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Aula 3- Impulsos em Estados de Equilíbrio Limite- Cortes Verticais em Argilas; a Teoria de Coulomb

Paulo Coelho - FCTUCMestrado em Engª. Civil - Construções Civis ESTG/IPLeiria

Teoria de Rankine (solos coesivos):

Como vimos na aula anterior:

Poderá esta relação ser usada para explicar porque razão alguns cortes em solos coesivos são estáveis durante algum tempo sem suporte?

1 ' 2 ' cos '1 ' ' 1 '

1 ' 2 ' cos '' ' '1 ' 1 '

av

ha a v v

sen cKsen sen

sen cKsen sen

φ φφ σ φ

φ φσ σ σφ φ

− ⋅= − ⋅ =>

+ +

⎛ ⎞− ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

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Desde logo interessa recordar o conceito de resistência ao corte não drenada (cu, φu=0):

- não é parâmetro intrínseco do solo (depende de tensões efectivas de consolidação, trajectória de tensões, estado de tensão inicial, etc…)

- válido para solos argilosos, se solicitação for mt. rápida em relação à vel. de variação de u= f (k);

- é útil para ultrapassar a dificuldade em prever Δu em solos argilosos logo após solicitação (c’, φ’);

- deve ser utilizado com muito cuidado, pois a sua definição exige clara compreensão da questão...

Significado:

τ=c’+σ’xtan(φ’)

Círculo de Mohr na rotura em tensões efectivas

Círculo de Mohr na rotura em tensões totais

σ’n, σn

τ

E1 E2 E3

E1, E2, E3

E4

E4

Cu1

Cu2

Ei- ensaio i

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Ou seja, o conceito de cu está associado à rotura quando esta se analisa em termos de tensões totais, com φu=0 :

1 2 cos1 1

2 cos01 01 0 1 0

22 , . ., 0 2

av

uha a v v

uha v u ha v u

sen cKsen sen

csenKsen sen

cc i e c h

φ φφ σ φ

σ σ σ

σ σ σ σγ

− ⋅= − ⋅ =>

+ +

⋅ ⋅−⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ − =>⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⋅= − ⋅ = => = ⋅ => =

Logo, quando a resistência do solo (argiloso) pode ser descrita pela resistência não drenada (cu, φu=0):

- pode ser feito um corte vertical no maciço sem necessidade de qualquer suporte, sendo a altura para a qual o maciço não exerceria qualquer impulso sobre um eventual paramento dada por

- logo após o corte, devido à variação (lenta) das tensões efectivas, a segurança da obra começa a diminuir, a velocidade determinada pela a permeabilidade do solo (rotura pode ocorrer!)

2 uchγ⋅

=

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Teoria de Coulomb:

Hipóteses base:

i) o maciço é homogéneo;

ii) a superfície inferior da cunha de deslizamento é plana e passa pelo pé do paramento.

iii) é totalmente mobilizada a resistência ao corte ao longo da superfície de deslizamento;

iv) é totalmente mobilizada a resistência ao corte ao longo da superfície de contacto maciço-paramento.

A teoria de Coulomb define o impulso das terras (Ia) através do equilíbrio de forças que actuam sobre a cunha de deslizamento (atender à direcção!):

A

B

W

δ φ’

R

-Ia

Polígono de forças

W

-Ia

R

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A teoria de Coulomb traduz-se de forma simplesatravés das resultantes dos impulsos, que no caso de resultarem exclusivamente do peso próprio são aplicadas a 1/3 da altura e valem:

Ia= ½ . ka . γ . h2

no caso do impulso activo ou, no caso do impulso passivo, por:

Ip= ½ . kp . γ . h2

onde h é a altura do paramento e ka,p são os coeficientes de impulsos activo/ passivo.

Os coeficientes de impulso são dados por:

Activo

Passivoαps

β

βλ

λ

Ias

Ips αas

δδ

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

Ka =−

+ ++ −

− +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

cos '

cos . cos .sin ' . sin '

cos . cos

2

2

1 2 2

1

φ λ

λ δ λφ δ φ β

β λ δ λ

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Os coeficientes de impulso são dados por:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

Kp =+

− −+ +

− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

cos '

cos . cos .sin ' . sin '

cos . cos

2

2

1 2 2

1

φ λ

λ δ λφ δ φ β

β λ δ λ

Activo

Passivoαps

β

βλ

λ

Ias

Ips αas

δδ

A teoria de Coulomb fornce ainda as resultantes dos impulsos resultantes de cargas à superfície (q ou equivalentes- outras camadas, p.ex.), sendo aplicadas a 1/2 da altura e valendo:

Ia= ka . q . h

no caso do impulso activo ou, no caso do impulso passivo:

Ip= kp . q . h

onde h é a altura do paramento e ka,p são os coeficientes de impulsos activo/ passivo.

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Quais as principais consequências do uso da Teoria de Coulomb na estimativa de impulsos?

i) resultados sempre (certos ou) do lado contrário à segurança;

ii) no caso do impulso passivo, a teoria pode dar erros muito significativos! E como são do lado contrário à segurança… é perigoso!

Na prática: o seu uso é mais comum em muros altos, para estimar impulso activo; impulso passivo desprezado ou fortemente reduzido!

EXERCÍCIO: determine as acções externas que actuam sobre o muro utilizando a teoria Coulomb(solução analítica), nas situações a seguir indicadas.Compare os valores dos impulsos calculados com os dados pela Teoria de Rankine (aula anterior) e comente os resultados obtidos

NOTA: considere para ângulo de atrito terras-muro, δ = 2/3φ’

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EXERCÍCIO: calcule o coeficiente de impulso activo para o caso do exemplo abaixo utilizando a teoria Coulomb (solução analítica). Avalie as consequências das seguintes variações: β= 0, 20 e 30º; δ= 0, φ’/3, 2φ’/3 e φ’; λ= 0, 20 e 30º. Discuta os resultados.

Os resultados são elucidativos sobre as consequências das variações analisadas sobre ka… mas serão as conclusões idênticas relativamente à estabilidade do muro?

Coeficiente de impulso activo para solo com f’= 30º (Teoria de Coulomb) Efeito de β (δ=20º; λ= 0º)

Efeito de δ (β=0º; λ= 0º)

Efeito de λ (β=0º; δ= 20º)

β= 0º β= 20º β= 30º δ= 0º δ= 10º δ= 20º δ= 30º λ= 0º λ= 20º λ= 30º ka (Coul.)

0.297 0.414 0.798 0.333 0.308 0.297 0.297 0.297 0.479 0.620