TEXTO: 1 - Comum à questão: 1

O poder criativo da imperfeição

Já escrevi sobre como nossas teorias científicas sobre o mundo são aproximações de uma realidade que podemos compreender apenas em parte. 1Nossos instrumentos de pesquisa, que tanto ampliam nossa visão de mundo, têm necessariamente limites de precisão. Não há dúvida de que Galileu, com seu telescópio, viu mais longe do que todos antes dele. Também não há dúvida de que hoje vemos muito mais longe do que Galileu poderia ter sonhado em 1610. E certamente, em cem anos, nossa visão cósmica terá sido ampliada de forma imprevisível.No avanço do conhecimento científico, vemos um conceito que tem um papel essencial: simetria. Já desde os tempos de Platão, 2há a noção de que existe uma linguagem secreta da natureza, uma matemática por trás da ordem que observamos.Platão – e, com ele, muitos matemáticos até hoje – acreditava que os conceitos matemáticos existiam em uma espécie de dimensão paralela, acessível apenas através da razão. Nesse caso, os teoremas da matemática (como o famoso teorema de Pitágoras) existem como verdades absolutas, que a mente humana, ao menos as mais aptas, pode ocasionalmente descobrir. Para os platônicos, 3a matemática é uma descoberta, e não uma invenção humana.Ao menos no que diz respeito às forças que agem nas partículas fundamentais da matéria, a busca por uma teoria final da natureza é a encarnação moderna do sonho platônico de um código secreto da natureza. As teorias de unificação, como são chamadas, visam justamente a isso, formular todas as forças como manifestações de uma única, com sua simetria abrangendo as demais.Culturalmente, é difícil não traçar uma linha entre as fés monoteístas e a busca por uma unidade da natureza nas ciências. Esse sonho, porém, é impossível de ser realizado.Primeiro, porque nossas teorias são sempre temporárias, passíveis de ajustes e revisões futuras. Não existe uma teoria que possamos dizer final, pois 4nossas explicações mudam de acordo com o conhecimento acumulado que temos das coisas. Um século atrás, um elétron era algo muito diferente do que é hoje. Em cem anos, será algo muito diferente outra vez. Não podemos saber se as forças que conhecemos hoje são as únicas que existem.Segundo, porque nossas teorias e as simetrias que detectamos nos padrões regulares da natureza são em geral aproximações. Não existe uma perfeição no mundo, apenas em nossas mentes. De fato, quando analisamos com calma as “unificações” da física, vemos que são aproximações que funcionam apenas dentro de certas condições.O que encontramos são assimetrias, imperfeições que surgem desde as descrições das propriedades da matéria até as das moléculas que determinam a vida, as proteínas e os ácidos nucleicos (RNA e DNA). Por trás da riqueza que vemos nas formas materiais, encontramos a força criativa das imperfeições.

MARCELO GLEISERAdaptado de Folha de São Paulo, 25/08/2013.

DATA: / / 2018

PROFESSOR (A): PAULO VINICIUS

LISTA DE EXERCÍCIO DE MATEMÁTICA SÉRIE: 9º ANO

ALUNO (A): Nº:

NOTA:2º BIMESTRE

01- Segundo historiadores da matemática, a análise de padrões como os ilustrados a seguir possibilitou a descoberta das triplas pitagóricas.

Observe que os números inteiros 32, 42 e 52, representados respectivamente pelas 2ª, 3ª e 4ª figuras, satisfazem ao Teorema de Pitágoras. Dessa forma (3, 4, 5) é uma tripla pitagórica.

Os quadrados representados pelas 4ª, 11ª e nª figuras determinam outra tripla pitagórica, sendo o valor de n igual a:

a) 10b) 12c) 14d) 16

TEXTO: 2 - Comum à questão: 2

Na figura, BAC e DEC são triângulos retângulos em  e Ê, com AB = 15 cm, ED = 10 cm e AE = 30 cm. O ponto C pertence a e o ponto F pertence a r, que é reta suporte de . O ponto C pode mover-se ao longo de , e o ponto F pode mover-se ao longo de r, como mostra a figura.

A partir dessas condições, demonstra-se facilmente que BC + CD será mínimo na circunstância em que o triângulo DCF é isósceles de base .

Questão 02)

A medida de , em centímetros, é igual a

a)b)c)d)e)

Questão 03)

A figura abaixo mostra um terreno, com medidas em metros, pertencente a uma empresa metalúrgica, na cidade de Caucaia, zona metropolitana de Fortaleza. Para isolar a área, a empresa colocou uma tela metálica em todo o perímetro desse terreno, deixando apenas um vão de 5 metros para a passagem de máquinas e caminhões. A tela foi comprada em rolos fechados, com 20 metros cada um, na quantidade mínima necessária de rolos. Na sua colocação houve uma perda de 5 metros.

Portanto, terminada a colocação, a quantidade de tela que restou no último rolo foi de:

a) 8 metros.b) 9 metros.c) 10 metros.d) 11 metros.e) 12 metros.

Questão 04)

A casa de uma pessoa M fica no cruzamento de duas ruas perpendiculares representadas na figura pelos eixos coordenados Ox e Oy. Para se encontrar com um colega em Q, ao invés de andar ao longo dos caminhos retilíneos OP e PQ, a pessoa M toma um atalho, ao longo da diagonal OQ, reduzindo a distância percorrida em um terço da distância de P a Q.

Nessas condições, pode-se afirmar que, tomando o atalho, M diminuiu o percurso em

a) 800 metros.b) 1200 metros.c) 1600 metros.d) 2000 metros.e) 2400 metros.

Questão 05)

A figura representa a planta baixa de um pomar, na forma da base de um prisma que possui oito faces laterais.

Sabendo-se que a área total composta pelas três regiões quadrangulares é 200m2 e que a área da menor dessas três regiões é 36m2, conclui-se que a área total do pomar é igual, em m2, a

01. 28402. 24803. 22804. 18405. 148

Questão 06)

O Candy Crush é um dos jogos que virou febre nos últimos anos. Um joguinho no qual você precisa combinar doces simples e doces especiais que se encontram numa espécie de plano cartesiano. Há, na imagem abaixo, dois doces especiais: uma bomba colorida, que se encontra no ponto (8,8); e uma rosquinha de coco, que se encontra no ponto (9,2). Tomou-se como referencial o plano cartesiano indicado na imagem. Baseados nessas informações, podemos afirmar que a distância entre a bomba colorida e a rosquinha de coco, no plano cartesiano abaixo, é

Disponível em:<https://www.dicascityville.com/wp-content/uploads/2013/02/vidas-infinitas-no-candy-crush-saga-dicas-cityville-

tudo-sobre-jogos-sociais-300x258.jpg. Acesso em: 20 maio 2017.

a) .

b) .c) .d) .e) 7.

Questão 07)

O Teorema de Pitágoras é, talvez, o mais famoso teorema matemático e, para x, y e z inteiros positivos, chama-se a tripla (x, y, z) de “tripla pitagórica” quando atende ao teorema de Pitágoras. Menos famosa, no entanto, é uma “tripla quase pitagórica”, que consiste em uma tripla (A, B, C) de números inteiros positivos em que

A > 1, B > 1 e A2 + B2 = C2 + 1.

Qual o menor valor de C para que (8, B, C) seja uma tripla quase pitagórica?

a) 12b) 24c) 28d) 32e) 8

Questão 08)

Durante a construção de uma torre de televisão, fez-se necessário o uso de um cabo de aço para sustentação. O pé desse cabo está fincado a 16 m de distância da base da torre e o seu topo a 63 m de altura, conforme a figura. Refeito os cálculos, decidiu-se que o topo do cabo deve ser deslocado 3m para baixo ao longo da torre, alterando assim a posição da extremidade fixada ao chão, conforme a figura abaixo:

Considerando a nova orientação, de quanto será o deslocamento x do pé do cabo de sustentação em relação à posição anterior?

a) 3 mb) 8 mc) 9 md) 13 me) 15 m

Questão 09)

Um fio foi esticado entre as extremidades de duas torres de transmissão. Sabendo que a torre menor tem 16m de altura, a torre maior tem 21m de altura e que a distância entre as duas torres é de 12 m, qual é o comprimento do fio?

a) 13 mb) 5 mc) 37 md) 12me) 10 m

Questão 10)

Para acessar o topo de uma plataforma de saltos a 400 cm de altura, um atleta deve subir uma escadaria que possui 8 degraus no primeiro lance e 6 degraus no segundo lance de escada, conforme mostra a figura ao lado. Sabendo que cada degrau possui 30 cm de profundidade, é CORRETO afirmar que o comprimento, em cm, da haste metálica AB utilizada para dar sustentação à plataforma é:

a) 300b) 400c) 500d) 200e) 100

Questão 11)

Uma companhia de cabos de TV possui sua antena-mestra localizada no ponto A, na margem reta de um rio de 1 km de largura. Um cabo vai ser estendido de A ao ponto P, na margem oposta do rio, seguindo reto, ao longo da margem, à cidade T, situada a 3 km abaixo de A (figura). A instalação do cabo sob a água custa R$ 5,00 por metro e R$ 3,00 ao longo da margem.Seja x = |QP|, dado em km.

Considere as alternativas abaixo e assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas.

a) O custo de instalação do cabo sob a água é dado pela função .b) O custo total de instalação do cabo é dado por uma função que é decrescente para

.c) Se não existisse diferença de preço, seria vantajoso fazer toda a instalação sob o rio.d) A quantidade, em metros de cabo gasto pela companhia na instalação, é máxima, se .

Questão 12)

Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento de 1 cm e um lado com comprimento de x cm.

a) Encontre o valor de x.b) Mostre que a medida do ângulo é inferior a 150º.

Questão 13)

Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, estão nas margens retilíneas e opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a 2,5 km, e a distâncias de 2,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma estrada de A até B que, por razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma ponte de comprimento mínimo, ou seja, perpendicular às margens do rio. As regiões em cada lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis para a obra da estrada. Uma possível planta de tal estrada está esboçada na figura abaixo em linha pontilhada:

Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância HK’ = 18 km. Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade B (ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a cidade B tenha comprimento mínimo.

Questão 14)

Uma pessoa caminha em uma praça com a forma de um triângulo retângulo como mostra a figura abaixo. Ao dar um volta completa na praça com velocidade constante, ela percorre 300 e 400 metros no trajetos correspondentes aos catetos da praça triangular, e o restante da caminhada ela completa em 10min. Então, a velocidade constante dessa pessoa, dada em kilômetros por hora, é igual a :

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

Questão 15)

Uma praça retangular ABCD tem 300m de comprimento e 200m de largura, e está representada na figura abaixo na escala 1:100. O ponto P do lado AB é tal que, quem caminha em linha reta de P até D percorre uma distância igual à de quem caminha, sobre o contorno da praça, de P até C, passando pelo ponto B.

Determine a distância percorrida, em metros, por quem caminha em linha reta de P até D.

Questão 16)

Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou.Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser:

a) 8 metrosb) 10 metrosc) 12 metrosd) 14 metrose) 16 metros

Questão 17)

Um terreno na esquina das Ruas 1 e 2, que são perpendiculares, tem forma de triângulo, conforme a figura abaixo. As medidas dos lados do terreno são dadas pela tabela, também abaixo.

A área do terreno, em m2, é igual a

a) 600.b) 750.c) 1.000.d) 1.200.e) 2.000.

Questão 18)

A conhecida Relação de Pitágoras, estabelecida entre as medidas (utilizando-se a mesma unidade de comprimento) dos lados de um triângulo retângulo, pode ser assim formulada: em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Lembre-se de que hipotenusa é a denominação do lado de maior comprimento e catetos são as denominações dos outros dois lados. Utilizando a Relação de Pitágoras, é possível concluir que as diferentes medidas, em cm, dos comprimentos das diagonais das faces de um paralelepípedo retangular, cujas medidas dos comprimentos das arestas são 3cm, 4cm e 5cm, são

a) 5, 6 e b) 5, e c) 5, e 6d) , 6 e

Questão 19)

Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ?

a) 12 cm.b) 15 cm.c) 16 cm.d) 18 cm.

Questão 20)

Um ponto comercial localiza-se a 3 km de uma estrada reta. Um hotel localiza-se nessa mesma estrada e dista 5 km do ponto comercial. Pretende-se posicionar uma torre de transmissão de energia na estrada, cuja distância da torre ao hotel seja a mesma da torre ao ponto comercial. Essa distância, em km, deverá ser de:

a) 3,125b) 3,25c) 3,4d) 3,5e) 3,51