Tensão (Stress) e Deformação (Strain)Parte I

Fortaleza, 08 de julho de 2013

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS - DEPARTAMENTO DE GEOLOGIA

CGP-7899: Análise Estrutural e Tectônica Global

Regiões estáveis: São regiões onde um elemento rochoso localizado a uma certa profundidade é submetido apenas à pressão exercida pelo material

sobrejacente.

Regiões instáveis: Esforço imposto sobre um elemento rochoso varia em função da direção em torno do ponto considerado; além da pressão litostática, a rocha é submetida a esforços de origem tectônica.

Neste caso, o esforço, anisotrópico, é dito triaxiale pode ser representado por um elipsóide, o elipsóide dos esforços (stress ellipsoid).

Os Esforços na Crosta Terrestre

Os Esforços na Crosta Terrestre

Os três eixos do elipsóide (esforços principais) são, de maneira normalizada, definidos como:

-s1: eixo maior, ou esforço principal máximo, que corresponde sempre a uma compressão;

-s3: eixo menor, ou esforço principal mínimo, que corresponde sempre a uma tração;

- s2: eixo intermediário, pode corresponder a uma compressão ou a uma tração.

Os Esforços na Crosta Terrestre

Pressão litostática

ou confinante

Pressão dirigida

FORÇA

Grandeza vetorial - tem magnitude e direçãoTipos de forças:• Corporais- dependem da massa

- relacionadas à Plitostática

- Ex: gravidade- terrenos estáveis

• De superfície - independem da massa- relacionados à Pdirigida

- Ex: tectonismo- terrenos instáveis

ESFORÇO - STRESS ()

Definição: Par de forças opostas e iguais que atuam sobre uma determinada áreaFórmula geral: = F/AUnidades: MPa, Kbar, N/m2

Y

Z

X

NZ

NY

NX

SXZ

SXY

SYZ

SYX

SZY

SZX

Componentes do Esforço

Cada um dos três

planos possui um

componente normal e

dois componentes

cisalhantes

Portanto, 9

componentes são

necessários para definir

o esforço em um ponto

3 normais

6 cisalhantes

Os nove componentes do esforço

11,12,13

21,22,23

31,32,33

No plano normal a X

No plano normal a Y

No plano normal a Z

Segunda variável igual – atuam na mesma direção

Primeira variável igual – atuam

no mesmo plano

11,21,31 Paralela a X

12,22,32 Paralela a Y

13,23,33 Paralela a Z

X

Y

ZNZ

NY

NX

SXZ

SXY

SYZ

SYX

SZY

SZX

Duas variáveis iguais:

esforços normais

11,22,33

As duas variáveis

diferentes: esforços

cisalhantes, 12,13,23

21,31,32

Para o cubo estar em equilíbrio (em repouso: sem movimento, sem rotação)

21=12

23=32

31=13

Portanto, apenas seis

componentes são

independentes!

31

13

Se a magnitude dos dois

não for igual, o bloco

gira

Os nove componentes do esforço

X

Y

ZNZ

NY

NX

SXZ

SXY

SYZ

SYX

SZY

SZX

11 12 13

21 22 23

31 32 33

ij=

Podem ser escritos na forma

matricial e constituem o

tensor de esforços!

Vetor - representado por 3 coordenadas em um sistema Cartesiano (x, y, z)

matriz com 3 componentes

Esforço em um ponto - 9 componentes

matriz com 9 componentes (tensor de segunda ordem)

Componentes na diagonal principal - esforços normais

Componentes fora da diagonal – esforços cisalhantes

Os nove componentes do esforço

Para qualquer análise do esforço em um ponto, existem

três planos mutuamente perpendiculares nos quais os

esforços cisalhantes são nulos!

Por exemplo:

Considere o seguinte esforço aplicado em um plano

ns

Caso 1 – Componentes normal e

cisalhante

Caso 2 – Apenas o componente normal,

esforço cisalhante = 0

Esforços Principais

X

Y

ZNZ

NY

NX

Esforços Principais

Os esforços principais

definem um estado de

esforços no qual os

esforços cisalhantes nos

três planos são nulos!

Esforços principais – esforços normais mutuamente ortogonais

Planos principais – planos sobre os quais os esforços principais

atuam

O Elipsóide de Esforços

Eixos principais de esforços

definem os eixos do elipsóide de

esforços:

1 - Eixo de esforço maior

2 - Eixo de esforço intermediário

3 - Eixo de esforço menor

1 ≥ 2 ≥ 3

11

22

33

ij =

Portanto, para os esforços principais ( = 0), a matriz de esforços é

simplificada:

1

2

3

ij =

Outros termos associados aos esforços

principaisEsforço principal (mean stress) = média dos 3

esforços principaism 1 + 2 + 3

3Fazendo os esforços principais iguais, pode-se separar o tensor de esforços em

dois componentes

= +

11 -m 12 13

21 22 -m 23

31 32 33 -m

esforço deviatório

m

m

m

esforço principal

11 12 13

21 22 23

31 32 33

esforço

Esforço principal: pressão hidrostática/litostática (isotrópica, mesma nas três

direções); Ex: peso de soterramento

Esforço deviatório: produz distorção; 1 sempre compressão; 3 sempre tensão;

anisotrópica

O ELIPSÓIDE DE ESFORÇOS

Eixos principais de esforços:

1 - Eixo de esforço maior2 - Eixo de esforço intermediário3 - Eixo de esforço menor

TIPOS DE ESFORÇOS

• Esforço Uniforme –

forças iguais

aplicadas em cada

direção

TIPOS DE ESFORÇOS

• Esforço

Diferencial – força

aplicada é maior

em uma direção

σ1

σ1

TIPOS DE ESFORÇOS DIFERENCIAIS

ExercícioEsforço litostático.

Considere um cubo de granito situado na crosta

terrestre. Qual seria o esforço litostático na base do

bloco?

Medidas do bloco: 1500m x 1500m x 1500m

Densidade do bloco:

a = g = 9,8m/s2

F = ma

= F/A