Curso MAXX

Matemtica FELIPE ALMEIDA Teoria de ConjuntosConjunto

Um conjunto apenas uma coleo de entidades, chamadas de elementos.Exemplo:

- conjunto dos nmeros pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ...}. - conjunto das vogais: {a,e,i,o,u}- conjunto dos nmeros primos positivos: {2,3,5,7,11,...}

Conjunto Vazio

O conjunto que no possui elementos e representado por ou.

Conjunto Unitrio

O conjunto que possui apenas um elemento.

Exemplo:

- Conjunto dos nmeros primos pares: { 2 }

Conjunto UniversoO conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, sendo representado pelo smbolo U.

Exemplo:

Se A={1,2,3,4}, Logo A pertence ao conjunto universo.

Subconjunto

Um conjunto A um subconjunto de B se, e somente se, todo elemento A pertencente tambm a B. A notao A B ( A est contido em B ) indica que A subconjunto de B.Exemplo:

O conjunto A = {3,4}So subconjuntos de A :

Neste caso observamos que o conjunto A possui 4 subconjuntos, ou melhor:

2m = 22 = 4 subconjuntosRelao de pertinncia:

- Entre elemento e conjunto

Sendo x um elemento do conjunto A, escrevemos x A.

Exemplo:C = {1, 2, 3} 2 C ( 2 pertence a C )

Sendo y um elemento que no pertence ao conjunto A , escrevemos y A.

Exemplo:C = { 1, 2, 3 } 4 C ( 4 no pertence a C )- Entre conjunto e conjunto

" est contido "

" no est contido "("contm " ( = no contm

est contido " e ("contm ".Exemplo:D = { 1, 2, 3, 4 } e F = { 1,2 }F D ( F est contido em D) ou D ( F

no est contido " e (= no contmExemplo:D = { a, b } e E = { a,c }E ( D ( E no est contido em D) ou D ( E

Operaes com conjuntos- Unio ( ) formado pelos elementos que pertence a pelo menos um dos conjuntos A e B. representado pelo smbolo: Exemplo:A = {0,1,2}B ={2,3,4}A B = {0,1,2} { 2,3,4 } = { 0,1,2,3,4}. O conjunto unio contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

Grficos de A B :

ouou

- Interseo ( ) formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente. representado pelo smbolo:

Exemplo:A = {0,2,4,5}. B = {4,6,7}A B = {0,2,4,5} { 4,6,7} = {4}

Grficos de A B:

ouou

ou - Diferena (-) formado pelos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas no pertencem ao segundo. representado pelo smbolo: -

Exemplos: A = { 0,5,9} B = {0,9,3}A - B = { 0,5,9} - {0,9,3} = {5}.

Grficos de A - B:

ouou ou - Complementar de um conjunto um caso particular da diferena entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos A e B, com a condio de que B A , a diferena A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relao a A. representado com mostra abaixo:

Grficos de:

Conjuntos numricos fundamentais- Conjunto dos nmeros naturais (N)

N = {0,1,2,3,4,5,6,... }

- Conjunto dos nmeros inteiros (Z)

Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }

.

Exemplos:Z + = { 0, 2, 3,... }

Z -* = {..., -3, -2, -1}- Conjunto dos nmeros racionais ( Q )

So todos os nmeros que podem ser escrito na forma de uma frao p/q onde p e q so nmeros inteiros, com o denominador diferente de zero. Exemplos:2/3; -3/7;0,001 = 1/1000;0,75 = 3/4;0,333... = 1/3;7 = 7/1;

Exemplos: Calcule a frao geratriz

3,343434...= 334 3 / 990 = 331/99

4,01222... = 4012 401 / 900 = 3611/900

- Conjunto dos nmeros irracionais (I)

Nmeros no exatos e no peridicosExemplo: = 3,1415926... (nmero pi = razo entre o comprimento de qualquer circunferncia e o seu dimetro) 3 = 1,732050807... (raiz no exata).- Conjunto dos nmeros reais ( R )

a unio dos nmeros racionais e irracionais

Exerccios de Fixao1. (2011) Em um colgio com 520 alunos, 330 estudam ingls, 185 estudam espanhol e 63 estudam ambas as lnguas. Pela teoria dos conjuntos pergunta-se: Quantos alunos no estudam nenhuma das duas lnguas?

a) 68

b) 5

c) 57

d) 131

2. (PC-2011) Em uma sala de aula com 40 alunos, 60% so mulheres, das quais 25% so casadas. Durante o ano, 50% das mulheres casadas engravidam e so impedidas de participar do exame final de educao fsica. Qual o percentual dos alunos que deixaram de realizar a prova?

a) 15%

b) 7,5%

c) 12,5%

d) 10%

e) 30%

3. (FCC-2012) Em um clube com 160 associados, trs pessoas, A, B e C (no associados), manifestam seu interesse em participar da eleio para ser o presidente deste clube. Uma pesquisa realizada com todos os 160 associados revelou que

- 20 scios no simpatizam com qualquer uma destas pessoas.

- 20 scios simpatizam apenas com a pessoa A.

- 40 scios simpatizam apenas com a pessoa B.

- 30 scios simpatizam apenas com a pessoa C.

- 10 scios simpatizam com as pessoas A, B e C.

A quantidade de scios que simpatizam com pelo menos duas destas pessoas

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

e) 60

4. (FCC-2011)Duas modalidades de esporte so oferecidas para os 200 alunos de um colgio: basquete e futebol. Sabe-se que 140 alunos praticam basquete, 100 praticam futebol e 20 no praticam nenhuma destas modalidades. O nmero de alunos que praticam uma e somente uma destas modalidades

a) 120.

b) 100.

c) 80.

d) 60.

e) 40.

5. (CONSULPLAN 2010)De um grupo de 50 pessoas, 27 tomam refrigerante, 15 tomam refrigerante e suco natural e 4 no tomam nem refrigerante nem suco natural. Quantas pessoas deste grupo tomam somente suco natural?

a) 17

b) 20

c) 18

d) 23

e) 19

6- Sejam os conjuntos numricos A = {2, 4, 8,12,14}; B = {5,10,15, 20, 25} e C = {1, 2, 3,18, 20} e o conjunto vazio. correto afirmar que:

(A) BC = (B) A - C = {-6,1, 2, 4, 5}(C) AC = {1, 2, 3, 4, 8,12,14, 20 }(D) (A - C) (B - C) = (E) AC = {3, 6,11, 20, 34 }7- Se A B e B = {10, 23, 12, {1,2}}, ento A no pode ser:

(A) (B) {1}(C) {10, 23, 12}(D) {15, 10}{13,10}(E) {1, 2}8- Considere cada uma das afirmativas seguintes.

(1) 0 {0, 1, 2, 3, 4}

(2) {a} {a, b}

(4) {0}

(8) 0 (16) {a} A soma dos valores correspondentes s afirmativas

verdadeiras :

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

9- (ANPAD) Dado o conjunto Q = {a,b,c} , associe V ou F em cada sentena .

i ( (Q

ii b( Q

iii c ( Q

iiii {a}(Q

iiiii {a,b}( Q

A)FFFFF B)FFVVF C)FVFFV D)FFFFV E)VVVVF

10- Um conjunto A possui 511 subconjuntos no vazios. Qual o nmero de elementos de A?

a)7 b)8 c)9 d)10 e)11

11- (ESAF) Indique quantos so os subconjuntos do conjunto

{1,2,3,4}.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

12- Assinale a sentena CORRETA:

a) 25 Q

b) 2 I

c) 6 Z

d) 3 Ne) n.d.a13- A frao que representa a dzima 3,0121212 :

a)3012/99

b)3012/999

c)3012/9999

d)2982/990

e)2982/999

14- A frao geratriz de 3,741515...

a)37415/10000

b) 3741515/10000

c) 37041/9900

d) 37041/9000

15- O valor de (1,777...) /(0,111...)

a) 4,444...

b) 4.

c) 4,777...d) 3.

e) 4/3.

16- Se p/q a frao irredutvel equivalente dzima peridica 0,323232... , ento q - p vale:

a) 64. b) 67. c) 68. d) 69. e) 71.

17- O nmero (0,444...)1/2 :

a) natural.

b) inteiro positivo.

c) inteiro no negativo.

d) irracional.

e) decimal peridico.

18- A soma 1,3333... + 0,16666... igual a:a) b) 5/2 c) 4/3 d) 5/3 e) 3/219- A expresso decimal 0,011363636... uma dzima peridica composta e representa um nmero racional x. Se a geratriz desta dzima for escrita sob a forma de uma frao irredutvel m/n, ento m + n igual a:A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 9220)(CBMERJ) O inverso do nmero 3,333...

21) (CBMERJ) Dada a dzima x = 0,222... , ento o valor numrico da representado por

22- Dados os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3 } e B = { 1, 2, 3 }. Assinale o conjunto que representa A B:

a) { 0 }

b) { 1, 2, 3 }

c) { 0, 1, 2, 3 }

d) { 0, 1, 2 }23- Sabendo que A = {0, 1, 2, ..., 98, 99}, B = {1, 2, 10, 12} e C = {10, 11, 12, ..., 98, 99}, podemos afirmar que:

a) AB

b) BC

c) CA

d) AC

Gabarito1- a

2- b

3- d

4- a

5- e

6- d

7- b

8- a

9- c

10- c

11- e

12- e

13- d

14- c

15- b

16- b

17- e

18- e

19- b

20- 0,3

21- a

22- a

23- c

OBSERVAO:

O conjunto dos nmeros pares positivos tambm pode ser representado por uma propriedade dos seus elementos, ou melhor, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, temos:P = { x | x par e positivo } = { 2,4,6, ... }.

L-se: Valores de x tal que x todo nmero par positivo.

OBSERVAO:

Se procuramos determinar as solues reais de uma equao, nosso conjunto Universo (U) R (conjunto dos nmeros reais).

OBSERVAO:

- se um conjunto A possui m elementos ento ele possui 2m subconjuntos.

- o conjunto vazio est contido em qualquer conjunto.

"pertence a"no pertence a

OBSERVAO:

RESUMO:

- se todos elementos de um conjunto A tambm pertence a um conjunto B, ento dizemos que A subconjunto de B e indicamos isto por A B.

- o conjunto vazio est contido em qualquer conjunto.- todo conjunto subconjunto de si prprio. ( A A )- o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto. ( A) - o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A denominado conjunto das partes de A e indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}}- um subconjunto de A tambm denominado parte de A.

OBSERVAO1: Propriedades:a) A A = Ab) A = Ac) A B = B A (a unio de conjuntos uma operao comutativa)d) A U = U , onde U o conjunto universo.

OBSERVAO2: Nmero de elementos da unio de dois conjuntosO nmero de elementos da interseo A B dado por n(A B) e o nmero de elementos da unio A B dado por n(A B), logo podemos escrever a seguinte frmula: n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)Exemplo:A= {1,2,3}; o nmero de elementos do conjunto A so 3.B= {3,4,5}; o nmero de elementos do conjunto A so 3.Ao descobrir o nmero de elementos de A B, temos 5 elementos e no 6. Pois preciso retirar os elementos que contm nos dois conjuntos, neste caso s temos um, o 3.Basta substituir na frmula:n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) = 3 + 3 1 = 5

OBSERVAO1: Propriedades: A A = A A = A B = B A ( a interseo uma operao comutativa) A U = A onde U o conjunto universo.

OBSERVAO2: Outras Propriedades: A ( B C ) = (A B) ( A C) (propriedade distributiva) A ( B C ) = (A B ) ( A C) A (A B) = A A (A B) = A Se A B = , ento dizemos que os conjuntos A e B so Disjuntos.

OBSERVAO: Propriedades: A - = A - A = A - A = A - B B - A ( a diferena de conjuntos no uma operao comutativa).

OBSERVAO: O conjunto dos nmeros naturais est contido no conjunto dos nmeros inteiros: N Z

OBSERVAO:O sinal + exclui os nmeros negativos,O sinal - exclui os nmeros positivos,O sinal * exclui o zero.

OBSERVAO1: - O conjunto dos nmeros naturais est contido no conjunto dos nmeros inteiros e este ltimo est contido no conjunto dos nmeros racionais: N Z Q.- Toda dzima peridica um nmero racional, pois sempre possvel escrever uma dzima peridica na forma de uma frao.Exemplo: 0,333... = 1/3

OBSERVAO2: Dzima peridicaDzima simples

A geratriz de uma dzima simples uma frao que tem para numerador o perodo e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do perodo.Exemplo:X = 0,32323232... = 32 / 99 Dzima CompostaA geratriz de uma dzima composta uma frao da forma INCLUDEPICTURE "http://www.somatematica.com.br/fundam/dizima17.gif" \* MERGEFORMATINET , onde:

n EMBED Equation.3 o ante perodo, seguido do perodo, menos o ante - perodo.

d EMBED Equation.3 tantos noves quantos forem os algarismos do perodo seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos do ante-perodo depois da vrgula.Perodo = parte que se repeteAnte-perodo = parte que antecede o perodo ou a parte no peridica.

Exemplo: X = 1,23333... X = 1,23333...= 123-12/90 = 111/90

OBSERVAO:- N Z Q R- um nmero real racional ou irracional.

_1267432855.unknown

_1275299147.unknown

_1427198962.unknown

_1427198964.unknown

_1427198965.unknown

_1427198963.unknown

_1275299164.unknown

_1267434270.unknown

_1267434318.unknown

_1267434262.unknown

_1267432718.unknown

_1267432788.unknown

_1267432708.unknown