APCs de Matemática – 70 ano Os conteúdos abordados nesta APC referente a página 92 a 106 do livro didático (Matemática Compreensão e Prática – Ênio Silveira)

Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador

(MS.EF07MA05.s.05) - Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

Aula 01 e 02 - A ideia de parte de um inteiro Vídeo para auxiliar site https://www.youtube.com/watch?v=clPhCFEkn5Y

Uma fração pode representar a ideia de parte de um inteiro. Observando a situação a seguir,

temos que o comprimento de três lápis equivalem ao comprimento do caderno. Assim:

Agora, vamos analisar a fração

2

5 (lemos: “dois quintos”). Essa fração indica que o inteiro foi

dividido em 5 partes iguais e que consideramos 2 dessas 5 partes. Usamos denominador para indicar em quantas partes de mesmo tamanho um inteiro foi dividido, e numerador para indicar

quantas partes do inteiro nos interessam, ou seja, na fração 2

5 , o 5 é o denominador e o 2 é o

numerador. Podemos representar a fração 2

5 de várias formas. Veja dois exemplos:

Podemos usar as frações para representar partes de inteiros de diferentes tipos. Acompanhe

as situações a seguir e veja alguns exemplos. Situação 1

Gabriela tem que escolher 2

5 de 15 maçãs.

Quantas maçãs Gabriela irá escolher?

Em vez de uma única maçã, nessa situação o inteiro será representado pelo total de maçãs.

Para considerar 2

5 dessas maçãs, podemos, por

exemplo, selecionar duas das cinco colunas de maçãs, como indicado a seguir.

Poderíamos selecionar 2

5 das maçãs mesmo

que não estejam organizadas em colunas. Veja

Portanto, Gabriela irá escolher 6 maçãs ( 2

5 de 15 maçãs).

Situação 2

Vamos considerar que uma pizza foi dividida em 8 pedaços equivalentes entre si e que 1

4 foi

consumido. Veja como podemos representar essa situação:

Nesse caso, o inteiro é considerado como uma pizza.

Agora, vamos considerar o inteiro como duas

pizzas das quais 1

4 foi consumido. Assim,

temos a seguinte possibilidade de representação.

Observe que, dependendo do inteiro escolhido, a quantidade de pedaços de pizza

consumidas indicada por 4 1 pode variar. No caso em que o inteiro é uma pizza, 1

4 desse inteiro é

equivalente a 2 pedaços. Já no caso em que o inteiro são duas pizzas, 1

4 desse inteiro equivale a 4

pedaços.

Exercícios

01 - Observe as imagens e as duas indicações de inteiro em cada item. A seguir, escreva no caderno a fração que representa cada indicação. a) Cada barra de chocolate é formada por 9 pequenos retângulos de mesmo tamanho.

Considerando duas barras de chocolate como o inteiro, qual fração representa a quantidade de chocolate da ilustração?

Considerando quatro barras de chocolate como o inteiro, qual fração representa a quantidade de chocolate da ilustração

b) Cada copo representado a seguir foi marcado e dividido em 4 partes iguais, que indicam o mesmo volume de líquido.

Se o inteiro considerado for dois copos, qual fração representa a quantidade de água da ilustração?

Se o inteiro for três copos, qual fração representa a quantidade de água da ilustração?

02 - Com base na representação a seguir, responda às questões.

a) Qual é o inteiro se a área laranja corresponde a 1

2 do

inteiro? ___________________________________________ b) Qual seria o inteiro se a área laranja correspondesse a 1

8 dele?

___________________________________________

03 - Que fração representa a área pintada.

Aula 03, 04 e 05 - A ideia de quociente Além da ideia de parte de um inteiro, as frações podem representar um quociente, ou seja, o resultado de uma divisão. Acompanhe as situações a seguir.

Situação 1 Carolina e seus amigos estão começando um jogo de aventura

Carolina tem 40 cartas para distribuir entre ela e seus amigos. Como são 5 pessoas, podemos representar a quantidade que cada

um vai receber como: 40 ÷ 5 = 40

5.

Nesse caso, o número fracionário 40

5 indica

que cada amigo vai receber 8 cartas para iniciar esse jogo.

Situação 2 Fabrício foi passar o fim de semana com os amigos no sítio de sua avó Vera. Ela estava mostrando o pomar para as crianças e colheu 3 laranjas maduras para dividir entre Fabrício e seus 3 amigos. Nessa situação, a ideia de quociente se dá pela divisão das 3 laranjas entre as 4 crianças. Podemos representar essa divisão

como: 3 ÷ 4 = = 3

4.

Isso significa que, se Vera dividir cada uma das laranjas em 4 pedaços, cada criança receberá 3 pedaços.

Nas duas situações, podemos associar a fração com a operação de divisão, pois estão

relacionadas à distribuição de cartas ou de laranjas. Na primeira situação, a divisão resultou em um número natural e cada jogador recebeu a

mesma quantidade de cartas. Na segunda situação, a divisão das laranjas resultou em um número fracionário, então cada criança recebeu parte de cada uma das laranjas, mas todas as crianças receberam a mesma quantidade de laranja.

Outros exemplos:

a) Se uma distância de 240 km foi percorrida por um automóvel em 3 h, para obter a velocidade média desenvolvida durante a viagem, divide-se a distância percorrida pelo tempo gasto para percorrê-la:

Resolução:

b) Um pintor gastou três latas de tinta para pintar quatro paredes iguais. Para saber quantas latas ou que parte de cada lata gastou, em média, em cada parede, deve-se dividir a quantidade de latas pela quantidade de paredes:

Resolução:

Exercícios 01 - Além de laranjeiras, Vera, a avó de Fabrício, tem jabuticabeiras no sítio. Para o lanche da tarde, ela colheu 28 jabuticabas para distribuir entre as 4 crianças. Que fração representa a distribuição das jabuticabas? Quantas jabuticabas cada criança vai receber?

Resolução

02 - A mãe de Jorge encontrou uma coleção de bolinhas de gude que ela juntou quando era criança e com a qual brincava com seus amigos. Ela resolveu distribuir as 25 bolinhas entre Jorge e mais duas amigas.

a) Que fração representa a distribuição das bolinhas de gude?

b) Sobraram bolinhas? Como você faria a distribuição?

03 - Luís ganhou um novo videogame de sua tia. Como ele tinha muitos jogos do videogame antigo, resolveu presentear alguns amigos que tinham o mesmo videogame. Luís tinha 21 jogos e queria dar 4 jogos para cada amigo. Responda: Que fração representa a distribuição dos jogos?

Resolução

04 - Ana Lúcia tem dois irmãos e duas irmãs. Nos fins de semana, eles podem comer um pouco de chocolate. Seus pais compram, geralmente, três barras para dividir entre os cinco. Qual fração representa a distribuição das barras de chocolate? Faça um esquema para representar que parte das barras de chocolate cada irmão recebe.

Resolução

05 – Qual é a fração que representa a parte colorida na figura?

a) ( ) 3/2 b) ( ) 6/1 c) ( ) 5/6 d) ( ) 6/5

Observação: A fração pode ser representada de maneiras distintas.

Veja: 2

5 2 5⁄ 2 5⁄

Aula 06, 07 e 08 – A ideia de razão Vídeo para auxiliar site https://www.youtube.com/watch?v=ZJwIQFTo-2U

Até aqui vimos as ideias de frações para representar a parte de um inteiro ou indicar um

quociente. Além dessas ideias, as frações também podem indicar uma razão. Veja as situações a seguir.

Situação 1

A professora de Ana Paula dividiu a turma em grupos de 5 alunos e propôs que fizessem uma maquete da cidade. O grupo de Ana Paula é composto de 2 meninas e 3 meninos.

A razão entre as quantidades de meninas e meninos é de 2 meninas para 3 meninos.

Podemos representar essa razão como 2

3 (lemos: “dois para três ou dois em três”).

Situação 2 É comum, em jogos de tabuleiro, encontrar dados com mais de seis faces. Carolina tem um

jogo de aventura e, nesse jogo, há um dado com oito faces numeradas de 1 a 8, que lembra um octaedro.

Ao jogar um dado de seis faces, a chance de sair o número 2 na face de cima, por exemplo, é de 1 em 6. Afinal, o dado tem 6 faces. Mas no dado de Carolina a chance de sair o número 2 é de 1

em 8. Podemos representar essas razões como 1

6 (lemos: “uma em seis”) e

1

8 (lemos: “uma em

oito”).

Situação 3 A razão da distância percorrida por um carro pelo

tempo que ele levou para percorrer essa distância fornece a sua velocidade média. É comum encontrar nas ruas ou nas estradas placas que informam a velocidade máxima que um veículo pode atingir naquela via.

Por exemplo, se um automóvel percorreu 60 km em 2 horas, a razão entre a distância e o tempo pode ser dada por 60 𝑘𝑚

2 ℎ. Podemos simplificar a fração

60

2 dividindo o

numerador e o denominador por 2, obtendo a fração 30

1.

Assim, um carro que desenvolve uma velocidade de 30 km/h percorre uma distância equivalente a 30 km em 1 hora. Dessa forma, utilizando essa razão, podemos descobrir a distância percorrida pelo carro. Por exemplo, em 4 horas será percorrido 120 km.

Uma propriedade interessante das razões é a possibilidade de obter, por meio da equivalência de frações, valores desconhecidos.

Exercícios 01 - A lista de ingredientes a seguir faz parte da receita de bolo de fubá cremoso de Joaquim.

Responda. a) Qual é a razão de xícaras de açúcar para xícaras de leite? b) Qual é a razão do número de ovos para a quantidade, em gramas, de queijo ralado? c) Se a receita fosse utilizada para fazer mais de um bolo e 9 ovos fossem utilizados, qual seria a quantidade de queijo para o preparo dos bolos?

02 - Cláudia adora jogos de corrida e jogos de aventura. Ela tem, no celular, 14 jogos, dos quais 9 são de corrida e os demais, de aventura. Qual é a razão do número de jogos de aventura para o número de jogos de corrida?

03 - No final do ano, no prédio em que Carlos mora, haverá um sorteio entre 44 apartamentos para a utilização do salão de festas. Se Carlos e sua prima moram no mesmo prédio, mas em apartamentos diferentes, escreva, no caderno, a razão que representa a chance de a família de Carlos ter acesso ao salão de festas no final do ano.

04 - A velocidade média de um corredor de elite de maratonas é de 20 km/h. Se uma prova de maratona tem aproximadamente 40 km, qual é o tempo que um corredor leva, em média, para concluí-la?

05 - Em uma classe de 36 alunos, 30 foram aprovados. Determine a razão entre o número de alunos:

a) Aprovados e o total de alunos;

b) Reprovados e o total de alunos;

c) Aprovados e o número de alunos reprovados;

06 – Para fazer uma salada de frutas foram utilizados 4 abacaxis, 20 bananas, 8 laranjas, 6 maçãs e 2 mamões. Determine a razão entre o número:

a) De abacaxis e o de laranjas;

b) De maçãs e o de mamões; c) De laranjas e o de bananas;

d) De abacaxis e o total de frutas;

e) De bananas e o total de frutas;

f) Total de frutas e o de mamões;

Aula 09 e 10 – A ideia de operador Vídeo para auxiliar nas atividades site https://www.youtube.com/watch?v=YX80jT9GKhg

Vamos relembrar o cálculo da fração de uma quantidade.

Para isso, vamos determinar 3

4 de 80:

primeiro, podemos calcular 𝟏

𝟒 de 80, dividindo 80 por 4 = 80 ÷ 4 = 20

multiplicamos a quarta parte de 80 por 3 = 3 x 20 = 60 Assim, temos que 𝟑

𝟒 de 80

é 60.

Também podemos representar essa operação como 3

4 ÷ 80 = 60 (lemos: “três quartos de

oitenta é igual a sessenta”). Agora, veja a ideia de fração como operador em outras situações.

Situação 01

Sabendo que um bolo de laranja custa R$ 60,00, se Lucinda quer comprar 2

3 do bolo, quanto

vai pagar?

Para determinar o valor que Lucinda pagará, temos de calcular 2

3 de R$ 60,00. Para isso,

podemos calcular 1

3de R$ 60,00 e tomar o dobro desse valor. No entanto, podemos representar a

fração como um operador, assim:

Portanto, Lucinda pagará R$ 40,00 por 2

3 do bolo.

Situação 02 O jornal da escola em que João estuda publicou uma pesquisa sobre as frutas preferidas dos

alunos. Se a escola de João tem 500 alunos, quantos são os que preferem maçã? Nessa situação, a fração como operador aparece como uma porcentagem da quantidade de alunos. Precisamos calcular quanto é 40% de 500, assim:

Portanto, constatamos que 200 alunos preferem maçã a outras frutas. Nas duas situações

apresentadas, as frações foram utilizadas como um fator multiplicativo. No caso do preço a ser pago pelo bolo, o uso das frações permitiu obter o valor final do

pedaço que Lucinda compraria. No caso da fruta predileta dos alunos, o uso das frações permitiu

calcular quantos alunos preferem maçã a outras frutas. Em ambos os casos, partimos de uma situação inicial e observamos a resposta, depois da operação, como uma situação final.

Exercícios

01 - Pedro tem 144 figurinhas para colar em um álbum de futebol. Se 1

3 delas são repetidas, quantas

são inéditas?

Resolução

02 - Um pacote de arroz tem 5 kg. Para um churrasco serão preparados 3

5 desse pacote. Quantos

quilogramas de arroz serão utilizados?

Resolução

03 - Em uma receita de bolo, são necessários 4 ovos. No entanto, na geladeira de José há apenas 3. Por quanto ele deve multiplicar os outros ingredientes da receita para que consiga fazer um bolo menor?

Resolução

04 - Pedro tem 144 figurinhas para colar em um álbum de futebol. Se um terço delas é repetidas, quantas são inéditas?

Resolução

05 - Um pacote de arroz tem 5 kg. Para um churrasco serão preparados três quintos desse pacote. Quantos quilogramas de arroz serão utilizados?

Resolução

Aula 11, 12, 13 e 14 - Trabalhando os conhecimentos adquiridos – Retomando 01 – Responda no caderno: quais são as ideias associadas às frações vistas no capítulo? ___________________________________________________________________________ 02 - Copie as frases a seguir e complete-as com as palavras do quadro.

Quociente / inteiro (ou todo) / razão dividi-lo (dividir) / equivalentes (ou iguais) / operador

a) Conhecer o _____________________ é importante para saber como ________________ em partes _______________ entre si, permitindo a contagem dessas partes.

b) Quando afirmamos que 4 em 10 alunos de uma escola são meninos, a representação 4

10

transmite a ideia de _______________________________________.

c) Na afirmação “1

4 do tanque de gasolina de um carro é equivalente a 15 litros de combustível”, a

fração 1

4 representa um ________________________________________.

d) Ao distribuir 18 doces entre 3 crianças, a representação 18

3 traz a ideia de _____________.

03 - Luísa fez um esboço da bandeira do Brasil no caderno.

Ao observar o desenho, afirmou que 1

3 é amarela. Luísa

pode estar certa? Explique no caderno. _________________________________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

04 - Um estacionamento tem capacidade de acomodar 200 automóveis em 8 fileiras. Que fração representa a quantidade de automóveis por fileiras? Quantos automóveis existirão por fileira?

Resolução

05 - Se três tortas redondas forem divididas em 5 partes iguais cada uma, quantas pessoas poderão receber 1 pedaço de torta?

Resolução

06 - O pai de Cristina estava preparando um bolo para o café da tarde, mas ficou sabendo que Cristina levaria alguns amigos para sua casa. A receita pede que se utilizem 3 xícaras de farinha trigo, mas o pai de Cristina colocou 5 xícaras. Por qual número os outros ingredientes precisam ser multiplicados para que a receita dê certo?

Resolução

07 - Escreva no caderno a razão entre as maçãs que não tem folha no caule para aquelas que tem folha.

Resolução

08 - Uma mala custa R$ 280,00. Paulo pediu um desconto e o dono da loja ofereceu 15% de desconto no valor da mala. a) Escreva no caderno a expressão que permite calcular o valor do desconto.

Resolução

b) De quanto será o desconto?

Resolução

09 - Fernanda levou os filhos para visitar a avó em outra cidade. Eles foram de carro e percorreram dois trechos com velocidades diferentes. No primeiro trecho, a velocidade máxima permitida era 80 km/h e a distância percorrida foi 80 km. No segundo trecho, a velocidade máxima permitida era 120 km/h e a distância percorrida foi 60 km. Se Fernanda manteve sempre a velocidade máxima permitida para cada trecho, qual foi o tempo necessário para percorrê-los?

a) ( ) 7

10 h

b) ( ) 14

10 h

c) ( ) 3

2 h

d) ( ) 4

2 h

Resolução

10 - Entraram 12 pessoas no elevador, das quais 8 são mulheres e 4 são homens. Que fração a quantidade de homens representa do total de pessoas? E do total de mulheres? Resolução

11 - (Obmep) A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento da partida e no momento da chegada de uma viagem feita por João

a) ( ) 10 b) ( ) 15 c) ( ) 18 d) ( ) 25

12 - Em uma turma de 70 ano, 24 alunos são destros e 1

7 dos alunos são canhotos. Quantos alunos

tem a turma?

Resolução

13 – Um trem viaja com velocidade constante de 40 km/h. Em quanto tempo ele percorrerá 160 km?

Resolução

14 - Um carro, em 5 horas, percorre a distância de 450 km. Qual é a velocidade média desse veículo?

Resolução

Aula 15 – Lendo e aprendendo Um problema famoso: a divisão dos camelos Um dos mais famosos desafios do livro O homem que calculava, de Malba Tahan (pseudô

nimo de Júlio César de Mello e Souza), é o problema dos camelos. Nesse problema, uma herança correspondente a 35 camelos foi deixada para três filhos.

A divisão da herança deveria ser feita desta maneira:

Nenhuma das divisões de 35 por 2, 3 e 9 era exata, e o problema tornou-se difícil de resolver. Até que um sábio propôs doar seu camelo aos irmãos para facilitar a divisão. Em troca, ele pediu que lhe dessem os camelos que sobrassem. Os filhos concordaram e, assim, passou a haver 36 camelos para dividir.

Feita a partilha, os filhos receberam 34 camelos (18 + 12 + 4) e o sábio teve de volta seu camelo e ainda recebeu mais um que sobrou. Dessa forma, o problema foi solucionado. Com o total de 36 camelos, constatamos que os filhos e o sábio ficaram satisfeitos, já que os primeiros conseguiram dividir exatamente a herança e o segundo ficou com dois camelos. Mas por que, mesmo com a divisão exata da herança, sobraram dois camelos para o sábio?