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Aula 1: Teoria quânticaIntrodução aos principais conceitos

Rafael Rabelo – [email protected]

Departamento de Física da Matéria CondensadaInstituto de Física “Gleb Wataghin”

Aula 1

1. Sistemas quânticos

2. Notação e definições básicas

3. Qubits

4. Estados

5. Emaranhamento

6. Mapas

7. Medições

1

Sistemas quânticos

Sistemas quânticos

Um sistema quântico é qualquer coisa que admite umadescrição dinâmica fechada dentro da teoria quântica.

Asher Peres

2

Notação e definições básicas

Espaços de Hilbert

Espaços de HilbertA todo sistema quântico é associado um espaço de Hilbert H:

• espaço vetorial;• dotado de produto interno;• no qual toda seuquência de Cauchy é convergente.

DimensãoNeste curso, consideraremos apenas espaços de Hilbert complexosde dimensão finita d,

H = Cd.

3

Notação de Dirac

KetsUm vetor arbitrário de H será denotado |ψ⟩:

|ψ⟩ = [ψ1, . . . , ψd]T .

BrasPara todo vetor de H, existe um elemento dual, denotado ⟨ψ|:

⟨ψ| = [ψ∗1 , . . . , ψ∗d ] .

4

Produtos

Produto interno: braket

⟨ψ|ϕ⟩ .

Norma

|| |ψ⟩ || =√⟨ψ|ψ⟩.

Produto externo

|ψ⟩⟨ϕ| .

5

Operadores

Operador identidade

1 |ψ⟩ = |ψ⟩ .

Projetor

Π2 = Π.

• UnidimensionalΠ = |ψ⟩⟨ψ| .

• Multidimensional:

Π =∑i

|ψi⟩⟨ψi| ,⟨ψi|ψj

⟩= δi,j.

6

Operadores

Hermitiano:

A = A† = (A∗)T .

Decomposição espectral:

A =d−1∑i=0

ai |ai⟩⟨ai| .

Positivo semi-definido:

A ≥ 0 → ⟨ψ|A |ψ⟩ ≥ 0.

Unitário:

U† = U∗ = U−1.

7

Uma visão operacional

Preparação, transformação e medição

8

Relembramentos

Estado: |ψ⟩ ∈ H

• Normalização:|| |ψ⟩ || = 1,

• Fase global:|ψ⟩ ∼ eiφ |ψ⟩ .

Transformação: U unitária

U |ψ⟩ = |ϕ⟩ .

Observável: A hermitiano

• Valor esperado:⟨A⟩|ψ⟩ = ⟨ψ|A |ψ⟩ ,

• Probabilidades:p(ai) = |⟨ai|ψ⟩|2 .

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Qubits

Qubits

QubitO qubit é o sistema quântico mais simples, H = C2.

Estado de um qubit

|ψ⟩ = α |0⟩+ β |1⟩= |α| eiφα |0⟩+ |β| eiφβ |1⟩= cos (δ) eiφα |0⟩+ sin (δ) eiφβ |1⟩= cos (δ) |0⟩+ sin (δ) ei(φβ−φα) |1⟩= cos (θ/2) |0⟩+ sin (θ/2) eiφ |1⟩ .

10

Esfera de Bloch

|ψ⟩ = cos (θ/2) |0⟩+ sin (θ/2) eiφ |1⟩ .

| i

|0i

|1i

✓

'x̂

ŷ

ẑ

11

Matrizes de Pauli

σx =

(0 11 0

)σy =

(0 −ii 0

)σz =

(1 00 −1

)

12

Estados

Estados puros

Estados purosUm estado puro pode ser representado por um vetor |ψ⟩ ∈ H, e, deacordo com a teoria quântica, é a melhor descrição possível de umsistema quântico.

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Estados mistos

Estados mistosSuponha que exista um procedimento de preparação P que prepareo estado |ψ1⟩, com probabilidade p1, e |ψ2⟩, com probabilidade p2. Ovalor esperado de um observável A é, então

⟨A⟩ = p1 ⟨ψ1|A |ψ1⟩+ p2 ⟨ψ2|A |ψ2⟩= p1Tr (|ψ1⟩⟨ψ1|A) + p2Tr (|ψ2⟩⟨ψ2|A)= Tr (ρA) ;

ρ = p1 |ψ1⟩⟨ψ1|+ p2 |ψ2⟩⟨ψ2| .

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Operador densidade

Operador densidade ρ

• Positivo semi-definido:ρ ≥ 0;

• Normalizado:Tr (ρ) = 1.

Misturas

ρ =∑i

pi |ψi⟩⟨ψi| .

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Qubit

Operador densidade de um qubit

ρ =12

(1+ vz vx − ivyvx + ivy 1− vz

)

=12 (1+ vxσx + vyσy + vzσz)

=12(1+ v⃗.σ⃗

).

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Bola de Bloch

ρ =12(1+ v⃗.σ⃗

)|0i

|1i

x̂

ŷ

ẑ

~v

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Emaranhamento

Sistemas compostos

Espaço de HilbertO espaço de Hilbert de um sistema composto por dois subsistemasé o produto tensorial dos espaços de Hilbert dos subsistemas

HAB = HA ⊗HB.

DimensãoSe HA = CdA e HB = CdB , então HAB = CdAdB .

BaseSe {|iA⟩}dA−1i=0 é base ortonormal de HA e {|jB⟩}

dB−1j=0 é base ortonormal

de HB, então {|iA⟩ ⊗ |jB⟩}dA−1,dB−1i=0,j=0 é base ortonormal de HA ⊗HB.

18

Exemplos

Exemplo 1

|ψ⟩ = 12 (|00⟩+ |01⟩+ |10⟩+ |11⟩)

=

(1√2(|0⟩+ |1⟩)

)(1√2(|0⟩+ |1⟩)

).

Exemplo 2

|ψ⟩ = 1√2(|00⟩+ |11⟩)

Exemplo 3

|ψ⟩ = α |00⟩+ β |01⟩+ γ |10⟩+ δ |11⟩

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Decomposição de Schmidt

Decomposição de Schmidt

Para todo |ψ⟩ ∈ HA ⊗HB, existem bases {|αi⟩}dA−1i=0 de HA e {|βi⟩}dB−1i=0

de HB tais que

|ψ⟩ =d−1∑i=0

ci |αiβi⟩ ,

onde d = min {dA,dB} e ci ≥ 0, para todo i.

Rank de SchmidtO rank de Schmidt é o número de coeficientes de Schmidtestritamente maiores que zero.

Estados puros emaranhadosUm estado |ψ⟩ ∈ HA ⊗HB é emaranhado se, e somente se, seu rankde Schmidt é maior que 1.

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Estados separáveis

Estados produtoUm estado ρ atuando em HA ⊗HB é produto se existem estados ρAatuando em HA e ρB atuando em HB tais que

ρ = ρA ⊗ ρB.

Estados separáveisUm estado ρ é separável se pode ser escrito como combinaçãoconvexa de estados produto

ρ =∑i

piρiA ⊗ ρiB,

ondepi ≥ 0,

∑i

pi = 1.

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Operações locais

Forma geral do estado bipartido

ρ =∑ijαβ

aijαβ |i⟩⟨j| ⊗ |α⟩⟨β|

Transposição parcial

ρTB =∑ijαβ

aijαβ |i⟩⟨j| ⊗ |β⟩⟨α|

Traço parcial

TrB (ρ) =∑ijαβ

aijαβ |i⟩⟨j| ⊗(∑

γ

⟨γ|α⟩⟨β|γ⟩

)

=∑ij

(∑α

aijαα

)|i⟩⟨j|

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Critério de Peres

Critério de PeresSe ρTB ≱ 0, então ρ é emaranhado.

ProvaAssumindo que ρ é separável,

ρTB =∑i

piρiA ⊗ (ρiB)T.

Critério de Peres-HorodeckiSe ρ atua em um espaço de Hilbert global H de dimensão menor ouigual a 6, então ρ é emaranhado se, e somente se, ρTB ≱ 0.

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Quantificadores de emaranhamento

Monótonos de emaranhamentoUm monótono de emaranhamento é uma função E(ρ) real quesatisfaz:

• E (ρ) = 0 se ρ é separável.• E (Λ (ρ)) ≤ E (ρ) se Λ é uma operação local com comunicaçãoclássica (LOCC).

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Exemplos de quantificadores

Entropia de emaranhamento

E (|ψ⟩) = S (ρA) = −Tr (ρA log (ρA)) .

Emaranhamento de formação

Ef (ρ) = min{pi,|ψi⟩}∑i

piE (|ψi⟩)

ρ =∑i

pi |ψi⟩⟨ψi|

Negatividade

N (ρ) =∣∣∣∣ρTA ∣∣∣∣1 − 1

2 .

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Alguns estados interessantes

Estados de Bell

∣∣ϕ±⟩ = 1√2(|00⟩ ± |11⟩) ,∣∣ψ±⟩ = 1√

2(|01⟩ ± |10⟩) .

Estados de Werner

ρW = w∣∣ψ−⟩⟨ψ−∣∣+ (1− w)14 .

27

Mais estados interessantes

Maximamente emaranhado

|Ψd⟩ =1√d

∑i

|ii⟩ .

GHZ (Greenberger-Horne-Zeilinger)

|GHZ⟩ = 1√2(|000⟩+ |111⟩)

W (Wooters)

|W⟩ = 1√3(|001⟩+ |010⟩+ |100⟩) .

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Mapas

Mapas quânticosUm Mapa quântico Λ é um funcional que transforma o estado dosistema. É desejável que ele preserve as condições do estado:

• Λ seja positivo: se ρ ≥ 0, então Λ (ρ) ≥ 0.• Λ preserve traço: Tr (Λ (ρ)) = Tr (ρ).

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Mapas k-positivos

k-extensõesUm mapa Λ que atua sobre HA pode ser trivialmente estendido paraatuar obre HA ⊗Hk

Λk = Λ⊗ 1k,

onde k representa a dimensão de H.

Mapas k-positivosUm mapa Λ é k-positivo se sua extensão Λk é positiva.

Mapas completamente positivosUm mapa Λ é completamente positivo (CP) se é k-positivo para todok.

30

Critério de Peres-Horodecki

Estados emaranhadosUm estado ρ atuando em HA ⊗HB é emaranhado se, e somente se,existe um mapa Λ positivo, mas não completamente positivo, tal queΛdB (ρ) ≱ 0.

31

Decomposição de Krauss

Operadores de KraussUm mapa Λ é completamente positivo se, e somente se, existemoperadores {Ki} tais que

Λ (ρ) =∑i

K†i ρKi.

Mapas CP que preservam traço (CPTP)Os operadores de Krauss dos mapas CP que preservam traço devemsatisfazer: ∑

i

KiK†i = 1.

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Medições

A teoria quântica

Num sentido estrito, a teoria quântica é um conjunto deregras para se calcular as probabilidades dos possíveisresultados de uma medição realizada em um sistema cujapreparação é conhecida.

Asher Peres

33

POVMs

Positive Operator Valued MeasureEm um POVM x, cada possível resultado a é associado a umoperador positivo semi-definido Ea|x

Ea|x ≥ 0,∑aEa|x = 1.

Regra de BornSe o POVM x é realizado sobre um sistema de estado ρ, então aprobabilidade de se obter o resultado a é

p(a|x) = Tr(ρEa|x

).

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POVMs

Estado pós mediçãoCaso seja possível, o estado do sistema imediatamente após amedição, obtido o resultado a, é dado por

ρa|x =E1/2a|xρE

1/2a|x

Tr(ρEa|x

) .

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Sumário

• Estados quânticos, puros e mistos;• Qubits, esfera e bola de Bloch;• Emaranhamento em sistemas bipartidos

• Estados puros: decomposição de Schmidt;• Estados mistos: critério de Peres (transposição parcial);• Quantificadores;• Exemplos

• Mapas quânticos, positivos e completamente positivos;• Medições projetivas e POVMs, regra de Born.

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Sistemas quânticosNotação e definições básicasQubitsEstadosEmaranhamentoMapasMedições

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