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Essa é a penúltima aula do curso... Estudaremos nela algo realmente novo e desafiador. Os trabalhos de Schrödinger provocou uma revolução da mecânica quântica e, na verdade, em toda a Física e a Química. A teoria quântica proposto por ele, brilhantemente expressa por uma equação, hoje conhecida por equação de Schrödinger, trouxe uma nova luz aos problemas até então enfrentados pela jovem física moderna. Hoje afirmamos que a equação de Schrödinger é tão fundamental para a mecânica quântica, assim com F = m∙a é para a mecânica clássica.

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Uma quantidade física muito importante na Mecânica Quântica é a função de onda denominada por “” (letra grega: psi).

A toda partícula em movimento se associa um comprimento de onda denominada onda de matéria, ou onda de De Broglie. O comportamento destas ondas materiais são descritas pela função de onda “”.

A função “” contém uma informação detalhada do comportamento das ondas materiais e as características físicas do movimento no espaço-tempo de uma partícula.

A função de onda para uma partícula que se move ao longo do eixo x pode ser descrita assim:

3

x2

senAxksenAx

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Considere o movimento de uma partícula de massa “m” confinada numa caixa (poço) de paredes rígidas, de largura “L”.

A função de onda que descreve o comportamento das ondas materiais pode ser obtida por analogia com o caso mecânico conhecido como ondas estacionárias produzidas por uma corda de comprimento “L”, fixas em seus extremos.

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Dis

poní

vel e

m: h

ttps:

//def

.fe.u

p.pt

/fisi

ca3/

quan

tica1

/inde

x.ht

ml

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O comprimento da onda () da onda material está relacionada com o comprimento da caixa (L) da seguinte forma:

nL2

Sendo os comprimentos de onda permitidos dado por:

Como a partícula se move no eixo x, então o comportamento das ondas de matéria são descritas em função da onda x, que tem a seguinte forma:

Lxn

senAx

2nL

Sendo n = 1, 2, 3, ... chamado número quântico.

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A quantidade de movimento da partícula (p = mv) pode ser calculada com base na equação de De Broglie:

nL2hp

nL2hphp

ph

vmh

Sendo n = 1, 2, 3,...

Observe que a quantidade de movimento de uma partícula é quantizada e ela pode ser escrita em função da constante de Planck h.

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A energia de uma partícula em um poço de potencial é igual a energia cinética (EK), pois sendo uma partícula livre, sua energia potencial é nula. A equação clássica da energia cinética é dada por:

Que pode ser trabalhada:

2K vm

21E

m2

pmvm21vm

21E

222

K

Então:

22

2

K

2

K nmL8hE

m2

nL2

h

E

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Sendo:h = constante de Planck;m = massa da partícula;L = largura do poço de potencial;n = 1, 2, 3,... o número quântico (Isto quer dizer que a

energia da partícula está quantizada!)

22

2

K nmL8hE

A energia de uma partícula em um poço de potencial é, então, dada por:

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O quadrado do módulo da função de onda (x)2 denomina-se densidade de probabilidade.

Esse significado foi introduzido pela primeira vez por Max Born, em 1928, e estabelece uma relação entre a partícula e a onda a ela associada. A densidade de probabilidade indica onde é possível encontrar a partícula e não onde ela está. Por exemplo, dada uma função de onda:

Lxn

senA)x(

A densidade de probabilidade é:

Lxn

senA 222x

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(x)2 é sempre positivo;

Para n = 1 a probabilidade de encontrar a partícula é maior nas proximidades do centro (x = L/2) que nos extremos;

Nos extremos (x = 0 e x = L) é impossível encontrar a partícula, pois (x)2 = 0

)x(

2x

x = 0 x = 0x = L x = L

x

y

0

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Para descrever o comportamento das ondas de matéria e as características físicas de uma partícula no espaço e no tempo se requer uma função de onda “(x)”. O problema de Schrödinger era desenvolver uma regra que permitisse encontrar a função de onda (x), para cada problema específico.

A regra para encontrar se expressa em forma de uma equação diferencial, chamada Equação de Schorödinger, que para partículas que se movem em uma direção, por exemplo no eixo x do sistema de coordenadas, se escreve da seguinte forma:

0EE

hm8

x xP2

2

2

2

Sendo: m : massa da partícula;EP : Energia potencial em função de x;EK = p2/2m : Energia cinética da partícula;E = EK + EP : Energia total quantizada da partícula.

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(x) é função de onda que determina a provável posição da partícula.

É essa função que teremos que encontrar para cada problema específico, e calcular a sua incógnita.

É uma função contínua que depende da energia potencial e da energia total e deve admitir as equações:

= h/p : Equação de onda de De Broglie;E = h : Equação da teoria quântica de Planck – Einstein;E = p2/2m + EP : Energia Total.

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Uma partícula confinada a um poço de potencial tem EP = 0 e pode mover-se livremente nessa região. Logo, sua energia total será:

m2p

vm21E

22

K

k2h2

2hhp

m8kh

E2

22

K

Sendo que:

Temos:

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Aplicando essas equações na Equação de Schrödinger, obtemos:

Substituindo a equação da energia:

Ou ainda:

0Eh

m8dxd

K2

2

2

2

0m8

khh

m8dxd

2

22

2

2

2

2

22

2k

dxd

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Como a partícula está oscilando em x = 0 e x = L , então a função de onda que depende de “x”, ou seja de (x), deve ser tal que:

Se: x = 0 (x) = 0 Estas são as condições de contorno.

Se: x = L (x) = 0

Por outro lado, deduz-se que a função de onda é tal que a segunda derivada é igual à mesma função multiplicada por uma constante. A função que cumpre com essa condição é:

xksenAx

Que das condições de contorno teremos k = n/L , (n = 1, 2, 3, ...)

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Então, como base nas equações anteriores:

O que nos levará a:

nL2

hp

2

2

2

K nLm8

hE

Lxn

senAx

que são as mesmas equações deduzidas por meio do cálculo clássico. Isso quer dizer que a equação de Schrödinger trabalha perfeitamente na análise de movimento de uma partícula num poço de potencial.

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- CARUSO, Francisco e OGURI, Vitor. Física Moderna, Origens Clássicas e Fundamentos Quânticos. Rio de Janeiro: Ed. Campus, 2006.

- MARTINS, Jader B. A História do Átomo, de Demócrito aos Quarks. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2001

- EISBERG, Robert e RESNICK, Robert. Física Quântica – Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas . 18ª tiragem. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1979.

- HALLIDAY, David, RESNICK, Robert e WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. Vol. 4, 9ª Ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editorial Ltda, 2012.

-INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES. Química, Análises de Principios y Aplicaciones. Tomo I. Lima: Lumbreras Editores, 2011.

- RAMALHO, Francisco J., JUNIOR, Nicolau G. F. e SOARES, Paulo A. T. Fundamentos da Física. Vol 3, 9ª Ed. São Paulo: Editora Moderna, 2008.

- SEGRÈ, Emilio. Dos Raios X aos Quarks – Físicos Modernos e Suas Descobertas . Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1987.

- TRANSNATIONAL COLLEGE OF LEX. What Is Quantum Mechanics? A Physics Adventure. Boston, 1996.