aula 03 ita ime binomios aluno

APOSTILA - TURMA ITA-IME 2014

1

BINÔMIO DE NEWTON & EXPANSÃO MULTINOMIAL Professor Marcelo Renato M. Baptista

1. NÚMEROS BINOMIAIS: ( )

( )pn,!pn!p

!npn ≥

−=

, sendo INpeINn ∈∈ .

⇒n numerador e ⇒p denominador.

2. NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES:

=

⇒=+

qn

pn

nqpondeqn

epn

Exemplos:

35

e25

;

58

e38

, etc.⇒ (a soma dos denominadores é igual ao numerador).

2.1. IGUALDADE DE BINOMIAIS:

Respeitadas as condições de existência, teremos, sempre, que analisar dois casos. Vejamos:

⇒

=

bn

an

=+

=

nba:2casoou

ba:1caso

=

=

35

25

25

25

Exemplos

3. TRIÂNGULO DE PASCAL (Relações importantes)

Somando-se dois elementos consecutivos de uma mesma linha, obtém-se o elemento situado abaixo do segundo elemento somado.

Somando-se todos os elementos de uma mesma linha, obtém-se como resultado o valor da potência de base 2 cujo expoente “n” corresponde ao numerador dos respectivos números binomiais.

4. TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON (“x” + a )n ..................... (Parte 2)

( ) ( ) pnp1p "x"ap

nT −+ ⋅⋅

=

Onde “x” é o termo em x de maior expoente e “a” é o termo em x de menor expoente.

Ex.1:

==

⇒

+ −2

38

23

xax2"x"

x1x2 Ex.2:

−=

=⇒

− −1

252

x32a

x"x"

x32x

5. SOMA DOS COEFICIENTES DO BINÔMIO DE NEWTON ( x + a )n

Basta que façamos cada “letra” igual a “1”.

Exemplo: A soma dos (n + 1) coeficientes reais do binômio de Newton ( )n25 y5x3 − é igual a 64. Calcule n.

Sendo “SC” a soma dos respectivos coeficientes, ( ) ( ) ⇒=−⇒−⇒= 6421.51.364SC nn25 6n = .

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2

6. POLINÔMIO DE LEIBNITZ

( ) ( )p321 ap

a3

a2

a1

p321

np321 xxxx

!a!a!a!a!n

xxxx ⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=++++ ∑

Onde naaaa p321 =++++ Exemplo: (ITA-SP 2006) Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (1 + x + x2)9.

Resolução utilizando o Polinômio de Leibniz:

( ) ( ) ⇒

⋅⋅⋅

⋅⋅

=++ ∑ c2ba92 xx1!c!b!a

!9xx1 ( ) ∑ +⋅

⋅⋅

=++ c2b92 x!c!b!a

!9xx1

Sabemos que, no universo dos números naturais:

≤⇒≥−⇒−=⇒=+=++

2c0c24c24b4c2b9cba

c a b 0 5 4 1 6 2 2 7 0

Assim, o coeficiente de 4x será obtido na operação !2!0!7

!9!1!2!6

!9!0!4!5

!9⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

.

9! 9! 9! 9 8 7 6 9 8 7 9 85! 4! 0! 6! 2! 1! 7! 0! 2! 4 3 2 1 1 2 1 1 1 2 1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + = + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )9 2 7 9 4 7 9 4 126 252 36= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = + + = 414 . Resposta: 414. OUTRA MANEIRA:


3

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1) (UP 2014) O conjunto solução da equação

+

=

8x

26x5

26 é:

a) { }3;2 . b) { }5;2 . c) { }2 . d) { }5 . e) { }3 .

2) (UP 2014) O valor de

+

+

5

138

123

12 é igual a:

a)

6

13 b)

6

14 c)

9

14 d)

9

15 e) 2

13.

3) (UP 2014) O valor de x para que

+

=

− 1x2

142x

142 é:

a) – 1 ou 3. b) – 3 ou 1. c) – 1 ou 1. d) – 1. e) 3.

4) (UFOP-MG) A condição para que o binomial

kn

seja o dobro do binomial

−1kn

é:

a) k2n = b) k3n = c) 1k3n += d) 1k3n −= 5) (FCMSC-SP) Se ( )2n.n54

n3n −=

+

, então n é igual a:

a) 11. b) 10. c) 9. d) 8. e) 7.

6) (UP 2014) No desenvolvimento do binômio ( )n1x + , segundo as potências decrescentes de x, o coeficiente do 3º termo é o triplo do coeficiente do 2º termo. O valor de “n” é:

a) 8. b) 10. c) 9. d) 7. e) 6.

7) (FMSC-SP adaptada) Se a soma dos coeficientes obtidos no desenvolvimento de ( )n2 yx3 − , onde

*INn ∈ , é igual a 64, determine o valor de ∑=

−

5

0pp

1n2 .

a) 1023. b) 1024. c) 2043. d) 2048. e) 4096.

8) (PUC-SP) No desenvolvimento de ( )82 1xx +⋅ o coeficiente de 7x é igual a: a) 1. b) 7. c) 14. d) 28. e) 56.

9) (UP 2014) Os três primeiros coeficientes do desenvolvimento de n

2

x21x

+ , segundo as potências

decrescentes de x, estão em progressão aritmética. O valor de n é:

a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 12.

10) (Cesgranrio-RJ) O valor de p8

0p5

p8

⋅

∑=

é:

a) 85 . b) 86 . c) 58 . d) 68 . e) 65 .


4

DISCURSIVAS 1) (Mackenzie–SP adaptada) A condição que o número natural n deve satisfazer para que o

desenvolvimento de n

²x1x

+ tenha um termo independente de x é ser:

2) (UP 2014) Determine a posição do termo independente de x, no desenvolvimento do binômio

15

2x1x2

− segundo as potências decrescentes de x.

3) (UERJ) Na potência n

5x1x

+ , n é um número natural menor do que 100. Determine o maior valor de n,

de modo que o desenvolvimento dessa potência tenha um termo independente de x. 4) (UP 2014) Seja n o número de pontos distintos sobre uma circunferência.

Sabendo que 2

nn6

1n5

1n 2 −=

−+

− :

a) Calcule o valor de n; b) Quantos polígonos convexos inscritos podem ser construídos com vértices nesses pontos?

5) (ESPM–SP adaptada) O Desenvolvimento do binômio ( )123 xx + apresenta n termos com radical.

Calcule o valor de ∑−

=

=

1n

1ppnA .

6) (IBMEC–SP adaptada) Seja n um número natural não nulo, tal que

0964n1n2

1n1n2

21n2

11n2

01n2 =

++

−+++

++

++

+

. Determine o valor de n.

7) (UP 2014) Se os números binomiais

+

11n,0

n e

+

22n , nesta ordem, estão em progressão

aritmética, determine os possíveis valores que n pode assumir.

8) (UP 2014) No desenvolvimento de 8

x2x1

− , calcule:

a) o termo independente de x. b) o termo médio. c) o termo em x2.

9) (UFES adaptada) Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de 66

x1x

x1x

−⋅

+ .

10) (UFMG adaptada) Sabendo que números binomiais complementares são iguais, utilize a identidade abaixo.

+=

+

− p1n

pn

1pn

conhecida como Relação de Stifel, onde ( ) IN1p,n ∈− e pn≥ , para calcular o número inteiro “m”

que satisfaz a equação

−=

−+

− 2009m22011

m220102010

1m22010

11) (UP 2014) Apresente algebricamente uma aproximação com duas casas decimais para a potência ( )40001,1 .

12) (IME–RJ) Calcule o valor de ( ) 1002,1 − , com dois algarismos significativos, empregando a expansão do binômio de Newton .


5

13) (UFCE modificada) Determine o coeficiente de 3x no polinômio ( ) ( ) .3x1x)x(P 5+⋅−= 14) (Unicamp-SP) Considere o enunciado a seguir:

O símbolo p,nC é definido por ( )!pn!p

!n−

para pn ≥ com 1!0 = . Estes números p,nC são inteiros e

aparecem como coeficientes no desenvolvimento de ( )nba+ .

a) Mostre que p,1np,n1p,n CCC +− =+ .

b) Seja n,n2,n1,n0,n CCCCS ++++= . Calcule Slog2 .

15) (UNIRIO-RJ) Calcule o valor de

−

−

+⋅⋅⋅+

−

+

−

nn

1nn

3n

2n

1n

0n

, sendo “n” ímpar, e justifique

sua resposta. 16) (UERJ-2006) Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares,

obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração a seguir.

Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do Triângulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula

++

=

++

++

++

1p1n

pn

p2p

p1p

pp

, na qual n e p não números naturais, pn ≥ e

pn

corresponde

ao número de combinações simples de n elementos tomados p a p. Com base nessas informações, calcule:

a) a soma

++

+

+

2

1824

23

22

;

b) o número total de laranjas que compõem 15 camadas.

17) Qual o coeficiente de x3 na expansão multinomial de 10

23

xx11

++ ?

18) (ITA–SP adaptada) Qual é o coeficiente de 17x no desenvolvimento de ( )2075 xx1 ++ ?

19) Determine o termo independente de x em 3

x2x1

++ ?

20) Qual é o coeficiente de 532 wyx no desenvolvimento de ( )10x y z w u+ + + + ?


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GABARITO – EXERCÍCIOS BÁSICOS

01 A 02 C 03 E 04 D 05 A

06 D 07 B 08 E 09 C 10 B

RESPOSTAS – DISCURSIVAS 1) n é múltiplo de 3. 2) 6ª posição, segundo as potências decrescentes de x. 3) 96. 4) a) n = 8. 4) b) 219 polígonos convexos. 5) A = 1022. 6) n = 6. 7) n = 0 ou n = 1. 8) a) 1 120. 8) b) 1 120. 8) c) – 448 x². 9) – 20. 10) m = 1 005. 11) aproximadamente 1,04. 12) aproximadamente 0,82. 13) 180. 14) a) vide resolução. 14) b) nSlog2 = . 15) Zero. 16) a) 969. 16) b) 1.360 laranjas. 17) 1680. 18) 3420. 19) 13. 20) 2520.

PROFESSOR MARCELO RENATO M. BAPTISTA AGOSTO/2014.

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