ATITUDE INTERDISCIPLINAR ENTRE PROFESSORES DE MATEMÁTICA E FÍSICA NO AMBIENTE GERADO PELO

PROCESSO DE MODELAGEM MATEMÁTICA

Ednilson Sergio Ramalho de Souza1

Universidade Federal do Pará-UFPA/IEMCI ednilson.souza@yahoo.com.br

Resumo

Desenvolve-se uma experiência de modelagem matemática realizada por três professores (dois de Matemática e um de Física), alunos de um curso de Especialização em Educação Matemática. O objetivo do grupo foi promover atitude interdisciplinar durante ambiente gerado pelo processo de modelagem matemática. Motivados por um acontecimento de comoção nacional: o desabamento do teto de uma igreja, os sujeitos da pesquisa escolheram um tema: “reforma de telhados”. A partir de uma situação física (forças incidentes em uma tesoura de um telhado) foram estudados conceitos de Matemática e Física de maneira significativa e interdisciplinar, onde os assuntos foram abordados conforme a necessidade para se resolver o problema inicial (o que pode causar o desabamento de telhados?). Constatou-se que o ambiente de ensino-aprendizagem gerado pelo processo de modelagem matemática de uma situação física favoreceu atitude interdisciplinar entre os professores participantes da atividade.

Palavras-chave: Modelagem Matemática; Atitude Interdisciplinar; Matemática e

Física.

1. Introdução

A modelagem matemática tem sido apontada como uma estratégia que

proporciona uma atividade interdisciplinar e até mesmo transdisciplinar (Souza e

Espírito Santo, 2008; Levy, 2003). A respeito da interdisciplinaridade, as Orientações

Curriculares para o Ensino Médio salientam que,

1 Professor de Física, mestre em Educação em Ciências e Matemáticas pelo Instituto de Educação Matemática e Científica-IEMCI/UFPA.

2

Trata-se da construção de um novo saber a respeito da realidade, recorrendo-se aos saberes disciplinares e explorando ao máximo os limites e as potencialidades de cada área do conhecimento. O quanto será ultrapassado do limite de cada disciplina dependerá do projeto inicialmente elaborado. O objeto de estudo é o mesmo, mas levará a um novo saber, que não é necessariamente da Física, da Química ou da Biologia, mas um saber mais amplo sobre aquela situação, aquele fenômeno.

(BRASIL, 2006, p. 51).

Desse modo, o objetivo desse trabalho é mostrar o desenvolvimento de uma

atividade interdisciplinar entre professores de Matemática e Física realizada durante um

curso de Especialização em Educação Matemática.

Partindo da seguinte problemática: o que pode causar o desabamento de um

telhado? e motivados por um acontecimento de comoção nacional que vitimou nove

pessoas após o desabamento de um telhado de uma igreja em uma cidade brasileira, os

alunos realizaram várias pesquisas na internet, livros, entrevistas com especialistas da

área para buscar respostas à pergunta formulada. No decorrer da atividade foram

estudados de maneira imbricada conteúdos de Matemática e Física, possibilitando,

assim, uma atitude interdisciplinar para a sala de aula.

2. Aspectos gerais sobre modelagem matemática

Genericamente, podemos dizer que modelagem matemática é um processo que

visa à obtenção e validação de um modelo matemático (BASSANEZI, 2004). Para

melhor compreendermos o conceito de modelo matemático, vamos entender

primeiramente o conceito de modelo no âmbito da psicologia cognitiva.

Rodney Bassanezi (2004) argumenta que ao se procurar refletir sobre uma parte

da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela, o processo

comum é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e

formalizá-los através de um sistema artificial: o modelo.

Depreende-se que, para esse autor, o termo modelo possui, necessariamente, a

função de possibilitar explicações, inferências, predições, deduções. O que pode ser

corroborado por Pinheiro (2001) “Os modelos, devido à sua flexibilidade, podem

desempenhar diversas funções, às vezes até simultaneamente. Eles podem servir para

compreender, explicar, prever, calcular, manipular, formular” (p. 38).

3

Borges (1997) contribui ressaltando que,

Um modelo pode ser definido como uma representação de um objeto ou uma idéia, de um evento ou de um processo, envolvendo analogias Portanto, da mesma forma que uma analogia, um modelo implica na existência de uma correspondência estrutural entre sistemas distintos. Se isso não fosse assim, os modelos teriam pouca utilidade.

(BORGES, 1997, p. 207).

Entendemos, portanto, que um modelo é uma representação de alguma coisa

que possibilite explicações, inferências e predições por meio de analogias entre o

modelo (representante) e a coisa modelada (representado).

O modelo de um motor de carro (uma planta, uma maquete, um protótipo) deve

permitir que o engenheiro o explique e tome decisões a partir da interpretação desse

modelo. Para um leigo, essa representação de motor não será um modelo, visto que não

possibilitará nenhuma explicação científica, apenas o representará em sua ausência.

2.1 Representação matemática ou modelo matemático?

Considerando o exposto acima, somos levados a inferir que um modelo

matemático seria uma representação matemática que possibilite algum tipo de

interpretação científica sobre o objeto de conhecimento. Deste modo, a distinção entre

representação matemática e modelo matemático é função do repertório cognitivo de

quem tenta interpretar/utilizar tal representação. Um modelo matemático é fruto de um

processo cognitivo, ou seja, é fruto da mobilização de estruturas internas de

conhecimento pelo sujeito. Portanto, uma representação matemática exige um custo

cognitivo apenas de identificação ou reconhecimento. Um modelo matemático exige a

mobilização de estruturas cognitivas mais elaboradas.

2.2 O fluxo do processo de modelagem

O processo ou a dinâmica da modelagem matemática pode ser realizado em

etapas. Rodney Bassanezi (2004) propõe cinco “atividades intelectuais”, a saber:

• Experimentação: onde ocorre a obtenção de dados;

• Abstração: procedimento que deve levar à formulação de modelos matemáticos

(seleção de variáveis, problematização, formulação de hipóteses, simplificação);

4

• Resolução: atividade própria do matemático. Consiste em usar técnicas de

resolução para tratar o modelo matemático;

• Validação: processo de aceitação ou não do modelo proposto;

• Modificação: reformulação dos modelos para garantir coerência e utilidade.

Os passos acima são suficientes para efetivar o processo de modelagem

matemática. Porém, como argumenta o autor acima: só se aprende a fazer modelagem

matemática, modelando!

Barbosa (2001) ressalta que as atividades de modelagem matemática vêm sendo

realizadas basicamente de três maneiras ou, como o próprio autor se refere, em “casos”:

No caso 1 a descrição da situação, os dados reais e os problemas são trazidos

pelo professor, cabendo aos alunos apenas a tarefa de resolução,

No caso 1, o fato de o professor ter simplificado e formulado o problema não significa a ausência de indagação pelos alunos. Ela está presente durante o engajamento dos alunos no processo de resolução. O problema posto pelo professor é uma indagação geradora de outras. O nível de questionamento dos alunos, certamente, depende do papel estimulador do professor: “Qual o caminho?”, “Por quê?”, “Como?”, “Tem certeza? etc.”

(BARBOSA, 2001, p. 39-40).

No caso 2 o professor traz para a sala de aula um problema não-matemático, ou

seja, cabe ao professor formular e apresentar o problema. A coleta de dados qualitativos

e quantitativos necessários para resolver o problema fica a cargo dos alunos.

No caso 3 são escolhidos temas para desenvolver a pesquisa, “...o levantamento

de informações, a formulação de problemas e a resolução destes cabem aos alunos. A

ênfase está em estimular os alunos a identificar situações problemáticas, formulá-las

adequadamente e resolvê-las”.(ibidem, p. 39).

Os “casos” de Barbosa acima apresentados não devem ser tomados como formas

prescritivas rígidas de organização das atividades de modelagem. Dependendo de

contexto escolar e da maturidade do professor e dos alunos com relação à modelagem,

pode-se “passear” entre os casos “... de modo a se nutrirem reciprocamente” (ibidem, p.

40).

5

Chaves e Espírito Santo (2008, p. 159), ao refletirem sobre as diversas

possibilidades de uso e aplicação da modelagem matemática em sala de aula, entendem

a mesma como um processo gerador de um ambiente de ensino-aprendizagem no qual

os conteúdos matemáticos podem ser vistos imbricados a outros conteúdos de outras

áreas do conhecimento, por exemplo, de Física; tendo-se, dessa forma uma visão

holística do problema em investigação.

Entendemos que um ambiente de ensino e aprendizagem é construído no espaço sala de aula, sem necessariamente se restringir a ele, a partir do momento em que, cada um de seus participantes, alunos e professores, assumem responsabilidades e obrigações pelo desenvolvimento de atividades que visem o ensino e a aprendizagem do conhecimento, aqui, em particular, o matemático. E, ao entender Modelagem Matemática como um processo gerador de um ambiente de ensino e aprendizagem que tem as atividades como mote, englobamos nesse processo várias possibilidades para o uso da Modelagem na perspectiva da Educação Matemática. (grifos dos autores)

(CHAVES e ESPÍRITO SANTO, 2008, p. 159).

3. Interdisciplinaridade

Muito se tem falado nessa palavra nos últimos anos, mas parece que o discurso

não condiz com a prática “poucos sabem o que esta vem a ser e como deve ser exercida

na prática científica e, em especial, na prática docente” (SILVA, 2009, p. 37).

Corroboramos com as idéias de Silva (2009) quando este reflete que a

interdisciplinaridade não está na integração das ciências, mas na atitude do cientista [ou

do modelador matemático] que, ciente de sua capacidade limitada pela necessidade de

especialização, busca informações de outras áreas que permitam melhor compreensão

do fenômeno estudado.

O mesmo autor elenca, a partir de idéias de autores como: Jean Piaget, Edgar

Morin, Vygotsky, David Ausubel e Gerard Vergnaud, alguns princípios para uma

atitude interdisciplinar:

• Reversibilidade: capacidade de executar uma mesma ação nos dois sentidos de

percurso, porém não perdendo a consciência de que se trata da mesma ação. Tal

capacidade é primária para o desenvolvimento de conduta interdisciplinar, pois

ela permite ao sujeito compor e decompor uma ação mental na busca de um

6

equilíbrio cognitivo necessário à compreensão do objeto de conhecimento

(SILVA, 2009);

• Abstração reflexiva: este princípio permite ao indivíduo entender que os

conceitos podem ser relacionados na busca do entendimento mais completo de

um dado fenômeno ou um novo conceito. A Biologia explica a fisiologia do

globo ocular; a Física explica os fenômenos óticos e a Matemática explica,

através do conceito de proporcionalidade, como é possível capturar uma imagem

em tamanho real e convertê-la em tamanho menor (ibidem);

• Aprendizagem significativa: quando a aprendizagem se apóia em organizadores

prévios (que são, na realidade, “velhos” conhecimentos, isto é, conhecimentos já

estabelecidos e consolidados na estrutura cognitiva do sujeito) e os utiliza como

instrumento de aglutinação de novos conhecimentos, procurando diferenciá-los

progressivamente e reconciliá-los em uma rede;

• A idéia de campo conceitual: a fim de se refletir, explorar e tentar, é necessário

articular os conhecimentos já estabelecidos, que nada mais são do que as

competências que fazem parte do campo conceitual do sujeito que vislumbra

uma postura interdisciplinar;

• O pensamento complexo de Edgar Morin: que em linha gerais consiste em

romper com a compartimentalização na direção da (re)ligação dos saberes.

É preciso religar o que era considerado como separado. Ao mesmo tempo, é preciso aprender a fazer com que as certezas interajam com a incerteza. O conhecimento é, com efeito, uma navegação que se efetiva num oceano de incerteza salpicado de arquipélagos de incerteza.

(MORIN, 2002, p. 61 apud SILVA, 2009, p. 46).

Entendemos, portanto, que a interdisciplinaridade está relacionada a um

comportamento, conduta ou atitude educacional que visa (re)estabelecer laços entre os

diversos conhecimentos que orbitam um objeto de estudo. Apesar da necessidade da

especialização na prática científica, é necessário que o sujeito não perca de vista os

laços existentes entre as partes do todo. Interligando-os e relacionando-los para melhor

compreender a realidade a sua volta. Acreditamos que o ambiente gerado pelo processo

de modelagem matemática no ensino possa favorecer a essa postura interdisciplinar.

É importante também perceber que uma atitude interdisciplinar pode ser

mediada por representações matemáticas que possibilitem convergências entre os

7

diversos conhecimentos. Por exemplo, a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 pode ser usada em uma

mesma aula tanto para estudar conceitos de Física (deslocamento de um móvel), quanto

conceitos de Biologia (pressão sanguínea) ou conceitos da economia (importação e

exportação).

4. Metodologia

Descreveremos abaixo os procedimentos metodológicos realizados durante uma

atividade interdisciplinar entre professores Matemática e Física. Primeiramente, os

sujeitos da pesquisa (dois professores de Matemática e um de Física) discutiram qual

seria a questão de pesquisa a ser investigada. Tendo chegado a um consenso, os mesmos

realizaram pesquisas na internet para obter informações sobre um acidente que vitimou

nove pessoas em uma cidade do Brasil. A partir dessas informações construíram um

texto introdutório sobre o desabamento do telhado da igreja. Os sujeitos elaboraram,

então, uma situação-problema envolvendo o tema de pesquisa:

4.1 Situação-problema

O telhado é a parte superior da construção que tem como função principal

protegê-la das intempéries (sol, chuva, vento etc.) e também proporcionar isolamento

térmico à edificação. É composto por estrutura própria para o carregamento de forças

incidentes, é coberto por telhas dispostas de maneira a canalizar as águas pluviais ao

solo. As telhas são apoiadas sobre uma estrutura inclinada, e também tem função

estética, quando bem desenhado embeleza a construção.

A tesoura (estrutura de madeira que serve par sustentar o peso do telhado, figura

1) é um elemento fundamental na construção de telhados. O telhado é tão importante

quanto o alicerce de uma casa, por isso devemos construir tesouras que suportem o peso

de um telhado, principalmente nos dias de chuva quando as telhas ficam mais pesadas.

Pretende-se trocar a cobertura do telhado abaixo por telhas do tipo colonial. No

entanto, precisamos verificar se a viga principal da tesoura suportará o peso do novo

telhado.

8

→→

→

→

Figura 1. Tesoura de um telhado mostrando três forças (f1, f2 e f3) que convergem para o ponto P.

4.2 Análise da situação-problema

Após a compreensão geral da situação e formação de um modelo mental2 da

mesma, pode-se passar para a etapa de análise da situação física: para saber se a viga

principal suportará o peso do novo telhado é preciso calcular o peso total e comparar

com a carga de ruptura3

Para saber o peso do novo telhado temos que multiplicar a massa do novo

telhado pela aceleração da gravidade. A massa do novo telhado é calculada

multiplicando-se a quantidade de telhas pela massa de uma única telha. A quantidade de

da viga. Se o peso do novo telhado for maior que a carga de

ruptura é preciso reforçá-la, caso contrário o serviço de reforma poderá ser feito sem

problema de desabamento do telhado.

4.3 Problematizando a situação física

a) Qual o peso do novo telhado?

Desde já é importante esclarecer a diferença entre peso e massa. Enquanto o

primeiro é uma força que tem direção para o centro da terra e normalmente é calculada

em unidades de força (Newtons, N), a segunda é a quantidade de matéria de um corpo,

normalmente calculada em unidade de massa (quilogramas, kg).

2 Os modelos mentais são estruturas cognitivas formadas no ato da compreensão de uma situação ou de um problema, capacitam o sujeito a explicar, inferir, fazer predições. 3 Força máxima suportada pela viga na iminência de ruptura. Estamos admitindo o valor de 20.000 Newtons.

9

telhas é calculada dividindo-se a área total a ser coberta pela área de uma única telha

colonial.

i) calculando a área total a ser coberta.

Para calcular a área total a ser coberta, vamos admitir um telhado com as

seguintes dimensões,

Figura 2. Dimensões do telhado a ser coberto.

A área total consiste de dois retângulos de área 5 x L, logo a área a ser coberta é

dada por,

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚á𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑀𝑀 = 2 𝑥𝑥 5𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝐿𝐿(𝑚𝑚)

Á𝑟𝑟𝑀𝑀𝑎𝑎 = 10𝐿𝐿

Podemos calcular a medida do lado L de duas maneiras: através do ângulo β ou

pelo teorema de Pitágoras.

6 m

L

βh

Figura 3. Vista frontal da tesoura do telhado da casa.

10

Após alguma pesquisa em revistas, livros técnicos, entrevistas com profissionais

da área de construção e na internet, podemos encontrar relações que nos dão o valor do

ângulo β em função da altura h. Biembengut e Hein informam que “Experimentalmente,

o caimento das tesouras deve ser de 20%, ou seja, a cada metro da horizontal

corresponderá 20 cm do suporte vertical” (2003, p. 63). Logo, como a casa tem 6m de

comprimento, a metade tem 3m. Desta forma o suporte vertical deverá ter 1,20m.

β3m

1,20m

3m

1,20mβ

L

L

Figura 4. Cálculo do lado L.

Vamos calcular a medida do lado L usado o teorema de Pitágoras:

𝐿𝐿2 = 32 + 1,202

𝐿𝐿2 = 9 + 1,44

𝐿𝐿2 = 10,44

𝐿𝐿 = �10,44

𝐿𝐿 = 3,23𝑚𝑚

Podemos também calcular o lado L por meio do ângulo β:

𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡 =1,20

3

11

𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡 = 0,4

𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑡𝑡 0,4

𝑡𝑡 = 21,80°

Usando a lei dos senos temos que:

𝑠𝑠𝑀𝑀𝑠𝑠𝑡𝑡 =1,20𝐿𝐿

𝐿𝐿 =1,20

𝑠𝑠𝑀𝑀𝑠𝑠21,80

𝐿𝐿 =1,200,37

𝐿𝐿 = 3,23𝑚𝑚

Podemos agora calcular a área a ser coberta,

Á𝑟𝑟𝑀𝑀𝑎𝑎 = 10 𝐿𝐿

Á𝑟𝑟𝑀𝑀𝑎𝑎 = 10 𝑥𝑥 3,23

Á𝑟𝑟𝑀𝑀𝑎𝑎 = 32,3𝑚𝑚2

ii) calculando a área de cada telha colonial.

Podemos obter as dimensões de uma telha colonial através de pesquisa na

internet ou medindo-se diretamente com uso de uma trena. A figura 5 nos dá os

seguintes valores:

16 cm

21 cm

56 cm

partes sobrepostas

Figura 5. Dimensões de uma telha colonial (adaptado de www.ceramicaforte.com.br).

12

Comprimento: 56 cm;

Base maior: 21 cm;

Base menor: 16 cm.

A área da telha pode ser dada pela área do trapézio,

𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚á𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑀𝑀 = (𝑏𝑏𝑎𝑎𝑠𝑠𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑡𝑡𝑀𝑀𝑟𝑟 + 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑠𝑠𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀𝑟𝑟)𝑥𝑥𝑡𝑡𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑚𝑚𝑀𝑀𝑠𝑠𝑚𝑚𝑀𝑀

2

Á𝑟𝑟𝑀𝑀𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎 = (21𝑡𝑡𝑚𝑚 + 16𝑡𝑡𝑚𝑚) 𝑥𝑥56𝑡𝑡𝑚𝑚

2

Á𝑟𝑟𝑀𝑀𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎 = 1.036𝑡𝑡𝑚𝑚2

iii) Calculando a quantidade de telhas.

A quantidade de telhas é calculada dividindo-se a área a ser coberta pela área de

cada telha,

Área a ser coberta = 32,3m

Área de cada telha = 1.036cm

2

Devido as unidades de medida serem diferentes, ou seja, a área a ser coberta está

em m

2

2 e a área de cada telha está em cm2, para efetuar a divisão temos que transformar

as medidas para a mesma unidade. Vamos usar as medidas em m2

iv) Calculando a massa total das telhas

.

𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚á𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑀𝑀 =á𝑟𝑟𝑀𝑀𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚𝑎𝑎𝑀𝑀á𝑟𝑟𝑀𝑀𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎

𝑄𝑄𝑄𝑄𝑎𝑎𝑠𝑠𝑚𝑚𝑡𝑡𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 32,3𝑚𝑚2

0,1036𝑚𝑚2

𝑄𝑄𝑄𝑄𝑎𝑎𝑠𝑠𝑚𝑚𝑡𝑡𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 311,77

Para calcular a massa total das telhas temos que multiplicar a quantidade de

telhas pela massa de uma única telha (quadro 1),

13

𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚á𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑀𝑀 = 𝑞𝑞𝑄𝑄𝑎𝑎𝑠𝑠𝑚𝑚. 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚𝑎𝑎𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 311,77 𝑥𝑥 2,90𝑘𝑘𝑡𝑡

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚𝑎𝑎𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 904,15 𝑘𝑘𝑡𝑡

v) Calculando o peso das telhas.

Para calcular o peso das telhas temos que multiplicar a massa total das telhas

pela aceleração da gravidade (𝑡𝑡 = 9,80665 𝒎𝒎𝒔𝒔𝟐𝟐

)

𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚á𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑀𝑀 = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚𝑎𝑎𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑔𝑔𝑡𝑡𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀𝑀𝑀

𝑃𝑃𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 904,15𝑘𝑘𝑡𝑡 𝑥𝑥 9,80665𝑚𝑚𝑠𝑠2

𝑃𝑃𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 8.860,67 𝑘𝑘𝑡𝑡𝑚𝑚𝑠𝑠2

A unidade 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝒔𝒔𝟐𝟐

é chamada de Newton (N), em homenagem ao Físico e

Matemático Isaac Newton (1642-1727). Portanto, podemos denotar o peso das telhas da

seguinte forma,

𝑃𝑃𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 8.860,67 𝑁𝑁𝑀𝑀𝑁𝑁𝑚𝑚𝑀𝑀𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑁𝑁)

Comparando-se a carga de ruptura da viga (20.000N) com o peso total do novo

telhado (8.860,67 N), percebemos que o peso do telhado é cerca de 45% da carga de

ruptura da viga. Logo, poderíamos dizer que o serviço poderia ser feito com segurança,

ou seja, sem perigo de desabamento. Porém, o cálculo do peso do novo telhado pode ser

feito de outras duas maneiras, isto é, usando as informações das colunas rendimento e

peso do quadro 1.

a) Usando a coluna rendimento

Sabe-se que na hora da colocação das telhas existem partes que ficam

sobrepostas (observar figura 5). Levando-se em consideração essa perda de área efetiva,

vamos nos deter na coluna rendimento do quadro 1 para calcular o peso do novo

telhado.

14

Quadro 1- Características das telhas do tipo colonial4

Telha colonial

.

Massa (kg) Rendimento

(telhas/m2

Inclinação (°)

)

Peso telhamento

Seco/úmido (N/m2)

2,90 20 18 a 22,5 650 a 780

Percebemos que o rendimento da telha colonial é de 20 telhas por metro

quadrado. Para saber quantas telhas serão usadas podemos fazer uma regra de três

simples e multiplicar a área do total do telhado pelo rendimento.

𝑄𝑄𝑄𝑄𝑎𝑎𝑠𝑠𝑚𝑚𝑡𝑡𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 32,3𝑚𝑚2 𝑥𝑥 20𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠𝑚𝑚2

𝑄𝑄𝑄𝑄𝑎𝑎𝑠𝑠𝑚𝑚𝑡𝑡𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 646 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠

i) Calculando a massa total das telhas.

Para calcular a massa total das telhas devemos multiplicar a quantidade de telhas

calculada de acordo com o rendimento do quadro 1 pela massa de uma única telha,

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚𝑎𝑎𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 646 𝑥𝑥 2,90 𝑘𝑘𝑡𝑡

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚𝑎𝑎𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 1.873,4

ii) Calculando o peso total das telhas.

O peso total das telhas é calculado multiplicando-se a massa total das telhas pela

aceleração da gravidade (g = 9,80665 𝑚𝑚𝑠𝑠2).

𝑃𝑃𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚𝑎𝑎𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 1.873,4𝑘𝑘𝑡𝑡 𝑥𝑥 9,80665 𝑚𝑚𝑠𝑠2

𝑃𝑃𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑚𝑚𝑎𝑎𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠 = 18.359,32 𝑘𝑘𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑠𝑠2 𝑀𝑀𝑄𝑄 18.359,32𝑁𝑁

Nota-se que o peso do telhado calculado pelo rendimento do quadro 1

(18.359,32 N) é bem próximo à carga de ruptura do telhado (20.000 N). Talvez com o 4 Quadro construído pelos sujeitos da pesquisa por meio de pesquisa na internet.

15

peso da água da chuva a viga pudesse não agüentar. Por esse fato e também por

prevenção, o serviço não poderia ser realizado, devido o risco de desabamento do

telhado.

b) Usando a coluna peso telhamento seco/úmido.

Vamos usar a relação que fornece o peso do telhamento úmido que, de acordo

com quadro 1 é de 780 N/m2

Notamos que esse peso é superior à carga de ruptura da viga de madeira do

telhado a ser reformado. Portanto, podemos concluir que não basta apenas trocar as

telhas, é necessário reforçar a viga para que não haja perigo de desabamento.

. Já que temos a área a ser coberta, podemos calcular o peso

do telhado através de uma regra de três simples.

𝑃𝑃𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑀𝑀𝑀𝑀 ú𝑚𝑚𝑡𝑡𝑀𝑀𝑀𝑀 = 32,3 𝑚𝑚2 𝑥𝑥 780 𝑁𝑁𝑚𝑚2

𝑃𝑃𝑀𝑀𝑠𝑠𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑀𝑀𝑀𝑀 ú𝑚𝑚𝑡𝑡𝑀𝑀𝑀𝑀 = 25.194 𝑁𝑁

Muitas vezes quando se vai reformar um telhado é comum trocar apenas as

telhas velhas por novas, sem trocar ou reforçar as estruturas que suportam o peso do

telhado. O perigo maior ocorre quando se trocam as telhas antigas por telhas mais

pesadas. Vários desabamentos de telhados poderiam ser evitados se fosse observada a

resistência dos materiais empregados na construção ou reforma desses telhados.

5.0 Considerações finais

A atividade que acabamos de desenvolver teve como objetivo mostrar como o

professor (de física ou de matemática) poderia ter uma atitude interdisciplinar em sala

de aula, usando o processo de modelagem matemática como gerador de ambiente de

ensino-aprendizagem.

Poderíamos nos perguntar em que ponto(s) o processo de modelagem

matemática diferencia-se da resolução de problemas? A resposta a essa pergunta ocorre

quando se leva em consideração a postura do modelador matemático. A atitude do

modelador durante o processo de modelagem deve privilegiar, além da conduta

interdisciplinar, a elaboração de representações matemáticas interpretáveis

16

cientificamente (modelos matemáticos), sendo que o problema formulado apenas auxilia

a essa finalidade. Já o sujeito que privilegia a resolução de problemas como

metodologia de ensino-aprendizagem considera as representações matemáticas como

ferramenta auxiliar na resolução dos problemas.

Percebemos durante a realização da atividade que a dinâmica da modelagem

exige pesquisa. Esse fato tem aspectos positivos e negativos: positivamente um

ambiente de pesquisa poderá incentivar o aluno a procurar informações sobre um tema

que ele acha interessante. Muitas vezes durante a pesquisa de um assunto que

aparentemente não parece ser intrigante, o aluno depara-se com outro assunto que pode

ser interessante para ele. O professor deverá ficar atento sobre o tema que o aluno

encontrou interesse e orientá-lo de acordo.

Negativamente, o ambiente de pesquisa da modelagem poderá demandar de um

tempo que o aprendiz pode não ter para pesquisar. Nesse caso o professor deverá

auxiliar na busca de dados, muitas vezes levando o problema com os dados fornecidos,

ficando o aluno apenas com a tarefa de “trabalhar” com modelos matemáticos para

resolver o problema, conforme o caso 1 de Barbosa.

Observa-se também que os conteúdos de Matemática e de Física foram

simplesmente “surgindo” conforme a necessidade para se resolver os problemas. Deste

modo, eles não foram “impostos” pelo professor. Quando necessário, o grupo procurou

as informações indispensáveis para resolver os problemas levantados. Desse modo,

houve maior participação e os conteúdos ganharam significado de forma natural.

Entre os assuntos abordados podemos destacar:

De matemática:

• Área das figuras planas;

• Trigonometria;

• Unidades e transformações de medidas;

• Regra de três simples;

• Números decimais.

De Física:

• Conceitos de massa e peso;

17

• Cálculo de massa;

• Calculo da força peso;

• Transformações de unidades de medidas.

Verificamos que o ambiente de modelagem matemática torna possível uma

atitude interdisciplinar entre professores de Matemática e Física. Ao mesmo tempo em

que se abordaram conteúdos de Matemática foi possível trabalhar conteúdos de Física.

A atitude interdisciplinar no ensino faz com que os assuntos permaneçam “ligados”

apesar da especificidade de cada um.

Referências

BARBOSA, J. C. Modelagem matemática: concepções e experiências de futuros professores. 2001. 256f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 2ed. São Paulo: Contexto, 2004, 389p.

BIEMBENGUT, M, S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 3ed. São Paulo: Contexto, 2003, 127p.

BRASIL. Orientações curriculares para o ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias, v. 2, 2006.

BORGES, A. T. Um estudo de modelos mentais. Revista Investigação em Ensino de Ciências, v. 2, n. 3, p. 207-226, 1997. CHAVES, M. I. A.; ESPÍRITO SANTO, A. O. Modelagem matemática: uma concepção e várias possibilidades. Boletim de Educação Matemática. Rio Claro, ano 21, n. 30, Fev 2008. Disponível em <http://cecemca.rc.unesp.br/ojs/index.php/bolema/article/view/1781/1568>. Acesso em 13 set 2009.

GRECA, I. M.; MOREIRA, M. A. Além da detecção de modelos mentais dos estudantes: uma proposta representacional integradora. Investigação em Ensino de Ciências, v. 7, n. 1, p. 31-53, 2002.

LEVY, L. F. Os professores, uma proposta visando à transdisciplinaridade e os atuais alunos de matemática da educação pública municipal de jovens e adultos de Belém, Pará. Dissertação de mestrado em Educação em Ciências e Matemáticas-NPADC/UFPA, Belém, 2003.

PINHEIRO, T. F. Modelização de variáveis: uma maneira de caracterizar o papel estruturador da matemática no conhecimento científico. In: PIETROCOLA, M. (Org.). Ensino de física: conteúdo, metodologia e epistemologia numa concepção integradora. Florianópolis: UFSC, 2001. p. 33-150.

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SILVA, F. H. S. Formação de professores: mitos do processo. Belém-Pa: EDUFPA, 2009, 164p.

SOUZA, E. S. R.; ESPÍRITO SANTO, A. O. Modelagem matemática: uma visão holística da realidade?. In: ENCONTRO PARAENSE DE MODELAGEM MATEMÁTICA, 2008, Belém-Pa. Anais...Belém: SBEM, 2008a. (Publicação em CD-ROM).