDIA

    Calcule a mdia da seguinte seqncia de nmeros: {1, 3, 8}.

    EP 5

    Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A mdia salarial dos homens deR$ 825,00. A mdia salarial das mulheres R$ 600,00. Qual a mdia geral, dehomens e mulheres?

    EP 6

    Numa empresa, temos 6 homens e 4 mulheres. A mdia salarial dos homens deR$ 2.000,00. A mdia salarial geral (considerando homens e mulheres) R$1.600,00. Qual a mdia salarial das mulheres?

    EP 7

    Numa empresa, temos 100 funcionrios. A mdia do salrio dos homens de R$1.000,00. A mdia do salrio das mulheres de R$ 900,00. A mdia geral,considerando homens e mulheres, R$ 960,00. Quantas mulheres h na empresa?

    Resoluo - EP 4

    RESOLUO DOS EXERCCIOS PROPOSTOS

    X =1+3+8

    =4

    3

    Resoluo - EP 5

    Vamos chamar o salrio dos homens de H.

    Como assim??

    Suponha que os quatro homens desta empresa ganhem os seguintes salrios:

    725,00; 800,00; 850,00; 925,00.

    Pronto, a mdia desses salrios de 825,00.

    Se chamarmos esses valores de H queremos dizer o seguinte:

    O salrio do primeiro homem 725. Portanto:

    O salrio do segundo homem 800. Portanto:

    E assim por diante.

    H1 =725

    H2 =800

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    Pois bem, somando o salrio de todos os homens e dividindo por 4, obtemosjustamente a mdia de salrio dos homens. Fica assim:

    =H825

    4

    Multiplicando cruzado:

    H=4825=3300

    Ou seja, a soma dos salrios de todos os homens igual a R$ 3.300,00.

    Vamos chamar de M o salrio das mulheres. Se somarmos o salrio de todas asmulheres e dividirmos por 5, obtemos a mdia de salrio para as mulheres. Ficaassim:

    600 =

    M

    5M =5600 =3000

    Ou seja, a soma dos salrios de todas as mulheres igual a R$ 3.000,00.

    O exerccio pede a mdia geral, de homens e mulheres.

    Para obter a mdia geral, somamos os salrios de todos os homens, de todas asmulheres, e dividimos por 9 (so nove pessoas ao todo).

    Fica assim:

    Mdia_ geral =

    H +M

    9

    Substituindo os valores:

    Mdia_geral=3300+3000

    =7009

    A mdia geral, incluindo homens e mulheres, de R$ 700,00.

    Note que na empresa h mais mulheres do que homens. Portanto, a mdia geralest mais prxima da mdia das mulheres.

    Resoluo - EP 6

    Exerccio bem parecido com o anterior.

    Vamos chamar de H o salrio dos homens e de M o salrio das mulheres.

    A mdia salarial dos homens igual a R$ 2.000,00.

    Portanto:

    2000=

    H

    6

    H=62000=12000

    A mdia salarial geral obtida somando o salrio de todos os homens, de todas asmulheres, e dividindo por 10 (so 10 pessoas ao todo).

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    1600=

    H+M10

    H+

    M =16000

    Substituindo o valor da soma dos salrios dos homens:

    12000+

    M =16000

    M

    =4000

    A soma dos salrios das mulheres igual a R$ 4.000,00. Como so quatromulheres, a mdia salarial das mulheres fica:

    Mdia_mulheres=4000

    =10004

    Ou seja, as mulheres ganham em mdia R$ 1.000,00.

    Como h mais homens na empresa, a mdia geral mais prxima da mdiamasculina.

    Resoluo - EP 7

    Este exerccio um pouco mais difcil que os anteriores.

    Como no sabemos o nmero de homens e de mulheres, vamos dizer que so ahomens e b mulheres.

    Portanto: a+b=100 (h 100 funcionrios na empresa).

    Esta a primeira equao.

    a+b=100

    (I)

    Vamos, como de costume, chamar o salrio dos homens de H e o das mulheres deM.

    A mdia dos salrios dos homens R$ 1.000,00. Portanto, somando todos ossalrios dos homens e dividindo por a (so a homens), temos a mdia salarialmasculina (=1000).

    1000=

    H=1000aH

    a

    Assim, a soma dos salrios de todos os homens igual a mil vezes o nmero dehomens.

    A mdia dos salrios das mulheres R$ 900,00. Fazendo procedimento anlogo aofeito para os homens:

    900=

    M =900bM

    b

    A mdia geral R$ 960,00. Logo:

    960=

    H+

    H+

    M=

    960

    (a+

    b)

    M

    a+

    b

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    Substituindo as somas de salrios de homens e mulheres:

    1000a +900b =960(a +b) (II)

    Esta a equao II. Temos duas equaes e duas variveis. H diversas formas deresolver. Aqui, vamos fazer o seguinte:

    1000a +900b =960(a +b)

    Substitumos 1000a por 100a+900a

    100a +900a +900b =960(a +b)

    100a+900(a+b) =960(a+b)

    Lembrando que a+b=100

    100

    a+

    900100=

    960100

    a+900=960

    a=60 b=40

    So quarenta mulheres na empresa.

    EXERCCIOS DE CONCURSOS - MDIA

    EC 1

    Fiscal ICMS/SC - 1998

    Uma empresa possui dois tcnicos em informtica recebendo salrios,mensalmente, de R$ 3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$4.500,00 cada um por ms, um diretor de recursos humanos com salrio mensal deR$ 7.000,00 e trs outros profissionais recebendo R$ 5.500,00 cada um por ms. Amdia, mensal, destes salrios :

    a) 5.830,00

    b) 6.830,00

    c) 2.830,00

    d) 3.830,00

    e) 4.830,00

    O nosso rol pode ser escrito assim:

    Rol: 3.400; 3.400; 4.500; 4.500; 4.500; 4.500; 5.500; 5.500; 5.500; 7.000.

    So 10 dados (n = 10)

    A mdia fica:

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    ___

    X

    n

    Xi

    =1

    n

    ___

    400.=

    3X

    +3400.

    +4500.

    +4500.

    +4 500.

    10

    +4500.

    +5500.

    +5500.

    +7 000.

    ___

    X=

    48 300.=4 830.

    10

    Resposta: letra E.

    EC 2

    Analista Contbil-Financeiro- SEFAZ/CE 2006

    O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova : {10, 5, 3, 4, 5, 10,3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, mdia e mediana deste conjuntoso, respectivamente:

    a) 3, 6 e 5

    b) 3, 4 e 5

    c) 10, 6 e 5

    d) 5, 4 e 3

    e) 3, 6 e 10

    Questo da ESAF.Para treinar, vamos primeiro fazer o rol.

    ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10

    Ainda no estudamos o que moda e mediana.

    Vamos calcular s a mdia.

    =

    X(dividimos por 10 porque so dez notas).

    Xi

    10

    X=3+3+3+4+5+5+8+9+10+10 60

    = =6 .10 10

    A mdia vale 6.

    EC 3

    Auditor do Tesouro Municipal Recife 2003

    Em uma amostra, realizada para se obter informao sobre a distribuio salarialde homens e mulheres, encontrou-se que o salrio mdio vale R$ 1.200,00. Osalrio mdio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foide R$ 1.100,00. Assinale a opo correta.

    a) O nmero de homens na amostra igual ao de mulheres.b) O nmero de homens na amostra o dobro do de mulheres.

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    c) O nmero de homens na amostra o triplo do de mulheres.

    d) O nmero de mulheres o dobro do nmero de homens.

    e) O nmero de mulheres o qudruplo do nmero de homens.

    Questo da ESAFRepare que a mdia de homens de 1300. A mdia de mulheres de 1100.

    Se no conjunto tivssemos mais homens, a mdia geral (considerando homens emulheres) estaria mais prxima de 1300.

    Do contrrio, se tivssemos mais mulheres, a mdia geral estaria mais prxima de1100.

    Contudo, a mdia geral deu exatamente no meio entre 1300 e 1100. Portanto, onmero de homens igual ao nmero de mulheres. Nem precisou fazer conta.

    De todo modo, para treinarmos, vamos ver como ficaria a resoluo.

    Vamos chamar o salrio dos homens de H.

    Vamos chamar o salrio das mulheres de M.

    Vamos supor que so a homens e b mulheres.

    A mdia dos salrios dos homens igual a R$ 1.300,00.

    O que isto significa? Significa que, se somarmos os salrios de todos os homens edividirmos por a (so a homens), obtemos R$ 1.300,00.

    H

    =1300a

    Ou ainda:

    H

    =1300 H=1300aa

    Isto quer dizer que a soma dos salrios de todos os homens igual a 1300 vezes onmero de homens.

    O mesmo vale para as mulheres. A mdia dos salrios da mulheres de R$ 1.1000.

    Portanto:

    M

    =1100

    M =1100bb

    Por fim, a mdia geral, de homens e mulheres, igual a R$ 1.200.

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    Mas o que a mdia geral? somarmos o salrio de todos os homens, de todas asmulheres e dividirmos pelo nmero de pessoas.

    Fica:

    H+Ma+b

    =1200

    Multiplicando cruzado:

    H+

    M =(a+b)1200

    Substituindo os valores dos somatrios:

    1300a+1100b=(a+b)1200

    1300a+1100b=1200a+1200b

    1300a1200a=1200b1100b

    100a=100b

    a=b

    Resposta: A. O nmero de homens igual ao nmero de mulheres.

    EC 4

    Fiscal ISS/SP 2007 Questo adaptada.

    No presente ms, o salrio mdio mensal pago a todos os funcionrios de umafirma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salrios mdios mensais dos homens emulheres so respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. Calcule opercentual de homens entre os funcionrios da empresa.

    A questo da Fundao Carlos Chagas. Est adaptada. O enunciado original, estens veremos ainda nesta aula.

    A questo bem parecida com a anterior.

    A mdia dos homens de 600. A das mulheres de 500. Note que a mdia geralest mais prxima de 500. Portanto, temos mais mulheres do que homens.

    Vamos supor que so 100 funcionrios no total. Na verdade nem precisava suporisto. Poderamos supor que seriam 1000, 10, ou qualquer outro nmero. Ou ento,falar simplesmente que so n funcionrios. O resultado seria o mesmo.

    Vamos chamar o salrio dos homens de H.

    Vamos chamar o salrio das mulheres de M.

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    Vamos supor que so a homens e b mulheres.

    Portanto: a+b=100 (pois supusemos que so 100 funcionrios).

    a+b=100 (EQUAO I)

    A mdia dos salrios dos homens igual a R$ 600,00.O que isto significa? Significa que, se somarmos os salrios de todos os homens edividirmos por a (so a homens), obtemos R$ 600,00.

    H

    =600a

    Ou ainda:

    H

    =

    600

    H=

    600

    aa

    Isto quer dizer que a soma dos salrios de todos os homens igual a 600 vezes onmero de homens.

    O mesmo vale para as mulheres. A mdia dos salrios das mulheres de R$ 500.

    Portanto:

    M

    =

    500

    M=

    500

    bb

    Por fim, a mdia geral, de homens e mulheres, igual a R$ 530.

    Mas o que a mdia geral? somarmos o salrio de todos os homens, de todas asmulheres e dividirmos pelo nmero de pessoas.

    Fica:

    H+M

    a+b=530

    Multiplicando cruzado:

    H+

    M =(a+b)530

    Substituindo os valores dos somatrios:

    600a +500b =(a +b)530 (EQUAO II)

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    Pronto. Temos duas equaes e duas variveis. H diversas formas de encontrar osvalores de a e b.

    Vamos fazer o seguinte:

    600a+500b=(a+b)530

    100a +500a +500b =(a +b)530

    100a+500(a+b) =(a+b)530

    Lembrando que a+b=100:

    100a+500100=100530

    a+500=530

    a=30

    Portanto, de cada 100 funcionrios, 30 so homens. Logo, o percentual de homens

    de 30%.

    EC 5

    Fiscal ICMS/DF 2001

    Em determinado ms, a mdia aritmtica dos pagamentos de certo tributo,efetuados por 53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamentofeito por uma nova empresa, a mdia passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributopago por esta empresa foi de:

    a) 140,00

    b) 990,00

    c) 5.820,00

    d) 7.420,00

    e) 9.900,00

    Questo da Fundao Carlos Chagas.

    Antes de fazer a questo, olhemos atentamente as alternativas. D pra descartaralguma sem precisar fazer contas? Sim! possvel descartar as letras a e b.

    Com as 53 empresas, a mdia era de R$ 2.340,00. Depois, uma qinquagsimaquarta empresa se juntou s 53 iniciais. E a mdia AUMENTOU para R$ 2.480,00.

    Ora, se a mdia aumentou, porque o tributo pago por esta ltima empresa foimaior que a mdia anterior. Ou seja, o tributo pago pela ltima empresa foi maiorque R$ 2.340,00.

    E antes mesmo de resolver a questo, podemos j arriscar um chute. Uma nicaempresa aumentou a mdia em mais de cem reais. Ela deve ter pago um tributobem alto. Portanto, se fssemos chutar, sem fazer conta, bons palpites seriam asalternativas D e E. A letra E melhor que a D. Isto porque a letra B igual letra Edividido por 10, possivelmente esperando um erro de conta do candidato.

    Vamos resoluo. No incio, quando eram apenas 53 empresas, a mdia podia serescrita como:

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    53

    Xi

    X= 153

    Substituindo o valor de X por 2.340, temos:

    53

    Xi 53

    2340= 1

    Xi =532340 (I)

    53 1

    O que isto significa? Significa que se somarmos os tributos pagos pelas 53empresas, o total obtido ser 53 x 2340.

    Depois que a ltima empresa pagou seu tributo, a mdia passa a ser escrita como:

    54

    Xi

    X'= 154

    Modifiquei o smbolo da mdia s para diferenciar da mdia anterior.

    Substituindo o valor de X ' por 2.480, temos:

    54

    Xi 54

    2480= 1

    Xi =542480 (II)54 1

    Isto significa que, somando os tributos pagos pelas 54 empresas (considerando as53 empresas iniciais e mais a ltima empresa a pagar tributo), o resultado obtidoser 54 x 2480.

    Na equao (II) eu tenho o total pago pelas 54 empresas. Na equao (I) eu tenhoo total pago pelas 53 empresas iniciais. Se subtrairmos um pelo outro obtemos oque? Obtemos o tributo pago pela ltima empresa (X54). Ficamos com:

    54 53

    Xi Xi =X541 1

    Caso tenha ficado difcil de entender, como se estivssemos fazendo a seguinteconta:

    (X1+ X2+ X3+ ... + X52+ X53+ X54) (X1+ X2+ X3+ ... + X52+ X53) = X54.

    Continuando:54 53

    Xi Xi =X541 1

    542480 532340 =X54

    Se voc quiser fazer a conta e marcar a resposta, sem problemas, vai dar certo.

    S vou dar uma sugesto. Na conta acima, temos duas multiplicaes envolvendonmeros de quatro dgitos. So trabalhosas de fazer. Tomam um tempo. Alm dasmultiplicaes, temos uma subtrao. Seria timo se eu pudesse primeiro fazer asubtrao, diminuir os valores, e depois fazer a multiplicao. Com esta idia,

    podemos fazer o seguinte:

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    X54 =542480532340

    X54 =2480+532480 532340

    X54

    =2480+53(2480 )2340

    X54 =2480 +53( )140

    Pronto, agora temos apenas uma multiplicao e envolvendo nmeros menores.

    X54 =9900

    Resposta: letra E.

    EC 6

    Perito Criminal Federal (Engenharia Qumica) PF/2004.Concentrao em

    g/gElemento Casaco Vidraa

    Desvio padro

    As 132 122 9,7Co 0,54 0,61 0,026La 4,01 3,60 0,20Sb 2,81 2,77 0,26Th 0,62 0,75 0,044

    Um perito criminal recebeu em seu laboratrio, como principal evidncia em umcaso criminal, pequenos fragmentos de vidro encontrados incrustados no casaco deum suspeito de assassinato. Esses fragmentos so idnticos em composio a umarara vidraa belga de vidro manchado quebrada durante o crime. O perito decidiu

    ento determinar os elementos As, Co, La, Sb e Th no vidro incrustado no casacodo suspeito para verificar se este era do mesmo material da vidraa belga. Atcnica escolhida para essas determinaes foi a espectroscopia de absoroatmica. As mdias e os desvios-padro das anlises em triplicata desses cincoelementos nas amostras de vidro retiradas do casaco, bem como os valoresconhecidos para a vidraa belga so mostrados na tabela acima. Considerando essa

    situao hipottica, que 3 =173,

    e que o parmetro t de Student para 2 graus de

    liberdade e 95% de confiana igual a 4,303, julgue os itens a seguir, que sereferem s tcnicas espectroscpicas de anlise e anlise estatstica de dados.

    [...]

    A mdia da concentrao de As pode ter sido obtida a partir dos valores individuais121 g/g, 130 g/g e 143 g/g.

    Prova do CESPE, de perito da PF de 2004. Para o elemento As, foram obtidas trsamostras. A mdia da concentrao dessas trs amostras foi de 132.

    A questo diz que esta mdia pode ter sido obtida a partir dos valores 121, 130 e143.

    Fazendo a mdia destes trs valores, temos:

    X=

    121+130+143=

    131 33,.

    3Portanto a alternativa est incorreta.

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    5 Mdia Geomtrica e Harmnica

    Este assunto no muito cobrado em concursos. Mas no custa nada comentar.Aqui, tambm estamos interessados em calcular um valor mdio, assim como feitocom a mdia aritmtica. S que a conta que fazemos outra.

    Por definio, a mdia geomtrica de n valores no negativos (X1, X2, ..., Xn) :

    G =nX1X 2...X n

    n

    =n

    X ii=1

    Por definio, a mdia harmnica de n valores diferentes de zero (X1, X2, ..., Xn) :

    1

    1n

    H=1

    Xi

    n i

    Frmulas meio complicadas, no?

    Vamos ver alguns exemplos que fica mais fcil.Suponhamos que nossos dados so apenas: 3 e 12. Apenas dois nmeros (prafacilitar as contas).

    Para calcular a mdia aritmtica, conforme vimos na seo anterior, ficamos com:

    X =3+12

    =7 5,2

    A mdia geomtrica diferente. Para obt-la, multiplicamos todos os dados. Depoistiramos a raiz ensima. Como neste caso so apenas dois valores, ser a raizquadrada.

    G=

    2 312 =

    6

    A mdia harmnica um pouco mais complicada. Vamos dividir em trs passos.

    Primeiro passo: achamos os recprocos de cada valor.

    Para obter o recproco de um nmero, basta inverter seu numerador com seudenominador. Vamos a um exemplo.

    Tomemos o nmero2 3

    . Seu recproco .3 2

    No nosso caso, os valores so 3 e 12.1

    O recproco de 3 .3

    1O recproco de 12 .

    12

    Segundo passo: calculamos a mdia aritmtica dos recprocos.

    Ficamos com:

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    1 1+

    4 +1

    3 12 12=

    5=

    22 24

    Terceiro passo: calculamos o recproco do valor obtido acima. Pronto. Esta amdia harmnica.

    H=245

    H=4 8,

    Se resumirmos todos esses trs passos numa frase, podemos dizer que a mdiaharmnica o recproco da mdia aritmtica dos recprocos dos valores.

    Agora o que mais cai em concurso no essa parte de contas. simplesmentesaber o seguinte:

    Para qualquer conjunto de n nmeros no negativos, a mdia harmnica menorou igual mdia geomtrica e esta menor ou igual mdia aritmtica. A

    igualdade s ocorre se todos os nmeros forem iguais entre si.Vamos olhar no caso dos nmeros 3 e 12. A mdia aritmtica foi de 7,5. Foi amaior das mdias. A mdia harmnica foi de 4,8. Foi a menor das trs. E a mdiageomtrica foi de 6, o valor intermedirio.

    Se, em vez de 3 e 12, os valores fossem 12 e 12, a teramos:

    X=G=H=12

    Quando todos os valores so iguais, as mdias coincidem.

    Resumindo, o que geralmente cai em prova saber que:

    HGX (e a igualdade s ocorre se todos os dados forem iguais)

    Resumo: comparao das mdias.

    HGX (e a igualdade s ocorre se todos os dados forem iguais)

    EXERCCIOS PROPOSTOS

    EP 8

    Para a seqncia (4,6,9), calcule as mdias aritmtica, harmnica e geomtrica.

    EP 9

    Para a seqncia (4,4,4), calcule as mdias aritmtica, harmnica e geomtrica.

    Resoluo - EP 8

    Mdia aritmtica:

    RESOLUO DOS EXERCCIOS PROPOSTOS

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    X =

    X

    i=

    4 +6+9=

    19

    33 3

    Mdia geomtrica:

    G=

    3 4

    6

    9 =

    3 216 =

    6

    Mdia harmnica:

    Primeiro passo: encontrando os recprocos:

    1 1,

    1,64 9

    Segundo passo: mdia dos recprocos:

    1 +

    1 +

    164 9 9 +6+4

    =1

    =

    19

    3 1083 36

    Terceiro passo: recproco do valor acima:

    H=10819

    RESOLUO EP 9

    Como todos os valores so iguais, todas as mdias so iguais a 4.

    EXERCCIOS DE CONCURSOS - MDIAS GEOMTRICA E HARMNICA

    EC 7

    Analista Contbil - SEFAZ/CE 2006

    Indicando por:

    - X : a mdia aritmtica de uma amostra;

    - mg : a mdia geomtrica da mesma amostra; e

    - mh : a mdia harmnica tambm da mesma amostra.

    E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, verdadeiro afirmar que a relao entre estas mdias :

    a) X < mg < mh .

    b) X > mg > mh .

    c) mg < X < mh .

    d) X < mg = mh .

    e) X = mg = mh .

    Esta uma questo da ESAF. Aplicao direta do nosso resumo visto acima.Como o enunciado informou que todos os valores so diferentes entre si, ento aigualdade entre as mdias fica excluda.

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    Resposta: B.

    EC 8

    AFRF 2005

    Assinale a opo que expresse a relao entre as mdias aritmtica (X),geomtrica (G) e harmnica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2,..., Xn).

    a) GHX , com G=H=X somente se os n valores forem todos iguais.

    b) GXH, com G=X =H somente se os n valores forem todos iguais.

    c) XGH, com X =G=H somente se os n valores forem todos iguais.

    d) HGX , com H=G=X somente se os n valores forem todos iguais.

    e) XHG, com X =H=G somente se os n valores forem todos iguais.

    Outra questo da ESAF. Aplicao direta do resumo visto acima.

    Resposta: D.

    6 Propriedades da mdia aritmtica

    Voltemos nossa pesquisa de salrios.

    Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

    Suponhamos que todas essas dez pessoas receberam um aumento salarial de R$

    1.000,00. Agora, seus salrios so:Salrios aps o aumento: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8.

    Qual a nova mdia?

    A nova mdia ser:

    X =2 +3+3+3+4+5+5+6+7+8

    =4 6,

    10

    O salrio mdio agora de R$ 4.600,00.

    Antes, com os salrios antigos, a mdia era de R$ 3.600,00. Agora, todos os dadosforam somados em R$ 1.000,00. E a mdia tambm foi somada de R$ 1.000,00.

    Suponhamos agora que todos esses funcionrios, alm do salrio normal (jreajustado em R$ 1.000,00), vo receber em dezembro o dcimo terceiro integral.Assim, no ms de dezembro, os salrios vo ficar:

    Salrio mais dcimo terceiro: 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 16.

    A nova mdia fica:

    X=4 +6+6+6+8+10+10+12+14+16

    = ,9 2

    10

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    Note que todos os valores foram dobrados. A mdia, que era de R$ 4.600,00,passou a R$ 9.200,00. Portanto, a mdia tambm dobrou.

    Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma:

    somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto dedados, a mdia do novo conjunto fica aumentada ou diminuda de c.

    multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por umaconstante c, a mdia do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c.

    Outras duas propriedades da mdia so:

    a mdia aritmtica o valor em relao ao qual mnima a soma dosquadrados dos desvios.

    a soma de todos os desvios em relao mdia aritmtica igual a zero.

    Sobre essas duas ltimas propriedades, por enquanto vai ficar s o registro de queelas existem. Explicaremos com mais detalhes na aula de medidas de disperso.

    EXERCCIOS PROPOSTOS PROPRIEDADES DA MDIA

    EP 10

    Calcule a mdia aritmtica da seguinte seqncia: {1, 3, 5}

    EP 11

    Calcule a mdia aritmtica da seguinte seqncia: {3, 5, 7} (observe que esta foiobtida a partir da seqncia anterior, somando 2 a todos os elementos).

    EP 12

    Calcule a mdia aritmtica da seguinte seqncia: {6, 10, 14} (observe que estaseqncia foi obtida a partir da anterior, multiplicando todos os elementos por 2).

    Resoluo EP 10

    RESOLUO DOS EXERCCIOS PROPOSTOS

    X=1+

    3+

    5=3

    3

    Resoluo EP 11

    X =3+5+7

    =5 .

    3

    Repare que, como somamos 2 a todos os elementos (em relao seqnciaanterior), a mdia tambm foi adicionada de 2. Ou seja, a mdia sofre a mesmaalterao sofrida pelos dados.

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    CURSO ON-LINE ESTATSTICA P/ RECEITA FEDERALPROFESSOR: VITOR MENEZES

    Resoluo EP 12

    X=6 +10+14

    =10

    3

    Repare que, como multiplicamos por 2 todos os elementos (em relao seqnciaanterior), a mdia tambm foi multiplicada por 2. Ou seja, a mdia sofre a mesma

    alterao sofrida pelos dados.

    EXERCCIOS DE CONCURSOS PROPRIEDADES DA MDIA

    EC 9

    Auditor Fiscal ICMS/BA 2004

    Uma administradora de locao de imveis, com o objetivo de analisar o mercadoem sua regio, procedeu s seguintes operaes:

    I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira

    II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I.III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II

    IV. Calculou a mdia aritmtica de todos os valores apurados no item III.

    Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, ento a mdia aritmtica dos valoresdos alugueis em reais :

    a) 2300

    b) 1700

    c) 1500

    d) 1300

    e) 750

    Questo da ESAF.

    Vamos chamar a mdia dos aluguis de X .

    Primeiro, todos os valores so dobrados. Ou seja, a mdia desses novos valorestambm ser dobrada.

    Mdia dos valores obtidos no item I: 2X

    Depois, todos os valores so subtrados por R$ 1.200,00. Ou seja, a mdia dessesnovos valores tambm ser reduzida de R$ 1.200,00.

    Mdia dos valores obtidos no item II: 2X1200

    Por fim, todos os valores so divididos por R$ 1.000,00. Portanto, a mdia tambmficar dividida por mil.

    2X1200Mdia dos valores obtidos em III:

    1000

    O enunciado me disse que a mdia dos valores obtidos no item III de 3/10.Portanto:

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    CURSO ON-LINE ESTATSTICA P/ RECEITA FEDERALPROFESSOR: VITOR MENEZES

    2X1200 3=

    X =7501000 10

    Resposta: E.

    EC 10

    Fiscal ISS/SP 2007

    No presente ms, o salrio mdio mensal pago a todos os funcionrios de umafirma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salrios mdios mensais dos homens emulheres so respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No prximo ms,todos os homens recebero um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres umreajuste salarial de 10%, sobre os salrios atuais. Supondo que o quadro defuncionrios no se alterou, aps esses reajustes, o salrio mdio mensal de todosos funcionrios passar a ser igual a:

    a) 540,00

    b) 562,00

    c) 571,00

    d) 578,00

    e) 580,00

    L no EC 4 ns vimos que, nesta empresa, de cada 100 funcionrios, 30 sohomens.

    Suponhamos que a empresa tenha 100 funcionrios. Inicialmente, temos que amdia dos homens de R$ 600,00 e a mdia das mulheres R$ 500,00.

    Todos os homens recebem um adicional de R$ 20,00. Ora, se todos os homens tm

    seus salrios acrescidos de R$ 20,00, isto significa que a mdia dos homens sofrer amesma alterao. A nova mdia dos homens ficar igual a R$ 620,00.

    Ok, a mdia dos salrios dos homens igual a 620. Significa que, somando todosos salrios dos homens (aps o aumento) e dividindo por 30, obtemos 620.

    620 =

    H

    30

    H=62030

    Todas as mulheres tero seu salrio multiplicado por 1,1. Isto porque aumentaralgo em 10% o mesmo que multiplicar por 1,1. Portanto, a mdia dos salrios

    das mulheres sofrer a mesma alterao. Ser tambm multiplicada por 1,1,passando a ser igual a R$ 550,00. Assim, somando os salrios das mulheres (apso aumento) e dividindo por 70, obtemos 550.

    550 =

    M

    70

    M =55070

    A mdia geral simplesmente somar todos os salrios dos homens, todos ossalrios das mulheres, e dividir por 100.

    Mdia_ geral=H+M

    100

    =62030+55070

    =623+557 =186 +385 =571

    100

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