aula 3 - construindo modelos matemáticos exemplo de motivação - problema de mistura solução...
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AULA 3 - Construindo Modelos MatemáticosAULA 3 - Construindo Modelos Matemáticos
• Exemplo de Motivação - Problema de Mistura
• Solução Gráfica– Conjunto de Soluções Factíveis
– Plotando a Função Objetivo
– Achando uma solução ótima
• Soluções Ótimas Múltiplas
• Modelos Infactíveis
• Modelos Ilimitados
• Usando Indexação - Modelos Literais• Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água
• Programas Lineares, Não-Lineares e Inteiros• Programas Inteiros - Seleção de Investimentos, Siderúrgica e Custo Fixo
A refinaria de petróleo Recap destila óleo cru proveniente de duas fontes, Arábia e Venezuela e produz três produtos: gasolina, querosene e lubrificantes. Os óleos têm diferentes composições químicas e fornecem diferentes quantidades de destilados por barril processado. Cada barril da Arábia dá 0,3 barril de gasolina, 0,4 de querosene e 0,2 de lubrificante. Para a Venezuela estas quantidades são respectivamente: 0,4, 0,2 e 0,3. Há 10% de resíduos. Os óleos diferem em custo e disponibilidade. A Recap pode comprar até 9000 barris da Arábia a $20 o barril e até 6000 barris da Venezuela a $15 o barril. Contratos da Recap com distribuidores exigem que ela produza 2000 barris por dia de gasolina, 1500 de querosene e 500 de lubrificantes. Como cumprir os contratos gastando o mínimo? (qual o mix de compra/refino dos óleos)
Exemplo de Motivação - Problema de MisturaExemplo de Motivação - Problema de Mistura
3-2
Construindo o Modelo de Mistura
Variáveis de decisão:
x1 := quantidade de barris refinados /dia vindos da Arábia (103)
x2 := quantidade de barris refinados /dia vindos da Venezuela (103)
Tipo das Variáveis de Decisão:
x1, x2 >= 0 (reais não-negativos)
Conjunto de Restrições Principais:
0,3 x1 + 0,4 x2 >= 2,0 (gasolina)
0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 (querosene)
0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5 (lubrificantes)
x1 <= 9 (Arábia)
x2 <= 6 (Venezuela)
Função Objetivo: Minimizar 20x1 + 15 x2 (custo total) 3-3
Construindo o Modelo de Mistura
3-4
Modelo Matemático
Min Custo(x1, x2) = 20x1 + 15 x2 (custo total)
0,3 x1 + 0,4 x2 >= 2,0 (gasolina)
0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 (querosene)
0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5 (lubrificantes)
x1 <= 9 (Arábia)
x2 <= 6 (Venezuela)
x1, x2 >= 0 (reais não-negativos)
Forma Geral de um Modelo Matemático
Min ou Max (funções objetivo)
sujeito a
(restrições principais)
(tipo das variáveis de decisão)
3-5
Exercício de modelagem
Problema: Construa o modelo matemático que determina o retângulo de área máxima cujo perímetro vale 80 metros.
Modelo:
l = largura do retângulo (m)
w = comprimento do retângulo (m)
Max lw
sujeito a 2l + 2w <= 80
l, w >= 0
3-6
Solução Gráfica
Conjunto de soluções factíveis - CSF - (de um modelo matemático)
Vamos desenhar o CSF do problema de mistura da Recap
3-7
É a coleção de todos os valores que as variáveis de decisão podem assumir, respeitando todas as restrições do modelo.
Solução Gráfica - Conjunto de Soluções Factíveis
x1, x2 >= 0 0,3 x1 + 0,4 x2 >= 2,0 (gasolina)
3-8
Solução Gráfica - Conjunto de Soluções Factíveis
3-9
CSF
Solução Gráfica - Plotando a Função Objetivo
3-10
Solução Gráfica - Achando uma solução ótima
Solução ótima = solução factível com melhor (max/mim) valor da função objetivo.
Graficamente, é um ponto factível situado na melhor curva de nível da função.
3-11
PAULO FRANÇA:
depois desse dar o exercício 1 de Ex.aula3.ppt
PAULO FRANÇA:
depois desse dar o exercício 1 de Ex.aula3.ppt
Solução Gráfica - Achando uma solução ótima
Max lw
sujeito a 2l + 2w <= 80
l, w >= 0
3-12
PAULO FRANÇA:
pedir para ser resolvido em aula
PAULO FRANÇA:
pedir para ser resolvido em aula
Soluções Ótimas Múltiplas
As soluções ótimas dos problemas Recap e do retângulo de área máxima são únicas. Porém, pode haver modelos com soluções ótimas múltiplas.
Suponha que no problema Recap, a função objetivo fosse trocada para
Min 20 x1 + 10 x2
3-13
Modelos Infactíveis
Um modelo pode apresentar CSF nulo. Diz-se que o modelo é infactível.
No problema da Recap, suponha que ambas as disponibilidades sejam reduzidas para 2000 barris/dia. O CSF é nulo, pois os contratos não podem ser atendidos.
Min 20x1 + 15 x2
0,3 x1 + 0,4 x2 >= 2,0 (gasolina)0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 (querosene)0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5 (lubrificantes) x1 <= 2 (Arábia)
x2 <= 2 (Venezuela) x1, x2 >= 0 (reais não-negativos)
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Modelos Ilimitados
Modelos eventualmente podem apresentar solução ótima ilimitada.
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Min -2x1 + 15 x2
0,3 x1 + 0,4 x2 >= 2,0 0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5
x2 <= 6 x1, x2 >= 0
PAULO FRANÇA:
depois desse dar o exercício 2 do Ex.aula3.ppt
PAULO FRANÇA:
depois desse dar o exercício 2 do Ex.aula3.ppt