MATEMÁTICA – PROFESSOR YGOR LOUREIRO Conjuntos Numéricos É o conjunto dos números. Estudaremos a seguir, o Conjunto dos números Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Complexos. Conjunto dos Números Naturais É o conjunto N= (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. Excluindo o 0 (zero) deste conjunto, obtemos o conjunto N*= { 1, 2, 3, 4, 5, ...} Observação: Quando colocamos o asterisco na letra que representa um conjunto, estamos com isso indicando que o zero foi excluído desse conjunto. Como todo elemento de N* é elemento de N, temos que N* C N (Está contido). Conjunto dos Números Inteiros É o conjunto Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Observação: Os principais subconjuntos de Z são: - Z*= {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} – conjunto dos números inteiros não-nulos; - Z+= {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} – conjunto dos números inteiros não-negativos (Z+ = N); - Z*+= {1, 2, 3, 4, 5, ...} – conjunto dos números inteiros positivos (Z*+ = N*); - Z-= {..., -3, -2, -1, 0} – conjunto dos números inteiros não-positivos; - Z*-= {..., -3, -2, -1} – conjunto dos números inteiros negativos. Conjunto dos Números Racionais É o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma de fração a/b, em que a Є Z é o numerador e b Є Z* é o denominador. Ele é indicado pela letra Q e, em linguagem simbólica, temos: Q= {x/x= a/b, a Є Z e b Є Z*}. Exemplos: 4/5= 0,8 é um decimal exato. 3/8= 0,375 é um decimal exato. Se considerarmos a representação decimal de um número racional a/b, dividindo a por b podemos obter decimais exatos e decimais periódicos (dízimas periódicas).

OBSERVAÇÃO1:

- O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros e

este último está contido no conjunto dos números racionais:

N ⊂ Z ⊂ Q.

- Toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever

uma dízima periódica na forma de uma fração.

Exemplo: 0,333... = 1/3

OBSERVAÇÃO: O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos

números inteiros: N ⊂ Z

Exemplos: Calcule a fração geratriz → 3,343434...= 334 – 3 / 990 = 331/99

→ 4,01222... = 4012 – 401 / 900 = 3611/900

Observação: Repare que, quando a é múltiplo de b, o número racional a/b representa um inteiro; logo, podemos identificar todo número inteiro com um número racional e considerar que Z C Q. Os principais subconjuntos de Q são: - Q* - conjunto dos números racionais não- Q+ - conjunto dos números racionais não- Q*+ - conjunto dos números racionais positivos;- Q- - conjunto dos números racionais não-- Q*- - conjunto dos números racionais negativos. Conjunto dos Números Irracionais De modo geral, podemos entender número irracional como aquele que, quando escrito na forma decimal, apresenta um número infinito de casas decimais sem, contudo, formar períodos, exatos e não periódicos. Exemplos:

π= 3,1415..., = 1,41421... e = 1,73205... são números irracionais.Este conjunto é indicado por I. Conjunto dos Números Reais O conjunto dos números reais, indicado pela letraracionais com o conjunto I dos números irracionais, ou seja:

OBSERVAÇÃO2:

Dízima periódicaDízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos “novesperíodo. Exemplo: X = 0,32323232... = 32 / 99 Dízima Composta

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma

n → é o ante período, seguido do período, menos

d → tantos “noves” quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos

“zeros” quantos forem os algarismos d

Período = parte que se repete Ante-período = parte que antecede o período

Exemplo: X = 1,23333...

X = 1,23333...= 123-12/90 = 111/90

401 / 900 = 3611/900

Repare que, quando a é múltiplo de b, o número racional a/b representa um inteiro; logo, podemos identificar todo número inteiro com um número racional e considerar que Z C Q.

não-nulos; não-negativos;

positivos; -positivos;

negativos.

De modo geral, podemos entender número irracional como aquele que, quando escrito na forma decimal, apresenta um número infinito de casas decimais sem, contudo, formar períodos, como nos decimais periódicos.

= 1,73205... são números irracionais.

números reais, indicado pela letra R, é o conjunto obtido através da união do conjunto Q dos números racionais com o conjunto I dos números irracionais, ou seja: R = Q U I.

Dízima periódica

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o noves” quantos forem os algarismos do

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde:

do período, menos o ante - período.

quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos

quantos forem os algarismos do ante-período depois da vírgula.

= parte que antecede o período ou a parte não periódica.

Repare que, quando a é múltiplo de b, o número racional a/b representa um inteiro; logo, podemos identificar todo número

De modo geral, podemos entender número irracional como aquele que, quando escrito na forma decimal, apresenta um como nos decimais periódicos. São chamados de não

, é o conjunto obtido através da união do conjunto Q dos números

Exercícios 1) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo. 2) Rosa comprou uma enorme barra de chocolate. Metade guardou para próxima semana. Do que restou, deu metade a seu filho, ficando com a outra e desta, comeu um quarto, o equivalente a 400 gramas. Quanto pesava a barra? a) 7,4 kg b) 6,8 kg c) 6,2 kg d) 6,4 kg e) 8,0 kg 3) Osvaldo possuía na poupança R$ 19.260,00. Porém, seus 6 filhos estavam endividados e ele resolveu emprestar a eles dois terços desse valor. Sabendo que ele deu a mesma quantia para cada um deles, quanto cada um ganhou? a) R$ 2.100,00 b) R$ 1.120,00 c) R$ 2.120,00 d) R$ 2.160,00 e) R$ 2.140,00 4) O valor de -3/2 está entre: a) -2 e -1 b) 3 e 2 c) 0 e 1 d) -3 e -2 e) -1 e 0 5) O número 0,093 pode ser representado pela fração: a) 93/10000 b) 93/1000 c) 93/10 d) 930/10 e) 930/1000

OBSERVAÇÃO:

- N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

- um número real é racional ou irracional.

6) Sejam as afirmações:

I- A soma entre dois números irracionais é sempre um número irracional. II- Toda dízima periódica pode ser escrita com uma fração de denominador e numerador inteiros.

III- 7 /4 > 11/2.

Pode-se dizer que: a) São corretas somente I e II. b) Todas são corretas. c) Somente uma delas é correta. d) São corretas somente II e III. e) Todas são incorretas. 7) Marque a alternativa incorreta a respeito dos números reais: a) Se a representação decimal infinita de um número é periódica então esse número é racional. b) Se a representação decimal de um número é finita então esse número é racional. c) Todo número irracional tem uma representação decimal infinita. d) Todo número racional tem uma representação decimal finita. 8) Das afirmações:

São verdadeiras apenas: a) I e II b) II e III c) I d) III e) II e III 9) Num baile de carnaval familiar, 1/3 dos convidados possuía entre 10 e 25 anos, 4/9 entre 25 e 60 anos e 1/9 acima de 60 anos. Considerando que havia 198 convidados, quantos possuíam entre 0 e 9 anos? a) 22 convidados b) 33 convidados c) 44 convidados d) 55 convidados e) 66 convidados 10) Sabe-se que o denominador de uma fração excede o numerador em 5 unidades. Quando ao denominador adicionamos 7 unidades, o valor da fração fica sendo igual a 1/2. Portanto, o numerador da fração original corresponde a: a) 12 b) 17 c) 15 d) 9 e) 13 11) A fração que representa a dízima 3,0121212 é: a)3012/99 b)3012/999 c)3012/9999 d)2982/990 e)2982/999

12) A fração geratriz de 3,741515... é: a) 37415/10000 b) 3741515/10000 c) 37041/9900 d) 37041/9000

13) O valor de (1,777...) / (0,111...) é:

a) 4,444... b) 4. c) 4,888... d) 3. e) 4/3. 14) Se p/q é a fração irredutível equivalente à dízima periódica 0,323232... , então q-p vale: a) 64. b) 67. c) 68. d) 69. e) 71. GABARITO 1. D 4. A 7. D 10. A 13. B 2. D 5. B 8. A 11. D 14. B 3. E 6. C 9. A 12. C