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Aula-4O potencial elétrico
A energia potencial elétrica
Analogia gravitacional
No caso de forças conservativas (como o nosso)
U f −U i=−W =−∫r i
r f
qoE r . d l
onde U é a energia potencial associada ao campo da força gravitacional .
U f −U i=−W =−∫i
f
mg . d l =−mgh
No caso eletrostático, como F=q0E
, o resultado destaintegral não depende do caminho de integração, mas apenas dos pontosinicial e final.
:
A energia potencial elétrica
F r
Cr i
r f
Q
Se a força é devida a uma distribuição finita de cargas, convém tomar como a configuração de referência tal que
U ( r⃗ )=−∫0
r⃗
q0 E⃗ .d l⃗
∣r i∣∞
U i=0
x
y
z
d l
é o negativo do trabalho realizado pela força do campo elétrico para trazer a partícula com carga desde o infinito até .
U r r
Ou seja,
Com isto podemos definir a função energia potencial :U r
q0
O potencial elétrico É a energia potencial por unidade de carga:
V ≡Uq
ΔV ≡ΔUq
Note que o potencial elétrico só depende do campo elétrico da distribuição de cargas. Unidade: volt = joule/coulomb = J/C
Unidade de energia conveniente para cargas elementares: 1eV = elétron-volt= 1,6 x 10-19 J
Potencial em função do campo:
V f −V i=−∫r i
r f
E r . d l
Se escolhermos o infinito como referência:
V r =−∫∞
r
E r . d l
O potencial elétrico
Superfícies equipotenciais
São superfícies em que todos os pontos têm o mesmo potencial.
W I ,W II , W III e W IV =?
As linhas de são perpendiculares às superfícies equipotenciais. Por quê?
E
O potencial elétrico
V de um campo uniforme
a b
a
b
V f −V i=−Ed
V f −V i=−Ed
i f
Vemos que o resultado não depende do caminho da integração.
Portanto, para se calcular V, pode-se sempre escolher o caminho mais simples.
V f −V i=−∫r i
r f E r . dl
O potencial elétrico
O potencial de uma carga puntiforme
E=1
4 πε0
q
r 2r V f −V i=−∫
r i
r f
E r dr =−∫∞
r1
4 πε 0
qr 2 dr
V r =q
4πε 0 r
V f −V i=−∫r i
r f E r . dl
O potencial elétrico
O potencial de um sistema de cargas puntiformes
-
- -
-
-
+
+
+
+
x
y
z
r
V r =∑i
V i r =∑i
q i
4πε 0∣r−r i∣
V i r =q i
4πε0∣r −r i∣
r i
r −r i
(soma escalar!)
O potencial elétrico
O potencial de um sistema de cargas puntiformes (exemplo)
q1=12 nC
q2=−24 nC
q3=31 nC
q4=17 nC
V P=?
q=12×e
V C=? EC=?
d=1,3 m
O potencial elétrico
O potencial de um dipolo elétrico
V r =∑i
V i r =∑i
q i
4 πε 0∣r−r i∣V r =
q4πε 0 r
−q
4πε 0 r−
r −−r ≈d cos θ
r −r ≈r2
V r =p cos θ
4πε 0 r2
O potencial elétrico
O potencial de um dipolo elétrico
O dipolo elétrico pode ser permanente ou induzido por um campo externo que separa o centro de cargas positivas do das negativas.
Distribuição contínua de cargas
r '
y
x
z
r −r '
r
Pdq r '
V r = ∫V , S ou L
14 πε0
dq r ' ∣r −r '∣
dV r ,r '
Distribuição contínua de cargas
superficial : dq ( r⃗ ' )=σ ( r⃗ ' ) dA( r⃗ ' )
volumétrica : dq r ' = ρ r ' dV r '
linear : dq r ' = λ r ' dl r ' dqr '
dq r '
dq r '
Distribuição contínua de cargas
O potencial de uma linha de carga dq=λ dx
V =∫0
L1
4 πε0
λ dx
x 2d 2
V r = ∫V , S ou L
14 πε0
dq r ' ∣r −r '∣
V =λ
4 πε0
ln [ LL2d 2
d ]
Distribuição contínua de cargas
O potencial de um disco carregado
dq=2πσ R' d R'
V r = ∫V , S ou L
14 πε0
dq r ' ∣r −r '∣
V ( z )=∫0
R1
4 πε0
2π σ R' d R'
√ z 2+R ' 2
¿
V z =σ
2ε0
z 2R2−∣z∣
O campo elétrico
Obtenção do campo a partir do potencial elétrico
dV =−E cosθ ds −dVds
=E cosθ
E s=−∂V∂ s
=− ∇ V⋅s
E=− ∇ V
que é a derivada direcional do campo elétrico na direção do deslocamento
,
Dedução alternativa
V f −V i=−∫r i
r f
E r . d l dV =−E .d l (1)
Sejam, em coordenadas cartesianas:
E=E xiE y
jE zk
V =V x , y , z
Então: E⃗ . d l⃗ =E x dx+E y dy+E z dz
dV =∂V∂ x
+∂V∂ y
+∂ V∂ zPor (1):
E x=−∂V∂ x
; E y=−∂V∂ y
; E z=−∂ V∂ z
Ou seja: E=− ∇ V
O campo elétrico
Campo de um disco uniformemente carregado
E=− ∇ V
V z =σ
2ε0
z 2R2−∣z∣
E z =σ
2ε0 z∣z∣
−z
z2R2 z
Neste caso, somente. Então:V =V z
E z=−∂V∂ z
ou
Vimos:
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas É o trabalho executado por um agente externo para trazer todas as cargas do infinito até a configuração desejada. Dada a energia potencial elétrica entre cada par de cargas
U =12∑i≠ j
q i q j
4 πε0 r ij
=12∑
i
q i V r i
U ij=qi q j
4πε0∣r i−r j∣temos que:
q1=q
q2=−4q
q3=2q
W =?
,
A generalização para uma distribuição contínua de cargas com densidade é:
U =12∫ ρ r V r dv
ρ
,
onde é o potencial na posição da carga i.V r i
Potencial de um condutor carregado isolado
V f −V i=−∫r i
r f
E r ⋅d r
E=− ∇ V
ou
+
E
+
++
+
+
+ +
+
E=0+
+
Condutor esférico
V r =Q
4 πε0 RV r =
Q4 πε0 r
Fora: r > RDentro: r < R
Potencial de um condutor carregado isolado
Exemplos
A superfície de um condutor isolado, carregado ou não, é uma equipotencial.