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Atividade 10 - MA211- Calculo II -

Unicamp Desenvolvimento

Questão 1, 2 e 3 : Matheus Rufino 160925, Leticia Martins Marreiro 146925

Apoio:

Professor Márcio Antônio de Faria Rosa

Wesley Henrique 140986

Eduardo Silva 155208

Vanessa Teixeira 139201

Gabriel Vieira 155482

Phillipe Oliveira 157020

Isabela G. Fernandes 159753

Para a realização da questão 16 da página 119 precisamos entender como se trata a região T

pedida para o cálculo do volume desse sólido.

Ou seja, as duas canaletas, z2 e 8 - z2 limitadas pelos planos dados formam um sólido de uma

forma peculiar o qual será explicitado pelos comandos empregados abaixo.

E de fato, como sugere o enunciado, a região bidimensional R pode ser usada para a aplicação de

Fubinni.

Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

canaletas = ContourPlot3Dx ⩵ z2, x ⩵ 8 - z2, {x, -10, 10}, {y, -3, 3}, {z, -2, 2},

AxesLabel → Automatic, Mesh → None, ContourStyle → Opacity[0.2];

planos = ContourPlot3D[{y ⩵ -1, y ⩵ -3}, {x, 0, 8}, {y, -3, 3}, {z, -2, 2},

AxesLabel → Automatic, Mesh → None, ContourStyle → Opacity[0.6]];

Show[planos, canaletas]

Sólido = RegionPlot3D8 - z2 ≥ x ≥ z2, {x, 0, 8}, {y, -3, -1}, {z, -2, 2}

(**Observa-se aqui a semelhança entre os dois sólidos**)

O sólido aqui representado possui a mesma forma do que está no livro. A diferença é o parabolóide

superior, que lá possui equação 2 - z2 resultando em limites diferentes para z.

2 Atividade 10 - Completa.nb


T = RegionPlot8 - z2 ≥ x ≥ z2, {z, -2, 2}, {x, 0, 8} (**Região T bidimensional**)

-2 -1 0 1 20

2

4

6

8

O Software Mathematica dificulta a observação da sombra pedida, uma vez que o sólido é feito no

RegionPlot3D e ele não possui o comando Filling. Mas podemos ter uma ideia dessa sombra com o

Plot3D, novamente empregado.

Plot3Dz2, 8 - z2, {x, -2, 2}, {z, -2, 2}, AxesLabel → Automatic,

Mesh → None, Filling → Bottom, PlotStyle → Opacity[0.2]

Podemos observar que a região para a integral do volume pedido é dada por

-2 ≤ z ≤ 2 , -3 ≤ y ≤ -1 , 8 - z2 ≤ x ≤ z2, logo a Integral tripla fica da forma:

V =-2

2

-1

-3

8-z2

z2

1 ⅆx ⅆy ⅆz =128

3

Atividade 10 - Completa.nb 3


canaleta4 = ContourPlot3Dy ⩵ x2, {x, -3, 3},

{y, -3, 4}, {z, -3, 4}, ContourStyle → Opacity[0.3];

planos2 = ContourPlot3D[{y ⩵ 4, z ⩵ 0, z ⩵ y}, {x, -3, 3}, {y, -3, 4},

{z, -3, 4}, ContourStyle → Opacity[0.9], AxesLabel → Automatic];

α = Show[canaleta4, planos2]



RegiaoT = RegionPlot3D0 ≤ z ≤ y && x2 ≤ y ≤ 4 && -2 ≤ x ≤ 2, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},

{z, -3, 3}, PlotPoints → 80, PlotStyle → Directive[Yellow, Opacity[0.15]],

AxesStyle → Thick, Boxed → False, AxesOrigin → {0, 0, 0}, AxesLabel → True

Agora que sabemos a região, para calcular as coordenadas {x, y, z} do centro de massa necessita-

mos primeiro do volume. E podemos supor, pela simetria que a região apresenta que a coordenada xcm = 0.

Solvex2 ⩵ 4, x

{{x → -2}, {x → 2}} (**Limites para x**)

v = -2

2

x2

4

0

y

1 ⅆz ⅆy ⅆx

V =128

5;

{xcm, ycm, zcm} =

1

V

-2

2

x2

4

0

y

x ⅆz ⅆy ⅆx,1

V

-2

2

x2

4

0

y

y ⅆz ⅆy ⅆx,1

V

-2

2

x2

4

0

y

z ⅆz ⅆy ⅆx

Pcm = 0,20

7,10

7;

De fato, xcm = 0.

data = {Pcm};

VectorCM = Graphics3D

Red, Arrowheads[0.1], ArrowTube0,20

7,10

7, {0, 0, 0}, 0.05;



{Show[RegiaoT, VectorCM], Show[VectorCM, RegiaoT]}

,



cilindro1 = ContourPlot3Dx2 + z2 ⩵ 1, {x, -1, 1}, {z, -1, 1}, {y, -1, 1};

cilindro2 = ContourPlot3Dy2 + z2 ⩵ 1, {x, -1, 1}, {z, -1, 1}, {y, -1, 1};

Show[cilindro1, cilindro2]



(**olha, é bonita mesmo essa figura hehehe**)



regiaotomografica = RegionPlot3D- 1 - x2 ≤ z ≤ 1 - x2 && - -z2 + 1 ≤ y ≤ -z2 + 1 ,

{x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1}

Como pedido no enunciado, precisamos calcular o volume de um oitavo da região para aí final-

mente calcularmos o centróide específico pedido.

Então, para isso, podemos usar planos que vão delimitar a região. Um oitavo dessa região é como

fatiar esse pseudo-cubo em oito partes.

Também podemos ir cortando pelos limites do próprio plot.

regiaotomograficacortada = RegionPlot3D

- 1 - x2 ≤ z ≤ 1 - x2 && - -z2 + 1 ≤ y ≤ -z2 + 1 , {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}



(**isso é um quarto do sólido**)

regiaotomograficacortadaUMOITAVO =

RegionPlot3D- 1 - x2 ≤ z ≤ 1 - x2 && - -z2 + 1 ≤ y ≤ -z2 + 1 , {x, 0, 0.1},

{y, 0, 1}, {z, 0, 1}, PlotStyle → Directive[Yellow, Opacity[0.15]],

AxesStyle → Thick, Boxed → False, AxesOrigin → {0, 0, 0}, AxesLabel → True



(**metade de um quarto, um oitavo :D**)

v2 = 0

0.1

- 1-x2

1-x2

- 1-z2

1-z2

1 ⅆy ⅆz ⅆx

0.314126

vum oitavo = 0.3141;

Em posse do Volume, podemos encontrar o valor do centro de massa de um oitavo do volume, ou

seja, um oitavo da região.

Pcm2 = {xcm, ycm, zcm} = 1

voitavo um0

0.1

- 1-x2

1-x2

- 1-z2

1-z2

x ⅆy ⅆz ⅆx,1

voitavo um

0

0.1

- 1-x2

1-x2

- 1-z2

1-z2

y ⅆy ⅆz ⅆx,1

voitavo um0

0.1

- 1-x2

1-x2

- 1-z2

1-z2

z ⅆy ⅆz ⅆx

VectorCM2 =

Graphics3D[{Red, Arrowheads[0.1], Arrow[Tube[{{0.05000092602056679`, 0.`, 0.`},

{0.05000092602056679`, 0.`, 0.`}}, 0.05]]}];

Show[VectorCM2, regiaotomograficacortadaUMOITAVO]



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