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Captulo 6:

Flexo

2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 2

Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal so denominados vigas.

Vigas so classificadas de acordo com o modo como so apoiadas.

Diagramas de fora cortante e momento fletor


As funes de cisalhamento e momento podem ser representadas em grficos denominados diagramas de fora cortante e momento fletor.

Direes positivas indicam que a carga distribuda age para baixo na viga e a fora cortante interna provoca uma rotao em sentido horrio.


Represente graficamente os diagramas de fora cortante

e momento fletor para a viga dada.

Exemplo 6.1


Soluo:

Um diagrama de corpo livre do segmento esquerdo mostrado abaixo. A aplicao

das equaes de equilbrio produz

(4) 222

;0

(3) 2

02

;0

xLP

MxPL

xPMM

PVVP

PFy

(2) 2

;0

(1) 2

;0

xP

MM

PVFy

Segmento esquerdo da viga se estende at a distncia

x na regio BC.


O diagrama tenso representa as equaes 1 e 3

O diagrama de momento representa as equaes 2 e 4


Represente graficamente os diagramas de fora cortante e momento fletor para a

viga mostrada na figura.

Exemplo 6.2


Soluo:

A carga distribuda substituda por sua fora resultante.

Lw

wL

wx

w 00 ou

(2) 03

1

2

1

23 ;0

(1)2

02

1

2 ;0

00

2

0

22000

MxxL

xwx

LwLwM

xLL

wVVx

L

xwLwFy

A intensidade da cargar triangular na seo determinada por clculo proporcional:

A resultante do carregamento distribudo determinada pela rea sob o diagrama:


O diagrama de fora cortante representa a equao 1

Momento fletor representa a equao 2



viga mostrada ao lado.

Exemplo 6.3


Soluo:

Duas regies de x devem ser consideradas para se descreverem as funes de

cisalhamento e momento da viga inteira.

(2) kNm 8075,5075,580 ;0

(1) kN 75,5075,5 ;0

m, 50

11

1

xMMxM

VVF

x

y

(4) kNm 5,9275,155,2

02

5551575,580 ;0

(3) kN 575,150551575,5 ;0

m, 10m 5

2

2

2

221

22

1

xxM

Mx

xxM

xVVxF

x

y


O diagrama de fora cortante

representa as equaes 1 e 3

O momento fletor das equaes 2 e 4


Regies de carga distribuida

Essas duas equaes proporcionam um meio conveniente para se obter rapidamente os

diagramas de fora cortante e momento fletor

para uma viga:

xwdx

dV

inclinao do

diagrama de

fora cortante em

cada ponto

intensidade da carga distrbuida

em cada ponto

Vdx

dM

inclinao do

diagrama de

momento em

cada ponto

cisalhamento(for

a cortante) em

cada ponto

Mtodo grfico para construir diagramas de fora

cortante e momento fletor


Podemos integrar essas reas entre quaisquer dois pontos para mudar a carga distribuda e a fora cortante.

dxxwV mudana na

fora cortante

rea sob a carga distribuda

dxxVM mudana no

momento

rea sob o

diagrama de fora

cortante


Regies de fora e

momento concentrados

Alguns dos casos comuns de

carregamento:



viga.

Exemplo 6.4


Soluo:

As reaes so mostradas so mostradas no diagrama de corpo livre ao lado:

De acordo com a conveno de sinal, em x = 0,

V = +P e em x = L, V = P.

Visto que w = 0, a inclinao do diagrama de fora cortante ser zero, portanto:

pontos os todosem 0 wdxdV

Para o diagrama de fora cortante de acordo com a

conveno de sinal, em x = 0, M = PL e em x = L, M = 0.

pontos os todosem PVdxdM

O diagrama de fora cortante indica que o

cisalhamento positivo constante. Portanto,



e momento fletor para a viga.

Exemplo 6.5


Soluo:

A reao no apoio fixo mostrada no diagrama de corpo livre:

Visto que no existe nenhuma carga distribuda na viga,

o diagrama de fora cortante ter inclinao nula em

todos os pontos.

Pelo diagrama de fora cortante, a inclinao do diagrama de

momento ser nula. V = 0.



e momento fletor para a viga.

Exemplo 6.6


Soluo:

A reao nos apoios foram calculadas e so mostradas no diagrama de corpo livre:

A carga distribuda na viga positiva, porm decrescente.

Portanto, a inclinao negativa decrescente.

A curva do diagrama de momento que apresenta esse

comportamento de inclinao uma funo cbica

de x.


A seo transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se deforma por flexo.

Isso provoca uma tenso de trao de um lado da viga e uma tenso de compresso do outro lado.

Deformao por flexo de um elemento reto


A deformao longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro.

A lei de Hooke se aplica quando o material homogneo.

O eixo natural passa pelo centroide da rea da seo transversal.


O momento resultante na seo transversal igual ao momento produzido pela distribuio linear da tenso normal em torno do eixo neutro.

Pela regra da mo direita, o sinal negativo compressivo j que age na direo negativa de x.

I

My

= tenso normal no membro M = momento interno

I = momento de inrcia

y = distncia perpendicular do eixo neutro

A frmula da flexo


A viga simplesmente apoiada tem a rea de seo transversal mostrada na figura

abaixo. Determine a tenso de flexo mxima absoluta na viga e represente a

distribuio de tenso na seo transversal nessa localizao.

Exemplo 6.8


Soluo:

O momento mximo interno na viga . kNm 5,22M


Por razes de simetria, o centroide C e, portanto, o eixo neutro, passa a meia

altura da viga, e o momento de inercia

46

323

2

m 103,301

3,002,012

116,0002,025,002,025,0

12

12

AdII

Aplicando a frmula da flexo, para c = 170 mm,

(Resposta) MPa 7,12103,301

17,05,22 ;

6mxmx

I

Mc


A viga mostrada na figura tem rea de seo transversal em forma de um canal.

Determine a tenso de flexo mxima que ocorre na viga na seo aa.

Exemplo 6.9


Soluo:

O momento interno resultante deve ser calculado em torno do eixo neutro da

viga na seo aa. Visto que o eixo passa pelo centroide,

mm 09,59m 05909,0

25,002,0015,02,02

25,002,001,0015,02,01,02

A

Ayy


Aplicando a equao do equilbrio de momento sobre o eixo neutro, temos

kNm 859,4005909,00,124,2 ;0 MMMNA

O momento de inrcia sobre o eixo neutro

46

23

23

m 1026,42

05909,01,02,0015,02,0015,012

12

01,005909,002,025,002,025,012

1

I

A tenso de flexo mxima ocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro.


05909,02,0859,46mx

I

Mc


Momento aplicado ao longo do eixo principal

Podemos expressar a tenso normal resultante em qualquer ponto na seo transversal, em termos gerais, como

y

y

z

z

I

zM

I

yM

= tenso normal no ponto y, z = coordenadas do ponto medidas em relao a x, y, z

My, Mz = componentes do momento interno resultante

direcionados ao longo dos eixos y e z

Iy, Iz = momentos principais de inrcia calculados

em torno dos eixos y e z

Flexo assimtrica


Orientao do eixo neutro

O ngulo do eixo neutro pode ser determinado aplicando = 0. Temos

tgtgy

z

I

I


Uma viga em T est sujeita a um momento fletor de 15 kNm. Determine a tenso

normal mxima na viga e a orientao do eixo neutro.

Exemplo 6.10


Soluo:

Ambas as componentes do momento so positivas. Temos

kNm 50,730sen15

kNm 99,1230cos15

z

y

M

M

Para propriedades da seo, temos

m 0890,02,003,004,01,0

2,003,0115,004,01,005,0

A

Azz


Pelo teorema dos eixos paralelos, , os principais momentos da inrcia

so:

4623

23

4633

m 1092,13089,0115,003,02,003,02,012

1

05,0089,004,01,01,004,012

1

m 1053,202,003,012

104,01,0

12

1

y

z

I

I

2AdII

A maior tenso de trao ocorre em B e a maior tenso de compresso ocorre em C.


089,099,12

1053,20

02,05,7

MPa 8,741092,13

041,099,12

1053,20

1,05,7

66

66

C

B

y

y

z

z

I

zM

I

yM


y deve representar o eixo para o momento principal de inrcia mnimo, e z deve

representar o eixo para o momento principal de inrcia mximo.

6,68

60tg1092,13

1053,20tg

6

6


Vigas construdas de dois ou mais materiais diferentes so denominadas vigas compostas.

O fator de transformao uma razo entre os mdulos dos diferentes materiais que compem a viga.

Vigas compostas


Uma viga composta feita de madeira e reforada com uma tira de ao localizada

em sua parte inferior. Ela tem a rea de seo transversal mostrada na figura

abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determine a tenso

normal nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eao = 200 GPa.

Exemplo 6.11


Soluo:

Transformaremos a seo em outra feita inteiramente de ao.

mm 9150200

12madao nbb

A localizao do centroide (eixo neutro)

m 03638,015,0009,015,002,0

15,0009,0095,0150,002,001,0

A

Ayy

A seo transformada mostrada na figura ao lado.


Portanto, o momento de inrcia em torno do eixo neutro

46

23

23

m 10358,9

03638,0095,015,0009,015,0009,012

1

01,003638,002,015,002,015,012

1

NAI

Aplicando a frmula da flexo, a tenso normal em B e C


03638,02

MPa 6,2810358,9

03638,017,02

6

6'

C

B

A tenso normal na madeira em B . (Resposta) MPa 71,156,28200

12' BB n


A viga de concreto armado tem a rea de seo transversal como mostra a figura

abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 60 kNm, determine a tenso normal em cada uma das hastes de reforo de ao e a tenso normal mxima no

concreto. Considere Eao = 200 GPa e Econc = 25 GPa.

Exemplo 6.12


Soluo:

A rea total de ao

22ao mm 9825,122 A

Exige-se que o centroide se encontre no eixo neutro.

23

3

ao mm 856.79821025

10200' nAA

mm 90,120'033,949.20'37,52'

0'400856.72

''300

0~

2

hhh

hh

h

Ay


O momento de inrcia da seo transformada, calculado em

torno do eixo neutro,

4622

3mm 1067,7889,120400856.7

2

9,1209,1203009,120300

12

1

I

Aplicando a frmula da flexo seo transformada, a tenso normal mxima no

concreto

MPa 23,21

1067,788

9,120400000.1000.1000.160'


000.19,120000.160

6conc

6mxconc

(Resposta) MPa 84,16923,211025

10200'

3

3

concao

n

A tenso normal em cada uma das duas hastes , portanto,


Para vigas curvas, assumimos que as sees transversais so constantes.

Possui um eixo de simetria perpendicular direo ao momento M aplicado.

Ar

dA

AR

Vigas curvas


A integral pode ser calculada para vrias geometrias de seo transversal.

A frmula da viga curva deve ser usada para determinar a tenso circunferencial em uma viga quando o raio de curvatura for menor do que

cinco vezes a largura da viga.

RrAr

rRM

yRArMy


A barra curva tem rea de seo transversal mostrada na figura abaixo. Se estiver

sujeita a momentos fletores de 4 kNm, determine a tenso normal mxima desenvolvida na barra.

Exemplo 6.13


Soluo:

Visto que esse momento tende a diminuir o raio de curvatura da barra, ele

negativo. Assim, a rea total da seo transversal

232 m 1025,303,005,02

105,0 A

A localizao do centroide determinada em relao ao centro de curvatura, ponto

0.

m 23308,0~

A

Arr


Para o retngulo, m 11157,02.0

25.0ln05,0

A r

dA

Aplicando a frmula da viga curva para calcular a tenso normal em B,

m 23142,0

0028867,0011157,0

1025,3

/

3

A

rdA

AR

Para o tringulo,

m 0028867,005,028,0

28,0ln

25,028,0

28,005,0

A r

dA

Assim, a locao do eixo neutro determinada por

(Resposta) MPa 12900166,0280,01025,3

280,023142,04

MPa 11600166,02,01025,3

2,023142,04

3

3

RrAr

rRM

RrAr

rRM

A

BA

B

BB


A tenso normal mxima em cada uma das descontinuidades ocorre na seo que passa pela menor rea de seo transversal.

Uma vez que K for obtido, a tenso de flexo mxima determinada por

I

McKmx

Concentraes de tenso


A transio na rea da seo transversal da barra de ao obtida por filetes de

reduo. Se a barra for submetida a um momento fletor 5 kNm, determine a tenso normal mxima desenvolvida no ao. A tenso de escoamento e = 500 MPa.

Exemplo 6.14


Soluo:

Pela geometria da barra,

5,180

120 2,0

80

16

h

w

h

r

K 1,45 e temos

MPa 340

08,002,012

1

04,0545,1

3mx

I

McK

Este resultado indica que o ao permanece elstico, visto que a tenso est

abaixo da tenso de escoamento (500 MPa).


A viga feita de uma liga de titnio cujo diagrama tenso-deformao pode ser

aproximado, em parte, por duas retas. Se o comportamento do material for o

mesmo sob trao e sob compresso, determine o momento fletor que pode ser

aplicado viga e que far com que o material, nas partes superior e inferior da viga,

seja submetido a uma deformao de 0,050 mm/mm.

Exemplo 6.15


Soluo:

O ponto onde a tenso elstica mxima

mm 3cm 3,001,0

5,1

05,0 y

y

Resultantes e suas locaes so

determinadas como mostrado:

mm 0,111,12,13

23,0

kN 6,33600.3320280122

1

1

11

y

CT


(Resposta) kNm 40,5kNmm 2,401.5

25,3192521106,332

M

O momento produzido por essa distribuio de tenso normal em torno do eixo

neutro , portanto,

mm 22,03,03

2

kN 5,31500.3120050.132

1

mm 99,02,12

13,0

kN 252200.2520050.112

3

33

2

22

y

CT

y

CT


A viga mostrada na figura est sujeita a um momento inteiramente plstico de Mp. Se

esse momento for removido, determine a distribuio de tenso residual na viga. O

material elstico perfeitamente plstico e tem tenso de escoamento de e = 250 MPa.

Exemplo 6.16


Soluo:

A partir de clculos, temos . 46 mm 1044,82 I

Portanto,

MPa 1,285N/mm 1,285

1044,82

12510188 ; 2

6

6

admmx

I

Mc

Como esperado, . O ponto de tenso normal nula

foi determinado por proporo. yr 2

mm 61,109501.2

125

51,281 y

y

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