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Atividade 5 - MA211- Calculo II -

Unicamp Desenvolvimento

Questão 1 e 2 : Matheus Rufino 160925

Questão 3: Leticia Martins Marreiro 146925

Apoio:

Professor Márcio Antônio de Faria Rosa

Wesley Henrique 140986

Eduardo Silva 155208

Vanessa Teixeira 139201

Gabriel Vieira 155482

Phillipe Oliveira 157020

Isabela G. Fernandes 159753

A priori, Ávila, nos elucida o conceito de que “ f é diferenciável num ponto (x0, y0) seΔf = ⅆ f +rη, onde η → 0 com r → 0”. Ou seja, há existência de um plano tangente a origem

de f em que a distância das perpendiculares do plano tangente ao plano Oxy tende a zero mais

depressa do que r.

Portanto, para que f da forma z = f(x,y) seja diferenciável num dado ponto

(x0, y0) a diferenciável assume a forma

ⅆz = ⅆf = fx (x0, y0) (x - x0) + fy (x0, y0) (y - y0).Sendo os acréscimos Δx e Δy

variáveis independentes ∀ n ϵ ℝ.

Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

Caso f seja f(x,y) = x então fx = 1 e fx = 0 portanto ⅆf = Δx ou ⅆx = Δx ; ⅆy = Δy. Logo a expressão

da diferencial de f fica: ⅆf = fx ⅆx + fy ⅆy = ∂f ⅆx∂x

+ ∂f ⅆy∂y

. Onde ⅆx e ⅆy são agora as vars indepe-

dentes ∀ ⅆx,ⅆy ϵ ℝ.

Com isso, Ávila enuncia a condição de diferenciabilidade formulada em termos de ⅆf mais o incre-

mento. Denotando da forma como demonstrado anteriormente: rη + Δf = ⅆf. Juntamente a condição

de que a distância entre a superfície e o plano de equação π =

f (x0, y0) + fx(x0, y0) (x - x0) + fy(x0, y0) (y - y0)medida ao longo de perpendiculares ao plano Oxy tende

a zero mais depressa que r.

Mas, isso não é tudo, Ávila atenta ao fato de que NÃO basta que f tenha derivadas parciais uma

vez que funções não contínuas - logo não diferenciáveis - vez em quando possuem

∂z∂x

, ∂z∂y. Para que a função seja de fato diferenciável é condição necessária

e imprescindível que f seja contínua em todos e qualquer ponto (x0, y0).

Tendo em argumento o exemplo de uma função que possui tanto derivadas parciais como um

ponto contínuo mas não sendo diferenciável. Provando pelo absurdo o teorema “Toda função

diferenciável necessita abarcar tanto a condição de de ser derivável ∀ (x0, y0) ϵ ℝ e ser contínua

em todos os seus pontos e ter limite com r → 0”

Podemos com o auxílio do Mathematica verificar graficamente que f(x,y) = x y entra nesse

caso, tem derivadas parciais, continuidade em (0,0) mas não é diferenciável.

f[x_, y_] = Abs[x y] ;

2 Atv 5 - Calc II - Marcio FINAL.nb


aa = Plot3D Abs[x y] , {x, -8, 8}, {y, -8, 8}, AxesLabel → {"x", "y", "z"},

AxesStyle → Thick, Boxed → False, AxesOrigin → {0, 0, 0}

Como queríamos demonstrar, não existe um plano tangente a origem dessa f, portanto, não há

limite com r → 0. E a expressão fx(0, 0)ⅆx + fy(0, 0)ⅆy = 0 não engloba o conceito de uma

expressão diferencial.

Sendo assim, Ávila nos elucida uma nova condição necessária e prática para que a função seja de

fato diferenciável. Uma vez que os testes anteriores eram ou falhos ou complicados demais. “Para

que uma função seja diferenciável é suficiente que ela tenha derivadas parciais de primeira

ordem contínuas em toda uma vizinhança do ponto.”

Ora, mas isso não é nada mais nem nada menos que o TEOREMA DO VALOR MÉDIO (também

conhecido como Teorema de Lagrange). Teorema que afirma que dada uma função contínua,

geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à

secante que passa pelos pontos de abcissas a e b.

Atv 5 - Calc II - Marcio FINAL.nb 3


O teorema portanto fica elucidado da forma “Seja f uma função com derivadas parciais de

primeira ordem contínuas num domínio aberto D. Então f é diferenciável em todo ponto de

D.” Ou seja, basta que a primeira derivada parcial, tanto para x como para y, seja contínua num

dado domínio para essa função. E para saber se uma função é contínua, aplica-se o teorema do

valor médio. Caso essa condição seja respeitada, sabemos que se trata de uma função não ape-

nas contínua, como diferenciável e derivável para x e para y. A demonstração desse teorema está

explicada passo a passo nas páginas 61 e 62 no capítulo 2 do livro do Ávila.

h[x_, y_] = 15 + 3 4 y2 + 1 24 y2 - 1 32 y4 - x2;

α[t_] = t 6 Cos[t], t 6 Sin[t];

ϕ[t_] = ht 6 Cos[t], t 6 Sin[t];

β[t_] = t 6 Cos[t], t 6 Sin[t], ϕ[t];

a2 = Plot3D[h[x, y], {x, -8, 8}, {y, -8, 8},

RegionFunction → Function[{x, y, z}, h[x, y] ≥ 0]];



b2 = ParametricPlot3D[β[t], {t, 0, 8 π}, PlotStyle → Thick];

Show[a2, b2]

Basicamente, o que temos é que α de fato é a sombra do movimento em 3 dimensões do ponto

material. Sendo β a equação do movimento desse ponto material. Podemos observar o movimento

em 1D, que é a sombra α, desse movimento através do comando Manipulate. Vejamos:



ManipulateParametricPlot1

6t Cos[t],

1

6t Sin[t], {t, -λ, λ}, {λ, 0.1, 37}

λ

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Sendo então a sombra uma espécie de movimento circular degenerado pelo tempo através da

manipulação de senos e cossenos. Ou seja, pensando fisicamente, a sombra de um movimento em

3D revela a característica de como esse movimento atua. Se o mesmo é acelerado ou não, como

quando temos um Movimento Harmônico Simples ao olhar a sombra de um Movimento Circular

Uniforme.

Agora vamos analisar o movimento da partícula de fato em 3D, sendo β a equação desse movi-

mento, parametrizada por ϕ e pelo tempo.



ManipulateParametricPlot3D1

6t Cos[t],

1

6t Sin[t],

15 -1

36t2 Cos[t]2 +

19

864t2 Sin[t]2 -

t4 Sin[t]4

41 472, {t, -λ, λ}, {λ, 0.1, 37}

λ

Plot15 -1

36t2 Cos[t]2 +

19

864t2 Sin[t]2 -

t4 Sin[t]4

41 472,

{t, -37.69911184307752`, 37.69911184307752`}

-30 -20 -10 10 20 30

-20

-10

10

20

Finalmente podemos analisar o que de fato acontece nesse movimento ao longo do tempo. O

ponto material começa na base da montanha e tem seu movimento descrito por β parametrizado



tanto por ϕ como por Sin e Cos. Ou seja, ao longo do tempo o movimento elonga-se com as

funções trigonométricas e atinge os picos e vales do que é descrito por ϕ. Portanto, temos um

movimento relativamente uniforme de um ponto que começa na base da montanha e vai subindo

até um pico máximo de ϕ, como elonga-se trigonometricamente ele volta a descer um morro da

montanha, chega a base desse morro e depois sobe novamente, fazendo isso até atingir o pico

máximo dessa montanha.

c = ContourPlot[h[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5},

ContourShading → False, ContourLabels → True, Contours → 30];

gradh[x_, y_] = {D[h[x, y], x], D[h[x, y], y]};

d = StreamPlot[gradh[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}];

e = ParametricPlot[α[t], {t, 0, 8 π}, PlotStyle → Thick];

Manipulate

Showc, d, e, GraphicsBlue, Arrowα[λ], α[λ] + 0.5 * α'[λ], {λ, 0, 8 π}

λ

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66 66

66

66

72 72

72 72

78 78

78 78

84 84

84 84

90 90

90 90

96 96

96 96

102 102

102 102

108 108

108 108

114

114 114

114120 120

120 120

-5 0 5

-5

0

5



Plot[ϕ[t], {t, 0, 8 π}];

Em relação a interpretação das curvas e objetos podemos verificar que o comando ContourPlot nos

trouxe os contornos de nossa função h, que representa a topografia da montanha, StreamPlot nos

retorna as linhas do gradiente vetorial dessa função (obtido através das derivadas parciais) e há

clara indicação de que esses vetores estão apontando para os picos das montanhas, partindo do

plano ao nível do mar. Já o ParametricPlot, como o nome indica, parametriza através do tempo o

movimento β do ínicio da questão, sendo então a sombra do movimento do ponto material em 2

dimensões. Por fim, o comando Manipulate está a indicar o vetor tangente a curva, ou seja, a

derivada da posição que fisicamente é a interpretação da velocidade.

O movimento da sombra, como já analisamos anteriormente, é o reflexo em 2 dimensões do movi-

mento β em 3D. Ou seja, um movimento circular degenerado pelas componentes trigonométricas e

ϕ parametrizado pelo tempo. Como estamos em duas dimensões, podemos interpretar que o

movimento de subida ou descida pertencente a R3 está contemplado na expansão do Raio desse

círculo, formando vários círculos com raios cada vez maiores que indicam a degeneração em ϕ.

Sendo a degeneração curvílinea de responsabilidade trigonométrica Sin e Cos.

Por outro lado, as linhas do gradiente nos indicam na curva de nível os ponto de máximo partindo

de algum ponto do plano base da montanha. Sendo assim, o vetor da velocidade que é a derivada

em cada ponto da curva da sombra, atinge valores diferentes de aceleração, ou seja, a segunda

derivada nos retorna valores diferentes, dependendo de uma relação entre a curva de nível e o

vetor gradiente. Portanto, não se trata de uma velocidade contínua.

Plot[ϕ[t], {t, 0, 8 π}]

5 10 15 20 25

5

10

15

20

No último comando, para podermos observar esses pontos de máximo e mínimo precisamos

primeiro aumentar o número de contornos. Uma vez que o ϕ tem a função de dar os picos locais na



subida da função h, ou da montanha. Os pontos podem ser interpretados como estando no centro

de cada contorno máximo local do ContourPlot. Então são eles x cte = 0.00875; y = [-3.509;-0.787]

e y =[3.509;0787].

Em relação ao vetor velocidade, pode-se perceber que a segunda derivada (aceleração) será

negativa no pico positivo e positiva no pico negativo.

Para podermos entender melhor com o que estamos trabalhando, vamos definir uma função de

duas variáveis qualquer para entendimento de um caso para entender no geral.

O conceito de continuidade envolve a seguinte abordagem :

quando o Limite[f (p), p → a] = f(a) , esta função será continua. Sabe-se que a composta de duas

funções contínuas resulta em uma função contínua. No exemplo acima, temos que x² e y² são duas

funções contínuas, logo a composta das mesmas será contínua.

Agora observaremos a definição do TVI (Teorema do Valor Intermediário (TVI) (Bolzano)):

“ Se f(a, b) → R é uma função contínua então a imagem de f, Im(f) = f((a, b)), é um intervalo.

Isto é, se y ∈ R é tal que f(x1) < y < f(x2), com x1, x2 ∈ (a, b), então existe x ∈ (a, b) tal que f(x) = y. “

Portanto, este traço corta uma infinidade de conjuntos de nível da forma g(x, y) = k onde k assume

todos valores possíveis entre

x1 e x2, ou seja, qualquer ponto entre o dado intervalo está contido na curva, como apresenta o

TVI.

f[x_, y_] = x^2 + y^2;

ponto = Graphics[Point[{-1.472, -1.91}]];

c = ContourPlotx2 + y2, {x, -8, 8}, {y, -8, 8} , Axes -> True ,

ContourShading → False, ContourLabels → True, Contours → 20;

p = Plot[ 1 + 2 x , {x, -5, 5}];



Show[c, p, ponto]

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66 66

66

66

72 72

72 72

78 78

78 78

84 84

84 84

90 90

90 90

96 96

96 96

102 102

102 102

108 108

108 108

114

114 114

114120 120

120 120

-5 0 5

-5

0

5

Agora, escolhemos 2 pontos dos contornos de f(x,y); f(x,y) = a= 24 e f(x,y)= b=18, e sabemos que

a reta é da forma a x +b → [2 x +1] , e então escolhemos um terceiro ponto P com as coordenadas

obtidas pelo mathematica {-1,472,-1,91} para comprovar o TVI.

Substituindo o x= -1,472 obtemos o y= -1,944 que é aproximadamente -1,91.

Isso comprova que na curva de nível de valor 6 [que está entre 24 e 18], existe um ponto perten-

cente a reta e aos contornos.

E isso mostra que entre o intervalo de a,b todos os pontos satisfazem a equação da reta. Ou seja,

se possuímos uma função composta de contínuas, através de um traço passando por seus con-

tornos em 2D podemos comprovar novamente que a mesma tem essa característica pelo TVI,

como queríamos demonstrar.



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