aula 38 - À vista ou a prazo.pdf

38A U L A

38A U L A

vista ou a prazo?

Introduo Um dos problemas matemticos maiscomuns no dia-a-dia a deciso entre comprar vista ou a prazo. As lojascostumam atrair os consumidores com promoes como esta:

20% DE DESCONTO VISTAOU EM 3 VEZES SEM ACRSCIMO

Para o consumidor, qual a melhor opo? claro que, se ele no dispe nomomento da quantia necessria para o pagamento vista, no h o quediscutir. Mas, mesmo que ele disponha do dinheiro para comprar vista, podeser que ele prefira investir esse dinheiro e fazer a compra a prazo. A deciso nemsempre a mesma para todos, como veremos nesta aula.

O valor do dinheiro

Vimos, na aula passada, um fato extremamente importante: o valor de umaquantia depende da poca qual ela se refere. Por exemplo, se Pedro consegueinvestir seu dinheiro a juros de 5% ao ms, indiferente para ele pagar R$ 100,00agora ou pagar R$ 105,00 daqui a um ms; portanto, para Pedro, R$ 100,00 agoratm o mesmo valor que R$ 105,00 daqui a um ms, ou seja, o dinheiro valeo dinheiro valeo dinheiro valeo dinheiro valeo dinheiro vale,para Pedropara Pedropara Pedropara Pedropara Pedro, 5% ao ms5% ao ms5% ao ms5% ao ms5% ao ms.

Portanto, o valor do dinheiro no o mesmo para todas as pessoas. Todasas decises em matria de dinheiro passam sempre por esta questo: Quantovoc consegue fazer render o seu dinheiro?

Por exemplo, se a caderneta de poupana est rendendo 3% ao ms,ento R$ 100,00 hoje valero R$ 103,00 em um ms, R$ 106,09 depois de doismeses, R$ 109,27 depois de trs meses e assim por diante. Observe ainda quevalores so traduzidos por quantias iguais apenas se as quantias se referem mesma poca.

Vimos na aula passada que, no regime de juros compostos de taxa iiiii, umcapital principal C0 transforma-se, aps nnnnn perodos de tempo, em um montanteCn = C0 (1 + i)

n. Logo, uma quantia, cujo valor atual A, equivaler no futuro,depois de nnnnn perodos de tempo, a uma quantia F = A (1 + i)n.

Nossa aula

Acesse: http://fuvestibular.com.br/

P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

38A U L AEssa a frmula fundamental da equivalncia de capitais:

Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1+i)(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)nnnnn.....Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (1+i)(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)nnnnn.....

Todos os problemas de matemtica financeira so apenas aplicaes dessafrmula fundamental, conforme mostraremos nos exemplos a seguir.

EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1

O juro do cheque especial est em 12% ao ms. Se Joo ficar com saldonegativo de R$ 80,00 durante um ms, quanto ter de pagar?

SoluoSoluoSoluoSoluoSoluo: Para transportar R$ 80,00 para o futuro (1 ms depois) devemosmultiplic-lo por 1 + i. Como i = 0,12, temos:

80 (1 + 0,12) == 80 . 1,12 = 89,60

Logo, Joo pagar R$ 89,60R$ 89,60R$ 89,60R$ 89,60R$ 89,60 para zerar sua conta.

EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2

Pedro prometeu pagar a Joo R$ 100,00 no dia 15 de agosto. Mas, um msantes, no dia 15 de julho, resolveu saldar sua dvida. Se eles tinhamcombinado um juro de 6% ao ms, quanto Pedro dever pagar?

SoluoSoluoSoluoSoluoSoluo: Pedro resolveu antecipar o pagamento. Ento, a dvida deR$ 100,00 dever ser transformada do futuro para o presente (1 ms antes).Para isso, devemos dividi-la por 1 + i. Como i = 0,06, temos:

1001+ 0,06

=

1001,06

= 94,34

Logo, a dvida de R$ 100,00 em 15 de agosto poder ser saldada em 15 dejulho com um pagamento de R$ 94,34R$ 94,34R$ 94,34R$ 94,34R$ 94,34.

EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO 33333

Geraldo tomou um emprstimo de R$ 300,00 a juros mensais de 15%. Doismeses depois, Geraldo pagou R$ 150,00 e, um ms aps esse pagamento,liquidou seu dbito. Qual o valor desse ltimo pagamento?

SoluoSoluoSoluoSoluoSoluo: Os esquemas de pagamento a seguir so equivalentes. Logo,R$ 300,00 na data 0 (zero) tm o mesmo valor de R$ 150,00 dois mesesdepois, mais um pagamento igual a P, na data 3. Isso representado assim:

300 150 P

0 0 1 2 3



38A U L A

180 180 180 100 100 100 100 100 100

0 1 2 0 1 2 3 4 5

Para resolver o problema, devemos igualar os valores pagos e recebidos, emuma mesma poca (0, por exemplo). O valor 300 j est referido poca0. O valor 150 deve retroceder dois meses; para isso devemos dividi-lopor (1 + i)2. O valor P, que devemos retroceder trs meses, dever serdividido por (1 + i)3.

Como i = 0,15, obtemos:

Da, multiplicando todos os termos por 1,153, obtemos:

300 1,153 = 150 1,15 + P456,2625 = 172,5 + P

P = 456,2625 172,5 @ 283,76

O ltimo pagamento foi de R$ 283,76R$ 283,76R$ 283,76R$ 283,76R$ 283,76.

EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 4 4 4 4 4

Telma tem duas opes de pagamento na compra de um vdeo: trsprestaes mensais de R$ 180,00 cada, ou seis prestaes mensais de R$100,00 cada.Se o dinheiro vale 10% ao ms para Telma, o que ela devepreferir?SoluoSoluoSoluoSoluoSoluo: As alternativas de pagamento esto representadas deste modo:

Para resolver o problema, determinaremos o valor dos dois conjuntos depagamentos na mesma poca, por exemplo na poca 2.Temos na primeira opo:

V1 = 180 (1 + 0,10)2 + 180 (1 + 0,10) + 180 = 595,80

e, na segunda opo,

Logo, Telma deve preferir o pagamento em seis prestaes, porque o valortotal menor.

Voc deve ter observado que a matemtica financeira faz o dinheiro viajarpelo tempo. Podemos transportar uma quantia do presente para o futuro oudo futuro para o presente. Mas os clculos variam de pessoa para pessoa.Tudo depende de quanto cada um consegue fazer render o seu dinheiro. Noexemplo anterior, Telma tinha um timo investimento, que lhe dava 10% aoms, e todos os clculos foram feitos em funo disso. Continue aprenden-do com os prximos exemplos.

V2 = 100 (1 + 0,10)2 + 100 (1 + 0,10) + 100 + 2 3100

1 0 10100

1 0 10100

1 0 10+

++

++

+

, ( , ) ( , ) @ 579,69

300 = 150 (1 + 0,15)

+ P (1 + 0,15)



38A U L AEXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO 5 5 5 5 5

Joo tem trs opes de pagamento na compra de vesturio:

a)a)a)a)a) vista, com 20% de desconto.b)b)b)b)b) Em duas prestaes mensais iguais, com desconto de 10%, vencendo a

primeira um ms aps a compra.c)c)c)c)c) Em trs prestaes mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira

no ato da compra.

Qual a melhor opo para Joo, se o dinheiro vale, para ele, 10% ao ms?

SoluoSoluoSoluoSoluoSoluo: Fixando o preo em 120 unidades, temos os trs esquemas:

Comparando os valores na poca 2 (por exemplo), obtemos:

a)a)a)a)a) V1 = 96 (1 + 0,10)2 = 116,16

b)b)b)b)b) V2 = 54 (1 + 0,10) + 54 = 113,40c)c)c)c)c) V3 = 40 (1 + 0,10)

2 + 40 (1 + 0,10) + 40 = 132,40

A melhor alternativa para Joo a compra em duas prestaes, e a pior a compra em trs prestaes. interessante observar que a melhor alternativa para Joo pode no sera melhor para Jos.Se Jos pessoa de poucas posses e compra a prazo, tendo dinheiro paracomprar vista, provvel que ele invista o dinheiro que seria usadona compra vista em uma caderneta de poupana, que lhe renderia,digamos, 5% ao ms. Ento, para ele seria indiferente comprar vista oua prazo com juros de 5% ao ms.Se Joo um comerciante, por exemplo, ele poderia fazer render odinheiro a, digamos, 10% ao ms. Ento, seria atrativo para Joo comprara prazo com juros de 5% ao ms.Logo, o dinheiro tem valores diferentes para Joo e para Joso dinheiro tem valores diferentes para Joo e para Joso dinheiro tem valores diferentes para Joo e para Joso dinheiro tem valores diferentes para Joo e para Joso dinheiro tem valores diferentes para Joo e para Jos. A taxade juros que representa o valor do dinheiro para cada pessoa e que , emsuma, a taxa qual a pessoa consegue fazer render seu capital, chamadade taxa mnima de atratividadetaxa mnima de atratividadetaxa mnima de atratividadetaxa mnima de atratividadetaxa mnima de atratividade. O motivo do nome claro: para essapessoa, um investimento ser atrativo se render, no mnimo, a essa taxa.

O exemplo a seguir mostra uma situao ocorrida no Rio de Janeiro, em umapoca na qual a inflao era de cerca de 15% ao ms. Veja que absurdo!

EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO 6 6 6 6 6

Uma loja oferece duas opes de pagamento:a)a)a)a)a) vista, com 30% de desconto.b)b)b)b)b) Em duas prestaes mensais iguais, sem desconto, a primeira sendo

p a g a

96 54 54

0 0 1 2

40 40

0 1 2

40



38A U L A no ato da compra.

Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?

SoluoSoluoSoluoSoluoSoluo: Fixando o preo em 100 unidades, temos os esquemas de paga-mento a seguir:

Igualando os valores na poca 1, por exemplo, obtemos:

70 (1 + i) = 50 (1 + i) + 5020 (1 + i) = 50

1 + i = 2,5i = 1,5 = 150%

A loja cobrava o extorsivo juro de 150%150%150%150%150% ao ms nas vendas a prazo!

O clculo de prestaes

Quando compramos um artigo a prazo, efetuamos geralmente seu paga-mento em uma srie de prestaes iguais e igualmente espaados no tempo.Essa srie de prestaes equivalente a um pagamento nico, que seria opagamento vista.

Vamos mostrar como se faz o clculo das prestaes no prximo exemplo.

EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO 7 7 7 7 7

Um televisor, cujo preo vista R$ 1.200,00, vendido em 8 prestaesmensais iguais, a primeira sendo paga um ms aps a compra. Se os jurosso de 9% ao ms, determine o valor das prestaes.

SoluoSoluoSoluoSoluoSoluo: Os dois esquemas de pagamento aqui representados so equivalentes:

Igualando os valores na poca 0 (zero), obtemos:

1.200 =P

1,09+

P1,092

+P

1,093+...+

P1,099

, ou

70 50 50

0 0 1

1.200 P

0 0 1 2 3 4 5

P P P P P P P

6 7 8

1 1,09

+ 11,09

+ +...+ 11,09

11,098

1.200 = P



38A U L A

Para facilitar, calculamos q = 11,09 = 0,9174311. Portanto, a soma que apareceuentre parnteses q + q2 + q3 + ... + q8, que a soma dos termos de umaprogresso geomtrica cujo primeiro termo qqqqq e cuja razo tambm igual a qqqqq.Aplicando a nossa conhecida frmula dos termos da PG, temos:

Calculamos na mquina q9 = 0,4604272. Ento, a soma da progressogeomtrica ser:

0 4604272 0 91743110 9174311 1

0 45700390 0825689

5 5348187, ,,

,

,

,

= =

Agora, que j calculamos a soma dos termos da progresso geomtrica,podemos finalmente calcular o valor da prestao:

1.200 = P . 5,5348187 ou

P =1.200

5,5348187= 216,81

Conclumos que cada prestao na compra a prazo ser de R$ 216,81R$ 216,81R$ 216,81R$ 216,81R$ 216,81.

Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Voc fez um emprstimo de R$ 250,00 a juros de 8% ao ms.Quanto voc dever pagar dois meses depois?

Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Joo comprou tijolos para sua construo no valor de R$ 150,00. O vendedorda loja fez a seguinte oferta: R$ 50,00 no ato da compra e R$ 100,00 doismeses depois. Se a loja cobra 10% de juros ao ms, qual seria o preo vistaque Joo deveria pagar pelos tijolos?

SugestoSugestoSugestoSugestoSugesto: Transfira a dvida de R$ 100,00 do futuro para o presente.

Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Na introduo da nossa aula mostramos duas opes de venda em certaloja. Se um artigo custa R$ 120,00. Determine:a)a)a)a)a) o preo vista com desconto de 20%;b)b)b)b)b) se a loja cobra 10% de juros ao ms, qual o valor vista equivalente

ao financiamento?

Exerccios

Soma = a (q - 1) q(q - 1) q - q q - 1 q - 1 q - 1

18 8 9

= =



38A U L A Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4

Uma geladeira custa R$ 800,00 vista e pode ser paga em trs prestaesmensais iguais. Se so cobrados juros de 12% ao ms sobre o saldo devedor,determine o valor da prestao, supondo a primeira prestao paga:a)a)a)a)a) um ms aps a compra;b)b)b)b)b) no ato da compra;c)c)c)c)c) dois meses aps a compra.

Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Jussara deveria efetuar seis pagamentos mensais sucessivos, de R$ 150,00cada. Renegociou a dvida, para efetuar apenas dois pagamentos iguais,nas pocas do segundo e do quinto pagamentos. Se a taxa de juros de 10%ao ms, qual o valor desses novos pagamentos?

SugestoSugestoSugestoSugestoSugesto: Transfira tudo para a poca do 1 pagamento. Na primeira opoesse valor seria de:

150 1501 1

1501 1

1501 12 5

+ + + +, ,

...

,

Faa o mesmo com a segunda opo e iguale os dois resultados.

Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Lcia comprou um exaustor, pagando R$ 180,00 um ms aps a comprae R$ 200,00 dois meses aps a compra. Se so pagos juros de 25% sobre osaldo devedor, qual o preo vista?

Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Uma loja, no Rio de Janeiro, oferecia, no Natal, as alternativas de pagamento:a) a) a) a) a) pagamento de uma s vez, um ms aps a compra;b) b) b) b) b) trs pagamentos mensais iguais sem juros, o primeiro no ato da compra.Se voc fosse cliente dessa loja e o dinheiro valesse para voc 10% ao ms,qual seria sua opo?

Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Investindo todo ms R$ 50,00 em um fundo de investimentos que rende 4%ao ms, qual ser o montante, imediatamente aps o 20 depsito?

SugestoSugestoSugestoSugestoSugesto: Transfira tudo para a data do ltimo depsito. O primeirodepsito sofreu 19 correes, ou seja, ficou multiplicado por 1,0419. Osegundo depsito sofreu 18 correes, e assim por diante. Voc ter decalcular a soma dos termos de uma progresso geomtrica.



aula 38 - À vista ou a prazo.pdf

Documents