ativos de risco

7/17/2019 Ativos de Risco

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From the SelectedWorks of Sergio Da Silva

January 2009

Ativos de Risco

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Ativos de Risco Hal R. VarianIntermediate Microeconomics, 8th edition

Captulo 13Modelo mdia-varincia

Como o mercado de seguro, o mercado de aes tambm serve para alocar o risco. O modelode utilidade esperada pode ser adaptado para o mercado de aes atravs do modelo mdia-varincia. Em vez de considerar as preferncias do consumidor dependendo de toda adistribuio de probabilidade da riqueza w em cada resultado, agora consideramos apenas suamdia e varincia.

A varivel aleatria w pode apresentar valores sw ( 1,...,s S= ) com probabilidades

s . A mdia dada por:

1

S

w s s

s

w =

= . (1)

A varincia :

2 2

1

( )S

w s s w

s

w =

= . (2)

O desvio padro :

2

w w = . (3)

A mdia da distribuio mede o valor em torno do qual a distribuio est centrada e avarincia mede como a distribuio se dispersa ao redor da mdia. O desvio-padro fornece,ento, uma medida de risco (Figura 1).

Se as preferncias puderem ser caracterizadas por mdias e varincias, ento a funoutilidade mdia-varincia representar as preferncias da mesma forma que o modelo deutilidade esperada. No caso,

2( , )w wu (4)

ou

( , )w wu . (5)

Para o consumidor avesso ao risco, w ser bom e2

w ser ruim.

Exemplo 1: Investimento em uma carteira de ativos (portflio). O problema para oconsumidor dividir sua riqueza entre: (1) um ativo sem risco (letras do Tesouro), que rende

a taxa de retorno fixa r independentemente do que ocorra e (2) um ativo de risco (fundo

mtuo de aes), que rende a taxa mdia de retorno aleatria mr :


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1

S

m s s

s

r m=

= (6)

O retorno ser sm caso ocorra o estado s com probabilidade s . Representamos por m o

desvio-padro do retorno. Alm disso, supomos que,

m fr r> , (7)

porque um consumidor avesso ao risco no escolher o ativo de risco se este apresentar umataxa de retorno mais baixa do que a do ativo sem risco.

Investindo a parcela x do total de sua riqueza w no ativo de risco (0 1x ) e 1 x no ativo sem risco, o retorno esperado xr da carteira do consumidor ser:

1

( (1 ) )S

x s f s

s

r xm x r =

= +

1 1

(1 )S S

x s s f s

s s

r x m x r = =

= +

Considerando (6) e o fato

1

1S

s

s

=

= (8)

ento


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(1 )x m fr xr x r = + . (9)

Assim, o retorno esperado da carteira a mdiaponderada dos retornos mr e fr .

J a varincia do retorno esperado da carteira :

22

1

(1 )S

x s s f x

s

xm x r r =

= + . (10)

Considerando (9):

22

1

(1 ) ( (1 ) )S

x s s f m f

s

xm x r xr x r =

= + +

( )221

S

x s s m

s

xm xr =

=

( )22

1

( )S

x s s m

s

x m r =

=

2 2 2

1

( )S

x s s m

s

m r =

=

2 2 2

1( )

S

x s s m

s

m r =

= . (11)

A definio (2) para os retornos dada por:

2 2

1

( )S

m s s m

s

m r =

= .

Substituindo esta expresso em (11):

2 2 2

x mx = (12)

2 2

x mx =

x mx = . (13)

Por (9), se xx r e, por (13), se xx . Portanto, aumentando a parcela x da

riqueza w investida no ativo de risco, o consumidor aumentar o retorno esperado da carteira,mas tambm aumentar o risco esperado.

No caso extremo em que 1x= , por (9)x mr r= e, por (13),

x m = . Quando oconsumidor investe toda sua riqueza w no ativo de risco, sua carteira ter retorno esperado erisco dados por ( , ) ( , )x x m mr r = . No outro extremo em que 0x= , por (9) x fr r= e, por (13),


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0x = . Quando o consumidor investe toda sua riqueza no ativo sem risco, sua carteira ter

retorno esperado e risco dados por ( , ) ( ,0)x x fr r = . Estes pontos extremos definem a reta

oramentria da Figura 2. Ao longo dela, o retorno pode ser aumentado de fr at mr , com o

custo do aumento do risco de 0 at m .Na Figura 2, a

inclinao0

m f m f

m m

r r r r

= =

. (14)

Para 0 1x< < , a carteira de ativos conter um pouco de cada ativo.

Como o consumidor avesso ao risco, um retorno maior prefervel, enquanto umrisco maior, no. Portanto, risco um mal e as curvas de indiferena possuem inclinaopositiva. O portflio sem os extremos 0x= e 1= garante a convexidade das curvas deindiferena.

A inclinao da curva de indiferena fornece a TMS, mostrando como risco pode sersubstitudo por retorno entre carteiras indiferentes entre si:

U

Ur

TMS

= . (15)

No equilbrio, a TMSse iguala inclinao da reta oramentria:

m f

m

r rTMS

= . (16)


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Se muitos consumidores puderem negociar seus riscos, a TMS de cada consumidor

acabar se igualando ao preo do risco do mercado p . (Note que a quantidade do risco dada

por m ). No equilbrio, ento,

m f

m

r rp TMS

= = . (17)

Exemplo 2. Considere outra carteira y de maior retorno esperado mdio e maior risco. No

caso em que, por exemplo, mr e m menos, a reta oramentria gira para a esquerda em

torno do valor fixo de fr . Uma curva de indiferena mais alta seria agora factvel e a escolha

do consumidor ser pela nova carteira y , em detrimento da carteira x .

Avaliao do risco

Para muitos ativos, o desvio-padro m incapaz de medir a quantidade de risco quando autilidade do consumidor depende da mdia e da varincia da riqueza de todosos ativos. Ovalor do ativo depender mais de como ele se relaciona com os outros do que da sua prpriavariao. Um ativo que se relaciona negativamente com os outros contribuir para reduzir orisco total.

Exemplo 3. O consumidor pensa em comprar dois ativosAeBe espera que

$10valer situao 1

$5

$5 situao 2valer

$10

A

B


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No caso, A e B so negativamente correlacionados. Supondo que cada resultado sejaigualmente provvel, o valor mdio de cada ativo ser igual a $2.50:

1 1( ) 10 ( 5) 5 2.5 $2.50

2 2E A = + = =

1 1( ) ( 5) 10 2.5 5 $2.50

2 2E B = + = + = .

Se o consumidor tiver que optar por apenas um ativo, e no se importar com o risco, ele serindiferente entre qualquer um dos dois desde que pague um preo de at $2.50. Se ele foravesso ao risco, vai querer pagar um preo abaixo de $2.50. Se puder diversificar, na situao

1 em que $10A = e $5B= , ele ganhar $5. Na situao 2 em que $5A = e $10B= , eleganhar $5. Portanto, se o consumidor puder ter os dois ativos, a quantia mxima que desejarpagar por ambos ser maior: $5. Portanto, pagando o mesmo retorno mdio do caso semdiversificao ($2.50), o consumidor ter menor risco. A diversificao reduz o risco.

O risco da ao i em relao ao risco do mercado de aes como um todo chamado

de beta da ao:

quantidade de risco da ao

quantidade de risco do mercado de aesi

i = . (18)

Em particular,i

dado pela covarincia do retorno da aoi

rcom o retorno do mercado r

dividida pela varincia do retorno do mercado r:

cov( , )

var( )i

i

r r

r = . (19)

Com 1i = a ao apresenta o mesmo grau de risco do mercado. Neste caso, se o mercado

subir em 10%, a ao i subir, em mdia, em 10%. Mas se a ao tiver um 1i < , quando o

mercado subir em 10%, ela subir em menos de 10%.

Custo do risco

Depois de se ajustar para se levar em conta o risco, todos os ativos fornecero a mesma taxade retorno (Captulo 11). Se a carteira do consumidor incluir todos os ativos de risco do

mercado,m

r passa a ser o retorno mdio esperado do mercado em

passa a ser o risco do

mercado. Como i a quantidade de risco do ativo i em relao quantidade de risco do

mercado, a quantidade total de risco do ativo i tem que ser multiplicada pelo risco do

mercado m . Ento,

quantidade total de risco do ativo i mi = . (20)


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Ajustar para levar em conta o risco significa multiplicar a quantidade total do risco doativo i pelo preo do risco (equao (17)) para encontrar o custo do risco:

custo do risco i mp = .

Considerando (17):

custo do risco m f

i m

m

r r

= .

custo do risco ( )i m f

r r= . (21)

J que, depois de se ajustar para se levar em conta o risco, todos os ativos possuiro,em equilbrio, a mesma taxa de retorno, para dois ativos i e j :

( ) ( )i i m f j j m f r r r r r r = . (22)

Supondo que o ativo j seja o ativo sem risco, j fr r= e (22) fica sendo

( ) ( )i i m f f f m f r r r r r r = . (23)

Mas, por definio,

0f = . (24)

(24) em (23):

( )i i m f f r r r r =

ou

( )i f i m f r r r r = + . (25)

Portanto, o retorno esperado de qualquer ativo se iguala taxa de retorno sem risco mais ocusto do risco. O custo do risco , ento, o retorno adicional que o consumidor exige paracorrer o risco contido no ativo de risco.

A equao (25) o principal resultado do modelo CAPM (Capital Asset PricingModel), e chamada de reta do mercado.

A equao (25) pode ser usada para plotarmos ire i em um grfico (Figura 4). Note

quef

r o intercepto vertical em f

r r a inclinao da reta do mercado.

Como, por definio,

1 0

0

i

p p

r p

= , (26)


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o valor esperado de irser dado pelo valor esperado de1 0

0

p p

p

.

No equilbrio, todos os ativos se encontraro sobre a reta do mercado. Porm, fora doequilbrio, por (25), se o retorno esperado ajustado para considerar o risco for maior do que oretorno sem risco, isto ,

( )i i m f f r r r r > ,

os consumidores desejaro comprar o ativo 1 00

0

p p

ipp r

at encontrar a reta do

mercado.

Exemplo 4: Value at Risk. Se um banco que possui uma carteira de aes desejar estimar aprobabilidade de 5% de a carteira perder valor em mais de um milho em determinado dia,dizemos que a carteira possui um valor no risco com 5% de chance de perder um milho emum dia.

O VaR costuma ser computado para um dia ou duas semanas usando probabilidadesde 1% ou 5%. Calcular o VaR til por impor uma metodologia de estimar o risco que deixaas instituies que o computam em estado de alerta.

O clculo do VaR depende da distribuio de probabilidade do valor da carteira, quedepende da correlao dos ativos da carteira. O valor dos ativos costuma subir ou cair emconjunto: so positivamente correlacionados. A distribuio dos preos dos ativos tambmcostuma ter caudas grossas, de modo que podem ocorrer movimentos extremos dos preos.Isso significa que, para computar o VaR, necessria uma srie longa de preos, o que no factvel para ativos novos e exticos.

Em retrospecto, no surpreende que, no final de 2008, muitas instituies financeirastenham descoberto que suas estimativas do VaR, baseadas em sries histricas em que os

preos eram estveis, estavam fundamentalmente incorretas: os preos dos ativos carammuito mais do que o estimado.


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Exemplo 5: Fundos mtuos. So organizaes que captam dinheiro de investidoresindividuais para comprar e vender aes, retornando os lucros para os investidores. Dados

histricos de ire i de fundos mtuos mostram que fundos com alto ir tambm apresentam

alto risco (Figura 5). Os retornos so elevados para compensar o alto risco.

Os fundos-mtuos podem ser comparados com um fundo-ndice, composto das aesconstituintes de algum ndice como, por exemplo, o ndice S&P500. Este ndice baseia-se no

desempenho mdio de 500 aes negociadas na bolsa de Nova Iorque e seu i , por

definio, igual a 1.

Na Figura 5, em cima da reta do mercado que liga ( ,0)fr do ativo sem risco a ( ,1)mr

do fundo-ndice, o consumidor pode escolher qualquer fundo-mtuo, escolhendo quanto de

risco quer correr ( i ) aceitando o correspondente retorno ( ir). Os fundos com pontos acima

da reta do mercado na Figura 5 mostram fundos que apresentam desempenho superior mdia do mercado, o que muito difcil de ocorrer. O tpico o desempenho do fundo-mtuoficar abaixo da reta.

Sergio Da Silva 2010sergiodasilva.com

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