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AulaCALCULO I - UM CURSO PARA QUEMQUER VIVER NO Limite!

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Ob j e t i v oAo final desta aula, voce devera ser capaz de:

1 calcular limites finitos de funcoes racionais.

Calculo I | Calculo I - um Curso para Quem quer Viver no Limite!

“Apesar da fonte ser obscura,ainda assim o regato corre.”

Poincare

META DA AULA

Apresentacao da disciplina Calculo I.

INTRODUCAO

A partir desta aula, voce entrara num universo novo, sur-preendente. As ideias, os conceitos e as tecnicas que voce apren-dera neste semestre lhe permitirao resolver problemas que eramcompletamente inacessıveis mesmo aos matematicos mais geni-ais da Antiguidade.

O que vai diferenciar o Calculo I de todas as outras disci-plinas que voce ja cursou ate agora e a maneira como lidaremoscom as ideias que envolvem o conceito de infinito.

Neste sentido, o Calculo I e um portal que separa aMatemati-ca Classica – gerada na Grecia antiga e aprofundada ao longodos seculos, passando pela IdadeMedia, recebendo contribuicoesde diversas culturas, como a hindu e a arabe – da MatematicaContemporanea, que lida com problemas elaborados, tais comoo calculo de orbitas de satelites, ou que serve para expressar asmais diversas teorias da Fısica Moderna, por exemplo.

O vulto da Antiguidade que mais se aproximou dos misteriosque seriam revelados com o advento do Calculo foi Arquimedes,certamente um dosmaiores genios matematicos de todos os tem-pos.

A principal ferramenta matematica que sera usada para li-dar com o infinito, seja infinitamente grande ou infinitamentepequeno, e chamada limite.

Nossa tarefa sera estudar o limite aplicado as funcoes reais,de uma variavel real. O limite sera peca fundamental para es-tabelecer as nocoes de continuidade e diferenciabilidade dessasfuncoes, assim como na definicao de integral, que sera apresen-tada posteriormente, no Calculo II.

Introduzir a nocao de limite nao e tarefa facil. Basta pen-sar que, apesar de sua formulacao ter sido feita por Newton e

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Leibniz, independentemente, por volta de 1670, o conceito talcomo e conhecido hoje so foi plenamente estabelecido com ostrabalhos de Augustin-Louis Cauchy e de Karl Weierstrass, nomeio do seculo XIX.

No entanto, e bom lembrar que a falta de rigor, estabelecidoposteriormente, nao impediu que varios membros da famıliaBernoulli, que Euler, Lagrange e tantos outros, explorassem edescobrissem aplicacoes dessas ideias tao importantes.

Neste primeiro curso sobre esse assunto, optamos por umaabordagem mais pratica do que teorica. Inclusive, porque es-tamos falando de um curso de Calculo! No entanto, isto naoimpedira que tratemos esses conteudos com clareza e precisao.

Muito bem! Maos a obra!

FUNCOES

As funcoes reais, de uma variavel real, serao o nosso prin-cipal objeto de estudo. Elas ja tiveram uma grande participacaono conteudo de Pre-Calculo, mas agora ocuparao toda a ementa.

Na verdade, lidaremos com as funcoes f : A⊂ R−→R, nasquais o subconjunto A, da reta real, e uma uniao de intervalos.

Vamos reafirmar uma convencao que ja deve prevalecer desdeo Pre-Calculo. Voce ja sabe, uma funcao consiste de uma tripla– o kit funcao: o domınio, o contradomınio e a lei de definicao.Aqui esta um exemplo.

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��Exemplo 1.1

Considere f : R − {3} −→ R a funcao definida por

f (x) =1x−3 +2.

f : R−{3} −→ R

x �−→ 1x−3 +2

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Solucao: Neste caso, o domınio e R−{3}, o contradomınio eR e a lei de definicao e f (x) =

1x−3 +2.

Observe que o conjunto imagem de f , Im( f ), e uma conse-quencia da propria definicao e, portanto, nao precisa ser declarado.

Exercıcio 1.1

Determine o conjunto imagem da funcao f , dada no exemploanterior.

A convencao estabelecida e: quando nos referimos a umafuncao e mencionamos apenas a sua lei de definicao, estamosconsiderando que seu domınio e o maior subconjunto de R noqual esta lei de definicao faz sentido. Neste caso, o contradomınioe R.

Exercıcio 1.2

Determine o domınio da funcao f (x) =√1− xx+2

.

GRAFICOS DE FUNCOES

Antes de iniciarmos o estudo dos limites de funcoes, e bomlembrar mais um aspecto da teoria de funcoes – os graficos.

Voce sabe que, dada uma funcao f , digamos,

f : A −→ Bx �−→ f (x) ,

podemos considerar

Gf = {(x,y) ∈ A×B ; y= f (x)},

o grafico de f , um subconjunto do produto cartesiano A×B.O grafico da funcao f e uma consequencia de sua definicao,

mas, dado Gf , podemos reconstruir a funcao f . Dessa forma,podemos nos referir a funcao f ou ao seu grafico como se fos-sem, essencialmente, o mesmo objeto.

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A grande vantagem do grafico, especialmente no caso dasfuncoes reais de uma variavel real, e que ele pode ser esbocadocomo um subconjunto do plano cartesiano. Isso permite umaenorme interface entre a algebra (ou talvez, mais apropriada-mente, a analise matematica) e a geometria. Dessa maneira,podemos simplesmente desenhar funcoes, ampliando enorme-mente nosso estoque de exemplos.

Na verdade, uma das principais metas do nosso curso con-siste em desenvolver ferramentas matematicas que permitirao, apartir da lei de definicao de f , esbocar, com bastante precisao, oseu grafico.

So para lembrar uma tecnica elementar de esbocar graficos,veja o exemplo a seguir.

��

��Exemplo 1.2

Sabendo que o grafico da funcao f (x) =1xe a hiperbole

esbocada na figura a seguir, vamos esbocar o grafico da funcao

g(x) =2x+3x+1

.

Figura 1.1: Grafico da funcao f (x) = 1x.

Solucao: Voce deve ter notado que o domınio de f e o conjuntoR−{0} e que o domınio de g e R−{−1}.A ideia aqui sera escrever g em termos de f , a menos de

operacoes algebricas simples, que possam ser interpretadas ge-ometricamente.

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Um truque algebrico muito util consiste em reescrever certasexpressoes algebricas de forma que elas possam ser lidas maisfacilmente. Veja como isso funciona neste caso.

2x+3x+1

=2x+2 + 1x+1

=2(x+1)x+1

+1x+1

= 2 +1x+1

.

Ou seja, podemos reescrever a lei de definicao de g como

g(x) =1x+1

+2.

Assim fica mais facil perceber o parentesco que ha entre f eg.

g(x) = f (x+1) + 2

Essa formula nos diz que, para obter o grafico de g a partir dografico de f , precisamos fazer duas translacoes: uma na direcaodo eixo Ox e outra na direcao do eixo Oy.

Aqui esta um estagio intermediario. O grafico da funcao

h(x) = f (x+1) =1x+1

,

cujo domınio eR−{−1}, pode ser obtido transladando o graficode f de uma unidade para a esquerda. Veja que o fenomeno queocorre em x= 0, no grafico de f , ocorre em x =−1, no graficode h.

Para obter o grafico de g, observe que

g(x) =1x+1

+2 = h(x)+2.

Isto quer dizer que voce pode obter o grafico de g a par-tir do grafico de h, transladando-o duas unidades para cima. Ofenomeno que ocorre em y = 0 no grafico de h ocorre tambemem y= 2 no grafico de g.

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Figura 1.2: Grafico de h obtido do grafico de f por uma translacao.

Figura 1.3: Grafico de g obtido do grafico de h por uma translacao.

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Exercıcio 1.3

Esboce o grafico da funcao g(x) =1x−2 +1.

FUNCOES A BEIRA DE UM ATAQUE DE LIMITES

Nesta secao, queremos lhe dar uma clara ideia do que sig-nifica o sımbolo

limx→a f (x) = L

sem escrever uma definicao oficial.

Caso isso seja contra os seus princıpios, ou ainda, se a suacuriosidade for do tamanho daquela que matou o gato, vocepodera encontrar a definicao (oficial) de limites de funcoes reais,de uma variavel real, na aula Limite e continuidade, doModulo2, Volume 2, de Calculo II.

No entanto, acreditamos que, por agora, esta abordagem in-formal sera mais conveniente.

Comecamos com aquela atitude de reconhecimento tıpicadas criancas que desmontam o brinquedo “para saber como epor dentro”, antes de qualquer coisa.

Muito bem, temos a funcao f (ou melhor, a lei de definicaode f ), uma constante a, que aparece em x→ a, logo abaixo daabreviacao de limite, e outra constante, o L.

A frase matematica, limx→a f (x) = L, deve ser lida da seguinte

maneira: o limite da funcao f , quando x tende para a, e L. Ouainda, o limite de f (x) quando x tende a a e L.

Otimo! Acredito que voce deve estar cheio de perguntas arespeito disso tudo. Veja se acerta algumas delas:

1. Qual e a relacao de a com o domınio de f ? Sera que apertence ao domınio de f ? Sera que nao?

2. Por que usamos letra minuscula para a constante a e letramaiuscula para a constante L?

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3. Para que serve o limite? Teria a resposta desta perguntaalgo a ver com a definicao nao-oficial que pretendemosdar para o limite?

Puxa! Vamos respirar um pouco!

Agora, podemos responder a primeira pergunta assim: oponto a nao precisa, necessariamente, pertencer ao domınio def , mas deve estar bem posicionado em relacao a ele.

E importante esclarecer este ponto. Em primeiro lugar, estare-mos lidando apenas com funcoes cujos domınios sao unioes deintervalos. Esses intervalos podem ser abertos, fechados, semi-fechados, infinitos etc. Veja bem, podemos considerar limitespara o caso de funcoes com domınios menos regulares do queestes que estamos considerando. Mas, por agora, isto basta.

Muito bem, queremos que haja um numero r > 0, tal que

(a− r, a) ∪ (a, a+ r) ⊂ Dom( f ).

Em termos menos tecnicos, queremos que a funcao estejadefinida em alguma vizinhanca em torno de a, exceto, possivel-mente, em a.

Esta frase nos coloca bem no espırito da coisa. O limitelida, o tempo todo, com proximidade, vizinhancas, tao proximoquanto quisermos etc. Veja, uma vizinhanca em torno de a e umintervalo aberto contendo a.

��

��Exemplo 1.3

Se o domınio de f e (−∞, 3) ∪ (3,+∞), podemos consi-derar

limx→3

f (x),

apesar de f nao estar definida em 3.

��—— ——( )33− r 3+ r

Figura 1.4: A regiao sombreada indica a vizinhanca de 3.

Observe que os casos nos quais f esta definida apenas em umdos lados do ponto, como em 2, caso Dom( f ) = (2, 5], ou 5, nomesmo caso, serao abordados futuramente quando estudarmos oconceito limites laterais. C EDER J 15


Portanto, focando na primeira pergunta, queremos que hajaum numero r > 0 (que pode ser tao pequeno quanto precisar-mos), tal que

(a− r, a) ∪ (a, a+ r) ⊂ Dom( f ).

Qual era mesmo a segunda pergunta? Ah, sim! Usamos letraminuscula para a e letra maiuscula para L por tradicao. Quasetodo mundo faz assim.

Decepcionado? Bem, na verdade, uma boa razao para isso eenfatizar que a se relaciona com o domınio de f enquanto L serelaciona com a imagem, contida no contradomınio de f .

a

L

Figura 1.5: Exemplo de uma tıpica situacao onde limx→a f (x) = L.

Agora, a ultima pergunta: para que serve o limite?

O limite e uma ferramenta que permite descrever o compor-tamento da funcao f nas vizinhancas de um dado ponto x = a.Esse momento exige de voce um certo esforco. Veja, voce jasabe que a funcao pode ser vista como um instrumento quetransforma a variavel independente x na variavel dependentey = f (x). Podemos, portanto, imaginar uma situacao dinamica:a cada valor atribuıdo a x, obtemos correspondente valor f (x).Muito bem, o limite descreve como f (x) se comporta quando avariavel x toma valores mais e mais proximos de a. E claro que,nas situacoes em que o comportamento da funcao e previsıvel,o limite nao acrescenta informacoes muito surpreendentes. Porexemplo, lim

x→2x2+1 = 5.

Isso significa que, se tomarmos valores proximos de 2, x2+1

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assumira valores proximos de 5. Realmente, se fizermosx= 2+h, teremos

f (2+h) = (2+h)2+1 = 4+2h+h2+1 = 5+2h+h2.

Para valores pequenos de h, os valores correspondentes def (2+ h) estarao proximos de 5. Neste caso, 2 e elemento dodomınio de f , uma funcao polinomial, e o limite coincide como valor da funcao no ponto f (2) = 5. Veja, esta e uma situacaode muita regularidade, como veremos mais adiante. De certaforma, o limite nao foi criado para essas situacoes. Vamos, por-tanto, considerar uma situacao mais interessante. Como diria oinvestigador, diga-me algo que eu ainda nao sei!

UM EXEMPLO DE IMPORTANCIA HISTORICA –VELOCIDADES MEDIAS E VELOCIDADE INSTAN-TANEA

Velocidade e um conceito tao divulgado na nossa cultura quenao pensamos muito nela. Mas, se considerarmos a questao davelocidade instantanea – o carro do piloto campeao cruzou alinha de chegada a 187,56 km/h –, mesmo que por um breveinstante, veremos que estamos lancando mao de um conceitosofisticado. A velocidade instantanea e a taxa de variacao daposicao em relacao ao tempo calculada no preciso momento emque, digamos, o carro cruzou a linha de chegada.

Pense um pouco: do que, realmente, dispomos para esta-belecer essa velocidade instantanea?

Pensou? Muito bem! Para comecar, dispomos das veloci-dades medias. Este sera nosso modelo nesta secao: a velocidadeinstantanea sera obtida como um limite das velocidades medias.Vamos a um exemplo.

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��Exemplo 1.4

Digamos que, apos uma serie de testes num laboratorio, chegou-se a conclusao de que a funcao

s(t) = t2+3t+10

descreve o deslocamento de um carrinho de experiencias. Isto

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e, s(t) e a posicao, dada em centımetros, em funcao do tempo t,dado em segundos (digamos). Assim, no tempo t = 0, o carrinhoestava a 10cm do ponto de referencia, na direcao positiva.

Queremos calcular a velocidade do carrinho no instantet = 1.

Solucao: Comecamos com o que dispomos: a velocidade mediado carro entre os instantes t e 1:

vm(t) =s(t)− s(1)t−1 .

Usamos o ındice m para indicar que essa e uma velocidademedia. Alem disso, como estamos interessados no especıficoinstante 1, consideramos vm como uma funcao apenas de t.

Veja, a funcao s(t) = t2+3t+10 esta bem definida, a priori,para quaisquer valores de t, apesar de o trilho onde a experienciafoi feita ser finito. No entanto, estamos interessados na novafuncao vm(t), que esta bem definida em todos os valores de tmenos, exatamente, no ponto 1, em questao. De certa forma,gostarıamos de dizer que a velocidade no instante 1 e vm(1),mas nao podemos fazer isso.

Para contornar esse impasse, vamos estudar o comportamentoda funcao vm(t) quando os valores de t estao sendo tomadosmais e mais proximos de 1, justamente no ponto em que ela naoesta definida e no qual estamos interessados.

limt→1

vm(t) = limt→1

s(t)− s(1)t−1 = lim

t→1t2+3t+10−14

t−1 =

limt→1

t2+3t−4t−1 .

Atencao! Esta na hora de aprender algo novo! E inutil tentar

calcular diretamente o valor da expressaot2+3t−4t−1 , para t = 1.

No entanto, podemos descobrir os valores de vm(t), para valoresproximos de 1, porem diferentes.

Faremos isso de duas maneiras (ligeiramente diferentes).

Primeiro, vamos fazer t = 1+h, com h �= 0. Assim,

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vm(1+h) =(1+h)2+3(1+h)−4

1+h−1 =1+2h+h2+3+3h−4

h=5h+h2

h.

Veja, para h �= 0, vm(1+h) = 5+h e, para valores de hmaise mais proximos de 0, temos vm(1+h) mais e mais proximo de5.

Assim, diremos que

limt→1

vm(t) = 5.

Parece bom, nao?

Vamos tentar a segunda abordagem. Voce observou que 1 euma raiz do polinomio t2+ 3t− 4. Portanto, este polinomio sefatora, sendo t − 1 um dos seus fatores. Na verdade,t2+3t−4 = (t−1)(t+4).Otimo! Observe as expressoes

(t+4)(t−1)t−1 e t+4.

Elas sao diferentes, pois a primeira nao esta definida emt = 1.

No entanto, se t �= 1, entao podemos usar qualquer uma delaspara calcular vm(t).

Assim,

limt→1

vm(t) = limt→1

(t+4)(t−1)t−1 = lim

t→1t+4,

e o ultimo limite e, claramente, 5.

Concluımos que a velocidade do carrinho no instante t = 1 e5 cm/s.

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ResumoVoce deve estar cansado e com varias coisas para pensar.Pare por aqui, pois voce ainda tem os exercıcios para fazer.Veja, esta aula foi o seu primeiro contato com um conceitoimportante e difıcil: o limite de uma funcao.Voce deve guardar que o limite serve para indicar o compor-tamento de uma funcao nas vizinhancas de um certo pontosem que seja necessario saber o valor da funcao neste ponto.Na verdade, a funcao nao precisa estar definida no ponto paraque consideremos o limite, basta que ela esteja definida emtorno dele. Na verdade, as principais situacoes de interesseocorrem quando nao sabemos o valor da funcao no ponto emquestao, como no Exemplo 1.4.Na proxima aula, vamos nos concentrar mais no aspectografico do limite e vamos aprofundar as ideias que foram a-presentadas aqui. Ate la!

Exercıcio 1.4

1. Calcule o domınio das seguintes funcoes:

a. f (x) =

√x2− x−61− x ;

b. g(x) = ln(1− x

x−3);

c. h(t) =√t−2+ 1√

5− t ;

d. k(y) = sen(2πy

).

2. Use a tecnica ilustrada no Exemplo 1.2 para esbocar osgraficos das seguintes funcoes:

a. f (x) =3x−2x−1 ;

b. g(x) = |x+2 |−2;c. h(x) = 2+

√x−4;

d. k(x) =−1+ ln(x+3).

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3. Da mesma forma que obtivemos a velocidade instantaneaa partir das velocidadesmedias, podemos obter a aceleracaoinstantanea.Suponha que v(t) = t2− 4t+ 2 descreva a velocidade deuma partıcula que se desloca em uma trajetoria retilınea,dada em cm/s. Considerando

am(t) =v(t)− v(1)t−1 ,

a aceleracao media desse movimento, entre os instantest e 1, calcule a aceleracao desse movimento no instantet = 1.Voce poderia interpretar o resultado obtido?Qual e a aceleracao desse movimento no instante 2s?

4. O custo da producao de sabonetes por dia de trabalho emuma certa fabrica e dado pela equacao

c(x) = 300+0.0005x2−0.02x,

onde x e o numero de sabonetes produzidos no dia e c(x)e dado em reais. Assim, para produzir 1000 sabonetesem um dia, gasta-se c(1000) = 780, ou seja, setecentos eoitenta reais.Nesta escala, podemos considerar um sabonete a mais, pordia, um infinitesimo.Calcule, entao, a taxa de variacao do custo por dia, se aproducao de 1000 sabonetes for passada para 1001 e com-pare o resultado com

limx→1000

c(x)− c(1000)x−1000 .

Acho que voce pode usar uma calculadora.

5. Calcule os seguintes limites:

a. limx→3

x2−9x−3

b. limx→1

x2+2x−3x2−3x+2

c. limx→2

x3−8x2−4

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Calculo I | Limites de Funcoes- Algumas Propriedades

d. limx→√2

x2−2x2+

√2x−4

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