Aula 8: Determinantes (continuação)

Mais propriedades dos determinantesD9: Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que:

Exemplo:

D10: Sejam A, B, C matrizes nxn que diferem em uma única linha (r-ésima) , suponha que nesta linha para todo j=1,...,n

então:

)det()det( AkkA n

2221

1211

2221

1211

2221

1211 ...)det(aa

aakk

kaka

aak

kaka

kakakA

rjrjrj BAC )()()(

)det()det()det( BAC Exemplo: (Quadro)

Mais propriedades dos determinantesD11: Se B é uma matriz nxn e E é uma matriz elementar nxn então:

Consequência:

D12: Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, det(A)≠0.

D13: Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho então:

D14: Se A é invertível então:

D15: Se A é ortogonal (A-1=AT) então det(A-1)=1 ou -1.

)det().det()det( BEEB

)det().det()det().det()...det( 2121 BEEEBEEE rr

)det().det().det( BABA

)det(

1)det( 1

AA

Determinantes, sistemas e invertibilidade

Teorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes:

a) A é invertível.

b) Ax=0 só tem a solução trivial.

c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.

d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.

e) Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1.

f) Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1.

g) det(A)≠0.

Expansão em cofatoresDefinição: (menor de aij) Se A é uma matriz quadrada então o

determinante menor da entrada aij, ou simplesmente o menor de aij é

denotado por Mij e definido como o determinante da submatriz que

sobra quando suprimido a i-ésima linha e j-ésima coluna de A.

Exemplo:

Definição: (cofator) O número (-1)i+j Mij e denotado por Cij é chamado de o cofator de aij.

,

987

654

321

A

3484598

65

:

11

11

M

éademenoro

Expansão em cofatores

Observe a fórmula para o determinante de ordem 3:

(expansão em cofatores ao longo da primeira linha)

131312121111

131312121111

312232211331233321123223332211

322311332112312213

322113312312332211

333231

232221

131211

)()()(

......

......

CaCaCa

MaMaMa

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

Expansão em cofatoresTeorema: O determinante de uma matriz A (nxn) pode ser obtido pela

soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores. Estas somas são denominadas expansões em cofatores de det(A).

Exemplo: (Quadro)

(expansão em cofatores ao longo da linha i)

ininiiii CaCaCaA ...)det( 2211

(expansão em cofatores ao longo da coluna j)

njnjjjjj CaCaCaA ...)det( 2211

Expansão em cofatores

Definição: (matriz de cofatores e adjunta de A) Se A é uma matriz

quadrada de ordem n e Cij é o cofator de aij então a matriz

é chamada matriz de cofatores de A. A transposta desta matriz é chamada adjunta de A e denotada por adj(A).

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

A

21

22221

11211

Exemplo: (Quadro)

Idéia da prova: Mostra –se que:

Como A é invertível, det(A)≠0. Portanto a equação pode ser reescrita como:

Multiplicando-se ambos os lados à esquerda por A-1 obtemos:

Fórmula para inversa de uma matrizTeorema: Se A é uma matriz nxn, invertível então

)()det(

11 AadjA

A

IAAadjA ).det()(.

IAadjA

AouIAadjAA

)](.)det(

1.[)(.

)det(

1

)()det(

11 AadjA

A

Exemplo: (Quadro)

Regra de Cramer

Teorema: (Regra de Cramer) Se Ax=b é um sistema de n equações lineares com n incógnitas tal que det(A)≠0, então o sistema tem uma única solução. Esta solução é:

onde Aj é a matriz obtida subtraindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas do vetor coluna b.

Observação: Quando det(A)≠0 onde A é a matriz dos coeficientes de um sistema linear, o sistema é chamado sistema de Cramer

,)det(

)det(,...,)det(

)det(,)det(

)det( 22

11 A

Ax

A

Ax

A

Ax n

n

Idéia da prova + Exemplo: Quadro

Através da Regra de Cramer podemos classificar um sistema linear quanto as suas soluções:

• Se det(A)=0 e pelo menos um dos det(Ai)≠0 o sistema é imcompatível.

• Se det(A)=0 e det(Ai)=0 para todo i o sistema é compatível e indeterminado.

• Se det(A) ≠0 o sistema é compatível e determinado.

Regra de Cramer

Sistemas lineares da forma Ax=λxMuitas aplicações da Álgebra linear envolvem sistemas de n equações lineares

e n incógnitas que aparecem no formato:Ax=λx

onde λ é um escalar. Tais sistemas são realmente sistemas homogêneos disfarçados pois podem ser reescritos como

λx-Ax=0ou ainda

λIx-Ax=0(λI-A)x=0.

Uma pergunta fundamental em relação ao sistema (1) é determinar para quais valores de λ o sistema tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado autovalor de A.

Se λ é um autovalor de A então cada solução não trivial de (2) é chamada autovetor de A associado ao autovalor λ.

(1)

(2)

Sistemas lineares da forma Ax=λxVimos que

A é invertível ↔ Ax=0 tem somente solução trivial logo

(λI-A)x=0 tem solução não trivial ↔ (λI-A) não é invertível, ou seja,

det(λI-A)x=0

Exemplo: Expresse o sistema linear abaixo no formato (λI-A)x=0

encontre:(i) A equação característica; (ii) os autovalores; (iii) os autovetores

associados a cada autovalor

Equação característica de A

221

121

24

3

xxx

xxx