Ponto: o ponto pode ser algo localizado no espao, como um furo, uma estrela no cu, ocentro do campo de futebol, uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, etc.

Reta: podemos dizer que a reta formada por infinitos pontos, como uma caneta, umacorda esticada, lados de um campo de futebol, as traves do gol, os raios solares, fioesticado, lados de um quadro, etc. Plano: a superfcie de uma parede, o cho, um quadro, universo, superfcie de uma mesa, etc.Representao, (notao) Pontos sero representados por letras latinas maisculas; ex: A, B, C,... Retas sero representados por letras latinas minsculas; ex: a, b, c,... Planos sero representados por letras gregas minsculas; ex:Observao: or um !nico ponto passam infinitas retas. "uma reta, bem como fora dela,h# infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma !nica reta. $m um plano etambm fora dele, h# infinitos pontos.%se&press'es(infinitospontos( ou(infinitasretas(, significam(tantospontosouretasquantas voc) dese*ar(.Pontos Colineares e semi-retasontos colineares: so pontos que pertencem a uma mesma reta. "a figura da esquerda,os pontos %, + e , so colineares, pois todos pertencem - mesma reta r. "a figura dadireita, os pontos ., / e 0 no so colineares, pois 0 no pertence a reta s. Semirreta: possui origem em um ponto, tornando1se infinita no sentido contr#rio. Segmento de reta: possui origem e fim. Retas paralelas2uas retas so paralelas se esto em um mesmo plano e no possuem qualquer ponto emcomum. /e as retas so coincidentes 3(a mesma reta(4 elas so paralelas.5 usual a notao a66b, para indicar que as retas a e b so paralelas.ropriedade da paralela: or um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traadaapenas uma reta paralela. $ste fato verdadeiro apenas na 7eometria $uclidiana, que a7eometria do nosso cotidiano.Retas concorrentes2uas retas so concorrentes se possuem um !nico ponto em comum. 8m e&emplo deretas concorrentes pode ser obtido pelas linhas retas que representam ruas no mapa deuma cidade e a concorr)ncia ocorre no cruzamento das retas 3ruas4.Retas perpendiculares9ngulo reto: 8m :ngulo que mede ;< graus. 0odos os :ngulos retos so congruentes. $stetipo de :ngulo fundamental nas edifica'es..etas perpendiculares: so retas concorrentes que formam :ngulos de ;< graus. 8samosa notao a b para indicar que as retas a e b so perpendiculares.ropriedade da reta perpendicular: or um ponto localizado fora de uma reta dada, podeser traada apenas uma reta perpendicular.Retas transversais e ngulos especiais.eta transversal a outras retas, uma reta que tem interseo com as outras retas empontos diferentes."a figura acima, a reta t transversal -s retas m e n e estas tr)s retas formam = :ngulos,sendo que os :ngulos >, ?, @ e A so :ngulos internos e os :ngulos B, C, D e = so :ngulose&ternos. ,adapar destes:ngulos, recebenomesdeacordocomalocalizaoemrelao - reta transversal e -s retas m e n.9ngulos ,orrespondentes$sto do mesmo lado da reta transversal.8m deles interno e o outro e&terno.B e @ C e A > e D ? e =9ngulos %lternos$sto em lados opostos da reta transversal.%mbos so e&ternos ou ambos so internos.B e = C e D > e A ? e @9ngulos ,olaterais$sto do mesmo lado da reta transversal.%mbos so e&ternos ou ambos so internos.B e D C e = > e @ ? e A9ngulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou e&ternos:alternos alternos internos > e A ? e @alternos e&ternos B e = C e Dcolateraiscolaterais internos > e @ ? e Acolaterais e&ternos B e D C e =$uclides estudou os elementos primitivos 3ponto, reta e plano4 e formulou a 7eometria $uclidiana. .epresentamos o ponto por qualquer letra mai!scula do alfabeto, a reta por qualquer letra min!scula e o plano por letras gregas 3E: alfa, F: beta e G: gama4. Posies de retas no plano Paralelas: retas que no possuem nenhum ponto em comum. Concorrentes: retas que possuem um ponto em comum. Perpendiculares: retas que possuem um ponto em comum e formam um :ngulo de ;2@"? (E2A"- 3" (A2E"? (A2@"? (B2,"- c" (A2A"? (>2,"? (,2A"- d" (A2E"? (B2>"? (42A"- e" (A24"? (>2@"? (E2,"- :- (Unes!" Entre todas as retas s%!ortes das arestas de %m certo c%3o2 considere d%as2 r e s2 re)ersas- SeCa t a !er!endic%lar com%m a r e a s- Ent&o1 a" t 5 a reta s%!orte de %ma das dia(onais de %ma das aces do c%3o- 3" t 5 a reta s%!orte de %ma das dia(onais do c%3o- c" t 5 a reta s%!orte de %ma das arestas do c%3o- d" t 5 a reta $%e !assa !elos !ontos m5dios das arestas contidas em r e s- e" t 5 a reta !er!endic%lar a d%as aces do c%3o2 !or se%s !ontos m5dios- D- (,%)est" Os se(mentos +A2 +B e +> s&o arestas de %m c%3o- Um !lano E2 !aralelo ao !lano AB>2 di)ide esse c%3o em d%as !artes i(%ais- A intersec0&o do !lano E com o c%3o 5 %m1 a" triFn(%lo- 3" $%adrado- c" retFn(%lo- d" !ent(ono- e" Gex(ono-

6 H P r o C e t o M e d i c i n a I J J J - ! r o C e t o m e d i c i n a - c o m - 3 r e 4> s&o !er!endic%lares- 3" Sa3endo $%e ABNA4N; e $%e > 5 o !onto m5dio do arco AB2 determine a medida do Fn(%lo >4B- O- (Unicam!" P com%m encontrarmos mesas com : !ernas $%e2 mesmo a!oiadas em %m !iso !lano2 3alan0am e nos o3ri(am a colocar %m cal0o em %ma das !ernas se a $%isermos /rme- Ex!li$%e %sando ar(%mentos de (eometria2 !or $%e isso n&o acontece com %ma mesa de = !ernas- ;- (Unicam!" Uma esera de raio . 5 a!oiada no !lano xQ de modo $%e se% !Rlo s%l to$%e a ori(em desse !lano- Tomando a reta $%e li(a o !Rlo norte dessa esera a $%al$%er o%tro !onto da esera2 cGamamos de S!roCe0&o estereo(r/caS desse o%tro !onto ao !onto em $%e a reta toca o !lano xQ- Identi/$%e a !roCe0&o estereo(r/ca dos !ontos $%e ormam o Gemis5rio s%l da esera- T- (Unes!" SeCam E e U !lanos !er!endic%lares2 EVUNr- Em E considera7se %ma reta s !er!endic%lar a r2 sVrNWAX2 e em U considera7se t o3l$%a a r2 tVrNWAX- 4entre as a/rma0'es1 I- s 5 !er!endic%lar a U- II- t 5 !er!endic%lar a s- III- O !lano determinado !or s e t 5 !er!endic%lar a U- IIII- Todo !lano !er!endic%lar a s e $%e n&o cont5m A 5 !aralelo a U- !ode7se (arantir $%e1 a" somente I 5 alsa- 3" somente II 5 alsa- c" somente III 5 alsa- d" somente I+ 5 alsa- e" nenG%ma 5 alsa- .8- (Unes!" #o es!a0o tridimensional consideram7se d%as retas r e s e os conC%ntos1 A2 de todos os !lanos !or r2 B2 de todos os !lanos !or s- 4escre)er o conC%nto AVB2 nos se(%intes casos1 a" r e s s&o !aralelas? 3" r e s s&o re)ersas- ..- (Unes!" SeCam E e U dois !lanos n&o !aralelos distintos- Pro)e $%e !or todo !onto PYE2 PZEVU2 existe em E %ma 9nica reta !aralela a U- .6- (>es(ranrio" A 5 %m !onto n&o7!ertencente a %m !lano P- O n9mero de retas $%e cont*m A e a[em %m Fn(%lo de :D\ com P 5 i(%al a1 a" 8- 3" .- c" 6- d" :- e" in/nito- .=- (U!e" Em $%antas re(i'es $%atro retas distintas di)idem o !lano2 sa3endo7se $%e n&o G d%as retas !aralelas nem tr*s concorrentes no mesmo !onto] .:- (P%ccam!" >onsidere as a/rma0'es a se(%ir- I- 4%as retas distintas determinam %m !lano- II- Se d%as retas distintas s&o !aralelas a %m !lano2 ent&o elas s&o !aralelas entre si- III- Se dois !lanos s&o !aralelos2 ent&o toda reta de %m deles 5 !aralela a al(%ma reta do o%tro- P correto a/rmar $%e a" a!enas II 5 )erdadeira- 3" a!enas III 5 )erdadeira- c" a!enas I e II s&o )erdadeiras- d" a!enas I e III s&o )erdadeiras- e" I2 II e III s&o )erdadeiras-

= H P r o C e t o M e d i c i n a I J J J - ! r o C e t o m e d i c i n a - c o m - 3 r .D- (Uel" O sRlido re!resentado na /(%ra a se(%ir 5 ormado !or %m c%3o de aresta de medida x^6 $%e se a!Ria so3re %m c%3o de aresta de medida x- A intersec0&o do !lano E@> com o !lano AB> 5 a" )a[ia- 3" a reta K_- c" o se(mento de reta K_- d" o !onto >- e" o triFn(%lo A@>- .onsidere as !ro!osi0'es1 I- 4ois !lanos !aralelos a %ma mesma reta s&o !aralelos II- Um !lano !aralelo a d%as retas !ertencentes a o%tro !lano 5 !aralelo a este III- Um !lano !er!endic%lar a %ma reta de o%tro !lano 5 !er!endic%lar a este I+- Um !lano !aralelo a %ma reta de o%tro !lano 5 !aralelo a este #estas condi0'es1 a" nenG%ma das !ro!osi0'es 5 )erdadeira 3" somente as !ro!osi0'es I e III s&o )erdadeiras c" %ma 9nica !ro!osi0&o 5 )erdadeira d" todas as !ro!osi0'es s&o )erdadeiras e" %ma 9nica !ro!osi0&o 5 alsa 6.- (,aa!" A 9nica !ro!osi0&o ,AbSA 51 a" no es!a0o2 d%as retas !aralelas a %ma terceira s&o !aralelas entre si 3" %ma reta orto(onal a d%as retas de %m !lano 5 orto(onal ao !lano c" dois !lanos !er!endic%lares c mesma reta s&o !aralelas entre si d" %m !lano !er!endic%lar a %ma reta de o%tro !lano 5 !er!endic%lar a este !lano e" %m !lano !er!endic%lar a dois !lanos $%e se interce!tam 5 !er!endic%lar c reta de intersec0&o destes 66- (,aa!" A 9nica !ro!osi0&o ,AbSA 51 a" no es!a0o2 d%as retas !aralelas a %ma terceira s&o !aralelas entre si 3" %ma reta orto(onal a d%as retas de %m !lano 5 orto(onal ao !lano c" dois !lanos !er!endic%lares c mesma reta s&o !aralelos entre si d" %m !lano !er!endic%lar a %ma reta de o%tro !lano 5 !er!endic%lar a este !lano e" %m !lano !er!endic%lar a dois !lanos $%e se interce!tam 5 !er!endic%lar c reta de intersec0&o destes 6=- (U!e" Analise as se(%intes a/rma0'es1 ( " Existem dois !lanos distintos2 !assando am3os !or %m mesmo !onto e !er!endic%lares a %ma mesma reta- ( " Se dois !lanos orem !er!endic%lares2 todo !lano !er!endic%lar a %m deles ser !aralelo ao o%tro- ( " 4%as retas !aralelas a %m !lano s&o !aralelas- ( " Se dois !lanos orem !er!endic%lares2 toda reta !aralela a %m deles ser !er!endic%lar ao o%tro- ( " Uma reta !aralela a d%as retas concorrentes de %m !lano 5 !er!endic%lar a esse !lano- 6:- (Uel" A reta r 5 a intersec0&o dos !lanos !er!endic%lares E e U- Os !ontos A e B s&o tais $%e AYE2 AZU2 BYU2 BZE- As retas AB e r a" s&o re)ersas- 3" s&o coincidentes- c" !odem ser concorrentes- d" !odem ser !aralelas entre si- e" !odem ser !er!endic%lares entre si- 6D- (,%)est" Uma ormi(a resol)e% andar de %m )5rtice a o%tro do !risma reto de 3ases trian(%lares AB> e 4E@2 se(%indo %m traCeto es!ecial- Ela !arti% do )5rtice @2 !ercorre% toda a aresta !er!endic%lar c 3ase AB>2 !ara em se(%ida caminGar toda a dia(onal da ace A4@> e2 /nalmente2 com!leto% se% !asseio !ercorrendo a aresta re)ersa a >@- A ormi(a cGe(o% ao )5rtice a" A 3" B c" > d" 4 e" E D H P r o C e t o M e d i c i n a I J J J - ! r o C e t o m e d i c i n a - c o m - 3 r 6inco !ares- 6T- (UrC" #a /(%ra a se(%ir2 A n&o !ertence ao !lano determinado !elos !ontos B2 > e 4- Os !ontos E2 ,2 @ e A s&o os !ontos m5dios dos se(mentos AB2 B>2 >4 e 4A2 res!ecti)amente- Pro)e $%e E,@A 5 %m !aralelo(ramo- =8- (,atec" #a /(%ra a se(%ir tem7se 1 o !lano E de/nido !elas retas c e d2 !er!endic%lares entre si? a reta 32 !er!endic%lar a E em A2 com A Y c? o !onto B2 intersec0&o de c e d- Se X 5 %m !onto de 32 XZE2 ent&o a reta s2 de/nida !or X e B2 a" 5 !aralela c reta c- 3" 5 !aralela c reta 3- c" est contida no !lano E- d" 5 !er!endic%lar c reta d- e" 5 !er!endic%lar c reta 3-

< H P r o C e t o M e d i c i n a I J J J - ! r o C e t o m e d i c i n a - c o m - 3 r =.- (Uel" #a /(%ra a se(%ir t*m7se %ma esera de raio Dcm e os !lanos !aralelos E e U- O !lano E cont5m o centro O da esera e dista .8cm de U- Uma reta t2 tan(ente c esera2 interce!ta E em A e U em B- Se o se(mento KL mede .;cm e o !lano determinado !elos !ontos A2 B e O 5 !er!endic%lar a E e a U2 ent&o a medida do se(mento OA2 em centmetros2 5 a" T 3" ;2D c" ; d" O2D e" O =6- (Un3" Uma das maneiras de se re!resentar a Terra em %ma re(i&o !lana !ara o tra0ado de ma!as (eo(r/cos 5 a S!roCe0&o estereo(r/caS2 $%e consiste em !roCetar os !ontos de %ma esera so3re %m !lano E !er!endic%lar ao eixo norte7s%l da esera e $%e !assa !or se% !Rlo S%l- Mais !recisamente2 a !roCe0&o de %m !onto P da esera 5 %m !onto Pf de E2 o3tido !ela interse0&o com o !lano E da reta determinada !or P e !elo !Rlo #orte- Essa constr%0&o est re!resentada na /(%ra a se(%ir2 em $%e O 5 o centro da esera2 M e Q s&o !ontos so3re %m mesmo !aralelo2 A 5 o !onto m5dio do se(mento Mf Qf2 sendo Mf e Qf as !roCe0'es dos !ontos M e Q2 res!ecti)amente- >om 3ase nas inorma0'es acima2 C%l(%e os itens se(%intes- (." A ima(em de %m meridiano da esera !ela !roCe0&o estereo(r/ca est contida em %ma reta $%e !assa !elo !onto S- (6" A ima(em do e$%ador !ela !roCe0&o estereo(r/ca 5 %m crc%lo de centro S e de raio i(%al ao $%dr%!lo do raio do e$%ador- (=" O !lano #AS 5 !er!endic%lar aos !lanos #MfQf e E- (:" Os Fn(%los Mf#Qf e MfSQf s&o i(%ais- ==- (,atec" SeCa A %m !onto !ertencente c reta r2 contida no !lano E- P )erdade $%e a" existe %ma 9nica reta $%e 5 !er!endic%lar c reta r no !onto A- 3" existe %ma 9nica reta2 n&o contida no !lano E2 $%e 5 !aralela c reta r- c" existem in/nitos !lanos distintos entre si2 !aralelos ao !lano E2 $%e cont*m a reta r- d" existem in/nitos !lanos distintos entre si2 !er!endic%lares ao !lano E e $%e cont*m a reta r- e" existem in/nitas retas distintas entre si2 contidas no !lano E e $%e s&o !aralelas c reta r-