aula 28 comprimento de arco e curvatura, vetores normal e binormal
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Aula 28
Comprimento de Arco e Curvatura, Vetores Normal e
Binormal.
Comprimento de Arco
Comprimento de Arco
Suponha que a curva tenha equação vetorial
,ou equivalentemente
Se a curva não se intercepta quando cresce, podemos mostrar que
( ) ( ), ( ), ( )r t f t g t h t
( ), ( ), ( )x f t y g t z h t
2 2 2( ) ( ) ( )
b
aL f t g t h t dt
2 2 2b
a
dx dy dzdt
dt dt dt
Comprimento de Arco
2 2 2( ) ( ) ( )
b
aL f t g t h t dt
2 2 2b
a
dx dy dzdt
dt dt dt
( )b
ar t dt
Exemplo 1
Determine o comprimento do arco de curva da hélice circular de equação
do ponto (1, 0, 0) até o ponto (1, 0, 2)
( ) cos senr t t i t j t k
Exemplo 1
2 2L
Reparametrização
2 31( ) , , ,1 2r t t t t t
2 32 ( ) , , ,0 ln 2u u ur u e e e u
ut e
Função Comprimento de Arco
Seja uma curva lisa por partes dada por
, onde pelo menos uma das funções seja injetora em . Definimos a função comprimento de arco por
( ) ( ) i ( ) j ( ) k,r t f t g t h t a t b
C
, ,f g h( , )a b
2 2 2
( ) ( )t t
a a
dx dy dzs t r u du du
du du du
Reparametrização por comprimento de arco
Exemplo 2
Repararametrize a hélice circular
utilizando a medida de comprimento de arco de (1, 0, 0) na direção de crescimento de .
( ) cos senr t t i t j t k
t
( ( )) cos sen2 2 2
s s sr s t i j k
Exercício 13 p. 797
Reparametrize a curva em relação ao comprimento de arco do ponto na direção crescente de .
0t t
( ) 2 (1 3 ) (5 4 )r t ti t j t k
2 3 4( ) (1 ) (5 )
29 29 29
s s sr s i j k
Curvatura
É a taxa de variação do versor tangente com relação ao comprimento de arco.
onde é o versor tangente.
dT
ds
T
Usando a regra da cadeia
dT
ds
dT dT ds
dt ds dt
/
/
dT dt
ds dt ,mas / ( )ds dt r t
( )
( )
T t
r t
Exemplo 3
Mostre que a curvatura do círculo de raio a é igual a 1/a.
a
Teorema
3
( ) ( )
( )
r t r t
r t
Demonstração
rT
r
e
dsr
dt
r r T dsT
dt
2
2
d s dsr T T
dt dt
2ds
r r T Tdt
2ds
r r T Tdt
2ds
r r Tdt
2/
r rT
ds dt
2
r r
r
T
r
3
r r
r
Exemplo 4
Determine a curvatura da cúbica retorcida , em um ponto genérico em (0, 0, 0).
2 3( ) , ,r t t t t
2 4
2 4 3/ 2
2 1 9 9( )
(1 4 9 )
t tt
t t
(0) 2
