atividades variadas 8º ano

5Produtos notveis ............................................................................................... 06 Quadrado da soma de dois termos Quadrado da diferena de dois termos Produto da soma pela diferena de dois termosFatorao de polinmios .................................................................................... 12 Fator comum em evidncia Fatorao por agrupamento Diferena de dois quadrados Trinmio quadrado perfeitoRetomando as equaes .................................................................................... 25ngulos externos ................................................................................................ 28Retas ..................................................................................................................... 33Tratamento da Informao ................................................................................. 37Fraes algbricas .............................................................................................. 41 Simplificao de fraes algbricas Mnimo mltiplo comum de polinmiosOperaes com fraes algbricas .................................................................. 45 Adio e subtrao de fraes algbricas Multiplicao e diviso de fraes algbricas Sistemas de Equaes........................................................................................ 53 Mtodo da Substituio Mtodo da AdioInequao ............................................................................................................. 60 Propriedades fundamentais da desigualdadeQuadrilteros ....................................................................................................... 67 Classificao e PropriedadesTringulos ............................................................................................................. 71 Altura Mediana Mediatriz Bissetriz Congruncia Slidos Geomtricos ........................................................................................... 82 Prisma Pirmide

8 anO

matematica_8_2S_10.indd 5 09/11/2010 11:08:04

6Ento:

Produtos Notveis

Alguns empresrios compraram um terreno e pretendem construir um Shopping Center. Para concluir o projeto foi necessrio fazer uma planta para o melhor aproveitamento do terreno.

Observe a figura:

O engenheiro responsvel solicitou aos empresrios que inclussem na planta a rea total do terreno.

Veja como ficou a planta:

Agora, vamos calcular a rea de cada setor do novo Shopping Center.

Todos os setores correspondem s reas representadas por figuras geomtricas planas (retngulos e quadrados), os quais j sabemos que para calcularmos suas reas basta multiplicarmos a base pela altura.

rea do estacionamentoa . b = ab

rea da academiab . b = b2

rea da praa de alimentao a . b = ab

rea das lojasa . a = a2

QUaDRaDO Da SOMa DE DOIS TERMOS


7(rea do estacionamento) + (rea da praa de alimentao) + (rea da academia) + (rea das lojas) = rea total

Como a planta total tambm representa uma figura plana, quadrado, podemos calcular a rea total da seguinte forma:

(a + b) = altura

(a + b) = base

rea total = base x alturarea total = (a + b) . (a + b) = (a + b)2

Para comprovarmos essa igualdade s aplicar a propriedade distributiva da multiplicao.

Portanto, temos:

(a + b )2 = a2 + 2ab + b2

a2 + ab + ab + b2

a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = (a + b) . (a + b)

Logo, rea total = ab + ab + b2 + a2 2ab + a2 + b2

2ab

Reescrevendo a rea total: a2 + 2ab + b2

Ah, j sei! Para saber a rea total, s somar a rea de todos os setores.

isso a! Veja como fica.


8O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

Cuidado!

(a + b)2 a2 + b2

Observe:

QUaDRaDO Da DIFEREna DE DOIS TERMOS

O processo de resoluo do quadrado da diferena de dois termos semelhante ao quadrado da soma, alterando-se somente o sinal de adio (a + b)2 pelo sinal de subtrao (a b)2.

(a b)2 = (a b) . (a b)

a2 ab ab + b2

a2 2ab + b2

Ou seja: (a b)2 = a2 2ab + b2

De modo geral, podemos enunciar o quadrado da soma de dois termos da seguinte forma:

a) (x + y) 2 x2 + 2xy + y2

c) (3a + 2b)2

(3a)2 + 2 (3a . 2b) + (2b)2

9a2 + 2 (6ab) + 4b2

9a2 + 12ab + 4b2b) (x + 2)2

x2 + 2(2x) + 22

x2 + 4x + 4

Veja:

1 termo

2 termo

quadrado

do 1 termomais duas vezes o produto dos termos

mais o quadrado

do 2 termo

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2


9PRODUTO Da SOMa PELa DIFEREna DE DOIS TERMOS

a2 ab + ab b2 a2 b2

Ou seja:

Portanto, podemos concluir que:

(a + b) . (a b) = a2 b2

O produto da soma pela diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

(x + y) . (x y) = x2 y2

(x + 1) . (x 1) = x2 12 = x2 1(2a + 4b) . (2a 4b) = 4a2 16b2

Exemplos:

Exemplos:

Produtos notveis so as multiplicaes de certas expresses algbricas que aparecem com frequncia nos clculos, tornando-se notveis.

Portanto, podemos concluir que:

(a + b) . (a b) Aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicao temos:

O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

a) (x y)2

x2 2xy + y2 b) (x 3)2

x2 2.(x) . (3) + 32

x 6x + 9

c) (2a 5b)2 (2a)2 2.(2a) . (5b) + (5b)2

4a2 20ab + 25b2

Cuidado!

(a b)2 a2 b2

Um outro exemplo de produto notvel a expresso algbrica (a + b) . (a b), denominada produto da soma pela diferena de dois termos. Ela pode ser resolvida aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicao. Vejamos:

Veja:

1 termo

2 termo

quadrado

do 1 termo

menos duas vezes o produto dos

termos

mais o quadrado

do 2 termo

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2


10

2. A figura abaixo representa uma piscina quadrada vista do alto, ao seu redor h uma faixa demarcada que ocupa uma rea de 132m2. Calcule a medida x dos lados da piscina. (As medidas so dadas em metros).

1. O professor de Matemtica pediu sua turma do 8 Ano-B que desenvolvessem a expresso(3x + y2) . (3x + y2). Pedro deu como resposta 3x2 + y4. A resposta desse aluno est correta? Se no estiver, escreva-a corretamente.

(A) (3x + 5) (3x 5) (C) (3x + 5) (3x + 5)

(B) (3x 5) (3x 5) (D) 3x (3x 25)

3. (Saresp - SP) A expresso 9x2 25 equivalente a:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

quadrado de trinmio quadrado perfeito uma soma

(a b)2 = a2 2ab + b2

quadrado de trinmio quadrado perfeitouma diferena

(a + b) . (a b) = a2 b2

soma vezes diferena de quadrados diferena

nomenclaturas


11

c) (3x - 6) = d) x - 2 =

a) (2a - 1) = b) (2qb - c) =

5. A professora de Artes resolveu fazer com seus alunos um porta-retrato para homenagear o Dia dos Pais. Para adiantar o trabalho ela j trouxe um molde pronto, s que a foto de Rodrigo maior que o molde. Ento, ele precisou recortar 1 cm de duas bordas da foto, conforme a figura.

(A) x + y + 52 (B) (x + y + 5)2 (C) (x + y)2 + 5 (D) x2 + y + 52

4. (Saresp - SP) A expresso algbrica que representa a situao: O quadrado da soma de dois nmeros mais 5 unidades :

Qual o trinmio quadrado perfeito que representa o tamanho da foto aps a retirada das bordas?

6. Calcule usando o quadrado da soma de dois termos:

7. Observe a figura e marque qual expresso representa sua rea total.

(A) x2 (B) y2 (C) x . y (D) (x + y)2

9. Calcule usando o quadrado da diferena de dois termos:

8. Calcule os produtos:

a) (2a + 1) . (2a 1) b) (2x + 3) . (2x 3)

a) (x2 + 1)2 c) (ab2 + cd)2

b) (6 + y)2 d) (a2 + 12

)2

X

1

1

X

X

X

Y

Y

2


12

10. Preencha a tabela, obtendo os valores correspondentes.

Fatorao de Polinmios

Observe os exemplos abaixo:

Um nmero pode ser representado de diversas formas.

Vamos verificar agora algumas formas de fatorao.

Em todas essas situaes estamos efetuando uma fatorao, ou seja, fatorar um nmero ou uma expresso algbrica significa escrever este nmero ou essa expresso como um produto (multiplicao) de outros nmeros ou de outras expresses.

Calcule a rea dos retngulos 1 e 2.

Observe o exemplo:

rea 1 = base x alturarea 1 = z . x

rea 2 = base x alturarea 2 = y . x

Eu sei! s somar as duas reas.

FaTOR COMUM EM EVIDnCIa.

E agora, qual a rea total?

a b a + b a - b (a + b) . (a b) a2 b2

3 1

-3 2

6 1

5 -3

-3 -4

2 0

0 5

1 . 24 2 . 12 3 . 8 4 . 6 23 . 3

24

2a . 4a2 8 . a3 8a2 . a 8a . a2

8a3

1 2

Z

Z

Z + Y

Y

Y

XX


13

yxx

zxx

+

Note que o polinmio zx + yx formado por dois termos: zx e yx , que apresentam em comum o fator x.

Quando os termos de um polinmio apresentam um fator em comum, podemos coloc-lo em evidncia, obtendo uma forma fatorada do polinmio.

Colocando o fator comum em evidncia.

Portanto, a forma fatorada neste caso o produto do fator comum pelo polinmio que se obtm dividindo cada termo do polinmio dado pelo fator comum.

zx + yx x . (z + y)

Fator comum em evidncia

x. (z + y)

x.

Ser que est certo o que fizemos?

H uma forma de saber se acertamos a fatorao, s aplicar a propriedade distributiva da multiplicao. Se voltarmos ao polinmio inicial, porque o fator comum foi colocado em evidncia de forma correta.

Veja:

x . (z + y) xz + xy ou zx + yx

Muito bem!Vejamos como fica.

Eu j vi isso, e chamamos esse processo de prova real.

Logo, podemos concluir que a fatorao est correta.

rea 1 + rea 2

zx + yx


14

Outros exemplos:

Qual o fator comum nesse caso?

O fator comum o a.

Observe agora que o fator comum o x e o y.

d) 12a + 20a4 + 4a3

Agora complicou! Temos trs termos e tambm valores numricos. Como vamos resolver?

c) 2xy + 5xyz

b) a2 + 3a

a) ay + by + cy

simples! Primeiro, devemos decompor os valores numricos em fatores primos e depois colocar em evidncia os que forem comuns.

y . ayy

+

byy

+ cyy

= y . (a + b + c)

2xyxy

+

5xyzxy

= xy . (2 + 5z)

a2

a +

3aa

= a . (a + 3)

Logo, xy .

Ento: a .


15

2a . 2. 3a2a

2. 5a43

2a2. a3

2

2a+ +

Vamos l!Decompondo os valores numricos em fatores primos.

Colocando em evidncia:

Reescrevendo os polinmios:

22 . 3a + 22 . 5a4 + 22 . a3

Os fatores em comum so: 22 e a.

Resumidamente temos:

ax + bx = x. (a + b)mc2 + cn = c. (mc + n)xyz + yz + z = z. (xy + y + 1)15y5 10y3 + 25y2 = 5y2 (3y3 2y + 5)

a) 16y a2y c) a3 8a2 + a

b) 3x2 + 30xy + 27x d) 49abc 14ac2 +35 a2bc

1. Identifique o fator comum em cada polinmio.

a) 6x + 6y + 6z c) 4x3 6x2 + 12x b) 4a + ab d) 80y5 + 64y3

2. Fatore colocando o fator comum em evidncia.

12

6

3

1

2

2

3

22 . 3

20

10

5

1

2

2

5

22 . 5

4

2

1

2

222

2a (3 + 5a3 + a2) 4a (3 + 5a3 + a2)


16

5. Escreva a rea dos retngulos colocando o fator comum em evidncia.

3. Utilizando a propriedade distributiva da multiplicao, verifique se as fatoraes foram feitas de forma correta. Em caso negativo, refaa-as corretamente.

a) 8x2y (3x 2y + 1) = 26x3y 8x2y2 + 8x2yb) 4ab (3b 5a + 2) = 12ab2 20a2b + 8abc) 7 (a + b + c) = 7a 7b 7cd) 6cd (c 1) = 6c2d + 6cd

4. Carlos Eduardo perguntou a Mnica, sua colega de sala, qual a idade de seu pai. Como Mnica adora enigmas, respondeu: A idade de meu pai expressa pelo polinmio:15ab + 10bc, sendo 3a + 2c = 15 e 5b = 3

Ajude Carlos Eduardo a resolver esse enigma. (Dica: Coloque os fatores comuns em evidncia).

Em algumas situaes o polinmio no apresenta um fator comum a todos os termos.

FaTORaO POR aGRUPaMEnTO

Esse polinmio no apresenta um fator comum aos quatro termos, porm, podemos fatorar os termos agrupando-os.

ax + ay + bx + by

x

a

2x

2x

5y

3x

2y 42

5xy9y

mn

mn m

a)

c)

b)

d)

2b 3c 43

43

Em alguns casos sim. Observe o exemplo a seguir.

Puxa! E quando isso ocorre, tambm podemos fatorar?


17

Agrupando dois a dois podemos encontrar um fator comum.

Observe:

ax + ay + bx + by

a (x + y) + b (x + y)

fatorcomum

Lembre-se: Fator comum aquele que aparece em dois ou mais termos.

J acabou?

Ento, vamos colocar (x + y) em evidncia.

fatorcomum

a (x + y) + b (x + y)

fatorcomum

fatorcomum

Logo, (x + y) . (a + b) a forma fatorada do polinmio: ax + ay + bx + by

Humm, fcil! s agrupar os termos que tm algum fator em comum.

Muito bom! No se esquea que podemos conferir o resultado aplicando a propriedade distributiva.

Aplicando a distributiva

(x + y) . (a + b)

xa + xb + ya + yb ou

ax + ay + bx + by

A ordem dos fatores no altera o produto.

No, ainda temos outro fator comum: (x + y)


18

b)

Outros exemplos:

a) ab + 2ac + a + 3b + 6c + 3 a (b + 2c + 1) + 3 (b + 2c + 1) (b + 2c + 1) . (a + 3)

b) y3 5y2 + y 5

y2 (y 5) + 1 (y 5) (y 5) . (y2 + 1)

1. Observe as figuras e indique trs formas distintas para representar o permetro de cada uma.

a) xm + xn + bm + bn b) 3x + ay + 3y + ax c) x2 + ax + ab + bx d) 4ax + 4by + 4c ax2 bxy cx

2. Fatore os polinmios por agrupamento.

3. (Saresp-SP) Ao calcular a rea de uma determinada casa, representada na figura abaixo, uma pessoa calculou a rea de cada cmodo encontrando a seguinte expresso: ab + ac + 10b + 10c

Uma outra pessoa calculou a rea desta mesma casa de outra

maneira, chegando tambm ao resultado anterior. Indique a

forma fatorada com que essa ltima pessoa pode ter

representado a rea dessa casa.

4. (Furb-SC) Um professor de Matemtica tem 4 filhos. Em uma de suas aulas, ele props a seus alunos que descobrissem o valor da expresso ac + ad + bc + bd, sendo que a, b, c e d so as idades dos filhos na ordem crescente. Como informao complementar, o professor disse que a soma das idades dos dois mais velhos 59 anos e a soma das idades dos dois mais novos 34 anos. Qual o valor numrico da expresso proposta pelo professor?

banheiro sala

cozinha quarto10

ab c

a) b)

y

x

z

z

w

w

yy

w

w


19

Est baseada no produto notvel da soma de dois nmeros pela diferena entre eles, ou seja: a2 b2 = ( a + b ) . ( a b )

Para fatorar uma expresso algbrica formada pela diferena de dois quadrados, procedemos do seguinte modo:

Extrai-se a raiz quadrada de cada termo;

Em seguida, forma-se o produto da soma pela diferena entre as razes determinadas.

DIFEREna DE DOIS QUaDRaDOS

Extrai-se a raiz quadrada de cada termo:

Exemplo: x2 4y2

Logo: x2 4y2 = (x + 2y) . (x 2y)

Forma-se o produto entre as razes determinadas da soma pela diferena entre elas.

Outros exemplos:

Neste caso, primeiramente, colocamos os termos comuns em evidncia.

Logo,

a)

b)

Logo, 16a2 b8 - 15a4b6 = a2b6 . (4b + a . 15 ) . (4b - a . 15 )


20

O trinmio x2 + 2xy + y2 chamado trinmio quadrado perfeito, porque igual ao quadrado do binmio (x + y), pois:

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

(x + y)2 a forma fatorada do trinmio x2 + 2xy + y2.

O trinmio x2 2xy + y2 tambm um quadrado perfeito, porque igual ao quadrado do binmio (x y), pois:

x2 2xy + y2 = (x y)2

Nem todos os trinmios so quadrados perfeitos. Para sabermos se um trinmio ou no um quadrado perfeito, devemos verificar se ele atende trs exigncias, so elas:

1) tem trs termos; 2) dois de seus termos so quadrados (x2 e y2); 3) o outro termo mais, ou menos, duas vezes o produto das bases (+ 2xy ou 2xy).

O sinal deste termo (+ ou ) mantido na forma fatorada: (x + y)2 ou (x y)2, respectivamente.

Colocando em prtica:

Vamos verificar se o trinmio 9m2 + 12mn + 4n2 quadrado perfeito.

Precisamos analisar cada item.

Primeiramente constatamos que o trinmio tem trs termos, onde dois deles so quadrados, neste caso, 9m2 e 4n2.

Agora, devemos determinar a raiz de cada termo quadrado.

Para finalizar, multiplicamos por 2 o produto das razes para verificar se o resultado igual ao termo restante: 2.(3m).(2n) = 12mn

Como o termo restante justamente 12mn, dizemos que o trinmio quadrado perfeito.

Portanto: 9m2 + 12mn + 4n2 = (3m + 2n)2

(x y)2 a forma fatorada do trinmio x 2xy + y.

TRInMIO QUaDRaDO PERFEITO


21

Analisar se os trinmios abaixo so ou no quadrados perfeitos.

Outros exemplos:

Como 40ab diferente de 42ab, logo o trinmio 25a2 + 42ab + 16b2 no quadrado perfeito.

2 . (5a) . (4b) = 40ab

Neste caso, o termo restante justamente 12y, logo: y2 + 12y + 36 = (y + 6)2.Portanto, o trinmio y2 + 12y + 36 um trinmio quadrado perfeito.

2 . (y) . (6) = 12y

1. Escreva as subtraes a seguir como um produto de polinmios.

a) p v b) 9 c c) z 4 d) 4a b

2. Fatorar os polinmios:

a)

b)

a) 49a2 81b2 b) x2 25 c) d2 116

d) (k + 5)2 25

Na sala de informtica acesse o SITE: www.barueri.sp.gov.br/educacaoDesenvolver as atividades reservadas para na disciplina

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22

3. (Saresp-SP) Fatorando 4x + 16x + 16, obtm-se:

(A) (x + 4) (B) (2x + 4) (C) (x + 4) (x 4) (D) 4(x + 2)

4. Verifique se cada trinmio quadrado perfeito, se for fatore-o.

a) a + 8a + 16 b) 1 + 9b 6bc) k + 10k + 25 d) 16m + 8mn + n

5. Escreva o trinmio quadrado perfeito que representa a rea dos quadrados abaixo.

a) x4 + + 49 c) a2 + +16 e) b2 + 4b +

b) 6y + 9 d) x2 + 1 f) n4 12m2n2 +

6. Preencha as lacunas de forma que cada trinmio abaixo seja um quadrado perfeito.

Um ano solar tem 365 dias mais 5 horas, 48 minutos e 46 segundos. Por isso, de 4 em 4 anos temos, trs anos com 365 dias e 6 horas e um ano bissexto, com 366 dias. Entretanto, por no serem exatamente 365 dias e 6 horas, a intercalao de anos bissextos no to simples. Em meados do sculo XVI, o papa Gregrio XIII determinou que nenhum ano que terminasse em 00 fosse bissexto, exceto os divisveis por 400. Assim, em nosso calendrio (chamado calendrio gregoriano), os anos bissextos so os divisveis por 4, excluindo os terminados em 00 que no so divisveis por 400.

ano bissexto

Fonte: Imenes & Lellis. Matemtica. So Paulo: Scipione, 1998.


23

1. Durante a aula de matemtica o professor organizou a sala em trs grupos, Romualdo, Renato e Roberto, foram os lderes de seus grupos. Cada um sorteava um produto notvel e os outros grupos respondiam. Observe a tabela:

Nome: ________________________________________________________ N _____ 8 Ano____

Questessorteadas

Respostas

Romualdo Renato Roberto

(a + 10) --------- a + 20a + 100 a + 2a + 100

(3x 1) 9x + 6x + 1 --------- 9x 6x + 1

(x + 1) (x 1) x 1 x + x 1 ---------

Podemos afirmar que:

(A) Romualdo e Ronaldo acertaram duas questes cada.(B) Romualdo, Renato e Roberto acertaram uma questo cada.(C) Renato e Roberto acertaram duas questes cada.(D) Roberto, Renato e Romualdo erraram todas as questes.

2. Sabendo que xy = 15, quanto vale (x y) (x + y) ?

(A) 16(B) 48(C) 48(D) 60

3. Ao fatorar o trinmio 12ax + 6ax 8ax, colocando em evidncia o fator comum, obtemos:

(A) 6ax (2a + ax 8a)(B) 4ax (3a 6ax + 2ax)(C) 3ax (4a 2ax + 8ax3)(D) 2ax (6a + 3ax 4x)


24

4. Simplificar a expresso (x + y) x y, significa reescrev-la do seguinte modo:

(A) (x + y)(B) (x y)(C) 2xy(D) x y

5. Ao agrupar e fatorar a expresso abx + aby + axy + bxy, obtemos:

(A) (bx ay) (ax by)(B) (ax + by) (ay bx)(C) (bx + ay) (ax + by)(D) (bx ax) (ax + by)

6. Qual das alternativas abaixo, ao ser fatorada, tem resultado a b 4?

(A) (ab + 2) (ab 2)(B) (ab + 2) (ab + 2)(C) (a + 2) (b 2)(D) (ab + 2 (b + 2)

7. Coloque V para verdadeiro e F para falso para cada trinmio apresentado a seguir.

( ) 9d + 12d + 4n = (3d 2n)( ) x + 2xy + y = (x + y)( ) n 8n + 16 = (n 4)( ) m + 2mn + n = (m n)( ) a + 12a + 36 = (a + 6)( ) 1 2k + k = (1 k)( ) 9m + 12m + 4n = (3m + 2n)( ) 25c 45c + 81a = (5c 9a)( ) 1 + 2p + p = (1 p)

8. A multiplicao de (x 2) (x 3) :

(A) x 5x + 5(B) x 5x + 6(C) x + 7x + 7(D) x 10 + 5


25

Lembra-se como resolvemos uma equao de 1 grau?

J estou me lembrando! Tudo o que fizermos de um lado do sinal de igual, temos que fazer do outro tambm para mantermos a igualdade.

isso a! Vamos l.

Retomando as Equaes

Eu me lembro de ter visto equaes na 6 srie!

Isso mesmo! Agora retomaremos o estudo de equaes para ampliar nossos conhecimentos.

Vamos representar agora essa descrio em linguagem matemtica.

Vamos l!

Giovanna tem diariamente 5 aulas de mesma durao e um intervalo de 20 minutos, em um perodo total de 270 minutos na escola. Qual a durao de cada aula?

Essa situao pode ser resolvida utilizando uma equao de 1 grau.

Veja como:A incgnita da situao a durao de cada aula.Logo, a durao de cada aula igual a x (valor desconhecido).

5x + 20 = 270

Como temos 5 aulas com a mesma durao e mais 20 minutos de intervalo, num total de 270 minutos, representaremos matematicamente, da seguinte forma:

Como temos uma igualdade e o objetivo encontrar o valor de x, basta isolarmos a incgnita em um dos lados da igualdade.

5x + 20 = 270

5x + 20 20 = 270 20

x = 50 Logo, o tempo de cada aula equivale a 50 minutos.

5x5

2505

=


26

Quando um nmero no tem denominador, representamos com o nmero 1.

Sabendo que ela repartiu igualmente entre seus 36 alunos, devemos ento dividir o total comprado, por 36.

Outra situao:Dona Ermelinda, professora de Cincias de uma EMEF, gosta de fazer surpresas para seus

alunos. Esta semana ela comprou 4 pacotes iguais de pirulitos e mais 8 pirulitos soltos para distribu-los igualmente entre seus 36 alunos. Cada um deles recebeu 2 pirulitos. Quantos pirulitos havia em cada um dos pacotes?

Resolvendo:

A incgnita x, o nmero de pirulitos que havia em cada pacote.Como ela comprou 4 pacotes e mais 8 pirulitos soltos, temos:

4x + 8

E finalmente, com a informao de que cada aluno recebeu dois pirulitos, temos a equao:

= 2 (Agora s isolar o x)

Multiplicando os extremos das fraes.

Logo, em cada pacote haviam 16 pirulitos.


27

Observe:

Quando temos incgnita no denominador, o processo de resoluo o mesmo.

Ento essa retomada de equao s para aquecer?

isso a! J est aquecido? Ento vamos para algumas atividades.

Este tipo de equao chamada de equao fracionria e ser abordada posteriormente.

2. Resolva as seguintes equaes:

1. Uma loja de materiais de construo vendeu para um fregus a quarta parte de um rolo de arame. Em seguida, vendeu para outra pessoa mais 6 metros do mesmo rolo, completando assim a venda de exatamente metade do rolo de arame.

a) Represente a situao com uma equao.b) Resolva a equao para saber quantos metros de arame tinha esse rolo.

a)

c)

3. H 8 anos Tbata tinha dois teros da idade que tem hoje. Qual a idade de Tbata?

b)

d)


28

A reciclagem de uma latinha de alumnio pode economizar energia eltrica suficiente para manter um aparelho de TV ligado durante 3 horas. Se reciclarmos uma tonelada de latinhas de alumnio, economizamos energia eltrica suficiente para manter um aparelho de TV ligado 150000 horas.

a) Quantos dias correspondem a 150000 horas? Voc j viveu tantos dias assim?

b) Quantas horas por dia o aparelho de TV de sua casa fica ligado?c) Quantas latas de alumnio reciclado isso representa?

Lembre-se de que, para cada latinha de alumnio reciclada, economiza-se energia eltrica suficiente para manter um aparelho de TV ligado durante 3 horas.

... no fim do sculo XI, os alemes chamaram a incgnita de cosa e no sculo XVI de coss?

... criou-se na Alemanha uma escola de algebristas, conhecida por Cossistas?

... o uso atual de representar as quantidades conhecidas pelas primeiras letras do alfabeto, a, b, c, e as incgnitas pelas ltimas, x, y, z, devido a Descartes?

Voc sabia que ...

Fonte: Cadernos do MEC. Brasil.1994.

mesmo! Eu j ouvi algumas frases que nos do bem a ideia de ngulo.

ngulos Externos

Voc sabia que no utilizamos o termo ngulos somente na sala de aula?


29

Exemplos:

na diverso Juliano chutou a bola no ngulo!

Nossa! Como o telhado desta casa inclinado! Tem um ngulo perfeito.

Puxa, que curva fechada!

mesmo! Essas so situaes reais. E eu nunca observei esses detalhes.

Reta do Porto Morretes

Igreja SoSebastio

Curitiba

BR-277

Paranagu

Tudo bem! No se preocupe, o legal perceber a importncia da Matemtica e como ela utilizada em nosso dia-a-dia, mesmo quando no percebemos.


30

Observe o mapa abaixo, veja a quantidade de ngulos que ele nos indica.

Essa figura nos d a ideia de um tringulo.

Dado a = 50, como determinar o ngulo b?Para encontrarmos o valor de b, devemos saber que em cada vrtice, o ngulo interno (que

est dentro da figura) e o externo so adjacentes suplementares.

Agora ficou fcil! Para saber o valor de b s fazer a + b = 180. Certo?

Sim! Est correto. Vamos calcular?

a + b = 180 Como j sabemos que a = 50, devemos substituir o valor de a na equao.

50 + b = 18050 50 + b = 180 50 b = 130

Temos aqui uma equao do 1 grau. s isolar a incgnita.

Logo, b = 130.

Voc j sabe o que so ngulos internos. Agora conhea os ngulos externos.

a

b

Lembre-se que dois ngulos so suplementares se sua soma for igual a 180.


31

c + 95 = 180

c + 95 - 95 = 180 - 95

c = 85

importante sabermos que a soma das medidas dos ngulos externos de qualquer polgono independente do nmero de seus lados, sempre igual a 360.

Outros exemplos:

Calculando os ngulos externos a, b, c e d.

Sabendo que a soma dos ngulos externos equivale a 360, podemos concluir que:

a + b + c + d = 360

Ser que deu certo?

Vamos ver.

8352

95b

a

d

c

130

+ 83 = 180

+ 83 - 83 = 180 - 83

= 97

b + 52 = 180

b + 52 - 52 = 180 - 52

b = 128

d+ 130 = 180

d+ 130 - 130 = 180 - 130

d = 50

a = 97 b = 128 c = 85 d = 50

a + b + c + d = ?

97 + 128 + 85 + 50 = 360


32

1. Renato e sua famlia foram acampar e, para chegar ao camping foi necessrio atravessar uma ponte conforme a figura.

Determine a inclinao da rampa que d acesso ponte.

2. Observe as figuras geomtricas e determine o valor das incgnitas.

3. Calcule o valor de x na ilustrao.

xa) b)

c) d)

a

yx

30z

10011170

3x + 8

2x + 10

3x - 10

y

160x


33

RetasJ falamos sobre retas nas sries anteriores.Agora, retomaremos alguns conceitos sobre elas.

Voc se lembra o que so retas paralelas?

Eu me lembro.So retas que pertencem ao mesmo

plano e que no possuem ponto em comum, isto , nunca se cruzam.

Observe o exemplo a seguir. as ruas e avenidas nos do ideia de retas.

Temos no mapa apresentado, alguns exemplos de retas paralelas.

As retas que representam as ruas 1 e 2 so paralelas:

Veja:

avenida 1 avenida 2 avenida 3

// smbolo de paralelismo.Rua 1

Rua 2 Rua 1 // Rua 2

As retas que representam as avenidas 1, 2 e 3, tambm so paralelas.

av. 1 // av. 2 // av. 3

Avenida 1

Rua 1

Rua 2

Avenida 2 Avenida 3


34

E as retas que se cruzam, como so chamadas?

As retas que se cruzam so chamadas de retas concorrentes.

Retas concorrentes, esse nome no me estranho.

E no mesmo, pois j estudamos as retas concorrentes. So aquelas que se cruzam em um nico ponto. Observe o exemplo do mapa.

As retas que representam a rua 1 e a avenida 1 so concorrentes.

mesmo! Elas se cruzam em um nico ponto, neste caso, chamado de ponto P.

Veja:

Em alguns casos, as retas se cruzam formando um ngulo reto (90), quando isso ocorre, dizemos que essas retas so perpendiculares e indicamos por:

Exemplo

Como o ngulo formado pelas retas a e b de 90 temos: a b.

Ainda no sabemos o que so retas transversais, mas a definio simples.

No podemos nos esquecer que tambm temos as retas transversais.

P

Avenida 1

Rua 1

a

b


35

Reta transversal aquela que intercepta duas ou mais retas em um mesmo plano.

Ah! J sei ento. Seguindo o exemplo do mapa, a Rua 1 uma reta transversal, pois intercepta (corta) as avenidas 1, 2 e 3 . Estou correta?

Muito bem! Voc realmente entendeu.

Geometricamente temos:

Sendo assim, podemos dizer que a rua 1 concorrente avenida 1, 2 e 3, pois possui apenas um ponto em comum com cada uma delas. Tambm chamada de reta transversal, pois intercepta (corta) mais de uma reta.

1. Trace uma reta paralela reta dada.

a) b) c) d)

2. Quantas retas paralelas podem ser traadas tendo como referncia a reta b?

a) 3 pares de ruas paralelas.b) 3 pares de ruas concorrentes.c) 2 pares de ruas perpendiculares.

3. Realize uma pesquisa encontrando um mapa de ruas, em seguida identifique:

Avenida 1

Rua 1

Avenida 2 Avenida 3

b

m

r

n

s


36

4. Construa as retas perpendiculares s retas r, s, t e u:

a) b) c) d)

5. Na figura, temos a // b. Qual o nmero que expressa, em graus, a medida de y?Dica: (4x + 10 = 3x + 19)

6. (Fundao Carlos Chagas-SP) Na figura abaixo tem-se r // s: t e u so transversais. O valorde x + y :

(A) 100

(B) 120

(C) 130

(D) 140

(A) 75

(B) 80

(C) 85

(D) 90

7. (Cesgranrio-RJ) As retas r e s da figura so paralelas cortadas pela transversal t. Se o ngulo B o triplo do A, ento B - A vale:

c

4x + 10

3x + 19

70

xy

t

s

A

B

r

t

s

r20

u

a

yb

u

t

s

r


37

Tratamento da Informao1. A violncia contra a criana e o adolescente tem aumentado consideravelmente nos ltimos anos. A tabela abaixo nos indica os tipos de violncia mais comuns que so denunciadas.

a) De acordo com a tabela, qual o tipo de violncia mais comum contra a criana e o adolescente cometido em um ambiente extra familiar?

b) Voc a favor ou contra o trabalho infantil? Por qu?

2. As menores taxas de mortalidade infantil so dos pases desenvolvidos Finlndia, Islndia, Japo, Noruega e Sucia (3 mortes a cada mil nascidos). As piores mdias so dos pases pobres, especialmente das naes africanas e asiticas. O Afeganisto apresenta a incrvel mdia de 254 bitos por mil nascidos vivos.

No Brasil, assim como na maioria dos outros pases, essa taxa est reduzindo a cada ano. Conforme dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE), a mortalidade infantil no Brasil segue em declnio. Em uma dcada (1998 2008) passou de 33,5 crianas mortas por mil nascidas vivas, para 23,3. Acompanhe os dados divulgados pelo IBGE.

Taxa de mortalidade infantil, segundo as regies do Brasil, de 1990 a 2010Regies 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010norte 193,3 166,0 145,4 122,9 104,3 79,4 44,6 28,6 24,2nordeste 193,2 187,0 175,0 164,1 146,4 117,6 74,3 43,0 34,4Sudeste 153,0 140,0 122,0 110,0 96,2 57,0 33,6 20,7 17,1Sul 121,0 118,0 109,0 96,0 81,9 58,9 27,4 18,4 15,6Centro-Oeste 146,0 133,0 119,0 115,0 89,7 69,6 31,2 21,0 18,3

a) Em que ano e em que regio do pas aparece o maior ndice de mortalidade infantil?

b) Em que ano e em que regio do pas aparece menor ndice de mortalidade infantil?

c) Construa um grfico de barras representando a taxa de mortalidade infantil do Brasil de 1990 a 2010.

Fonte: Delegacia de Proteo Criana e ao Adolescente (DPCA), 2007.


38

3. Carros a hidrognio No de hoje que os veculos de passeio tm sido vistos como viles. Primeiro, pelo preo do petrleo, que desencadeou a corrida por combustveis alternativos, o que levou o Brasil opo pelo lcool e sua adio gasolina e mais recentemente sua utilizao em motores bi-combustveis. Depois, pelos problemas ambientais decorrentes do efeito estufa provocado pela emisso do gs carbnico, gerado na queima dos combustveis fsseis e que despontaram como um dos principais causadores de alteraes climticas. Hoje, mesmo com o preo do barril do petrleo ao redor dos U$ 100,00 e as recorrentes ameaas de sua progressiva escassez, a sirene despertada pelos problemas ambientais que tem levado corrida por combustveis cada vez mais limpos. A soluo definitiva e perfeita seria o gs hidrognio, obtido da gua e de diferentes biomassas, que, ao reagir com o gratuito oxignio do ar, em um dispositivo adequado chamado clula a combustvel, retorna atmosfera na forma de gua e libera uma corrente eltrica capaz de acionar um silencioso motor eltrico. Sem rudos e barulhos, reduzem-se a poluio e o efeito estufa. Sonho? Nem tanto. Clulas a combustvel j so utilizadas na Europa em prottipos de nibus urbanos. Movem tambm carros pr-comerciais em estados norte-americanos, como o da Califrnia. Em So Paulo, maior cidade da Amrica Latina, que enfrenta problemas crnicos de poluio, gerados em grande parte pela utilizao de combustveis fsseis em veculos leves que por ela circulam em grande nmero, seria vivel a utilizao do hidrognio? Quanto custaria a infraestrutura necessria? O hidrognio teria preo compatvel? A tecnologia do carro a hidrognio j est dominada? Qual o custo desses veculos? E quanto mais se teria que produzir de energia eltrica para garantir o sistema? As respostas a estas indagaes esto na tese de doutorado de Paulo F. P. Ferreira, pesquisador no Laboratrio de Hidrognio do Instituto de Fsica Gleb Wataghin (IFGW) da Unicamp, em trabalho orientado pelo professor Ennio Peres da Silva, chefe do laboratrio e professor do IFGW.

Texto adaptado, disponvel em: . Acesso em: jul.2010.

Comparativos de custos do km rodado com diferentes combustveis

Preo combustvel1 ConsumoCusto de quilmetro

rodado2 (R$/km)

Diesel 1,848R$/l 8km/l 0,2310

GNV 1,1R$/m 9km/m 0,1222

Gasolina C 2,487R$/l 11,4km/l 0,2182

lcool Hidratado 1,509R$/l 8 km/l 0,1886

Hidrognio C1 3,28R$/m 10,23km/m 0,3206

Hidrognio C2 2,61R$/m 10,23km/m 0,2551

Hidrognio C3 2,52R$/m 10,23km/m 0,2463(Footnotes)

Preo mdio para o estado de So Paulo em maio 2007. O custo do quilmetro rodado leva em considerao apenas o preo do combustvel.

a) Quais os benefcios que o carro movido a hidrognio traria para a humanidade?

b) Qual combustvel apresenta o menor custo por quilmetro rodado?

c) De acordo com a tabela e as informaes contidas no texto, o custo/benefcio do gs hidrognio torna vivel sua utilizao? Justifique sua resposta.


39

Nome: ________________________________________________________ N _____ 8 Ano____

1. (Saresp-SP) Entre bananas e mas, comprei 5 quilogramas de frutas e gastei R$7,00. Quantos quilogramas comprei de cada fruta?

(A) 3kg de bananas e 2kg de mas.

(B) 3kg de maas e 2kg de bananas.

(C) 1kg de bananas e 4kg de mas.

(D) 1kg de mas e 4kg de bananas.

2. (Saresp-SP) A soma da idade de Carlos e Joo 45 anos. Sabendo que a idade de Carlos o dobro da idade de Joo, podemos dizer que a idade de Carlos :

(A) 20 anos (B) 30 anos (C) 40 anos (D) 50 anos

3. As retas r e s indicadas na figura, so paralelas cortadas pela transversal t. A soma das medidas dos ngulos x, y, z e w igual a:

(A) 270

(B) 180

(C) 360

(D) 400

4. Determine o valor do ngulo externo x na figura.

(A) 100

(B) 110

(C) 120

(D) 129

BananasR$ 1,00 o quilo.

MasR$ 1,50 o quilo.

x

t

r

sy

wz

77

52

C B

x

A


40

5. (Prova Brasil) Observe o tringulo a seguir.

O valor de x :

(A) 110 (B) 80 (C) 60 (D) 50

6. (Saresp-SP) O boletim de Gustavo mostra o seu desempenho na escola neste ano:

Disciplinanotas do

1 Trimestrenotas no

2 trimestrenotas do

3 trimestre

Portugus 7,0 8,0 9,0

Matemtica 5,5 5,5 5,5

Cincias 6,0 6,5 6,0

Geografia 6,5 6,5 6,0

Histria 7,0 6,5 6,5

Analisando a tabela com as notas de Gustavo, correto dizer que:

(A) ele melhorou seu desempenho em Portugus ao longo do ano.

(B) houve variao no seu desempenho de Matemtica.

(C) seu desempenho em Geografia foi crescente no ano.

(D) a sua nota de Cincias no 1 trimestre foi maior que a sua nota de Cincias no 2 trimestre.

7. (Saresp-SP) A tabela abaixo mostra o nmero de passageiros transportados por um nibus em uma certa semana.

Dia da semana nmero de passageiros

Segunda-feira 250

Tera-feira 183

Quarta-feira 241

Quinta-feira 194

Sexta-feira 269

Sbado 124

Em que dia dessa semana ele transportou o maior nmero de passageiros?

(A) Segunda-feira (B) Quarta-feira (C) Sexta-feira (D) Sbado

x 110

x+10


41

Eduardo jogou na loteria e gostaria de saber quanto teria direito se fosse um dos ganhadores.Ele sabe que o prmio total ser de 700 mil reais.

Fraes Algbricas

Valor do prmio, dividido pelo nmero de ganhadores.Matematicamente temos:

Observe que o nmero de ganhadores foi representado pela incgnita x , pois ainda no oconhecemos.

Temos aqui um exemplo de uma frao algbrica.

A frao algbrica uma expresso, escrita na forma de frao, que tem variveis ou incgnitas no denominador, podendo ou no t-las tambm no numerador.

Ser que possvel saber?

Sim! Porm, precisamos saber o total de ganhadores. Para tanto, podemos representar esta situao da seguinte forma.

Outros exemplos:

Importante!O denominador nunca pode ser igual a zero.

numerador700

Xdenominador

Observe que em todos os exemplos temos incgnitas no denominador.

valor do prmio

n de ganhadores =

700x

a)

b)

c)


42

Para simplificar uma frao algbrica, basta dividir o numerador e o denominador por seus divisores comuns:

Exemplos:

Uma frao que no admite mais simplificao chamada de irredutvel.

Quando uma frao algbrica formada por polinmios, sempre que possvel, elas devem ser escritas na forma fatorada para permitir a simplificao.

Exemplos:

Colocandoy em evidncia.

Quadrado da soma de dois termos.

Sim! J vimos este contedo quando estudamos os produtos notveis.

SIMPLIFICaO DE FRaES aLGBRICaS

Lembre-se:Produto da soma

pela diferena de dois termos.

Eu j vi isso em algum lugar...

.


43

Vamos encontrar o mmc de (12xyz , 18y).

Observe:

Vejamos como fica:

(2 . 3xyz, 2 . 3y)

Para encontrarmos o mmc devemos considerar o produto de todos os seus fatores, sendo que os fatores comuns s aparecem uma vez, elevados ao maior expoente.

(2 . 3xyz, 2 . 3y)

O 2 fator comum, ento devemos considerar o de maior expoente.

neste caso, 2

O 3 fator comum, devemos tambm considerar o de maior expoente.

neste caso, 3

O x no fator comum, ento s considerar o que temos.

neste caso, x

O y fator comum, logo devemos considerar o de maior expoente.

neste caso, y

O z no fator comum, ento novamente devemos considerar o que temos.

neste caso, z

MnIMO MLTIPLO COMUM DE POLInMIOS

12631

18931

2231

2331

22 . 3 2 . 32


44

Agora s agrupar, todos os termos considerados.

Determine o mmc de 4abc e 16a5b

Veja:

2 . 3 . x . y . z4 . 9 . x. y. z36 . x . y . z

2. Um terreno quadrado, de x metros de lado, foi dividido em y lotes, todos de mesma rea.

A expresso algbrica que representa a rea de cada lote :

1. A EMEF onde Fernanda estuda est organizando a biblioteca. Eles possuem M livros de

Matemtica, n livros de Lngua Portuguesa, C livros de Cincias e J livros de Literatura que

sero distribudos igualmente em P prateleiras. Represente a frao algbrica desta organizao

dos livros.

3. Simplifique as fraes algbricas tornando-as irredutveis.

Portanto, o mmc (12xyz, 18y) = 36xyz

Outro exemplo:

mmc ( 4abc , 16a5 b ) = 24 . a5. b. c = 16a5b2c

d)

a)

e)

b)

f)

c)

4

2

1

16

8

4

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

4 = 22

16 = 24

(22abc, 24a5b2)

a) b) c) d) e)

y


45

4. Os denominadores de uma frao devem ser diferentes de zero. A partir desta informao, qual o valor que a varivel das seguintes fraes algbricas podem ter, evitando que ocorra este fato.

aDIO E SUBTRaO DE FRaES aLGBRICaS

5. Determine o mmc:

a) ( 28x , 36y ) b) (2x , 5y , 4z) c) ( 2ab , 15 abc , 9c) d) (10ax , ax)

Operaes com Fraes Algbricas

Ser que difcil somar e subtrair fraes algbricas?

simples!Eu vou explicar.

Quando as fraes possuem o mesmo denominador, mantemos este denominador e somamos ou subtramos os numeradores.

Exemplos:

Mantemos o denominador e somamos os termos semelhantes.

Mantemos o denominador e subtramos os termos semelhantes.

Observe: x = 1x y = 1y

a) b) c) d)

a)

b)


46

E quando os denominadores forem diferentes?

Tambm simples.Principalmente agora que j

sabemos calcular o mmc das fraes algbricas.

Ateno com a regra de sinais!

Quando as fraes possuem denominadores diferentes, basta reduz-las ao mesmo denominador e em seguida procedemos do mesmo modo como aplicamos para as fraes numricas.

Exemplos:

Primeiro calculamos o mmc de 3x e y

,

D i v ida o mmc pe lo denominador e multiplique o resultado obtido pelo numerador.

c)

a)


47

1. Efetue as adies algbricas indicadas. Quando possvel, simplifique a frao resultante.

2. Qual frao algbrica representa o permetro do quadrado a seguir?

3. Qual frao algbrica representa a diferena entre o permetro do retngulo 1 e do retngulo 2?

4. Escreva na forma mais simples cada uma das seguintes somas e subtraes algbricas.

21

34x

32x

1x

67x4

5x

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)


48

Multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador.

MULTIPLICaO E DIVISO DE FRaES aLGBRICaS

Para multiplicar ou dividir fraes algbricas procedemos da mesma forma que aplicado s fraes numricas.

na multiplicao

Exemplos:

Quando possvel, primeiro simplifique as fraes.

Exemplos:

na diviso

Mantemos a primeira frao e multiplicamos pelo inverso da segunda.

a)

b)

a)

b)


49

1. Represente a rea do campo de futebol atravs de uma equao algbrica.

2. Relacione as colunas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)


50

1. (Fuvest) Se A =(x-y)xy

, x =

25

e y =

12

, ento A igual a:

TESTES

(A) -0,1 (B) 0,2 (C) -0,3 (D) 0,4 (E) -0,5

2. (CEFET) Simplifique a frao: (a2 + b2 - c2)2 - (a2 - b2 + c2)2

4ab2 + 4abc

4. (Universidade Federal de Gois) Simplificando a expressoa2 + ab2 + b

. a2 - a

b2 - b. b

2 - 1a2 - 1

, teremos:

3. (PUC-adaptado) Para a, b, c distintos, o valor da expresso a seguir :

1(a - b)(a - c)

+ 1(b - a)(b - c)

+ 1(c - a)(c - b)

(A) a(b - c)b

(A) a2

b2(B) b

2

a2(C a

b(D) b

a

(C) a(c - b)b

(B) a(b + c)b

(D) d(b + c)a

(E) b(b - c)a

(A) a + b + c (B) sempre 0 (C) abc (D) 3(a + b + c) (E)1

a+b+c

5. Reduzindo ao mesmo denominador e simplificando a expresso a seguir voc obter:

A =y3 + y2

y - 5x

3y - 156y

(A) A = y2 + y (B) A = y - 1

(E) y2 - y

(C) y2 + y

2

(D) y2 - y

2


51

1. Ao simplificar a expresso , obtemos:

2. Qual a forma mais simples da expresso ?

(A) 2 (B) 2x (C) 4x 1 (D) 8x + 4

3. ( Universidade Federal de Gois) O valor da expresso :

4. (Engenharia Araraquara-SP) Simplificar .

4a2 + b3

6ab4

8x + 84x + 4

(A) 2a2b

(A) a

a-b

(A) a

a-1

(B) a

a+b

(B) 2aa

(C) b

a-b

(C) a

a+1

(D) b

a+b

(D) a-1

a

(B) 2a3b

(C) 3a2b

(D) 4a3b


52

5. (Saresp-SP) Uma empresa de entregas em domiclio cobra, na Grande So Paulo, R$ 5,00 fixos por cada entrega, mais R$ 0,03 por cada 1 grama. No interior do Estado, ela cobra o preo da Grande So Paulo acrescido de 10%. O preo de entrega de uma encomenda de x gramas para o interior de So Paulo, em R$, igual a:

6. (Saresp-SP) O valor numrico da expresso algbrica A para x = 1 e B para

x = . O valor de A + B :

7. A expresso, , na sua forma mais simples :

8. Indique o valor da diviso, .

9. O mnimo mltiplo comum (mmc) de (9xy) e (3xy) :

(A) 3xy(B) 2xy(C) 9xy(D) 3xy

(A)

(B)

(C)

(D)

12

(A) (B) (C) (D)

(A) 1

a+b

(B) 1

a-b

(C) a + b

(D) a b

(A) 42

(B) 32

(C 22

(D) 12


53

Nilson e Eduardo foram s compras. Como no tinham tomado caf pela manh, resolveram

parar em uma lanchonete, pediram 3 mistos-quentes e 1 refrigerante, gastando R$7,00. Ao

retornarem, passaram novamente pela mesma lanchonete pedindo desta vez 4 mistos-quentes

e 2 latinhas de refrigerante, gastando R$10,00. Ao sarem da lanchonete surgiu a dvida: qual

o preo de cada misto-quente e de cada refrigerante?

Sistemas de Equaes

No se voc utilizar o sistema de equaes. Veja como:

Puxa , complicado hein!

Como no sabemos o preo de cada um, chamamos de x o preo do misto-quente e de y

o preo do refrigerante.

Equacionando as informaes:

Resolvendo o problema utilizando um sistema de equaes:

Ida 3x + y = 7 (3 mistos-quentes e 1 refrigerante, gastaram R$7,00)

Volta 4x + 2y = 10 (4 mistos-quentes e 2 refrigerantes, gastaram R$10,00)

As equaes com 2 incgnitas formaro o sistema de equaes.

3x + y = 7 4x + 2y = 10

Vamos apresentar agora dois modos de resolver esse sitema.


54

3x + y = 7 x = 2

3(2) + y = 7

6 + y = 7

6 + 6 + y = 7 6

y = 1

3x + y = 7

3x + 3x + y = 7 3x

y = 7 3x

Substituindo o valor de y em ( II ), temos:

4x + 2y = 10

4x + 2(7 3x) = 10

4x + 14 6x = 10

4x 6x + 14 = 10

2x + 14 = 10

Para resolver esse sistema pelo mtodo da substituio devemos proceder da seguinte forma:

Isola-se uma das variveis numa das equaes;

Substitua essa varivel na outra equao pela expresso equivalente.

Resolva a equao que tem apenas uma varivel.

Substitua o valor encontrado em uma equao que tenha as duas variveis.

Vamos l !

3x + y = 7 ( I )

4x + 2y = 10 ( II )

de ( I ) podemos isolar o y.

Agora, s substituir o valor encontrado para x na outra equao, neste caso ( I ):

14 2x + 14 = 10 14

2x = 4

x = 2

-2x-2

-4-2

=

MTODO Da SUBSTITUIO


55

MTODO Da aDIO

Voc ainda pode conferir se acertou. s substituir os valores obtidos nas equaes do sistema.

Logo, a soluo do sistema x = 2 e y = 1, ou seja, o preo de cada misto-quente foi R$ 2,00 e o preo de cada refrigerante foi R$ 1,00.

Na equao ( I ), ao substituirmos x por 2 e y por 1 temos que obter como resultado o valor 7.

Veja:

Na equao (II), temos que obter como resultado o valor 10.

3x + y = 7 x = 2 e y = 1

3(2) + 1 = 7

6 + 1 = 7

7 = 7

4x + 2y = 10 x = 2 e y = 14(2) + 2(1) = 8 + 2 = 10

Agora vamos resolver um sistema de equaes pelo mtodo da adio.

x + y = 16 ( I )x y = 4 ( II )

Pelo mtodo da adio, devemos adicionar a equao ( I ) com a equao ( II ).

Viu como d certo?

Puxa, mesmo! E fcil resolver dessa forma.


56

2x2

Agora ficou fcil! Temos uma equao do 1 grau. Basta isolar o x.

Como j temos o valor de x, agora devemos substitu-lo em qualquer uma das equaes do sistema para obtermos o valor de y.

Equacionando

Outro exemplo:

A soma das idades de Vincius e Caio 30 anos e a diferena entre essas idades de 10 anos. Qual a idade de ambos, sendo Vincius o mais velho?

x = idade de Vinciusy = idade de Caio

x + y = 30 ( I )x y = 10 ( II )

x = 10

x + y = 16x - y = 4

2x = 20

202

=

Logo, a soluo do sistema :

x = 10 e y = 6

Conferindo o resultado:

Observe:

x + y = 16 x = 10

10 + y = 16

10 + 10 + y = 16 10

y = 6

( I ) x + y = 16 x = 10 e y = 6 10 + 6 = 16

( II ) x y = 4 x = 10 e y = 6 10 6 = 4


57

x + y = 30x y = 102x = 40

+

Primeiro, resolvendo pelo mtodo da substituio:

( I ) x + y = 30 x + y - y = 30 - y x = 30 - y

Substituindo x = 30 - y em ( II ) temos:

Agora, substituindo y = 10 na equao ( I ):

Resolvendo pelo mtodo da adio:

( II ) x - y = 10 com x = 30 - y (30 - y) - y = 10 30 - y - y = 10 30 - 2y = 10 - 30 + 30 - 2y = 10 - 30 -2y = -20

-2y-2

= -20-2

y = 10

x + y = 30 y = 10x + 10 = 30 x + 10 - 10 = 30 - 10x = 20

Soluo x = 20 e y = 10.

x + y = 30x y = 10

x = 20

2x2

402

=


58

Agora que j sabemos resolver sistemas de equaes pelos mtodos da substituio e da adio, vamos s atividades?

1. Thomas tem o dobro do nmero de figurinhas de Hlio,menos 7. Juntos eles tm 98 figurinhas. Quantas figurinhas tem cada um?

2. Dona Joaquina est mobiliando sua casa. Comprou uma cama e uma mesa. Pagou pelos mveis R$ 710,00. A cama custou R$ 50,00 a mais que a mesa. Construa um sistema de equaes de duas incgnitas e encontre o preo de cada mvel.

3. Natlia tem 9 notas, umas de R$ 10,00 e outras de R$ 20,00. Num total de R$ 150,00. Quantas notas ela tem de cada valor?

Soluo x = 20 e y = 10.Logo, a idade de Vincius 20 anos e a de Caio 10 anos.

Substituindo o valor de x em uma das equaes, temos:

x + y = 30 x = 20 20 + y = 30 - 20 + 20 + y = 30 - 20 y = 10


59

4. Numa eleio em uma EMEF para vereador mirim, haviam 2 candidatos: Michael e Jnior. Votaram 1230 alunos. Sabe-se que 83 votos foram anulados e que a diferena entre o 1 e o 2 colocado foi de 145 votos. Quantos votos teve cada um, sabendo que Jnior foi o vencedor?

5. (Saresp SP) Com 48 palitos de mesmo tamanho eu montei 13 figuras: alguns tringulos e alguns quadrados. Quantos quadrados eu montei?

a) x 3y = 1 b) 2x y = 4

3x 2y = 4 3x + y = 1

6. Resolva os sistemas abaixo pelo mtodo que considerar adequado.

Comprou-se suco a R$ 4,85 o litro e refrigerante a R$ 2,50 o litro. A quantidade de refrigerante ultrapassa a de suco em 25 litros, e a soma paga pelo suco foi de R$19,75 a mais do que a paga pelo refrigerante. A quantidade de suco comprada foi de:

(A) 60 litros (B) 35 litros (C) 65 litros (D) 40 litros (E) 25 litros

Qual a mgica?Usando o clculo de equaes, voc pode adivinhar a idade de

qualquer pessoa. Duvida? fcil! Basta pedir que a pessoa faa algumas operaes com a idade

que tem e, depois revele o resultado. Neste exemplo, seu amigo tem 15 anos.


60

Resolvendo esta ltima equao:

Agora veja se d certo com seus colegas.

Seu amigo tem 15 anos.

Z grilo mais alto que Jurema?ou

Jurema mais baixa que Z Grilo?

InequaoDiversos questionamentos em nosso dia-a-dia nos apresentam situaes que podem ser

representadas por sentenas matemticas.

Observe os exemplos:

Quem mais alto? Quem mais baixo?

O elefante pesa mais que o gato? ou

O gato pesa menos que o elefante?

Quem pesa mais?Quem pesa menos?

Podemos expressar matematicamente as situaes acima da seguinte forma:

a > b ou b < a

Qual a maior quantia?

Neste caso as quantias so iguais. Logo, podemos representar essa situao de forma matemtica, utilizando o sinal de igualdade, isto : a = b.

a b


61

As sentenas que apresentam igualdades so chamadas equaes.

As sentenas que apresentam desigualdades so chamadas inequaes.

Exemplos:

Lembre-se= igual> maior que< menor que

Como estamos fazendo o estudo das inequaes, vamos relembrar os sinais de desigualdade.

Simbologia Leitura Diferente> Maior que

< Menor que

Maior ou igual Menor ou igual

5 7 L-se: cinco diferente de sete.

3 > 1 L-se: Trs maior que um.

4 < 9 L-se: quatro menor que nove.

2x x + 2 L-se: 2x maior ou igual a x + 2.

4x 1 3x + 2 L-se: 4x 1 menor ou igual a 3x + 2.

O processo de resoluo das inequaes semelhante ao das equaes, porm, devemos conhecer algumas de suas propriedades.

E como resolvemos uma inequa o?


62

a) x 3 > 8

x 3 + 3 > 8 + 3

x > 11

b) 3x 9 7 + 2x

3x 9 + 9 7 + 2x + 9

3x 7 + 9 + 2x

2x + 3x 16 + 2x 2x

x 16

PROPRIEDaDES FUnDaMEnTaIS Da DESIGUaLDaDE

Se adicionarmos ou subtrairmos aos dois membros de uma desigualdade um mesmo nmero m ( m > 0 ou m < 0 ), a desigualdade no mudar de sentido.

Exemplos:

PRInCPIO MULTIPLICaTIVO Da DESIGUaLDaDE

PRInCPIO aDITIVO Da DESIGUaLDaDE

Se multiplicarmos ou dividirmos os membros de uma desigualdade por um mesmo nmero m, (m > 0), o sinal de desigualdade no muda de sentido; mas se multiplicarmos ou dividirmos os membros por um nmero m, (m < 0) , ele mudar de sentido.

Exemplos:

Veja que 2 > 0 e 4 > 0. Logo, o sinal da desigualdade no muda de lado.

6x6

>

246

a) 3x > 12 2 . (3x) > 2 . (12)

x > 4

b) 8 > 3 2 . 8 > 2 . 3 16 > 6

Oito maior que trs.

Dezesseis tambm maior que seis.

s isolar o x.


63

1. Complete a tabela:

(A) maior que 51m. (C) igual a 49m.(B) menor do que 49m. (D) igual a 51m.

(A) 1094 (B) 1095 (C)1096 (D) 1097

2. (Saresp SP) Para cercar um terreno e fazer um chiqueiro, um fazendeiro dispunha de 200m de arame farpado. Ele deu 4 voltas com o arame em todo o terreno, perdeu 4m de arame com as emendas e, mesmo assim, no usou todos os 200m. Quanto ao permetro desse terreno podemos dizer, com certeza, que ele :

3. (SarespSP) Um espio de guerra enviou ao seu comando a seguinte mensagem:

5n + 25 > 55008n + 3501 > 210 5n

O comando sabia que a letra n representava o nmero de foguetes do inimigo. Fazendo os clculos, o comando descobriu que o total de foguetes era:

-6x-6

<

-24-6

c) 3x > 12 -2 . 3x < -2 . 12

x > 4

d) 8 > 3

2 . 8 < 2 . 3

16 < 6

Oito maior que trs.

Veja que -2 < 0. Logo, o sinal da desigualdade ser invertido.

Veja que -6 < 0. Logo, o sinal da desigualdade ser invertido novamente.

Menos dezesseis menor que menos seis.


64

a) 2(x 3) 3(2x + 1 ) 4 c) x(4) 3 +2(2x + 1) < x + 3b) 5(2x 3) 2(3x 1) > 5 x d) (2 + 5x) ( 3) + 1 x 6

a) descreva a situao usando duas inequaes.b) resolva as inequaes encontrando a faixa salarial de Edilene.

4. O salrio de Edilene mais o salrio de sua filha, rica, maior que o salrio de Dora e menor que o de Graa. Levando em considerao os dados do quadro a seguir,

a) Descreva a situao com uma inequao. b) Resolva a inequao e determine a idade mxima de Tiago.

5. A soma do triplo da idade de Tiago com 3 anos menor que a idade de sua me. A me de Tiago tem 36 anos.

6. Determine a soluo das seguintes inequaes:

7. A populao brasileira est vivendo mais. So os indicadores de esperana de vida ao nascer e da taxa de mortalidade infantil que confirmam esse processo. De modo geral, esses ndices permitem avaliar as condies de vida e o estado de sade de um pas. Confira os dados:

O aumento da expectativa de vida do brasileiro resultado da melhoria das condies de vida (saneamento bsico e assistncia mdica por exemplo) e da reduo da taxa de mortalidade infantil, conforme mostra o grfico.

Alguns dos fatores que esto contribuindo para a queda da mortalidade infantil no pas so as melhorias nas reas de saneamento bsico, a preocupao com a educao das mes, a expanso das vacinas, o desenvolvimento e implantao de programas de nutrio, programas de assistncia s gestantes e mes, de aleitamento, entre outros.

45

Norte

Norte

Nordeste

Nordeste

Sudeste

Sudeste

Sul

Sul

Centro-Oeste

Centro-Oeste

b

ito

s p

or

mil

nasc

imen

tos

vivo

s

4035302520151050

Trecho disponvel em: < http://www.ibge.gov.br/ibgeteen/datas/saude/saudebrasil.html > Acesso em: jun. 2010.

Observando o grfico e a tabela responda:

a) Entre os anos de 1920 e 1960 a esperana de vida aumentou ou diminuiu?

b) De acordo com o grfico, coloque em ordem crescente o nmero de bitos entre as regies do pas.


65

Nome: _______________________________________________________ N _____ 8 Ano____

1. Se = 4 e y = -1, ento o valor de x :

(A) 3

(B) 2

(C) 0

(D) 3

2. (Faap-SP) Achar dois nmeros reais cuja soma 9 e cuja diferena 29.

(A) 9 e 18

(B) 10 e 19

(C) 19 e 9

(D) 18 e 10

3. (ESPCEX) Num depsito h viaturas de 4 rodas e de 6 rodas, ao todo 40 viaturas e 190 rodas. Quantas viaturas h de cada espcie no depsito?

(A) 15 viaturas de 6 rodas e 25 viaturas de 4 rodas.

(B) 25 viaturas de 6 rodas e 25 viaturas de 4 rodas.

(C) 18 viaturas de 6 rodas e 27 viaturas de 4 rodas.

(D) 10 viaturas de 6 rodas e 26 viaturas de 4 rodas.

4. (PUC-SP) Um certo nmero de alunos fazia prova em uma sala de aula. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moas, ficando o nmero de rapazes igual ao dobro do nmero de moas. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual nmero de moas e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era:

(A) 96

(B) 98

(C) 108

(D) 116

x-2y


66

5. Os valores que tornam verdadeiro o sistema de equaes so:

(A) x = 2 e y = 1

(B) x = 2 e y = 1

(C) x = 0 e y = 1

(D) x = 2 e y = 3

6. Num depsito, existem 24 extintores de incndio, sendo de espuma qumica e dixido de carbono. Sabendo-se que o de dixido de carbono o triplo do de espuma qumica, conclui-se que o nmero de extintores de espuma qumica existentes nesse depsito :

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

7. (ENCCEJA) Uma agncia de modelos est selecionando jovens para uma propaganda de sorvetes. Entre as exigncias, a agncia solicita que os jovens tenham altura mnima de 1,65 m e mxima de 1,78 m. Se x um nmero racional que representa a altura, em metros,de um jovem que pode ser escolhido para essa propaganda, correto afirmar que

(A) x < 1,78

(B) x > 1,65

(C) 1,65 x 1,78

(D) 1,65 x 1,78

8. (ESA) O menor nmero natural que satisfaz a inequao 3x 10 < 4x 15 :

(A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

9. (ANGLO) Os valores de x que satisfazem a inequao > 1 so tais que:

(A) x < 0 ou x > 4

(B) 0 < x < 4

(C) x = 4

(D) x < 4 e x 0

4x

5x + 3y = 13 4x + 9y = 1


67

Define-se como quadriltero todo polgono que possui quatro lados.

Quadrilteros

Elementos principais

Retngulo: paralelogramo cujos ngulos so congruentes e os lados opostos, congruentes entre si.

Paralelogramo o quadriltero que possui os lados opostos paralelos.

CLaSSIFICaO E PROPRIEDaDES

Propriedades dos retngulos

As diagonais de um retngulo so congruentes. Portanto, na figura a seguir temos:

Quatro ngulos internos A, B, C e D, cuja soma equivale a 360.

Duas diagonais: AC e BD.

Os lados AB e CD, assim como, BCe AD , so chamados de lados opostos.

Logo, A B C D = 90

AB DC e AD BC

AC BD

DA

BC

A

B

D

C

A

B

D

C


68

Losango: paralelogramo cujos lados so congruentes e os ngulos opostos, congruentesentre si.

Quadrado: paralelogramo cujos lados e ngulos so congruentes.

As diagonais de um losango so perpendiculares entre si e determinam as bissetrizes internas dos ngulos do losango. Assim, na figura a seguir temos:

Propriedades dos losangos

AM BD

Logo, AB BC CD DA

A C e B D

AC e BD so bissetrizes internas com

e .

Logo, A B C D = 90

AB BC CD AD = L


69

1. Os lados opostos so congruentes. Portanto, na figura a seguir:

Propriedades dos paralelogramos

So vlidas as seguintes propriedades para os paralelogramos:

2. Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois tringulos congruentes. Portanto, na figura a seguir:

3. Os ngulos opostos so congruentes. Assim, na figura a seguir:

4. As diagonais interceptam-se no ponto mdio. Portanto, na figura a seguir:

AB CD e BC AD

ABC ADC

B D e A C

DM MB e CM MA

D

C B

A

D

C B

A

D

C B

A

D

C B

A

M


70

o quadriltero que possui apenas dois lados paralelos (chamados de bases).

Trapzio

Issceles

ClassificaoOs trapzios so classificados em:

Quando os lados no-paralelos forem congruentes.

Escaleno

Quando os lados no-paralelos no forem congruentes.

Quando um dos ngulos internos for reto (90).

Retngulo

O segmento de reta que tem por extremos os pontos mdios dos lados no-paralelos de um trapzio paralelo base e tem como medida a soma das medidas das bases divida por dois.

Assim na figura a seguir:

Propriedade dos trapzios

Logo, AB CD

Logo, AB CD

A, B, C, D = ngulos internos do trapzio

AD = base menor

BC = base maior

MN = base mdia

DH = altura do trapzio (h)

MN // BC // AD e MN = AD + BC2

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

N M

C

A

B

D

M N

C


71

3. Determine o valor de x nos quadrilteros:

1. Dado o paralelogramo a seguir, encontre o valor de x e as medidas dos ngulos.

Dados: AM = 7cm e DM = 5cm: sendo M o ponto de interseco entre as duas diagonais.

2. Determine o comprimento das diagonais AC e BD do paralelogramo ABCD.

Tringulos

a) b) c)

MN // BC // DA

MN = x

J estudamos tringulos nos anos anteriores.

Muito bem! Agora vamos ampliar nossos conhecimentos sobre tringulos.

D

C B

M

A

Trapzio issceles Trapzio escalenoQuadrado

D

C B

A2x + 30

3x - 20

x

x

3

x

9

5

7 x

A

N

B

D

C

X

8

6

M


72

Relembrando

Todo polgono de trs lados um tringulo.

C

BA

C

Bngulos: A, B e C Vrtice: A, B e C

Lados: AB, BC e CA

Tringulo escaleno Tringulo acutngulo

Classificao dos tringulos

Quanto aos lados Quanto aos ngulos

Tringulo issceles Tringulo retngulo

Tringulo equiltero Tringulo obtusngulo

Trs lados de medidas diferentes

Pelo menos dois lados de medidas iguais

Trs lados de medidas iguais

Trs ngulos agudos (menores que 90)

Um ngulo reto (igual a 90)

Um ngulo obtuso (maior que 90)


73

Puxa, que legal! As trs alturas se cruzam em um mesmo ponto.

, essa uma pergunta interessante! Vamos ver o que acontece.

Altura de um tringulo o segmento que une perpendicularmente um vrtice ao lado oposto, o qual passa a ser chamado de base.

aLTURa

Calma! Eu explico. Todo tringulo possui trs alturas, depende do vrtice a ser considerado.

Observe:

Esse ponto H, onde as trs alturas se encontram, chamado de ortocentro.

Mas se o tringulo tem trs vrtices e trs lados, como saberemos sua altura?

Ah, agora eu entendi! Mas e se ns traarmos as trs alturas no mesmo tringulo o que acontece?

C CB B

H2H3

C BH1

A A A

Altura AH1 Altura CH2 Altura BH3

C B

H2H3

H1

A


74

MEDIana

MEDIaTRIZ

A mediana de um tringulo o segmento de reta que une um vrtice do tringulo ao ponto mdio do lado oposto a ele.

Veja as trs medianas traadas no mesmo tringulo.

Novamente os trs segmentos se encontram num mesmo ponto. Neste caso, chamamos este ponto de baricentro.

A A A

C BM1 C B

M2

C B

M3

Professor! Neste caso tambm temos trs medianas?

Isso mesmo. Temos trs medianas.

Mediatrizes so retas perpendiculares a cada um dos lados de um tringulo.

A

mb

mc

maB C

M

Na figura acima, ma, mb e mc so as mediatrizes do tringulo. O ponto M, encontro das mediatrizes, o circuncentro do tringulo, ou o centro da circunferncia circunscrita, circunferncia esta que contm todos os vrtices do tringulo. A distncia do ponto M a qualquer um dos vrtices, a mesma.

Observe:


75

A bissetriz de um tringulo o segmento de reta que, a partir do vrtice, divide o ngulo ao meio, ou seja, em outros dois ngulos iguais.

BISSETRIZ

Da mesma forma, quando traamos as trs bissetrizes internas de um tringulo e a representamos num mesmo tringulo, obtemos um ponto em comum chamado incentro.

A

C B

A

C B

A

C B

1. Responda:

a) Como se chama o tringulo que tem dois lados congruentes?

b) Como se chama o tringulo que tem um ngulo reto?

c) Quando um tringulo equiltero?

d) Que nome se d ao tringulo que tem os ngulos agudos?

e) Quando um tringulo escaleno?

f) Um tringulo obtusngulo quando tem um ngulo obtuso. Essa afirmao verdadeira

ou falsa?

2. D a classificao dos tringulos de acordo com os elementos citados:


76

4. Identifique em cada figura, se o segmento AD assinalado : altura, mediana, mediatriz ou bissetriz.

5. Utilizando uma rgua, determine o ponto mdio do lado AC e em seguida trace a mediana relativa a esse lado.

3. Use a rgua para medir os tringulos seguintes e classifique-os em equiltero, issceles ou escaleno.

A

B D C

A

B D C

B D C

A

B D C

A

A

B C

A

BC

a)

c)

b)

d)

A A

A

A

B B

B

B

C C

CC

a)

c)

b)

d)


77

7. (FCMSC SP) No tringulo ABC abaixo, AM bissetriz do ngulo A. Ento (x - y) vale:

(A) 20

(B) 30

(C) 60

(D) 100

H cerca de 25 anos, o escritor americano Charles Berlitz lanou o polmico livro O Tringulo das Bermudas. A obra logo virou Best-seller e aumentou a fama do sinistro que o local j tinha, desde o incio do sculo 20.

Mais recentemente, pesquisadores ingleses concluram que nessa rea h, no fundo do mar, um depsito natural de gs metano que faz a gua ferver. Essas borbulhas empurram para a superfcie grandes massas de gua, cuja fora cria redemoinhos to intensos que seriam capazes de sugar navios e avies.

Fama e mistrios do Tringulo

1. Num tringulo, o segmento de reta que liga um vrtice ao lado oposto e divide o ngulo desse vrtice em dois ngulos de medidas iguais chamado...2. O ponto de interseco das medianas.3. O ponto de interseco das bissetrizes.4. Num tr ingulo, o segmento de reta que tm extremidades num vrtice e no ponto mdio do lado oposto ao ngulo desse vrtice, chamado...5. O ponto de interseco das alturas.6. Num tringulo retngulo a medida de um ___ de 90. 7. Num tringulo, o segmento de reta que liga um vrtice ao lado oposto e forma, com este lado, um ngulo reto, chamado...8. Tringulos que tm pelo menos dois lados de medidas iguais.9. Tringulos que tm todos os lados com medidas diferentes.

Cruzadinha

y

x

(A) AC = 6 cm

(B) AC = 9 cm

(C) BC = 6 cm

(D) BC = 9 cm

6. (Saresp SP) No tringulo ABC, AD a altura desse tringulo, relativamente a base BC,

e os segmentos BD e DC tm a mesma medida. Se o lado AB mede 6 cm, correto afirmar

que:

Trecho disponvel em: Acesso em: jul. 2010.


78

Caso L.L.L (lado lado lado)

COnGRUnCIa

Os casos de congruncia de tringulos so fatos ou teoremas que permitem verificar se todos os seus lados e ngulos tm respectivamente medidas iguais.

Observe os casos de congruncia de tringulos.

Se dois tringulos possuem os trs lados, respectivamente congruentes, ento os tringulos so congruentes.

Exemplo:

Caso L.a.L (lado ngulo lado)

Se dois tringulos possuem dois dos lados e o ngulo compreendido entre eles, respectivamente congruentes, ento os tringulos so congruentes.

Exemplo:

Dizemos que duas figuras so congruentes quando podemos colocar uma sobre a outra e elas coincidirem.

AB DE

AC DF

A D

ABC DEF

A

B C

3 cm 5 cm

7 cm

D

E F

3 cm 5 cm

7 cm


79

Caso a.L.a (ngulo lado ngulo)

Se dois tringulos possuem um lado e os dois ngulos a ele adjacentes, respectivamente congruentes, ento os tringulos so congruentes.

Exemplo:

Caso L.a.ao (lado ngulo ngulo oposto)

Se dois tringulos possuem um lado, um ngulo adjacente e o ngulo oposto a esse lado, respectivamente congruentes, ento os tringulos so congruentes.

Exemplo:

Em resumo temos:

L.L.L (lado lado lado)L.a.L (lado ngulo lado)a.L.a (ngulo lado ngulo)L.a.ao (lado ngulo ngulo oposto)

Casos de congruncia de tringulos:


80

1. (Saresp-SP) Os tringulos ABC e DBC tm os ngulos congruentes assinalados com marcas iguais.

2. Dois tringulos de cada item so congruentes. Descubra quais so e escreva no caderno o caso de congruncia.

3. (Saresp-SP) Na figura, o tringulo ABC issceles e BD DE EC . Nessas condies, os tringulos:

(A) ABD e ADE so congruntes.(B) ABD e AEC so congruntes.(C) ADE e AEC so congruntes.(D) ABD e ABC so congruntes.

(A)

(B)

(C)

(D)C

A B D

a)

7cm

7cm

7cm

6cm

6cm

6cm

b)

l

l

ll

ll

lll

lll

6cm 20 406cm

2040

6cm

20

40

DB

EC

A


81

4. Para construir dois jardins triangulares iguais na frente de sua casa, Ligia precisa determinar todas as medidas. Vamos ajud-la determinando os valores de x e y.

5. Os pares de tringulos desenhados so congruentes. Escreva em seu caderno, qual o caso de congruncia e em seguida d o valor da medida x.

C42

A

5m

B35

5m

xy

a) b)

40 x

20

1,5cm

12cm

1,5cm

x

12cm

10,5cm

c)

60

x 6cm4cm

d)

40

xx


82

a

h

Prisma um slido geomtrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto a inclinao das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblquos.

PRISMa

Quanto a base, os prismas mais comuns so mostrados na tabela:

Professor, a pirmide tambm tem base. Ela um prisma?

Cuidado! Embora a pirmide tambm tenha base, observe que suas arestas se unem em um nico vrtice, o que no ocorre com os primas.

Slidos Geomtricos


83

Classificao das pirmides pelo nmero de lados da base

PIRMIDE

Base: a regio plana poligonal sobre a qual se apia a pirmide.

Relembrando

1. (Saresp-SP) Observe os diferentes tipos de caixas utilizadas por uma loja de presentes:

A vendedora monta a caixa de acordo com a escolha do cliente. Se ela utilizar os modelos que aparecem abaixo, obter caixas do tipo:

(A) 1 e 4(B) 1 e 2 (C) 2 e 3(D) 3 e 4

Vrtice

ArestaAresta

Vrtice


84

2. Observe a representao de poliedros e realize as contagens necessrias para completar a tabela

Na sala de informtica acesse o SITE: www.barueri.sp.gov.br/educacaoDesenvolver as atividades reservadas para na disciplina

relacionadas a Tringulos.


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Nome: ________________________________________________________ N _____ 8 Ano____

1. (Prova Brasil) Chegando a uma cidade, Fabiano visitou a igreja local. De l, ele se dirigiu pracinha, visitando em seguida o museu e o teatro, retornando finalmente para a igreja. Ao fazer o mapa do seu percurso, Fabiano descobriu que formava um quadriltero com dois lados paralelos e quatro ngulos diferentes.

O quadriltero que representa o percurso de Fabiano um

(A) quadrado. (B) losango. (C) trapzio. (D) retngulo. 2. Determine a medida x no paralelogramo.

(A) 35

(B) 47

(C) 59

(D) 98

3. O ngulo x no quadriltero, equivale a:

(A) 47

(B) 72

(C) 128

(D) 160

4. Coloque ( V ) para as afirmaes verdadeiras ou ( F ) para as afirmaes falsas.

a) ( ) Todo losango um paralelogramo.

b) ( ) Todo retngulo um paralelogramo.

c) ( ) Todo quadrado um paralelogramo.

d) ( ) Todo paralelogramo um losango.

e) ( ) Todo paralelogramo um retngulo.

f) ( ) Todo paralelogramo um quadrado.

D

A B

C

47

x

72 81

35

82

x

Teatro Museu


86

5. Qual das alternativas indica corretamente o caso que garante a congruncia desses dois tringulos e os valores de a, b e x, respectivamente?

a

x

28

4cm

b

2cm

284cm

(A) LLL; a = 62; b = 28; x = 4cm.

(B) ALA; a = 62; b = 62; x = 2cm.

(C) LAAo; a = 28; b = 28; x = 4cm.

(D) LAL; a = 28; b = 62; x = 2cm.

6. Observe os tringulos:

a) b) c) d)

Analise as informaes e indique a alternativa correta.

I - Os tringulos a e b so tringulos retngulos;II - Os tringulos c e d so tringulos equilteros;III - Os tringulos a, b, c e d so tringulos acutngulos;IV - Somente o tringulo c obtusngulo.

(A) Somente o item I est correto.(B) Somente os itens II e III esto corretos.(C) Somente os itens I e IV esto corretos.(D) Todas os itens esto corretos.

7. O permetro de um tringulo issceles 57cm. Se o menor dos seus trs lados mede 15cm, quanto mede os outros dois lados?

(A) 21cm e 21cm.(B) 15cm e 15cm.(C) 28,5cm e 28,5cm.(D) 21cm e 28,5.


87

1. Uma dessas expresses no pode ser fatorada. Descubra qual .

(A) 20x + 20y(B) 6x 5x(C) 6x 8y 10z(D) 4x 3y + 6

2. Adicione as fraes representadas, duas a duas, e verifique quais delas tem como resultado .1

2x

3. (Saresp-SP) Nas igualdades abaixo, em que a e b representam nmeros reais, a nica verdadeira :

4. (Saresp-SP) Pelo regulamento de um torneio de basquete, cada equipe ganha 2 pontos por jogo que vencer e 1 ponto por jogo que perder. Nesse torneio uma equipe disputou 9 partidas e acumulou 15 pontos ganhos. correto afirmar que essa equipe venceu:

(A) 3 partidas e perdeu 6. (C) 5 partidas e perdeu 4.(B) 4 partidas e perdeu 5. (D) 6 partidas e perdeu 3.

5. (Unicamp-2001) Trs planos de telefonia celular so apresentados na tabela a seguir:

Qual o plano mais vantajoso para algum que utilize 25 minutos por ms?

(A)

(B)

(C)

(D)

13x

25x

110x

28x

16x

14x

A C EB D F


88

6. Dadas as distncias entre as cidades a, B e C, indicadas no esquema, calcule a distncia entre B e C.

7. Encontre as reas das figuras pintadas.

8. (Furb-SC) Os avs de Joice retornaram de uma viagem ao exterior ainda com algum dinheiro. O av voltou com 538d em notas e moedas, e a av com 406d.

a) Qual o total de dinheiro que eles tinham ao voltar?b) Condiderando d como dlares, pesquise em um jornal a cotao dessa moeda e calcule

com quantos reais os avs de Joice voltaram.


89

11. Um bando de macacos ocupa uma rvore na floresta. Se ficasse cada macaco no seu galho, sobraria 1 macaco sem galho. Se ficassem dois macacos em cada galho, sobrariam dois galhos sem macaco. Quantos so os macacos? E os galhos?

9. Num restaurante trabalham garons e garonetes. H duas garonetes a menos que o triplo do nmero de garons e dois garons a menos que a metade do nmero de garonetes. Quantos so os garons? E as garonetes?

10. Numa edio de x livros, h um custo de R$ 2100,00 mais R$ 2,00 por livro impresso. Cada um desses livros ser vendido por R$ 8,00. Que quantidade deve ser produzida e vendida para que o valor arrecadado na venda supere o custo de produo?

12. Num terreno h n rvores plantadas, conforme esquemas abaixo. Traando apenas 3 linhas retas em cada caso, divida o terreno em partes, cada uma contendo uma rvore.


90

19. Daqui a 10 anos, Robson ter o qudruplo da idade de seu filho Ronaldo. Daqui a 16 anos, o triplo. Quantos anos tem Robson e Ronaldo hoje?

15. Sabendo-se que 3a b = 10 e que a + c = 3, calcule o valor da expresso 3a2 + 3ac ab bc.

16. No hipermercado foram vendidas, na promoo de hoje, 228 caixas de sabo em p. "Limpa rosa" vendeu o triplo do "Limpa verde". Quantas caixas de cada marca foram vendidas.

17. Em uma sala de aula tem 43 alunos. H 5 meninas a mais que meninos. Quantos so os alunos de cada sexo?

18. A populao do Brasil de aproximadamente 160 milhes de habitantes. A populao urbana o triplo da populao rural. Qual a populao urbana? E a populao rural?

20. Classifique os quadrilteros:

13. Verifique se os seguintes trinmios so quadrados perfeitos.

14. Sabendo-se que a2 + b2 = 234 e ab = 45, calcule o valor de (a + b)2.

a) x2 + 6x + 9b) x2 + 8x + 9


91

21. Resolva as inequaes:

22. As retas f e g so paralelas (f // g). Determine a medida do ngulo , nos seguintes casos:

23. Obtenha as medidas dos ngulos a seguir:

24. Sabendo que as retas r, s e v so paralelas, determine o valor de a na situao indicada na figura:

25. Se o tringulo aBC issceles de base aC, determine x .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

a) b) c)

a) b)


92

26. Na figura os tringulos aBC e CDa so congruentes. Calcule x e y.

27. Sabendo que C ponto mdio de BE, prove que os tringulos aBC e DEC so congruentes.

28. Determine x nos casos a seguir.

4880

3y2x

29. Determine as medidas dos ngulos, A,B,C e D nas figuras:

A D

B C

A

D

B

C

A D

B C

a) b) c)

45130

45

xx

xx x + 15

x + 30x + 35

B C

A

D

E

a) b)


atividades variadas 8º ano

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