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APOSTILA - TURMA ITA-IME 2014
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BINÔMIO DE NEWTON & EXPANSÃO MULTINOMIAL Professor Marcelo Renato M. Baptista
1. NÚMEROS BINOMIAIS: ( )
( )pn,!pn!p
!npn ≥
−=
, sendo INpeINn ∈∈ .
⇒n numerador e ⇒p denominador.
2. NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES:
=
⇒=+
qn
pn
nqpondeqn
epn
Exemplos:
35
e25
;
58
e38
, etc.⇒ (a soma dos denominadores é igual ao numerador).
2.1. IGUALDADE DE BINOMIAIS:
Respeitadas as condições de existência, teremos, sempre, que analisar dois casos. Vejamos:
⇒
=
bn
an
=+
=
nba:2casoou
ba:1caso
=
=
35
25
25
25
Exemplos
3. TRIÂNGULO DE PASCAL (Relações importantes)
Somando-se dois elementos consecutivos de uma mesma linha, obtém-se o elemento situado abaixo do segundo elemento somado.
Somando-se todos os elementos de uma mesma linha, obtém-se como resultado o valor da potência de base 2 cujo expoente “n” corresponde ao numerador dos respectivos números binomiais.
4. TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON (“x” + a )n ..................... (Parte 2)
( ) ( ) pnp1p "x"ap
nT −+ ⋅⋅
=
Onde “x” é o termo em x de maior expoente e “a” é o termo em x de menor expoente.
Ex.1:
==
⇒
+ −2
38
23
xax2"x"
x1x2 Ex.2:
−=
=⇒
− −1
252
x32a
x"x"
x32x
5. SOMA DOS COEFICIENTES DO BINÔMIO DE NEWTON ( x + a )n
Basta que façamos cada “letra” igual a “1”.
Exemplo: A soma dos (n + 1) coeficientes reais do binômio de Newton ( )n25 y5x3 − é igual a 64. Calcule n.
Sendo “SC” a soma dos respectivos coeficientes, ( ) ( ) ⇒=−⇒−⇒= 6421.51.364SC nn25 6n = .
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6. POLINÔMIO DE LEIBNITZ
( ) ( )p321 ap
a3
a2
a1
p321
np321 xxxx
!a!a!a!a!n
xxxx ⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=++++ ∑
Onde naaaa p321 =++++ Exemplo: (ITA-SP 2006) Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (1 + x + x2)9.
Resolução utilizando o Polinômio de Leibniz:
( ) ( ) ⇒
⋅⋅⋅
⋅⋅
=++ ∑ c2ba92 xx1!c!b!a
!9xx1 ( ) ∑ +⋅
⋅⋅
=++ c2b92 x!c!b!a
!9xx1
Sabemos que, no universo dos números naturais:
≤⇒≥−⇒−=⇒=+=++
2c0c24c24b4c2b9cba
c a b 0 5 4 1 6 2 2 7 0
Assim, o coeficiente de 4x será obtido na operação !2!0!7
!9!1!2!6
!9!0!4!5
!9⋅⋅
+⋅⋅
+⋅⋅
.
9! 9! 9! 9 8 7 6 9 8 7 9 85! 4! 0! 6! 2! 1! 7! 0! 2! 4 3 2 1 1 2 1 1 1 2 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + = + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( ) ( ) ( )9 2 7 9 4 7 9 4 126 252 36= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = + + = 414 . Resposta: 414. OUTRA MANEIRA:
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) (UP 2014) O conjunto solução da equação
+
=
8x
26x5
26 é:
a) { }3;2 . b) { }5;2 . c) { }2 . d) { }5 . e) { }3 .
2) (UP 2014) O valor de
+
+
5
138
123
12 é igual a:
a)
6
13 b)
6
14 c)
9
14 d)
9
15 e) 2
13.
3) (UP 2014) O valor de x para que
+
=
− 1x2
142x
142 é:
a) – 1 ou 3. b) – 3 ou 1. c) – 1 ou 1. d) – 1. e) 3.
4) (UFOP-MG) A condição para que o binomial
kn
seja o dobro do binomial
−1kn
é:
a) k2n = b) k3n = c) 1k3n += d) 1k3n −= 5) (FCMSC-SP) Se ( )2n.n54
n3n −=
+
, então n é igual a:
a) 11. b) 10. c) 9. d) 8. e) 7.
6) (UP 2014) No desenvolvimento do binômio ( )n1x + , segundo as potências decrescentes de x, o coeficiente do 3º termo é o triplo do coeficiente do 2º termo. O valor de “n” é:
a) 8. b) 10. c) 9. d) 7. e) 6.
7) (FMSC-SP adaptada) Se a soma dos coeficientes obtidos no desenvolvimento de ( )n2 yx3 − , onde
*INn ∈ , é igual a 64, determine o valor de ∑=
−
5
0pp
1n2 .
a) 1023. b) 1024. c) 2043. d) 2048. e) 4096.
8) (PUC-SP) No desenvolvimento de ( )82 1xx +⋅ o coeficiente de 7x é igual a: a) 1. b) 7. c) 14. d) 28. e) 56.
9) (UP 2014) Os três primeiros coeficientes do desenvolvimento de n
2
x21x
+ , segundo as potências
decrescentes de x, estão em progressão aritmética. O valor de n é:
a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 12.
10) (Cesgranrio-RJ) O valor de p8
0p5
p8
⋅
∑=
é:
a) 85 . b) 86 . c) 58 . d) 68 . e) 65 .
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DISCURSIVAS 1) (Mackenzie–SP adaptada) A condição que o número natural n deve satisfazer para que o
desenvolvimento de n
²x1x
+ tenha um termo independente de x é ser:
2) (UP 2014) Determine a posição do termo independente de x, no desenvolvimento do binômio
15
2x1x2
− segundo as potências decrescentes de x.
3) (UERJ) Na potência n
5x1x
+ , n é um número natural menor do que 100. Determine o maior valor de n,
de modo que o desenvolvimento dessa potência tenha um termo independente de x. 4) (UP 2014) Seja n o número de pontos distintos sobre uma circunferência.
Sabendo que 2
nn6
1n5
1n 2 −=
−+
− :
a) Calcule o valor de n; b) Quantos polígonos convexos inscritos podem ser construídos com vértices nesses pontos?
5) (ESPM–SP adaptada) O Desenvolvimento do binômio ( )123 xx + apresenta n termos com radical.
Calcule o valor de ∑−
=
=
1n
1ppnA .
6) (IBMEC–SP adaptada) Seja n um número natural não nulo, tal que
0964n1n2
1n1n2
21n2
11n2
01n2 =
++
−+++
++
++
+
. Determine o valor de n.
7) (UP 2014) Se os números binomiais
+
11n,0
n e
+
22n , nesta ordem, estão em progressão
aritmética, determine os possíveis valores que n pode assumir.
8) (UP 2014) No desenvolvimento de 8
x2x1
− , calcule:
a) o termo independente de x. b) o termo médio. c) o termo em x2.
9) (UFES adaptada) Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de 66
x1x
x1x
−⋅
+ .
10) (UFMG adaptada) Sabendo que números binomiais complementares são iguais, utilize a identidade abaixo.
+=
+
− p1n
pn
1pn
conhecida como Relação de Stifel, onde ( ) IN1p,n ∈− e pn≥ , para calcular o número inteiro “m”
que satisfaz a equação
−=
−+
− 2009m22011
m220102010
1m22010
11) (UP 2014) Apresente algebricamente uma aproximação com duas casas decimais para a potência ( )40001,1 .
12) (IME–RJ) Calcule o valor de ( ) 1002,1 − , com dois algarismos significativos, empregando a expansão do binômio de Newton .
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13) (UFCE modificada) Determine o coeficiente de 3x no polinômio ( ) ( ) .3x1x)x(P 5+⋅−= 14) (Unicamp-SP) Considere o enunciado a seguir:
O símbolo p,nC é definido por ( )!pn!p
!n−
para pn ≥ com 1!0 = . Estes números p,nC são inteiros e
aparecem como coeficientes no desenvolvimento de ( )nba+ .
a) Mostre que p,1np,n1p,n CCC +− =+ .
b) Seja n,n2,n1,n0,n CCCCS ++++= . Calcule Slog2 .
15) (UNIRIO-RJ) Calcule o valor de
−
−
+⋅⋅⋅+
−
+
−
nn
1nn
3n
2n
1n
0n
, sendo “n” ímpar, e justifique
sua resposta. 16) (UERJ-2006) Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares,
obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração a seguir.
Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do Triângulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula
++
=
++
++
++
1p1n
pn
p2p
p1p
pp
, na qual n e p não números naturais, pn ≥ e
pn
corresponde
ao número de combinações simples de n elementos tomados p a p. Com base nessas informações, calcule:
a) a soma
++
+
+
2
1824
23
22
;
b) o número total de laranjas que compõem 15 camadas.
17) Qual o coeficiente de x3 na expansão multinomial de 10
23
xx11
++ ?
18) (ITA–SP adaptada) Qual é o coeficiente de 17x no desenvolvimento de ( )2075 xx1 ++ ?
19) Determine o termo independente de x em 3
x2x1
++ ?
20) Qual é o coeficiente de 532 wyx no desenvolvimento de ( )10x y z w u+ + + + ?
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GABARITO – EXERCÍCIOS BÁSICOS
01 A 02 C 03 E 04 D 05 A
06 D 07 B 08 E 09 C 10 B
RESPOSTAS – DISCURSIVAS 1) n é múltiplo de 3. 2) 6ª posição, segundo as potências decrescentes de x. 3) 96. 4) a) n = 8. 4) b) 219 polígonos convexos. 5) A = 1022. 6) n = 6. 7) n = 0 ou n = 1. 8) a) 1 120. 8) b) 1 120. 8) c) – 448 x². 9) – 20. 10) m = 1 005. 11) aproximadamente 1,04. 12) aproximadamente 0,82. 13) 180. 14) a) vide resolução. 14) b) nSlog2 = . 15) Zero. 16) a) 969. 16) b) 1.360 laranjas. 17) 1680. 18) 3420. 19) 13. 20) 2520.
PROFESSOR MARCELO RENATO M. BAPTISTA AGOSTO/2014.