ATIVIDADE PROGRAMADA COMPLEMENTAR- APC5

Aulas elaboradas para o período de Distanciamento Social em virtude do

COVID-19(Corona Vírus)

Lembrete ao aluno - ao receber esta atividade, entre em contato com seu orientador/padrinho ou madrinha para confirmação do recebimento.

Disciplina: Matemática

Professor(a): Adriani Denisia Martini de Barros

Turmas: 3ºK e 3ºL

Conteúdo: Geometria Espacial – Introdução (postulados, teoremas. paralelismo,

perpendicularismo) e Poliedros.

Competências e habilidades e/ou conteúdo: Identificar a posição entre retas, planos, retas e planos. Aplicar na resolução de problemas.

Metodologia: Ler, pesquisar e assistir video aulas referente ao conteúdo. Imprimir,

colar e responder no caderno lista 06 de exercícios.

Preencher o cartão resposta e postar no classroom de matemática. Enviar no e-

mail adrianimartinibarros@gmail.com somente aqueles que não têm acesso ao

classroom.

Valor da atividade: 3,0 pontos.

Período para realização: 4 aulas – referente 25/05 a 29/05

4 aulas – referente 01/06 a 05/06

Prazo de entrega: Até 05/06/2020.

1. Geometria Espacial

Parte 1

1.1 Noções primitivas

Na Geometria, ponto, reta e plano são algumas noções aceitas sem de micção e por

isso são chamadas de noções primitivas. Como são produtos da mente humana,

elas funcionam como modelos para explicar a realidade.

• Um ponto não tem dimensão, nem massa, nem volume.

• Uma reta não tem espessura, nem começo, nem fim.

• Um plano não tem espessura nem fronteiras

Observação 1: Representaremos os pontos por letras maiúsculas (A, B, C,... ), as retas por letras minúsculas (r, s, t,...) e os planos por letras gregas minúsculas (α, β, γ,...)

Podemos imaginar um ponto ao ver um pequeno furo em um papel, uma reta ao ver uma linha na esticada ou um plano ao ver as águas tranquilas de um lago. Essas três noções fazem parte do espaço, conjunto dos infinitos pontos existentes.

Definição 1: Dois ou mais pontos são denominados coplanares se existe um

plano que contém todos eles, ou seja, os pontos são coplanares se estiverem no mesmo plano.

Exemplo 1. Observe a Figura (1).

• Os pontos A; B; C e D são coplanares, pois pertencem ao plano. Em linguagem

simbólica, indicamos: A ∈ α, B ∈ α, C ∈ α e D ∈ α

• O ponto P não é coplanar com A, B, C e D, pois P não pertence ao plano. Em

linguagem simbólica, escrevemos: P∉ α

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Figura 1: Pontos Coplanares.

1.2 Postulados e Teoremas

Em geometria, além das noções primitivas, são estabelecidas verdades iniciais

aceitas sem demonstração que são os postulados. Com base nos postulados,

demonstramos, por meio de deduções lógicas, outros fatos ou propriedades

denominados teoremas.

Iniciamos nossa revisão a respeito das bases sobre as quais se assenta o

desenvolvimento da geometria com as noções primitivas de ponto, reta e plano.

Dando continuidade, foram estabelecidos como propriedades fundamentais desses

elementos alguns postulados, os quais são apresentados a seguir:

1. P1 - O espaço tem infinitos pontos.

2. P2 - Toda reta e todo plano são conjuntos de infinitos pontos.

3. P3 - fora de uma reta, bem como fora de um plano, ha infinitos pontos.

4. P4 - Dois pontos determinam uma única reta.

5. P5 (Postulado de Euclides) - Por um ponto P fora de uma reta r passa

somente uma reta s paralela a r.

6. P6 - Três pontos não colineares, isto é, que não estão na mesma reta,

determinam um único plano.

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7. P7 - Se dois pontos distintos estão em um plano, à reta que passa por eles

esta contida nesse plano.

8. P8 - Se dois planos distintos, α e β, interceptam-se, a intersecção é uma reta.

Observação 2: Uma reta que passa por dois pontos distintos, A e B como na figura ←→ do postulado P4, pode ser representada por r ou AB. Com esses postulados, é possível demonstrar vários teoremas. Veremos alguns teoremas, porém não iremos demonstra-los.

Teorema 1: Dada uma reta m e um ponto X fora dela, existe um único plano que

contem o ponto X e a reta m. Veja a figura abaixo.

1.3 Paralelismo

1.3.1 Retas paralelas

Definição 2: Duas retas, r e s são paralelas se têm todos os pontos comuns

(coincidem) ou se estão em um mesmo plano α e não tem nenhum ponto comum

(intersecção vazia). Em linguagem matemática, escrevemos: r // s ⇔ r ≡ s ou r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅

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Teorema 2: Duas retas paralelas, não coincidentes, determinam um único Plano.

Veja a figura abaixo.

1.3.2 Planos paralelos

Definição 3: Dois planos, α e β são paralelos se coincidem (têm todos os pontos

comuns) ou se não tem nenhum ponto comum (intersecção vazia).

Em linguagem matemática, escrevemos: α // β ⇔ α ≡ β ou α ∩ β = ∅.

1.3.3 Reta e plano paralelos

Definição 4: Uma reta r e um plano α são paralelos se a reta r está contida no plano

ou se a reta r e o plano não tem nenhum ponto comum.

Em linguagem matemática, escrevemos: r // α ⇔ r ⊂ α ou r ∩ α = ∅

1.3.4 Propriedades do paralelismo

Veja a seguir algumas propriedades do paralelismo. Todas elas podem ser demonstradas.

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1.3.5 Retas reversas Definição 5: Duas retas, r e s, são reversas quando não existe um mesmo plano

que as contenha.

Na figura abaixo, é possível visualizar que não existe um mesmo plano que

contenha as retas r e s; portanto, elas são reversas.

Em linguagem matemática, escrevemos: ∃ α tal que r ⊂ α e s ⊂ α. Observe,

ainda, que as retas r e s não tem nenhum ponto, comum, ou seja, r ∩ s = ∅.

1.4 Perpendicularismo

1.4.1 Retas concorrentes

Definição 6: Duas retas, r e s, são concorrentes quando tem apenas um ponto P

comum.

Em linguagem matemática, escrevemos: r ∩ s = P

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←→ ←→

Na figura I, observe duas retas concorrentes, AB e MN, que se interceptam no ponto P. Nelas, identificamos os ângulos A ˆ PM, M ˆ PB, B ˆ PN e N ˆ PA. Além de determinar esses ângulos, duas retas concorrentes também determinam um plano conforme a figura II.

Teorema 3: Se duas retas r e s, são concorrentes em um ponto P, então elas

determinam um único plano α.

1.4.2 Retas perpendiculares

Definição 7: Duas retas, r e s são perpendiculares quando são concorrentes e determinam quatro ângulos retos.

r ┴ s (lemos: “a reta r é perpendicular a reta s").

1.4.3 Retas Ortogonais

Definição 8: Duas retas, r e s são ortogonais quando existe uma reta t que é

paralela (não coincidente) a s e perpendicular a r.

Na figura abaixo, em que os pontos A, B, C, M e P são vértices de um cubo, as ←→ ←→ ←→ ←→ retas AB e CM são ortogonais, pois a reta PM e paralela a AB e e perpendicular a ←→ CM.

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1.4.4 Reta e plano perpendiculares

Definição 9: Dados uma reta r e um plano α , concorrentes no ponto P, dizemos que

r é perpendicular a α quando r é perpendicular a todas as retas de α que passam

por P.

1.4.5 Planos concorrentes

Definição 10: Dois planos distintos, e, são concorrentes quando tem pelo menos

um ponto comum (intersecção não vazia).

Como, pelo postulado P 8, a intersecção de dois planos distintos não paralelos é

uma reta, podemos escrever: α ∩ β = r

Considere a figura do cubo abaixo.

A intersecção dos planos α e β e a reta que contem o segmento AB, ou seja, a reta ←→ ←→ AB, isto é: α ∩ β = AB.

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1.4.6 Planos perpendiculares

Definição 11: Dois planos, α e β, são perpendiculares quando um deles contém

uma reta r perpendicular ao outro plano.

Parte 2

1.5 Poliedros

Poliedro (do grego poli significa “muitas, varias", e edro, “face"), isto é, o sólido que

possui muitas faces.

1.5.1 Elementos de um poliedro

Em um poliedro, podemos destacar os seguintes elementos:

• Face: cada uma das superfícies poligonais que compõem a superfície do poliedro.

• Aresta: lado comum a duas faces.

• Vértice: ponto comum a três ou mais arestas.

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Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com o número de faces que possui.

Para isso, justapõem-se dois elementos: um de origem grega, indicativo do número

de faces, e o elemento de composição edro. Por exemplo, um poliedro de 4 faces

chama-se tetraedro: tetra (4) + edro (faces).

1.5.2 Poliedro convexo e poliedro não convexo

Os poliedros que não apresentam “reentrâncias” em sua superfície são

denominados convexos; os que têm “reentrâncias” são denominados não convexos

(ou côncavos).

Em outras palavras reentrâncias significa uma curva para o interior, ou seja, uma

cavidade. Logo poliedros convexos são os poliedros que não possui uma cavidade e

caso tenha e chamado de côncavo. Veja a figura abaixo.

1.5.3 Relação de Euler

Os elementos dos poliedros mantém entre si muitas relações geométricas,

numéricas e métricas. Entre as relações numéricas, uma das mais importantes e a

denominada relação de Euler, que relaciona o numero de vértices ( V ), de arestas

( A ) e de faces ( F ) de qualquer poliedro convexo. Essa relação pode ser escrita

assim:

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V + F - A = 2 ou

V + F = A + 2

1.5.4 Poliedros regulares

Um poliedro convexo é regular quando satisfaz as seguintes condições:

• apresenta todas as faces poligonais regulares e congruentes entre

si;

• em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas.

Existem exatamente cinco classes de poliedros regulares. Observe abaixo um

exemplo de cada uma dessas classes.

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Lista 06 – Geometria Espacial: Parte 1 e Parte 2

1. Quais das afirmações abaixo são verdadeiras:

a) Dois pontos distintos determinam uma única reta.

b) Por um ponto passa uma única reta.

c) Três pontos quaisquer determinam um único plano.

d) Num plano existem infinitos pontos e fora dele também.

e) Existem infinitos pontos, infinitas retas e finitos planos.

2. Classifique cada uma das às afirmações em (V) ou falsa(F).

a) ( ) Se duas retas não são coplanares, elas são reversas.

b) ( ) Duas retas reversas podem ser coplanares.

c) ( ) Duas retas paralelas podem não ser coplanares.

d) ( ) Se dois planos, α e β , são coincidentes, então são paralelos.

3. Registre quais das às afirmações a seguir são falsas.

a) Duas retas reversas nunca estão em planos paralelos.

b) Se uma reta r é paralela à reta s e uma reta t é paralela à reta s, então t é

paralela a r.

c) Se uma reta r e um plano α tem ponto comum, então r esta contida em α.

d) Duas retas perpendiculares a uma mesma reta são paralelas entre si.

e) Se uma reta r e um plano α são paralelos, então toda reta perpendicular ao

plano α é perpendicular à reta r.

f) Se uma reta r esta contida em um plano α então toda perpendicular a r é

perpendicular a α.

g) Se uma reta r e perpendicular a um plano α e esse plano é paralelo a outro

plano β , então r é perpendicular a β .

4. Quantos planos podem passar por dois pontos distintos? E quantos planos

podem passar por três pontos distintos que não estejam alinhados? E se os três

pontos estiverem alinhados?

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5. Classifique em convexo e não convexo:

6. Um poliedro convexo tem 9 faces e 16 arestas. Desse modo, o total de

vértices desse poliedro é?

7. Um poliedro com 6 vértices tem o número de arestas igual ao dobro do

número de vértices. Determine o número de faces desse poliedro.

8. Um poliedro convexo apresenta 3 faces quadrangulares, 2 faces hexagonais

e 4 faces triangulares. Quantos vértices tem esse poliedro?

9. Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do

número de arestas, e o número de faces é cinco unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro.

10. Determine o número de vértices, faces e arestas de cada poliedro e classifique-os em convexo ou não convexo:

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Cartão resposta da atividade 05

Nome Completo:____________________________

Ano: 3º____ 1) ______________________

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5)

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10)

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Entrega: até 05/06/2020