Aula 5Aula 5Ótica geométricaÓtica geométrica

Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);

objeto

imagem

SP

Sistema ótico

Fonte pontual

Sempre que a cada feixe de raios que diverge a partir de S, corresponde a umfeixe de raios que converge para P, o sistema ótica diz-se estigmático para ospontos S e P.

S e P constituem um par de pontos conjugados

Na prática, ocorre sempre um desvio inevitável da direção de propagaçãoretilínea (difração). Num sistema ótico real o grau máximo de perfeição possívelde atingir na formação de imagens é limitado por difração.

No limite teórico de λ→0, é possível recuperar a propagação retilínea da luz: é o domínio da ótica geométrica

LENTESLENTES

REFRAÇÃO EM SUPERFÍCIES ESFÉRICAS

n2 > n1

s

n1

n2

P

Qual é a forma da interface, de modo que a onda no segundo meio, convirja para P, formando uma imagem perfeita de S ?

O tempo que cada parte da frente de onda leva de S até P deve ser sempre o mesmo (Huygens, 1678)

Principio de Fermat: o percurso ótico medido sobe raios luminosos entre S e P defletidos em pontos A da interface é o mesmo para todos os raios.

A

loli

vértice

SP

n1

n2

V

so si

lon1 +lin2 = son1 + sin2 = constante(equação oval de Descartes)

distância objeto distância imagem

eixo ótico

Para além da focalização de ondas esférica, as interfaces refrigentes (dioptros), permitem efetuar outros tipos de manipulações a forma das frentes de onda.

n1

n2

n2

n1

n2 > n1

elipsóides

Todas estas considerações foram desenvolvidas por Descartes. FoiKepler quem sugeriu em 1611 a utilização de seções cônicas paraconstituição de lentes e espelhos

Elementos óticos com dioptros que não são esféricos nem planos, são conhecidos como asféricos. Embora o seu funcionamento seja fácil de compreender e realizem muito bem certas funções, as lentes asféricas são bastante difíceis de produzir com precisão; todavia sempre que os custos o justificam as lentes asféricas são utilizadas.

Lentes esféricas

Vantagens:

Mais fáceis de fabricar do que as lentes asféricas Custo!

Desvantagens:

As aberrações estão sempre presentes, mas já se consegue fabricarAs aberrações estão sempre presentes, mas já se consegue fabricarLentes com aberrações controladas ao limite da difração.

Refração num dioptro esférico

R

θi

θr

θt

n2

loli

h

A

S PC

R

n1

n2 > n1 θt < θi

so si

V ϕ

so , fo + à esquerda de V

xo + à esquerda de Fo

si , fi + à direita de V

Convenção de sinais para dióptricos esféricos e lentes delgadas

xi + à direita de Fo

R + se C estiver à direita de V

yo , yi + acima do eixo ótico

(inclui grandezas ainda não referidas)

Lei dos co-senos aplicada aos triângulos SAC e ACP e na relação cosϕ = -cos(π -ϕ)

ϕ

ϕ

cos)(2)(

cos)(2)(

22

22

RsRRsRl

RsRRsRl

iii

ooo

−−−+=

+−++=

S PC

R

θiθr

θt

n2

lo li

so si

hV ϕ

A

O percurso ótico (PO) é dado por:

ϕϕ cos)(2)(cos)(2)( 22

2

22

1

21

RsRRsRnRsRRsRnPO

lnlnPO

iioo

io

−+−+++−++=

+=

Quando o ponto A se desloca sobre o dióptrico (com R=cte), o ângulo ϕ pode ser utilizado para parametrizar a posição de A, logo, fazendo d(PO)/dϕ = 0 (principio de Fermat):(principio de Fermat):

02

)(

2

)( 21 =−

−+

i

i

o

o

l

senRsRn

l

senRsRn ϕϕ

E após rearranjo...

−=+

o

o

i

i

io l

sn

l

sn

Rl

n

l

n 1221 1

Variando ϕ, o novo raio não intercepta o eixo ótico em P – aberração esférica

−=+

o

o

i

i

io l

sn

l

sn

Rl

n

l

n 1221 1

Quando ϕ é pequeno, cosϕ ≅1 e senϕ≅ϕ, logo

iiii

oooo

sRsRRsRl

sRsRRsRl

≈−−−+=

≈+−++=

ϕ

ϕ

cos)(2)(

cos)(2)(

22

22

−=+

o

o

i

i

io l

sn

l

sn

Rl

n

l

n 1221 1

−=+

R

nn

s

n

s

n

io

1221

Simplifica como:

Esta aproximação de primeira ordem (senϕ ≅ ϕ) delimita o domínio da ótica geométrica de primeira ordem ou paraxial.

Os raios que se propagam muito próximos ao eixo ótico são designados de raios paraxiais.

A frente de onda emergente associada a estes raios paraxiais é essencialmente esférica e dá origem a uma imagem “perfeita” em P.

Em 1841,Gauss contruiu uma análise da formação de imagens nesta aproximação , e que é conhecida por ótica Gaussiana, paraxial ou de primeira ordem.

Se a imagem do ponto Fo se formar no infinito (si = ∞) então:

−=

∞+

R

nnn

s

n

o

1221 Rnn

nfo

12

1

−=

so = fo

Distância focal objeto

Fo

Se a imagem do ponto Fi se formar no infinito (so = ∞) então:

−=+

∞ R

nn

s

nn

i

1221 Rnn

nf i

12

2

−=

si = fi

Distância focal imagem

f i ≠ foFi

f i ≠ fo

Lentes delgadas

−=+

111 R

nn

s

n

s

n ml

i

l

o

m

Índice do meio

Índice da lente

Posição do objetoPosição da imagemPosição da imagem

Se so < fo si torna-s negativo (virtual)

S

P

C CV VP’

−=+

111 R

nn

s

n

s

n ml

i

l

o

m

−=+

2022 R

nn

s

n

s

n lml

i

m

Primeiro dióptro Segundo dióptro

S C2 C1

d

V1 V2P’

R1R2

so1

si1

so2

si2

S

P

C CV VP’

| so2 | = | si1 | + d

Pela convenção de sinais:so2 = - si1 + d

S C2 C1

d

V1 V2P’

R1R2

so1

si1

so2

si2

Somando as equações para o primeiro e segundo dióptro:

Para lentes delgadas d→0 e o último termo do segundo membro se anula. No ar, nm ≈ 1:

( ) 112121

11)(

ii

lml

i

m

o

m

sds

dn

RRnn

s

n

s

n

−+

−−=+

−−=+

21

11)1(

11

RRn

ssl

io

No ar, nm ≈ 1:

Equação das lentes delgadas!

oi

oosiiis

l

io

n

ff

fsfs

RRn

ss

o

11)1(

1

limlim

11)1(

11

21

−−=

=

=↔=

−−=+

∞→∞→

io

l

ssf

RRn

f

111

11)1(

1

21

+=

−−=

Fórmula de Gauss

Associação de lentes delgadasAssociação de lentes delgadas

f1 f2 f3 fn

...

f1 f2 f3 fn

1/f = 1/f1 +1/f2 + 1/f3 + ... + 1/fn

Distância focal efetiva para lentes em contacto ou coladas

Potência dióptrica

D = 1/f→ D = D1 +D2 + D3 + ...+ Dn

Quando fazemos um feixe de luz atravessar duas lentes consecutivas, temos uma associação de lentes que possui um foco efetivo dado por:

2121

111

ff

d

fff−+=

d

O olho humanoO olho humano

A zona de junção do nervo ótico com o olho é insensível à luz pois não contém qualquer célula receptora; tem o nome de ponto cego.

SIMAS, Maria Lúcia de Bustamante; SANTOS, Natanael Antonio dos. O fenômeno de muitas-faces: investigações fenômeno de muitas-faces: investigações preliminares. Psicol. Reflex. Crit., Porto Alegre, v. 18, n. 1, Apr. 2005 .

Idade (anos) Ponto próximo (cm)

O ponto mais afastado para o qual é possível a visão distinta é chamado ponto remoto

A distância mínima de visão distinta é dada pelo ponto próximo.

10 7

20 10

30 14

40 22

50 40

60 200

A lupa, microscópio simples ou lente de aumentoA lupa, microscópio simples ou lente de aumento

O tamanho aparente de um objeto é determinado pelo tamanho de suaimagem na retina, o qual, por sua vez, a olho nú, depende do ângulosubtendido pelo objeto.

θ

Quando se quer examinar detalhadamente um objeto diminuto, coloca-se o mesmo próximo ao ôlho, afim de que o ângulo subtendido seja o maior possível.

P≈ 25 cm

Ponto próximo

y

θ’

Imagem virtual

y

≈ 25 cm

Colocando uma lente convergente em frente à vista, a acomodação pode ser aumentada; o objeto fica, então, situado aquém do ponto próximo, e subtende,portanto, um ângulo maior.

so

O aumento M da lupa (que não deve ser confundido com amplificação) é definido como a relação entre os ângulos θ’ e θ:

θ≈ y/25

Usando 1/so + 1/si = 1/f si = -25 cm

so = 25f/(25 + f)

θ’ ≈ y/so

M = θ’/ θ = (25/f) + 1

Se a imagem é formada no infinito (si = ∞), so = f

M = 25/f

O telescópio

Não se sabe ao certo a quem se deve a invenção do telescópio- foi provavelmente inventado e reinventado várias vezes.

O telescópio (luneta astronômica)

A luneta astronômica é usada na observação de objetos distantes, que são grandes mas nos parecem pequenos por estarem muito distantes de nós. Na sua forma mais simples é, como o microscópio, constituída por um tubo com uma lente em cada extremidade.

objetivaocular

Imagem real

Imagem virtual no infinito

θ θ’

F’1

F’2 ,F1

tgθ≈θ=y´/ftgθ’≈θ’=y´/f’MA = θ’/θ =f/f’

f

θ y’

f’

Na prática a posição da imagem intermediária é fixa e a focagem se faz por deslocamento da ocular